ingenieria economica en la construccion[1]
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IIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGGEEEEEEEENNNNNNNNIIIIIIIIEEEEEEEERRRRRRRRIIIIIIIIAAAAAAAA EEEEEEEECCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNOOOOOOOOMMMMMMMMIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA EEEEEEEENNNNNNNN LLLLLLLLAAAAAAAA CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNSSSSSSSSTTTTTTTTRRRRRRRRUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN
La narración financiera de los proyectos de infraestructura civilLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civilLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civilLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civil
ALEX JOSE BRACAMONTE MIRANDA
Ingeniería económica en la construcción
2
ACERCA DEL TEXTO
La presente obra tuvo sus orígenes hacia inicios del año 2004 y se ha llevado más que
sólo este tiempo, medido hasta ahora finales de 2006, en lograr su culminación. Nació
como resultados de las experiencias y destrezas requeridas para impartir docencia en
las clases de los núcleos profesionales del programa de Ingeniería Civil de la
Universidad de Sucre, las que luego fueron fortalecidas a lo largo del ejercicio y del
estudio. Pero sin embargo lo que orienta a la creación del texto es de manera
fundamental el conocimiento referente a la necesidad de un orden diferente para el
manejo de evaluación financiera y económica de proyectos de infraestructura civil a
manos de Ingenieros Civiles, capaces y decididos. Lo que hasta ahora se ha logrado
plantear la inclusión de esta asignatura en el programa de Ingeniería Civil.
El libro inicia con los conceptos básicos de Ingeniería Económica y se detiene con
especial detalle en la valoración y conceptualización del manejo de créditos.
Utilizados en la construcción de edificaciones. Luego se dirige hacia aplicaciones
efectivas hacia la toma de decisiones para proyectos de inversión.
Alex José Bracamonte Miranda
Ingeniero Civil. Esp, MSc
Ingeniería económica en la construcción
3
Por
Alex José Bracamonte Miranda
Ingeniero Civil
Profesor Asistente
Departamento de Ingeniería Civil
Facultad de Ingeniería
Universidad de Sucre
Sincelejo, Sucre. Septiembre de 2006
Primera Impresión
IIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGGEEEEEEEENNNNNNNNIIIIIIIIEEEEEEEERRRRRRRRIIIIIIIIAAAAAAAA EEEEEEEECCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNOOOOOOOOMMMMMMMMIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA
EEEEEEEENNNNNNNN LLLLLLLLAAAAAAAA CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNSSSSSSSSTTTTTTTTRRRRRRRRUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN
La narración financiera de los proyectos de infraestructura civLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civilililil
Ingeniería económica en la construcción
4
Alex José Bracamonte Miranda
Ingeniería Económica en la Construcción. La narración financiera de los
proyectos de infraestructura civil
2ª impresión. Sincelejo
120 p.
ISBN 978-958-440392-6
Colección: Ingeniería Civil
Tipo de contenido: Libro universitario
Area: Ingeniería Económica
Materia: Actividades generales en la construcción
ISBN: 978-958-440392-6
Portada: Alex José Bracamonte Miranda
E-mail: alexjos1@yahoo.com
Ingeniería económica en la construcción
5
De nuevo a María Isabel … y a mi madre Melania… como siempre, señalándome el
camino
Ingeniería económica en la construcción
6
Agradecimientos
A Dios, por mantenerme en el camino
A la Universidad de Sucre, por darme una oportunidad
A mis alumnos, por mostrarme que era necesario
A mis amigos nuevamente, a esos amigos míos, por estar siempre junto a mí, aún en
aquellos momentos difíciles cuando el final de este libro no mostraba asomo de salir.
Ingeniería económica en la construcción
7
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION 11
CCAAPPIITTUULLOO II.. SSOOBBRREE IINNGGEENNIIEERRIIAA EECCOONNOOMMIICCAA
1. CONCEPTOS PRELIMINARES 14
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 14
1.2 CONCEPTO DE INTERES 15
1.3 TIPOS DE INTERÉS 17
1.3.1 INTERÉS SIMPLE 17
1.3.2 INTERÉS COMPUESTO 18
1.4 FACTORES DE EQUIVALENCIA 18
1.4.1 VALOR FUTURO, PN 20
1.4.2 VALOR PRESENTE, P 22
1.4.3 ANUALIDADES O SERIES UNIFORMES DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL. 24
1.5 INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO Y POR PERÍODO VENCIDO. 27
CCAAPPIITTUULLOO IIII.. CCAAPPIITTAALLIIZZAACCIIOONN DDEE IINNTTEERREESSEESS
2. CLASIFICACION DE LAS TASAS DE INTERES 29
2.1 PÉRIODOS DE CAPITALIZACIÓN. 29
Ingeniería económica en la construcción
8
2.2 PERÍODOS DE PAGO 29
2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS 35
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII.. AAMMOORRTTIIZZAACCIIOONN DDEE CCRREEDDIITTOOSS DDEE CCOONNSSTTRRUUCCCCIIOONN
3. DEVOLUCIONES DE CREDITO 39
3.1 CRÉDITOS EN PESOS. 40
3.1.1 CUOTA FIJA CON ABONO VARIABLE A CAPITAL E INTERESES 40
3.1.2 CUOTA VARIABLE CON ABONO CONSTANTE A CAPITAL 43
4.0 MODALIDADES DE CREDITO 46
4.1 CRÉDITO EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR). 47
4.1.1 VARIACIÓN DE LA UVR 48
CCAAPPIITTUULLOO IIVV.. IINNDDIICCAADDOORREESS FFIINNAANNCCIIEERROOSS DDEE RREENNTTAABBIILLIIDDAADD
5.0 VALOR PRESENTE NETO. 58
5.1 FORMAS DE ALTERNATIVAS PARA DETERMINAR VPN 61
5.1.1. ALTERNATIVAS CON IGUAL LONGITUD DE PERÍODOS O VIDA ÚTIL IGUAL 61
5.1.2 ALTERNATIVAS CON ALTERNATIVAS QUE TIENEN LONGITUDES DE TIEMPO DIFERENTES. 67
6.0 TASA INTERNA DE RETORNO 73
CCAAPPIITTUULLOO VV.. IINNDDIICCAADDOORREESS FFIINNAANNCCIIEERROOSS DDEE OOPPEERRAACCIIÓÓNN YY MMAANNTTEENNIIMMIIEENNTTOO
6.0 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE 81
Ingeniería económica en la construcción
9
7.1 ESTIMACION DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE EN LOS PROYECTOS 84
7.1.1 ESTIMACIÓN DEL CAUE EN PROYECTOS CON ALTERNATIVAS DE IGUAL DURACIÓN DE VIDA 84
7.1.2 ESTIMACIÓN DEL CAUE EN PROYECTOS CON ALTERNATIVAS DE DISTINTA DURACIÓN DE VIDA 92
CAPITULO VI. TECNICAS Y ANALISIS DE REMPLAZO
8. 1CONSIDERACIONES GENERALES 106
8.2 MODELOS DE AGOTAMIENTO
8.2.1 DEPRECIACION LINEAL 105
8.2.2 DEPRECIACION POR SALDO DRECECIENTE Y DOBLEMENTE DECRECIENTE 105
8.2.3 DEPRECIACION POR SUMA DE DIGITOS
106
8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS
106
8.3 PREMISAS FUNDAMENTALES DE UN MODELO DE AGOTAMIENTO
117
BIBLIOGRAFIA 124
Ingeniería económica en la construcción
10
INDICE DE GRAFICAS
Gráfica 1. Crédito con variación de períodos de pago y capitalización 32
Gráfica 2. Comportamiento general de un crédito 42
Gráfica 3. Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización 44
Gráfica 4. Comportamiento de saldos e intereses un crédito en pesos 46
Gráfica 5. Comportamiento de un crédito en UVR con variación de períodos 51
Gráfica 6. Excedentes de subrogación en créditos por UVR y en pesos 52
Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento 107
Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo 118
Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación 119
Ingeniería económica en la construcción
11
INTRODUCCION
Muchas veces hemos emprendido proyectos de construcción de edificaciones y obras
civiles, con un manejo técnico excelente, sin embargo, es probable, y debe así
reconocerse llegado el caso, sin asomo de duda que hemos alejado de la probabilidad
de éxito cada vez que tales proyectos les dado la característica de vulnerables, ya sea
en su totalidad o en parte. Vulnerabilidad que llega en un escenario de movimiento
donde las variables financieras y económicas no se han logrado disponer con excelente
certeza y con necesaria precisión para modelar todas las situaciones derivadas de la
ejecución y operación del proyecto bajos diferentes y supuestas condiciones que en un
momento del futuro definen el accionamiento y funcionamiento del proyecto. Cabe
ahora la pregunta, ¿Cuántos proyectos no han podido validar la certeza de su ejecución
frente a una elección de varia alternativas? Innumerables veces hemos apartado la
acumulación de capital en el tiempo y su influencia sobre la elegibilidad genuina para
dirimir en la elección de alternativas de proyectos de construcción.
¿En cuántas oportunidades hemos hecho a un lado la valoración económica de alguno
que otro componente de costos al realizar una matriz de asignación de variables y
valores a un proyecto?
Surge en este escenario que intentamos abrir, una situación cuya respuesta toca de
manera profunda la ejecución de proyectos en tiempos de antaño. ¿Cómo se ha
manejado la toma de decisiones de inversión en proyectos de construcción, realizados
tanto por el sector público como por el privado?
Este libro ha nacido de la necesidad planteada al interior de un raciocinio que busca
remover las formas anquilosténicas que permitan alcanzar el éxito a este sector de la
economía, como lo es la construcción de edificaciones.
En lo más profundo del texto se enmarca lo sutil, pero necesario como condición
inmediata, de introducir conceptos analíticos para la toma de decisiones de inversión
Ingeniería económica en la construcción
12
de capital en las actividades gerenciales relacionadas con los proyectos de
infraestructura civil. Los conceptos que se mueven en este texto parten a ser apoyo
para estudiantes y profesionales de la construcción, pero fue definitivamente la
tendencia en el ejercicio de la construcción en la panorámica regional del siglo XX, lo
que direccionó su contenido.
Estoy convencido que definitivamente, a los Ingenieros Civiles nos llega tarde la
transferencia de tecnología de soporte decisivo en la valoración económica de la
construcción. Avanzamos con lentitud hacia la trama del mundo donde se enfrentan el
balance de tareas de una sociedad como muestra de desarrollo económico frente al
liderazgo histórico siempre mantenido por la Ingeniería Civil, trama en la cual es
posible acertar a las mejores situaciones resultantes luego del compromiso de la
Ingeniería Económica discernida y aplicada bajo el escenario de la construcción. Es que
en definitiva no existe, al igual que no ha existido, un proyecto de Ingeniería que no
haya resultado susceptible de ser evaluado económicamente
No le corresponde a los Ingenieros Civiles más que constituirse en líderes de sus
propios campos de acción, ejerciendo el dominio sobre el desarrollo de los pueblos y
con acertado manejo en la toma de decisiones, ser protagonista de un orden de
antiguo legado que sólo hasta hace poco descubre su papel en el aprendizaje y
construcción de la ciencia.
Ingeniería económica en la construcción
13
Ciertamente la evaluación económica de alternativas a de inversión para proyectos de
construcción, y en general de cualquier proyecto, en ausencia de la Ingeniería
Económica contaría con una gran incertidumbre.
Mediante la Ingeniería Económica es posible valorar el dinero en el tiempo y con ello
valorar las decisiones de soporte para asignación de recursos para la ejecución de un
proyecto bajo diferentes que puede ser modelado para un sinnúmero de
probabilidades. Implica ello un examen y seguimiento de la movilidad de los flujos de
estos recursos a lo largo de la ejecución del proyecto al igual que todas las variables
económicas, financieras y de ejecución de la obra en específico.
Atendiendo a las diferentes alternativas de ejecución de infraestructura, a lo cual se
asocia un costo y un tiempo, resulta importante, además de interesante, aquella
propuesta favorable que hace que la relación inversión y rentabilidad para algunos
proyectos o inversión –beneficios para otros, sea la más atractiva de un proyecto en
particular, aunque haya sido objeto de evaluaciones por formas distintas. Sin lugar a
dudas la Ingeniería Económica es una herramienta para la toma de decisiones.
El ejercicio permanente de la construcción está enfrentado continuamente a la
elección de alternativas, que bajo la premisa que desarrollan igual nivel de servicio y
de respuesta, logren ofrecer las mejores condiciones económicas. No resulta acaso
cierto que la opción de proyecto con una nivelación óptima de recursos de tiempo y de
orden económicos conforme a lo especificado, resulta ser la más favorable.
CAPITULO
SOBRE INGENIERIA ECONOMICA II
Ingeniería económica en la construcción
14
1. CONCEPTOS PRELIMINARES
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Los cambios en la economía de finales de siglo, las variaciones en la comercialización
de productos en el entorno internacional han caracterizado cambios interesantes en el
poder adquisitivo de las monedas, medido como una variación a lo largo de tiempo. Se
identifican varias situaciones, una primera corresponde a la diferencia cambiaria entre
varias monedas a nivel mundial, es decir, distintas capacidades adquisitivas. Otra se
dirige hacia la acumulación de nuevos capitales por tenencia de y movilidad de flujos
de dinero.
La carrera hacia la adquisición de capitales, pareciera que acelerase los
comportamientos de la economía, y con ello las actividades de los individuos quienes
encuentran en el manejo del capital, el activo de mayor comercialización. Ello supone
que las sociedades que desean incrementar sus mercados o aumentar sus fuerzas
productivas, deberán adquirir activos de manos de sociedades productoras, al igual
que facilitar el ingreso de capitales de inversión y operación. Este capital es un activo
cuya puesta al servicio permite alcanzar utilidades en órdenes diversos de rentabilidad
económica en función de la clase y de las características de la actividad. Luego una
fuente de capital invertido acumula utilidades dispuestos nuevamente en capital.
Se presentan entonces nuevas inquietudes ¿Qué alternativas me conduce a una mayor
rentabilidad o a menores costos de operación? Para el caso inicial, ya se ha entendido
que las labores de inversión de capital tienen como resultado la obtención de
rentabilidad.
Para el caso de capitales dados en crédito, la generación de utilidades se expresa por
medio de la devolución adicional a la cantidad original prestada, definido estos pagos
en función de una serie de factores para tal caso. Estas acumulaciones que aumentan
la cantidad original de estos capitales, es lo que se denomina interés.
Ingeniería económica en la construcción
15
1.2 CONCEPTO DE INTERES
Definido un capital C y dado en modalidad de crédito a un usuario para ser devuelto en
un tiempo t compuesto por n períodos, podemos encontrar una serie de relaciones
entre estos elementos.
Luego de un intervalo de tiempo ∆t, la cantidad original ha acumulado ganancia
valorada en una fracción del capital original. Ahora, si el instante inicial es to, el
nuevo período está definido por t= to + ∆t. Transcurrido este tiempo se ha generado
una cantidad i que es función del capital inicial y de los términos en que fue suscrita la
tenencia. Esta cantidad se denomina interés. La tenencia de capital en préstamo tiene
costo, y esto sucede por la simple razón que al disponer tal capital en otra alternativa
de inversión generará una utilidad distinta.
