iss0010 2osa 2018a-lab.ee/edu/system/files/eduard.petlenkov/courses/iss... · 6)...

SüsteemiteooriaISS0010 2-1-1 E 5 EAP

Lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide analüüs. Laplace`i teisendus. Olekumudel,

invariandid

http://www.a-lab.ee/edu/ISS0010 Eduard Petlenkov

eduard.petlenkov@ttu.ee, TTÜ ICT-502A, tel. 6202104TTÜ Arvutisüsteemide instituut

Arukate süsteemide keskus

Kursuse koostamisel on kasutatud Ennu Rüsterni poolt ettevalmistatud loengumaterjale

Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (1)

Eesmärk:● käitumise uurimine, analüüs

Mudelid:● sisend-väljund mudelid● sisend-olek-väljund mudel = olekumudel

Meetod:● Laplace`i teisendus

Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (2)

Süsteem: → Analüüs (käitumine)● lineaarne● statsionaarne ↑● aeg - pidev↕

Mudel – diferentsiaalvõrrand: → Laplace`i teisendus● lineaarne [operaatorarvutus]● konstantsete kordajatega● harilik (ei sisalda osatuletisi)

Matemaatika → Süsteemiteooria● keel (teooria esitamiseks ja probleemide vaatlemiseks)● vahend (ülesannete, probleemide lahendamiseks)

Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (3)

Antud on SISO (ühemõõtmeline) süsteem:● süsteem on esitatud lineaarse konstantsete

kordajatega hariliku diferentsiaalvõrrandiga(st antud on süsteemi sisend-väljund mudel)

● algtingimused● süsteemi sisend u(t)

Analüüsi eesmärk:● süsteemi reaktsiooni (väljundi) y(t) arvutamine ja

uurimine

sisend väljundu(t) y(t)

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (4)

n-järku diferentsiaalvõrrandu(t) – antud

!!!!! "!!!!! #$% )0(,),0(),0(),0( 1

1

2

2

-

-

n

n

dtyd

dtyd

dtdyy

n-järku süsteem; n - algtingimust

ubdtudb

dtudb

yadtyda

dtyd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

01

1

1

01

1

1

+++=

=+++

-

-

-

-

-

-

!

!

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (5)Lineaarse konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi (lineaarsestatsionaarse pidevajasüsteemi sisend-väljund mudel) kasutame kaudset Laplace`i teisendusel põhinevat kaudset meetodit:

● Teisendame diferentsiaalvõrrandi [originaal] algebraliseks võrrandiks [kujutis] arvestades sealjuures algtingimusi;

● Arvutame lineaarse süsteemi reaktsiooni (väljundi) kujutisealgebralisest võrrandist;

● Tulemuste tõlgendamiseks (arusaadavaks muutmiseks) arvutame reaktsiooni kujutise alusel originaali (Laplace´ipöördteisendus);

● Kontrollime reaktsiooni piirväärtusi.

Laplace`i teisendus (1)Tähistame:

x(t)- originaal;L – Laplace teisendus;X(s)- kujutis st x(t) Laplace teisendus;

Laplace`i teisenduse olulised omadused:• L- teisendus on lineaarne;• diferentseerimisele originaalide ruumis vastab

muutujaga s korrutamine kujutiste ruumis;• integreerimisele originaalide ruumis vastab

muutujaga s jagamine kujutiste ruumis;• lineaarne konstantsete kordajatega diferentsiaal-

võrrand teisendub L-teisenduse rakendamisel algebraliseks võrrandiks.

Laplace teisendus (2)L

x(t) X(s)

originaal kujutis,teisendus

1-L

Olulised omadused:1) LINEAARSUS

)()()()(

22

11

sXtxsXtx

L

L

¾®¬

¾®¬ )()()()( 2121 sXsXtxtx baba +«+

[ ]

)(0,0)(

)()()(0

tingimustkuitxjs

dtetxtxLsX st

<=+=

== ò¥

-

wt

2) HILISTUMINE *

0,)()()()(

>¾®¬-

¾®¬- tt tsL

L

esXtx

sXtx

3) DIFERENTSEERIMINE *

)0()0()0()()(

)0()0()()(

)0()()()()(

1

121

22

2

+--+-+-¾®¬

----

+-+-¾®¬

+-¾®¬

¾®¬

-

---

n

nnnnL

n

n

L

L

L

dtxd

dtdxsxssXs

dttxd

dtdxsxsXs

dttxd

xssXdttdx

sXtx

!

