karŞilaŞtirmali duraĞanlik ve tÜrev - idari.cu.edu.tr · İlk olarak değişim oranı ve türev...

KARKARŞŞILAILAŞŞTIRMALI TIRMALI

DURADURAĞĞANLIK VE ANLIK VE

TTÜÜREVREV

Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da

parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek

farklı denge değerlerini karşılaştırılarak incelenmesini sağlar.

Örneğin ulusal gelir denge düzeyi belirliyken para arzında ya da

vergi oranlarındaki bir değişmenin ulusal gelir denge düzeyini

nasıl yeni bir denge değerine taşıyacağına bakabiliriz. Bu

şekildeki analizleri yapabilmemiz için türev, türevsel

(diferansiyel) gibi konuları anlamak gerekir.

İlk olarak değişim oranı ve türev kavramına bakalım.

Bir y=f(x) fonksiyonu düşünelim. x değiştiğinde, y ’nin değişimini

inceleyelim.

1 0 1 0

1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x x

y f x f x f x x f x

∆ = − → = + ∆

∆ = − = + ∆ −

x ’deki bir birimlik değişime karşılık y ’de meydana gelen

değişiklik:

( ) ( )0 0f x x f xyx x

+ ∆ −∆=

∆ ∆

44ÖÖrnek 1:rnek 1:

2 20 0 0 0

( ) 3 4

( ) 3 4 , ( ) 3( ) 4

( ) ( ) 3( ) 4 3( ) 4

y f x x

f x x f x x x x

f x x f x x x xyx x x

y x xx

= = −

= − + ∆ = + ∆ −

+ ∆ − + ∆ − − +∆= =

∆ ∆ ∆

∆= + ∆

0 3 , 4 ,

x x olursa

y olurx

= ∆ =

55TTüürevrev

∆x→0 olurken, ∆y/∆x’in limiti varsa, bu limit y=f(x)

fonksiyonunun türevidir.

0lim ( )x

y dy f xx dx∆ →

∆ ′≡ ≡∆

Buna göre Örnek 1’i uygulayalım.

( )00 0lim lim 6 3 6x x

y x x xx∆ → ∆ →

∆= + ∆ =

66TTüürev ve Bir Erev ve Bir Eğğrinin Erinin Eğğimiimi

Türev ile eğrinin eğimi bağlantısını aşağıdaki şekil yardımıyla

açıklayalım. Şekil 3.1, toplam maliyet maliyeti üretim

miktarının bir fonksiyonu olarak göstermektedir. Marjinal

maliyet, üretimdeki ∆Q kadarlık artışın, toplam maliyette yol

açtığı artıştır (∆C ):

∆=∆

77ŞŞekil 3.1. Deekil 3.1. Değğiişşim ve Tim ve Tüürevrev

( )C f Q=

••

• •

••

0Q 1Q 2Q

∆Q→0 olurken, ∆C son derece küçük değerler alacaktır. Bu

durumda oransal değişim, türev olarak ifade edilebilecektir.

0lim ( )Q

C dCMC f QQ dQ∆ →

∆ ′= ≡ ≡∆

Başlangıçta Q0 üretim miktarında toplam maliyetin C0 olduğunu

varsayalım. Üretim miktarı Q2 ’ye çıkarsa, toplam maliyet C2

olur. Buna göre marjinal maliyet (ortalama marjinal maliyet)

şöyle belirlenir:

C CCMCQ Q Q

−∆= =∆ −

Bu oransal değişimi geometrik olarak BE’nin AE’ye oranı olarak

gösterebiliriz. Bu, AB doğrusunun eğimidir. Q ’nun değişim

miktarını giderek sıfıra yaklaştırırsak, C ’nin değişimi de

giderek küçülür. Limitte bu oransal değişim, türev biçimini alır.

Şekil üzerinde, A noktasında toplam maliyet fonksiyonuna teğet

olan KG doğrusunun eğimi MC ’yi tanımlar. Yani GH’nin KH’ye

oranı.

1010SaSağğdan ve Soldan Limit:dan ve Soldan Limit:

lim limx v

y q x vx

dy y qdx x∆ → →

∆≡ ∆ ≡

∆= =

Ya da daha genel olarak v→N olurken, q hangi değere yaklaşır?

Bu sorunun yanıtı, v ’nin N ’ye soldan ve sağdan yaklaşmasına

bağlı olarak değişebilir.

v N ’ye soldan yaklaşırken (v→N−), q L gibi sonlu bir sayıya

yaklaşıyorsa, L ’ye q ’nun soldan limiti denir.

v N ’ye sağdan yaklaşırken (v→N+), q L gibi sonlu bir sayıya

yaklaşıyorsa, L ’ye q ’nun sağdan limiti denir.

Sağdan limit ile soldan limit değerleri eşit olmayabilir.

Ancak ve ancak bu iki limit sonlu bir sayıya eşitse, q ’nun limiti

olduğunu söyleyebiliriz.

lim , limv N v N

q q→ →

= ∞ = −∞

gibi durumlarda “q ’nun limiti yoktur” ya da “q sonsuz limite

sahiptir” deriz.

Ancak bazı durumlarda v→±∞ yaklaşımı yalnızca soldan ve

sağdan olanaklı olabilir. Böyle durumlarda limitin varlığı yine

sonlu sayıya yaklaşılıp yaklaşılmadığına bağlıdır.

Aşağıda yer alan dört farklı şekli, v→N durumunda q ’nun limiti

açısından inceleyelim.

