kalkulus bab iv differensiasi
Post on 10-Oct-2015
39 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
1/34
88
BAB IV
DIFFERENSIASI
4.1 Garis singgungGaris singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatukurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akantetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garissinggung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titiklainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita
perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yangterletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih
A
l
Gambar 4.1
Gambar 4.2
A
B
l
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
2/34
89
suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk
garis l1 yang mempunyai kemiringan :
m1=x-xf(x)-)x(f
11 ( 4.1 )
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titikA dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal
tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
xx
f(x)-)x(flimmlim
1
1
xx1
xx 11 -=
( 4.2 )
Persaman (4.2) adalah kemiringan garis l1jika x mendekati x1. Jika kitaperhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1jika x
mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat
ditulis :
mxx
f(x)-)x(flimmlim
1
1
xx1
xx 11
=-
=
l1
A l
B
x x1
h
x0
y
Gambar 4.3
Kemiringan garisl1= m1
Kemiringan garis l= m
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
3/34
90
Jadi :
xx
f(x)-)x(flimm
1
1
xx 1 -=
( 4.3 )
Karena x1x = h, makah
f(x)-)hx(flimm0h
+=
( 4.4 )
Jika dimisalkan h = Dx, makax
f(x)-)xx(flimm
0x D
D+=
D ( 4.5 )
Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis lpada titik (x, f(x))
Contoh 4.1Diketahui f(x) = 3x2+ 5Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2)Penyelesaian :
x
f(x)-)xx(flimm0x D
D+=
D
x
5x35x)3(xx6x3lim
x
53x-5)xx(3lim
222
0x
22
0x D
--+D+D+=
D
-+D+=
DD
x6x3x6lim0x
=D+=
D
Jadi m = 6x (*)Persamaan garis singgung : y = mx + n (**)Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka :persamaan (*) menjadi :m = 6apersamaan (**) menjadi : a2= 6a2+ n. Sehingga n = -5a2Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax 5a2
4.2 TurunanTurunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkanpengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memprosesmasukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f(x).
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggungkurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 makadefinisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :
xx
)x(f)x(flim)x('f
1
1
xx 1 -
-=
, jika nilai limitnya ada ( 4.6 )
Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan(differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Differensiasif(x) f(x)
Gambar 4.4
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
4/34
91
Contoh 4.2Jika f(x) = 2x2+ 5x 7, tentukan f(x), f(c) dan f(3)Penyelesaian :f(x) = 2x2+ 5x 7f(x+Dx) = 2(x+Dx)2+ 5(x+Dx) 7 = 2x2+ 4xDx +2(Dx)2+ 5x + 5Dx 7
f(x+Dx) f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 + 5Dx
5x45x2x4limx
x5)x(2xx4lim
x
)x(f)xx(flim)x('f
0x
2
0x0x+=+D+=
D
D+D+D=
D
-D+=
DDD
Jadi : 5x4)x('f +=
5c4)c('f +=
175)3(4)3('f =+=
4.3 Notasi turunanPada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang fyaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali olehmatematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 1716). Selain notasi tersebutmasih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadikita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, dimana x danz adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubunganantara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut :Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f(x).
4.4 Differensiabilitas dan kontinuitasJika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.Bukti :Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakandifferensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :
Jika :x
)x(f)xx(flim0x D
-D+
Dada, maka
x
)x(f)xx(flim)x('f0x D
-D+=
D
f(x+Dx)-f(x)= xx
)x(f)xx(fD
D
-D+
xlim.x
)x(f)xx(flim))x(f)xx(f(lim
0x0x0xD
D
-D+=-D+
DDD=f(x) . 0 = 0
Sehingga : )x(flim)xx(flim 0x0x DD =+D )x(f)x(flim0x =D (terbukti)
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatisf differensiable pada x.
