irisan kerucut pada geometri non-euclid taxicab skripsi
Post on 25-Oct-2021
11 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
IRISAN KERUCUT PADA GEOMETRI NON-EUCLID
TAXICAB
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun Oleh :
Riris Ayu Panuntun Hati Bekti Putri
121414099
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Mazmur 37:5
“Serahakan hidupmu kepada TUHAN dan percayalah padaNYA, dan Ia akan
bertindak”
Yesaya 41:10
“janganlah takut, sebab Aku meneyertai engkau, janganlah bimbang sebab aku ini
Allahmu; Aku akan menegukan, bahkan akan menolong engkau; Aku akan
memegang engkau dengan tangan kanan-Ku yang membawa kemenangan”
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus
Yang menjadi sumber kekuatan dan harapan saya, sehingga saya bisa
menyelesaikan skripsi ini
Keluarga
Mama, Papa, Mas Adhit, Dennys, Mbak Akhda terimakasih untuk setiap
dukungan, doa, dan semangat yang diberikan.
Kak Dodo
Terimakasih karena telah menjadi penolong dan selalu ada di setiap proses
Youth Leader “Youth Impact Jogja”
Terimakasih karena sudah mengajarkan untuk selalu Fight Till The End
GREWDADY
Grace, Edith, Winda, Dedy, Anton, Dennis, Yovita terimakasih untuk setiap
momen dalam menyelesaikan skripsi ini
Komsel JOY
Terimakasih karna selalu mendukung saya dan mendoakan saya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
vii
ABSTRAK
Riris Ayu Panuntun Hati Bekti Putri, 121414099. 2016. “Irisan
Kerucut Dalam Geometri Non-Euclid Taxicab”. Skripsi. Program Studi
Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Geometri Taxicab termasuk dalam geometri Non-Euclids karena memiliki
definisi jarak yang berbeda dengan definisi jarak pada Geometri Euclids.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui: (1) apakah irisan kerucut pada
Geometri Taxicab; dan (2) bagaimana memperkenalkan konsep-konsep irisan
kerucut pada Geometri Taxicab tersebut kepada siswa sekolah menengah atas.
Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka (literature research)
dengan menggunakan buku acuan utama Taxicab Geometry oleh Eugene F.
Krause (1975). Penelitian ini menemukan bahwa
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari adalah
| | | | . Keliling lingkaran tersebut adalah dan
luasnya adalah .
2. Elips yang memiliki titik-titik focus dan memiliki
persamaan | | | | | | | | dengan
.
3. Hiperbola yang memiliki titik-titik fokus dan memilki
persamaan || | | | | | | || , dengan
.
4. Parabola dengan titik fokus dan garis direktriks memiliki
persamaan | | | | | |. Parabola dengan titik fokus
dan garis direktriks memiliki persamaan | | | | | |.
Penelitian ini membuat sebuah desain kegiatan di ruang kelas untuk
memperkenalkan Geometri Taxicab kepada siswa sekolah menengah atas dengan
pendekatan Problem Based Learning (PBL). Siswa sekolah menengah atas telah
mempelajari persamaan yang mengandung nilai mutlak. Pengetahuan ini cukup
untuk mengantar mereka kepada Geometri taxicab. Penelitian ini juga memberi
pengantar kepada guru dan siswa tentang perangkat lunak Geogebra
Kata-kata kunci: Geometri Taxicab, Irisan Kerucut, Problem Based
Learning (PBL)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
viii
ABSTRACT
Riris Ayu Panuntun Hati Bekti Putri, 121414099. 2019. Conic Section in
Non-Euclid Geometry Taxicab. Undergraduate Thesis. Department of
Mathematics Education, Faculty of Teacher Training and Education Science,
Sanata Dharma University, Yogyakarta, Indonesia.
Taxicab Geometry is a Non-Euclid Geometry since the definition of
distance in Taxicab Geometry is different from the definition uses in Euclid
Geometry. The aim of the research are 1) to know the conic sections in the
Taxicab Geometry, and 2) how to introduce these concepts to high school
students.
The research is a literature research based on a book written by Eugene
F. Krause with the title “Taxicab Geometry.” The result of the research are the
following:
1. The equation of a circle centered at with radius is | |
| | . The circumference of the circle is and its area is
.
2. The equation of an ellipse which has focus points dan is
| | | | | | | | , with .
3. The equation of an hyperbola which has focus points dan
is || | | | | | | || , with .
4. The equation of a parabola which has focus point and directrix
is | | | | | |, while the equation of a parabola which has
focus point and directrix is | | | | | |.
The research also design class activities to introduce Taxicab Geometry to
the high school students based on Problem Based Learning (PBL). The student
has studied an equality and inequality involving absolute value. These knowledge
are adequate as a preliminaries to study Geometri Taxicab. The research also
introduces to teachers and students a dynamic software Geogebra.
Keywords: Taxicab Geometry, Conic Section, Problem Based Learning
(PBL)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas
berkat dan kasih karuniaNya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi dengan
judul “Irisan Kerucut pada Geometri Non-Euclid Taxicab”. Penyusunan skripsi
ini bertujuan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana
Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan
Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada semua
pihak yang sudah mendukung dan membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.
Ucapan terimakasih penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd, M.Si, selaku Dekan Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan
2. Bapak Beni Utomo, M.Sc, selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika
3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Sc, selaku dosen pembimbing dan dosen
pembimbing akademik penulis yang telah membantu hingga selesainya
skripsi ini
4. Romo Eko Budi Santoso, SJ, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah
dengan sabar membimbing dan membantu saya menyeleaikan skripsi
ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii
HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................ vi
ABSTRAK ........................................................................................................ vii
ABSTRACT ..................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix
DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiv
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiv
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 5
C. Batasan Masalah ....................................................................................... 5
D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5
E. Metode Penulisan ...................................................................................... 5
F. Manfaat Peneltian ..................................................................................... 6
G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 6
BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. GEOMETRI EUCLID .................................................................................. 8
1. Postulat Geometri Euclid ........................................................................... 9
2. Konsep Jarak dalam Geometri Euclid ...................................................... 14
3. Bangun-bangun Geometris dalam Geometri Euclid ................................. 16
B. GEOMETRI NON-EUCLID ...................................................................... 33
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
xii
1. Geometri Hiperbolik ............................................................................... 35
2. Geometri Eliptik...................................................................................... 35
BAB III TAXICAB
A. LATAR BELAKANG TAXICAB .............................................................. 38
B. DEFINISI GEOMETRI TAXICAB ............................................................ 39
C. KELILING dan LUAS BANGUN-BANGUN GEOMETRIS ..................... 46
BAB IV MEMPERKENALKAN GEOMETRI TAXICAB kepada SISWA
KELAS X
A. GEOGEBRA ............................................................................................ 117
B. MATERI NILAI MUTLAK KELAS X dalam KURIKULUM 2013 dan
AKTIVITAS untuk PENGAYAAN ................................................................. 122
C. PBL untuk MEMPERKENALKAN GEOMETRI TAXICAB ................... 130
BAB V KESIMPULAN
A. KESIMPULAN ........................................................................................ 145
B. SARAN .................................................................................................... 150
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 153
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1. Empat jenis elips dan persamaannya……………………………… ...21
Tabel 2.2. Empat jenis hiperbola dan persamaannya………………………….... 26
Tabel 2.3. Empat jenis parabola dengan puncak di dan persamaannya….29
Tabel 2.4. Empat jenis parabola dengan puncak di dan persamaannya ...31
Tabel 4.1. Soal latihan siswa……………………………………………………. 23
Tabel 4.2. perbanbandingan lingkaran Geometri Euclid dengan Geometri
Taxicab …………………………………………………………….. 139
Tabel 4.3. Perbanbandingan ellips Geometri Euclid dengan Geometri
Taxicab………………………………………………………………140
Tabel 4.4. Perbanbandingan hiperbola Geometri Euclid dengan Geometri
Taxicab …………………………………………………………….. 142
Tabel 4.5. Perbanbandingan parabola Geometri Euclid dengan Geometri
Taxicab …………………………………………………………….. 143
Tabel 5.1 Lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola dalam Geometri
dan Geometri Taxicab……………………………………………….146
Tabel 5.2 Lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola dalam Geometri
Euclid dan Geometri Taxicab………………………………………. 149
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Hermann Minskowky ……………………………………………… 3
Gambar 2.1 Ilutrasi Postulat 1 ……………..……………………….…………. 10
Gambar 2.2 Ilustrasi Postulat 2 ………………………………………………… 11
Gambar 2.3 Ilustrasi Postulat 3 ………………………………………………… 12
Gambar 2.4 Ilustrasi Postulat 4 ………………………………………………… 12
Gambar 2.5 Ilustrasi Postulat 5 ………………………………………………… 13
Gambar 2.6 Konsekuensi Postulat 5 …………………………………………… 14
Gambar 2.7 Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi dua
dalam Geometri Euclid ……………………………………………. 15
Gambar 2.8. Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi tiga ………... 16
Gambar 2.9. Ilustrasi Lingkaran ……………………………………………….. 17
Gambar 2.10. Ilustrasi Lingkaran yang berpusat di titik ………………. 18
Gambar 2.11. Ilustrasi Elips dengan pusat di ………………………….. 19
Gambar 2.12. Hiperbola dengan titik pusat , titik-titik fokus
dan ………………………………………… 24
Gambar 2.13. Ilustrasi Parabola dengan titik puncak di ……………….. 28
Gambar 2.14. Ilustrasi Geometri Hiperbolik ………………………………….. 35
Gambar 2.15. Ilustrasi Geometri Eliptik ………………………………………. 36
Gambar 2.16. Ilustrasi jarak untuk Contoh 2.2 ……………………………….. 37
Gambar 3.1. Jarak titik dan dalam Geometri Euclid ……………………… 40
Gambar 3.2. Ilustrasi konsep jarak dalam (a) Geometri Euclid,
dan (b) Geometri Taxicab ……………………………………….. 42
Gambar 3.3. Geometri taxicab untuk titik-titik tidak terletak pada
persilangan pola kotak-kotak …………………………………… 43
Gambar 3.4. Persegi panjang dan segitiga ………………………... 47
Gambar 3.5. Persegi ……………………………………………………. 49
Gambar 3.6. Lingkaran berjari-jari …………………………………….. 52
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
xv
Gambar 3.7. Lingkaran berpusat di dan melalui titik ………….. 53
Gambar 3.8. Lingkaran berpusat di dan berjari-jari …………………. 54
Gambar 3.9. Lingkaran berpusat di …………………………………….. 57
Gambar 3.10. Lingkaran berpusat di berjari-jari …………………….. 58
Gambar 3.11. Elips dengan titik fokus dan ………………... 61
Gambar 3.12. Elips dengan titik fokus dan , dan
melalui titik …………………………………………….. 63
Gambar 3.13. Elips dengan titik fokus dan ………………... 64
Gambar 3.14. Elips dengan titik fokus dan ………………... 66
Gambar 3.15. Elips dengan titik fokus dan dengan
jumlah jarak ……………………………………………….... 69
Gambar 3.16. Elips dengan titik fokus dan , dan
melalui titik ) …………………………………………….. 71
Gambar 3.17. Elips dengan titik fokus dan dengan
jumlah jarak ………………………………………………... 72
Gambar 3.18. Elips dengan titik fokus dan ……………….. 75
Gambar 3.19. Elips dengan titik pusat dan memiliki
titik-titik fokus dan ……………....... 77
Gambar 3.20. Elips dengan titik fokus dan
dengan ……………………………………………… 79
Gambar 3.21. Elips dengan titik fokus dan
dengan ……………………………………………….. 82
Gambar 3.22. Elips dengan titik fokus dan
dengan ……………………………………………….... 83
Gambar 3.23. Elips yang berpusat di dengan salah satu
titik fokus ……………………………………………. 84
Gambar 3.24. Elips yang berpusat di dengan salah satu
titik fokus …………………………………………… 85
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
xvi
Gambar 3.25. Ilustrasi Keliling dan Luas elips yang berpusat di
dengan salah satu titik fokus ………………………... 87
Gambar 3.26 Elips yang berpusat di titik dan salah satu
titik fokus dengan ………………………………. 89
Gambar 3.27. Elips dengan titik pusat dengan salah satu
titik fokus …………………………………... 90
Gambar 3.28 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik
fokus dan …………………………………… 93
Gambar 3.29 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik
fokus dan ………………………………….... 95
Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik
fokus dan ……………………………… 97
Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik
fokus dan ………………………………... 98
Gambar 3.31 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik
fokus dan ……………………………. 99
Gambar 3.32 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik
fokus dan …………………………… 101
Gambar 3.32 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik
fokus dan ………….…….. 102
Gambar 3.33 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik
fokus dan , dengan selisih jarak tetap 6 ….…… 103
Gambar 3.34 Ilustrasi Contoh 3.17 ………………………………….….……. 105
Gambar 3.35. Parabola yang memiliki titik fokus di
dengan garis direktriks ………………………………. 106
Gambar 3.36. Parabola yang memiliki titik fokus di
dengan garis direktriks ………………………………… 107
Gambar 3.37. Parabola yang memiliki titik fokus di
dengan garis direktriks ………………………………. 109
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
xvii
Gambar 3.38. Parabola yang memiliki titik fokus di dengan
garis direktriks ………………………………………… 110
Gambar 3.39 Ilustrasi untuk bukti Teorema 3.23 …………………………… 112
Gambar 3.39 Hiperbola dengan pusat dan garis
direktriks ………………………………………………... 113
Gambar 3.40 Ilustrasi bukti Teorema 3.24 …………………………………... 115
Gambar 3.41 Hiperbola dengan pusat dan garis direktriks ….. 116
Gambar 4.1 Tampilan Utama Geogebra ……………………………………… 118
Gambar 4.2 Kolom input dalam Geogebra …………………………………… 119
Gambar 4.3 Melukis garis dengan Geogebra ……………………... 120
Gambar 4.4 Melukis garis | | dengan Geogebra ……………………. 121
Gambar 4.5 Melukis bangun | | | | dengan Geogebra ……… 121
Gambar 4.6 Peta untuk Aktivitas 4.16 ……………………………………….. 133
Gambar 4.7 Salah satu jawaban untuk Aktivitas 4.16 ……………………….. 134
Gambar 4.8 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.17 ……………………………………. 134
Gambar 4.9 Peta sebagian kota Manhattan, New York ……………………… 136
Gambar 4.10 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.18 ………………………………….. 137
Gambar 4.11 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.19 ……………..…………………… 137
Gambar 4. 12 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.20 …………………………………. 138
Gambar 4.13 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.21 ………………………………….. 140
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Konsep geometri dikenalkan kepada siswa sejak yang berada di tingkat
pendidikan dasar dan pendidikan menengah. Dalam Permendikbud Nomor 24
Tahun 2016, tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Pada
Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah, konsep
geometri analitik mulai diperkenalkan kepada para siswa kolas VIII, khususnya
dalam Kompetensi Dasar 3.1, yaitu kompetensi untuk menjelaskan kedudukan
titik dalam bidang koordinat Kartesius yang dihubungkan dengan masalah
kontekstual. Menurut Kurikulum 2013, siswa kelas XII akan mempelajari
geometri analitik ruang berdimensi tiga, misalnya jarak dua titik, jarak titik ke
garis, dan jarak titik ke bidang.