Expresado funcionalmente tenemos:
Para t= to la cantidad inicial en préstamo es C
Para t= to +∆t, la cantidad de capital corresponde a C + interés (I)
El interés generado puede expresarse como una fracción de C, en lo que podemos
aproximarla a fC por lo generado para un intervalo definido, en un período ofrece al
final C + fC, donde f es una variable que identifica la ganancia de interés por período.
Luego, el interés acumulado a lo largo de n períodos de tiempo, puede relacionarse
como cantidad final – cantidad inicial= C+fC-C= fC. Esta es la primera conclusión
importante, nos establece que luego de consumirse los períodos, el capital se ha
acumulado en un valor fC. No es congruente la comparación de dos cantidades de
capital en períodos distinto. Para que esta comparación pueda efectuarse es necesario
que medie una equivalencia entre dos tiempos distintos. Esta equivalencia la
proporciona sólo el interés.
Ingeniería económica en la construcción
16
Igualar una cantidad de hoy con una dentro de 48 meses, o una de hace 56 meses con
una de hoy, sólo es posible con el interés. Esta premisa nos permite definir muy
sutilmente que cualquiera cantidad de capital dispuesta en la alternativa
correspondiente generará devoluciones agregadas a este capital inicial. Esta la para
toma de decisiones en la inversión de capitales.
Determinar la variación periódica de un capital, debe introducirse el concepto de tasa
de interés. Esta tasa nos permite proyectar y entender la manera como cambia un
valor inicial a lo largo de n períodos. La tasa de interés puede evaluarse a partir de la
ecuación siguiente
100 i interés de Tasa xinicialCantidad
Interés==
El concepto de amplio y masivo uso, tanto en el sector financiero como fuera de él, es
la tasa de interés. Esto se presenta por sólo ella permite actualizar cualquier capital
en cualquier momento.
Veamos la siguiente inquietud.
Ejercicio 1. Un individuo coloca $40’000.000 en una cuenta fiduciaria en septiembre
1. Al cabo de 6 meses retiró el aporte y la fiduciaria le entregó $42’500.000. ¿Cuál es
el interés y tasa de interés causado?
Interés= 42’500.000 - 40’000.000 = 2’500.000
Tasa de interés.00000040
0005002
.'
.'X1OO= 6.25%. Como el período de capitalización es
mensual, la tasa de interés debe expresarse en igual período, es decir, 6
256.=1.041%
mensual
Ingeniería económica en la construcción
17
Ejercicio 2. ¿Cuál es el interés o cantidad a pagar dentro de un mes por un crédito de
$15’000.000 con tasa de interés del 2.25% mensual?
I=originalCantidad
Interés, luego, el interés corresponde a = 15’000.000 x 0.0225= $337.5000
Establecemos entonces, que el interés I es una cantidad a diferencia de la tasa de
interés i la cual corresponde a un porcentaje.
1.3 TIPOS DE INTERÉS
1.3.1 Interés simple.
Cuando a lo largo de varios períodos se pagan intereses teniendo sólo en cuenta el
capital inicial, estamos frente a interés simple.
Ejercicio 3. Describa la relación de pagos para devolver un préstamo de $10,000,000
pagando intereses durante 5 meses y realizar la devolución al final del período,
tomado a una tasa del 2% mensual simple.
El interés para cada mes está definido por la cantidad equivalente a saldo x tasa de
interés
Mes Saldo Interés Devolución
0 10000000 0
1 10000000 200000 0
2 10000000 200000 0
3 10000000 200000 0
4 10000000 200000 0
Ingeniería económica en la construcción
18
5 10000000 200000 10000000
Nótese que el saldo no varía a lo largo de los períodos de pagos. A nivel financiero los
pagos se realizan de una manera distinta.
1.3.2 Interés compuesto.
Manejemos el crédito anterior pero añadiendo una diferencia referente con el saldo.
En esta modalidad los intereses generados en un período se acumulan con la cantidad
original y forman el saldo de capitalización para el siguiente período. Este es el tipo de
interés manejado en el sector financiero.
Mes Saldo inicial Interés Saldo
acumulado Devolución
0 10000000 0 10000000 0
1 10000000 200000 10200000 0
2 10000000 204000 10404000 0
3 10000000 208080 10612080 0
4 10000000 212241,6 10824321,6 0
5 10000000 216486,4 11040808,0 11040808,03
1.4 FACTORES DE EQUIVALENCIA
Miremos el comportamiento del flujo de dinero prestado, contemplando la recepción
del préstamo, los abonos de intereses periódicos y la devolución del crédito al final del
período 5
Ingeniería económica en la construcción
19
Este diagrama se conoce como diagrama de flujo. En el desarrollo de este texto,
tendrá un uso permanente para notación y representación de situaciones. En él los
ingresos, utilidades o dividendos se representan como flechas ascendentes, y los
egresos, pagos o inversiones se denotan como flechas descendentes. Los diagramas de
flujo nos permiten el entendimiento de situaciones donde se involucran
indistintamente inversiones, pagos, retiros y demás transacciones que lleguen a
implicarse.
En el diagrama anterior se observa una inversión Po al inicio de un período 0 y
posteriormente el retiro de cinco cantidades iguales al final de cada período siguiente,
P1, P2, P3, P4 y P5 de manera respectiva.
+
200000
204000
212241 21648
10000000
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
1,000,000
208080
P1 P2
P3 P4 P5
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
P0
Ingeniería económica en la construcción
20
Ejercicio 4. Construya el diagrama de depósitos de $700.000 que desean hacerse cada
dos años a partir del final del primer año a fin de realizar al final del año 7 el retiro
de todas las cantidades con sus intereses expresado como P
-
Surgen inquietudes respecto a la pronosticar el comportamiento de las cantidades
dispuestas en un flujo específico. ¿Si tengo hoy disponible un monto P para inversión, y
la tasa de interés ofrecida es i evaluada por mes, cuánto tendré dentro de treinta
meses si tomo la decisión de invertir hoy?
1.4.1 Valor Futuro Pn.
Del ejercicio 3 podemos extraer un comportamiento del crédito con monto P frente a
la tasa de interés i. Para el primer período, n=1, el saldo al final del período resulta
ser P + Pi, es decir P1 = (1 + i). Para n=2, el valor se inicia con el saldo final del
período anterior, es decir, P + Pi. Sin embargo al final del período esta cantidad ha
originado un interés en este período de valor (P + Pi)i, con lo que resulta P + Pi+( P +
Pi)i. Solucionando esta ecuación tenemos P+Pi+ Pi+ Pi2, a P(1 + 2i + i2) este es un
producto notable que puede factorizarse como P2 = (1+i)2
Para n=3, el valor de saldo al inicio del período es P + Pi+( P + Pi)i, el cual generará un
interés correspondiente a (P + Pi+( P + Pi)i)i, con ello el saldo final es P + Pi+( P + Pi)i
700000
P
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7
700000 700000
n=6
Ingeniería económica en la construcción
21
+ (P + Pi+( P + Pi)i), esta ecuación resulta como P(1 + 2i + i2 + i + 2i2 + i3), factorizado
como P(1 + 3i + 3i2 + i3), esto corresponde al producto P3 = P(1 + i)3
Por deducción para otros períodos ∀ n, Pn = (1+i)n
Valor futuro lo definimos como el valor equivalente Pn de un valor actual P
determinado en un período n requerido. Esta ecuación es de mucho valor en la
Ingeniería Económica, pues nos permite hallar la equivalencia entre dos montos,
fijados en períodos distintos mediando de intermedio el interés.
Ejercicio 5. ¿Cuánto dinero acumularé al final de 30 meses, si dispongo ahora de
$15000000 para inversión, a una tasa de 1.5% mensual?
P 15000000
I 1,5% mensual
n 30 meses
23446203,3$)015,01(15000000)1( 303030 =+=+= iPP
P30
n=1 n=2 n=3 n=4 n=30
P=15000000
Ingeniería económica en la construcción
22
Ejercicio 6. Resolver el ejercicio 3 para determinar el saldo resultante utilizando la
fórmula de valor futuro.
P 10,000,000
I 2% mensual
n 5 meses
11040808$),()( =+=+= 555 0201100000001 iPP .
Para el cálculo del capital acumulado en períodos futuros o hacia atrás, los intereses
que se cobran son compuestos. Nótese la diferencia entre el saldo del ejercicio 6 y el
resultante en el ejercicio 3
1.4.2 Valor Presente P.
Denominado también valor actual y corresponde efectivamente a las sumas de dinero
acumuladas para un período actual o las que corresponden a un período en estudio. No
significa ello que P corresponda exclusivamente a valor correspondiente al período
n=0.
En el cálculo de valores, P corresponde a un valor que puede fijarse en cualquier
período desde el cual se toma como punto de partida para examinar valores que se
encuentran períodos adelante o atrás.
El valor presente puede expresarse mediante la ecuación de valor futuro, de forma
P5
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
P=10000000
Ingeniería económica en la construcción
23
nn
i
PP
)1( +=
Expresado de otra manera, el valor presente es el equivalente de un valor futuro
evaluado n períodos atrás.
Ejercicio 7. ¿De cuánto dinero debo disponer hoy si deseo tener $23,000,000 para
acceder a la cuota inicial de un apartamento dentro de 10 años, si las tasas de
captación más atractivas están en el orden del 0.2% mensual?
Pn= 23000000
n= 120
i= 0,002
P=12000201
23000000
).( + = $18,O96,777
Obsérvese que el rendimiento es muy lento, pero es posible elegir entre la
presentación de otras acciones con menor tiempo, mayor rentabilidad y sin duda con
una variante del riesgo, el cual es un factor asociado a cada evento Los eventos
presente y futuro se desarrollan en un ambiente de variables y parámetros, lo cual,
para pasar de uno a otro de desarrolla en medio de probabilidad. Los ejercicios
realizados hasta ahora se enmarcan en la probabilidad más alta de realizarse. Sin
23000000
n=1 n=2 n=3 n=80 n=120
P=?
Ingeniería económica en la construcción
24
embargo es posible que el evento de alcanzar tal posibilidad esté marcado por un
escenario de baja probabilidad.
1.4.3 Anualidades o series uniformes de recuperación de capital.
Analicemos el siguiente flujo del diagrama
Si realizamos un crédito para construcción por $10000000, cual es la cuota mensual
que debemos pagar mensualmente dentro de los siguientes 7 meses para devolver el
crédito, pagando en cada abono, tanto intereses como capital?
La alternativa para solucionar esta situación sólo es posible a través del cálculo de
anualidades. Las anualidades son una serie uniforme y periódica de valores futuros que
discretizan pos la magnitud y la frecuencia. Para el caso de préstamos, la generación
de la cuota es la determinación del pago periódico con el cual se amortizan tanto
intereses del saldo original como abonos al mismo. Para el caso de abonos hacia la
acumulación de un capital futuro, las cuotas mensuales son la expresión del pago
mínimo periódico para acumular tal capital.
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
10000000
n=6 n=7
A A A A
A A A
Ingeniería económica en la construcción
25
Para poder relacionar P con la serie de valores A, es necesario describir A en función
de P, es decir que a lo largo del tiempo existe equivalencia de forma
∑= +
=n
jni
AP
1 )1(. Ahora es necesario determinar período por período la suma de los
valores futuros A traídos y evaluados en n=0, de manera que la suma algebraica de
ellos sea igual a P
P=nn i
A
i
A
i
A
i
A
)1()1(...
)1()1( 121 ++
+++
++
+ − , multiplicando toda la expresión por )1( i
A
+
132 )1()1(...
)1()1()1( +++
+++
++
+=
+ nn i
A
i
A
i
A
i
A
i
P
Restando de la ecuación anterior la primera, tenemos como resultado:
n=1 n=2 n-2 n-1 n
P
A A A A A
n=1 n=2 n-2 n-1 n
P
A A A A A
Ingeniería económica en la construcción
26
[ ] [ ]11
111
1
1
11
11
1
1
1
1
1
11
111
1
11
−++=−+
+=
+−
+=
+
+−
+=
++
++
+−=−
+
+
+−
n
nn
n
n
n
n
)i(
)i(PiAfinalmentequeaquíde,)i(
)i(
APi
)i()i(
A
)i(
iP
)i()i(A
)i(P
;)i(
A
)i(
AP
)i(
P
La premisa fundamental de esta deducción es considerar que los pagos se realizan al
final de cada período. Esta expresión hallada es denominada factor de recuperación de
capital y tiene una aplicación enorme, tanto en temas financieros como en los de
evaluación de proyectos de inversión.
Vamos a determinar A en función de Pn
[ ]
[ ]
1)1(
1)1(
)1(
)1(
1)1(
)1(
−+=
−++
+=
−++=
nn
n
n
nn
n
n
i
iPA
i
ii
i
PA
i
iPiA
Una de las aplicaciones de mayor reconocimiento de la anualidad es la obtención de
valores de cuotas o abonos de créditos y en la valoración de costos uniformes anual
equivalentes CUAE, referente a los gastos de operación y mantenimiento en un
proyecto
Ingeniería económica en la construcción
27
Ejercicio 8. ¿SI empiezo ahorra dentro de un año, cuánto dinero debo consignar
mensualmente durante tres años si deseo tener al final del cuarto año, una cantidad
de $12,000,000 manejando una tasa de interés mensual del 2%?
Aquí debemos relacionar una serie uniforme A con un valor futuro Pn a lo largo de 36
meses. Nótese que la anualidad se comienza a pagar en el momento n=0, con lo cual
se realizarán entonces 37 pagos.
230,794.2$1)02,01(
02,0000,000,12
1)1( 36 =−+
=−+
= x
i
iPA
nn
1.5 INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO Y POR PERÍODO VENCIDO.
Imaginemos el desembolso de un crédito de $10,000,000 a una tasa del 15% anual para
ser devuelto dentro de un año. En esta instancia la condición para acceder al crédito
es el pago anticipado de los intereses, es decir, en el inicio de cada período de pago y
no al final como veníamos trabajando, con lo que del préstamo se descuenta el valor
de los intereses.
n=1 n=2 n=12 n=24 n=36
A A A A
n=0
A
1,500,000
n=1
10,000,000
10,000,000
Ingeniería económica en la construcción
28
Determinamos efectivamente el interés cobrado.
Luego 1)(1
−= nn
P
Pi , comoquiera que n=1, %64.171176.11
8500000
10000000 =−=−=i . En
los pagos por anticipados, el interés efectivamente cobrado es mayor al que
inicialmente se definía.
Veamos el caso del mismo préstamo con la variante que en éste, los intereses se pagan
al final del período
Luego %.,,
,,i 1511511
00000010
00050011 =−=−= . En efecto, sólo cuando los pagos de intereses
se realizan al final del período, la tasa de interés que se anuncia coincide con la tasa
finalmente cobrada
10,000,000
n=1
10,000,000 +
1,500,000
nn iPP )1( +=
Ingeniería económica en la construcción
29
2. CLASIFICACION DE LAS TASAS DE INTERES
En la capitalización de intereses, vemos por ejercicio como los depósitos a término fijo
DTF varían diariamente, como la UVR igualmente varía cada día, los préstamos de
diferente índole causan intereses mensuales, es decir, existe distinta longitud para
cobrar intereses por los saldos acumulados.