(a) şeklinde v→N+ ya da v→N− olurken her iki durumda da q tek

bir değere, yani L ’ye yaklaşmaktadır. Bu durumda q bir limite

sahiptir:

lim limv N v N

q q L− +→ →

(b) şeklinde de durum (a)’daki gibidir. Ancak (c) şeklinde v N

’ye soldan yaklaşırken q ’nun limiti L1 , sağdan yaklaşırken L2

’dir. Bu nedenle q bir limite sahip değildir.

1 2lim limv N v N

q L q L− +→ →

= ≠ =

(d) şekli için de şunları yazabiliriz:

lim , lim

lim lim

v N v N

− +→ →

→−∞ →+∞

= −∞ = ∞

1515ŞŞekil 3.2. Limitekil 3.2. Limit

Şimdi limit kavramı için sistematik bir tanım verelim:

v, N gibi bir sayıya yaklaşırken L ’nin her komşuluğu için

fonksiyonun önalanında buna karşılık gelen bir N komşuluğu

(v=N noktası dışında) bulunabiliyorsa ve fonksiyonun

görüntüsü ( q ), bu N komşuluğundaki her v değeri için seçilen L

komşuluğu içine düşüyorsa, q=f(v) fonksiyonunun limiti L ’dir.

1717ŞŞekil 3.3. Limitekil 3.3. Limit

•( ),N L

1L a−L

2N b+N1N b−

( )q g v=

Yukarıdaki şekil, yukarıda verdiğimiz sistematik limit tanımını

görselleştirmektedir. N ’nin yakın komşuluklarında q ’nun limit

değeri L, L yakın komşuluğu içine düşmektedir. Şekilde (N,L)

tüm yakın komşuluklarda renkli dikdörtgen alanın içinde

kalmaktadır. Bazı limit uygulamaları aşağıda verilmiştir.

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

56 0lim7 0

8 78 lim lim 8 15

v vq q

v vq v q v

→ →

+ −= → =

+ −= = + → = + =

( )( )

+ −=

( ) ( ) ( ) ( )

2 23 3

2 8 0lim0

2 2 2 2 2 22 2

6 12 lim lim 6 12 12

v v vvq

q v v q v v

→ →

+ −= → =

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + + + ++ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

= + + → = + + =

( )32 8vq

v+ −

1 15 lim lim 5 lim 5 0 5

1lim lim 5 lim 5 0 5

q qv v

→∞ →∞ →∞

→−∞ →−∞ →−∞

= − → = − = − =

→ = − = − =

2222Limit Teoremleri:Limit Teoremleri:

Teorem 1:Teorem 1:

5 7 lim 17

q av b q aN b

= + ⇒ = +

= + ⇒ =

Teorem 2:Teorem 2:

( ) lim

3 lim 3

q g v b q b

= = ⇒ =

= ⇒ =

2323Teorem 3:Teorem 3:

lim 2 8

q v q N

= ⇒ =

= ⇒ = =

1 1 2 2

1 2 1 2

( ) , ( )

lim , lim

v N v N

q g v q h v

q L q L

q q L L

→ →

± = ±

Teorem 5:Teorem 5:

( )1 2 1 2limv N

q q L L→

( )( )

lim , 0

lim 11 1lim2 lim 2 2

→→

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Genel Bir Polinomun (Genel Bir Polinomun (ÇÇokterimli) Limiti:okterimli) Limiti:

20 1 2

( ) .....

lim .....

q g v a a v a v a v

q a a N a N a N→

= = + + + +

= + + + +

Bir Fonksiyonun SBir Fonksiyonun Süüreklilirekliliğği ve i ve TTüürevlenebilirlirevlenebilirliğğii::

q=g(v) gibi bir fonksiyon v önalanındaki N gibi bir noktaya

yaklaşırken bir limite sahipse ve bu limit aynı zamanda g(N) ’ye

eşitse, bu fonksiyon N noktasında süreklidir.

Örneğin aşağıdaki şekillerden (a) ve (b) N noktasında sürekli,

(c) şeklinde kırmızıyla gösterilen dirsekli eğri sürekli, mavi

renkli ve iki parçadan oluşan eğri de süreksizdir.

2727ŞŞekil 3.4. Sekil 3.4. Süüreklilik ve reklilik ve TTüürevlenebilirlikrevlenebilirlik

•••

( )b( )a

Örneğin aşağıdaki aşağıdaki fonksiyonu süreklilik açısından

inceleyelim.

( )( )

lim 4 4lim1lim 1

v Nv N

vq g vv

v NqNv

→→

Görüldüğü gibi limit tüm sonlu sayılar için tanımlıdır. Bu

nedenle fonksiyon N noktasında süreklidir.

2929ŞŞekil 3.5. Sekil 3.5. Süüreklilikreklilik

-10 -5 5 10

vq g vv

x=x0 gibi bir noktada vÆ0 olurken q ’nun limiti varsa, fonksiyon

bu noktada türevlenebilir. Bir fonksiyonun, belirli bir noktada

türevlenebilmesinin önkoşulu sürekliliktir. Ancak süreklilik,

türevlenebilirlik için yeterli koşul değildir.

Türevlenebilirlik sürekliliği içermekte, ancak tersi doğru

değildir. Bunu aşağıdaki örnekle görelim.

