koefesien korelasi kendal

KOEFESIEN KORELASI KENDAL

OLEHABDUL ZAHIR, S.Pd

ZAID, S.Pd.I

PENDAHULUAN

Kendal tau, adalah ukuran korelasi yang setara dengan Spearman R, terkait dengan asumsi yang mendasarinya serta kekuatan statistiknya. Namun, besaran Spearman R dan Kendal tau akan berbeda karena perbedaan dalam logika mendasari serta formula perhitungannya.Jika Spearman R setara dengan koefisien korelasi Pearson Product Moment, yaitu koefisien korelasinya pada dasarnya menunjukkan proporsi variabilitas (dimana untuk Spearman R dihitung dari ranks sedangkan korelasi Pearson dari data aslinya), sebaliknya ukuran Kendal tau merupakan probabilita perbedaan antara probabilita data dua variabel dalam urutan yang sama dengan probabilita dua variabel dalam urutan yang berbeda.Berdasarkan logika perhitungan ini, Noether (1981) dalam (Daniel,1991) mengemukakan bahwa koefisien Kendal tau lebih mudah ditafsirkan dibandingkan Spearman R.

Korelasi dilakukan terhadap peringkat nilai yang diberikan oleh dua penilai, misalkan, penilai X dan penilai Y

Salah satu nilai, misalnya, dari X disusun dalam urutan peringkat naik; nilai lainnya mengikutinya

Peringkat pada setiap nilai dari satu penilai diperbandingkan secara berpasangan; jika urutan adalah naik diberi +1 dan jika urutan adalah turun diberi 1

Peringkat 1 2 (naik) + 1Peringkat 4 1 (turun) 1

Untuk tiap penilai, semua nilai urutan dijumlahkan

Perhitungan Urutan

Untuk penilai X, perbandingan berpasangan

Obyek a b c dPeringkat X 1 2 3 4Urutan

Urutan 1 2 (naik) +1Urutan 1 3 (naik) +1Urutan 1 4 (naik) +1Urutan 2 3 (naik) +1Urutan 2 4 (naik) +1Urutan 3 4 (naik) +1 Jumlah sX = +6

Dengan rumus s = ½ n (n 1)

Untuk penilai Y, perbandingan berpasangan

Obyek a b c dPeringkat Y 2 4 3 1Urutan

Urutan 2 4 (naik) +1Urutan 2 3 (naik) +1Urutan 2 1 (turun) 1Urutan 4 3 (turun) 1Urutan 4 1 (turun) 1Urutan 3 1 (turun) 1 Jumlah sY = 2

Koefisien korelasi Kendall Tanpa Peringkat Sama

Kendall menggunakan notasi sehingga dikenal sebagai Kendall. Untuk

Obyek a b c dPeringkat X 1 2 3 4

Peringkat Y 2 4 3 1

Rumus koefisien korelasi Kendall adalah

s = =

Melalui perbandingan berpasangan, dengan +1 untuk naik dan 1 untuk turun, s dihitung dari sampel yang ada

Pada contoh di atas s = 2 / 6 = 0,33

Contoh 2Skor hasil belajar Statistik & Teori Tes Mahasiswa PEP

Mahasiswa A B C D E F G H I J K L

Skor Statistik 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81

Teori Tes 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117

Mahasiswa A B C D E F G H I J K L

Skor Statistik 3 4 2 1 8 11 10 6 7 12 5 9

Teori Tes 2 6 5 1 10 9 8 3 4 12 7 11

Ranking berdasarkan urutan Mahasiswa

Mahasiswa D C A B K H I E L G F J

Skor Statistik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Teori Tes 1 5 2 6 7 3 4 10 11 8 9 12

Ranking berdasarkan peringkat

Sesudah mengatur rangking-rangking itu, variabel X dalam urutan yang wajar, kita tetapkan harga S untuk ranking yang saling berhubungan dengan variabel Y:S = (11 - 0) + (7 - 3) + (9 - 0) + (6 - 2) + (5 – 2) + (6 - 0) + (5 - 0) + (2 - 2) + (1- 2) +

(2 - 0) + (1 - 0) = 44Ranking Statistik Non Parametrik yang paling kiri adalah ranking 1, ini memiliki 11 ranking yang lebih besar sebelah kanannya dan 0 ranking yang lebih kecil di sebelah kirinya, jadi skornya (11-0), begitu seterusnya sehingga didapat harga S = 44

Rumus koefisien korelasi Kendall adalah

s =

=

= = 0,67

s = 0,67 merepresentasekan tingkat hubungan antara teori tes dengan statistik yang diperlihatkan 12 mahasiswa PEP

Koefisien Korelasi Kendall dengan Peringkat Sama

Jika terdapat peringkat sama maka perlu dilakukan koreksi peringkat sama

Jika pada satu peringkat sama terdapat t data maka koreksi peringkat sama adalah

T = ½ Σ t (t – 1)

Koefisien korelasi Kendall dengan koreksi peringkat sama adalah

YX

s

TnnTnn

s

)()( 1211

21

Contoh 3Skor hasil belajar Statistik & jumlah mahasiswa yang menyerah setiap pengujian pada Mahasiswa PEP

Mahasiswa A B C D E F G H I J K L

Skor Statistik 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81

Menyerah 0 0 1 1 3 4 5 6 7 8 8 12

Mahasiswa A B C D E F G H I J K L

Skor Statistik 3 4 2 1 8 11 10 6 7 12 5 9

Teori Tes 1,5 1,5 3,5 3,5 5 6 7 8 9 10,5 10,5 12

Ranking berdasarkan urutan Mahasiswa

Mahasiswa D C A B K H I E L G F J

Skor Statistik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Teori Tes 3,5 3,5 1,5 1,5 10,5 8 9 5 12 7 6 10,5

