introduction le probl eme du pavage par translation …...introduction le probl eme du pavage par...
Post on 25-Jul-2020
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
(*) Background from the movie ”Achieving the unachievable”, by Jean Bergeron
1 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
(*) Background from the movie ”Achieving the unachievable”, by Jean Bergeron
2 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Words and tilings of the plane
Srecko Brlek
Laboratoire de Combinatoire et d’Informatique Mathematique,Universite du Quebec a Montreal,
18 mai 2010
Avec entre autres : les etudiants A. Blondin Masse, A. Garon, S. Labbe, X. Provencal,et aussi
J.-M. Fedou (Nice), M. Mendes France (Bordeaux)
3 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
4 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
5 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Pavage hexagonal
6 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Pavage hexagonal
7 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Pavage hexagonal et carre
8 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Pavage hexagonal et carre
9 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Figure: Pavage purement carre
10 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Comment reconnaitre une tuile ?Comment generer des tuiles ?
11 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Comment reconnaitre une tuile ?Comment generer des tuiles ?
12 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Comment reconnaitre une tuile ?Comment generer des tuiles ?
13 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Comment reconnaitre une tuile ?
Comment generer des tuiles ?
14 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Comment reconnaitre une tuile ?Comment generer des tuiles ?
15 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑
Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
a a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
wa a a a b a b a a b a b
16 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
v
a a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w =
a a a a b a b a a b a b
17 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va
a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a
a a a b a b a a b a b
18 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a
a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a
a a b a b a a b a b
19 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a
a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a
a b a b a a b a b
20 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a
b a b a a b a b
21 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b
a b a a b a b
22 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
a
b
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a
b a a b a b
23 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b
a a b a b
24 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
a
a
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b a
a b a b
25 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b a a
b a b
26 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
b
a
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b a a b
a b
27 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b a a b a
b
28 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b a a b a b
29 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
va a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w = a a a a b a b a a b a b
30 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
M.C. EscherPavages d’Escher
Code de Freeman
a→ b ↑Σ =
a, a, b, b
a← b ↓
a a a a
b
ab
aa
ba
b
Note :tout conjugue w ≡ w ′
code le meme polyomino.
w ≡ a a a a b a b a a b a b
31 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Pavages
Definition
Un pavage du plan par un unique polyomino P est un ensemble Tde copies translatees de P qui couvre le plan sans chevauchements.
Regulier
∃u, v ∈ Z2, T = Piu+jv |i , j ∈ Z2
@I1
32 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Pavages
Definition
Un pavage du plan par un unique polyomino P est un ensemble Tde copies translatees de P qui couvre le plan sans chevauchements.
Regulier
∃u, v ∈ Z2, T = Piu+jv |i , j ∈ Z2
@I1
33 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Pavages
Definition
Un pavage du plan par un unique polyomino P est un ensemble Tde copies translatees de P qui couvre le plan sans chevauchements.
Irregulier
6 ∃u, v ∈ Z2, T = Piu+jv |i , j ∈ Z2
6-
@@I
34 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Le probleme du pavage
Probleme
Etant donne une tuile T est-il possible de paver le plan avec descopies translatees de T ?
Reformule en termes de polyominos, ceci devient
Probleme
Etant donne w ∈ Σ∗ qui code le bord d’un polyomino P,est-il possible de paver le plan avec des copies translatees de Psans chevauchements ?
Complexite : soit n = |w | la longueur de w .
Borne inferieure : Ω(n)Borne superieure : ? ? ?
35 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Le probleme du pavage
Probleme
Etant donne une tuile T est-il possible de paver le plan avec descopies translatees de T ?
Reformule en termes de polyominos, ceci devient
Probleme
Etant donne w ∈ Σ∗ qui code le bord d’un polyomino P,est-il possible de paver le plan avec des copies translatees de Psans chevauchements ?
Complexite : soit n = |w | la longueur de w .
Borne inferieure : Ω(n)Borne superieure : ? ? ?
36 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Le probleme du pavage
Probleme
Etant donne une tuile T est-il possible de paver le plan avec descopies translatees de T ?
Reformule en termes de polyominos, ceci devient
Probleme
Etant donne w ∈ Σ∗ qui code le bord d’un polyomino P,est-il possible de paver le plan avec des copies translatees de Psans chevauchements ?
Complexite : soit n = |w | la longueur de w .
Borne inferieure : Ω(n)
Borne superieure : ? ? ?