Geometri yang diperkenalkan pada siswa tingkat sekolah menengah adalah
Geometri Euclid. Geometri Euclid merupakan suatu sistem matematika yang
ditemukan oleh matematikawan Yunani yang bernama Euclid dari Alexandria
(kurang lebih tahun 300SM). Dalam buku yang ia tulis, yang berjudul The
Elements, terdapat lima postulat geometri yang dipakai. Kelima postulat itu adalah
1) sebuah segmen garis bisa digambar dengan menghubungkan dua sembarang
titik; 2) setiap segmen garis bisa diperpanjang tak terbatas dalam garis lurus; 3)
diberikan sebuah segmen garis, sebuah lingkaran bisa digambar dengan segmen
garis tersebut sebagai jari-jari dan salah satu ujung segmen garis sebagai pusat; 4)
semua sudut siku-siku itu kongruen; 5) jika terdapat dua garis yang memotong
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
2
garis ketiga sedemikian hingga jumlah sudut dalam pada salah satu sisinya kurang
dari dua sudut siku-siku, maka jika kedua garis tersebut diperpanjang pada sisi
tersebut, kedua garis tersebut pasti berpotongan. Postulat ini disebut juga postulat
sejajar (Greenberg, 1994:14 – 20). Salah satu konsekuensi postulat sejajar
tersebut adalah jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik tidak terletak pada
garis tersebut, maka hanya ada satu garis yang melalui titik tersebut dan sejajar
dengan garis. Geometri yang didasarkan pada postulat Euclid inilah yang banyak
digunakan dalam dunia pendidikan dan ilmu pengetahuan.
Geometri Euclid bukanlah satu-satunya geometri yang dipelajari dan
dikembangkan oleh para matematikawan. Namun demikian, Geometri Euclid
lebih dikenal dibanding dengan geometri-geometri yang lain karena hanya
geometri tersebut yang diperkenalkan di sekolah dasar dan sekolah menengah.
Geometri lain yang bukan geometri Euclid biasa disebut dengan geometri non-
Euclid. Geometri ini disebut Geometri non-Euclid karena terdapat beberapa
postulat pada geometri Euclid yang tidak berlaku. Dua contoh geometri non-
Euclid yang terkenal adalah Geometri Elliptis dan Geometri Hiperbolis. Kedua
geometri tersebut memiliki postulat sejajar yang berbeda dengan geometri Euclid.
Dalam Geometri Elliptis, diberikan sebuah garis dan satu titik di luar garis, tidak
ada garis lain yang melalui titik dan sejajar dengan garis yang diberikan. Dalam
Geometri Hiperbolis, diberikan sebuah garis dan satu titik di luar garis, ada
banyak garis yang melalui titik tersebut dan sejajar dengan garis yang diberikan.
Masih ada geometri non-Euclid lain selain Geometri Elliptis dan
Hiperbolis, salah satunya Geometri Taxicab. Geometri taxicab dikenalkan oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
seorang matematikawan bernama Hermann Minkowsky yang berasal dari Jerman
pada abad ke-19. Geometri Taxicab bermula dari kenyataan kota Manhattan yang
memiliki banyak gedung perkantoran dan jalanan yang mengitari gedung-gedung
tersebut terbentuk pola grid (kotak-kotak). Geometri ini, pada awalnya dikenal
dengan Minkowsky geometrie atau City-Block Manhattan. Jika seseorang berjalan
dari titik A ke titik B di kota tersebut, konsep jarak yang berlaku pada Geometri
Euclid tidak sama dengan jarak yang dilalui oleh orang tersebut berjalan dari titik
A ke titik B. Minkowsky memperkenalkan konsep jarak secara baru dan berbeda
dengan konsep jarak pada Geometri Euclid, karena dalam konsep ini, Minkowsky
memperhatikan struktur jalan kota Manhattan yang membentuk kotak-kotak.
Gambar 1.1 Hermann Minskowky
(Diunduh dari https://study.com/academy/lesson/taxicab-geometry-history-
formula.html)
Dalam perkembangannya, geometri taxicab memiliki aplikasi yang
berguna dalam hidup sehari-hari. Misalnya, menentukan jarak kota Bandung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
dengan Semarang, jika menggunakan Geometri Euclid, maka perhitungannya
akan kurang tepat. Perhitungan akan lebih tepat jika perhitungan tersebut
mengikuti jalan yang menghubungkan kota Bandung dan Semarang. Geometri
Taxicab dipakai dalam teknologi GPS, seperti google maps, waze, maupun
aplikasi maps yang lainnya.
Setelah mengetahui latar belakang dikembangkannya Geometri Taxicab
dan kegunaannya, mungkin baik jika sistem matematika ini diperkenalkan kepada
siswa sekolah menengah atas. Geometri Taxicab dapat dipakai sebagai materi
pengayaan atau pengetahuan tambahan yang menyertai Geometri Euclid.
Geometri Taxicab juga dekat dengan realitas hidup sehari-hari para siswa. Sangat
sering siswa menggunakan konsep Geometri Taxicab, misalnya untuk menghitung
jarak tempuh dua tempat. Melalui Geometri Taxicab, kepada mereka juga
diperkenalkan sistem matematika di belakang teknologi aplikasi maps: google
map, Waze, GoJek, atau Grab.
Salah satu Kompetensi Dasar mata pelajaran Matematika di kelas X dalam
kurikulum 2013 adalah menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai
mutlak (Permendikbud, th 2016, No. 24). Oleh karena itu, siswa kelas X sudah
mempelajari konsep nilai mutlak dalam matematika. Dengan demikian, siswa
kelas X akan mampu memahami konsep-konsep yang didiskusikan dalam
Geometri Taxicab. Untuk mempelajari Geometri Taxicab, para siswa cukup
mengenal beberapa konsep dasar dalam geometri Euclid dan persamaan nilai
mutlak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka disusun rumusan masalah sebagai
berikut:
1. Bagaimanakah irisan kerucut pada Geometri Taxicab?
2. Bagaimana memperkenalkan konsep-konsep irisan kerucut pada Geometri
Taxicab tersebut kepada siswa sekolah menengah atas?
C. Batasan Masalah
Dalam penelitian ini akan dibahas konsep-konsep dasar Geometri Taxicab
yang berkaitan dengan irisan kerucut: lingkaran, elips, hiperbola, dan
parabola. Penelitian ini juga merancang kegiatan pembelajaran untuk
mengenalkan Geometri Taxicab kepada siswa sekolah menengah atas.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin peneliti capai melalui penelitian ini adalah:
1. untuk mempelajari irisan-irisan kerucut pada Geometri Taxicab, dan
2. memperkenalkan konsep Geometri Taxicab, secara khusus, irisan-irisan
kerucut kepada siswa sekolah menengah atas, sebagai materi pengayaan.
E. Metode Penulisan
Penelitian ini merupakan penelitian pustaka (literature research) yang
mengacu pada buku Taxicab Geometry oleh Eugene F. Krause (1975). Selain
berdasarkan buku tersebut, penulis juga melakukan studi pustaka pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
berbagai artikel yang berkaitan dengan Geometri Taxicab. Secara garis besar
langkah-langkah penelitian adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan pustaka yang berhubungan dengan Geometri Taxicab.
2. Mempelajari konsep Geometri Taxicab.
3. Mempelajari bangun-bangun geometris yang merupakan irisan kerucut
pada Geometri Taxicab, yaitu lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.
4. Merancang aktivitas pembelajaran untuk memperkenalkan Geometri
Taxicab kepada siswa sekolah menengah atas, khususnya materi lingkaran,
elips, hiperbola, dan parabola.
F. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Menambah wawasan mengenai konsep-konsep geometri yang berkaitan
dengan Geometri Taxicab, khususnya untuk bangun-bangun geometris
lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.
2. Memberikan usulan kegiatan untuk memperkenalkan Geometri Taxicab
kepada siswa sekolah menengah atas, secara khusus untuk bangun-bangun
geometris lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.
G. Sistematika Penulisan
Skripsi ini terdiri atas lima Bab. Bab I merupakan bab pendahuluan. Pada Bab
ini dibahas latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan
penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Bab II merupakan kajian pustaka. Pada bab kedua dibahas Geometri Euclid
dan Geometri non-Euclid. Secara khusus bab II mendiskusikan kelima
postulat Euclid. Pembahasan mendalam tentang Geometri Taxicab, khususnya
tentang lingkaran, elips, hiperbola dan parabola disajikan pada Bab III. Bab IV
membahas usulan kegiatan untuk memperkenalkan Geometri Taxicab kepada
siswa sekolah menengah atas sebagai materi pengayaan. Bab V merupakan
bab penutup yang menyajikan secara ringkas hasil penelitian dan saran-saran
untuk para guru serta penelitian selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
8
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada Bab II ini akan dibahas konsep-konsep yang penting untuk diketahui
dan menjadi dasar pembahasan dalam skripsi ini. Bab ini akan memberi pengantar
tentang Geometri Euclid dan Geometri Non-Euclid. Subbab A membahas
mengenai Geometri Euclid, yang di dalamnya terdapat postulat Geometri Euclid,
konsep jarak yang digunakan, bangun-bangun geometris pada Geometri Euclid
dan juga perkembangannya. Sedangkan pada subbab B, akan dibahas secara
singkat Geometri Non-Euclid.
A. Geometri Euclid
Dari asal katanya, “geometri” berasal dari bahasa Yunani
“geometrein” (Greenberg, 1994: 6). Kata “geo” berarti “bumi”, dan “metrein”
berarti pengukuran. Kata “geometri” diduga bermula dari kebutuhan
pengukuran tanah pada peradaban kuno yang ada di Mesir, Yunani, India,
Inca, Babilonia, atau China. Geometri telah digunakan oleh masyarakat pada
peradaban-peradaban tersebut, tidak hanya untuk pengukuran tanah, tetapi
juga untuk membangun monumen-monumen seperti Piramid (Mesir), Kuil-
kuil (Yunani, Inca, India), atau Tembok China. Pada subbab ini akan dibahas
geometri yang dikembangkan oleh para matematikawan zaman tersebut, yang
bahkan sampai saat ini masih dipelajari di sekolah. Geometri tersebut dikenal
dengan nama Geometri Euclid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Geometri Euclid, meskipun menggunakan nama Euclid, dikembangkan
jauh sebelum zamannya. Geometri Euclid telah dikembangkan oleh
matematikawan sebelum dia. Tales (640 – 546 SM), telah membuktikan
bahwa diameter sebuah lingkaran membagi dua sama besar lingkaran tersebut.
Salah satu murid Tales yang terkenal adalah Pythagoras (572 SM). Pythagoras
menemukan banyak sifat dalam geometri dan mengembangkan teori tersebut.
Geometri ini terus berkembang hingga abad keempat sebelum masehi. Euclid
(325 – 265 SM) adalah seorang guru matematika di Aleksandria, Mesir, yang
mengumpulkan teori geometri tersebut. Kumpulan tersebut ia tulis dalam
sebuah risalah yang berjudul “The Elements”. Risalah tersebut ia tuliskan ke
dalam tiga belas bagian, yang disebut buku. Buku-buku inilah yang
mempengaruhi pembelajaran geometri hingga saat ini.
1. Postulat Geometri Euclid
Dalam Buku Pertama, Euclid memaparkan bahwa geometri bidang
didasarkan pada lima asumsi atau yang biasa disebut sebagai postulat.
Berikut adalah kelima postulat tersebut (Casey, 1890: 5 – 6; Greenberg,
1993:14 – 20).
a. Sebuah segmen garis bisa dilukis untuk menghubungkan
sembarang dua titik yang berbeda.
Postulat ini mengatakan, jika terdapat dua titik yang berbeda dan ,
maka kedua garis tersebut dapat dihubungkan dengan satu segmen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
garis lurus. Postulat ini mengatakan tentang keberadaan (eksistensi)
sebuah segmen garis yang menghubungkan dua titik yang berbeda.
Gambar 2.1 Titik dan dihubungkan oleh segmen garis (postulat 1)
b. Setiap segmen garis dapat diperpanjang sampai tak hingga dan
membentuk sebuah garis lurus.
Jika terdapat sebuah segmen garis , maka kita dapat
memperpanjang segmen garis itu menjadi sebuah garis yang melalui
titik dan titik . Panjang garis tersebut adalah tidak terhingga
(Gambar 2.2). Postulat kedua ini menekankan keberadaan (eksistensi)
sebuah garis yang melalui dua titik yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Gambar 2.2 Ilustrasi Postulat 2
c. Diberikan sebuah segmen garis, sebuah lingkaran bisa digambar
dengan segmen garis tersebut sebagai jari-jari dan salah satu
ujung segmen garis sebagai titik pusat.
Jika terdapat segmen garis , maka kita dapat melukis lingkaran
yang melalui titik dan berpusat di titik , sehingga garis menjadi
jari-jari lingkaran tersebut (Gambar 2.3). Postulat ini tidak
membicarakan definisi lingkaran, melainkan menekankan keberadaan
(eksistensi) lingkaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Gambar 2.3 postulat 3
d. Semua sudut siku-siku adalah kongruen
Postulat ini mengatakan, apabila kita membuat garis yang tegak lurus,
maka sudut yang terbentuk akan selalu sama
Gambar 2.4 Ilustrasi Postulat 4
Sebelum membahas postulat kelima yang dikenal dengan postulat
kesejajaran, terlebih dulu perlu dibahas definisi dua garis sejajar dan
hubungan antar sudut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.1
Dua garis dan adalah paralel, ditulis || , jika kedua garis
tersebut tidak berpotongan, artinya tidak ada titik yang terletak pada
kedua garis tersebut.
Perlu dicatat bahwa definisi kesejajaran tersebut hanya berlaku jika
kedua garis tersebut terletak pada bidang yang sama. Selain itu,
definisi tersebut tidak mengatakan bahwa dua garis sejajar memiliki
jarak yang sama (equidistance).
e. Jika dua garis lurus, l dan m, dipotong oleh garis t (Gambar 2.5),
sedemikian hingga jumlah sudut dan sudut kurang dari dua
sudut siku-siku, maka jika kedua garis tersebut diperpanjang ke
arah yang sama dengan kedua sudut tersebut, maka keduanya
akan berpotongan di satu titik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Gambar 2.5 Ilustrasi Postulat 5
Meskipun postulat ini tidak menyebutkan satu kata pun tentang
kesejajaran, para matematikawan sering memberi nama Postulat ini
dengan nama postulat kesejajaran (parallel postulate). Greenberg
(1994) menyebutkan konsekuensi Postulat kelima Euclid sebagai
berikut:
“Untuk setiap garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis
tersebut, terdapat tepat satu garis yang melalui titik dan sejajar
dengan garis ” (Gambar 2.6).
Gambar 2.6 Konsekuensi Postulat 5
2. Konsep jarak dalam Geometri Euclid
Salah satu konsep penting dan mendasar dalam geometri adalah konsep
jarak. Konsep jarak merupakan dasar dalam pengembangan konsep-
konsep geometris selanjutnya. Misalnya, konsep jarak dipakai untuk
mendefinisikan bangun-bangun geometris seperti lingkaran, elips, dan
hiperbola. Dalam Geometri Euclid, jarak dua titik adalah panjang ruas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dalam ruang berdimensi
dua, jika diketahui dan , maka jarak titik dan
adalah
| | = √
.
Gambar 2.7 Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi dua
dalam Geometri Euclid.