2.1 PÉRIODOS DE CAPITALIZACIÓN.
Corresponde a la longitud de tiempo o al intervalo temporal en los cuales se causan o
se abonan intereses.
Si el período de capitalización es diario, tal como UVR y DTF, se generan intereses
diariamente. Si este período se vuelve bimestral, cada dos meses deberán pagarse o
abonarse intereses por los saldos acumulados del crédito o del valor dado en custodia.
2.2 PERÍODOS DE PAGO
Corresponde al tiempo de frecuencia de devolución del capital mediante anualidades,
mediante el cual se abona o se pagan las obligaciones.
CAPITULO
CCAAPPIITTAALLIIZZAACCIIOONN DDEE IINNTTEERREESSEESS IIII
Ingeniería económica en la construcción
30
Si el período pactado con quien concede el crédito es mensual, la obligación deberá
devolverse mensualmente hasta el número de cuotas igualmente pactadas. Si por el
contrario, si para un caso específico, la recuperación de capital se plante a través de
trimestres, cada 3 meses deberán abonarse o cancelarse las obligaciones
correspondientes.
Es necesario e imprescindible que la unidad de tiempo asignada tanto el período de
capitalización coincida con la asignada al período de pagos. Para la entidad que
entrega el dinero en préstamo le es interesante sostener una deuda que crece
diariamente, pero no así resulta para quien la recibe en igual modalidad.
Ejercicio 9. Desarrolle la amortización de un crédito por $10,000,000, entregados a
una tasa semanal del 0.5%. Esta tasa nominalmente equivale a una del 2% mensual, el
cual será devuelto a lo largo de 12 meses. El período de pago es mensual
Valor crédito 10,000,000
Número de períodos n 12
Tasa de interés de capitalización 0,05% Semanal
2% Mensual
Cuota de pago o anualidad $ 836.044,15 Mensual
La tabla de pagos resultante es la siguiente:
Semana Valor Abono de intereses
Abono a capital
Saldo
0 $ 0.00 0 0 $10,000.000.00
1 $ 836,044.15 200000 $ 636,044.15 $ 9,363,955.85
2 $ 9,368,637.83
3 $ 9,373,322.15
4 $ 836,044.15 187466.443 $ 648,577.71 $ 8,724,744.44
5 $ 8,729,106.81
6 $ 8,733,471.37
7 $ 8,733,471.37
Ingeniería económica en la construcción
31
Semana Valor Abono de intereses
Abono a capital
Saldo
8 $ 836,044.15 174669.4274 $ 661,374.72 $ 8,072,096.65
9 $ 8,076,132.70
10 $ 8,080,170.76
11 $ 8,080,170.76
12 $ 836,044.15 161603.4152 $ 674,440.73 $ 7,405,730.03
13 $ 7,409,432.89
14 $ 7,413,137.61
15 $ 7,416,844.18
16 $ 836,044.15 148336.8836 $ 687,707.27 $ 6,729,136.91
17 $ 6,732,501.48
18 $ 6,735,867.73
19 $ 6,739,235.67
20 $ 836,044.15 134784.7133 $ 701,259.44 $ 6,037,976.23
21 $ 6,040,995.22
22 $ 6,044,015.72
23 $ 6,047,037.72
24 $ 836,044.15 120940.7545 $ 715,103.39 $ 5,331,934.33
25 $ 5,334,600.30
26 $ 5,337,267.60
27 $ 5,339,936.23
28 $ 836,044.15 106798.7246 $ 729,245.42 $ 4,610,690.81
29 $ 4,612,996.15
30 $ 4,615,302.65
31 $ 4,617,610.30
32 $ 836,044.15 92352.20604 $ 743,691.94 $ 3,873,918.36
33 $ 3,875,855.32
34 $ 3,877,793.25
35 $ 3,879,732.14
36 $ 836,044.15 77594.64286 $ 758,449.51 $ 3,121,282.64
37 $ 3,122,843.28
38 $ 3,124,404.70
39 $ 3,125,966.90
40 $ 836,044.15 62519.33805 $ 773,524.81 $ 2,352,442.09
41 $ 2,353,618.31
Ingeniería económica en la construcción
32
Semana Valor Abono de intereses
Abono a capital Saldo
42 $ 2,354,795.12
43 $ 2,355,972.52
44 $ 836,044.15 47119.45039 $ 788,924.70 $ 1,567,047.82
45 $ 1,567,831.35
46 $ 1,568,615.26
47 $ 1,569,399.57
48 $ 836,044.15 31387.99137 $ 804,656.16 $ 764,743.41
Podemos observar en la gráfica 4, el comportamiento de este crédito. Vemos que los
descensos del saldo se realizan mensualmente cuando se efectúan los pagos
correspondientes. Sin embargo para cualquier mes en particular, es posible apreciar
que el saldo existente al momento del pago no coincide con el del siguiente mes. Esto
se explica si se nota que dentro de un mes el saldo se capitaliza semanalmente, con lo
que en un mes se presentan 3 alzas del saldo que corresponden a las líneas con
pendiente ascendente posteriores a cada fecha de pago que aparentemente aparecen
como horizontales
MOVILIDAD DE SALDOS CON UNIDADES DE PERIODOS DE CAPITALIZACION Y PAGO DISTINTOS
0
1000000
2000000
3000000
4000000
5000000
6000000
7000000
8000000
9000000
10000000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
Períodos (semanas)
Saldos ($)
Gráfica 1. Comportamiento de un crédito con períodos de capitalización y pago diferentes.
Ingeniería económica en la construcción
33
Al finalizar el período 12, la amortización de las anualidades no cierran el crédito,
pues aparece un saldo por valor $ 764.743,41 que deberá pagarse en adición al valor
de propio de la cuota. Es decir, para poder cancelar el crédito, en el último período,
deberán abonarse a la deuda $ 1.600.787,56, en contraste con el valor de la cuota por
$ 836.044,15
Ejercicio 10. Imaginemos un crédito por valor de $1,000,000, el cual tiene período de
pago anual y una tasa de interés del 1% mensual.
El interés a lo largo del año aparentemente corresponde a 12 x 1% = 12%. Esta
premisa sería válida si la modalidad del interés fuera simple, de manera que se
pagase interés por un saldo sin variar a lo largo del crédito, sin embargo el interés
financiero, como habíamos mencionado en el capítulo I, es compuesto. De manera que
a los saldos periódicos, se les suma el interés periódico acumulado. Para este crédito
el interés efectivamente generado es de 12,68% frente a un aparente o nominal del
12%
Que sucedería si el crédito se pagase por períodos quincenales, ¿Cuál sería el interés
efectivamente cobrado
2.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL.
Esta variedad significa que el interés que se pronostica es aparente. En adelante
distinguiremos este interés como r. La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al
final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente
no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una función lineal al cabo
del periodo anual.
La variación de la tasa nominal se determina en función del período inicial y los
períodos o subperíodos de capitalización en estudio.
Ingeniería económica en la construcción
34
El interés nominal r dado en cada subperiodo puede expresarse como rn para cualquier
período que contenga n subperíodos
Ejercicio 11. Determine la variación del interés subperiódico r=0,21 semanal, en
mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.
Período Subperíodos # de subperíodos
Interés subperíodico Notación
Interés periódico
Mes Semana 4 0,21% 4 x 0,21 0,84%
Bimestre Semana 8 0,21% 8 x 0,21 1,68%
Trimestre Semana 12 0,21% 12 x 0,21 2,52%
Semestre Semana 24 0,21% 24 x 0,21 5,04%
Año Semana 48 0,21% 48 x 0,21 10,08%
Obsérvese que puede pasarse de un subperiodo a un período mayor tanto como de un
período mayor a un subperíodo.
Para el ejercicio anterior, pártase del interés nominal anual y determine las tasas
subperiódicas semestral, cuatrimestral, bimestral, mensual, semanal y diario
Período Subperíodos # de subperíodos
Interés periódico Notación
Interés periódico
Año Semestre 0,5 10,08% 1 x 1/2 5,04%
Año Cuatrimestre 0,333333333 10,08% 1 x 1/3 3,36%
Año Bimestre 0,166666667 10,08% 1 x 1/6 1,68%
Año Semana 0,020833333 10,08% 1 x 1/48 0,21%
nrr xn =
Ingeniería económica en la construcción
35
Año Día 0,002739726 10,08% 1 x 1/365 0,03%
El interés nominal se expresa mencionando solo el valor de la tasa y el período de
capitalización, 2% mensual, 1.2% quincenal
2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS
Las tasas efectivas corresponden al interés verdaderamente cobrado o abonado para
una operación definida. Es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre
y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés
periódica pactada inicialmente. Por lo tanto la tasa efectiva anual es una función
exponencial de la tasa periódica.
Estas tasas se expresan enunciado el valor de la tasa respectiva, seguida del período
de pago y del período de capitalización. Otra forma de expresar este interés es
enunciar la tasa de interés correspondiente, complementado por la palabra efectiva y
seguida del período de pago.
1.2% mensual x mes
4,6% cuatrimestre por mes
13% anual x año
1,2% efectivo mensual
4,6% efectivo cuatrimestral
13% efectivo anual.
Estas notaciones muestran una congruencia entre los períodos de capitalización y de
pago. Las tasas efectivas varían exponencialmente en la medida que suben o
descienden subperíodos, al contrario de la forma aritmética de las tasas nominales
Ingeniería económica en la construcción
36
Al final de un período n, la tasa nominal se habrá aumentado en un valor (1+i) y la
tasa efectiva habrá variado (1+ri)n, donde ri es la tasa subperiódica. Con lo cual al
igualar estos montos deberán ser iguales, de manera que
(1+i) =(1+r)n
i= (1+ri)n-1,
Pero si cuando se desciende en subperíodos, la ecuación toma la forma
1)r(1 i1
i −+= n .
Al tener un período n subperíodos, es posible deducir en orden contrario que un
subperiodo contiene a la vez n
1períodos.
Algunos autores expresan las tasas nominales mediante le siguiente expresión.
1)r
(1 i1
o −+= n
m, donde ro es la tasa de interés nominal en estudio y m es el número de
veces que se capitaliza ro dentro de un período n. Interesa tener claro que tanto ri como
m
ri corresponde a la tasa de interés que efectivamente se capitaliza de manera
subperiódica en definidos subperíodos de pago.
Ejercicio 12. Determine la variación de las tasas efectivas del interés semanal
mostrado en el Ejercicio 14 evaluado para los mismos períodos.
Período Subperiodo # de subp
Interés subp
Notación Interés periódico
Denominación
Mes Semana 4 0,21% 1002101 4 −+ ),( 0,843% efectivo mensual
Ingeniería económica en la construcción
37
Bimestre Semana 8 0,21% 1002101 8 −+ ),( 1,692% efectivo bimestral
Trimestre Semana 12 0,21% 112002101 −+ ),( 2,549% efectivo trimestral
Semestre Semana 24 0,21% 1002101 24 −+ ),( 5,164% efectivo semestral
Año Semana 48 0,21% 1002101 48 −+ ),( 10,594% efectivo anual
Obsérvese que existen diferencias entre los valores nominales y las tasas efectivas
correspondientes a períodos iguales señalados indistintamente en ambos ejercicios.
Ejercicio 13. Describa las variaciones de una tasa de interés mensual del 2.0 % y
realice la comparación entre los valores nominales y efectivos para los mismos
períodos
Interés nominal mensual 2,00%
Subperíodo Período # de
subperíodos Notación nominal
Interés nominal
Notación efectiva
Interés efectivo
Mensual Bimestre 2 2 x 0,02 4,000% 1)02,01( 2 −+ 4,040%
Mensual Trimestre 3 3 x 0,02 6,000% 1)02,01( 3 −+ 6,121%
Mensual Cuatrimestre 4 4 x 0,02 8,000% 1)02,01( 4 −+ 8,243%
Mensual Semestre 6 6 x 0,02 12,000% 1)02,01( 6 −+ 12,616%
Mensual Anual 12 12 x 0,02 24,000% 1)02,01( 12 −+ 26,824%
Mediante este ejercicio es necesario observar la diferencia en las tasas acumuladas de
interés para un determinado período. Esta situación es clara: Las tasas efectivas se
calculan mediante fracción exponencial, mientras que las tasas nominales se expresan
de forma aritmética
Ingeniería económica en la construcción
38
Ejercicio 14. ¿A cuanto ascenderá una deuda de $7,000,000 dentro de 18 meses
tomados a una tasa efectiva del 1.6% anual liquidado por mes?
Es necesario determinar la tasa de interés efectivo anual por año, decir, la tasa
correspondiente a un período de pago de un año y período de capitalización anual.
%,),( 9820101601 12 =−+=anualxaño
i
Como el período de capitalización es anual, el número de períodos n es 1,5.
Luego 9,314,698$),( , =+= 51209801n
P
7,000,000
n=1
Pn
n=1,5
Ingeniería económica en la construcción
39
Es imprescindible obtener las influencias de orden financiero y económico que se
suscitan por la posesión de crédito, para definir de forma muy certera el proceso de
evaluación económica de un proyecto de construcción.
La tenencia de un crédito trae inmersa una trama de situaciones que pueden volverse
complejas. Es también posible que manejadas deficientemente pueden ofrecer el
fracaso financiero y económico de un proyecto de construcción.
Los créditos de construcción en Colombia están regulados y la modalidad y términos de
manejo están definidos por normas. Para construcción de edificaciones, los créditos
están presentes en una modalidad distinta de los créditos para adquisición de activos
tal como veremos más adelante
Tener un crédito para construir edificaciones tiene un costo que debe ser estudiado en
la generación de costos totales del proyecto y finalmente incluido dentro del área
vendible.
3. DEVOLUCIONES DE CREDITO
Los créditos se retornan mediante pagos de una serie uniforme o cuotas que se pagan
periódicamente a lo largo de una longitud de período n en el cual la tasa de interés
CAPITULO
AMORTIZACION DE CREDITOS DE CONSTRUCCIÓN IIIIII
Ingeniería económica en la construcción
40
puede mantenerse fija o variable de acuerdo a lo que se exprese en los iniciales
suscritos.
3.1 CRÉDITOS EN PESOS.
Los créditos en pesos implican una devolución del crédito a partir del cálculo de una
serie de cuotas tomando como valor presente el valor en pesos del crédito en estudio.
Los créditos para construcción de edificaciones no se efectúan en pesos de acuerdo a
la legislación colombiana. Sin embargo los créditos para compra de inmuebles o
diferentes activos, están presentes en pesos
Lo interesante al tomar un crédito, en cualquiera modalidad, se define por la manera
como se comportan los saldos de la deuda tras los pagos periódicos.
Para todas las modalidades de crédito existen muchas formas de devolver el monto
prestado
3.1.1 Cuota fija con abono variable a capital e intereses.
En esta modalidad se calcula la cuota de pago a lo largo del crédito. Los abonos a
intereses se causan sobre el saldo del período inmediatamente anterior. El excedente
de la cuota sobre este valor es el abono a capital.
El pago de cuotas mediante el sistema de anualidades calculadas con base en el valor
presente del crédito P tomado en el período n=0, la tasa de interés i al momento de
tomar el crédito y la longitud total de tiempo. Calculadas las anualidades con base en
el valor presente o futuro se desarrolla en la serie aportes periódicos al capital y pago
de intereses al saldo de la deuda que se amortizan de cuota a cuota.