37 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Le probleme du pavage
Probleme
Etant donne une tuile T est-il possible de paver le plan avec descopies translatees de T ?
Reformule en termes de polyominos, ceci devient
Probleme
Etant donne w ∈ Σ∗ qui code le bord d’un polyomino P,est-il possible de paver le plan avec des copies translatees de Psans chevauchements ?
Complexite : soit n = |w | la longueur de w .
Borne inferieure : Ω(n)Borne superieure : ? ? ?
38 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
Wijshof et Van Leeuven
Irregulier =⇒ Regulier
39 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
Wijshof et Van Leeuven
Irregulier =⇒ Regulier
40 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
41 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
42 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
43 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
44 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
45 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
46 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
47 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Wijshof et Van Leeuven (1984)
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
JJJJ]
3
48 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·
X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
49 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·
X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
50 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b
t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
51 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
52 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
53 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
54 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
55 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
56 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
57 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t
6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
58 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
59 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a a
t
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
60 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
61 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
62 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
63 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
64 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
65 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
66 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
67 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.
68 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
-
Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que
w ≡ XYZ X Y Z .
· = · ·X = a a b a b a b t 6
X = b a b a b a at
Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.69 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
Remarque : ceci confirme simplement qu’il n’y a que deux tuiles debase permettant de paver par translation, a savoir,
hexagones et carres(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
70 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
Remarque : ceci confirme simplement qu’il n’y a que deux tuiles debase permettant de paver par translation, a savoir,
hexagones et carres(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
71 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
Remarque : ceci confirme simplement qu’il n’y a que deux tuiles debase permettant de paver par translation, a savoir,
hexagones et carres(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
72 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Beauquier et Nivat (1991)
Remarque : ceci confirme simplement qu’il n’y a que deux tuiles debase permettant de paver par translation, a savoir,
hexagones et carres(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z(((PPPP
(((PPPP
X Y
ZXY
Z
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
@@@
@@@
X Y
XY
73 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Detection des tuiles carrees qui pavent
Soit w le bord de P avec |w | = n.
Naıvement : O(n4) [Wijshof et Van Leeuven (1984)]
O(n2) en utilisant la caracterisation de Beauquier-Nivat[Gambini et Vuillon (2007)] .
O(n) optimal [B., Provencal (2006)] en utilisant :
1. caracterisation de Beauquier-Nivat ;
2. calcul des Plus Longues Extensions(Gauches et Droites) Communes adeux mots en temps constant[Lothaire (2005)] a l’aide d’unpre-traitement lineaire de w pourconstruire son arbre suffixe [Gusfield(1997)]
74 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Detection des tuiles carrees qui pavent
Soit w le bord de P avec |w | = n.
Naıvement : O(n4) [Wijshof et Van Leeuven (1984)]
O(n2) en utilisant la caracterisation de Beauquier-Nivat[Gambini et Vuillon (2007)] .
O(n) optimal [B., Provencal (2006)] en utilisant :
1. caracterisation de Beauquier-Nivat ;
2. calcul des Plus Longues Extensions(Gauches et Droites) Communes adeux mots en temps constant[Lothaire (2005)] a l’aide d’unpre-traitement lineaire de w pourconstruire son arbre suffixe [Gusfield(1997)]
75 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Detection des tuiles carrees qui pavent
Soit w le bord de P avec |w | = n.
Naıvement : O(n4) [Wijshof et Van Leeuven (1984)]
O(n2) en utilisant la caracterisation de Beauquier-Nivat[Gambini et Vuillon (2007)] .
O(n) optimal [B., Provencal (2006)] en utilisant :
1. caracterisation de Beauquier-Nivat ;
2. calcul des Plus Longues Extensions(Gauches et Droites) Communes adeux mots en temps constant[Lothaire (2005)] a l’aide d’unpre-traitement lineaire de w pourconstruire son arbre suffixe [Gusfield(1997)]
76 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Definition (Composition de tuiles)
Soit P un polyomino et S une tuile carre. La composition P S estle carre obtenu en substituant chaque cellule de P par le carre S.
=
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Note : non commutative.Une tuile est dite premiere si elle n’est pas la composition de deuxtuiles toutes deux differentes de la cellule unite.
77 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Definition (Composition de tuiles)
Soit P un polyomino et S une tuile carre. La composition P S estle carre obtenu en substituant chaque cellule de P par le carre S.