4.5 Teorema-teorema4.5.1 Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
5/34
92
y = f(x) = c maka 0)x('fdx
dy== ( 4.7 )
Bukti :f(x) = c ; f(x+Dx) = c
x
)x(f)xx(flim)x('f
0xdx
dy
D
-D+==
D= 0
x
cclim
0x=
D
-
D(terbukti)
4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarangbilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :
y = f(x) = kxn maka 1nknx)x('f
dx
dy -== ( 4.8 )
Bukti :
f(x) = kxnf(x+Dx) = k(x+Dx)
n
Dengan mengunakan teorema binomial didapat :
k(x+Dx)n=
!n
x!kn
!)1n(
x!1)-k(n
!2
)x(x)1n(kn
!1
xknx
!0
kx n1-n22n1nn D+
-
D++
D-+
D+
--
L
1n
0xknx
x
)x(f)xx(flim)x('f
dx
dy -
D=
D
-D+== (terbukti)
Contoh 4.3
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7
Penyelesaian :
617 x35x)7)(5()x('fdx
dy===
-
4.5.3 Aturan penjumlahanJika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikansebagai :
y = h(x) = f(x) + g(x) maka )x('g)x('fdx
dy+= ( 4. 9 )
Bukti :h(x) = f(x) + g(x)h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx)
h(x) =x
)x(g)x(f)xx(g)xx(flim
x
)x(h)xx(hlim
0x0x D
--D++D+=
D
-D+
DD
= )x('g)x('fx
)xx(glim
x
)x(f)xx(flim
0x0x+=
D
D++
D
-D+
DD (terbukti)
Contoh 4.4
Diketahui y = 5x6+ 2x
-3
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
6/34
93
Tentukandx
dy
Penyelesaian :
f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3
f(x) = 30x5 g(x) = -6x
-4
=dx
dyf(x) + g(x) = 30x
56x
-4
4.5.4 Aturan perkalianJika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikansebagai :
y = h(x) = f(x).g(x) maka )x('g)x(f)x(g)x('f
dx
dy+= (4.10)
Bukti :
h(x) =x
)x(g).x(f)xx(g).xx(flim
0x D
-D+D+
D
=x
)x(g).x(f)x(g).xx(f)x(g).xx(f)xx(g).xx(flim
0x D
-D++D+-D+D+
D
=x
)x(g)xx(g)xx(flim
0x D
-D+D+
D+
x
)x(f)xx(f)x(glim
0x D
-D+
D
= f(x).g(x) + g(x).f(x) (terbukti)
Contoh 4.5Diketahui y = (3x
5+ 2x
-2)(7x+3)
Tentukandx
dy
Penyelesaian :
f(x) = 3x5+ 2x
-2 g(x) = 7x+3
f(x) = 15x44x
-3 g(x) = 7
dx
dy= f(x).g(x) + g(x).f(x) = (15x
4-4x
-3)(7x+3) + (3x5+ 2x-2)(7)
= 105x5-28x
-2+45x412x-3+21x
5+ 14x
-2
= 126x5+ 45x
4- 14x
-212x
-3
4.5.5 Aturan pembagianJika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikansebagai :
y = h(x) =)x(g
)x(f maka
[ ]2)x(g
)x('g)x(f)x(g)x('f
dx
dy -= (4.11)
Bukti :
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
7/34
94
h(x) =)x(g
)x(f ; h(x+Dx) =
)xx(g
)xx(f
D+
D+
h(x) =x
)x(g
)x(f
)xx(g
)xx(f
limx
)x(h)xx(hlim
0x0x D
-D+
D+
=D
-D+
DD
=)x(g).xx(g.x
)x(f).xx(g)xx(f).x(glim
0x D+D
D+-D+
D
=)x(g).xx(g.x
)x(g).x(f)x(f).xx(g)x(g).x(f)xx(f).x(glim0x D+D
+D+--D+
D
=)x(g).xx(g.x
)x(f)xx(f)x(glim
0x D+D
-D+
D-
)x(g).xx(g.x
)x(g)xx(g)x(flim
0x D+D
-D+
D
=
D+
D
-D+
D )x(g).xx(g
x
)x(f)xx(f
)x(glim
0x
-
D+
D
-D+
D )x(g).xx(g
x
)x(g)xx(g
)x(flim
0x
=[ ]2)x(g
)x(f).x('g)x('f).x(g -(terbukti)
Contoh 4.6
Tentukan h(x) jika h(x) =3
24
x4
x3x2 -
Penyelesaian :f(x) = 2x43x2 f(x) = 8x36x
g(x) = 4x3 g(x) = 12x2
h(x) =23
22433
2 )x4(
)x12)(x3x2()x4)(x6x8(
)]x(g[
)x('g).x(f)x(g).x('f ---=
-
=6
46
6
4646
16
128
16
36242432
x
xx
x
xxxx +=
+--=
2
2
4
32
x
x +
4.5.6 Turunan fungsi komposisi
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dx
du
du
dy
dx
dy= (4.12)
Bukti :Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyaibentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x).
u = g(x)Du= g(x+Dx) g(x) g(x+Dx) = g(x) + Du = u + DuJadi Du 0 maka Dx 0
y = f(g(x))Dy = f(g(x+Dx)) f(g(x))
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
8/34
95
x
))x(g(f))xx(g(f
x
y
D
-D+=
D
D
u
u
x
))x(g(f))xx(g(f
D
D
D
-D+=
=D
D
x
y
x
u
u
)u(f)uu(f
D
D
D
-D+ =
D
D
D x
ylim
0x dx
dy
x
u
u
)u(f)uu(flim
0x=
D
D
D
-D+
D
dx
du
du
dy
x
ulim.