Ingeniería económica en la construcción
41
Ejercicio 15. Calcule la serie de pagos para un préstamo de $10,000,000 a ser
devuelto mediante cuotas iguales en un plazo de 12 meses a una tasa de interés del 2%
mensual.
P= 10000000, n= 12 e i= 0,02%
A en función de P, con una tasa de interés i, n períodos, se denota como (A/P,i, n)
[ ] 945.595,97 $10201
02010200000001012
12
=−++=
),(
),(x,x,,A
Realicemos ahora la tabla de amortización de intereses y abonos a capital
Tabla 1. Tabla de amortización de pagos
No de
cuota Valor
Abono de
intereses
Abono a
capital Saldo
0 10000000
1 $ 945.595,97 200000 $ 745.595,97 $ 9.254.404,03
2 $ 945.595,97 185088,081 $ 760.507,89 $ 8.493.896,15
3 $ 945.595,97 169877,923 $ 775.718,04 $ 7.718.178,10
4 $ 945.595,97 154363,562 $ 791.232,40 $ 6.926.945,70
5 $ 945.595,97 138538,914 $ 807.057,05 $ 6.119.888,65
6 $ 945.595,97 122397,773 $ 823.198,19 $ 5.296.690,46
7 $ 945.595,97 105933,809 $ 839.662,16 $ 4.457.028,30
8 $ 945.595,97 89140,566 $ 856.455,40 $ 3.600.572,90
9 $ 945.595,97 72011,458 $ 873.584,51 $ 2.726.988,39
10 $ 945.595,97 54539,7678 $ 891.056,20 $ 1.835.932,19
11 $ 945.595,97 36718,6438 $ 908.877,32 $ 927.054,87
12 $ 945.595,97 18541,0974 $ 927.054,87 $ 0,00
Ingeniería económica en la construcción
42
Expliquemos la cuota 1. El abono a intereses en la tercera columna corresponde al
producto del saldo acumulado en el período anterior n=0 por la tasa de interés, esto es
$10,000,000 x 0,02=$200,000. El abono a capital de la cuarta columna se obtiene al
restar el valor pagado en la cuota del abono de intereses, ello es, $945,595.97 –
$200,000=$745,595.97
La gráfica siguiente muestra el comportamiento de este crédito
COMPORTAMIENTO DE UN CREDITO EN PESOS
y = -10540x2 - 689142x + 1E+07
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
0 2 4 6 8 10 12
Períodos de pago (meses)
Saldo ($)
Gráfica 2. Comportamiento general de un crédito
El movimiento de datos en la serie del crédito nos muestra que el comportamiento no
corresponde a una línea recta sino a una curva polinomial. La ecuación que rige este
caso en específico es y=-10540X2 – 68912X + 10000000, donde x es define los períodos
de pago y la variable y define los saldos de la deuda. Esta serie de valores no presenta
dispersión frente a la línea de tendencia teniendo un coeficiente de correlación de 1.
Si buscáramos una línea de tendencia lineal, la recta más cercana a estos valores,
tiene ecuación y = -832735x + 1E+07, con un coeficiente de correlación de valor
0,9989, presentando dispersión de datos respecto a la primera del 0,11%.Por ello
trabajaremos con la primera ecuación.
Ingeniería económica en la construcción
43
3.1.2 Cuota variable con abono constante a capital
En esta opción el valor de la cuota es reajustado periódicamente. Solo es constante el
valor del aporte que se hace al capital. El abono de intereses se realiza igualmente
sobre los saldos del período inmediatamente anterior.
El aporte a capital se obtiene de dos formas. La primera es el cociente entre el monto
del crédito sobre el número de períodos de pago
períodosdeNúmero
prestadovalorAporte =
La segunda forma resulta de tomar un valor definido de aporte al capital, con lo cual
el número de períodos se calcula por el valor prestado sobre el aporte en cuestión
Ejercicio 16. Realice el listado de amortización del crédito presentado en el Ejercicio
2 mediante el sistema de abono constante a capital para a) 12 períodos de pago y b)
un aporte definido por el cliente de $500.000
Primera forma
Valor del aporte fijo= 333,83312
000,000,10 =
Aporte fijo 833333,3 No de cuota Valor cuota Abono de
intereses Abono a capital
Saldo
0,0 10000000,0 1,0 1033333,3 200000,0 833333,3 9166666,7 2,0 1016666,7 183333,3 833333,3 8333333,3 3,0 1000000,0 166666,7 833333,3 7500000,0 4,0 983333,3 150000,0 833333,3 6666666,7 5,0 966666,7 133333,3 833333,3 5833333,3 6,0 950000,0 116666,7 833333,3 5000000,0 7,0 933333,3 100000,0 833333,3 4166666,7 8,0 916666,7 83333,3 833333,3 3333333,3
Ingeniería económica en la construcción
44
No de cuota Valor cuota Abono de intereses
Abono a capital
Saldo
9,0 900000,0 66666,7 833333,3 2500000,0 10,0 883333,3 50000,0 833333,3 1666666,7 11,0 866666,7 33333,3 833333,3 833333,3 12,0 850000,0 16666,7 833333,3 0,0
Y mediante la segunda forma
Valor del aporte fijo 500000,0
Número de períodos n 20,0
No de cuota Valor cuota Abono de
intereses Abono a capital
Saldo
0,0 10000000,0
1,0 700000,0 200000,0 500000,0 9500000,0
2,0 690000,0 190000,0 500000,0 9000000,0
3,0 680000,0 180000,0 500000,0 8500000,0
4,0 670000,0 170000,0 500000,0 8000000,0
5,0 660000,0 160000,0 500000,0 7500000,0
6,0 650000,0 150000,0 500000,0 7000000,0
7,0 640000,0 140000,0 500000,0 6500000,0
8,0 630000,0 130000,0 500000,0 6000000,0
9,0 620000,0 120000,0 500000,0 5500000,0
10,0 610000,0 110000,0 500000,0 5000000,0
11,0 600000,0 100000,0 500000,0 4500000,0
12,0 590000,0 90000,0 500000,0 4000000,0
13,0 580000,0 80000,0 500000,0 3500000,0
14,0 570000,0 70000,0 500000,0 3000000,0
15,0 560000,0 60000,0 500000,0 2500000,0
16,0 550000,0 50000,0 500000,0 2000000,0
17,0 540000,0 40000,0 500000,0 1500000,0
18,0 530000,0 30000,0 500000,0 1000000,0
19,0 520000,0 20000,0 500000,0 500000,0
20,0 510000,0 10000,0 500000,0 0,0
Ingeniería económica en la construcción
45
Veamos ahora cual es la diferencia entre las dos opciones. La selección de una de estas
alternativas responde al comportamiento de los intereses sobre el saldo de la deuda
Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización
0
50000
100000
150000
200000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Períodos (meses)
Abo
nos de
interés ($)
a
b
variable
Gráfica 3. Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización
En la gráfica 3 es posible observar los comportamientos de pago de intereses bajo las
tres formas vistas de amortización. La línea superior y media representan la segunda y
primera forma para cuota variable de pago. La línea inferior corresponde a una forma
de pago mediante cuota fija.
Comoquiera que ambos trazos, son líneas de función, es posible determinar las áreas
cubiertas por cada una de ellas. La integración definida entre 0 y 12 nos permite
concluir que el área mayor corresponde a la línea que corresponde a la primera forma
de pago con cuota variable. Ello quiere decir que en esta forma se abona mayor valor
de intereses que en las restantes.
A nivel financiero es más frecuente encontrar la devolución de crédito en cuotas
variables desarrolladas a partir de la primera forma descrita en el numeral 3.1.1
Ingeniería económica en la construcción
46
4. MODALIDADES DE CREDITO
Estudiemos la gráfica 1. Para un período n=0, el saldo de la deuda tiene valor igual al
monto original prestado por cuanto no se ha realizado abonos de capital.
Para n= 1, el saldo ha decrecido de acuerdo a la función inn Ass −= −1 , donde sn es el
saldo para un período cualquiera n, sn-1 corresponde al saldo del período
inmediatamente anterior a n y Ai es el aporte al capital original prestado
El comportamiento de abono de intereses es contrario al del abono a saldos. El pago
máximo de intereses está dado para n=0, donde el valor del saldo es máximo. En este
período el aporte a capital es mínimo. Para el período final n el pago de intereses se
ve reducido al valor mínimo, mientras que el aporte a capital en este mismo período
es el valor más alto.
COMPORTAMIENTO COMBINADO DE INTRESES Y APORTES AL CAPITAL PRESTADO
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
1000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Períodos de pago (meses)
Valores ($)
Intereses
Aport es
Gráfica 4. Comportamiento de saldos e intereses un crédito en pesos
Ingeniería económica en la construcción
47
4.1 CRÉDITO EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR).
En un crédito en pesos sólo se devuelve el interés generado. Sin embargo en el
escenario financiero colombiano los valores entregados en préstamos relacionados para
la construcción, el interés no es suficiente para mantener equivalente el monto
original a lo largo de n períodos. De acuerdo a ello, es necesario, que el dinero
prestado una vez termine el período de devolución posea la misma capacidad
adquisitiva dada en el período n=0, esta es la llamada indexación que en Colombia se
conoce como corrección monetaria. No es simple la equivalencia económica que
permita definir la paridad de poder adquisitivo en dos períodos distintos.
En Colombia la unidad tomada para la indexación de la operaciones de construcción se
inició en 1972 con el UPAC (unidad de poder adquisitivo constante), el cual sólo hasta
1976 conservaba aún la filosofía básica de esta medida. A partir de esta fecha se
introdujeron modificaciones para las tasas máximas de la corrección monetaria que la
llevarían a un caos de tomadores de créditos inmobiliarios, tomadores de créditos de
construcción y el sector financiero años más tarde con lo cual el sistema no tuvo un
final feliz entre usuarios, entidades bancarias y el Estado debido fundamentalmente a
la manera de medición de la corrección monetaria. A lo largo de la existencia del
sistema UPAC, se dieron muchas maneras de medir y correlacionar el valor de las tasas
de corrección monetaria.
La UVR fue el dispositivo que reemplazó al antiguo Sistema de Colombiano de Ahorro y
Vivienda de valor Constante mediante la ley 546 de 1999.
El comportamiento de los excedentes por pago de intereses es una cualidad
importante a observar cuando se toma un crédito, pues nos permite elegir entre las
variantes de créditos existentes. Nos ofrece un punto de comparación entre dos
modalidades, los créditos en pesos como el anterior y los realizados por UVR
(antiguamente por UPAC)
Ingeniería económica en la construcción
48
La unidad de valor real UVR es una unidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo
de la moneda, con base exclusivamente en la variación del índice de precios al
consumidor certificado por el DANE, cuyo valor será establecido por la Junta Directiva
del Banco de la República.
La UVR hoy 26 de Junio de 2006, tiene un valor de $157,21. Cuando un usuario
adquiere créditos o realiza abonos mediante este sistema, se hace la transferencia de
la cantidad en cuestión al número equivalente de UVR en la fecha de la transacción.
De esta forma el banco pagará o recibirá intereses sobre una tasa de interés en uso
que se efectuará sobre la transacción en cuestión, expresada en UVR, y devolverá las
cantidades en depósito o recibirá las obligaciones crediticias, por el equivalente en
pesos que tenga la transacción en el día de la acción, liquidando la UVR con el valor de
ese día.
Los créditos utilizados para la financiación de proyectos de construcción son
efectuados bajo esta modalidad. El constructor traslada al comprador del inmueble
parte de esta deuda como se verá más adelante.
En este tipo de créditos además del pago de los intereses por la tenencia del capital
debe indexarse otro concepto. El de corrección monetaria, esto es la pérdida de poder
adquisitivo por la inflación. Este concepto se expresa mediante la actualización
permanente el valor de la UVR en cada período, ajustando el saldo de la deuda al valor
resultante de dicha actualización.
4.1.1 Variación de la UVR
La variación de las tasa de corrección monetaria está a cargo de la Junta Directiva del
Banco de la República.
La variación de la UVR hace que este valor actualizado en pesos sea tomado dentro de
los costos de los proyectos. Ello implica que los costos generados por concepto en los
Ingeniería económica en la construcción
49
créditos de construcción se vean reflejados en el valor de la unidad de venta del
producto en ensayo de construcción. Indudablemente que se traduce en un aumento
del valor de los inmuebles.
Las totalidad de los valores pagados por concepto de la corrección monetaria se
conocen como excedentes de subrogación. Cabe repetir que el pagador de esta
obligación es el constructor.
Ejercicio 17. Calcule las variaciones periódicas de un crédito de construcción por
$40,000,000 que se entregará mediante 5 desembolsos bimestrales a partir del mes 1
de iniciado el proyecto. La tasa de interés es del 1,5% efectivo mensual. El valor de la
UVR en el momento de tomar el crédito es de $161.50 y se prevé una variación
mensual del 1,2%. El crédito deberá devolverse al final del último período.
El monto del crédito en UVR está dado por el cociente
UVR,,
,,$
nenUVRladevalor
pesosencréditodelvalor019247678
50161
00000040
0==
=
No de desembolso
Mes Variación UVR
Saldo UVR
Valor deuda sin intereses
Intereses
0 161.5 247678.0 40000000.0 1209000.0 1.0 1 163.4 247678.0 40480000.0 1223508.0 2.0 3 165.4 247678.0 40965760.0 1238190.1 3.0 5 167.4 247678.0 41457349.1 1253048.4 4.0 7 169.4 247678.0 41954837.3 1268085.0 5.0 9 171.4 247678.0 42458295.4 1283302.0
Vemos que además del interés de $1,283,302, el acreedor deberá retornar un valor de
$2,458,295 por concepto de indexación monetaria.
Para cualquier período el valor de la UVR está definido por la
expresión nnn UVRUVR )1(1 ∆+= − donde:
UVRn corresponde al valor de la UVR en el período deseado
Ingeniería económica en la construcción
50
UVRn-1 es el valor de la UVR en el período inmediatamente en el período anterior al
período en estudio y ∆ es la variación periódica de la UVR
Ejercicio 18. Un constructor recibe la aprobación de un crédito por $100,000,000, a
una tasa del 16% anual. Bajo las políticas del banco, el constructor deberá iniciar el
proyecto con sus aportes, los cuales corresponden al 30% del costo total del proyecto y
el crédito el 70%. Se estima que haya invertido su aporte dentro de tres meses, con lo
cual el banco entregará el 50% del crédito, es decir, $50,000,000. El saldo lo entregará
cuatro meses después. La UVR en el momento del desembolso tiene valor de $151,75 y
se espera una variación del 18% anual.