( ) 2 1y f x x= = − +

Bu fonksiyon x=2 noktasında süreklidir, ancak türevlenebilir

değildir. Süreklilik için fonksiyonun xÆ2 için limitine bakarsak,

sağdan ve soldan limitlerin eşit olduğunu, x=2 değerinin

fonksiyonun önalanı içinde yer aldığını ve y=f(2)=1 olduğunu

görebiliriz:

( ) ( )2 2

lim 2 1 lim 2 1 1x x

x x− +→ →

− + = − + =

Bu fonksiyonun x=2 noktasında türevlenemez olduğunu şöyle

gösterebiliriz:

2 1 1( ) (2)lim lim2 2

22lim lim

lim ( 1) 1

( ) (2) 2lim lim 12 2

xf x fx x

f x f xx x

− −

→ →

⎛ ⎞− + −−⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ − −−

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = −

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 1 2 3

2 1y x= − +

( )2,1

-10 10 20

xy f xx+

3535TTüürev Alma Kurallarrev Alma Kurallarıı

1. Sabit Fonksiyon Kural1. Sabit Fonksiyon Kuralıı

( )( ) ( ) 0dy d ky f x k f xdx dx

′= = → = = =

2. Kuvvet Fonksiyonu Kural2. Kuvvet Fonksiyonu Kuralıı

( )( ) ( )

( )( ) ( ) 3

nn ndy d xy f x x f x nx

dy d xy f x x f x xdx dx

−′= = → = = =

′= = → = = =

36363. Genelle3. Genelleşştirilmitirilmişş Kuvvet Fonksiyonu KuralKuvvet Fonksiyonu Kuralıı

1 2 1 2

( )( ) ( )

(5 )( ) 5 ( ) 15

(2 )( ) 2 ( ) 6

2( ) 4 4 ( ) 2

nn ndy d cxy f x cx f x cnx

dy d xy f x x f x xdx dx

dyy f x x x f x xdx x

−− −

′= = → = = =

′= = → = = = −

′= = = → = = =

37374. Toplam4. Toplam--Fark KuralFark Kuralıı

4 3 3 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 7 2 3 37

7 2 3 37

7 2 3 37 28 6 3

d f x g x d df x g x f x g xdx dx dx

y f x x x x

d x x xdydx dx

dy d d d dx x x x xdx dx dx dx dx

′ ′= =

= = + − +

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦=

= + − + = + −

∓∓ ∓

38385. 5. ÇÇarparpıım Kuralm Kuralıı

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 32 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 2

1 2 1 2

3(1 ) 2 1 2

(1 ) 5 2 6

d f x g x d dg x f x f x g x g x f x f x g xdx dx dx

y f x x x

d x xdydx dx

d dx x x xdx dx

x x x x

′ ′= + = +

= = − +

⎡ ⎤− +⎣ ⎦=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − + + −

= − − + −

39396. B6. Bööllüüm Kuralm Kuralıı

[ ] [ ]

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

33 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3(1 ) 2 1 212 2

(1 ) 2 6

d dg x f x f x g xd f x g x f x f x g xdx dxdx g x g x g x

xy f x

x x x xxdy ddx dx x x

− ′ ′⎡ ⎤ −= =⎢ ⎥

⎣ ⎦

−= =

⎡ ⎤ − − + − −−⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

− − − −=

40407. Zincir Kural7. Zincir Kuralıı

( ) ( ) ( )

( ) , ( )

( ) ( )

3 , 2 5

6 2 12 12 2 5 24 60

z f y y g x

dz dz dy f y g xdx dy dx

z y y x

dz dyydy dx

dz y y x xdx

′ ′= =

= = = + = +

( ) ( ) ( ) ( )

1616 2

17 , 2 3

17 2 3 17 3 2 2 3

z y y x x

dz dyy xdy dx

dz y x x x xdx

= = + −

= + = + − +

42428. Ters Fonksiyon Kural8. Ters Fonksiyon Kuralıı

y=f(x) fonksiyonu birebirse, bu fonksiyon bir ters fonksiyona

sahiptir:

1( )x f y−=

Birebir özelliği yalnızca monotonik (tekdüze) fonksiyonlarda

vardır. Monotonik fonksiyonlarda şu durum gözlenir:

1 2 1 2

( ) ( )

x x f x f x

< ⇒ <

< ⇒ >

Monotonik artan

Monotonik azalan

4343ŞŞekil 3.7. ekil 3.7. MonotonikMonotonik FonksiyonlarFonksiyonlar

Monotonik artan

Monotonik azalan

Monotonik Değil

4444Marjinal HasMarjinal Hasıılat ile Fiyatlat ile Fiyat--Talep EsnekliTalep Esnekliğği i İİlilişşkisikisi

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) 1 ( ) ( ) 1( )

TR PQ f Q Q

dTR dQ dQMR f Q Q f Q f Q Q f QdQ dQ dQ

QMR f Q f Q f Qf Q

′ ′= = + = +

⎡ ⎤⎡ ⎤′= + = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet FonksiyonlarMarjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet Fonksiyonlarıı ArasArasıındaki ndaki

İİlilişşkiki

( )( ) ,

( ) ( )

1 ( )( )

TC QTC TC Q ACQ

d AC d TC QdQ dQ Q

d AC TC Q Q TC QdQ Q

d AC TC QTC QdQ Q Q

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

′ −=

⎛ ⎞′= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

1 ( ) ( )

d ACMC Q AC Q

d ACMC AC

= → =

< → <

> → >

4747ŞŞekil 3.8. ekil 3.8. ACAC ve ve MCMC FonksiyonlarFonksiyonlarıı

ArasArasıındaki ndaki İİlilişşkiki

•AminAC

4848Toplam HasToplam Hasıılat ve lat ve ÜÜretim Girdisi retim Girdisi İİlilişşkisi:kisi:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) , ( )

( ) ( ) L L

TR f Q Q g L

d TR d TR dQdL dQ dL

d TRf Q g L MR MP MRP

′ ′= = =

4949KKıısmi Tsmi Tüürevrev

1 1 2 1 2

( , , ....., )