Dalam ruang berdimensi tiga, jika titik dan adalah titik-titik dalam
ruang berdimensi tiga dan diketahui dan , maka
jarak titik dan adalah
| |= √ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Gambar 2.8. Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi tiga
3. Bangun-bangun geometris dalam Geometri Euclid
Benda-benda geometri dalam ruang berdimensi dua, seperti lingkaran,
elips, hiperbola, dan parabola didefinisikan dengan menggunakan konsep
jarak. Merujuk pada buku yang ditulis oleh Riddle (1996), berikut
penjelasan singkat mengenai bangun-bangun tersebut.
a. Lingkaran
Dalam Geometri Euclid, lingkaran merupakan kedudukan atau
himpunan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang
tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran, sedangkan
jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Misalkan terdapat titik yang terletak pada lingkaran dengan
pusat lingkaran seperti Gambar 2.9 berikut maka jari-jari
lingkaran tersebut adalah .
Gambar 2.9. Ilustrasi Lingkaran
Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik ke titik
, maka diperoleh persamaan berikut:
| | √
√
√
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat adalah .
Dengan cara yang sama, kita bisa menentukan persamaan lingkaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
yang berjari-jari dan berpusat di titik , seperti yang
diperlihatkan dalam Gambar 2.10. Persamaan lingkaran tersebut adalah
.
Gambar 2.10. Ilustrasi Lingkaran yang berpusat di titik .
Dalam Geometri Euclid, keliling dan luas lingkaran yang memiliki jari-
jari , berturut-turut, adalah
dan .
b. Elips
Dalam matematika, elips merupakan sebuah bangun yang menyerupai
lingkaran yang telah diperpanjang ke satu arah. Elips didefinisikan
sebagai himpunan semua titik (misalkan titik ), dimana jumlah
jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
himpunan tersebut adalah tetap. Titik tertentu itu disebut titik-titik
fokus atau titik-titik api dan . Himpunan semua titik P
membentuk kurva ellips dan persamaannya kita sebut persamaan elips.
Misalkan titik fokus sebuah elips adalah dan
dengan jarak | | (Gambar 2.11). Terdapat empat titik puncak
yaitu dan . Titik pusat ellips
tersebut adalah . Kita ambil sebarang himpunan titik
pada kurva ellips. Jumlah jarak titik ke dengan jarak titik
ke adalah tetap yaitu sebesar , dengan . Secara matematis
kita tuliskan | | | | .
Gambar 2.11. Ilustrasi Elips dengan pusat di .
Dengan mengacu pada ilustrasi dalam Gambar 2.11, kita bisa mencari
persamaan elips dengan menggunakan konsep jarak pada Geometri
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Euclid. Sebelumnya, perhatikan segitiga . Karena titik berada
pada elips, maka | | | | Dengan demikian, | | .
Segitiga adalah segitiga siku-siku. Dengan demikian, dengan
menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh persamaan
, atau . Selanjutnya, perhitungan untuk menentukan
persamaan elips adalah sebagai berikut.
| | | |
√ √
√ √
( √ )
(√ )
√
√
√
( √ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Jadi persamaan elips yang berpusat di titik seperti
diilustrasikan pada Gambar 2.11 adalah
. Dengan cara
yang sama, kita dapat menurunkan persamaan elips jenis lain seperti
dalam Tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1. Empat jenis elips dan persamaannya
1.
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
3.
4.
Diberikan sebuah elips dengan persamaan
maka luas elips
tersebut adalah
.
Tidak seperti lingkaran, keliling sebuah elips tidak dapat dinyatakan
dengan sebuah rumus yang sederhana. Rumus-rumus yang ditemukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
oleh Matematikawan masih berupa pendekatan. Website
https://www.mathsisfun.com/geometry/ellipse-perimeter.html
menyajikan beberapa pendekatan untuk keliling elips. Diberikan elips
dengan persamaan
Ramanujan (seorang matematikawan
dari India) menemukan rumus pendekatan sebagai berikut:
√ .
Para ahli juga menemukan pendekatan-pendekatan yang lebih baik
tetapi rumus yang ditemukan menjadi lebih rumit. Chandrupatla dan
Osler (2010) menyajikan keliling sebuah elips dengan menggunakan
bantuan kalkulus seperti berikut:
∫ √
dengan .
c. Hiperbola
Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan
titik ) dimana selisih jarak setiap titik dengan dua titik tertentu
yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu
itu disebut titik fokus atau titik api ( dan ) hiperbola, dan himpunan
semua titik membentuk kurva hiperbola.
Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar 2.12. Misalkan titik fokus sebuah
hiperbola adalah dan dengan jarak | | .
Terdapat dua titik puncak yaitu dan serta titik pusat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
hiperbola adalah Terdapat juga sumbu nyata yaitu garis yang
melalui kedua titik fokus dan sumbu imajiner yaitu garis yang tegak
lurus dengan sumbu nyata yang melalui titik pusat hiperbola. Pada
sumbu imajiner terdapat dua titik yaitu dan . Kita
ambil sembarang himpunan titik pada kurva hiperbola. Selisih
jarak titik ke dan titik ke adalah tetap yaitu sebesar
dengan , artinya dapat kita tuliskan persamaan berikut.
| | | |
Gambar 2.12. Hiperbola dengan titik pusat , titik-titik fokus
dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Perhatikan segitiga adalah segitiga siku-siku, dengan
menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku persamaan .
Perhitungan untuk menemukan rumus persamaan hiperbola dengan
menggunakan konsep jarak dua titik adalah sebagai berikut.
| | | |
√ √
√ √
( √ )
(√ )
√
√
√
( √ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Dengan cara yang sama diperoleh persamaan hiperbola untuk keempat
tipe seperti diperlihatkan dalam Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Empat jenis hiperbola dan persamaannya
1.
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
3.
4.
d. Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (misalkan )
sedemikian sehingga jarak titik dengan titik fokus (titik ) sama
dengan jarak titik ke garis tertentu yang disebut dengan garis
direktris. Perhatikan ilustrasi pada Gambar 2.12. Diberikan sebuah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
hiperbola dengan titik fokus dan garis dengan persamaan
sebagai garis direktris. Misalkan adalah sebarang titik
yang terletak pada parabola tersebut.
Gambar 2.12. Ilustrasi Parabola dengan titik puncak di
.
Untuk menemukan persamaan parabola, dipergunakan konsep jarak
dua titik dan jarak titik ke garis. Jarak titik ke garis dinyatakan
dengan jarak titik ke titik . Sesuai dengan pengertian
parabola, jarak titik ke titik fokus | | sama dengan jarak titik
ke titik | |
| | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
√ √( )
√ √
Dengan menggunakan cara yang sama, Tabel 2.3 menampilkan parabola-
parabola jenis lain yang memiliki puncak pada titik .
Tabel 2.3. Empat jenis parabola dengan puncak di dan
persamaannya
1.
Fokus ,
Direktris
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
2.
Fokus
Direktris
3.
Fokus
Direktris
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
4.
Fokus
Direktris
Tabel 2.4 menampilkan empat jenis parabola yang memiliki puncak titik
.
Tabel 2.4. Empat jenis parabola dengan puncak di dan
persamaannya
1.
Fokus ,
Direktris
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
2.
Fokus
Direktris
3.
Fokus
Direktris
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
4.
Fokus
Direktris
Geometri Euclid telah memberikan sumbangan yang sangat besar bagi
perkembangan ilmu pengetahuan hingga saat ini. Geometri ini masih
dipelajari dan dipergunakan hingga sekarang. Khusus berkaitan dengan
konsep jarak, banyak aplikasi dalam hidup sehari-hari yang menggunakan
konsep jarak Geometri Euclid. Konsep jarak tersebut dipergunakan dalam
berbagai pengukuran, misalnya untuk pengukuran tinggi bangunan,
pengukuran luas suatu daerah, penentuan ketinggian sebuah pesawat, atau
pun pada pengukuran kedalaman air.
B. Geometri Non-Euclid
Geometri Euclid bukanlah satu-satunya geometri yang dipelajari dan
dikembangkan oleh para matematikawan. Para ahli juga mengembangkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
geometri lain yang termasuk dalam golongan Geometri Non-Euclid. Pada
bagian ini akan dibahas secara singkat tiga jenis geometri Non-Euclid, yaitu
Geometri Eliptis, Geometri Hiperbolis, dan Geometri Taxicab. Dua jenis
geometri yang pertama berbeda dengan geometri Euclid karena postulat
kelima, yaitu postulat kesejajaran, tidak lagi berlaku. Geometri Taxicab
berbeda dengan Geometri Euclid karena konsep jarak yang dipergunakannya.
Geometri Hiperbolik mulai dipelajari pada akhir abad ke-18. Beberapa
matematikawan yang melakukan penelitian dalam bidang tersebut antara lain
Karl Friedrich Gauss, J. Bolyai, dan Nicolai Ivanovitch Lobachevsky. Para
matematikawan tersebut berpendapat bahwa postulat kelima Euclid tersebut
bukanlah sebuah postulat melainkan sebuah teorema/dalil sehingga perlu
dibuktikan, namun hingga saat ini belum ada yang mampu membuktikannya.
Untuk menghargai jasa mereka, maka Geometri Hiperbolik disebut juga
dengan nama Geometri Lobachevsky. Selain tiga tokoh tersebut terdapat juga
matematikawan lain yang mempelajari geometri non-Euclid yang lain, yaitu
Geometri Eliptik. Matematikawan yang dikenal mempelajari geometri tersebut
adalah Riemann.
Geometri Eliptik dan Geometri Hiperbolik menggunakan keempat
postulat dari Geometri Euclid. Yang membedakan kedua geometri tersebut
dengan Geometri Euclid adalah postulat kesejajaran. Untuk setiap garis dan
sebuah titik di luar garis tersebut, postulat kelima Geometri Euclid menjamin
adanya (eksistensi) tepat satu garis lain yang melalui titik tersebut dan sejajar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
dengan garis yang diberikan. Geometri Eliptik dan Geometri Hiperbolik tidak
menggunakan postulat tersebut.
1. Geometri Hiperbolik
Yang membedakan geometri Euclid dengan geometri Hiperbolik adalah
postulat kesejajaran. Dalam Geometri Euclid, diberikan sebuah garis dan
titik di luar garis tersebut, terdapat tepat satu garis yang melalui titik
dan sejajar dengan garis . Dalam Geometri Hiperbolik, diberikan sebuah
garis dan titik di luar garis tersebut, terdapat lebih dari satu garis yang
melalui titik dan sejajar dengan garis (Wolfe, 1945: 66).
Gambar 2.13. Ilustrasi Geometri Hiperbolik
2. Geometri Eliptik
Jika dalam Geometri Hiperbolik terdapat lebih dari satu garis yang sejajar
dengan sebuah garis, postulat kesejajaran dalam Geometri Eliptik
mengatakan bahwa dua garis lurus selalu berpotongan (Wolfe, 1945: 174).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Dengan kata lain, diberikan sebuah garis dan titik di luar garis tersebut,
tidak ada garis yang melalui titik dan sejajar dengan garis . Salah satu
sifat yang terkenal dalam Geometri Eliptik adalah diberikan sebuah garis l,
maka semua garis yang tegak lurus dengan l akan berpotongan di satu
titik.
Gambar 2.13. Ilustrasi Geometri Eliptik
(http://www.daviddarling.info/encyclopedia/E/elliptical_geometry.html)
3. Geometri Taxicab
Jika postulat kesejajaran membedakan Geometri Hiperbolik dan Eliptik
dengan Geometri Euclid, yang membedakan Geometri Taxicab dengan
Geometri Euclid adalah konsep jarak yang dipakai. Telah dibahas di
depan, jika diberikan dua titik dan , maka jarak kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
titik tersebut dalam Geometri Euclid, ditulis , adalah
√ . Dalam Geometri Taxicab jarak dari ke ,
ditulis , didefinisikan sebagai berikut.
| | | |
Diskusi lebih mendalam disajikan dalam Bab III. Pembahasan pada Bab II
ini, diskusi tentang Geometri Taxicab yang disinggung sekilas untuk
membandingkan dengan Geometri Euclid dan Geometri-geometri non-
Euclid lainnya.
Contoh 2.2
Perhatikan Gambar 2.14. Jarak titik ke dalam Geometri Euclid adalah
√ √ . Dalam Geometri Taxicab Jarak titik ke
adalah .
Gambar 2.14. Ilustrasi jarak untuk Contoh 2.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
BAB III
GEOMETRI TAXICAB
Bab ini membahas secara lebih mendalam tentang Geometri Taxicab.
Pembahasan dimulai dengan latar belakang kemunculan geometri tersebut. Pada
bagian selanjutnya, akan dibahas definisi formal Geometri Taxicab dan benda-
benda geometris irisan kerucut (lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola) pada
Geometri Taxicab.
A. LATAR BELAKANG TAXICAB
Pada bab II telah dibahas secara khusus tentang Geometri Euclid
dengan kelima postulatnya. Pada awal abad ke-19, para matematikawan mulai
melakukan eksplorasi geometri lain selain Euclid, yang dikenal dengan
Geometri Non-Euclid. Hal ini tidak berarti bahwa Geometri Euclid tidak lagi
diperlukan. Geometri Euclid tetap berguna dalam Matematika dan juga
aplikasinya dalam hidup sehari-hari.
Para matematikawan menemukan beberapa kekurangan yang dimiliki
oleh Geometri Euclid, khususnya jika diaplikasikan dalam permasalahan
hidup sehari-hari. Misalnya, bagaimana mengukur jarak terpendek dua tempat,
misalnya titik dan titik , dalam sebuah kota? Geometri Euclid
mengandaikan adanya ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut,
sehingga jarak terpendek adalah panjang ruas garis tersebut. Dalam konteks
kota, ruas garis tersebut tidak selalu ada. Jarak titik dan titik harus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
mengikuti jalan-jalan yang ada di kota tersebut. Inilah yang kemudian
memunculkan konsep Geometri Taxicab.
Para matematikawan menyetujui bahwa Geometri Taxicab
diperkenalkan oleh seorang matematikawan dan ahli fisika Hermann
Minkowski (Reinhard, 2005). Perlu dicatat bahwa Minkowski tidak
menggunakan istilah Geometri Taxicab untuk geometri non-Euclid yang
diperkenalkannya. Istilah Geometri Taxicab baru diperkenalkan dalam sebuah
pameran geometri di Museum Sains dan Industri di kota Chicago pada tahun
1952 (Golland, 1990). Pameran tersebut diprakarsai oleh seorang
matematikawan bernama Karl Menger. Geometri Taxicab bermula dari
kenyataan kota Manhattan yang memiliki banyak gedung perkantoran dan
jalanan yang mengitari gedung-gedung tersebut terbentuk pola grid (kotak-
kotak).
B. DEFINISI GEOMETRI TAXICAB
Telah dibahas bahwa Geometri Taxicab memiliki dasar pola kotak-
kotak. Dengan demikian, Geometri Taxicab memiliki konsep jarak yang
berbeda dengan konsep jarak dalam Geometri Euclid. Sebelum masuk pada
Geometri Taxicab, perlu diingat kembali definisi nilai mutlak seperti
dicantumkan dalam Definisi 3.1 berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Definisi 3.1
Jika , maka nilai mutlak , ditulis | |, didefinisikan dengan
| | {
Gambar 3.1. Jarak titik dan dalam Geometri Euclid
Pada Gambar 3.1 diberikan titik dan titik . Jarak
antara titik ke menggunakan Geometri Euclid adalah
√
Dalam Geometri Taxicab jarak titik ke titik didefinisikan dalam Definisi
3.2 berikut.
