kausalität, korrelation und kovarianz bei ... · schätzung der kovarianz: experimentell aus...
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Kausalität, Korrelation und Kovarianz bei Messunsichercheitanalysen
Kausalität
Korrelation
Kovarianz
Maryna Galovska,Volkswagen AG
maryna.galovska@volkswagen.de
• Standard‐Verfahren des GUM• Grundbegriffe• Schätzung der Korrelation• Kombinieren der Unsicherheiten• Beispiele• Monte‐Carlo‐Simulation• Zusammenfassung
Berechnung der Messunsicherheit –Empfehlungen für die Praxis, Berlin, 17. und 18. März 2016
1. Standard‐Verfahren des GUM
Kausalität
Korrelation
Kovarianz
1. Modellieren der Messung2. Einschätzung der Größen3. Einschätzung der Korrelationen4. Kombinieren der Werte und Unsicherheiten unter
der Berücksichtigung der Korrelationen5. Schätzung der erweiterten Messunsicherheit6. Angeben des vollständigen Messergebnisses
x1, u1 x2, u2 xM, uM
Y=f (X1, X2, …, XM) y ± U
r ( x1, x2 )S. 2
X3
X1 X2
kausaler Effekt
Korrelation
Korrelation durch eine gemeinsame dritte Variable:
Korrelation zwischen X1 und X2 darf nicht als kausal interpretiert werden!
Korrelation zwischen Schokoladenkonsum und Anzahl an Nobelpreisträgern in einem Land **
*http://www.spiegel.de/unispiegel/jobundberuf/10‐cm‐2000‐euro‐grosse‐maenner‐verdienen‐mehr‐a‐296853.html
**http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMon1211064
2.1 Kausalität und Korrelation
Große Männer verdienen mehr *
Kausalität: Veränderung X1 ist Ursache für Veränderung X2 (Wirkung)
Zusammenhang zwischen Zufallsgrößen innerhalb
einer Verteilung
Aufgrund desselben• Normals• Messgeräts• Referenzwerts…
S. 3
Schätzung der Kovarianz: Experimentell aus MessreihenModellbasiert, aus Erfahrung oder Vorkenntnissen.
Varianz von X1
Varianz von X2
Gemeinsame Varianz von X1 und X2
),()()(),( 212121 xxrxuxuxxu
Im Kontext der Messunsicherheit:
-1 ≤ r(x1, x2) ≤ 1
X1 X2Var (X1) Var (X2)r
Cov (X1, X2)
2.2 Korrelation und Kovarianz
Korrelationskoeffizientcharakterisiert den Grad derKorrelation
S. 4
2.3 Darstellung von zwei korrelierten Größen
Supplement 1: multivariate Gauß‐Verteilungen
S. 5
Andere Verteilungen:
Messgerät
MX
M1 M2
MX = M1 – M2
Ohne Berücksichtigung der Korrelation r(m1, m2) = 0u2(mX) = u2(m1) + u2(m2)
Mit Berücksichtigung der Korrelationr(m1, m2) = 1u2(mX) = (u(m1) – u(m2))2
u(m1) = u(m2)
u2(mX) = 2·u2(m2)
u2(mX) = 0
Schätzwert der Messunsicherheit liegt im Intervall von 0 bis 2·u2(m2) abhängig von der Berücksichtigung der Korrelation!
2.4 Korrelation. Extrembeispiel
3. Berechnung der Kovarianz
Korrelation Beobachtete Korrelation Logische Korrelation
Ermittlung Statistisch (Type A) Nicht statistisch (Type B)
VerfügbareInformation
Beobachtungen bei den Wiederholmessungen:
Messgrößen sind von einer Größe abhängig:
Kovarianz
)(),( 2211 qFXqFX n
n
xxxXxxxX
222212
112111
...,:...,:
),( 21 xxu221
quqF
qF
))(()1(
12211 xxxx
nn ii
S. 7
)()(),(
21
21
xuxuxxu
),( 21 xxr
3. Kombinieren der Unsicherheiten
Y=f (X1, X2, …, XM)
u X1 X2 … XM
X1 u2(x1) u(x1, x2) … u(x1, xM)
X2 u(x2, x1) u2(x2) … u(x2, xM)
… … … … …
XM u(xM, x1) u(xM, x2) u2(xM)
c X1 X2 … XM
X1 c21 c1·c2 … c1·cM
X2 c1·c2 c22 … c2·cM
… … … … …
XM c1·cM c2·cM c2M
1
1
2 ),()(N
i
N
ijjiijc xxucyu
ii x
fc
Kombinierte Varianz: Sensitivitätskoeffitienten:
S. 8
c X1 X2 … XM
X1 c21 c1·c2 … c1·cM
X2 c1·c2 c22 … c2·cM
… … … … …
XM c1·cM c2·cM c2M
r X1 X2 … XM
X1 1 r(x1, x2) … r(x1, xM)
X2 r(x2, x1) 1 … r(x2, xM)
… … … … …
XM r(xM, x1) r(xM, x2) 1
N
i
N
i
N
ijjijijiiic xxrxuxuccxucyu
1
1
1
222 ),()()(2)()(
3. Kombinieren der Unsicherheiten
Y=f (X1, X2, …, XM)
Kombinierte Varianz:
S. 9
4.1 Beispiel. Beobachtete Korrelation
11
22 R
UUR
Messgleichung:
Wiederholmessungen:U1: 0,0994; 0,1005; 0,1000; 0,1005; 0,1003; 0,1015; 0,1000; 0,1002; 0,1011; 0,1021 VU2: 0,1035; 0.1069; 0,1047; 0,1061; 0.1063; 0,1073; 0,1049; 0,1054; 0,1060; 0,1063 V
U1, V
U2,
V r(U1, U2) = 0.74
U1 U2
R1 R2
V1V2
S. 10
R1 –Normalwiderstand: 100,0037 Ω; u=0,0002 Ω
Messung des Widerstandes:
Weil die Schwankungen einer Stromquelle auf zwei Größen (U1, U2) wirken, kommt es zur Korrelation.