u
)u(f)uu(flim
dx
dy
0x0x=
D
D
D
-D+=
DD(terbukti)
Persamaan 4.12 disebut aturan rantaiContoh 4.7
Tentukandx
dyjika y = (4x3+ 5x2x + 4)
3
Penyelesaian :
Misal u = 4x3
+ 5x2
x + 4 y = u3
1x10x12dx
du 2-+= 2u3
du
dy=
)1x10x12(u3dx
du
du
dy
dx
dy 22-+==
2232 )4xx5x4)(1x10x12(3 +-+-+=
Soal-soalTentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. f(t) = at2
bt + 7 6. f(x) =
+
x
1
5
x43x-x4
5
2. f(x) = 3x-5
+3 2x5 7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at7)5
3. g(x) =
+2
x
x
2 8. h(w) =
cw
2awb
+
-
4. h(x) =2
x
1
5
x4
+ 9. v(t) =
3)dct(
2)bt2at(
-
-
5. w(x) =3
32x-x4
7
+ 10. g(t) =
3-t
)3(2tt
2+
4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri
Jika y = f(x) = sin x maka xcos)x('fdx
dy== (4.13)
Bukti :
x
xsin)xxsin(lim
x
)x(f)xx(flim)x('f
dx
dy
0x0x D
-D+=
D
-D+==
DD
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
9/34
96
x
xsinxsinxcosxcosxsinlim
0x D
-D+D=
D
x
xsinxcos)1x(cosxsinlim
0x D
D+-D=
D
D
D+
D
-D
D=
x
xsinxcos
x
)1x(cosxsin
0xlim
x
xsinlimxcos
x
1xcoslimxsin
0x0x D
D+
D
-D=
DD
= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cosx (terbukti)
Jika y = sin u dan u = f(x) makadx
duucos
dx
dy= (4.14)
Bukti :
y = sin u ucosdu
dy=
u = f(x) )x('fdx
du=
dx
duucos
dx
du
du
dy
dx
dy== (terbukti)
Jika y = f(x) = cos x maka xsin)x('fdx
dy-== (4.15)
Bukti :
x
xcos)xxcos(
0xlimx
)x(f)xx(f
0xlim)x('fdx
dy
D
-D+
D=
D
-D+
D==
x
xcosxsinxsinxcosxcos
0xlim
D
-D-D
D=
x
xsinxsin)1x(cosxcos
0xlim
D
D--D
D=
D
D-
D
-D
D=
x
xsinxsin
x
)1x(cosxcos
0xlim
x
xsin
0xlimxsin
x
1xcos
0xlimxcos
D
D
D-
D
-D
D=
= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)
Jika y = cos u dan u = f(x) makadx
duusin
dx
dy-= (4.16)
Bukti :
y = cos u usindu
dy-=
u = f(x) )x('fdx
du=
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
10/34
97
dx
duusin
dx
du
du
dy
dx
dy-== (terbukti)
Contoh 4.8
Jika y = sin(p-2x), tentukandx
dy
Penyelesaian :Misal u = p- 2x y = sin u
2dx
du-= ucos
du
dy=
)x2cos(2)2)(u(cosdx
du
du
dy
dx
dy-p-=-==
Contoh 4.9
Jika y =2xcos tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u =2
x y = cos u
2/1dx
du= usin
du
dy-=
2
xsin
2
1-)
2
1)(usin(
dx
du
du
dy
dx
dy=-==
Contoh 4.10
Jika y = sin2x cos3x, tentukandxdy
Penyelesaian :Misal u = sin 2x v = cos 3x
x2cos2dx
du= 3xsin3
dx
dv-=
)x3sin3)(x2(sin)x3)(cosx2cos2(dx
dvuv.