Definisi 3.2
Diberikan dua titik dan titik dalam bidang Kartesius. Jarak
titik dan titik dalam Geometri Taxicab adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
| | | |
Dalam persamaan pada Definisi 3.1, nilai | | merupakan nilai mutlak
selisih absis titik dan titik . Hal ini berarti | | merepresentasikan
jarak titik dan pada arah sumbu-x. Dengan argumen yang sama, | |
yang merupakan nilai mutlak selisih ordinat merepresentasikan jarak titik
dan pada arah sumbu-y. Dengan demikian, dalam Geometri Taxicab, jarak
antara dua titik dan adalah jumlah jarak titik dan pada arah sumbu
dan pada arah sumbu . Untuk memperjelas konsep ini, diberikan ilustrasi
seperti dalam Contoh 3.1.
Contoh 3.1
Diberikan titik dan titik dalam bidang Kartesius. Gambar
3.1 memperlihatkan ilustrasi konsep jarak baik dalam Geometri Euclid
maupun dalam geometri taxicab. Dalam Geometri Euclid, jarak titik dan
titik dinyatakan dengan panjang ruas garis , dan ruas garis itu hanya
tunggal. Dengan demikian, dalam Geometri Euclid, jarak titik dan titik ,
ditulis , adalah
√
√ √
Dalam geometri taxicab, jarak titik dan titik dapat diilustrasikan dengan
berbagai macam lintasan. Gambar 3.2 memberikan dua lintasan dari titik ke
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
titik dan keduanya memiliki jarak yang sama. Jarak titik dan titik
dalam Geometri Taxicab, ditulis , adalah
| | | |
(a) (b)
Gambar 3.2. Ilustrasi konsep jarak dalam (a) Geometri Euclid, dan (b)
Geometri Taxicab.
Konsep yang sama tetap berlaku untuk titik-titik yang tidak tepat terletak pada
persimpangan garis pola kotak-kotak. Hal itu diilustrasikan dalam Contoh 3.2
dan Gambar 3.3
Contoh 3.2
Diketahui titik
dan titik
. Dalam Geometri Taxicab,
jarak titik dan adalah |
| | | .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Gambar 3.3. Geometri taxicab untuk titik-titik tidak terletak pada
persilangan pola kotak-kotak.
Menarik untuk diselidiki bagaimana hubungan antara jarak dua titik pada
Geometri Euclid dan pada Geometri Taxicab. Sebelum menjawab pertanyaan
tersebut, akan dibahas Lemma 3.1 dan Lemma 3.2 berikut.
Lemma 3.1
Jika , maka | | √ .
Bukti.
Karena , maka bilangan-bilangan dan adalah
akar-akar pangkat dua dari . Jika , maka adalah akar pangkat dua
dari yang bernilai tidak negatif. Jika , maka adalah akar pangkat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
dua dari yang bernilai tidak negatif. Karena √ adalah akar pangkat dua
dari yang bernilai tidak negatif, maka
√ , untuk
√ , untuk .
Jadi, dengan menggunakan Definisi 3.1, √ | |. ■
Lemma 3.2
Jika , maka √ √ √ .
Bukti.
Karena √ , dan menggunakan hasil 1, maka
√ √ √ √(√ √ ) |√ √ |
Karena √ dan √ , maka |√ √ | √ √ , sehingga diperoleh
pertidaksamaan
√ √ √ . ■
Teorema 3.1 berikut mendiskusikan hubungan antara jarak dua titik pada
Geometri Euclid dan Geometri Taxicab.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Teorema 3.1
Diberikan titik dan titik . Jika dan
menyatakan jarak kedua titik tersebut berturut-turut, dalam Geometri Euclid
dan Geometri Taxicab, maka berlaku hubungan .
Bukti.
Jarak titik A dan B dalam Geometri Euclid adalah,
√
dan dalam Geometri Taxicab adalah
| | | |
Dari Lemma 3.2,
√
√ √
Dari Lemma 3.1,
√ | | dan √ | |.
Dengan demikian, diperoleh
√ √ √
| | | |
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Jadi . ■
C. KELILING DAN LUAS BANGUN-BANGUN GEOMETRIS
Sebelum membahas tentang bangun-bangun geometris bidang datar
dengan pendekatan Geometri Taxicab, akan dibahas terlebih dahulu konsep
keliling lingkaran dan luas. Konsep-konsep ini akan dipakai dalam
pembahasan selanjutnya. Perbedaan yang mendasar antara Geometri Euclid
dan Geometri Taxicab adalah konsep jarak. Perbedaan tersebut akan
mengakibatkan perbedaan pada konsep-konsep geometris yang lain,
khususnya yang memakai konsep jarak. Berikut akan dibahas konsep keliling
dan luas dalam Geometri Taxicab.
Seringkali, keliling dan luas suatu bangun geometris antara Geometri
Euclid dan Geometri Taxicab sama. Hal itu disebabkan karena jarak-jarak
yang terlibat dalam penghitungan tersebut juga tidak berbeda. Perhatikan
Contoh 3.3 dan Gambar 3.4 berikut.
Contoh 3.3
Diketahui sebuah persegi panjang seperti diperlihatkan dalam Gambar
3.4. Panjang sisi dan , berturut-turut, adalah dan satuan panjang.
Dalam Geometri Euclid, keliling persegi panjang adalah satuan
panjang. Hasil itu sama dengan keliling dalam Geometri Taxicab, karena
dalam Geometri Taxicab, panjang = satuan panjang dan panjang = 5
satuan panjang. Hal yang sama juga berlaku untuk luas persegi panjang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
. Baik dalam Geometri Euclid maupun dalam Geometri Taxicab, luas
persegi panjang adalah satuan luas.
Gambar 3.4. Persegi panjang dan segitiga .
Contoh 3.4 berikut memberikan ilustrasi berkaitan dengan luas dan keliling
bangun segitiga dalam Geometri Taxicab.
Contoh 3.4
Diberikan sebuah segitiga seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.4.
Panjang , yaitu panjang alas segitiga adalah satuan panjang. Tinggi
segitiga tersebut adalah satuan panjang. Dengan demikian, luas segitiga
tersebut, baik dalam Geometri Euclid maupun dalam Geometri Taxicab,
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
.
Perbedaan terjadi pada keliling segitiga tersebut. Dalam Geometri
Euclid, panjang sisi = √ , sedangkan panjang sisi √ Jadi
keliling segitiga dalam Geometri Euclid adalah
√ √ satuan panjang.
Hasil perhitungan tersebut berbeda dengan keliling segitiga menurut
Geometri Taxicab. Dalam Geometri Taxicab, panjang sisi dan
panjang sisi . Jadi keliling segitiga dalam Geometri Taxicab
adalah
satuan panjang.
Contoh 3.5
Diberikan bangun geometris persegi seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.5.
Dalam Geometri Euclid, panjang sisi persegi adalah satuan panjang.
Dengan demikian persegi memiliki keliling satuan panjang
dan luas satuan luas. Dalam Geometri Taxicab, panjang sisi persegi
adalah satuan panjang. Dengan demikian keliling persegi tersebut
adalah satuan panjang dan luas persegi adalah
satuan luas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 3.5. Persegi
D. BANGUN-BANGUN GEOMETRIS DALAM GEOMETRI TAXICAB
Setelah membahas konsep jarak dalam Geometri Taxicab dan
implikasinya untuk keliling dan jarak dalam benda-benda geometris
berdimensi dua, selanjutnya menarik untuk mempelajari bagaimana bangun-
bangun geometri, yang sudah biasa dikenal dalam Geometri Euclid, seperti
lingkaran, elips, hiperbola dan parabola. Menarik pula untuk mengetahui
bagaimana benda-benda geometris tersebut dilukiskan dengan menggunakan
konsep geometri taxicab. Bagian ini akan membahas bangun-bangun tersebut
dengan menggunakan konsep jarak seperti digunakan dalam Geometri
Taxicab.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
1. Lingkaran
Dalam bab II telah dibahas konsep lingkaran dalam geometri
Euclid. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap sebuah titik yang disebut titik pusat. Karena konsep jarak dalam
geometri taxicab berbeda dengan geometri Euclid, tentu menarik untuk
mempelajari bagaimana bentuk lingkaran dalam geometri taxicab. Sebagai
konsekuensi, persamaan lingkaran dalam geometri taxicab tentu berbeda
dengan persamaan lingkaran yang terdapat pada geometri Euclid. Sekedar
mengulang, persamaan lingkaran dalam geometri Euclid yang berpusat di
titik dan berjari-jari r adalah
Persamaan itu diturunkan dari konsep jarak yang dipakai dalam geometri
Euclid. Teorema berikut membahas persamaan lingkaran dalam Geometri
Taxicab.
Teorema 3.2
Dalam Geometri Taxicab, persamaan lingkaran yang berpusat di titik
dan berjari-jari adalah
| | | |.
Bukti.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap titik pusat Misalkan titik adalah sembarang titik yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
terletak pada lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari . Dalam
Geometri Taxicab, jarak titik dan , adalah
| | | |
Karena menyatakan jari-jari lingkaran, maka .
Dengan demikian, diperoleh persamaan berikut:
| | | |.
Karena titik adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran,
maka persamaan yang terakhir tersebut merupakan tempat kedudukan
titik-titik yang berjarak dengan .
Jadi persamaan | | | | merupakan persamaan lingkaran
yang berjari-jari dan berpusat di titik . ∎
Contoh 3.6
Gambar 3.6 memperlihatkan lingkaran dengan pusat dan berjari-
jari , baik untuk geometri Euclid maupun Geometri Taxicab.
Lingkaran dalam geometri taxicab dilukiskan dengan warna merah. Titik-
titik yang diperlihatkan adalah beberapa titik-titik yang berjarak tiga
terhadap titik pusat .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 3.6. Lingkaran berjari-jari
Misalkan titik terletak pada lingkaran yang berpusat di
Persamaan lingkaran dengan pusat di dan melalui titik adalah sebagai
berikut.
| | | | | | | |
Contoh 3.7
Gambar 3.7 memperlihatkan sebuah lingkaran yang berpusat di
dan melalui titik Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah
| | | | | | | |
| | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 3.7. Lingkaran berpusat di dan melalui titik
Dalam ilustrasi-ilustrasi yang diberikan pada Gambar 3.7, sisi miring
lingkaran memiliki kemiringan 1 atau -1. Apakah hal itu berlaku umum?
Hal ini akan dibahas dalam Lemma 3.3 dan Teorema 3.3 berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 3.8. Lingkaran berpusat di dan berjari-jari
Lemma 3.3
Diberikan sebuah lingkaran dalam Geometri Taxicab yang berpusat di titik
dan berjari-jari . Maka titik-titik , ,
, dan adalah titik-titik segi empat .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.8. Karena jarak titik dan adalah , maka titik
terletak pada lingkaran. Hal serupa berlaku untuk titik-titik , , dan .
Semua titik tersebut berjarak dengan titik . Selanjutnya akan
diperlihatkan bahwa titik-titik tersebut merupakan titik-titik sudut.
Diberikan bilangan positif . Titik tidak terletak pada
lingkaran karena jarak titik ke titik lebih besar dari . Dengan
argumen yang sama, titik-titik , , dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
tidak terletak pada lingkaran. Jadi titik adalah
satu-satunya titik yang terletak pada lingkaran dengan ordinat . Titik
juga merupakan satu-satunya titik pada lingkaran dengan absis
. Selanjutnya, semua titik dengan absis juga tidak
terletak pada lingkaran, karena jarak titik-titik tersebut ke titik pasti
lebih besar dari .
Misalkan titik terletak pada lingkaran, maka hanya tepat
dua kemungkinan nilai untuk , yaitu dan . Hanya
titik-titik dan yang berjarak
dengan titik . Jadi titik adalah titik sudut.
Dengan argumen yang sama, titik-titik , , dan
adalah titik-titik sudut segi empat . ∎
Teorema 3.3
Dalam Geometri Taxicab, lingkaran merupakan sebuah persegi dengan
sisi-sisi miring lingkaran memiliki kemiringan 1 atau -1.
Bukti.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari . Lemma
3.1 menyebutkan bahwa titik-titik , , ,
dan adalah titik-titik segi empat . Dengan demikian,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
kemiringan ruas garis AB dan ruas garis CD adalah -1, sedangkan
kemiringan ruas garis AD dan BC adalah 1. Karena = =
= = , maka segi empat ABCD merupakan sebuah
persegi. ∎
Menarik untuk diselidiki keliling dan luas lingkaran dalam Geometri
Taxicab. Untuk ilustrasi, perhatikan lingkaran pada Contoh 3.8 dan
Gambar 3.9.
Contoh 3.8
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat lingkaran titik dan
berjari-jari seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.9. Dalam Geometri
Taxicab, keliling lingkaran tersebut adalah:
Keliling =
Karena jarak dalam Geometri Taxicab,
= 10,
maka keliling lingkaran adalah 40 satuan panjang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 3.9. Lingkaran berpusat di
Jika diberikan sebuah lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari
dengan persamaan | | | | . Bagaimana mencari
keliling lingkaran tersebut?
Toerema 3.4
Diberikan lingkaran dengan pusat di titik dan berjari-jari
Keliling lingkaran tersebut dalam Geometri Taxicab adalah
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Bukti:
Perhatikan Gambar 3.10. Teorema 3.3 telah memperlihatkan bahwa
lingkaran dengan titik pusat dan berjari-jari merupakan sebuah
persegi, dengan panjang sisi Jadi keliling lingkaran adalah
= . ∎
Gambar 3.10. Lingkaran berpusat di berjari-jari
Teorema 3.5
Diberikan lingkaran dengan pusat di titik dan berjari-jari Luas
lingkaran tersebut dalam Geometri Taxicab adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
.
Bukti.
Perhatikan ilustrasi lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari
pada Gambar 3.9. Untuk menentukan luas lingkaran tersebut, perhatikan
daerah segitiga yang diarsir. Luas lingkaran adalah empat kali luas segitiga
tersebut. Karena luas segitiga yang diarsir adalah
maka luas lingkaran
adalah
∎
2. Elips
Dalam Geometri Euclid, elips didefinisikan sebagai tempat
kedudukan titik-titik , dimana jumlah jarak setiap titik terhadap dua
titik tertentu, misalnya dan , yang bukan anggota himpunan tersebut
adalah tetap. Definisi yang sama dipakai juga dalam Geometri Taxicab.
Teorema 3.6
Persamaan elips dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik-titik fokus
dan dengan jumlah jarak tetap adalah
| | | | | | .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Bukti.
Misal titik-titik dan adalah titik-titik fokus sebuah elips,
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap adalah , seperti diilustrasikan
dalam Gambar 3.10. Jika P adalah titik pada elips, maka diperoleh
persamaan sebagai berikut.
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | |
∎
Proposisi 3.1
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka elips memotong
sumbu- di titik-titik dan .
Bukti:
Perhatikan titik seperti diperlihatkan pada Gambar 3.10. Maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Jadi titik terletak pada elips. Bukti serupa berlaku untuk titik
∎
\
Gambar 3.11. Elips dengan titik fokus dan .