=
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Note : non commutative.Une tuile est dite premiere si elle n’est pas la composition de deuxtuiles toutes deux differentes de la cellule unite.
78 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Definition (Composition de tuiles)
Soit P un polyomino et S une tuile carre. La composition P S estle carre obtenu en substituant chaque cellule de P par le carre S.
=
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Note : non commutative.Une tuile est dite premiere si elle n’est pas la composition de deuxtuiles toutes deux differentes de la cellule unite.
79 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Definition (Composition de tuiles)
Soit P un polyomino et S une tuile carre. La composition P S estle carre obtenu en substituant chaque cellule de P par le carre S.
=
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Note : non commutative.Une tuile est dite premiere si elle n’est pas la composition de deuxtuiles toutes deux differentes de la cellule unite.
80 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
ResultatsAlgorithmesCarres premiers
Definition (Composition de tuiles)
Soit P un polyomino et S une tuile carre. La composition P S estle carre obtenu en substituant chaque cellule de P par le carre S.
=
Double Squares
Definition (Composition of tiles)
Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C
="
Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.
Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares
Note : non commutative.Une tuile est dite premiere si elle n’est pas la composition de deuxtuiles toutes deux differentes de la cellule unite.
81 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Exhaustive et force bruteForce moins brute
pour chaque n pair, generer les polyominos de longueur n ;
verifier s’ils satisfont la BN-factorisation.
En voici quelques exemples
n = 20
Premier :
n = 24Composes :
82 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Exhaustive et force bruteForce moins brute
pour chaque n pair, generer les polyominos de longueur n ;
verifier s’ils satisfont la BN-factorisation.
En voici quelques exemples
n = 20
Premier :
n = 24Composes :
83 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Exhaustive et force bruteForce moins brute
pour chaque n pair, generer les polyominos de longueur n ;
verifier s’ils satisfont la BN-factorisation.
En voici quelques exemples
n = 20
Premier :
n = 24Composes :
84 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Exhaustive et force bruteForce moins brute
...... Tuiles ......
n = 30
Composes :
Pavages−→
85 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Exhaustive et force bruteForce moins brute
...... Tuiles ......
n = 30
Composes :Pavages−→
86 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Exhaustive et force bruteForce moins brute
Generer 2 chemins auto-evitants A,B de longueur n,m :
1. generer un chemin de longueur n : O(n)2. verifier s’il s’intersecte : O(n)
Note : les deux etapes peuvent etre combinees
Verifier que le mot final ABAB est auto-evitant ;
87 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Observations :
Une tuile peut avoir plusieurs factorisations distinctes
Une tuile peut avoir a la fois une factorisation hexagonale etune factorisation carree.
Definition
On appelle carre pur une tuile ayant uniquement des factorisationscarrees.
Des calculs et experimentations suggerent l´enonce suivant :
Conjecture (de Biot 2007 : B., Dulucq, Fedou, Provencal )
Un carre pur possede au plus deux factorisations distinctes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
88 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Observations :
Une tuile peut avoir plusieurs factorisations distinctes
Une tuile peut avoir a la fois une factorisation hexagonale etune factorisation carree.
Definition
On appelle carre pur une tuile ayant uniquement des factorisationscarrees.
Des calculs et experimentations suggerent l´enonce suivant :
Conjecture (de Biot 2007 : B., Dulucq, Fedou, Provencal )
Un carre pur possede au plus deux factorisations distinctes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
89 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Observations :
Une tuile peut avoir plusieurs factorisations distinctes
Une tuile peut avoir a la fois une factorisation hexagonale etune factorisation carree.
Definition
On appelle carre pur une tuile ayant uniquement des factorisationscarrees.
Des calculs et experimentations suggerent l´enonce suivant :
Conjecture (de Biot 2007 : B., Dulucq, Fedou, Provencal )
Un carre pur possede au plus deux factorisations distinctes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
90 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
91 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
92 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
93 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
94 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
95 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.
96 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Qu’en est-il des tuiles premieres ?
Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.
Si w ≡ XY X Y , alors
X ≡ a b a b a b a b a b a b a
un palindrome !
Cela suggere la propriete suivante
Conjecture (Provencal, 2008)
Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.
Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.97 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Faux pour des tuiles non premieres :
ba
98 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
..... quete des double carres....
En resolvant des equations du type
ABAB ≡ XY X Y
ll est possible de generer
4 A. BLONDIN MASSE, S. BRLEK, AND S. LABBE
Finally, reflections on A! are easily described on M!.