( , , ....., ) ( , , ....., )

y f x x x

f x x x x f x x xyx x

y y fx x∆ →

+ ∆ −∆=

∆ ∆

∆ ∂≡ ≡

∆ ∂

2 21 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 21 2

( , ) 3 4

y f x x x x x x

y yf x x f x xx x

= = + +

∂ ∂≡ ≡ + ≡ ≡ +

∂ ∂

ÖÖrnek 3:rnek 3:

( ) ( )

1 2 1 1 2

1 1 2 1 1 21

( , ) 4 3 2

3 2 3 4 6 2 12

y f x x x x x

y f x x x x xx

y f xx

= = + +

∂≡ ≡ + + + = + +

∂≡ ≡ +

5151ŞŞekil 3.9. ekil 3.9. ÇÇok Seok Seççim Deim Değğiişşkenli kenli

FonksiyonlarFonksiyonlarıın Analizi (n Analizi (ÖÖrnek 2)rnek 2)

2 21 2 1 1 2 2( , ) 3 4y f x x x x x x= = + +

Piyasa ModeliPiyasa Modeli

Q a bP a b

Q c dP c d

a c ad bcP Qb d b d

Pa b d

∗ ∗

= − >

= − + >

+ −= =

∂= >

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

a cPb d

b d a c a cPb b d b d

Pc b d

b d a c a cPd b d b d

+ − + − +∂= = <

∂ + +

∂== >

+ − + − +∂= = <

∂ + +

5454ŞŞekil 3.10. Talep Eekil 3.10. Talep Eğğrisindeki Hareketlerrisindeki Hareketler

Q∗1Q

P∗1P

••

P∗1P

∗∂<

∗∂>

Q∗1Q

5555ŞŞekil 3.11. Arz Eekil 3.11. Arz Eğğrisindeki Hareketlerrisindeki Hareketler

Q∗1Q

1P• •E∗

Q∗1Q

••1E

∗∂<

∗∂>

5656LeontiefLeontief GirdiGirdi--ÇÇııktktıı Modeline Dinamik BakModeline Dinamik Bakışış

11 12 1 11

21 22 2 22

11 1 12 2 11

21 1 22 2 22

... ... ... ... ......

..........

n n nn nn

b b b dx

b d b d b dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+ + +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 2 2

................................

.....n n nn nb d b d b d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

1 1 111 12 13

2 2 221 22 23

3 3 331 32 33

, , 1, 2, 3jjk

xb j k

x x xb b b

∗ ∗ ∗

∂= =

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

11 12 1

21 22 2

... ... ... ...

n n nn

b b bx Bd

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥= =

∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5959Jacobian DeterminantJacobian Determinant

Bir denklem sisteminin içsel değişkenlere göre birinci sıra kısmi

türevlerinin oluşturduğu sistemin determinantı, Jacobian

determinanttır. Jacobian determinantı elde edebilmek için,

aşağıdaki gibi çok seçim değişkenli bir modeli dikkate alalım.

11 1 2

22 1 2

, , .....,

...................................

, , .....,

y f x x x

( )( )

1 21 2

..., , .....,, , .....,

... ... ... ...

y y yx x x

y y yy y y x x xJx x x

y y yx x x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂≡ ≡∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

11 1 2 1 2

2 2 22 1 2 1 1 2 2

2 21 2 1 2

, 4 12 9

8 12 12 18

y f x x x x

y f x x x x x x

y yx x

y yx x x x

= = + +

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= + = +

∂ ∂

( ) ( )

1 2 1 2

8 12 12 18

24 36 24 36 0

Jx x x x

J x x x x

= =+ +

= + − + =

DiferansiyelDiferansiyel

( )0 0

lim lim

y yy x y xx x

dydy dx dy f x dxdx

∆ → ∆ →

⎡ ⎤∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ∆ → ∆ = ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ′= → =⎜ ⎟⎝ ⎠

2( ) 3 7 5

( ) 6 7

y f x x x

dy f x xdx

dydy dx dy x dxdx

= = + −

′= = +

⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟⎝ ⎠

6565ÖÖrnek 6: Nokta Esneklirnek 6: Nokta Esnekliğğii

1lim limP P

QQ Q PQ f P

dQ dQQQ dP dPP

Q Q Q QPP P P P

∆ → ∆ →

∆∆ ∆= → ε = =∆

∆⎛ ⎞⎜ ⎟ ∆⎛ ⎞∆ = = → ε =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6666ŞŞekil 3.12. Talep ve Arz Nokta Esneklikleriekil 3.12. Talep ve Arz Nokta Esneklikleri

mθ0θ

0θ mθ

6767Toplam DiferansiyelToplam Diferansiyel

1 21 2

( , , ....., )

y f x x x

y y ydy dx dx dxx x x

∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂

ÖÖrnek 7: Tasarruf Fonksiyonurnek 7: Tasarruf Fonksiyonu

S S Y i

S SdS dY di S dY S diY i

∂ ∂= + = +∂ ∂

ÖÖrnek 8: Fayda Fonksiyonurnek 8: Fayda Fonksiyonu6868

( ) ( )

1 21 2

1 1 2 21

21 2 1 1 2 2

2 1 2 1 2

( , , ....., )

2 9 2 9

n n i ii

U U x x x

U U UdU dx dx dxx x x

dU U dx U dx U dx U dx

U U x x x x x x

dU x dx x x dx

∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂

= + + + =

= = + +

= + + +

ÖÖrnek 9:rnek 9:

( ) ( )

2 11 22 2

1 2 1 2

y y x xx x

x xdy dx dx

x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 21 2 1 1 2 2, 2 9U U x x x x x x= = + +

Yukarıdaki fayda fonksiyonunda x1 3 ’ten 3.001’e ve x2 5 ’ten

5.003’e değiştiğinde, ∆U ’nun bir yaklaştırımı olarak dU ’yu

bulalım.