4) INTEGREERIMINE

ò ¾®¬

¾®¬t

L

L

ssXdx

sXtx

0

)()(

)()(

tt

5) KONVOLUTSIOON *

)()()()()()(

)()()()(

2120

121

22

11

sXsXdttxxtxtx

sXtxsXtx

Lt

L

L

×¾®¬-=*

¾®¬

¾®¬

ò tt

6) PIIRVÄÄRTUSTEOREEMID *

)()( sXtx L¾®¬)(lim)(lim

0ssXtx

st ¥®®=

)(lim)(lim0

ssXtxst ®¥®

=

L-teisenduse tabelx(t) X(s)

1)(td0),( >- ttd t se t-

1(t) s1

te a-a+s1

tnet a-1)(

!++ ns

na

t0sinw20

20

ww+s

t0cosw 20

2 w+ss

te t0sinwa-

20

20

)( waw

++s

te t0coswa-

20

2)( waa++

+ss

Laplace´i teisenduse kasutamine süsteemide analüüsil

Ühemõõtmelised (SISO) süsteemid (antud differentsiaalvõrrand ja sisend u(t)):

● nullised algtingimused – ülekandekarakteristikud (süsteemifunktsioonid);

● mittenullised algtingimused.

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (1)

Analüüsitav süsteem on kirjeldatud n-järku diferentsiaal-võrrandiga kujul:

Nullised algtingimused, antud sisend u(t).

ubdtudb

dtudb

yadtyda

dtyd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

01

1

1

01

1

1

+++=

=+++

-

-

-

-

-

-

!

!

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (2)

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisel kasutame Laplace´i teisendust: originaal →kujutis.

)()()()(sYtysUtu

L

L

¾®¬

¾®¬

)0()0()0()()(

)0()0()()(

)0()()()()(

1

121

22

2

+--+-+-¾®¬

----

+-+-¾®¬

+-¾®¬

¾®¬

-

---

n

nnnnL

n

n

L

L

L

dtxd

dtdxsxssXs

dttxd

dtdxsxsXs

dttxd

xssXdttdx

sXtx

!

Diferentseerimine (Laplace`i teisenduse omadus)

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (3)

Algebraline võrrand ( diferentsiaalvõrrandi kujutis ehk Laplace`iteisendus)

)()()()(

01

1

01

1

sUbsbsbsYasas

mm

mm

nn

n

×+++=

=×+++-

-

--

!

!

)()(0

11

01

1 sUasasbsbsbsY n

nn

mm

mm

++++++

=-

-

--

!!

H(s) - ülekandefunktsioon

Y(s)=H(s)·U(s)

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (4) – ülekandekarakteristikud /

süsteemifunktsioonid

1) Ülekandefunktsioon - H(s)

)()()(

01

1

01

1

sAsB

asasbsbsbsH n

nn

mm

mm =

++++++

=-

-

--

!!

polünoomi B(s) juured - nullid

polünoomi A(s) juured – poolused (süsteemi poolused) !

2) Hüppekaja (süsteemi reaktsioon ühikhüppele 1(t))- g(t) 3) Impulsskaja (süsteemi reaktsioon ühikimpulsile δ(t))- h(t)

Iseloomustavad SISO süsteemi nullistel algtingimustel!

Näide No.1 Süsteemi hüppekaja arvutamineu(t) y(t) ?

H(s)

Antud on:

5210)()2

)(1)()1

2 ++=

=

sssH

ttu

Leida: y(t), y(0), y(∞)

Lahendus:

ssssY

stsUsHsY L

152

10)(

1)(1),()()(

2 ×++

=

¾®¬×=

Probleemiks on [ ])(1 sYL- arvutamine

)()(

)52(10)( 2 sA

sBsss

sY =++

=

Arvutame A(s) juured (poolused)

¬=++ 0522 ss ruutvõrrandi lahendamine

021511

3

2,1

=

±-=-±-=

pip

Poolused: { }0,21,21 ii --+-

L-pöördteisenduse leidmiseks tuleb Y(s) lahutada osamurdudeks.