Lemma 4. Let w ! A!. There exists i ! 0, 1, 2, 3 such that !w = !i(w) if andonly if !w is a palindrome.
In his thesis [8], the author proposed a conjecture that prime double squareshave a palindromic symmetry on their sides. We have not been able to found acounterexample and used that property to exhaustively generate these tiles. Hereare some examples.
This leads to a number of questions on the “arithmetics” of tilings, such as theunique decomposition, distribution of prime tiles, and their enumeration. Usingthe symmetry properties that double square must satisfy we have obtained tworemarkable families of tiles, namely the Christo!el and Fibonacci tiles (see [2]). Asan example we provide a family of tiles linking the Fibonacci and the Pell sequences.
2. Fibonacci snow flakes
We define a sequence (qn)n"N in M! by q0 = ", q1 = r and
(5) qn =
"qn#1qn#2 if n " 2 mod 3,
qn#1qn#2 if n " 0, 1 mod 3.
whenever n # 2. The first terms of (qn)n"N are
q0 = " q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr
Note that |qn| = Fn is the n-th Fibonacci number. Moreover, given # ! A, thepath "!qn presents strong symmetric properties, as shown by the next lemma.
Lemma 5. Let n ! N. Then q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, and some palindromes q, r and some letter # ! l,r.Proof. By induction on n. For n = 0, we have indeed q1 = " · r, q2 = " · r andq3 = r · l. Now, assume that q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, some palindromes q, r and some letter # ! l,r. Then
q3n+4 = q3n+3q3n+2 = q3n+2q3n+1q3n+2 = q#p#q · #
q3n+5 = q3n+4q3n+3 = q3n+3q3n+2q3n+3 = r#q#r · #
q3n+6 = q3n+5q3n+4 = q3n+4q3n+3q3n+4 = q#p#q#r#q#p#q · #.
une infinite de telles tuiles :stockage optimal, autoassemblant de deux manieresdistinctes ....
99 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
..... quete des double carres....
En resolvant des equations du type
ABAB ≡ XY X Y
ll est possible de generer
4 A. BLONDIN MASSE, S. BRLEK, AND S. LABBE
Finally, reflections on A! are easily described on M!.
Lemma 4. Let w ! A!. There exists i ! 0, 1, 2, 3 such that !w = !i(w) if andonly if !w is a palindrome.
In his thesis [8], the author proposed a conjecture that prime double squareshave a palindromic symmetry on their sides. We have not been able to found acounterexample and used that property to exhaustively generate these tiles. Hereare some examples.
This leads to a number of questions on the “arithmetics” of tilings, such as theunique decomposition, distribution of prime tiles, and their enumeration. Usingthe symmetry properties that double square must satisfy we have obtained tworemarkable families of tiles, namely the Christo!el and Fibonacci tiles (see [2]). Asan example we provide a family of tiles linking the Fibonacci and the Pell sequences.
2. Fibonacci snow flakes
We define a sequence (qn)n"N in M! by q0 = ", q1 = r and
(5) qn =
"qn#1qn#2 if n " 2 mod 3,
qn#1qn#2 if n " 0, 1 mod 3.
whenever n # 2. The first terms of (qn)n"N are
q0 = " q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr
Note that |qn| = Fn is the n-th Fibonacci number. Moreover, given # ! A, thepath "!qn presents strong symmetric properties, as shown by the next lemma.
Lemma 5. Let n ! N. Then q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, and some palindromes q, r and some letter # ! l,r.Proof. By induction on n. For n = 0, we have indeed q1 = " · r, q2 = " · r andq3 = r · l. Now, assume that q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, some palindromes q, r and some letter # ! l,r. Then
q3n+4 = q3n+3q3n+2 = q3n+2q3n+1q3n+2 = q#p#q · #
q3n+5 = q3n+4q3n+3 = q3n+3q3n+2q3n+3 = r#q#r · #
q3n+6 = q3n+5q3n+4 = q3n+4q3n+3q3n+4 = q#p#q#r#q#p#q · #.
une infinite de telles tuiles :stockage optimal, autoassemblant de deux manieresdistinctes ....
100 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
..... quete des double carres....
En resolvant des equations du type
ABAB ≡ XY X Y
ll est possible de generer
4 A. BLONDIN MASSE, S. BRLEK, AND S. LABBE
Finally, reflections on A! are easily described on M!.