Perhatikan Gambar 3.10. Elips tersebut memiliki titik-titik dan
sebagai titik-titik fokus, serta ditentukan jumlah jarak yang tetap
. Elips berpusat di titik dan memiliki dua sumbu, yaitu ruas
garis yang disebut sumbu mayor (sumbu utama) dan ruas garis
yang disebut sumbu minor (sumbu sekawan). Titik dan
disebut titik-titik puncak elips.
Proposisi 3.2
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Jika elips memotong sumbu-y
di titik-titik dan , maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Bukti:
Misalkan, elips memotong sumbu-y positif di . Karena terletak
pada elips maka
Tetapi karena , maka diperoleh persamaan berikut
Namun, karena , maka
. ∎
Proposisi 3.3
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka titik
dan terletak pada elips tersebut.
Bukti.
Perhatikan titik-titik , , , dan pada
Gambar 3.10. Perlu diingat dari Proposisi 3.2, bahwa . Untuk
titik , berlaku persamaan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Jadi titik terletak pada elips.
Untuk titik , berlaku persamaan
Jadi titik terletak pada elips.
Perhitungan serupa berlaku untuk titik-titik dan . ∎
Contoh 3.9
Lukis elips yang memiliki titik-titik fokus dan , serta
melalui titik .
Pembahasan.
Dari informasi tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa dan titik
terletak pada elips. Karena , maka . Hal itu
berarti elips tersebut memotong sumbu-y di titik dan
Selanjutnya, persamaan elips tersebut adalah
| | | | | |
Elips tersebut dilukiskan pada Gambar 3.12.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Gambar 3.12. Elips dengan titik fokus dan , dan
melalui titik .
Proposisi 3.4
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka sisi-sisi miring elips
tersebut memiliki kemiringan atau
Bukti.
Perhatikan ilustrasi pada Gambar 3.13. Pertama-tama akan diperlihatkan
bahwa titik-titik dan
adalah titik-titik sudut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Gambar 3.13. Elips dengan titik fokus dan .
Perhatikan titik , . Maka
dan
.
Jadi
+ .
Sebagai konsekuensi, titik tidak terletak pada elips.
Jadi titik adalah satu-satunya titik dalam elips yang memiliki
absis , dan titik merupakan satu-satunya titik yang memiliki
absis
Perhatikan titik , . Maka
dan
.
Jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
+ .
Sebagai konsekuensi, titik , tidak terletak pada elips.
Dengan argumen-argumen tersebut, maka titik-titik
dan adalah
titik-titik sudut.
Perhatikan sisi miring yang menghubungkan titik dan titik
. Karena = , maka garis memiliki
kemiringan Dengan argumen yang sama, garis juga memiliki
kemiringan , dan garis-garis dan memiliki kemiringan . Jadi
sisi-sisi miring elips memiliki kemiringan atau - ∎
Seperti dalam pembahasan tentang lingkaran, menarik untuk ditinjau
keliling dan luas elips.
Teorema 3.7
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka keliling elips adalah
dan luas elips adalah .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 3.14. Elips dengan titik fokus dan .
Panjang sisi . Panjang sisi
Jadi keliling elips adalah
Luas elips dapat dinyatakan dengan luas persegi panjang . Dengan
demikian, luas elips adalah
∎
Elips yang dibahas di atas adalah elips dengan titik-titik fokus berada pada
sumbu- dan pusat elips adalah titik asal . Bagaimana dengan elips
yang berpusat di titik pusat tetapi titik-titik fokusnya berada pada
sumbu- , misalkan dan .
Teorema 3.8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Persamaan elips dalam Geometri Taxicab yang memiliki pusat
dan dengan jumlah jarak tetap adalah
| | | | | | .
Bukti.
Diberikan titik-titik fokus dan dan ditentukan jumlah
jarak yang tetap adalah . Perhatikan ilustrasi pada Gambar 3.14 . Jika
P adalah titik pada elips, maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | |
∎
Proposisi 3.5
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka elips memotong
sumbu-y di titik-titik
Bukti.
Dalam Gambar 3.14, perhatikan titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Jadi titik terletak pada elips. Bukti serupa berlaku untuk titik .
∎
Gambar 3.15. Elips dengan titik fokus dan
dengan jumlah jarak
Elips seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.15 memiliki pusat
Ruas garis merupakan sumbu utama, dan ruas garis adalah
sumbu sekawan elips tersebut. Titik-titik puncak elips adalah
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Proposisi 3.6
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Jika elips memotong
sumbu di titik-titik dan , maka .
Bukti:
Misalkan, elips memotong sumbu-y positif di . Karena titik E
terletak pada elips maka
Tetapi karena , maka diperoleh persamaan berikut
Namun, karena , maka
. ∎
Contoh 3.10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Lukis elips yang memiliki titik-titik fokus dan , serta
melalui titik .
Pembahasan.
Dari informasi tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa dan
karena titik terletak pada elips. Karena , maka
Hal itu berarti elips tersebut memotong sumbu-y di titik dan
. Selanjutnya, persamaan elips tersebut adalah
| | | | | | .
Elips tersebut dilukiskan pada Gambar 3.16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Gambar 3.16. Elips dengan titik fokus dan , dan melalui titik .
Proposisi 3.7
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka titik-titik
dan adalah titik-titik pada elips. Lebih
dari itu, titik-titik dan
merupakan titik-titik sudut pada elips.
Bukti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Bagian pertama akan diperlihatkan bahwa titik-titik
dan terletak pada elips. Perhatikan Gambar 3.17.
Gambar 3.17. Elips dengan titik fokus dan dengan
jumlah jarak
Perhatikan titik .
Jadi titik terletak pada elips. Untuk titik-titik yang lain, bukti
dengan perhitungan serupa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Akan diperlihatkan bahwa titik merupakan titik sudut. Perhatikan
titik , dengan . Karena dan
, maka
atau
Jadi, titik tidak pada elips. Konsekuensinya, titik adalah
titik sudut. Untuk titik-titik dan menggunakan
bukti serupa.
Akan diperlihatkan bahwa titik adalah titik sudut. Perhatikan titik
, dengan | | Karena dan ,
maka
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Jadi titik tidak pada elips. Konsekuensinya, titik adalah
titik sudut. Dengan cara yang sama, dapat diperlihatkan bahwa titik
juga merupakan titik sudut. ∎
Seperti pada kasus elips dengan sumbu utama pada sumbu , sisi-sisi
miring elips dengan sumbu utama sumbu juga memiliki kemiringan
atau Hal itu didiskusikan dalam Proposisi 3.8 berikut.
Proposisi 3.8
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka sisi-sisi miring elips
tersebut memiliki kemiringan atau
Bukti.
Perhatikan sisi miring yang menghubungkan titik dan titik
. pada Gambar 3.16. Karena = , maka garis
AB memiliki kemiringan . Dengan argumen yang sama, garis juga
memiliki kemiringan , dan garis-garis dan memiliki kemiringan
. Jadi sisi-sisi miring elips memiliki kemiringan atau . ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Elips yang memiliki sumbu utama vertikal memiliki keliling dan luas yang
serupa dengan elips dengan sumbu utama horisontal. Secara rinci dibahas
dalam Teorema berikut.
Teorema 3.9
Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka keliling elips adalah
dan luas elips adalah .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.18.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Gambar 3.18. Elips dengan titik fokus dan .
Panjang sisi . Panjang
Jadi keliling elips adalah
Luas elips dapat dinyatakan dengan luas persegi panjang . Dengan
demikian, luas elips adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
∎
Telah dibahas dua jenis elips, yaitu elips yang memiliki sumbu utama
horisontal dan elips dengan sumbu utama vertikal. Namun keduanya
berpusat di titik pusat . Bagaimana dengan elips yang memiliki
sumbu-sumbu sejajar sumbu koordinat tetapi titik pusat tidak di ?
Hal itu akan didiskusikan dalam pembahasan berikut.
Teorema 3.10
Persamaan elips dalam Geometri Taxicab yang berpusat di titik
dan memiliki titik-titik fokus pusat dan dengan
jumlah jarak tetap adalah
| | | | | | .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Bukti.
Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan konsep translasi
(Gambar 3.19).
Perlu diingat bahwa transformasi geometris translasi tidak mengubah
bangun geometris, hanya menggeser posisi.
Gambar 3.19. Elips dengan titik pusat dan memiliki titik-titik
fokus dan
Diketahui sebuah elips yang berpusat di titik dan memiliki titik-
titik fokus pusat dan dengan jumlah jarak tetap
. Dengan transformasi translasi terhadap vektor ( ), bayangan
titik adalah titik , dan titik-titik fokus
serta ditranslasikan ke dan
. Berdasarkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Teorema 3.6, misalkan titik adalah titik pada elips yang berpusat di
titik dan memiliki fokus dan
, maka diperoleh
persamaan
| | | | | | .
Sekarang elips yang berpusat di titik ditranslasikan dengan vektor
translasi ( ). Jika titik-titik adalah titik-titik hasil translasi oleh
vektor translasi tersebut, maka diperoleh persamaan berikut
( ) (
)
atau ekuivalen dan . Jadi persamaan elips hasil
translasi adalah
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
Jadi persamaan elips yang berpusat di titik dan memiliki titik-titik
fokus pusat dan dengan jumlah jarak tetap
adalah
| | | | | | ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Contoh 3.11
Tentukan persamaan elips dengan titik-titik fokus dan ,
dengan jarak tetap . Selanjutnya tentukan keliling dan luas elips
tersebut.
Gambar 3.20. Elips dengan titik fokus dan dengan
Pembahasan.
Gambar 3.20 memperlihatkan elips dengan titik-titik fokus dan
dengan Pusat elips tersebut adalah titik dan
. Jadi persamaan elips tersebut adalah
| | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
| | | | | |
Dengan mengamati Gambar 3.20, keliling elips adalah 28 satuan panjang
dan luas elips adalah 32 satuan luas.
Perlu dicatat bahwa keliling dan luas elips dapat ditentukan dengan
menggunakan Teorema 3.7. Teorema tersebut juga berlaku untuk elips
dengan pusat tidak di titik , karena nilai a dan c sama. Dimanapun
pusat elips, jika nilai a dan c sama, maka keliling dan luas elips juga sama.
Selanjutnya, akan dibahas elips yang berpusat di titik dengan
sumbu utama vertikal. Hal ini akan dibahas dalam Teorema 3.11. Bukti
detail tidak akan dibahas karena sangat mirip dengan bukti dalam Teorema
3.10.
Teorema 3.11
Diberikan elips dengan pusat titik , dan titik-titik fokus
dan dengan jumlah jarak tetap . Maka persamaan elips
tersebut adalah
| | | | | | .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Contoh 3.12
Tentukan persamaan elips yang memiliki titik-titik fokus dan
, serta jumlah jarak tetap adalah 8. Tentukan keliling dan luas elips
tersebut.
Pembahasan.
Perhatikan Gambar 3.21. Karena titik-titik fokusnya adalah dan
, maka titik pusatnya adalah dan nilai . Dengan
demikian persamaan elips tersebut adalah
| | | | | |
| | | | | | .
Keliling elips tersebut adalah 24 satuan panjang dan luasnya adalah 24
satuan luas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Gambar 3.21. Elips dengan titik fokus dan dengan
.
Keliling dan luas elips untuk Contoh 3.12 juga dapat dihitung dengan
menggunakan Teorema 3.7. Meskipun elips dalam Contoh 3.12 tidak
berpusat di titik , nilai-nilai a dan c adalah sama.
Elips yang dibicarakan dalam pembahasan sebelumnya adalah
elips dengan sumbu utama sejajar sumbu-x atau sumbu-y. Bagaimana
dengan elips dengan sumbu utama tidak horisontal maupun tidak vertikal.
Sebagai ilustrasi, Gambar 3.20 memperlihatkan elips yang berpusat di titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
dengan titik fokus dan dengan jumlah jarak
tetap
Gambar 3.22. Elips dengan titik fokus dan
dengan
Teorema 3.12
Diketahui elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus
, dengan , , | | | | , dan jumlah jarak tetap
, dengan . Maka persamaan elips tersebut adalah
| | | | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Bukti.
Pertama-tama perlu disepakati bahwa karena titik pusat elips adalah
dan salah satu titik fokus elips tersebut adalah , maka
.
Gambar 3.23. Elips yang berpusat di dengan salah satu
titik fokus
Perhatikan Gambar 3.23. Misalkan titik terletak pada elips
tersebut. Maka berlaku persamaan-persamaan berikut.
| | | | | | | |
| | | | | | | | ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Contoh 3.13
Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik dengan salah satu
titik fokus dan jumlah jarak tetap 8 satuan panjang. Tentukan
keliling dan luas elips tersebut.
Pembahasan.
Karena salah satu titik fokus elips tersebut adalah , maka
. Persamaan elips tersebut adalah
| | | | | | | |
| | | | | | | |
Elips tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.24.
Gambar 3.24. Elips yang berpusat di dengan salah satu titik fokus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Dengan mengamati Gambar 3.24, keliling elips tersebut adalah
Luas elips adalah luas persegi panjang + 2 luas persegi panjang
+ 4 luas segitiga .
(
) .
Teorema 3.13
Diberikan sebuah elips yang berpusat di titik , dengan salah satu
titik fokus , dengan , , | | | | , dan jumlah
jarak tetap , dengan . Maka keliling elips tersebut adalah
| | | |
dan luas elips tersebut adalah
| | [ | | | | ].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Bukti.
Gambar 3.25. Ilustrasi Keliling dan Luas elips yang berpusat
di dengan salah satu titik fokus
Perhatikan Gambar 3.25. Akan dihitung panjang serta . Karena
titik A terletak pada elips maka berlaku persamaan
| | | |
| | | |
| | | |
.
Dengan perhitungan yang sama,
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa panjang , , dan ,
berturut-turut adalah , , dan .
Jadi keliling elips adalah
| | | |
| | | | .
Luas elips adalah luas persegi panjang + 2 persegi panjang
+ 4 segitiga . Perlu diingat bahwa panjang | |, | |,
, dan . Dengan demikian,
| | | | | | (
)
| | [ | | | | ]
■
Bagaimana dengan elips yang berpusat tidak di titik seperti
yang diperlihatkan dalam Gambar 3.26? Bisakah ditentukan persamaan
elips tersebut? Hal ini akan didiskusikan dalam Teorema 3.13.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Gambar 3.26 Elips yang berpusat di titik dan salah satu titik
fokus dengan
Teorema 3.14
Diketahui elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus
, dengan , , | | | | , dan jumlah jarak
tetap , dengan . Maka persamaan elips tersebut adalah
| | | | | | | |
Bukti.
Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan hasil pada Teorema
3.12 dan konsep translasi. Perhatikan Gambar 3.27.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Gambar 3.27. Elips dengan titik pusat dengan salah satu titik
fokus .
Elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus
, dengan , , | | | | , dan jumlah jarak tetap
, dengan , jika ditranslasikan dengan vektor translasi ( ),
maka elips yang berpusat dan salah satu titik fokusnya adalah
. Dengan menggunakan Teorema 3.12, maka persamaan elips
tersebut adalah
| | | | | | | |
Jika elips yang berpusat pada titik ditranslasikan oleh vektor
translasi ( ) maka diperoleh elips yang berpusat pada titik
dengan salah satu titik fokus adalah , dan persamaan
elips tersebut adalah
| | | | | | | | ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Contoh 3.14
Tentukan persamaan, luas dan keliling, elips yang berpusat di titik
dengan salah satu titik fokus adalah , dengan jumlah jarak tetap 5.