3 , 5 166

3.001 , 5.003 166.158

166 166.158 0.158

= = → =

∆ = − =

Bir malın arz fonksiyonu şöyledir:

2 1 2 , ( 0 , 0)Q a bP R a b= + + < >

P, ürünün fiyatı; R, yağış miktarıdır. Arzın fiyata ve yağışa göre

esnekliklerini belirleyelim ve bu esnekliklerin monotonik olup

olmadığını inceleyelim.

( )121

2 2 1 2

Q P P bPbPP Q Q a bP R

RQ R RRR Q Q a bP R

∂ε = = = >

∂ + +

∂ε = = = >

∂ + +

( )( )

2 1 2 22 1 2

bP a RbPPa bP R a bP R

a bPRRa bP R R a bP R

+∂εε = → =

∂+ + + +

+∂εε = → =

∂+ + + +

7373ŞŞekil 3.13. Fiyatekil 3.13. Fiyat--Arz EsnekliArz Esnekliğğii

10 , 0.5

a bP R

ε =+ +

= − =

7474ŞŞekil 3.14. Yaekil 3.14. Yağışğış--Arz EsnekliArz Esnekliğğii

-0.5-0.25

22 1 2

10 , 0.5

Ra bP R

ε =+ +

= − =

7575Diferansiyel KurallarDiferansiyel Kurallarıı

1.1. 0dk =

2.2. ( ) 1n nd cu cnu du−=

3.3. ( )d u v du dv± = ±

4.4. ( )d uv vdu udv= +

5.5. 2

u vdu udvdv v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 21 1 2

21 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 1 1 2

2 21 1 2 1 1 2

21 2 1 1 2 2

y x x x

y ydy dx dx x x dx x x dxx x

dy d x x x d x d x x

x dx x d x x d x

x x dx x x dx

∂ ∂= + = + +∂ ∂

= + = +

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 21 2 1 23 2

1 2 1 1

2 21 1 2 1 2 11 2

2 221 1

21 1 2 1 2 1 1 1 2

1 22 3 221 11

2 12 2

2 4 2 12 22

x xy ydy dx dx dx dxx x x x

x d x x x x d xx xdy d

x dx dx x x x dx x xdx dx

⎛ ⎞− + ⎛ ⎞∂ ∂= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ + +⎛ ⎞+= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + + ⎛ ⎞− + ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

7878Toplam TToplam Tüürevrev

( ) ( ), ,

y f x w x g w

dy y dx y dy dxf fdw x dw w dw dw

∂ ∂= + → = +∂ ∂

y x wf g

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2, 3 , 2 4

3 , 2 , 4 1

3 4 1 2 10 3

y f x w x w x g w w w

dy y dx ydw x dw w

y y dxw wx w dw

dy w w wdw

= = − = = + +

∂ ∂= +∂ ∂

∂ ∂= = − = +

∂ ∂

= + + − = +

8080Toplam TToplam Tüürev (Daha rev (Daha ÇÇok Deok Değğiişşken)ken)

( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 21 2

, , , , ( )

y f x x w x g w x h w

dx dx dx dxdy y y y dy f f fdw x dw x dw w dw dw dw

∂ ∂ ∂= + + → = + +∂ ∂ ∂

y1x wf g

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2, 25 2

0.3 , 0.2

25 2 , 25 4 , 0.3 , 0.2

25 2 0.3 25 4 0.2 2.66

Q Q K L KL K L

K g t t L h t t

dQ Q dK Q dLdt K dt L dt

Q Q dK dLL K L LK L dt dt

dQ dQL K L L tdt dt

= = − −

= = = =

∂ ∂= +∂ ∂

∂ ∂= − = − = =

∂ ∂

= − + − → =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

W W x y u ax bxy cu

x x u v u v y y u u

W x W y Wu x u y u u

ax by bx cu

= = + +

= = α + β = = γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂= + α + γ +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 0 0 2

W W x y u ax bxy cu

x x u v u v y y u u

W x W y Wv x v y v v

ax by bx ax byv

= = + +

= = α + β = = γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂= + β + + = β +

8484ÖÖrtrtüük Fonksiyonlark Fonksiyonlar

y f x x

Açık Fonksiyon

Örtük Fonksiyon

( ) 2 2

F y x x y

y f x x

= + − =

= = −∓

Örtük Fonksiyon

Açık Fonksiyon

( ) 2 2, 9 0F y x x y= + − =Çember Denklemi:

2( ) 9y f x x= = −

2( ) 9y f x x= = − −

1 2( , , , ....., ) 0

( ) , 1, 2, .....,

F y x x x

dy y f x i ndx

→ = =tanımlı ise

1 21 2

1 11 1

..... 0

0 , ..... 0

F F F Fdy dx dx dxy x x x

dx dx dx dx

F F F Fdy dx dy dxy x y x

F xdy Fdx F y y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

≠ = = = =

∂ ∂ ∂ ∂+ = → = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − → ≠

∂ ∂ ∂

Yukarıda tanımladığımız gibi, bir örtük fonksiyonda yer alan

değişkenler arasında açık fonksiyonel ilişkilerin tanımlı

olabilmesi için, şu iki kuralın sağlanması gerekir. Bu kurallar,

örtük fonksiyon kuralı olarak ifade edilmektedir:

1. F fonksiyonunun tüm kısmi türevleri sürekli olmalıdır.

2. Fy , ( y0 , x10 , x20 ,…, xn0 ) noktasında sıfır olmamalıdır.

Yukarıda verdiğimiz örtük fonksiyon kuralını, daha önce

gösterdiğimiz çember denklemine uygulayarak, bu örtük

fonksiyondan tanımlanabilecek açık fonksiyon olup olmadığını

inceleyelim. İlk olarak tüm kısmi türevlerin sürekli olduklarını

görelim.