Ranking berdasarkan peringkat

Sesudah mengatur rangking-rangking itu, variabel X dalam urutan yang wajar, kita tetapkan harga S untuk ranking yang saling berhubungan dengan variabel Y:S = (8 - 2) + (8 - 2) + (8- 0) + (8 - 0) + (1 – 5) + (4 - 2) + (3 - 2) + (4 - 0) + (0- 3) + (2

- 0) + (1 - 4) = 27Ranking Statistik Non Parametrik yang paling kiri adalah ranking 3,5 (pasangannya di ranking X adalah ranking merepresentasekan,yaitu 4), ini memiliki 2 ranking yang lebih besar sebelah kanannya dan 0 ranking yang lebih kecil di sebelah kirinya, jadi skornya (8-2), begitu seterusnya sehingga didapat harga S = 27

Setelah menentukan harga S = 27 , selanjutnya menentuka harga Tx dan Ty. Tidak terdapat angka-angka sama diantara skor-skor pada variabel statistik yaitu pada ranking X, dengan demikian Tx = 0 Pada variabel menyerah (Y), ada 3 himpunan ranking berangka sama dan t masing-masing = 2, dengan demikian Ty dapat dihitung:Ty = ½ Σ t (t – 1) = ½ {2(2-1) + 2(2-1) + 2(2-1)} = ½ (6) = 3

Dengan S = 27, N = 12, Tx = 0, dan Ty = 3, maka dapat dihitung harga s

YX

s

TnnTnn

s

)1(21)1(

21

3)112(12

210)112(12

21

27

s

636627

s 415827

s64,4827

s 0,42s

Seandainya kita tidak melakukan koreksi dengan adanya angka

yang sama, yakni jika kita menggunakan rumus s =

Maka kita menemukan harga yang berbeda

s = = = 0,41

Perhatikan bahwa akibat koreksi untuk angka yang sama itu

relatif kecil

Uji Hipotesis Koefisien Korelasi Kendall

Pendahuluan

Hipotesis dapat berbentuk

> 0 < 0 ≠ 0

Pengujian dapat dilakukan untuk sampel besar atau sampel kecil

Pada sampel kecil (n 10) disediakan tabel nilai kritis khusus

Pada sampel besar (n > 10), distribusi probabilitas pensampelan mendekatai distribusi probabilitas normal

Pada sampel kecil (n 10)

Untuk sampel-sampel kecil, signifikansi suatu hubungan yang diobservasi antara dua sampel yang ranking dapat ditentukan dengan hanya menemukan harga S dan kemudian melihat tabel kritisnya untuk menetapkan kemungkinan (satu sisi) yang berkaitan harga tersebut. Kalau p ≤ α, Ho dapat ditolak.Sebagai contoh, misalkan N = 8 dan S = 10. tabel kritisnya menunjukkan bahwa suatu S ≥ 10 untuk N = 8 mempunyai kemungkinan kemunculan di bawah Ho sebesar p = 0,138

Uji Hipotesis pada Sampel Besar

Pada sampel besar, n > 10Distribusi probabilitas pensampelan

mendekati distribusi probabilitas normalRerata

= 0Kekeliruan baku

Statistik uji

)()(19522

nnn

sz

Contoh 3Skor hasil belajar Statistik & Teori Tes Mahasiswa PEP

Mahasiswa A B C D E F G H I J K L

Skor Statistik 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81

Teori Tes 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117

Telah kita tentukan bahwa diantara kedua belas mahasiswa, korelasi antara mata kuliah statistik dengan teori tes adalah s = 0,67, jadi

sz

03,3z

= = = =

Dengan melihat tabel harga-harga z, kita mengetahui bahwa z > 3,03 mempunyai kemungkinan kemunculan, di bawah Ho sebesar p = 0,0012. dengan demikian , kita dapat menolak Ho pada tingkat signifikansi α = 0,01, dan menyimpulkan bahwa kedua variabel berasosiasi dalam populasi yang merupakan asal-usul sampel ini.

Tabel Kendall Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung

Nilai n s 4 5 8 9 0 0,625 0,592 0,548 0,540 2 0,375 0,408 0,452 0,460 4 0,167 0,242 0,360 0,381 6 0,042 0,117 0,274 0,306 8 0,042 0,199 0,238 10 0,0083 0,138 0,179 12 0,089 0,130 14 0,054 0,090 16 0,031 0,060 18 0,016 0,038 20 0,0071 0,022 22 0,0028 0,012 24 0,00087 0,0063 26 0,00019 0,0029 28 0,000025 0,0012 30 0,00043 32 0,00012 34 0,000025 36 0,0000028

Tabel Kendall Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung

Nilai n s 6 7 10 1 0,500 0,500 0,500 3 0,360 0,386 0,431 5 0,235 0,281 0,364 7 0,136 0,191 0,300 9 0,068 0,119 0,242 11 0,028 0,068 0,190 13 0,0083 0,035 0,146 15 0,0014 0,015 0,108 17 0,0054 0,078 19 0,0014 0,054 21 0,00020 0,036 23 0,023 25 0,014 27 0,0083 29 0,0046 31 0,0023 33 0,0011 35 0,00047 37 0,00018 39 0,000058 41 0,000015 43 0,0000028 45 0,00000028