Pembahasan.
Ilustrasi elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus
adalah diperlihatkan dalam Gambar 3.26. Karena salah satu titik
fokusnya adalah , maka nilai dan . Dengan
demikian, persamaan elips tersebut adalah
| | | | | | | |
| | | | | | | | .
Untuk menentukan keliling dan luas elips, bisa digunakan hasil dalam
Teorema 3.13. Teorema tersebut bisa juga dipakai untuk elips yang
berpusat tidak di titik .
Keliling elips adalah
| | | |
| | | | (
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Luas elips adalah
| | [ | | | | ]
| |
[ | | | |
]
[ ]
.
3. Hiperbola
Hiperbola didefinisikan sebagai himpunan semua titik dimana selisih jarak
titik-titik tersebut dengan dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan
adalah tetap. Kedua titik tertentu yang bukan anggota himpunan disebut
titik-titik fokus. Garis lurus yang melalui kedua titik fokus disebut sumbu
utama. Pusat hiperbola adalah titik tengah kedua titik fokus tersebut.
Diberikan dua titik fokus dan . Bagaimana
persamaan hiperbola tersebut dalam Geometri Taxicab? Perlu dicatat
bahwa hiperbola tersebut memiliki sumbu utama yang berimpit dengan
sumbu-x. Persamaan hiperbola dibahas dalam Teorema 3.15 berikut.
Teorema 3.15
Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat
O(0,0), dan titik-titik fokus dan , dengan selisih jarak
tetap adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
|| | | || .
Bukti.
Misal titik-titik dan adalah titik-titik fokus sebuah
hiperbola, serta ditentukan selisih jarak yang tetap adalah Seperti
diilustrasikan pada gambar 3.28. Jika adalah titik yang terdapat
pada hiperbola, maka diperoleh persamaan sebagai berikut,
| |
| | | | | | | | | |
|| | | | | | | ||
|| | | ||
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Gambar 3.28 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus dan
Karena titik adalah sembarang titik yang terletak pada hiperbola,
maka persamaan || | | || merupakan tempat kedudukan
titik-titik dimana selisih jarak titik-titik tersebut dengan kedua titik fokus
dan adalah . ■
Teorema 3.16 berikut membahas hiperbola dalam Geometri Taxicab yang
berpusat di titik dan memiliki titik-titik fokus dan
. Pembuktian dalam Teorema 3.16 serupa dengan pembuktian
dalam Teorema 3.15.
Teorema 3.16
Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat
O(0,0), dan titik-titik fokus dan , dengan selisih jarak
tetap adalah
|| | | || .
Bukti.
Misal titik-titik dan adalah titik-titik fokus sebuah
hiperbola, serta ditentukan selisih jarak yang tetap adalah Jika
adalah titik yang terdapat pada hiperbola, maka diperoleh persamaan
sebagai berikut,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
| |
| | | | | | | | | |
|| | | | | | | ||
|| | | ||
Karena titik adalah sembarang titik yang terletak pada hiperbola,
maka persamaan || | | || merupakan tempat kedudukan
titik-titik dimana selisih jarak titik-titik tersebut dengan kedua titik fokus
dan adalah . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Gambar 3.29 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus
dan
Teorema 3.17 berikut mendiskusikan hiperbola dengan pusat di titik
tetapi memiliki titik-titik fokus yang tidak terletak pada sumbu-
sumbu koordinat.
Teorema 3.17
Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat
, dan titik-titik fokus dan , dengan | |
| | , serta selisih jarak tetap , adalah
|| | | | | | | || .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.30. Misalkan titik terletak pada hiperbola,
maka berdasarkan definisi hiperbola, akan diperoleh persamaan
| |
|| | | | | | | | |
|| | | | | | | ||
Karena titik adalah sebarang titik yang terletak pada hiperbola,
maka semua titik yang memenuhi persamaan || | | |
| | | || merupakan titik-titik dengan selisih jarak titik-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
titik tersebut terhadap kedua titik fokus dan adalah
. ■
Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus
dan .
Contoh 3.15
Tentukan persamaan hiperbola yang berpusat di titik dan memiliki
titik-titik fokus dan dan selisih jarak tetap .
Pembahasan.
Karena titik-titik fokus hiperbola adalah dan , maka
nilai dan . Berdasarkan Teorema 3.17, persamaan parabola
tersebut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
|| | | | | | | ||
Hiperbola diilustrasikan dalam Gambar 3.31.
Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus
dan .
Teorema 3.15, 3.16, dan 3.17 membahas hiperbola dengan pusat .
Bagaimana dengan hiperbola yang memiliki pusat titik ? Hal ini
dibahas dalam Teorema 3.18, 3.19, dan 3.20 berikut. Pembuktian ketiga
teorema tersebut menggunakan persamaan hiperbola dengan pusat di titik
dan konsep translasi dengan vektor translasi ( ).
Teorema 3.18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat
, dan titik-titik fokus dan , dengan selisih
jarak tetap adalah
|| | | || .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.31. Hiperbola dengan pusat di titik , dengan
titik-titik fokus dan , jika ditranslasikan oleh
vektor translasi ( ) diperoleh hiperbola yang berpusat di titik
, dengan titik-titik fokus dan . Dengan
menggunakan hasil dalam Teorema 3.15, maka persamaan hiperbola hasil
translasi tersebut adalah || | | || . Jika persamaan tersebut
ditranslasikan dengan vektor translasi ( ), maka diperoleh persamaan
hiperbola yang berpusat di titik , dengan titik-titik fokus
dan . Persamaan hiperbola tersebut adalah
|| | | || . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Gambar 3.31 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik fokus
dan
Teorema 3.19
Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat
, dan titik-titik fokus dan , dengan selisih
jarak tetap adalah
|| | | || .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.32. Hiperbola dengan pusat di titik , dengan
titik-titik fokus dan , jika ditranslasikan oleh
vektor translasi ( ) diperoleh hiperbola yang berpusat di titik
, dengan titik-titik fokus dan . Dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
menggunakan hasil dalam Teorema 3.16, maka persamaan hiperbola hasil
translasi tersebut adalah || | | || . Jika persamaan tersebut
ditranslasikan dengan vektor translasi ( ), maka diperoleh persamaan
hiperbola yang berpusat di titik , dengan titik-titik fokus
dan . Persamaan hiperbola tersebut adalah
|| | | || . ■
Gambar 3.32 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik fokus
dan
Teorema 3.20
Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat
, dan titik-titik fokus dan ,
dengan | | | | , serta selisih jarak tetap , adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
|| | | | | | | || .
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.33. Hiperbola dengan pusat di titik , dengan
titik-titik fokus dan , jika
ditranslasikan oleh vektor translasi ( ) diperoleh hiperbola yang
berpusat di titik , dengan titik-titik fokus dan
. Dengan menggunakan hasil dalam Teorema 3.17, maka
persamaan hiperbola hasil translasi tersebut adalah
|| | | | | | | || .
Jika persamaan tersebut ditranslasikan dengan vektor translasi ( ),
maka diperoleh persamaan hiperbola yang berpusat di titik ,
dengan titik-titik fokus dan .
Persamaan hiperbola tersebut adalah
|| | | | | | | || . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Gambar 3.32 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik fokus
dan
Contoh 3.16
Lukis dan tentukan persamaan hiperbola yang berpusat di titik ,
memiliki titik-titik fokus dan , dengan selisih jarak tetap .
Pembahasan.
Karena titik merupakan titik pusat dan titik-titik dan
merupakan titik-titik fokus, maka diperoleh nilai-nilai ,
, , dan . Dengan menggunakan Teorema 3.20,
diperoleh persamaan hiperbola sebagai berikut.
|| | | | | | | ||
|| | | | | | | ||
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
|| | | | | | | ||
Hiperbola diilustrasikan dalam Gambar 3.33 berikut.
Gambar 3.33 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik fokus
dan , dengan selisih jarak tetap 6.
4. Parabola
Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik sedemikian
sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap titik fokus sama dengan jarak ke
sebuah garis yang disebut sebagai garis direktriks. Karena dalam definisi
tersebut disebutkan jarak titik ke garis, maka konsep tersebut perlu dibahas
terlebih dahulu dalam Definisi 3.3 berikut.
Definisi 3.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
Diberikan sebuah garis dan titik . Jarak titik A ke garis adalah
panjang ruas garis , dimana titik terletak pada garis sedemikian
rupa sehingga ruas garis tegak lurus dengan garis .
Contoh 3.17
Tentukan jarak titik-titik , , dan ke garis .
Pembahasan.
Perhatikan Gambar 3.34 berikut. Dari gambar tersebut, jarak titik A ke
garis adalah . Dengan cara yang sama, jarak titik B
ke garis adalah , dan jarak titik C ke garis
adalah .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
Gambar 3.34 Ilustrasi Contoh 3.17.
Teorema 3.21
Diketahui sebuah parabola memiliki garis direktris dan titik fokus
. Maka persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.35. Misalkan titik terletak pada parabola.
Maka jarak titik P ke garis adalah | | | |, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
jarak titik P ke titik fokus F adalah | | | |. Berdasarkan
definisi, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian sehingga
jarak titik tersebut ke titik fokus F sama dengan jarak titik tersebut ke garis
direktriks. Dengan demikian diperoleh persamaan berikut.
| |
| | | | | | ■
Gambar 3.35. Parabola yang memiliki titik fokus di dengan
garis direktriks
Contoh 3.18
Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik fokus di dan
garis direktriks .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Pembahasan.
Karena parabola memiliki titik fokus di dan garis direktriks
, maka nilai . Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3.21,
persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
Parabola tersebut diilustrasikan dalam Gambar 3.36.
Gambar 3.36. Parabola yang memiliki titik fokus di dengan
garis direktriks .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Teorema 3.22
Diketahui sebuah parabola memiliki garis direktris dan titik fokus
. Maka persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.37. Misalkan titik terletak pada parabola.
Maka jarak titik ke garis adalah | | | |, dan
jarak titik ke titik fokus adalah | | | |. Berdasarkan
definisi, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian sehingga
jarak titik tersebut ke titik fokus sama dengan jarak titik tersebut ke
garis direktriks. Dengan demikian diperoleh persamaan berikut.
| |
| | | | | | ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Gambar 3.37. Parabola yang memiliki titik fokus di dengan
garis direktriks .
Contoh 3.19
Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik fokus di dan
garis direktriks .
Pembahasan.
Karena parabola memiliki titik fokus di dan garis direktriks
, maka nilai . Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3.22,
persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
| | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
| | | | | |
Parabola tersebut diilustrasikan dalam Gambar 3.38.
Gambar 3.38. Parabola yang memiliki titik fokus di dengan
garis direktriks .
Teorema 2.21 dan Teorema 3.22 membahas parabola dengan titik puncak
. Teorema 3.23 dan 3.24 membahas parabola yang memiliki titik
puncak .
Teorema 3.23
Diketahui sebuah parabola memiliki titik puncak dan garis
direktris . Maka persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.39. Misalkan parabola tersebut memiliki titik fokus
. Karena titik terletak pada parabola maka jarak titik ke garis
sama dengan jarak titik ke titik fokus , . Dengan
demikian, diperoleh dua kasus berikut:
1. Kasus . Maka jarak titik ke garis adalah ,
sehingga jarak titik ke titik fokus adalah .
Dengan demikian, koordinat titik adalah
.
2. Kasus . Maka jarak titik ke garis adalah
sehingga jarak titik ke titik fokus adalah
Dengan demikian, koordinat titik adalah
Jadi jika diketahui titip puncak dan garis direktriks , maka
koordinat titik fokus adalah .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Gambar 3.39 Ilustrasi untuk bukti Teorema 3.23.
Selanjutnya, misalkan titik terletak pada parabola yang memiliki
puncak dan garis direktriks Maka jarak titik ke garis
direktriks adalah | | dan jarak titik ke titik fokus
adalah
| | | | | | | |.
Karena parabola merupakan himpunan semua titik yang memiliki jarak
dengan fokus sama dengan jarak titik tersebut ke titik fokus, maka
persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | | ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Contoh 3.20
Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak dan garis
direktriks .
Pembahasan.
Parabola dengan puncak dan garis direktriks memiliki
nilai , , dan . Dengan menggunakan hasil dalam
Teorema 3.23, maka persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
Parabola tersebut diilustrasikan dalam Gambar 3.40.
Gambar 3.39 Hiperbola dengan pusat dan garis direktriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
.
Teorema 3.24
Diketahui sebuah parabola memiliki titik puncak dan garis
direktris . Maka persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
Bukti.
Perhatikan Gambar 3.40. Dengan argumen yang sama seperti dalam bukti
Teorema 3.23, koordinat titik fokus adalah Misalnya titik
terletak pada parabola. Jarak titik ke garis adalah |
| dan jarak titik ke titik adalah
| | | | | | | |
Karena titik terletak pada parabola, maka berdasarkan definisi, jarak
titik ke garis sama dengan jarak titik ke titik fokus . Dengan
demikian diperoleh persamaan
| |
| | | | | | ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Gambar 3.40 Ilustrasi bukti Teorema 3.24
Contoh 3.21
Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak dan garis
direktriks .
Pembahasan.
Parabola dengan puncak dan garis direktriks memiliki
nilai , , dan . Dengan menggunakan hasil dalam
Teorema 3.24, maka persamaan parabola tersebut adalah
| | | | | |
| | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
| | | | | |
Parabola tersebut diilustrasikan dalam Gambar 3.41.
Gambar 3.41 Hiperbola dengan pusat dan garis direktriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Bab IV
Memperkenalkan Geometri Taxicab Pada Siswa Kelas X
Pada bab ini akan dibahas bagaimana memperkenalkan Geometri Taxicab
pada siswa sekolah menengah atas. Bab ini meliputi tiga bagian. Bagian pertama
secara khusus memperkenalkan perangkat lunak Geogebra yang akan
dipergunakan oleh siswa dalam proses pembelajaran. Bagian kedua akan
mendiskusikan materi-materi yang dipelajari oleh siswa kelas X berkaitan dengan
nilai mutlak, dan bagaimana pengayaan materi nilai mutlak untuk mengantar pada
Irisan Kerucut pada Geometri Taxicab. Bagian ketiga akan membahas proses
pembelajaran Problem Based Learning (PBL) guna memperkenalkan Geometri
Taxicab pada siswa kelas X.
A. Geogebra
Berdasarkan penjelasan dalam Laman https://www.geogebra.org/about,
Geogebra adalah perangkat lunak matematik dinamik (dynamic mathematics
software) yang dapat dipakai untuk semua tingkat pendidikan. Perangkat
lunak ini merupakan software untuk melukis grafik dan menyatukan geometri,
aljabar, statistika, dan kalkulus dalam satu paket yang mudah untuk
dipergunakan. Geogebra merupakan perangkat lunak tidak berbayar dan telah
dipergunakan oleh jutaan pengguna di berbagai negara. Geogebra telah
membantu pengembangan pendidikan sains, teknologi, dan matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Perangkat lunak Geogebra dapat diunduh dari Laman
https://www.geogebra.org/download. Perangkat lunak yang seharusnya
diunduh adalah Geogebra Classic 5 atau Geogebra Classic 6.