Võimalikud variandid:

1.variant

2121)52(10 321

2 isk

isk

sk

sss +++

-++=

++

Õnnetuseks 32 ,kk - kompleksarvud; arvutamine väga keerukas !!

2.variant

52)52(10

2321

2 +++

+=++ ss

ksksk

sss

321, kkk - reaalarvud.

21,kkEsmalt leiame ja .3kskskssk )()52(10 32

21 ++++=

Võrdleme 20 ,, sss kordajaid (see on nn. määramata kordajate meetod)

10 510: ks = (vabaliikmete võrdlus)

21 =k

420: 331 -=®+= kkks20: 221

2 -=®+= kkks

)(2)1(422

52422

)52(10

2222 sYs

ssss

sssss

=++--

+=++--

+=++

NB! poolused

Näide No.1 - lahendamisel vajalikud Laplace`i teisendused:

1(t) ↔ s1

«- te t0sinwa

20

20

)( waw

++s

«- te t0coswa

20

2)( waa++

+ss

leidmiseks on otstarbekas Y(s) avaldist teisendada.1-L

! !

2)(022)0(

)(1)2sin2cos22()(

2)1(2

2)1()1(22)( 2222

=¥=-=

×--=

++-+

+++-+=

--

yy

ttetety

sss

ssY

tt

"#"$%"#"$%1-L

Kontroll (piirväärtusteoreemid)

2)(lim)(

0)52(

10lim)(lim)0(

0

2

==¥

=++

==

®

¥®¥®

ssYysss

sssYy

s

ss

Näide No.2 Süsteemi ülekandefunktsiooni leidmineu(t) y(t)

H(s) ?

Antud:

[ ] [ ])2(3)2(232 6633)()2)()()1

------ ---=

=tttt eeeety

ttu d

Leida: H(s) ? )()()(sUsYsH =

sLt

sLt

LtLt

L

es

e

es

e

se

se

sUt

2)2(3

2)2(2

32

366

266

333;

233

)(1)(

---

---

--

×+

¾®¾

×+

¾®¾

+¾®¾

+¾®¾

=¾®¾d

)3)(2(63

36

26

33

23

)()()(

222

++-=

++

+-

+-

+==

---

sse

se

se

sssUsYsH

sss

NB! Hilistumisega süsteem

Näide No.3 Süsteemi impulsskaja arvutamine u(t) y(t) ?

H(s)

Antud:

2)2)(1(3)()2

);()()1

+++=

=

ssssH

ttu d

Leida )(),0(),( ¥yyty

Y(s)=H(s)·U(s) 1)( ¾®¾Ltd

2321

2 )2(21)2)(1(3)(

++

++

+=

+++

=sk

sk

sk

ssssY

Leiame 321 ,, kkk)1()2)(1()2(3 32

21 ++++++=+ skssksks

Rakendame määramata kordajate meetodit veidi teisiti (arvutuste lihtsustamiseks)

Paneme sisse järgmised s väärtused:

224301)12(3222)21(311

2321

33

12

1

-=®++==-=®+-=+--==®+-=+--=

kkkkskkskks

ttt teeety

ssssY

22

2

22)(

)2(1

22

12)(

--- --=

+-

++-

++

=

1-L

vt. L-teisenduste tabel

0)(;0)0( =¥= yy

Kontroll:

0)(lim)(

0)2)(1(

3lim)(lim)0(

0

2

==¥

=++

+==

®

¥®¥®

ssYyss

ssssYy

s

ss

Osamurdudeks lahutamisel olulised variandid:1. poolused - reaalsed, lihtsad (2.näide);2. poolused - reaalsed, kordsed (3.näide);3. poolused - kompleksarvude paar (1.näide).

«- tnet a1)(

!++ ns

na

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (5) – osamurdudeks lahutamine

Laplace`i pöördteisenduse leidmisel põhiprobleemiks on osamurdudeks lahutamine.

Olgu nm

sAsBsH

¬¬

=)()()(

Kui lugeja ja nimetaja polünoomide järgud on võrdsed m=n (erijuhtum), siis esmalt tuleb lugeja polünoom jagada nimetaja polünoomiga

nn

sAsBbsH n ¬

-¬+=

1)()(')(

Järgnevalt lahutame )()('sAsB osamurdudeks.