Kombinierte Varianz:
r U1 U2 R1
U1 1 0,74 0
U2 0,74 1 0
R1 0 0 1
),()()(2)()()()( 21212122
222
122
22
1121UUrUuUuccRucUucUucRu UURUUc
A/B x u
U1 A 0,1006 V 0,0008 V
U2 A 0,1057 V 0,0011 V
R1 B 100,0037 Ω 0,0002 Ω
21
121 U
RUcU 1
12 U
RcU 1
21 U
UcR
Empfindlichkeitskoeffizienten:
4.1 Beispiel. Beobachtete Korrelation
Komponenten der Unsicherheit: Korrelation:
S. 11
*http://www.phi‐design.de/
Messung der X‐Position von A und B in einem anderen Koordinatensystem:XAS und XBS sind korreliert (aufgrund der gemeinsamen Transformation)
A B
x
y
xS
yS*
X
?),( BSAS XXrXXXXXX
BBS
AAS
F1 :
F2 :
4.2 Beispiel. Logische Korrelation
S. 12
5,0)()(2
)(),(
2)()()()()(
05,0)()()()(
2
22
xuxuxuxxr
xuxuxuxuxu
mmxuxuxuxu
BSAS
ABSAS
BA
Annahme: Messunsicherheiten der X‐Koordinate von A und B und der Transformation sind gleich:
)()()(
),( 221 xuX
FX
Fxxu BSAS
)()(
),(),(BSAS
BSASBSAS xuxu
xxuxxr
4.2 Beispiel. Logische Korrelation
XAS, mm
X BS,
mm
XXXXXX
BBS
AAS
F1 :
F2 :
S. 13
Monte‐Carlo‐Simulation
A B
xS
yS Mittelpunkt in S‐Koordinatensystem:
2/)( BSASS XXM
Abstand:
ASBSS XXD
)(23
4)(2)(4
4),()()(2)()()( 2
22222 xuxuxuxxrxuxuxuxuMu BSASBSASBSAS
Sc
)(2)(2)(4),()()(2)()()( 222222 xuxuxuxxrxuxuxuxuDu BSASBSASBSASSc
4.2 Beispiel. Logische Korrelation
M
D
Mittelpunkt:
2/)( BA XXM
Abstand:
AB XXD
Berechnete im (x,y)‐Koordinatensystem (vor der Transformation) Funktionsmaßen
x
y
mmMuc 035,0)( )(21
4)()()( 2
222 xuxuxuMu BAc
)(2)()()( 2222 xuxuxuDu BAc mmDuc 071,0)(
A B
xS
yS Mittelpunkt in S‐Koordinatensystem:
2/)( BSASS XXM
Abstand:
ASBSS XXD
)(23
4)(2)(4
4),()()(2)()()( 2
22222 xuxuxuxxrxuxuxuxuMu BSASBSASBSAS
Sc
)(2)(2)(4),()()(2)()()( 222222 xuxuxuxxrxuxuxuxuDu BSASBSASBSASSc
4.2 Beispiel. Logische Korrelation
M
D
Mittelpunkt:
2/)( BA XXM
Abstand:
AB XXD
2061,0)( mmMu Sc )(21
4)()()( 2
222 xuxuxuMu BAc
22 071,0)( mmDu Sc )(2)()()( 2222 xuxuxuDu BAc
mmMuc 035,0)(
mmDuc 071,0)(
u=0.05; N=100000;
A=10+normrnd(0, u, 1, N);B=20+normrnd(0, u, 1, N);dx=‐3+normrnd(0, u, 1, N);As=A+dx;Bs=B+dx;plot(As, Bs, '.')
r=corr(As', Bs')
Ms=(As+Bs)/2;Ds=Bs‐As;
u_M=std(Ms)u_D=std(Ds)
5. Monte‐Carlo‐Simulation
XXXXXX
BBS
AAS
F1 :
F2 :
),( BSAS xxr
)(),( ScSc DuMu
X=[10‐3; 20‐3]'; N=100000;u=0.05*sqrt(2); r=0.5; M=2; cov=[u*u r*u*u; r*u*u u*u ];
for i=1:MR=mvnrnd(X, cov, N);plot(R(:, 1),R(:, 2), '.');hold on
endAs=R(:, 1); Bs=R(:, 2);
Ms=(As+Bs)/2;Ds=Bs‐As;
u_M=std(Ms)u_D=std(Ds)
5. Zusammenfassung
• Korrelation beschreibt den Zusammenhang zwischen den Variablen.Korrelation im Kontext der Messunsicherheit ist durch eine dritte Variableverursacht. Korrelation darf nicht immer als kausal betrachtet.
• Kovarianz (Mischkomponente der Unsicherheit) muss geschätzt oderexperimentell ermittelt werden.
• Die kombinierte Unsicherheit unter Berücksichtigung der Korrelation kannnach GUM oder Monte‐Carlo‐Methode (Supplement 1) berechnet werden.
• Korrelationen können die kombinierte Messunsicherheit sowohl vergrößernals auch verringern.
Danke für die Aufmerksamkeit!
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