dx
du
dx
dy-+=+=
x3sin.x2sin3x3cos.x2cos2 -=
Contoh 4.11
Jika y =x4cosx3sin , tentukan
dxdy
Penyelesaian :Misal u = sin 3x v = cos 4x
x3cos3dx
du= 4xsin4
dx
dv-=
2)x4(cos
)x4sin4)(x3(sin)x4)(cosx3cos3(
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy --=
-
=
x4cos
x4sin.x3sin4x4cos.x3cos3
2
+=
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
11/34
98
Jika y = f(x) = tan x maka xsec)x('fdx
dy 2== (4.16)
Bukti :
y = tan x =xcos
xsin
u = sin x v = cos x
xcosdx
du= xsin
dx
dv-=
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy -
= =2)x(cos
)xsin)(x(sin)x)(cosx(cos --=
xcos
xsinxcos
2
22+
= xsec
xcos
1 22
= (terbukti)
Jika y = tan u makadx
duu)(sec
dx
dy 2= (4.17)
Bukti :
y = tan u usecdu
dy 2=
u = f(x) )x('fdx
du=
dx
du)u(sec
dx
du
du
dy
dx
dy 2== (terbukti)
Contoh 4.12
Jika y = 5 tan 3x, tentukandx
dy
Penyelesaian :Misal u = 3x y = 5 tan u
3dx
du= usec5
du
dy 2=
x3sec15usec15)3)(usec5(dx
du
du
dy
dx
dy 222====
Jika y = f(x) = cot x maka xcsc)x('fdx
dy 2-== (4.18)
Bukti :
y = cot x =xsin
xcos
u = cos x v = sin x
xsindx
du-= xcos
dx
dv=
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
12/34
99
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy -
= =2)x(sin
)x)(cosx(cos)x)(sinxsin( --=
xsin
)xcosx(sin
2
22+-
= xcscxsin
1 22
-=- (terbukti)
Jika y = cot u makadx
duu)csc(
dx
dy 2-= (4.19)
Bukti :
y = cot u ucscdu
dy 2-=
u = f(x) )x('fdx
du=
dx
du)ucsc(
dx
du
du
dy
dx
dy 2-== (terbukti)
Contoh 4.13
Jika y = x3
1cot2
1, tentukan
dx
dy
Penyelesaian :
Misal u = x3
1 y = ucot
2
1
31
dxdu = ucsc
21
dudy 2-=
x3
1csc6
1ucsc
6
1)3
1)(ucsc
2
1(
dx
du
du
dy
dx
dy 222-=-=-==
Jika y = f(x) = sec x maka tanxxsec)x('fdx
dy== (4.20)
Bukti :
y = sec x =xcos
1
u = 1 v = cos x
0dx
du= xsin
dx
dv-=
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy -
= =2)x(cos
)xsin)(1()x)(cos0( --
= tanxxsecx2cos
xsin= (terbukti)
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
13/34
100
Jika y = sec u makadx
dutanu)u(sec
dx
dy= (4.21)
Bukti :
y = sec u tanuusecdu
dy=
u = f(x) )x('fdx
du=
dx
duu)tanu(sec
dx
du
du
dy
dx
dy== (terbukti)
Jika y = f(x) = csc x maka cotxxcsc)x('fdx
dy-== (4.22)
Bukti :
y = csc x =xsin
1
u = 1 v = sin x
0dx
du= xcos
dx
dv=
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy -
= =2)x(sin
)x)(cos1()x)(sin0( -= cotxxcsc
x2sin
xcos-=
-(terbukti)
Jika y = csc u makadx
ducotu)ucsc(
dx
dy-= (4.23)
Bukti :
y = csc u cotuucscdu
dy-=
u = f(x) )x('fdx
du=
dx
duu)cotucsc(
dx
du
du
dy
dx
dy-== (terbukti)
Contoh 4.15
Jika y = )xcsc(3
1-p , tentukan
dx
dy
Penyelesaian :
Misal u = p-x y = ucsc3
1
1dx
du-= cotuucsc
3
1
du
dy-=
x)-cot()xcsc(3
1cotuucsc
3
1)1)(cotuucsc
3
1(
dx
du
du
dy
dx
dyp-p==--==
Soal-soalTentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! PR : 2, 5, 6 & 9
1. f(x) = )32
xsin(
p- 6. f(x) = )x
3(csc4 -p
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
14/34
101
2. f(x) = cos )3
x
2( -p
7. g(t) = tcost2sin2
1p
3. g(x) = tan3
x 8. h(w) = )bwcos(
)awsin(
-p
p-
4. h(x) = cot3x 9. v(t) =)tbcos(
t2sinat2
-
-
5. w(x) = )32
x(sec5
p- 10. g(t) =
t3sin
cos2ttsin
4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
Jika y = f(x) = arcsin x maka 2x1
1
)x('fdx
dy
-== (4.24)
Bukti :
y = arcsinx sin y = x 1dx
dx
dx
dyycos ==
ycos
1
dx
dy=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
sin y = x
cos y = 2x1 -
2x1
1
dx
dy
-
= (terbukti)
2x1 -
Jika y = arcsin u dan u = f(x) makadx
du
u1
1
dx
dy
2-
= (4.25)
Bukti :
y = arcsin u 2u1
1
du
dy
-
=
dx
du
u1
1
dx
du.