Tavaliselt m<n

=++----

==+ )())(())((

)()()()( 2

121 basspspspspssB

sAsBsH k

rr!

!! +-

+-

+-

++-

=+

+

+

+2

1

2,1

1

1,1

1

1

)( r

r

r

r

r

r

psk

psk

psk

psk

bassksk

psk abab

kr

kr

+++

+-

++

+2

2,1,

1

,1

)(!

NB! Arvutuslikult väga oluline

rpp ,,1 ! - reaalarvulised, lihtsad poolused;1+rp - reaalarvuline, k-kordne poolus;

bass ++2 - vastab komplekspooluste paarile.

Ülekandefunktsioonide ühest rakendusest –süsteemide kompositsioon (1)

U1(s) Y1(s)s1 s2

H1(s)

U2(s) Y2(s)

H2(s)U1(s) Y2(s)

H(s)U(s) Y(s)

)()()( 111 sUsHsY ×=

)()()( 222 sUsHsY ×=)()( 12 sYsU =¬

)()()()( 1212 sUsHsHsY ×=

)()()( 21 sHsHsH = 2 järjestikku)()()( 1 sHsHsH n!= n järjestikku

)()()( sUsHsY =

1) Järjestikühendus

2) Paralleelühendus

●+

+

U(s)

U(s)

U1(s)

U2(s)

H(s)

H1(s)

H2(s)Y(s)

Y(s)

Y2(s)

Y1(s)

[ ]

)()()()()()(

)()()()()()()()()()()()()(

1

21

21

21

22

11

sHsHsHsHsHsH

sUsHsHsYsYsYsYsUsHsYsUsHsY

n++=+=+=

+=×=×=

!2 paralleelselt

n paralleelselt

3) Tagasisideühendus

U(s) U1(s)

U2(s)

H1(s)

Y2(s)

Y1(s)

H2(s)

±

U(s)

H(s)

Y(s)

)()()()()()(

222

111

sUsHsYsUsHsY

×=×=

)()()( 21 sYsUsU ±=

[ ][ ])()()()()(

)()()()(

2211

211

sUsHsUsHsYsYsUsHsY

±=±=

)()( 21 sUsY =

[ ] )()()()()(1 1121 sUsHsYsHsH =±

)()()(1

)()()(21

11 sU

sHsHsHsYsY

±==

Avaldises: märk “+” – negatiivne tagasiside (skeemil märk “-”)märk “- ” – positiivne tagasiside (skeemil märk “+”)

● Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustada (soovitud omadustega) keerukaid süsteeme.● Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustuda mitmemõõtmelisi süsteeme (mitu sisendit või mitu väljundit).

Kuidas muutuvad süsteemi omadused?

Olgu antud 2 süsteemi ülekandefunktsioonidega:

®+

=2s1)s(H 1 poolus:{-2}

®-

=3s1)s(H2 poolus:{3}

Järjestikühendus

H1(s) H2(s)

®-+

=×=)3s)(2s(

1)s(H)s(H)s(H 21 poolused: {-2,3}

Paralleelühendus

H1(s)

H2(s)

®-+

-=

-+

+=

=+=

)3s)(2s(1s2

)3s(1

)2s(1

)s(H)s(H)s(H 21

poolused: {-2,3}

H1(s)

-H2(s)

Tagasisideühendus (negatiivne tagasiside)

5s1)s(H1 -

= poolus: {5}

K)s(H2 =

)5K(s1

K5s11

5s1

)s(H)s(H1)s(H)s(H

21

1

-+=

×-

+

-=+

=

K=0

K=1

!

5s1)s(H-

=

4s1)s(H-

=

K=5

K=6

s1)s(H =

1s1)s(H+

=

!