Determine la amortización de este crédito tomado a 10 años mediante devoluciones
anuales
Valor desembolso 1 50,000,000 Número de períodos n 10 Tasa de interés 16.00% anual Valor UVR 151.75 Variación 1.50% Valor crédito en UVR 329489.29 Anualidad o cuota mensual 68,171.6 En UVR Análisis en la entrada del primer desembolso No de cuota
Valor cuota UVR
Valor cuota pesos
Abono de intereses
Abono a capital
Saldo UVR
Variación UVR
Valor deuda
0.0 329489.3 151.8 50000000.0 1.0 68171.7 10500230.0 52718.3 15453.4 314035.9 154.0 48369770.0 2.0 68171.7 10657733.4 50245.7 17925.9 296109.9 156.3 46292833.8 3.0 68171.7 10817599.4 47377.6 20794.1 275315.8 158.7 43687583.1 4.0 68171.7 10979863.4 44050.5 24121.2 251194.7 161.1 40457897.0 5.0 68171.7 11144561.4 40191.1 27980.5 223214.1 163.5 36490566.5
Ingeniería económica en la construcción
51
Análisis en la entrada del primer desembolso Valor desembolso 2 50,000,000 Número de períodos n 5 Tasa de interés 16.00% Valor UVR 163.5 Variación 1.50% Valor crédito en UVR 305851.84 Cuota adicional 93410.02 529066.0
No de cuota
Valor cuota UVR
Valor cuota pesos
Abono de intereses
Abono a capital
Saldo UVR
Variación UVR
Valor deuda
6.0 161581.7 26811255.9 84650.6 76931.2 452134.8 165.9 75022737.1 7.0 161581.7 27213424.7 72341.6 89240.1 362894.7 168.4 61118346.0
8.0 161581.7 27621626.1 58063.1 103518.
6 259376.1 170.9 44339114.4
9.0 161581.7 28035950.5 41500.2 120081.
5 139294.6 173.5 24168922.8
10.0 161581.7 28456489.8 22287.1 139294.
6 0.0 176.1 0.0
Observaciones:
El valor de la cuota en pesos varía de acuerdo a la movilidad de la UVR.
Los intereses se liquidan multiplicando la tasa mensual sobre el saldo del período
anterior.
El aporte de capital resulta de restar de la cuota mensual el valor de los intereses.
El saldo en cada período viene dado por el saldo del período anterior menos el aporte
a capital en este período.
Para este caso, en el cual el período de retorno es menor a un año, la variación de la
UVR en los saldos aparece poco perceptible. Sin embargo en la medida que estos
Ingeniería económica en la construcción
52
créditos tomen períodos largos, como los correspondientes a financiación de vivienda,
el comportamiento del crédito cambia drásticamente. Nótese en la siguiente gráfica la
variación del saldo en función de la variación de períodos para las mismas variables de
crédito.
VARIACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE CRÉDITOS EN UVR FRENTE A LA VARIACIÓN
DE LOS PERÍODOS DE PAGO
0
25000000
50000000
75000000
100000000
125000000
150000000
175000000
200000000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Períodos (meses)
Saldos ($) 120
72
48
24
Gráfica 5. Comportamiento de un crédito en UVR variando la longitud del período de
devolución
Obsérvese que en la medida que crece la longitud del período de pagos el saldo de la
deuda se amplifica grandemente. Miremos con detenimiento esta situación.
El valor inicial de la UVR era de $151.75 para el período 0 y alcanza el tope de $905,04
correspondientes al período 120, esto significa un factor de escala aproximado de 1,7
veces el saldo inicial para n=0. De hecho es la variación de la UVR lo que condiciona el
uso de este sistema, pues la variación por encima de la inflación en los años 1990, fue
lo que determinó la caída del sistema predecesor, el UPAC. Ello implica la
imposibilidad de atender un pago de una deuda con un saldo que se incrementa más
Ingeniería económica en la construcción
53
rápido que la variación de los ingresos, haciendo insostenible la serie de pagos
respectivos
Estos créditos sólo son atractivos si el gobierno, en quien está el control de la variación
de la UVR, mantenga con mínima variabilidad los valores de la UVR.
En la gráfica 6 se muestra la diferencia existente entre un crédito en pesos y otro en
UVR, manejando los mismos parámetros en ambos eventos que a continuación se
esquematizan
Valor crédito $100000000
Número de períodos n 60 y 120
Tasa de interés mensual 1,33%
Valor UVR 151,75
Variación mensual UVR 1,50%
Valor crédito en UVR 658978,58
VARIACION DE SALDOS DE CREDITOS EN PESOS Y EN UVR VARIANDO LOS PERIODOS DE PAGO
0
20000000
40000000
60000000
80000000
100000000
120000000
140000000
160000000
180000000
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
Períodos (meses)
Saldo ( $) UVR 60
$ 60
UVR 120
$ 120
Area de excedencia de pago para 120
períodos
Area de excedencia de pago para 60 períodos
Gráfica 6. Excedentes de subrogación en un crédito por UVR para construcción
Ingeniería económica en la construcción
54
La diferencia entre un crédito en pesos y otro en UVR manteniendo las mismas
restricciones es notoria en la medida en que la variación de la UVR tenga altos valores.
Mediante el uso de los créditos en UVR se agrega un nuevo concepto relacionado con la
corrección monetaria, los denominados excedentes de subrogación. Este concepto es
la excedencia que le corresponde pagar al constructor por el uso de un crédito para
construcción. Estos valores pueden tener gran magnitud. Veamos en que proporción se
encuentran estas cantidades. Comoquiera que no se pueden comparar dos montos de
capital en períodos distintos, procederemos a obtener las áreas que cubre cada una de
los grupos de curva que se presentan en el Ejercicio.
Grupo 1. Créditos a 60 cuotas.
Para la curva superior, se ha encontrado una línea de tendencia polinómica de tercer
grado que se aproxima a la movilidad de la serie de datos. Esta línea señala una
ecuación y = -582,02x3 + 4552,9x2 + 157796x + 1E+08, con r= 0,9999 es decir existe
dispersión de datos en un orden de aproximadamente 0,01%
Para la línea inferior, la cual señala el comportamiento de un crédito en pesos, se ha
determinado una línea de tendencia con ecuación y = -10878x2 - 997542x + 1E+08 con
r=1
Al integrar las funciones entre límites de 0 y 60, se encuentra que la curva de UVR
encierra un área correspondiente a 4,726,096,800 u2, mientras que la curva del crédito
en pesos muestra un área equivalente a 3,421,208,400 u2. La relación entre estas áreas
tiene valor de 1,38. Ello implica que para 60 meses los intereses de subrogación
corresponden a un 38% de los que se pagaría si el crédito se realizara en pesos.
Ingeniería económica en la construcción
55
Grupo 2. Crédito a 120 cuotas.
En la medida que aumenta el número de cuotas o períodos para devolver el crédito, la
modalidad por UVR se aleja de un comportamiento cuadrático, como el de los créditos
en pesos y sólo se puede aproximar mediante una ecuación cúbica.
El crédito en UVR genera una línea de tendencia cúbica de ecuación y = -426,45x3 +
45618x2 - 134596x + 1E+08, con r=0,9909. Esta curva encierra un área de
151,99,708,800 u2.
El crédito en pesos posee una línea de tendencia cuadrática con ecuación y = -5210,4x2
- 175804x + 1E+08 y r=0,9903. Esta curva genera un área correspondiente a
7,733,020,800 u2. El cociente entre estas dos áreas es de 1,97. Mediante ello, podemos
inferir que el excedente de subrogación del crédito en estudio, corresponde al 97% en
exceso si la obligación fuese tomada en pesos.
4.1.2 Ejercicios proyectados
I. Cuanto dinero tendré acumulado en quince años si empiezo a pagar durante cada año una cuota de U$ 2800, los cuales reportan una tasa del 12% anual. Estas operaciones son registradas en el exterior, pero por ser en el ámbito de seguros, no generan impuestos que disminuyan el saldo. II. Cuál es la cuota que debo empezar a ahorrar desde hoy hasta los próximos 24 meses para acumular $15,000.000 bajo un rendimiento del 0,8% mensual. III. Cuanto dinero habré acumulado luego de depositar $2,000,000 cada mes durante 6 meses y desde el mes 7 hasta el 15 depósitos de 3,000,000 cada dos meses. La tasa de colocación es del 0,9% mensual. IV. Si presté $15,000,000 que deben de ser devueltos en una cuota dentro de 6 meses, y se cobra de forma anticipada $2,000,000. ¿ Que tasa se está pagando? V. Cuando podré retirar $7,000,000 de una cuenta a la que le abono a partir de ahora $500,000 cada mes y $1,500,000 cada tres meses, si manejo una tasa mensual del 0,9%? V. En un ahorro programado se venía ahorrando $2,000,000 durante 8 meses a una tasa de 0,8% mensual. En el mes 10 se requieren retirar $19,000,000 para pago de materiales.¿Es posible que el dinero ahorrado alcance para pagar esta obligación? VII. Una empresa de acueductos tiene como ingreso el cobro tarifario mensual a una población de 15000 usuarios. Los costos mensuales de administración están en el orden de
Ingeniería económica en la construcción
56
$70,000,000 por mes y los operativos corresponden a $30,000,000. ¿Cuánto debe ser el ingreso tarifario por usuario para no entrar en pérdida, es decir para que los ingresos no sean menores a los egresos? VIII. Una deuda tiene un saldo de $12,000,000 a la fecha de hoy. Si el pago es mensual por valor de $1,500,000. Cual será el saldo de la deuda dentro de 3 meses si la capitalización de intereses se hace por períodos quincenales a una tasa de 0,65% quincenal IX. Para ejecutar una remodelación a un bloque de apartamentos se requiere un préstamo de $70,000,000. Realice el programa de amortizaciones bajos las siguientes condiciones.
a) Cuota única fija a lo largo del plazo de 18 meses, con una tasa de 1,4% mensual. Cuota única fija a lo largo del plazo de 18 meses, con una tasa de 1,4% mensual y se
presenta un abono de $15,000,000 en los meses 6 y 12. Plante la amortización restante a
las mismas cuotas y determine cuál es la nueva longitud de período. Por otro lado planteo
como segunda opción el cálculo de una nueva cuota a partir de cada abono para el mismo
tiempo
Ingeniería económica en la construcción
57
La construcción de edificaciones y obras civiles en general al igual que la operación de
sistemas construidos, son etapas que han superado con anterioridad instancias de la
evaluación económica. Supone la construcción, dos cosas.
Una, correspondiente al evento en el cual el proyecto construido, devuelve la inversión
realizada con ganancias acumuladas sobre este original. En este caso el proyecto posee
rentabilidad económica que hace atractivo invertir en él. Interesante es comparar
entre varias alternativas cuál posee mayor rentabilidad.
No con todos los proyectos se busca rentabilidad económica. Para el caso de las
inversiones sociales realizadas por el Estado en materia de infraestructura, no existen
objetivos de lucro en la construcción. Este tipo de proyectos busca satisfacer
necesidades para el desarrollo de una comunidad entre otros objetivos y metas. De
esta manera, la evaluación económica deberá estudiarla factibilidad de la operación
del sistema a lo largo de su vida útil. Este el caso de acueductos, alcantarillados,
sistema de manejos de residuos sólidos, carreteras, puentes, etc.
Se recurre a la evaluación económica de proyectos de construcción para establecer
parámetros denominados indicadores que conduzcan a decisiones sobre la inversión. La
toma de decisiones es uno de los sectores estadísticamente más complejo cuando se
asocia con el riesgo. El riesgo establece variantes condicionales sobre tomar decisiones
frente a un u otro evento como se verá en el capítulo final.
CAPITULO
INDICADORES FINANCIEROS DE RENTABILIDAD IIVV
Ingeniería económica en la construcción
58
La evaluación económica se realiza sobre todas las variables relacionadas con los
ingresos y egresos de un proyecto de construcción en un tiempo previo a la ejecución.
Ello quiere decir que la toma de decisiones es posterior a la evaluación pero anterior a
la construcción en sí.
5.0 VALOR PRESENTE NETO.
Si se invierte hoy un valor P, y se proyecta que dentro de 2 meses recibiré una fracción
de P sumado con dividendos ocasionados en estos períodos en un valor generado P1, y
finalmente a los 6 meses se reintegrará el final mediante un valor P2 el capital final y
el rendimiento respectivo. La pregunta interesante es ¿Cuánto me representa en pesos
de hoy tomar la decisión de invertir?
Realicemos una suma algebraica de toso los valores concurrentes en n=0. Para ello es
necesario trabajar con equivalencias de cantidades. Los valores futuros P2 y P5
deberán expresarse en términos de valor presente
Valor presente de P5= 55
)1( i
P
+
Valor presente de P2= 22
)1( i
P
+
La suma de estos valores debe ser igual a P.
P5
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
P
P2
Ingeniería económica en la construcción
59
P= 0)1()1()1()1( 2
25
52
25
5 =−+
++
⇒+
++
Pi
P
i
P
i
P
i
P Esta sumatoria es lo que denominados
Valor Presente Neto en adelante abreviado como VPN
Luego el valor VPN se expresa como la suma algebraica de todos los valores futuros
traídos a presente en n=0. Para este caso resulta
Pi
P
i
PVPN −
++
+= 2
25
5
)1()1(
Si el primer flujo de caja ocurre al inicio del primer período, el primer valor se deberá
agregar al resultado VNA, que no se incluye en los argumentos valores. Para obtener
más información, vea los Ejercicios a continuación.
Si n es el número de flujos de caja de la lista de valores, la fórmula de VNA es:
∑= +
=n
jj
j
TMAR
PVPN
1 )1(
Si el VPN resultante es positivo, luego el proyecto se aprecia como rentable y se hace
atractivo para invertir.
Cuando el VPN es negativo, se traduce en pérdidas con la ejecución del proyecto. Esto
hace no atractiva la inversión.
Si el VPN toma valor cero, quiere expresar que el proyecto no presenta ni pérdidas ni
ganancias en medio de una situación de indiferencia.
El VPN se evalúa con tasa de interés denominada tasa mínima atractiva de retorno
TMAR. Ello es con el menor valor encontrado en la lista de alternativas de inversión.
No existe cálculo para la TMAR. Su determinación obedece a las tendencias financieras
Ingeniería económica en la construcción
60
existentes en esa área de negocios en el los momento de toma de decisiones. La TMAR,
luego es presumida y asumida.
La TMAR está asociada al fenómeno del riesgo. En ambientes de incertidumbre, se
prescriben bajos valores.
Ejercicio 18. Es posible invertir en una edificación de consultorios médicos. Se
requiere invertir ahora $45,000,000 y de acuerdo al flujo del proyecto, se prevé que
se retornarán dividendos en el período n=10 de $12,000,000, en n=14 de $ 25,000,000
y en n=17 de $14,000,000, tomando una TMAR del 4.1% mensual. ¿Cuál sería el
resultado de invertir en este momento?
7.7-15,656,08-7070752,514243928,88029231,0 =++
−+
++
++
=−+
++
++
=
00000045
0000004504101
00000014
04101
00000025
04101
00000012
111 171411010
1414
1717
,,
,,),(
,,
),(
,,
),(
,,
)()()( OP
i
P
i
P
i
PVPN
Significa esta evaluación que si es tomada la decisión de invertir ahora, $45,000,000
en este momento, el inversionista perdería afrontaría una pérdida por disminución
del capital original en $15,656,087
25,000,000
n=1 n=2 n=3 n=10
45,000,000
12,000,000 14,000,00
n=14 n=17 n=4
Ingeniería económica en la construcción
61
5.1 METODOS DE ESTUDIO PARA DETERMINAR VPN
En la selección de la opción óptima para la ejecución de un proyecto, es posible
enfrentar alternativas que tengan períodos de vida de igual o de diferente duración.