du
dy
dx
dy
2-
== (terbukti)
Contoh 4.16
Jika y = )x3
1arcsin(8
3- , tentukan
dx
dy
Penyelesaian :
Misal u = x3
1- y = uarcsin
8
3
1 x
y
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
15/34
102
3
1
dx
du-=
2u1
1
8
3
du
dy
-
=
22 x9
118
1
3
1
u1
1
8
3
dx
du
du
dy
dx
dy
-
-=
-
-==
Jika y = f(x) = arccos x maka2x1
1)x('f
dx
dy
-
-== (4.26)
Bukti :
y = arccosx cos y = x 1dx
dx
dx
dyysin ==-
ysin
1
dx
dy-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
cos y = x
sin y = 2x1 -
2x1
1
dx
dy
-
-= (terbukti) 2x1 -
x
Jika y = arccos u dan u = f(x) makadx
du
u1
1
dx
dy
2
-
-= (4.27)
Bukti :
y = arccos u 2u1
1
du
dy
-
-=
dx
du
u1
1
dx
du.
du
dy
dx
dy
2-
-== (terbukti)
Contoh 4.17
Jika y = 2xarccos3- , tentukandx
dy
Penyelesaian :
Misal u = 2x y = uarccos3- 2
dx
du=
2u1
13
du
dy
-
=
22 x41
6)2(
u1
13
dx
du
du
dy
dx
dy
-
=
-
==
1
y
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
16/34
103
Jika y = f(x) = arctan x maka2x1
1)x('f
dx
dy
+
== (4.28)
Bukti :
y = arctanx tan y = x sec2y 1dx
dx
dx
dy==
ysec
1
dx
dy2
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
tan y = x
sec2y = 2x1 -
2x1 + x
2x1
1
dx
dy
-
= (terbukti)
1
Jika y = arctan u dan u = f(x) makadx
du
u1
1
dx
dy2
+
= (4.29)
Bukti : y = arctan u 2u1
1
du
dy
+
=
dx
du
u1
1
dx
du.
du
dy
dx
dy2
+
== (terbukti)
Contoh 4.18
Jika y = x3
1
arctan5
3
, tentukan dx
dy
Penyelesaian :
Misal u = x3
1 y = uarctan
5
3
3
1
dx
du=
2u1
1
5
3
du
dy
+
=
)x9
11(5
1
3
1
u1
1
5
3
dx
du
du
dy
dx
dy
22
+
=
+
==
Jika y = f(x) = arccot x maka2x1
1)x('f
dx
dy
+
-== (4.30)
Bukti : y = arccotx cot y = x -csc2y 1dx
dx
dx
dy==
ycsc
1
dx
dy2
-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
cot y = x
csc2y = 2x1 +
2x1 + 1
y
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
17/34
104
2x1
1
dx
dy
+
-= (terbukti)
x
Jika y = arccot u dan u = f(x) makadx
du
u1
1
dx
dy2
+
-= (4.31)
Bukti : y = arccot u 2u1
1
du
dy
+
-=
dx
du
u1
1
dx
du.
du
dy
dx
dy2
+
-== (terbukti)
Contoh 4.19
Jika y = 2 arccot 3x, tentukandx
dy
Penyelesaian :Misal u = 3x y = 2 arccot u
3dx
du=
2u1
12
du
dy
+
-=
22 x91
6)3(
u1
12
dx
du
du
dy
dx
dy
+
-=
+
-==
Jika y = f(x) = arcsec x maka1xx
1)x('fdxdy
2-
== (4.32)
Bukti : y = arcsecx sec y = x secy tany 1dx
dx
dx
dy==
ytanysec
1
dx
dy-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
sec y = x
sec y tan y = 1xx 2 -
x 1x2 -
1xx
1
dx
dy
2 -
-= (terbukti)
1
Jika y = arcsec u dan u = f(x) makadx
du
1uu
1
dx
dy
2-
= (4.33)
Bukti : y = arcsec u 1uu
1
du
dy
2-
=
dx
du
1uu
1
dx
du.
du
dy
dx
dy
2-
== (terbukti)
y
y
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
18/34
105
Contoh 4.20
Jika y = arcsec )x2( -p , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x2
-p
y = arcsec u
1dx
du-=
1uu
1
du
dy
2-
=
1)x2()x
2(
1)1(
1uu
1
dx
du
du
dy
dx
dy
22--
p-
p
-=-
-
==
Jika y = f(x) = arccsc x maka1xx
1)x('f
dx
dy
2-
-== (4.34)
Bukti :
y = arccscx csc y = x -csc y cot y 1dx
dx
dx
dy==
ycotycsc
1
dx
dy-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
csc y = x
csc y cot y = 1xx 2 -
x 1
1xx
1
dx
dy
2-
-= (terbukti)
1x2 -
Jika y = arcsec u dan u = f(x) makadx
du
1uu
1
dx
dy
2-
-= (4.35)
Bukti : y = arccsc u 1uu
1
du
dy
2-
-=
dxdu
1uu1
dxdu.
dudy
dxdy
2-
-== (terbukti)
Contoh 4.21
Jika y = arccsc )2
x( p- , tentukan
dx
dy
Penyelesaian :
Misal u =2
x p- y = arccsc u
1dx
du=
1uu
1
du
dy
2-
-=
y
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
19/34
106
1)2
x()2
x(
1)1(
1uu
1
dx
du
du
dy
dx
dy
22-
p-
p-
-=
-
-==
Soal-soalCarilah turunan pertama dari soal-soal berikut !