Järeldused:

1. Järjestik- ja paralleelühendused ei muuda süsteemi(de) pooluste paigutust

2. Tagasisideühendusega on võimalik muuta süsteemi pooluste paigutust st. luua soovitud omadustega süsteeme.

NB! Süsteemi poolused (pooluste paigutus) määrab ära süsteemi käitumise

Näide No.4 Mitmemõõtmeline süsteem - ülekandemaatriksid

u1(t) H1(s) H2(s)_

●

+

++

+_y2(t)

H3(s)

u2(t)

u3(t)

y1(t)

3)(;10)(;

21)( 321 +

==+

=sssHsH

ssH

●

Ülekandefunktsioonide ühest rakendusest –süsteemide kompositsioon (2)

u1(t)

u2(t)

u3(t)

y1(t)

y2(t)

sisendid väljundid

6 ülesannet

Üritame matemaatiliselt kirjeldada moodustunud süsteemi

Ülekanne: )()( 11 tytu ®

615)3(10

321012

10

)()()(1)()()( 2321

2111 ++

+=

+×

++

+=+

=ss

s

ss

s

ssHsHsH

sHsHsH yu

Ülekanne: )()( 21 tytu ®

61510

310

211

310

21

)()()(1)()()()( 2

321

32121 ++

=

+××

++

+××

+=+

=sss

ss

s

ss

ssHsHsHsHsHsHsH yu

Ülekanne: )()( 12 tytu ®

615)3)(2(10

310

211

10)()()(1

)()( 2321

212 ++

++=

+××

++

=+

=ssss

ss

ssHsHsH

sHsH yu

Ülekanne: )()( 22 tytu ®

615)2(10

310

211

310

)()()(1)()()( 2321

3222 ++

+=

+××

++

+×

=+

=ssss

ss

s

ss

sHsHsHsHsHsH yu

Ülekanne: )()( 13 tytu ®

61510

310

211

310

21

)()()(1)()()()( 2

321

32113 ++

-=

+××

++

+××

+-

=+-=

sss

ss

s

ss

ssHsHsHsHsHsHsH yu

Ülekanne: )()( 23 tytu ®

615)2(

310

211

3)()()(1

)()( 2321

323 ++

+-=

+××

++

+-

=+

-=

ssss

ss

s

ss

sHsHsHsHsH yu

úúú

û

ù

êêê

ë

é×úû

ùêë

é=úû

ùêë

é

)()()(

)()(

3

2

1

2

1

232221

131211

sUsUsU

HHHHHH

sYsY

yuyuyu

yuyuyu

! !133212

)()()(´´´

×= sss UHY "#$

H(s) – ülekandemaatriks (koosneb ülekandefunktsioonidest)

Analoogiliselt:- hüppekajade maatriks;- impulsskajade maatriks.

Näide No.5 Mitmemõõtmelise süsteemi analüüs

u1(t) H1(s) H2(s)+

H3(s)

u2(t)

y(t)●+

)(4)(;3)(

;1)(;11)(;

33)(

21

321

ttuetu

sHs

sHs

sH

t 1×==

=+

=+

=

-

Leida ?)(),0(),( ¥yyty

Lahendus:

)()()()()( 2211 sUsyHusUsyHusY ×+×=

sss

sHsHsHsHsyHu

sssHsHsHsHsHsyHu

43

)()()(1)()(

43

)()()(1)()()(

2321

22

2321

211

++

=-

=

+=

-=

[ ]!

[ ]! )4)(1(

12254443

13

43)( 2

2

)(4

2

3

2 ++++

=×++

++

×+

=-

sssss

ssss

ssssY

tLeL t 1

Lahutame osamurdudeks

41)4)(1(12254)( 43

221

2

2

++

+++=

++++

=sK

sK

sK

sK

ssssssY

5 ⁄ 2 1 ⁄ 23 3

)1()4()4)(1()4)(1(12254

24

23

212

++++

++++++=++

ssKssKssKsssKss

¥=¥=+-=+-+= -- )(;0213

25)0(;

2133)(

25)( 4 yyeettty tt1

Süsteemide analüüs (näide) – mittenullised algtingimused

Näide No.6Analüüsitav süsteem on kirjeldatud diferentsiaalvõrrandiga

);t(u3dt)t(du2)t(y25

dt)t(yd

2

2

+=+

Algtingimused: 1)0(y,5)0(y == !

Sisendsignaal tetu 5)( -=Leida y(t) ?Lahendus:

dt)t(dy)t(y =!