Setelah diunduh, diinstal, dan dijalankan, maka tampilan utama ditunjukkan
dalam Gambar 4.1 berikut.
Gambar 4.1 Tampilan Utama Geogebra
Skripsi ini tidak akan membahas semua fitur perangkat lunak Geogebra. Fitur-
fitur yang akan dibahas hanya yang berkaitan dengan pembelajaran untuk
memperkenalkan Geometri Taxicab, khususnya nilai mutlak. Bagian penting
yang perlu diketahui adalah bagian yang disebut dengan “Input Bar” yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
terletak pada bagian bawah. Pada bagian ini pengguna akan memasukkan
perintah-perintah yang dikenali oleh perangkat lunak Geogebra. Misalnya
pada bagian input diketik ). Setelah ditekan “ENTER” maka
Geogebra akan menggambarkan titik . Perhatikan Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Kolom input dalam Geogebra
Jika pengguna memasukkan “ ” pada Input Bar, maka Geogebra
akan melukis garis . Perhatikan Gambar 4.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
Gambar 4.3 Melukis garis dengan Geogebra
Perintah yang digunakan untuk nilai mutlak adalah perintah “abs(x)”.
Misalnya, jika pada Input Bar ditulis “y=abs(x-2)”, maka Geogebra akan
melukis grafik | |. Perhatikan Gambar 4.4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Gambar 4.3 Melukis garis | | dengan Geogebra
Jika perintah “abs(x-2) + abs(y-3) = 4” dimasukkan dalam Input
Bar,Geogebra akan melukis grafik persamaan | | | | .
Perhatikan Gambar 4.5. Untuk shortcut, bisa juga perintah “abs(x-2)” diganti
dengan “|x – 2|”.
Gambar 4.3 Melukis bangun | | | | dengan Geogebra
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
B. Memperkenalkan Irisan Kerucut kepada siswa
Sebelum memulai memperkenalkan siswa pada irisan kerucut
dalam Geometri Taxicab, terlebih dahulu siswa akan diperkenalkan kepada
irisan kerucut, yang meliputi lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.
Kegiatan tersebut terdapat dalam aktivitas 4.1.
Aktivitas 4.1
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan-persamaan yang terdapat pada
soal di bawah ini dan jawab pertanyaan:
1. Lukislah persamaan . Diketahui titik pusatnya
a. Berapakah jarak titik pusat dengan salah satu titik yang terdapat pada
bangun tersebut?
b. Apakah setiap titik pada bangun tersebut memiliki jarak yang sama
dengan titik pusat?
Pembahasan:
a. Misalkan titik , maka jarak titik dan titik pusat,
| | √
√
b. Misalkan titik , dan
| | √
√
| | √
√
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
| | √
√
2. Lukislah persamaan
. Diketahui dan
a. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa jumlah jarak antara ketiga titik tersebut dengan
dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
3. Lukislah persamaan
. Diketahui dan
a. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa selisih jarak antara ketiga titik tersebut dengan
dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
4. Lukislah persamaan
. Diketahui garis adalah , , dan
a. Hitunglah jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke !
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. Hitung jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke titik
. Dengan cara yang sama kerjakan titik dan !
c. Apa yang dapat kamu simpulkan dari soal a diatas?
C. Materi Nilai Mutlak Kelas X dalam Kurikulum 2013 dan Aktivitas Untuk
Pengayaan
Menurut Peraturan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan No. 24
Tahun 2016 (Permendikbud, 2016), salah satu Kompetensi Dasar yang harus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
dikuasai oleh siswa kelas X adalah menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu
variabel (Kompetensi Dasar 4.1). Dengan demikian, siswa kelas X telah
mempelajari konsep-konsep yang berkaitan dengan nilai mutlak. Oleh karena
itu, para siswa seharusnya tidak akan mengalami kesulitan untuk mempelajari
Geometri Taxicab.
Pada bagian ini akan dibahas dengan singkat konsep-konsep nilai
mutlak yang seharusnya dipelajari oleh siswa kelas X, berdasarkan kurikulum
2013 (Permendikbud, 2016) dan buku siswa serta buku guru yang
dipersiapkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan (Sinaga et.al,
2017). Konsep-konsep yang dibahas dalam bagian ini adalah konsep-konsep
nilai mutlak yang akan membantu siswa untuk dapat memahami Geometri
Taxicab.
Buku Matematika Kelas X (Sinaga et.al, 2017: 14) mendefinisikan
nilai mutlak seperti yang dibahas dalam Definisi 3.1, | | , untuk ,
atau | | , untuk . Buku paket tersebut juga membahas sifat
| | √ . Selanjutnya, buku tersebut juga memperkenalkan grafik | |
dan memberikan latihan kepada siswa untuk melukis grafik fungsi nilai
mutlak seperti | |, | |, dan | | (Sinaga et.al,
2017: 21-22). Tentu saja, dalam buku tersebut, siswa diminta untuk melukis
grafik tersebut secara manual, dengan bantuan tabel.
Buku Matematika Kelas X (Sinaga et.al, 2017) juga membahas
penyelesaian persamaan yang memuat nilai mutlak seperti | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
|. Namun buku tersebut membahas penyelesaian persamaan tersebut secara
aljabar dengan menggunakan sifat | | √ .
Selanjutnya, akan dibahas pengayaan materi nilai mutlak untuk
memperkenalkan Geometri Taxicab. Pada pembelajaran pengayaan ini, fokus
tidak pada penyelesaian persamaan secara aljabar, melainkan pada grafik
persamaan yang memuat nilai mutlak. Untuk itu, perangkat lunak Geogebra
sangat diperlukan untuk membantu siswa dalam proses pembelajaran.
Aktivitas 4.2
Dengan menggunakan perangkat lunak Geogebra, siswa diminta untuk
melukis persamaan-persamaan berikut. Kemudian siswa juga diminta untuk
mengeksplorasi atau menjelaskan mengenai karakteristik dari garis yang
dibentuk oleh persamaan tersebut. Aktivitas 4.2 bertujuan untuk mempelajari
atau mengingat kembali mengenai materi grafik persaman mutlak yang sudah
dipelajari siswa.
No. Soal Jawaban
1. | |
a. Bagaimana nilai jika ?
b. Bagaimana nilai jika ?
c. Bagaimana nilai jika ?
d. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
e. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
f. Tentukan nilai yang menyebabkan
bernilai minimum!
g. Tentukan nilai minimum dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
2. | |
a. Bagaimana nilai jika ?
b. Bagaimana nilai jika ?
c. Bagaimana nilai jika ?
d. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
e. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
f. Tentukan nilai yang menyebabkan
bernilai minimum!
g. Tentukan nilai minimum dari
3. | |
a. Bagaimana nilai jika ?
b. Bagaimana nilai jika ?
c. Bagaimana nilai jika ?
d. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
e. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
f. Tentukan nilai yang menyebabkan
bernilai minimum!
g. Tentukan nilai minimum dari
4. | |
a. Bagaimana nilai jika ?
b. Bagaimana nilai jika ?
c. Bagaimana nilai jika ?
d. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
e. Bagaimana nilai dan jika
dan ?
f. Tentukan nilai yang menyebabkan
bernilai minimum!
g. Tentukan nilai minimum dari
5. Apa yang dapat kalian simpulkan tentang hubungan
grafik fungsi di nomer 2,3, dan 4?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
Aktivitas 4.3 ini bertujuan agar siswa mampu membuat generalisasi grafik
dari persamaan yang udah diberikan.
Aktivitas 4.3
Setelah menyelesaikan Aktivitas 4.2, siswa diminta membuat generalisasi
grafik untuk persamaan | |.
Dari aktivitas 4.2 dan 4.3 siswa diharapkan dapat menyimpulkan bahwa:
- jika dan
- jika dan
- Nilai minimum grafik tersebut terjadi di
- Grafik fungsi dari | | , dengan dapat diperoleh dengan
menggeser grafik fungsi dari | | ke bawah sejauh satuan
- Grafik fungsi dari | | , dengan dapat diperoleh dengan
menggeser grafik fungsi | | keatas sejauh satuan
Dalam aktivitas 4.4 kegiatan ini dirancang untuk meninjau grafik persamaan
mutlak sehingga dapat mengasosiasikan dengan taxicab.
Aktivitas 4.4
Dalam buku siswa kelas X, siswa telah menyelesaikan secara aljabar
persamaan yang memuat nilai mutlak berikut | | | |. Bagaimana
penyelesaian itu dijelaskan secara geometris (grafis).
a. Lukis persamaan | |
b. Lukis persamaan | |
c. Apakah ada titik yang berada di | | dan di | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
d. Siswa mengamati titik potong kedua grafik tersebut. Berapa nilai absis
dari titik potong kedua grafik tersebut? Itulah nilai yang memenuhi
persamaan | | | |.
Aktivitas 4.5 dirancang untuk meninjau ulang mengenai materi persamaan
nilai mutlak dan grafik persamaan tersebut.
Aktivitas 4.5
Pada Aktivitas 4.3, siswa telah melukis grafik persamaan | | | |.
Gunakan Geogebra untuk melukis grafik persamaan | | | |.
Selanjutnya siswa membuat generalisasi grafik fungsi | | | |.
Aktivitas 4.6 bertujuan untuk meninjau kembali mengenai persamaan nilai
mutlak dan untuk mengarahkan siswa pada bentuk lingkaran dalam geomeri
taxicab.
Aktivitas 4.6
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | .
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Berapa kordinat titik potong dari kedua diagonal bangun tersebut?
c. Berapa jarak antara titik potong kedua diagonal dengan titik sudut bangun
tersebut?
d. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | ?
Aktivitas 4.7 bertujuan untuk mengarahkan siswa pada persamaan elips dalam
geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
Aktivitas 4.7
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | |
Diketahui dan .
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Berapakah kordinat titik potong diagonal-diagonal pada bangun tersebut?
c. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut
dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
d. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | | | ?
Aktivitas 4.8 bertujuan untuk mengarhakan siswa pada persamaan elips dalam
geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu-
Aktivitas 4.8
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | | .
Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Berapakah koordinat titik potong diagonal-diagonal pada bangun tersebut?
c. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut
dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
d. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | | | ?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
Aktivitas 4.9 bertujuan untuk mengarahkan siswa pada persamaan elips dalam
geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu- dan mempunyai
titik fokus
Aktivitas 4.9
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | |
. Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Berapakah koordinat titik potong diagonal-diagonal pada bangun tersebut?
c. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. Hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut
dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
d. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | | |
Aktivitas 4.10 bertujuan untukmengarahkan siswa pada persamaan elips
dalam geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu- dan
mempunyai titik fokus
Aktivitas 4.10
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | |
. Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Berapakah koordinat titik potong diagonal-diagonal pada bangun tersebut?
c. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut
dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
d. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | | |
Aktivitas 4.11 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan elips
dalam geometri taxicab yang salah satu titik fokusnya dan titik
pusatnya
Aktivitas 4.11
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | |
| | . Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut
dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
c. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | | | | |
Aktivitas 4.12 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan elips
dalam geometri taxicab yang salah satu titik fokusnya dan titik
pusatnya
Aktivitas 4.12
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | |
| | . Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut
dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?
c. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan | | | | | | | | ?
Aktivitas 4.13 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan
hiperbola dalam geometri taxicab
Aktivitas 4.13
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan || | | | | |
| || . Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. Hitung berapa selisih jarak antara ketiga titik tersebut dengan dua
titik yang diketahui diatas?
c. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan || | | | | | | ||
Aktivitas 4.14 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan
hiperbola dalam geometri taxicab dan memiliki titik pusat di .
Aktivitas 4.14
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan || | | | | |
| || . Diketahui dan
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. Hitung berapa selisih jarak antara ketiga titik tersebut dengan dua
titik yang diketahui diatas?
c. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan || | | | | | | || ?
Aktivitas 4.15 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan parabola
dalam geometri taxicab dan memiliki titik pusat di , yang memiliki
garis direktris
Aktivitas 4.15
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan dan | | | |
| |. Diketahui , garis adalah
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. Hitung jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke titik .
Dengan cara yang sama kerjakan titik dan
c. Apa yang dapat Anda simpulkan untuk bangun yang dibuat dari
persamaan dan | | | | | |
Aktivitas 4.16 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan parabola
dalam geometri taxicab dan memiliki titik pusat di dan memiliki garis
direktris
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
Aktivitas 4.16
Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan dan | | |
| | |. Diketahui dan garis adalah
a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?
b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik
. Hitung jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke titik .
Dengan cara yang sama kerjakan titik dan
c. Apa yang dapa Anda simpulkan untuk bangun yang dibuat dari persamaan
| | | | | |?
D. Problem Based Learning (PBL) untuk memperkenalkan Geometri Taxicab
Skripsi ini mengusulkan Problem Based Learning (PBL) sebagai
metode pembelajaran untuk memperkenalkan Geometri Taxicab kepada
siswa-siswa kelas X. Roh (2003) mengatakan bahwa Problem-Based Learning
(PBL) merupakan suatu metode pembelajaran yang distimulasi oleh sebuah
permasalahan. Menurut Barrett (2005), Problem-Based Learning (PBL) atau
Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM) dimunculkan dalam penelitian yang
dilakukan oleh Barrows dan Tamblyn (1980) dan sebelumnya telah
diimplementasikan dalam pendidikan medis di Universitas McMaster Kanada
pada tahun enam puluhan. Barrows mendefinisikan PBL sebagai pembelajaran
yang dihasilkan dari sebuah proses menyelesaikan sebuah masalah. Dalam
PBL, pengetahuan diperoleh sebagai hasil proses menyelesaikan sebuah
masalah. Kepada siswa diberikan sebuah masalah, dan dengan menyelesaikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
139
masalah tersebut, siswa tersebut memperoleh sebuah pengetahuan. Menurut
Barrows, PBL termasuk dalam pembelajaran yang berpusat pada siswa,
dimana siswa sendiri, dengan bimbingan guru, yang menentukan apa yang
perlu untuk diketahui.
Masalah merupakan sesuatu yang fundamental dalam proses
Pembelajaran Berbasis Masalah. Bahkan Sudarman (2007) mengatakan bahwa
formulasi permasalahan merupakan tahap yang penting dalam keberhasilan
PBM. Sebelum melangkah lebih dalam diskusi tentang PBM, perlu terlebih
dahulu dibahas pengertian masalah. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia
Online (2019), masalah adalah sesuatu yang harus diselesaikan (dipecahkan).
Hal ini senada dengan pandangan Hudoyo, seperti dirujuk oleh Lambertus
(2011), yang mengatakan bahwa “Sesuatu disebut masalah bila hal itu
mengandung pertanyaan yang harus dijawab”. Dalam konteks matematika,
Herlambang (2013) mengatakan bahwa “masalah adalah suatu situasi yang
disadari kebenarannya dan perlu dicari penyelesaiannya tetapi tidak langsung
ditemukan cara memecahkannya”. Dari ketiga definisi tersebut, dalam konteks
PBL, masalah adalah sesuatu yang mengandung pertanyaan yang harus
dijawab karena ada kebenaran yang belum ditemukan.
Masalah merupakan bagian dari hidup manusia sehari-hari. Dalam
hidup manusia ada banyak hal yang belum diketahui kebenarannya sehingga
menimbulkan pertanyaan. Misalnya, beberapa orang memiliki masalah karena
belum bekerja. Maka dalam dirinya muncul pertanyaan apakah lamarannya
diterima atau tidak. Seorang ibu rumah tangga memiliki masalah dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
140
pendidikan anaknya, maka timbul pertanyaan bagaimana mendidik anaknya
dengan benar. Bila dikaji lebih dalam, masalah merupakan persoalan yang
harus dipecahkan dan karenanya dapat dijadikan peluang untuk memperbaiki
kemampuan diri.