Lemma 4. Let w ! A!. There exists i ! 0, 1, 2, 3 such that !w = !i(w) if andonly if !w is a palindrome.
In his thesis [8], the author proposed a conjecture that prime double squareshave a palindromic symmetry on their sides. We have not been able to found acounterexample and used that property to exhaustively generate these tiles. Hereare some examples.
This leads to a number of questions on the “arithmetics” of tilings, such as theunique decomposition, distribution of prime tiles, and their enumeration. Usingthe symmetry properties that double square must satisfy we have obtained tworemarkable families of tiles, namely the Christo!el and Fibonacci tiles (see [2]). Asan example we provide a family of tiles linking the Fibonacci and the Pell sequences.
2. Fibonacci snow flakes
We define a sequence (qn)n"N in M! by q0 = ", q1 = r and
(5) qn =
"qn#1qn#2 if n " 2 mod 3,
qn#1qn#2 if n " 0, 1 mod 3.
whenever n # 2. The first terms of (qn)n"N are
q0 = " q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr
Note that |qn| = Fn is the n-th Fibonacci number. Moreover, given # ! A, thepath "!qn presents strong symmetric properties, as shown by the next lemma.
Lemma 5. Let n ! N. Then q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, and some palindromes q, r and some letter # ! l,r.Proof. By induction on n. For n = 0, we have indeed q1 = " · r, q2 = " · r andq3 = r · l. Now, assume that q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, some palindromes q, r and some letter # ! l,r. Then
q3n+4 = q3n+3q3n+2 = q3n+2q3n+1q3n+2 = q#p#q · #
q3n+5 = q3n+4q3n+3 = q3n+3q3n+2q3n+3 = r#q#r · #
q3n+6 = q3n+5q3n+4 = q3n+4q3n+3q3n+4 = q#p#q#r#q#p#q · #.
une infinite de telles tuiles :stockage optimal, autoassemblant de deux manieresdistinctes ....
101 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
DGCI2009
Soit B = a, b. On definit un morphisme λ : B∗ → F∗ by
λ(a) = abab;λ(b) = ab.
Deux proprietes de λ sont les suivantes
Lemme
Soit v , v ′ ∈ B∗. Alors
(i) bλ(v) est un palindrome si et seulement si v est unpalindrome.
(ii) λ(v) ≡ λ(v ′) si et seulement si v ≡ v ′.
102 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
DGCI2009
Soit B = a, b. On definit un morphisme λ : B∗ → F∗ by
λ(a) = abab;λ(b) = ab.
Deux proprietes de λ sont les suivantes
Lemme
Soit v , v ′ ∈ B∗. Alors
(i) bλ(v) est un palindrome si et seulement si v est unpalindrome.
(ii) λ(v) ≡ λ(v ′) si et seulement si v ≡ v ′.
103 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Definition
On appelle tuile lineaire un polyomino dont le mot de contour estλ(w)λ(w) ou w = avb et v ∈ Pal(B∗).
Une tuile lineaire est un carre puisque
λ(w)λ(w) = ababλ(v)abababλ(v)ab ≡ bab·abλ(v)a·bab· abλ(v)a.
Une tuile lineaire est dite Christoffel si elle est obtenue d’un motde Christoffel inferieur w .
Figure: Tuiles de Christoffel : (a) w = aaaab (b) w = abbbb et (c)w = aabaababaabab.
104 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Definition
On appelle tuile lineaire un polyomino dont le mot de contour estλ(w)λ(w) ou w = avb et v ∈ Pal(B∗).
Une tuile lineaire est un carre puisque
λ(w)λ(w) = ababλ(v)abababλ(v)ab ≡ bab·abλ(v)a·bab· abλ(v)a.
Une tuile lineaire est dite Christoffel si elle est obtenue d’un motde Christoffel inferieur w .
Figure: Tuiles de Christoffel : (a) w = aaaab (b) w = abbbb et (c)w = aabaababaabab.
105 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Definition
On appelle tuile lineaire un polyomino dont le mot de contour estλ(w)λ(w) ou w = avb et v ∈ Pal(B∗).
Une tuile lineaire est un carre puisque
λ(w)λ(w) = ababλ(v)abababλ(v)ab ≡ bab·abλ(v)a·bab· abλ(v)a.
Une tuile lineaire est dite Christoffel si elle est obtenue d’un motde Christoffel inferieur w .
Figure: Tuiles de Christoffel : (a) w = aaaab (b) w = abbbb et (c)w = aabaababaabab.