)s(Y)t(y L¾®¾

)0(y)0(sy)s(sYdt

)t(yd L

2

2

!--¾®¾

)s(U)t(u L¾®¾

)0(u)s(sUdt)t(du L -¾®¾

dif.võrrand ¾®¾L

[ ] )s(U3)0(u)s(sU2)s(Y25)0(y)0(sy)s(Ys2 +-=+-- !

!!! "!!! #$

%

!!"!!#$)t(Y

2

)s(Y

2

vs

25s)0(u2)0(y)0(sy)s(U

25s3s2)s(Y

+-+

+×++

=

)5s()25s(3s2)s(U

25s3s2)s(Y

22s +++

=++

=

5s1)s(Ue)t(u Lt5

+=¾®¾= -

Osamurdudeks lahutamine

5sk

)25s(ksk

)5s()25s(3s2 3

2

21

2 ++

++

=++

+

2s+3=(k1s+k2)(s+5)+k3(s2+25)

2s+3=k1s2+k2s+5k1s+5k2+k3s2+25k3

Määramata kordajate meetod:

s2: 0=k1+k3 ® k1=-k3s1: 2=k2+5k1s0: 3=5k2+25k3

507k,

1013k,

507k 321 -===

5s507

25s1013s

507

)s(Y2s +

-+

+=

t5Ls e

507

5s507

)s(Y 1 --¾®¾+

-= -

22222 5s55

1013

5s

s507

25s1013s

507

+

×+

+=

+

+

L-teisenduste tabelist

tsins 0

l

2

0

2

0 1 w¾®¾w+

w -

tcosss

0

l

2

0

2

1 w¾®¾w+

-

t5

s

L

s e507t5sin

5013t5cos

507)t(y)s(Y 1 --+=¾®¾ -

25s551

25ss5

25s1s5

25s21s5

25s)0(u2)0(y)0(sy)s(Y

22

222v

+

×-

+=

=+-

=+-+

=+

-+= !

t5sin51tcos5)t(y)s(Y v

L

v

1 -=¾®¾ -

t5sin51tcos5

e507t5sin

5013t5cos

507

)t(y)t(y)t(y

t5

vs

-+

+-+=

=+=

-

ys(t) – sundliikumine (sisendsignaali mõjul)yv(t) – vabaliikumine (algtingimuste mõjul)

5055070

507)0(y =-+-+=

m.o.t.t.

Lineaarsete pidevaja süsteemi analüüs: hilistumisega süsteemid

Näide No.7 Hilistumisega süsteemi analüüsSüsteem on antud kujul:

)t(u3dt

)1t(du2)t(y101dt)t(dy20

dt)t(yd

2

2

+-

=++

Leida:1) süsteemi ülekandefunktsioon;2) vabaliikumine;3) sundliikumine.

2)0(y,4)0(y -== !)t()t(u 1=

Algtingimused:

Sisendsignaal:

)s(U)t(u L¾®¾

);s(Y)t(y L¾®¾

)0(y)0(sy)s(Ysdt

)t(yd 2L

2

2

!--¾®¾

[ ] sL e)0(u)s(sUdt

)1t(du --¾®¾-

)0(y)s(sYdt)t(dy L -¾®¾

[ ][ ] )s(U3e)0(u)s(sU2

)s(Y101)0(y)s(sY20)0(y)0(sy)s(Yss

2

+-==+-+--

-

!

Lahendus:

!!!!!! "!!!!!! #$

%

!!! "!!! #$)s(Y

2

s

)s(Y

2

s

vs

101s20se)0(u2)0(y20)0(y)0(sy)s(U

101s20s3se2)s(Y

++-++

++++

=--

• Ülekandefunktsioon (nullised algtingimused)

101s20s3se2

)s(U)s(Y)s(H

2

s

+++

==-

• Vabaliikumine

=++

-++=

-

101s20se)0(u2)0(y20)0(y)0(sy)s(Y

2

s

v

!

1)0(u,2)0(y,4)0(y =-== !

=++

-++

+=

++-

++×+-

=-

101s20s2

101s20s78s4

101s20se2

101s20s4202s4

222

s

2

01 0 1s2 0s 2 =++

i1 01011010p 2

2,1 ±-=-±-= poolused!