Problem Based Learning (PBL) bermula dengan sebuah permasalahan
yang harus diselesaikan. Permasalahan dibuat sedemikian rupa sehingga siswa
harus mempelajari pengetahuan baru untuk dapat menyelesaikan
permasalahan tersebut. Barret (2005) menyajikan langkah-langkah PBL
sebagai berikut:
1. Pada langkah pertama, kepada siswa disajikan sebuah masalah.
2. Siswa dalam kelompok kecil mendiskusikan masalah tersebut. Mereka
menentukan fakta-fakta yang terdapat dalam masalah tersebut. Mereka
juga menentukan apa yang harus mereka selesaikan. Dalam kelompok,
mereka mendiskusikan pengetahuan-pengetahuan yang diperlukan
untuk menyelesaikan masalah tersebut. Mereka juga
mengidentifikasikan hal-hal yang diperlukan untuk menyelesaikan
masalah tersebut. Hal-hal mana yang mereka belum ketahui. Apa
perencanaan untuk menyelesaikan masalah tersebut.
3. Siswa secara mandiri mempelajari hal-hal yang diperlukan untuk
menyelesaikan masalah. Proses ini bisa terjadi di perpustakaan atau
dengan mencari data dan informasi dari internet.
4. Siswa kembali ke dalam kelompok untuk membagikan informasi-
informasi yang mereka dapatkan dalam belajar mandiri dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
141
selanjutnya kembali bekerja bersama untuk menyelesaikan
permasalahan.
5. Siswa mempresentasikan penyelesaian masalah.
6. Siswa melihat kembali apa yang telah mereka pelajari dari proses
menyelesaikan masalah tersebut.
Aktivitas-aktivitas berikut dibuat sebagai bagian dari Pembelajaran Berbasis
Masalah. Siswa disajikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang
berkaitan dengan Geometri Taxicab dan bertujuan untuk memperkenalkan
pada siswa mengenai konsep jarak pada Geometri Taxicab.
Aktivitas 4.17
Perhatikan peta pada Gambar 4.4 berikut. Adi adalah siswa kelas 5 SDN Tegal
Alur 08 pagi. Berdasarkan informasi yang ada dalam peta, tentukan jarak
terpendek yang harus ditempuh oleh Adi dari rumah ke sekolah. Apakah jalur
tersebut hanya satu-satunya?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
142
Gambar 4.4 Peta untuk Aktivitas 4.17
Penyelesaian.
Salah satu jalur terpendek yang diharapkan ditemukan siswa diperlihatkan
pada Gambar 4.5 berikut.
Gambar 4.5 Salah satu jawaban untuk Aktivitas 4.17
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
143
Aktivitas 4.18
Perhatikan peta pada Gambar 4.6 berikut. Jika Adi menempuh jalur kuning,
merah, atau biru, apakah jarak tempuhnya berbeda?
Gambar 4.5 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.18
Dari Aktivitas 4.18, siswa bisa diperkenalkan dengan Geometri Taxicab.
Kepada siswa bisa diberi pengantar bahwa berdasarkan Aktivitas 4.18, ada
beberapa ahli matematika yang mengembangkan sebuah geometri yang diberi
nama Geometri Taxicab. Geometri ini diperkenalkan oleh seorang
matematikawan yang bernama Hermann Minkowsky. Geometri ini juga
dikenal sebagai City-block Manhattan. Kota Manhattan, seperti diilustrasikan
dalam Gambar 4.6 ditata dengan jalan-jalan membentuk kotak-kotak (grid).
Jika seseorang mengendarai taksi dari titik A ke titik B, maka jarak tempuh
taksi tersebut bukanlah jarak ruas garis lurus dari titik A ke titik B, melainkan
jarak melalui jalan-jalan di kota tersebut yang salah satunya diilustrasikan
dalam Gambar 4.6. Geometri yang selama ini dipelajari biasa disebut dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
144
Geometri Euclid. Dalam Geometri Euclid, jarak dua titik adalah panjang ruas
garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Secara matematis, jika
diberikan titik dan , maka dalam Geometri Euclid, jarak
titik A dan B adalah √ .
Gambar 4.6 Peta sebagian kota Manhattan, New York.
Aktivitas 4.19
Aktivitas ini siswa mulai mengerjakan soal yang berkaitan dengan
Geometri Taxicab, Dalam Geometri Taxicab jarak dari ke , ditulis
, dan didefinisikan sebagai berikut | |
| |
Perhatikan Gambar 4.7.
i. Dalam Geometri Taxicab, tentukan jarak titik A dan B.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
145
ii. Selanjutnya, jika diberikan titik dan , dengan
menggunakan konsep nilai mutlak, tentukan jarak titik P dan Q dalam
Geometri Taxicab.
Gambar 4.7 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.19.
Aktivitas 4.20
Diberikan sebuah titik A(2,1).
i. Tentukan dua belas titik yang berjarak 3 satuan panjang dari titik A.
Kemudian hubungkanlah titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus.
ii. Tentukan Luas bangun yang terbentuk
iii. Tentukan keliling bangun yang terbentuk.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
146
Pembahasan.
Gambar 4.7 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.20.
Setelah siswa menyelesaikan Aktivitas 4.20, siswa bisa diberikan penjelasan
tentang konsep lingkaran dalam Geometri Taxicab. Lingkaran adalah
himpunan titik-titik yang berjarak sama dengan sebuah titik tetap yang disebut
titik pusat lingkaran. Dalam Geometri taxicab, himpunan titik-titik tersebut
diperlihatkan dalam Aktivitas 4.20. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
dan berjari-jari memiliki persamaan | | | | .
Aktivitas 4.6 di atas adalah melukis lingkaran dalam Geometri Taxicab.
Selanjutnya siswa bisa melakukan Aktivitas 4.21 berikut.
Aktivitas 4.21
Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari r. Dalam Geometri Taxicab,
tentukan keliling dan luas lingkaran tersebut. Perhatikan ilustrasi Gambar 4.8.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
147
Gambar 4. 8 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.21.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
149
BAB V
KESIMPULAN
Bab ini akan menyajikan kesimpulan temuan-temuan penelitian yang
berkaitan dengan Irisan Kerucut pada Geometri Non-Euclid Taxicab. Bab ini
juga akan menyajikan beberapa saran bagi guru dan para peneliti untuk
mengembangkan lebih lanjut topik penelitian ini.
A. Kesimpulan
1. Irisan kerucut pada Geometri Taxicab.
Irisan kerucut yang dibahas dalam penelitian ini adalah
lingkaran, elips, parabola dan hiperbola. Definisi yang dipakai pada
irisan-irisan kerucut pada Geometri Taxicab persis sama dengan
definisi yang dipergunakan dalam Geometri Euclid. Meski demikian,
karena konsep jarak yang dipergunakan dalam Geometri Taxicab
berbeda dengan dalam Geometri Euclid, penelitian ini menemukan
bahwa benda-benda geometris tersebut memiliki bentuk yang berbeda
antara Geometri Taxicab dan Geometri Euclid. Tabel berikut
menyajikan lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola pada Geometri
Euclid dan Geometri Taxicab.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
150
Tabel 4.1 Lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola dalam Geometri
Euclid dan Geometri Taxicab.
Geometri Non-Euclid
Taxicab
Geometri Euclid
1 Lingkaran Lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari .
| | | |
2
Elips Elips dengan titik-titik fokus dan .
a. Untuk , , dan .
| | | | | | | |
b. Untuk , , dan .
| | | | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
151
c. Untuk dan .
| | | | | |
d. Untuk , dan .
| | | | | |
3 Hiperbola Dengan titik-titik fokus dan
a. , , dan
|| | | | | | | ||
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
152
b. , , dan
|| | | ||
4 Parabola Parabola dengan titik fokus dan garis
direktriks .
| | | | | |
Parabola dengan titik fokus dan garis
direktriks .
| | | | | |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
153
Penelitian ini juga membahas keliling dan luas lingkaran dan elips
pada Geometri Taxicab seperti disajikan dalam Tabel 4.2 berikut ini.
Tabel 4.2 Keliling dan luas lingkaran dan elips pada Geometri
Taxicab.
Keliling Luas
1
. Lingkaran
2
. Elips
.
2. Memperkenalkan konsep-konsep irisan kerucut pada Geometri
Taxicab tersebut kepada siswa sekolah menengah atas.
Peneliti memiliki keyakinan bahwa konsep Geometri Taxicab
bisa diperkenalkan kepada siswa sekolah menengah atas. Konsep yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
154
diperlukan untuk mempelajari Geometri Taxicab adalah konsep
persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Berdasarkan Peraturan
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan No 24, tahun 2016, salah
satu Kompetensi Dasar mata pelajaran Matematika di kelas X adalah
menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak
(Permendikbud, 2016). Dengan demikian, siswa sekolah menengah
atas sudah memiliki dasar untuk mempelajari Geometri Taxicab.
Untuk memperkenalkan konsep Geometri Taxicab kepada
siswa sekolah menengah, peneliti menggunakan perangkat lunak
Geogebra dan memakai pendekatan Problem Based Learning (PBL)
atau Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM). Dengan pendekatan ini,
pada awalnya para siswa diberikan sebuah masalah yang mengarah
kepada pemahaman tentang Geometri Taxicab. Selanjutnya, para siswa
yang sudah memiliki pemahaman persamaan nilai mutlak diharapkan
mampu melakukan pembelajaran mandiri untuk menjawab
permasalahan tersebut. Para siswa juga diminta untuk melakukan
eksplorasi dengan menggunakan perangkat lunak Geogebra.
Berikut merupakan langkah-langkah yang digunakan untuk
memperkenalkan Geometri Taxicab kepada siswa:
1. Memperkenalkan siswa dengan perangkat lunak Geogebra,
perangkat lunak ini yang akan digunakan untuk membantu siswa
menggambar persamaan-persamaan yang diberikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
155
2. Memperkenalkan siswa pada irisan kerucut, yaitu lingkaran, ellips,
hiperbola, parabola. Langkah ini pada aktivitas 4.1.
3. Meninjau kembali mengenai grafik persamaan mutlak yang telah
dipelajari oleh siswa. Langkah ini terdapat pada aktivitas 4.2
sampai dengan aktivitas 4.5
4. Meninjau kembali mengenai grafik persamaan mutlak dan untuk
mengarahkan siswa pada bentuk-bentuk irisan kerucut dalam
Geometri Taxicab. Langkah ini terdapat dalam aktivitas 4.6 sampai
dengan aktivitas 4.16.
5. Dalam aktivitas berikutnya disajikan masalah dalam kehidupan
sehari-hari yang berkaitan dengan Geometri Taxicab. Langkah ini
terdapat dalam aktivitas 4.17 sampai dengan 4.21.
B. Saran
Berdasarkan hasil penelitian ini, peneliti memiliki beberapa saran sebagai
berikut.
1. Bagi guru
a. Guru dapat memperkenalkan konsep Geometri Taxicab, khususnya
pada benda geometris lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola
kepada siswa sekolah menengah atas karena mereka telah belajar
konsep persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Penelitian ini
mengusulkan cukup banyak kegiatan yang dapat dilakukan oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
156
guru untuk keperluan tersebut. Guru bisa memilih kegiatan-
kegiatan yang sesuai dengan situasi dan kondisi siswa.
b. Selain itu, melaui kegiatan-kegiatan seperti dibahas dalam skripsi
ini, guru juga akan memperkenalkan kepada para siswa perangkat
lunak Geogebra. Perangkat lunak Geogebra merupakan perangkat
lunak yang berguna bagi siswa dan guru, tidak hanya untuk
pembahasan Geometri Taxicab tetapi juga untuk mempelajari
materi-materi lain dalam Geometri, Aljabar, dan Kalkulus.
2. Bagi peneliti selanjutnya
1. Penelitian ini hanya membahas irisan kerucut pada Geometri
Taxicab. Dengan kata lain, penelitian ini masih mengulas benda
geometri dalam dua dimensi. Penelitian ini masih terbuka
terhadap penelitian geometri tiga dimensi. Salah satunya adalah
pembahasan benda-benda geometris seperti bola, elipsoida,
hiperboloida berdaun satu, hiperboloida berdaun dua, atau
kerucut dalam Geometri Taxicab.
2. Penelitian ini juga hanya membahas salah satu pendekatan
dalam teori pembelajaran, yaitu Problem Based Learning (PBL)
atau Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM). Penelitian masih
terbuka untuk pendekatan-pendekatan lain sehingga siswa
semakin mampu untuk mempelajari Geometri Taxicab.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
157
DAFTAR PUSTAKA
Barrett, T. 2005. Understanding Problem-based Learning dalam Handbook of
Enquiry & Problem Based Learning. Barrett, T., Mac Labhrainn, I.,
Fallon, H. (Eds). Galway: CELT. Diunduh dari http://www.nuigalway.ie/
celt/pblbook/
Barrows, H. & Tamblyn, R. (1980). Problem-based Learning: An Approach to
Medical Education. New York: Springer.
Casey, J. (1890). The first six books of the elements of Euclid; and propositions I.-
XXI. of Book XI., and an appendix on the cylinder, sphere, cone, etc.
Dublin: Hodges, Figgis. Diunduh dari http://www.gutenberg.org/files/
21076/21076-pdf
Chandrupatla, T. R. & Osler, T. J. (2010). The Perimeter of an Ellipse. Math.
Scientitst. Vol 35, hal. 122-131.
Golland, L. (1990). Karl Menger and Taxicab Geometry. Mathematics Magazine,
Vol. 63, No. 5, pp. 326-327
Greeberg, M. J. (1993). Euclidean and Non-Euclidean Geometries. New York:
W.H. Freeman and Company.
Herlambang, (2013). Analisis Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika
Siswa Kelas VII-A SMP Negeri 1 Kepahiang Tentang Bangun Datar
Ditinjau Dari Teori Van Hielle. Tesis. Bengkulu: PPS Universitas
Bengkulu.
Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Online. (2019). Diakses pada laman
https://kbbi.web.id/masalah.
Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia
(Permendikbud), (2016). Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
Nomer 24 Tahun 2016 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar
Pelajaran Pada Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan
Menengah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
158
Lambertus. (2011). Pengaruh Pembelajaran Berbasis Masalah terhadap
Kemampuan Pemecahan Masalah, Komunikasi dan Representasi
Matematis Siswa SMP. Disertai FPMIPA UPI : Tidak Diterbitkan
Reinhardt, C. (2005). "Taxi Cab Geometry: History and Applications!," The
Mathematics Enthusiast: Vol. 2 : No. 1 , Article 6. Diunduh dari
https://scholarworks.umt.edu/tme/vol2/iss1/6
Riddle, D.F. (1996). Analytic Geometry, 6th edition. Boston, MA: PWS
Publishing Company.
Roh, K. H. 2003. Problem-based Learning in Mathematics. Educational Resources
Information Center. Diunduh https://www.researchgate.net/publication/
320685522_Problem-based_learning_in_mathematics.
Wolfe, H. E. (1945). Introduction to Non-Euclidean Geometry. Dryden Press:
New York.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related