( ) 2 2, 9 0

lim 2 , lim 2

y xy N x N

F y x x y

F FF y F xy x

F N F N± ±→ →

= + − =

∂ ∂≡ = ≡ =∂ ∂

9090İkinci olarak, Fy ’nin sıfır olup olmadığına bakacağız.

0 9 0 3

yy F y

= ⇒ = =

= ⇒ − = → = ±

Fy y=0 noktasında sıfır değerini aldığından, dy/dx tanımsızdır.

Yani (3,0) ve (-3,0) noktalarında y=f(x) fonksiyonu tanımlı

değildir. Bu iki noktanın dışında örtük fonksiyon kuralı tümüyle

sağlandığından, çember denkleminden iki farklı fonksiyon

tanımlanmaktadır.

( ) ( ) ( )

1 12 2

9 9 2 , 0

dy d xx x x ydx dx y

= − = −

−⎡ ⎤≡ − = − − = ≠⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − = − −

⎡ ⎤≡ − − = − = ≠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

, , 3 0

1,1,1 , , 3 0

1,1,1 3 4 0

F y x w y x w yxw

Fy y x ywx F y x xw

F y x w y x w yxw

F y x xw

= + + − =

∂ += − =

→ = + + − =

→ = + = ≠

Buna göre, (1,1,1) noktasında y=f(x,w) fonksiyonu tanımlanabilir.

ÖÖrtrtüük Fonksiyonlar: Ek Fonksiyonlar: Eşşanlanlıı Denklemlere GenelleDenklemlere Genelleşştirmetirme

11 2 1 2

21 2 1 2

1 2 1 2

( , , ....., ; , , ....., ) 0

........................................................

( , , ....., ; , , ....., ) 0

F y y y x x x

11 1 2

22 1 2

, , .....,

....................................

, , .....,

y f x x x

( )( )

, , .....,, , .....,

F F FJ

y y y∂

≡∂

( )( )

2 2 21 2

..., , .....,0

, , .....,... ... ... ...

F F Fy y y

F F FF F F y y yJy y y

F F Fy y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂≡ ≡ ≠∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

11 2 1 2

21 2 1 2

1 2 1 2

( , , ....., ; , , ....., ) 0

........................................................

( , , ....., ; , , ....., ) 0

F y y y x x x

Bu denklem sisteminin toplam diferansiyelini bulalım.

1 1 1 1

1 11 1

2 2 2 2

1 11 1

..... ..... 0

........................................................................................

n nn n

F F F Fdy dy dx dxy y x x

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ 1 1

..... ..... 0n n n

n nn n

F F Fdy dy dx dxy x x

∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂

1 1 1 1

1 11 1

2 2 2 2

1 11 1

..... .....

....................................................................................

n nn n

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1 11 1

..... .....n n n n

n nn n

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

olduğunu varsayalım. Yani x1 dışındaki x değişkenlerini sabit

kabul edelim.

1 2 30 , ..... 0ndx dx dx dx≠ = = = =

1 11 1

...........................................................

F F Fdy dy dxy y x

∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂

100100

1 1 1 11 2

1 1 2 1 1 1

2 2 2 21 2

1 1 2 1 1 1

........................................................................

dydy dyF F F Fy dx y dx y dx x

dy dyF Fy dx y dx

∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+

∂ ∂ 1 1 1

.....n n

dyF Fy dx x

∂ ∂+ + = −

∂ ∂

101101

1 1 1 11

1 2 11

2 2 2 22

11 2 1

1 11 2

... ...... ... ... ...

nn n nn

F F F Fdyy y y xdx

dyF F F Fdxy y y x

dy FF F Fdx xy y y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

102102

, 1, 2, ....., 0

................

Jdydx J

JdyJdydx J j n J

Jdydx J

⎫⎫= ⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= ⎪⎪ ⎪= = ≠⎬ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎪⎭ ⎭

Ulusal Gelir ModeliUlusal Gelir Modeli103103

( ) ( )

0 , , ; , , , , , 0

Y C I G

C Y T F Y C T I G

dG dI d d d d

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎫− − − =⎪⎪⎪− α −β − = α β γ δ =⎬⎪⎪

− γ − δ = ⎪⎭

≠ = α = β = δ = γ =

104104

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

F F F FdY dC dT dGY C T G

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

105105

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

F F F FdY dC dT dGY C T G

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂

106106

1 1 1 1

0 0 0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

3 3 3 3

0 0 0 0

F dY F dC F dT FY dG C dG T dG G

∗ ∗ ∗

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂

107107

11 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

dY FF F FdG GY C T

F F F dC FY C T dG G

F F F dT FY C T dG G

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

108108

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 , 1 , 0 , 1

, 1 , , 0

, 0 , 1 , 0

F F F FY C T G

∗ ∗ ∗ ∗

∂ ∂ ∂ ∂= = − = = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= −β = = β =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= −δ = = =

∂ ∂ ∂ ∂

109109

1 1 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−β β =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦J

110110

0 0 1 1 01 1 0 1 1

JdYdG J

= = = >− −β − δ

−β β

111111

( )( )