1. y = arcsin(p-x) 3.xarccos
x2cosy =
2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x sin 3x
4.8 Turunan fungsi Eksponen
Jika y = f(x) = ex maka == )x('f
dx
dye
x (4.36)
Bukti :
exdidefinisikan sebagai
n
n
x1
nlim
+
Dengan menggunakan teorema binomial didapat :n
n
x1
+ = L
n
x
3!
1).2n)(1n(n
n
x
!2
1).1n(n
n
x
!1
1n1.n
n
x
!0
n1 33n22n10
+
--+
-+
-+
--
n
n
x1
+ = Lx
3!
)n/21)(n/11(x
!2
)n/11(x1 32 +
--+
-++
n
n
x1
nlim
+
=
+
--+
-++
Lx
3!
)n/21)(n/11(x
!2
)n/11(x1
nlim 32
ex= L
3
x
!2
xx1
32++++ (4.37)
Sehingga : e = LL ++++=++++!3
1
!2
111
3
1
!2
111
32 (4.38)
Jika y = f(x) = ex
Makax
)1e(elim
x
eelim
x
)x(f)xx(flim)x('f
dx
dy xx
0x
xxx
0x0x D
-=
D
-=
D
-D+==
D
D
D+
DD
Karena e
x
=L
3
x
!2
x
x1
32++++
, maka e
Dx
1 =L
3
x
!2
x
x
32+
D+
D+D
Sehinggax
)1e(elim
xx
0x D
-D
D= x
2x
0xe
3
x
!2
x1elim =
+
D+
D+
DL (terbukti)
Jika y = eu dan u = f(x) maka
dx
due
dx
dy u= (4.39)
Bukti : y = eu ue
du
dy=
u = f(x) )x('fdx
du=
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
20/34
107
dx
due
dx
du
du
dy
dx
dy u== (terbukti)
Contoh 4.22
Jika y = bxae2 -- , tentukandx
dy
Penyelesaian :Misal : u = a bx
dx
du= -b
bxabxa be)b)(e(dx
dy ---=-=
4.9 Turunan fungsi logaritma
Jika y = f(x) = ln x maka == )x('fdx
dy
x
1 (4.40)
Bukti :y = f(x) = ln x
x
x
x1ln
limx
xln)xxln(lim
x
)x(f)xx(flim)x('f
dx
dy
0x0x0x D
D+
=D
-D+=
D
-D+==
DDD
=
D+
D=
D x
x1ln
x
1lim0x
=
D+
D=
D x
x1ln
x
xlim
x
1
0x
x
x
0x x
x1lnlim
x
1 D
D
D+=
Berdasarkan teorema binomial maka :
L+
D
-
D
D+
D
D+=
D+
-D
-D
DD
!2
x
x11
x
x
x
x
!1
x
x1
x
x
!0
1
x
x1
22x
x1
x
x
x
x
x
x
Jadi :
+
D
-D
D
+
D
D
+=
D+
-
D
-
DD
D
D
DL
!2
xx11
xx
xx
!1
xx1
xx
!0
1lnlim
x
1
x
x1lnlim
x
1
22x
x1
x
x
xx
0x
xx
0x
+
D-
D-
+
D-
++=
D+
D
D
DL
!3
x
x21
x
x1
!2
x
x1
11lnlimx
1
x
x1lnlim
x
1
0x
x
x
0x
( )x
11
x
1eln
x
1
!3
1
!2
111ln
x
1===
++++= L (terbukti)
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
21/34
108
Jika y = ln u dan u = f(x) makadx
du
u
1
dx
dy= (4.41)
Bukti : y = ln uu
1
du
dy=
u = f(x) )x('fdx
du=
dx
du
u
1
dx
du
du
dy
dx
dy== (terbukti)
Contoh 4.23
Jika y = e2x
ln x3
1tentukan
dx
dy
Penyelesaian :Misal : u = e2x v = ln x31
x2e2dx
du=
x
1
dx
dv=
+=+=+=x
1x3
1ln2e
x
1ex
3
1lne2
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy x2x2x2
Jika y = f(x) =alog x maka == )x('f
dx
dy
x)a(ln
1 (4.42)
Bukti :
y =alog x a
y= x
y ln a = ln x y = xlnaln
1
x)a(ln
1
dx
dy= (terbukti)
Jika y =alog u dan u = f(x) maka
dx
du
u)a(ln
1
dx
dy= (4.43)
Bukti :