22

s

2222 1)10s(e2

1)10s(38

1)10s()10s(4

++-

+++

+++

=-

tcose)s(

s0

tL

2

0

2

1 w¾®¾w+a+

a+ a--

tsine)s( 0

tL

2

0

2

0 1 w¾®¾w+a+

w a--

)1t(tsine2tsine38tcose4)t(y)s(Y t10t10t10

v

L

v

1 -d*-+=¾®¾ ----

)1t(e!N B 1Ls -d¾®¾ --

0)(y,4)0(y vv =¥=

• Sundliikumine

)s(U101s20s3se2)s(Y

2

s

s +++

=-

s1)s(U)t(1)t(u L =¾®¾=

)10120(321

1012032)( 22 ++

+=×

+++

=--

sssse

ssssesY

ss

s

Liikme e-s tõttu probleemid L-1 leidmisega. Kasutame L-teisenduse omadust – konvolutsioon!

Esitame Ys(s) kujul

)10120(3

101202)( 22 ++

+×++

= -

ssse

sssY s

s

Esmalt leiame

¾®¾×++

-- 1

101202

2Lse

ss

Sisuliselt on tegemist järgmise süsteemiga

konvolutsioon ٭

1-L 1-L

101202

2 ++ sse-s

)1(

sin21)10(

210120

2

1

1 10222

-¾®¾

¾®¾++

=++

-

-

-

-

te

tesss

Ls

tL

d

)1(sin2)1(sin210120

2 )1(10102

1

-=-*¾®¾×++

---- - tetteess

ttLs d

korrutis konvolutsioon

Teiseks leiame ¾®¾++

-1

)10120(3

2L

sss

10120)10120(3

2321

2 +++

+=++ ss

KsKsK

sss

10131013:

20200:0:

110

13311

12212

=®=

-=®+=

-=®+=

KKs

KKKKsKKKKs

sKsKKsKsKsKsKssK

32

2112

1

322

1

101203)()10120(3++++=

++++=

101601013

3

2

=

=

K

K

222321

1)10(10160

1013

1013

10120 ++

--+=

+++

+s

s

sssKsK

sK

)(1013101

31 t

sL 1¾®¾

-

222222 1)10(10130

1)10(

)10(1013

1)10(

)603(1011

++

-+

++

+-=

++

+-

ss

s

s

s

te

Lt cos

1013 10

1

-

-

- te t sin10130 10--

tetettety ttts sin

10130cos

1013)(

1013)1(sin2)( 1010)1(10 ---- --+-= 1

Väike üldistus

Kuidas muutub lahenduskäik, kui u(t)=1(t-1) ?

Vaatame üle, kuidas mõjub sisendsignaali hilistumine sundliikumisele

s

L

s

s

es

ttu

sttu

sUss

seLty

-

--

®-=

¾®¾=

þýü

îíì ×

+++

=

1)1()(

1)()(

)(1012032)( 2

1

1

1

Järelikult Ys(s) avaldub

)10120(32)( 2

2

+++

=--

sssesesY

ss

s

)2(sin2)2(sin210120

2 )2(101022

1

-=-*¾®¾×++

---- - tetteess

ttLs d

korrutis konvolutsioon

)1(sin10130)1(cos

1013)1(

1013

)1(sin10130cos

1013)(

1013

)10120(3

)1(10)1(10

1010

2

1

-----=

=-*þýü

îíì --

¾®¾++

----

--

- -

tetet

ttetet

esss

tt

tt

Ls

1

1 d

Esitame Ys(s) kujul

sss e

ssse

sssY --

+++

++=

)10120(3

101202)( 2

22

OlekumudelAlustame lihtsast näitest.

ÇÇÇÇ

v(t)+

++

+

_

__

R

C

L vL(t)

vR(t)

vC(t)

i(t)

dttdiLtv

dttiC

tv

L

t

C

)()(

)(1)(0

=

= ò

)()()()(0)()()()(

tvtvtvtvtvtvtvtv

CRL

CRL

=++=---

dttdvti

CdttdiR

dttidL

tvdttiC

tRidttdiL

t

)()(1)()(

)()(1)()(

2

2

0

=++

=++ ò)0();0(

dtdii algtingimused

Valime olekumuutujad (soovitavalt füüsikalise sisuga )

ò

ò

==

==

t

LL

t

C

dttvL

titx

dttiC

tvtx

02

01

)(1)()(

)(1)()(

|||)(ti

)(1)(1)( 21

1 txC

tiCdt

dxtx ===!