1 1 0 1 1

JdCdG J

−β β

β − δ−δ= = = >

− −β − δ

−β β

112112Piyasa ModeliPiyasa Modeli

( ) ( )

1 * * * *0 0

2 * * * *0

, , 0 , 0

, ; , 0

D DQ D P YP Y

SQ S PP

F P Q Y D P Y Q

F P Q Y S P Q

∂ ∂= < >

∂ ∂

∂= >

= − =

113113

D Fonksiyonu

S Fonksiyonu

114114ŞŞekil 3.15. Gelirdeki Deekil 3.15. Gelirdeki Değğiişşimin Piyasa imin Piyasa

Dengesine EtkisiDengesine Etkisi

••*P

*Q **Q

1151151 1 1

* *0* *

2 2 2* *

1 * 1 * 1

* *0 0 0

2 * 2 * 2

* *0 0 0

F F FdQ dP dYQ P Y

F dQ F dP FQ dY P dY Y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = −

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = −

∂ ∂ ∂

116116

* 11 1

* *0 0

2 2 * 2

* *0 0

dQ FF FdY YQ P

F F dP FQ P dY Y

dQDD dYYP

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥⎡ ⎤ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

117117

** *1 0

D DY P

D SSJ Y PdQ P

S DDdY JP PP

∂ ∂−∂ ∂

∂ ∂∂∂ ∂∂= = = >∂ ∂∂ −−∂ ∂∂

∂−

118118

J YdPS DDdY JP PP

∂− −

∂ ∂− ∂

= = = >∂ ∂∂ −−∂ ∂∂

∂−

119119Ulusal Gelir ModeliUlusal Gelir Modeli

, , 0 1 , 0

, 0 1 ,

, , 0 , 0

dII I i Idi

S SS S Y i S SY i

dMM M Y M X XdY

L LM L Y i L LY i

′= ≡ <

∂ ∂= < ≡ < ≡ >

∂ ∂

′= < ≡ < =

∂ ∂= ≡ > ≡ <

∂ ∂

120120

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

* * * *0

1 * * * * * *0 0 0

2 * * * *0 0 0

, ; , , 0

I i X S Y i M Y

L Y i M

F Y i X M I i X S Y i M Y

F Y i X M L Y i M

= + − − =

= − =

121121

* 11 1

* * 0 0

2 2 * 2

dY FF FdX XY i

F F di FY i dX X

dYdXS M I S

L L didX

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

122122

( ) ( )

i Y Y i

LdYS M I SdX

LdYdX L S M L I S

′− −

=′ ′− − −

−= >

′ ′− − − −

123123Basit Basit KeynesyenKeynesyen Modelde Denk BModelde Denk Büüttççe e ÇÇarpanarpanıı

( )* *0

* *0 0 0*

0 1 , ,

Y C Y I G Y Y T

dCC I I G GdY

dC dY dC dYdY dY dT dI dGdY dY dY dT

= + + = −

′< ≡ < = =

= + + +

124124

( ) ( )

* *0 0

dT dG dI

dY C dY C dG dG

C dY C dG

′ ′= − +

′ ′− = −

125125ISIS--LM Modelinde Denk BLM Modelinde Denk Büüttççe e ÇÇarpanarpanıı

( ) ( )

* * *0

0 1 , 0 ,

0 , 0 ,

Y C Y I r G Y Y T

dC dIC I G GdY dr

M L Y r

L LL L M MY r

= + + = −

′ ′< ≡ < ≡ < =

∂ ∂≡ > ≡ < =∂ ∂

126126

( ) ( )

* * *0 0

* * *0 0* *

* *0 * *

Y C Y T I r G

M L Y r

dC dY dC dY dIdY dY dT dr dGdY dY dY dT dr

L LdM dY drY r

= − + +

= + + +

∂ ∂= +∂ ∂

127127

* * *0 0

dY C dY C dT I dr dG

dM L dY L dr

dG dT dM

dY C dY C dG I dr dG

L dY L dr

′ ′ ′= − + +

128128

( ) ( )

* * *0 0

dY C dY C dG I dr dG

L dY L dr

C dY I dr C dG

L dY L dr

′ ′ ′= − + +

′ ′ ′− − = −

129129

( ) ( )

dY drC I CdG dG

dY drL LdG dG

dYdGC I C

L L drdG

′ ′ ′− − = −

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

130130

( )( )

( ) ( )

( )( )

1 10 1

C IL C LdY

dG C L L IC IL L

C CL C Ldr

dG C L L IC IL L

′ ′− −′−

= = >′ ′′ ′ − +− −

′ ′− −′− −

= = >′ ′′ ′ − +− −

131131ŞŞekil 3.16. ISekil 3.16. IS--LM Modelinde Denk BLM Modelinde Denk Büüttççe e ÇÇarpanarpanıı

••

1IS2IS

*Y **Y

**E* *

0 , 0dY drdG dG

132132

KapalKapalıı Bir Ekonomide Kamu Harcama Bir Ekonomide Kamu Harcama ÇÇarpanarpanıı ya da ADya da AD--AS AS

Modeli:Modeli:

* * * **, ,

0 1 , 0

WY C Y I Y r GP

C CC CY W P

I II IY r

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ∂< ≡ < ≡ >

∂ ∂

∂ ∂≡ > ≡ <∂ ∂

133133

M L Y rP

L LL LY r

dPP P g Y Y gdY

∂ ∂≡ > ≡ <∂ ∂

′= + − ≡ ≥

134134ŞŞekil 3.17. Toplam Arz Eekil 3.17. Toplam Arz Eğğrisirisi

( )2AS Klasik Durum

( )1AS

Keynesyen DurumSabit Fiyat

135135

* * * * *

1Y W Y r

W PY Y P Y rC C I IG G P G G G

M P P Y rL LP G G G

P P YG Y G

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂

136136

( ) ( )* 2 * 2

* * * * *

1Y W Y r

W P M PW MP P P P

Y Y W P Y rC C I IG G P G G G

M P Y rL LP G G G

P YgG G

∂ ∂− −= =

∂ ∂

∂ ∂ − ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

− ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂′=∂ ∂

137137

* * * * *

Y Y r W

Y Y Y r W PC I I CG G G G P G

Y r M PL LG G P G

Y r PgG G G

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂′− + + =∂ ∂ ∂

138138

( )* * *

Y Y r W

Y r W PC I I CG G P G

Y r M PL LG G P G

Y r PgG G G

∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂′− + + =∂ ∂ ∂

139139

Y Y r W

W YC I I CP G

M rL LP G

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂− − − ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ∂ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥

′−⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎣ ⎦

140140

Y Y r W

I C W P

JYG J C I I C W P

L L M P

∂= =

∂ − − −

′−

141141

I C W P

J L M P

142142

( )( )

Y Y r W

r r W r Y Y Y r

C I I C W P

J L L M P

M WJ g I L C L C I L IP P

− − −

′−

⎛ ⎞⎛ ⎞′= + + − − + <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

143143

( )( )

r r W r Y Y Y r

LYG M Wg I L C L C I L I

WL gPr

G M Wg I L C L C I L IP P

∂= >

∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞′− + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠= >∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

144144ŞŞekil 3.18. ADekil 3.18. AD--AS Modelinde Kamu AS Modelinde Kamu

HarcamalarHarcamalarıınnıın Etkisin Etkisi

1AD2AD

*Y **Y

145145Tekelci Piyasada SatTekelci Piyasada Satışış Vergisinin EtkileriVergisinin Etkileri

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 0 , 0

dPP Q P QdQ

dC d CC Q C Q C QdQ dQ

Q P Q Q C Q tQ

′ ≡ <

>′ ′′≡ > ≡ =<

π = − −

146146Birinci ve ikinci sıra koşulları oluşturalım:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Q QP Q P Q C Q t

Q P Q QP Q P Q C Q

′ ′ ′π = + − − =

′′ ′ ′′ ′ ′′π = + + − <

Tekelci firmanın Q* denge üretimi gerçekleştirdiğini

varsayarak, birinci sıra koşulu yeniden yazalım ve birinci sıra

koşulu, satış vergisindeki bir değişmeyi dikkate alacak şekilde

yeniden inceleyelim.

147147

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

* * * *

Q t P Q t P Q t C Q t t

dQ dQ dQ dQP Q QP Q P Q C Qdt dt dt dt

dQdt P Q QP Q P Q C Q

dP Q tdP dQP Qdt dt dt

′ ′+ − − =

′ ′′ ′ ′′+ + − − =

= <′ ′′ ′ ′′+ + −

>′= = <

148148ŞŞekil 3.19. Tekelci Piyasada Satekil 3.19. Tekelci Piyasada Satışış Vergisinin Vergisinin

EtkileriEtkileri

••

Yukarıdaki şekil, vergi öncesi ve sonrasında tekelci firma

dengesini göstermektedir. Aşağıdaki şekilde, marjinal maliyet

eğrisinin eğimindeki bir artışın karşısında, tekelci piyasadaki

miktar ve fiyat etkilerinin ne olacağını göstermektedir. Buna

göre, marjinal maliyet eğrisinin eğimi artarsa, vergi artışı

üretimin daha az düşmesine, fiyatın daha az artmasına neden

( ) ( ) ( ) ( )( )

t P Q QP Q P Q C Q

∂−

∂ ∂ ∂θ= − >∂ ∂θ ′ ′′ ′ ′′+ + −

149149

150150ŞŞekil 3.19. Tekelci Piyasada ekil 3.19. Tekelci Piyasada MC MC ’’ninnin EEğğimine imine

GGööre Satre Satışış Vergisinin EtkileriVergisinin Etkileri

1MC t+

2MC t+

karŞilaŞtirmali duraĞanlik ve tÜrev - idari.cu.edu.tr · İlk olarak değişim oranı ve türev...

Documents

mektebden en samimî çiftçi selâmları...dolusu...

tÜrev konu notlari değişim oranı Örnek: Çözüm:...

kafkas Ünİversİtesİ İİbf, yÖnetİm bİlİŞİm...

fİn ansal tÜrev varliklar ve bu varliklar Üzerİne …

tÜrev - video...

yapı kredi’de yurtdışı İşlemler ali murat bilsel –...

Ün‹te i...

Üretim girdilerinin fiyatlandırılması -...

bitcoin, blockchain ve türev uygulamalar - levent kurt

dünyanın en hızlı büyüyen türev piyasası borsa...

dayanağı elektrik enerjisi ve/veya kapasitesi olan türev

sinav konu baŞliklari sermaye pĠyasasi faalĠyetlerĠ...

hayvansal yan ÜrÜn ve bunlarin tÜrev …sevk raporu:...

fonksiyonun diferansiyeli-türev teoremleri : rolle...

say‹sal...

prekürsör ve türev lipidler son

tÜrev uygulamalari ÇaliŞma sorulari

bÖlÜm 3 sayisal tÜrev ve...

tÜrevkisi.deu.edu.tr/istem.koymen/tÜrev_doc(1).pdfyrd.doç.dr.İstem...

makina kabulü prosedürü - busiad.org.tr...