Es factible que las opciones de estudie coincidan en la longitud de los períodos o que
la longitud no sean iguales. Para determinar el VPN en cada caso se siguen dos
procedimientos definidos.
5.1.1. Alternativas con igual longitud de períodos o vida útil igual
Para este caso en el cual las vidas útiles son iguales, la base o longitud de tiempo
sobre la cual se trabaja el VPN, es la correspondiente a la duración de la vida útil.
Dado que ambas longitudes son iguales, se procede a calcular el VPN para cada
alternativa y posteriormente se comparan los correspondientes valores de VPN para la
elección correspondiente.
Ejercicio 19. Se desea compactar plataformas colocadas cerca al mar. Para ello debe
disponerse de equipos de alto desempeño. La primera opción es adquirir una
compactadora por vibración y chorro de agua por valor de $220,000,000. Se presume
que las labores tomarán un tiempo de 18 meses. Cada 4 meses se deberá realizar
mantenimiento al equipo por valor de $15,000,000 incluyendo las reservas de
reparaciones y reposición de accesorios. Al final de cada mes se recibirán pagos por
los trabajos realizados en valor de $30,000,000 como valor neto descontando los
gastos de personal y de operación. Al finalizar el trabajo la máquina puede venderse
por $30,000.000
Una segunda alternativa estriba en alquilar una serie de compactadores por neumática
en serie por valor de $22,000,000 mensuales. Los costos de operación y de personal
están en el orden de $5,000,000. La facturación de trabajos se recibe mensualmente
por valor de $30,000,000 y cada 6 meses deberá reemplazarse componentes por valor
de $6,000,000 Trabaje con una TMAR del 6%
Ingeniería económica en la construcción
62
Para la primera opción tenemos
Para esta representación el VPN es:
VPN(6%)16
1612
128
84
418
18
111111
1
)()()()()()(
))((
i
P
i
P
i
P
i
P
i
P
ii
iiAP
n
n
+−
+−
+−
+−
++
+−+
+−=
[ ]
millonesO
x
x
9680601
15
0601
15
0601
15
0601
15
0601
30
0601060
1060130220
16
12841818
18
.),(
),(),(),(),(),(,
),()%
=+
−+
−+
−+
−+
++
−++−=6VPN(
Nótese que las cantidades están expresadas en millones
3 4
5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1 17 18
30,000,00
15,000,000 15,000,000 15,000,000 15,000,000
+
30,000,00
220,000,000
2
Ingeniería económica en la construcción
63
El planteamiento para la segunda opción es:
VPN6%= 1818
1212
66
1 )1()1()1()1(
1)(
i
P
i
P
i
P
ii
iiAn
nn
j +−
+−
+−
+−+= ∑
=
[ ]123
0601
6
0601
6
0601
6
0601060
1060131812618
18
.),(),(),(),(,
),(VPN %6 =
+−
+−
+−
+−+
=x
x
Comparando los dos VPN encontramos que resulta más atractiva la primera opción al
exceder por 4 veces el anterior VPN. Significa que al invertir en la primera
alternativa, estaría obteniendo utilidades en el futuro que serían equivalentes ahora
a $8O,9 millones
3 4 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1 17 18
30,000,00
6,000,000 6,000,000 6,000,000
+ 22,000,000
5,000,000
+
Ingeniería económica en la construcción
64
Apreciaciones sobre el valor presente neto VPN
El VPN nos representa la equivalencia en momento actual. Ello explica en el Ejercicio
anterior que si se toma la opción de comprar la máquina, equivaldría a ganarse un
excedente de $81,400,0000, mientras que al tomar la segunda solo alcanzaría
23,160,0000.
Las anteriores situaciones nos dan un margen de rentabilidad que aún no podemos
determinar. Pero que sucede para el caso de situaciones donde el VPN resulte negativo
en ambos casos? Para ello se elige la opción con el menor VPN
Ejercicio 20. Una entidad desea obtener alternativas para impulsión de aguas
residuales en una estación de bombeo de un alcantarillado que será reemplazado
dentro de 36 meses.
Una primera alternativa consiste en comprar dos bombas de impulsión sumergibles de
105 HP cada una con capacidad para 200 lps que impulsan el agua desde los tanques de
succión hasta la laguna de oxidación. Cada bomba tiene un costo de $11,000,000. El
ciclo de bombeo es de 12 horas por día. El sistema en paralelo de la conexión entre
bombas permite sólo la operación de una bomba, de manera que si una sale de
circulación, la otra entra al ciclo. La bomba consumo 3 KW por hora y el costo por KW
es de $250. Para poder accionar estas bombas debe utilizarse un múltiple de impulsión
que tiene un costo de $3,000,000 y un tablero de control con costo de $2,000,000.
Cada 6 meses debe realizarse mantenimiento a la bomba en uso por valor de
$700,000. Al final del proceso, estas máquinas tienen un valor de salvamento de
$4,000,000
La segunda alternativa plantea el uso de una estación de bombeo adicional a la
existente en los tanques de succión. Las estaciones están separadas 4 km entre sí. Para
el transporte del líquido se requieren dos bombas de succión positiva por en cada
estación de 65 HP, una para tomar el ciclo de 12 horas diarias de bombeo. Una unidad
Ingeniería económica en la construcción
65
en funcionamiento consumo 4 KW por hora con costo de $250 por KW. Cada bomba
tiene un costo de $4,500,000 y el múltiple de impulsión así como las obras
complementarias tienen costo de $1,700,000 por estación. Cada 4 meses las bombas en
uso deben tener mantenimiento por valor de $400,000. Al final del proceso, estas
máquinas tienen un valor de salvamento de $6,000,000
Para ambas tasas evalúe con una TMAR de 5% mensual
Análisis de la primera alternativa. En el diagrama de flujo puede advertirse el
comportamiento de los costos
Estudio de la primera alternativa
El consumo mensual de energía eléctrica es: 1x3 KW/hx12hx$250x30 días= $270,000.
Costo de adquisición de las bombas: 2 x $11,00,000=$22,000,000
3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 1 20
+
270,000
24 32 30
700,000 700,000 700,000 700,000
36
22,000,000
27 26 31 2 14
4,000,000
Ingeniería económica en la construcción
66
689347927
0501
000004
0501
00700
0501
00700
0501
00700
0501
00700
0501
00700
0501050
1050100027000000022
1111111
1100000022
5
3630
241812636
36
3636
3030
2424
1818
1212
66
.,'
),(
,'
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(,
),(,,,
)(
'
)()()()()()(
)(,,
% −=
++
+
−+
−+
−+
−+
−+
−+−−=
++
+−
+−
+−
+−
+−
+
−+−−==
VPN
i
P
i
P
i
P
i
P
i
P
i
P
ii
iAn
n
VPN5%
Estudiemos la segunda alternativa.
El consumo mensual de energía eléctrica es: 2x4 KW/hx16hx$250x30 días=$720,000
Costo de adquisición de las bombas: 4 x$ 4,500,000 + 1,700,00*2 =$21,400,000
4 5 8 9 12 13 16 17 18 20 21 23 24 26 27 28 30 31 1
32 33 34 36
400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000
14
400,000
960,000
6,000,000
+ 21,4000,000
Ingeniería económica en la construcción
67
69138434
0501
0000006
0501
00400
0501
00400
0501
00400
0501
00400
0501
00400
0501
00400
0501
00400
0501050
1050100027000040021
1111111
1
5
36282420
16128436
36
3636
3030
2424
1818
1212
66
5
,')(
),(
,,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(,
),(,,,
)(
'
)()()()()()(
)(
%
%
−=
++
+−
+−
+−
+−
++−
+−
+−+
−−=
++
+−
+−
+−
+−
+−
+−+
=
VPN
i
P
i
P
i
P
i
P
i
P
i
P
ii
iiAVPN
n
n
Con ello encontramos que mejor alternativa es la número 1, pues es que representa
menos pérdida si se valorara en el momento actual
5.1.2 Alternativas con alternativas que tienen longitudes de tiempo diferentes.
En este caso el proyecto presenta alternativas de solución que discrepan en la duración
de las vidas útiles.
La base de tiempo sobre la cual se trabaja es el mínimo común múltiplo obtenido a
partir de las duraciones respectivas. Luego, para cada alternativa, se realiza un
modelo equivalente en el que sobre la nueva base se trasladan los ciclos originales
tantas veces como se valore el cociente de la nueva base / longitud inicial.
Ejercicio 21. Solucione el ejercicio 20 considerando que la primera alternativa tiene
duración de 24 meses y la segunda de con duración de 48 meses.
Trabajemos la primera alternativa.
Ingeniería económica en la construcción
68
Entre 24 y 48 el mínimo común múltiplo es 48. De esta manera la nueva base de
cálculo es de 48 períodos.
El nuevo diagrama para esta alternativa es
4236
3024181262424
24
24
24
244824
051
000700
051
000700
051
000700
051
000700
051
000700
051
000700
051
000700
051051050
1051000270
051050
1051000270
051
0000002200000022
051
0000004
051
0000004
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.).(.
).(,
).(.
).(,
.
,,,,
.
,,
.
,,
−−
−−−−−−
−−−−−+=
x
x VPN(5%)
700,000 700,000 700,000 700,000 700,000 700,000 700,000
4,000,000
2 4 10 32 34 36 38 40 42 44 46 48
270,000
+
22,000,000 22,000,000
12 6 8 14 16 18 20 22 24 26 28
4,000,000
30
3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 1 20
+
270,000
22
700,000 700,000 700,000 22,000,000
2 14 24
Ingeniería económica en la construcción
69
VPN(5%) = -33,937,847
La segunda alternativa tiene el siguiente diagrama
42363228242016
128448
48
48
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051
000400
051050
105100070000000018
051
0000006
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
).(.
).(,,,
.
,,
−−−−−−−
−−−−
−−=x
VPN(5%)
VPN(5%)=-36’4O2,837.7
Con ello la alternativa con mayor atracción es la número 1, la cual tiene el mayor valor de VPN.
Ello equivale a que siendo negativos ambos valores, donde se obtiene la mayor función de costo
es la alternativa escogida.
2 4 10 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000
700,000
+
400,000
6,000,000
18,000,000
6 8 12 14 20 16 18 22 26 28 24
400,000 400,000 400,000
Ingeniería económica en la construcción
70
Es posible encontrar situaciones concurrentes que podamos desplazar en un intervalo
de períodos que podamos localizar en una base común. Esta situación es una variación
de alternativas que tienen igual longitud de períodos. Para ello se coloca como base de
trabajo, la base sobre la que se desarrolla la situación y se desarrollan las alternativas.
Ejercicio 22. Los procesos de ventas de una constructora pueden ser contratados
directamente con una inmobiliaria, la cual se encarga de realizar la gestión de ventas
de los inmuebles desarrollando sus propias estrategias y manejando su propio
personal, bajo esta forma no adquiere vinculación con la empresa propietaria de la
edificación. Bajo esta opción, el propietario deberá pagar el 3% en comisión por las
ventas de los apartamentos. En total se registran 2698 m2, materializados en 56
apartamentos, construidos a lo largo de 9 pisos. El valor del metro cuadrado es
$850,000.
La programación de ventas se presenta en la siguiente tabla
Mes Apartamentos M2 Costo/m2 Ventas Comisiones
3 6 289 850000 245,650,000 7369500
5 8 385.4 850000 327,590,000 9827700
7 5 240.8 850000 204,680,000 6140400
8 10 481.7 850000 409,445,000 12283350
9 8 385.4 850000 327,590,000 9827700
11 5 240.8 850000 204,680,000 6140400
14 7 337.2 850000 286,620,000 8598600
16 7 337.2 850000 286,620,000 8598600
56 2,292,875,000 68,786,250
El propietario del proyecto maneja otra opción según la cual, le es posible vincular
mediante prestación de servicios a la empresa dos asesores de ventas durante el
Ingeniería económica en la construcción
71
período de ventas que va desde el inicio de la construcción hasta 4 meses luego de
terminar. La asignación salarial es de $1,500,000 por asesor. Adicionalmente el
propietario deberá adicionar el 0,5% de comisión por las ventas realizadas. Los flujos
de ventas pueden ser distintos, debido a que se presentan estrategias propias del
grupo de asesores y distintas a la de la inmobiliaria.
Si el propietario utiliza una TMAR de 1% mensual , determine la alternativa más
aconsejable.
Mes Apartamentos M2 Costo/m2 Ventas Comisiones
2 6 289 850000 245,650,000 1228250
6 8 385.4 850000 327,590,000 1637950
7 8 240.8 850000 204,680,000 1023400
8 9 481.7 850000 409,445,000 2047225
11 9 385.4 850000 327,590,000 1637950
13 4 240.8 850000 204,680,000 1023400
15 4 337.2 850000 286,620,000 1433100
16 8 337.2 850000 286,620,000 1433100
56 2,292,875,000 11,464,375
La opción que implica a la inmobiliaria presenta el siguiente
esquema.
3 4 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1
7369500
2
9827700 6140400
1228335
98277006140400
8598600 8598600
Ingeniería económica en la construcción
72
16141198753 011
8598600
011
8598600
011
6140440
011
9827700
011
12283350
011
6140400
011
9827700
011
7369500
........+−−−−−−−=VPN(1%)
VPN(1%)= -$ 62’877,389.1
La segunda opción se diagrama como sigue
16
16
161513118762
011010
10113000000
011
1433100
011
1433100
011
1023400
011
1637950
011
2047225
011
1023400
011
1637950
011
1228250
).(.
).(
........
−−
−−−−−−−−=VPN(1%)
VPN(1%) =-$ 54’569,749.3
En este caso en particular la vinculación de la inmobiliaria genera un mayor valor
presente neto que el generado por la vinculación de los asesores, por lo que para el
lado del propietario la opción de los asesores revierte menor costo, siendo la más
aconsejable.
5.1 3 Ejercicios planteados
Los incendios forestales causan daños irreparables al ecosistema. Analize la siguiente
situación que se presenta en una ciudad colombiana. Se ha presentado incendio en 15O
hectáreas, el año interior. Esa situación trae las siguientes características
3 4 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1
1228250 0
2
1637950 0 1023400
00 2047225 00
1637950
1023400 1433100
1433100
3000000 00
Ingeniería económica en la construcción
73
Cada hectárea de bosque tiene una capacidad de conversión de CO2 de 1O toneladas.
Cada tonelada convertida tiene un costo de $25OOO. La reposición de bosques tiene un
costo de $5OOOOOO por hectárea. En el año 1 se reforestó el 15% del área. En el año 2
se reforestó el 15%. En el año 3 se reforestó el 7O% restante. Los cultivos deben recibir
mantenimiento al año de estar sembrados, a razón de $1OOOOOO por hectárea. Sólo
se requiere se realice hasta el año 5. Los cultivos que se han reforestado, alcanzan su
capacidad de conversión de CO2 de la siguiente forma: En el año 3, el 3O%, en el año4
el 4O%, del año 6 hasta el 9, el 7O% y en el año 1O tiene el 1OO% de la capacidad de
conversión
De no presentarse incendios, la madera puede talarse y venderse a razón de
$3OOOOOO por hectárea
Analice esta situación y determine el impacto económico. Ello es, la valoración
económica del desastre
6.0 TASA INTERNA DE RETORNO
La simple equivalencia sobre la ganancia si se tomara la decisión de invertir hoy no
basta para establecer todos los criterios que hagan tomar una decisión.