y =alog u
u)a(ln
1
du
dy=
dx
du.u)a(ln
1
dx
du.du
dy
dx
dy== (terbukti)
Contoh 4.24
Jika y = 7log(3-5x) tentukandx
dy
Penyelesaian :Misal : u = 3 5x 5dx
du-=
)x53)(7(ln
5
dx
du
u)a(ln
1
dx
dy
-
-==
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
22/34
109
Soal-soalTentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. y = xe3x
4. y =x4
2
e
x3lnx 7. y =
x4ln
ex
3
1
10. y =xlne
ex5lnxx
x-
2. y =x3e2
2x3-
5. y =x2
x
e
)ex4(lnx + 8. y =
x23
5
e
)x1log(3
-
-
3. y = x3 ln2x 6. y =x65
x3ln2
- 9. y =
x4log
ex3
bxa3 -
4.10 Turunan fungsi hiperbolik
Jika y = f(x) = sinhx maka == )x('fdx
dycoshx (4.44)
Bukti :
y = f(x) = sinhx = )ee(21 xx --
)x('fdx
dy= = )ee(
2
1 xx -+ = coshx (terbukti)
Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =dx
dycosh u
dx
du (4.45)
Bukti :
y = sinh u ucoshdu
dy=
dx
duucosh
dx
du.
du
dy
dx
dy== (terbukti)
Contoh 4.25
Jika y = 3 sinh x5
1, tentukan
dx
dy
Penyelesaian :
Misal : u = x5
1 y = 3 sinh u
5
1
dx
du= ucosh3
du
dy=
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
23/34
110
x3
1cosh5
3)5
1u)(cosh3(
dx
du
du
dy
dx
dy===
Jika y = f(x) = coshx maka == )x('fdx
dysinhx (4.46)
Bukti :
y = f(x) = coshx = )ee(2
1 xx -+
)x('fdx
dy= = )ee(
2
1 xx -- = sinhx (terbukti)
Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =dx
dysinh u
dx
du (4.47)
Bukti :
y = cosh u usinhdu
dy=
dx
duusinh
dx
du.
du
dy
dx
dy== (terbukti)
Contoh 4.26
Jika y = cosh (1-2x), tentukandx
dy
Penyelesaian :
Misal : u = 1-2x y = cosh u
2dx
du-= usinh=
d u
d y
)21sinh(2)u)(-2(sinh xd x
du
du
dy
d x
d y--===
Jika y = f(x) = tanhx maka == )x('fdx
dysech2x (4.48)
Bukti :
y = f(x) = tanhx = xcosh
xsinh
)x('fdx
dy= =
xcosh
xsinhxcosh
)x(cosh
)x)(sinhx(sinh)x)(coshx(cosh2
22
2
-=
-
= xhsecxcosh
1 22
= (terbukti)
Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =dx
dysech2u
dx
du (4.49)
Bukti :
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
24/34
111
y = tanh u uhsecdu
dy 2=
dx
duuhsec
dx
du.
du
dy
dx
dy 2== (terbukti)
Contoh 4.27
Jika y = tanh (a+bx), tentukandx
dy
Penyelesaian :Misal : u = a+bx y = tanh u
bdx
du= uhsec
du
dy 2=
)bxa(hsecb)u)(bh(secdx
du
du
dy
dx
dy 22+===
Jika y = f(x) = cothx maka == )x('fdx
dy-csch2x (4.50)
Bukti :
y = f(x) = cothx =xsinh
xcosh
)x('fdx
dy= =
xsinh
xcoshxsinh
)x(sinh
)x)(coshx(cosh)x)(sinhx(sinh2
22
2
-=
-
= xhcscxsinh
1 2
2 -=
-
(terbukti)
Jika y = coth u dan u = f(x) maka =dx
dy- csch2u
dx
du (4.51)
Bukti : y = tanh u uhcscdu
dy 2-=
dx
duuhcsc
dx
du.