106 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Theoreme
Soit P une tuile lineaire. Alors P est un double carre si etseulement si P est une tuile de Christoffel.
107 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
On definit une suite (qn)n∈N dans r, l∗ par q0 = ε, q1 = r et
qn =
qn−1qn−2 si n ≡ 2 mod 3,
qn−1qn−2 si n ≡ 0, 1 mod 3.
Les premiers termes de (qn)n∈N sont
q0 = ε q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr
Remarque : la longueur de ces mots est donnee par la suite deFibonacci :
|qn| = F (n)
108 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
On definit une suite (qn)n∈N dans r, l∗ par q0 = ε, q1 = r et
qn =
qn−1qn−2 si n ≡ 2 mod 3,
qn−1qn−2 si n ≡ 0, 1 mod 3.
Les premiers termes de (qn)n∈N sont
q0 = ε q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr
Remarque : la longueur de ces mots est donnee par la suite deFibonacci :
|qn| = F (n)
109 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Lemme
Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.
(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.
Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.
110 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Lemme
Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.
(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.
Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.
111 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Lemme
Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.
(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.
Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.
112 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Lemme
Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.
(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.
Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.
113 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Lemme
Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.
(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.
Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.
114 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Lemme
Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.
(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.
Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.
115 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Un pavage......
Figure: un pavage avec un polyomino de Fibonacci.
116 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Un resultat combinatoire ......
Le perimetre des tuiles de Fibonacci est donne par 4F (3n + 1)tandis que leur aire A(n) satisfait les formules inductives
A(0) = 1, A(1) = 5;A(n) = 6A(n − 1)− A(n − 2), pour n ≥ 2,
dont les premiers termes sont
1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109, 38613965, . . .
Cette suite est la sous suite d’indices impairs des nombres de Pell
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, . . .
definis par
P(0) = 0,P(1) = 1; P(n) = 2P(n − 1) + P(n − 2), pour n > 1.
117 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Problemes
treillis hexagonal ?
enumeration de nouvelles classes de polyominos
description de la structure de “poset” deduite de lafactorisation en tuiles premieres
etude des parametres : perimetre, aire, etc...
....
118 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Problemes
treillis hexagonal ?
enumeration de nouvelles classes de polyominos
description de la structure de “poset” deduite de lafactorisation en tuiles premieres
etude des parametres : perimetre, aire, etc...
....
119 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
Problemes
treillis hexagonal ?
enumeration de nouvelles classes de polyominos
description de la structure de “poset” deduite de lafactorisation en tuiles premieres
etude des parametres : perimetre, aire, etc...
....120 / 121
IntroductionLe probleme du pavage par translation
Generation de tuiles carreesDouble Carres
Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci
References
1 A. Blondin-Masse, S. Brlek, S. Labbe, M. Mendes France, Fibonacci snowflakes, Special Issue dedicated toPaulo Ribenboim, Annales des Sciences Mathematiques du Quebec (2009) To appear
2 A. Blondin-Masse, S. Brlek, A. Garon, S. Labbe, Equations on palindromes and circular words, TheoreticalComputer Science (2010) (Submitted)
3 A. Blondin Masse, S. Brlek, and S. Labbe, Combinatorial aspects of Escher Tilings, FPSAC 2010, 22ndInternational Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (August 2-6, 2010, SanFrancisco, USA)
4 A. Blondin Masse, S. Brlek, A. Garon and S. Labbe, Every polyomino yields at most two square tilings, 7thInternational Conference on Lattice paths combinatorics and applications (July 4-7, 2010, Siena, Italy)
5 A. Blondin Masse, S. Brlek, A. Garon and S. Labbe, Christoffel and Fibonacci Tiles, DGCI 2009, 15thIAPR International Conference on Discrete Geometry for Computer Imagery (September 30 - October 22009, Montreal, Canada) Springer LNCS 5810 (2009) 67–78
6 S. Brlek, J.-M Fedou, X. Provencal, On the Tiling by Translation Problem, Discrete Applied Mathematics157 (2009) 464–475
7 S. Brlek, X. Provencal, An optimal algorithm for detecting pseudo-squares, in Attila Kuba, Laszlo G. Nyul,Kalman Palagyi (Eds.), Proc. DGCI 2006, 13-th International Conference on Discrete Geometry forComputer Imagery (October 25-27, 2006, Szeged, Hungary) Springer LNCS 4245 (2006) 403–412
121 / 121
top related