Para el caso de individuos que invierten en proyectos habitacionales de construcción,
resulta imprescindible determinar la relación que existe entre el aporte dado y los
dividendos recibidos posteriormente.
Una medida de la movilidad del aporte a lo largo del tiempo de construcción nos
permite establecer comparaciones con otras opciones de inversión.
Ingeniería económica en la construcción
74
La tasa interna de retorno TIR, nos determina la rentabilidad de una inversión hecha
en un tiempo t que espera dividendos posteriormente en un t+At. La TIR es la tasa de
interés que hace equivalente la inversión y las ganancias recibidas por este concepto.
La TIR es decisiva para la toma de decisiones, pues aunque el VPN resulte positivo, la
opción con mayor TIR es la más apetecida. Cabe recordar que es un indicador
financiero de rentabilidad, de manera que a la hora de realizar evaluación económica
sobre proyectos de construcción, este indicador es una herramienta decisiva para
tomar decisiones de inversión.
Ejercicio 23. Existe un proyecto para construcción de 3 apartamentos de 120 m2 cada
uno. El lote tiene un área de 132 metros cuadrados. Los apartamentos son iguales y
cada uno ocupa un piso de los 3 que se proyectan en el edificio.
El costo total de la construcción se prevé en $90,000,000. Y se postulan dos
alternativas de comercialización.
La primera es la venta de los inmuebles, la cual se causa hacia el mes 12 de iniciada la
construcción con dividendos del 23% sobre el capital invertido
La segunda opción plantea el arriendo vencido por valor total de $1,500,000 por
período de 14 meses a partir del mes 10 y una venta posterior ocurrida 1 mes más
tarde, con dividendos del 17% sobre el capital invertido
Con la premisa que la construcción demora 10 meses y que todo el capital se invierte
al inicio del primer período, ¿Cuál alternativa mejor tasa interna de retorno?
La primera instancia muestra el siguiente flujo
Ingeniería económica en la construcción
75
Luego el modelo plantea la siguiente equivalencia en el período n=0:
mensuali
i
i
i
i
%74,1
00749,0)1log(
23,1log)1log(12
23.1000,000,90
000,700,110)1(
)1(
000,700,110000,000,90
12
12
=
=+
=+
==+
+=
Mientras que en la segunda alternativa el flujo es
110,700,000
2 1 4 5 3 7 6 9 10 8 11 12
90,000,000
Ingeniería económica en la construcción
76
En esta alternativa se presenta la siguiente equivalencia para n=0
La anualidad cubierta desde el período 11 hasta el 25, debe programarse como un
valor presente en el período 10. Este valor ahora futuro se traslada como valor
presente al período 0
[ ]251015
15
2510 1
000300105
1
111000500100000090
11 )(
,,
)()(
)(,,,,,
)()
)(
)/(
iix
iii
i
i
P
i
APP nn
++
++−+=
++
+=
Para este caso es necesario iterar el valor de i o acudir a la ayuda de programas
especiales que evalúan la TIR dado una serie de valores en el tiempo. La serie
converge para un valor de i aproximado de = 2,52%
La alternativa 2 es la de mayor atracción, rendimiento sobre el capital inicial
invertido, Sin embargo el rendimiento del capital expresado en la TIR=2.52%, puede
compararse con otras alternativas de inversión que ofrezcan otros valores.
La TIR está íntimamente relacionada a la función de valor presente neto VPN. La tasa
de retorno calculada por TIR es la tasa de interés correspondiente a un valor presente
neto de cero (0). Esto se entiende si se recuerda que se realiza una operación
algebraica en un período n donde los ingresos deberán ser equivalente a los egresos. La
diferencia entre ambos es cero.
19 18 20 21 22
1,5000,00
24 23 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
90,000,000
105,300,000
Ingeniería económica en la construcción
77
La evaluación de la TIR en los proyectos de construcción sugiere un modelo en el cual
se presenten los flujos que se presentan en los períodos de ejecución (para los
proyectos comerciales debe anexarse el período de venta) de manera que se conozcan
todos los ingresos y egresos del proyecto adicionado a la fecha en que se causan. La
evaluación de la TIR supone un manejo complejo de variables y de parámetros que
intervienen otros que tienen influencia sobre el proyecto de construcción.
Ejercicio 24. En un proyecto de concesión para la construcción de 50 Km de carretera
entre las localidades A y B se presenta las siguientes características.
Tipo de infraestructura: Pavimento en concreto asfáltico
Costo de la prefactibilidad. U$ 10,000
Costo de ejecución U$ 200,000 pagados cada año durante dos años
Costo anual de operación U$ 30,000 por año
Período de la concesión 20 años
El estudio de tráfico muestra los siguientes regímenes con relación al tránsito de
vehículos de la zona y atraídos.
Tipo Promedio Tarifa
Vehículos por día 400 4600
Buses por día 60 6800
Camiones de dos ejes por día 700 8900
Camiones de tres ejes por día 350 11400
Camiones de 4 ejes por día 90 14000
Camiones de más de 4 ejes por día 40 17800
El inversionista requiere saber cuál es el ingreso periódico mínimo que necesita tener
para obtener una tasa interna de retorno del 17% anual sobre el capital invertido, si
para ello es requerido instalar un peaje tipo C en la abscisa K25 + 340 del tramo en
estudio
Ingeniería económica en la construcción
78
Esta situación plantea una pregunta interesante. Dado que las tarifas de peaje son
reguladas por el Instituto Nacional de Vías, es necesario y de estricto cumplimiento
someter el cobro tarifario a estas restricciones, aún cuando sean adelantadas por
particulares, como se registra en el mayor de los casos. Si los ingresos por cobro
tarifario son menores al ingreso mínimo requerido para la tasa mencionada, entonces
el proyecto estará devolviendo una TIR menos a la proyectada. Caso contrario sucede
si los ingresos mínimos superan los ingresos tarifarios
Para este ejercicio en particular se hace necesario proyectar un ingreso tarifario
mínimo A y determinar su valor para determinar una TIR de igual valor a la TMAR, es
decir hallar su valor en un VPN=0
El evaluar la TIR tiene como premisa fundamental que el VPN evaluado a esta tasa es
cero. De manera que haciendo la sumatoria algebraica en n=0, tenemos
OOOUA
xx
A
xx
911
171171170
1171
171171170
117130000
171
200000
171
200000100000
218
18
218
18
21
,$
...
).(
...
).(
..
=
−+
−−−−−==VPN(17%)
Luego los ingresos tarifarios evaluados en la tabla siguiente devolverán una
rentabilidad menor a la esperada. Veamos ahora, la relación de ingresos con las
tarifas permitidas. Utilizaremos una premisa en especial y es que las tarifas no
sufrirán variación a lo largo del tiempo
13 12 14 15 16
Ingreso mínimo anual=A
18 17 6 5 7 8 9 11 10
10,000
1 2 3 4 19 20
30,000
200,000 200,000
Ingeniería económica en la construcción
79
Tipo Promedio Tarifa Mensual Anual
Vehículos por día 400 4600 1840000 22080000.0
Buses por día 60 6800 408000 4896000.0
camiones de dos ejes por día 700 8900 6230000 74760000.0
camiones de tres ejes por día 350 11400 3990000 47880000.0
camiones de 4 ejes por día 90 14000 1260000 15120000.0
camiones de más de 4 ejes por día 40 17800 712000 8544000.0
$ 173280000.0 169920000.0
U$ 72806.7 71,395.0
Vemos entonces que los ingresos que se proyectan obtener resultan inferiores a los
requeridos para asegurar la inversión del capital en el proyecto de concesión.
Para un ingreso anual de U$ 71,395 empezando al final del tercer año, se genera una
TIR de 7.16%. De esta forma se concluye que el proyecto no es viable, pues retorna
menos de la mitad de la tasa esperada.
6.1 Observaciones.
La TIR corresponde a un VPN con valor cero. Por lo tanto es necesario plantear las
siguientes conclusiones.
Cuando la TIR es menor a la TMAR, el VPN es menor de cero
Cuando la TIR es mayor a la TMAR, el VPN es mayor a cero
Ingeniería económica en la construcción
80
En algunos proyectos de infraestructura civil, al igual que en otros de diversa índole,
tiene especial importancia los gastos relacionados con la operación del sistema de
manera que se garantice su funcionamiento permanente.
Imaginemos el caso de un alcantarillado que posee un sistema de impulsión de las
aguas residuales, como el relacionado en el Ejercicio 20. Inicialmente se invierte un
valor P en las obras civiles requeridas, o fracciones de P discriminadas por períodos.
Posterior a la construcción se requiere consumo permanente de energía eléctrica y
mantenimientos al equipo a lo largo de toda la vida útil del sistema. Luego el sistema
de impulsión que genere menos costos periódicos por este concepto se constituye en el
equipo seleccionado.
Para el caso de un acueducto, el sistema de tratamiento que ofrezca menor costo de
operación anual. Es decir por período, es el sistema requerido.
Obsérvese que para ambos casos se requiere determinar el costo anual de operación y
la inversión de la construcción.
Los proyectos de inversión pública no buscan la rentabilidad del capital invertido, pero
se espera que los ingresos generados por el sistema le garanticen la operabilidad a lo
largo de la vida útil. Luego no se pueden utilizar indicadores de rentabilidad para
evaluar económicamente estos proyectos.
CAPITULO
INDICADORES FINANCIEROS PARA OPERACIÓN Y MANTENIMIENTO VV
Ingeniería económica en la construcción
81
El tamaño y complejidad del proyecto guardan una relación estrecha con los gastos de
operación. Proyectos con gastos de operación mayor a los ingresos generados por el
sistema, estás condenados a fracasar.
7.0 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE
El CAUE es un indicador financiero que nos mide los valores anuales de operación y
mantenimiento en un sistema, el cual luego de construido debe ser operado el resto de
su vida útil.
Para poder determinar el CAUE del anterior modelo es necesario convertir en
anualidades todos los valores concurrentes a lo largo de la vida del proyecto. Los
ingresos por funcionamiento IF y los gastos de operación CO, están expresados en
anualidades. El valor correspondiente a la construcción P está expresado en valor
presente, por lo cual deberá convertirse en anualidad en los 20 períodos, esto es
(A/P,i,n). Esto es.
13 12 14 15 16
Ingresos IF
18 17 6 5 7 8 9 11 10
P
1 2 3 4 19 20
Operación CO
1 20
Ingresos IF
13 12 14 15 16 18 17 6 5 7 8 9 11 10 2 3 4 19
Operación CO
+
A/P,i,n
Ingeniería económica en la construcción
82
Una aplicación interesante de la serie uniforme es determinar el valor de costo de
equipos entregados en alquiler.
Imaginemos la compra de una retroexcavadora 320 de orugas. Este equipo tiene las
siguientes especificaciones:
Tamaño del cucharón (yd3): 1,05
Tipo de suelo: Arcilla compactada
Ciclo total: 0,23 minutos
Vida útil en zona moderada: 12,000 horas
Vida útil en zona media: 10,000 horas
Vida útil en zona severa: 8,000 hora
Uso diario: 8 horas
Precio de entrega: $130,000,000
Tiempo de posesión: 10,000 horas
Valor de salvamento: $40,000,000
Consumo de combustible: 3,75 galones/hora
Consumo de lubricantes: 0,065 galones/hora
Costo de operador: $21,000/hora
Reserva de reparaciones $7,000/hora
n=125 n=250 n=375 n=500 n=645 n=0 n=750 n=875 n=1000 n=1125 n=1250
+
130,000,000
40,000,000
Ingeniería económica en la construcción
83
Evaluemos con una TMAR de 1,5 mensual. La vida útil de la máquina en un período de
10,000 horas es equivalente a 42 meses. Sin embargo contablemente la maquinaria y
vehículos deben depreciarse a 5 años. Nominalmente la TMAR diaria es del 0,05%. El
costo diario por operación y mantenimiento es: 8(3,75x$3600 + 21,000 + 7,000 +
0,065x12,000)=$279,640
Es necesario que se determine la serie uniforme correspondiente a P=$130,000,000 y
Pn =$40,000,000
Así 042,231)0005,01(
0005,000,000,40,
1)1( 1250 =−+−+
= x
i
iPA
nn
[ ] [ ] 888,1391)0005,01(
)0005,01(0005,0000,000,130
1)1(
)1(1250
1250
=−+
+−+
+=
x
i
iPiA
n
n
El diagrama equivalente resulta ser:
CAUE=279,640 + 139,888 - 23,042=$396,486
Este valor es de periodicidad diaria. Nominalmente el valor de la hora resulta del
cociente entre este valor y el número de horas de trabajo por día, para el caso de 8
horas, el CAUE horario es=$49,560.
n=125 n=250 n=375 n=500 n=645 n=0 n=750 n=875 n=1000 n=1125 n=1250
23,042
139,888
279,640
Ingeniería económica en la construcción
84
Recuerde que la TMAR mantiene equivalente el dinero a lo largo de n períodos. De
manera que la tarifa para alquiler deberá ser igual o superior al CAUE horario. Valores
superiores generan ganancia y caso contrario ocasionan pérdida sobre la inversión
7.1 ESTIMACION DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE EN LOS PROYECTOS
Es posible encontrar dentro de la fase de evaluación de proyectos de infraestructura
civil, alternativas de solución que mantengan en común la misma duración de la vida
útil. Lo contrario, es decir, encontrar que la duración de las vidas útiles es distinta en
cada alternativa, es también frecuente.
Para ambos casos se procede de manera distinta. Es necesario determinar en cada caso
la longitud de tiempo o base sobre la cual se realiza las equivalencias para cada caso
en particular.
6.1.1 Estimación del CAUE en proyectos con alternativas de igual duración de vida
útil.
Para este caso en el cual las vidas útiles son iguales, la base o longitud de tiempo
sobre la cual se trabaja, es la correspondiente a la duración de la vida útil. Luego
todos los valores intervinientes se convierten a serie uniforme o anualidades en un
modelo equivalente que se desarrolla a lo largo de esta duración
Ejercicio 26. Determinar el CAUE del proyecto mostrado en el Ejercicio 20, con la
variante de examinarlo a lo largo de una vida útil de 20 años y operar con
mantenimiento anual. Los valores de salvamento se disminuyen a la mitad para cada
alternativa.
Ingeniería económica en la construcción
85
La duración de la vida útil para cada alternativa es la misma y corresponde a 20 años.
En este caso, en el que se estudia el funcionamiento del sistema a lo largo de toda la
vida útil, la solución no logra estimarse a partir del análisis de VPN. Es necesario
evaluar los gastos anuales para determinar el menor de las opciones. En estos casos se
utiliza el CAUE
La primera alternativa presenta el siguiente flujo.
En este flujo los ingresos por salvamento y el valor de compra deben convertirse en
anualidades, esto es.