du
dy
dx
dy 2-== (terbukti)
Contoh 4.28
Jika y = coth (a+bt), tentukandt
dy
Penyelesaian :Misal : u = a+bt y = coth u
bdt
du= uhcsc
du
dy 2-=
)bta(hcscb)u)(bhcsc(dt
du
du
dy
dt
dy 22+-=-==
Jika y = f(x) = sechx maka == )x('fdx
dy-csch2x (4.52)
Bukti : y = f(x) = sechx =xcosh
1
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
25/34
112
Misal u = 1 0dx
du=
V = coshx xsinhdx
dv=
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy -
= =2)x(cosh
)x)(sinh1()x)(cosh0( -=
xcosh
xsinh2
-
= - tanhx sechx (terbukti)
Jika y = sech u dan u = f(x) maka =dx
dy- tanhu sechu
dx
du (4.53)
Bukti : y = sech u uhsecutanhdu
dy-=
dx
du
usechutanhdx
du
.du
dy
dx
dy-== (terbukti)
Contoh 4.29
Jika y = 2sech )x5
1
3
1( - , tentukan
dt
dy
Penyelesaian :
Misal : u = x5
1
3
1- y = 2 sech u
5
1
dx
du-= sechuutanh
du
dy-=
)x5
1
3
1sech()x
5
1
3
1tanh(
5
2)
5
1sechu)(-utanh2(
dt
du
du
dy
dt
dy--=-==
y = f(x) = cschx maka == )x('fdx
dy-csch x cothx (4.54)
Bukti :
y = f(x) = sechx =xsinh
1
Misal u = 1 0dx
du=
V = sinhx xcoshdx
dv=
2v
dx
dv.uv.
dx
du
dx
dy -
= =2)x(sinh
)x)(cosh1()x)(sinh0( -=
xsinh
xcosh
2
-
= - cothx cschx (terbukti)
Jika y = csch u dan u = f(x) maka =dx
dy- cothu cschu
dx
du (4.55)
Bukti :
y = csch u uhcscucothdu
dy-=
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
26/34
113
dx
duucschucoth
dx
du.
du
dy
dx
dy-== (terbukti)
Contoh 4.30
Jika y = -3csch )x2
1
5
1( + , tentukan
dt
dy
Penyelesaian :
Misal : u = x2
1
5
1+ y = -3 csch u
2
1
dx
du= cschuucoth3
du
dy=
)x2
1
5
1sech()x
2
1
5
1coth(
2
3)
2
1cschu)(ucoth3(
dt
du
du
dy
dt
dy++===
Soal-soalTentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. y = sinh(2-3x) 6. y =)x21coth(
cbxax2
+
++
2. y = cosh(a2x b) 7. y =x2hsec
e ax-
3. y = x2sinh5x 8. y =)x54ln(
x3hsec
-
4. y = emxcosh2x 9. y = 1)-csch(xx5
1 3
5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = bx)-csch(aex
3
1
4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers
Jika y = f(x) = sinh-1x maka == )x('fdx
dy
1x
1
2+
(4.56)
Bukti : y = f(x) = sinh-1x = )1xxln( 2 ++
1x1
1xx1.
1xx1x
1xx1x
x1
dxdy
222
2
2
2
+
=
+++
++=
++
+
+
= (terbukti)
Jika y = sinh-1u dan u = f(x) maka =dx
dy
dx
du
1u
1
2+
(4.57)
Bukti : y = sinh-1u 1u
1
du
dy
2+
=
dx
du
1u
1
dx
du.
du
dy
dx
dy
2+
== (terbukti)
-
5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi
27/34
114
Contoh 4.31
Jika y = -3sinh-1 x2
1, tentukan
dt
dy
Penyelesaian :
Misal : u = x2
1 y = -3 sinh-1u
2
1
dx
du=
1
13
2+
-=
udu
dy
14
12
3)
2
1)(
1
13(
22
+
-=
+
-==
xud t
du
du
d y
d t
d y
Jika y = f(x) = cosh-1x maka == )x('fdx
dy
1x
1
2-
, x > 1 (4.58)
Bukti : y = f(x) = cosh-1x = )1xxln( 2 -+
1x
1
1xx
1.
1x
x1x
1xx
1x
x1
dx
dy
222
2
2
2
-
=
-+-
+-=
-+
-
+
= , x > 1 (terbukti)
Jika y = cosh-1u dan u = f(x) maka =dx
dy
dx
du
1u
1
2-
, u > 1 (4.59)
Bukti : y = cosh-1u 1u
1
du
dy
2-
=
dx
du
1u
1
dx
du.
du
dy
dx
dy
2-
== , u > 1 (terbukti)
Contoh 4.32
Jika y = cosh-1 x4
3, tentukan
dx
dy
Penyelesaian :
Misal : u = x4
3 y = cosh-1u
4
3
dx
du=
1u
1
du
dy
2-
=
1x16
94
3)4
3)(
1u
1(
dt
du
du
dy
dt
dy
22+
=
-
==
Jika y = f(x) = tanh-1x maka == )x('fdx
dy
2x1
1
-
, 1x < (4.60)
Bukti : y = f(x) = tanh-1x = 1x,x1
x1ln
2
1
top related