! )()(1)()(

1

2

2

2

0)(

)(

tvdttiC

tRidttdiL

tx

t

tx

dtdxtx

=++ ò=

"#"$%#$%&

ïî

ïí

ì

=

+--=

21

212

1)(

)(1)()(1)(

xC

tx

tvL

txLRtx

Ltx

!

!

)()( 2 txty =

îíì

=+=)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

;10

;1

10

úúû

ù

êêë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

LB

LR

L

CA

[ ] úû

ùêë

é=úû

ùêë

é==

)()(

)()(

)(;102

1

titv

txtx

txCL

C

|||)(tiu(t)=v(t)

x(t)i(t)y(t)

v(t)u(t)

Olekumudel üldkujul:

îíì

=+=)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

olekuvõrrand

väljundvõrrand

;

)(

)()(

)(;

)(

)()(

)(;

)(

)()(

)( 2

1

2

1

2

1

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

ty

tyty

ty

tu

tutu

tu

tx

txtx

tx

mrn

!!!A – n x n;B - n x r;C - m x n.

Kasutame Laplace’i teisendust:

)()();()();()(

sYtysUtusXtx

L

LL

¾®¬

¾®¬¾®¬

îíì

=+=-

)()()()()0()(

sCXsYsBUsAXxssX

Olekuvõrrandist)()()0()()( 11 sBUAsExAsEsX -- -+-=

Rakendame Laplace´i pöördteisndust

ò --

-

¾®¬-

-¾®¬t

tAL

LAt

dBuesBUAsE

AsEe

0

)(1

1

)()()(

)(

ttt

ïïî

ïïí

ì

=

+= ò¬

-

-

¬-

Cx(t)y(t)

)()0()(0

)(min

)(

)0(min

t

tuesundliiku

tA

xevabaliiku

At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt

OlekumudelOmadused:1. Sisend – olek (siseolek) – väljund mudel;2. Olekumuutujad on valitavad;3. Igale olekumuutujate valikule (komplektile) vastab

üks olekumudel;4. Igale reaalsele süsteemile saab koostada mitu

olekumudelit, mis kõik kirjeldavad antud süsteemi ja erinevad üksteisest olekumuutujate valikute poolest.

Seonduvad probleemid:1. Olekumudelite teisendamine (olekuvektorite lineaar-

teisendused);2. Süsteemi olekumudelite seosed ülekandemudeliga

ja invariandid.

Olgu meil maatriks T-nxn, det T≠0 st. regulaarne maatriks.

¬= )(~)( txTtx defineerime lineaarteisenduse

îíì

=+=)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

1/)()(~)(~ -×+= TtButxATtxT!

îíì

=+= --

)(~)()()(~)(~ 11

txCTtytBuTtxATTtx!

îíì

=

+=

)0(~),(~~)()(~)(~~)(~

xtxCty

tuBtxAtx!

kus

CTCBTBATTA

=

=

=-

-

~~~

1

1

Olekuvõrrandi karakteristlik polünoom

det(sE-A)

Karakteristliku võrrandi det(sE-A)=0 juured on A omaväärtused.

Teoreem: Karakteristlik võrrand det(sE-A)=0 on invariantne oleku x(t)regulaarsete teisenduste suhtes.

)(detdet)(detdet)(det)~(det

0det

1

11

AsETAsETATTTsTAsE

T

-=-=

=-=-

¹

-

--

m.o.t.t.

Teoreem: Ülekandemaatriks (u(t)→y(t))

BAsECsH 1)()( --=

BAsECsH 1)()( --= on invariantne oleku x(t) regulaarseteteisenduste suhtes.

[ ])()(

)()(

)(~)~(~)(~0det

1

111111

11111

sHBAsECBTTAsECTTBTTAsETCT

BTATTTsTCTBAsECsH

T

=-=

=-=-=

=-=-=

¹

-

------

-----

Karakteristlik võrrand ja ülekandemaatriks on invariandid oleku x(t) regulaarsete teisenduste suhtes.

m.o.t.t.

Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-

väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.