Para P=22,000,000, la anualidad se calcula como
[ ]
336,765,11)05,01(
)05,01(05,0000,000,22
1)1(
)1(
20
20
=−+
+
=−+
+=
xx
i
iPiA
n
n
Para Pn=4,000,000, la anualidad correspondiente es:
970,3201)05,01(
)05,01(05,0000,000,420
20
=−++xx
3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19
+ 270,000
22,000,000
2 10 6 15 14 16 20
700,000
Ingeniería económica en la construcción
86
Ahora con los valores de mantenimiento se requiere tomar cada uno, convertirlo en
valor presente en n=0 y regresarlos a anualidad en 20 años
CAUE= 1,765,336 + 270,000 + 700,000 - 320,970= 2,414,336
La segunda alternativa se presenta diagramada de la siguiente forma.
3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19
+ 720,000
18,000,000
2 10 6 15 14 16 20
400,000
3,000,000
3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 20
+ 1765336
24 32 30 36 27
26 31 2 14
320970
+
70000
+ 270,000
1
Ingeniería económica en la construcción
87
Igualmente en este flujo los ingresos por salvamento, el valor de compra y los gastos
por mantenimiento deben convertirse en anualidades, esto es:
Para P=18,000,000, la anualidad se calcula como
[ ]3664441
10501
050105000000018
11
1
20
20
,,),(
),(x,x,,
)i(
)i(PiA
n
n
=−++
=−+
+=
Para Pn=6,000,000, la anualidad correspondiente es:
45548110501
0501050000000620
20
,),(
),(x,x,, =−++
Con lo que el sistema equivalente es:
CAUE=1,444,366 + 720,000 + 400,000 – 481,455=2,082,911
3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 1 20
+ 1444366
24 32 30 36 27
26 31 2 14
481455
+
720000
+
400000
Ingeniería económica en la construcción
88
Entre las dos alternativas, la opción de operar el alcantarillado mediante estaciones
de bombeo es la de menor CAUE, por lo cual es la opción que debe escogerse.
Ejercicio 27. Se desea construir un proyecto de interconexión vial entre dos
municipios. La longitud de la vía es de 42 km, debe tener dos carriles con ancho
individual de 4 m.
Los consultores proyectan dos alternativas de solución.
La primera es una pavimentación en concreto asfáltico. Esta alternativa requiere un
espesor total de 25 cm, colocando 7.5 cm cada 3 años. Las obras preliminares, de
movimiento de tierras y construcción del afirmado junto con la primera capa tienen
un costo de U$ 1,000,000. Cada capa de concreto asfáltico requerida posteriormente
para completar el peralte tiene costo de U$480,000 con incremento aritmético anual
de materiales del 3%. Bajo esta opción luego de completar todo el espesor a los 12
años de iniciado el proyecto se requiere mantenimiento de las superficies por valor de
U$200,000 cada 2 años.
La segunda alternativa es utilizar concreto hidráulico. Con estos diseños se requiere
un espesor de 20 cm, los cuales no pueden ser construidos por capas por proceso
funcional propio a este tipo de concreto. Las obras preliminares, de movimiento de
tierras y construcción del afirmado junto con el las losas de concreto hidraúlico tienen
un costo de U$ 8,064,000, ejecutados en el primer año. Sólo se requiere
mantenimiento de los sellos de la juntas por valor anual de U$ 10,000 por año
Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable.
La vida útil para ambas alternativas es de 20 años
Costo de la segunda capa= U$480,000x1,033= U$524,508
Costo de la tercera capa= U$480,000x1,036= U$573,145
Costo de la cuarta capa = U$480,000x1,039=U$ 626,291
La primera alternativa tiene el siguiente diagrama de flujo
Ingeniería económica en la construcción
89
En esta alternativa los costos correspondientes al valor inicial de inversión, las capas
posteriores y los mantenimientos a partir del mes 14, deben convertirse en
anualidades de la siguiente manera.
Para P=1,000,000, la anualidad se calcula como
871841)06,01(
)06,01(06,0000,000,120
20
=−++xx
Para P3=524,508
264231)06,01(
)06,01(06,0387,440387,440
)06,01(
508,52420
20
3 =−++
==+
=xx
AyP
Para
P6=573,145 256371)06,01(
)06,01(06,0044,404044,404
)06,01(
145,57320
20
3 =−++
==+
=xx
AyP
Para P9=629,291
223481)06,01(
)06,01(06,0289,427289,427
)06,01(
291,62920
20
3 =−++
==+
=xx
AyP
3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19
1,000,000
2 10 6 15 16 20
662266,,229911
12 13
552244,,550088 557733,,114455
200,000
14
Ingeniería económica en la construcción
90
La anualidad correspondientes al mantenimiento, se vuelven valores presentes en
n=10 de la siguiente forma.
[ ]
[ ] 472842106010601060
000200
111
5510 ,),(),(,
,P
)i()i(i
AP n
n
=−++
=
−++
=
Ahora, este valor se convierte a valor presente en n=0
P0= 4324700601
47284210
,),(
,=
+, y puede disponerse como una anualidad de la forma
4101710601
060106047247020
20
=−++=
),(
),(x,x,A
3 4 7 5 6 9 11 13 12 1 14
+ 87184
15 20 18 17
16 19 2 10
+
26423
+
22348
8
41017
Ingeniería económica en la construcción
91
CAUE= 87184 + 26423 + 22348 + 41017=U$ 176,972
Para la segunda opción se presenta el siguiente análisis
Para P=8,064,000, la anualidad se calcula como
056,7031)06,01(
)06,01(06,0000,064,820
20
=−++xx
CAUE=703,056 + 10,000= U$ 713,056
El CAUE de pavimentar con concreto asfáltico es menor al CAUE de pavimentación con
concreto rígido. Luego la primera opción es la mejor alternativa.
3 4 7 5 6 9 11 13 12 1 14
+ 703,056
15 20 18 17 16 19 2 10
8
10,000
3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19
88,,006644,,000000
2 10 6 15 16 20 12 13
10,000
14
Ingeniería económica en la construcción
92
7.1.2 Estimación del CAUE en proyectos con alternativas de distinta duración de
vida útil.
Comoquiera que el CAUE reprenda un valor obtenido de una frecuencia específica, en
la que la longitud de los subperíodos es igual para varias alternativas, aunque la
longitud total o vida útil sean distintas, se expresa el CAUE en una unidad equivalente
para cada caso. Esto quiere decir, que dado que el CAUE se expresa por subperíodos,
esta unidad resulta ser la unidad de comparación para cualquier alternativa.
No tiene sentido hallar una longitud equivalente para dos vidas útiles con duración
distinta, pues de hecho se están definiendo las equivalencias de ingresos y egresos
expresados en subperíodos, que resultan ser la mínima división de trabajo. Así, para
diferentes longitudes, se procede a calcular cada CAUE sobre la base de cada
alternativa y se comparan entonces los CAUE obtenidos en cada opción
Ejercicio 28. Se desea construir un puente de interconexión vial a nivel urbano de
una ciudad. Este puente tiene un gálibo sobre el nivel máximo de aguas que atraviesa
de 30 metros y una longitud de 400 metros
De varias propuesta de solución se han extraído las dos más congruentes. La primera
corresponde a la ejecución de un puente metálico en sistema colgante. De tomarse
esta solución es necesario invertir U$ 20,000 en los estudios y diseños respectivos. El
costo de ejecución asciende a U$ 200,000 anuales que se desembolsan a lo largo de la
duración de la construcción, 3 años. El mantenimiento luego de finalizada la
construcción incluye labores de reposición de revestimientos y accesorios metálicos
por un costo de U$ 10,000 por año. Sin embargo este puente tiene vida útil de 25 años
en la cual será necesario intervenir estructuralmente el sistema.
La alternativa restante conceptúa el diseño de un puente en concreto postensado en
sistema de cajón voladizo. Los estudios tienen costo de U$ 15,000. La ejecución
asciende a U$ 250,000 anuales, pagados durante cada año en los 3 años de ejecución.
Ingeniería económica en la construcción
93
Los gastos anuales de operación y mantenimiento se establecen en U$ 5,000 por año a
partir de la terminación. La vida útil es de 35 años.
Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable.
Primera opción: El diagrama correspondiente es el indicado inmediatamente abajo.
La serie uniforme equivalente 200,000 debe llevarse a n=0 como valor presente, para
luego discretizarla a lo largo de n=25:
534602061060
10612000003
3
=−=).(,
).(xP
Ahora este valor se lleva a una serie A a lo largo de 25 períodos
418201061
06106053460225
25
=−
=).(
).(x.xA
La serie uniforme del mantenimiento genera un valor futuro desde n=4 hasta n=25,
del que puede obtenerse la serie uniforme a lo largo de 25 períodos.
10 12 13 1 2 3
8 14 15 22 23 24 25 21
10,000
1 2
20,000
3
200,000
4 5 6 7 9
Ingeniería económica en la construcción
94
[ ] [ ]
[ ] [ ] 908,71)06,01(
39992706,0
1)1(
922,43306,0
1)06,01(000,10,
1)1(
25
22
=−+
=−+
=
=−+−+=
x
i
iPA
i
iAP
nn
n
n
Ahora, valor de los estudios genera una serie uniforme a lo largo de los 25 períodos,
con valor
56411061
0610600002025
25
,).(
).(x.x,A =
−=
El modelo equivalente es:
CAUE= 41,820 + 7289 +1564 = 51,292
Segunda opción: El diagrama correspondiente es el indicado inmediatamente abajo.
10 12 13 1 2 3
9 14 15 22 23 24 25 21
41820
2 3 4 5 6 7 8 11
7908
1564
Ingeniería económica en la construcción
95
La serie uniforme equivalente a P= 15,000 es:
10341)06,01(
)06,01(06,01500025
35
=−+
+=
xxA
Igualmente que en el caso anterior, la serie uniforme del mantenimiento desde n=4
hasta n=25, genera un valor futuro en n=25, del que puede obtenerse la serie
uniforme a lo largo de 25 períodos.
[ ]
[ ] [ ] 40781)06,01(
448,45406,0
1)1(
448,45406,0
1)06,01(000,5,
32
31
=+
=−+
=
=−+=
x
i
iPA
P
nn
n
La serie uniforme equivalente 250,000 debe llevarse a n=0 como valor presente, para
luego discretizarla a lo largo de n=25:
252,668)06.1(06,0
)106.1(000,2503
3
=−
=x
P
Ahora este valor se lleva a una serie A a lo largo de 35 períodos
10 12 13 1 2 3
9 14 15 32 33 34 35 31
50000
2 3 4 5 6 7 8 11
250000 15000
Ingeniería económica en la construcción
96
091,46)106.1(
)06.1(06.066825235
35
=−
=xx
A
El modelo equivalente es:
CAUE= 46,091 + 4,078 + 1,034 =51,203
Luego, la alternativa a seleccionar es la construcción con puente en concreto
postensado por cuanto representa un CAUE menor.
Nótese que para determinar CAUE, los valores hacia abajo del diagrama se toman
como positivos en caso contrario, negativos.
Ejercicio 29. Se desea elegir la mejor propuesta de suministro de una mezcladora
para concreto de 15 ft3 (0,4 m3). Existen dos referencias de equipos especializados en
estos suministros.
Un fabricante propone el suministro de una mezcladora a gasolina por valor de $
8,000,000. El consumo de combustible es de 2 galones por día. Cada año deben ser
10 12 13 1 2 3
9 14 15 32 33 34 35 31
46091
2 3 4 5 6 7 8 11
4078
1034
Ingeniería económica en la construcción
97
reemplazados accesorios y componentes por valor de $250,000. Tiene vida útil de 3
años
El otro fabricante pone a dispocisión una mezcladora por valor de $14,000,000. El
consumo de ACPM es de 0,75 galones por día. Cada año debe tener un mantenimiento
con costo de $370,000, valor que incluye la repocisión de piezas. Tiene vida útil de 4
años
Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable
para realizar la compra.
Opción 1. El galón de gasolina tiene un costo de $6,500. Con costo promedio de 22 días
de trabajo( Sábados hasta medio día, no se trabaja domingos y festivos)1 no se
trabaja, el costo anual de operación es $3,432,000
La serie uniforme equivalente a P=8,000,000 es:
878,992,21)06,01(
)06,01(06,0000,000,83
3
=−+
+=
xxA
CAUE= 2,992,878 + 3,432,000 = 6,424,878
1 El lector puede realizar modificaciones a la asignación de trabajos
n=1 n=2 n=3
8,000,000
3,432,000
Ingeniería económica en la construcción
98
Opción 2. El galón de ACPM tiene un costo de $4,200. Con costo promedio de 22 días
de trabajo, el costo anual de operación es $1,108,800
La serie uniforme equivalente a P=14,000,000 es:
280,040,41)06,01(
)06,01(06,0000,000,144
4
=−+
+=
xxA
CAUE= 1,108,800 + 4,040,280 = 5,149,080
Luego la mezcladora a gasolina es la mejor opción.
Este probelema es posible que sea evaluado por VPN, sin embargo las consideraciones
que se modelan para cada situación son las premisas fundamentales para elegirel
método de evaluación en específico.
Ejercicio 30. Considérese el caso relacionacionado con el suministro de agua potable
a una población de 340,000 habitantes. La población de usuarios es 68,000
suscriptores de los servicios de acueducto. Existen dos fuentes potenciales para el
suminsitro de agua. La primera es a través de diversas perforaciones desplantadas
sobre un acuífero situado a 11 km y situados del área en estudio. La segunda
alternativa de suministro es la captación de un cuerpo superficial de agua, en este
n=1 n=2 n=3
14,000,000
n=4
1,108,800
Ingeniería económica en la construcción
99
caso un rio ubicado a 70 km de la zona urbana, lo que implica una serie de estaciones
de bombeo sucesivas.
Cualquiera que sea el sistema de suministro de agua potable la tarifa por m3 a cobrar
a los usuarios está dado por la suma de 4 componentes diversos a saber.
Costo total por m3= CA + CO + CI + CTA, donde
CA= Valor del m3 relacionado con los gastos de adminsitración del sistema
CO= Valor del m3 relacionado con los gastos de operación por fuerza motriz, reactivos
e insumos del sistema
CI= Valor del m3 relacionado con los gastos por la inversión en infraestructura física,
terreno y equipos del sistema
CTA= Valor del m3 relacionado con los gastos pago de tasas ambientales respecto del
agua captada
Situación Captación de acuífero Captación de un cuerpo de
agua
Costo de prefactibilidad e
inversión inicial 1,700,000,000 1,900,000,000
CA 650 630
CO 15 18
CI 21 17
CTA 7 9
Vida útil 20 40
Costo de funcionamiento 240,000,000 280,000,000
Contribuciones especiales 190,000,000 230,000,000
Costos administrativos 170,000,000 115,000,000
Ingeniería económica en la construcción
100
De acuerdo a lo definido por la prefactibilidad, se prevé una cesación de pago del 20%
en los usuarios. Bajo las premisas que ambos sistemas funcionarían en igualdad de
condiciones. El consumo básico se proyecta en 23 m3 por mes para los estratos 1,2 y 3
con una aproximación de 0,7, esta población corresponde al 60% de los usuarios y un
consumo complementario de 34 m3 para la población restante con una aproximación
de 0.65. El consumo complementario tiene un recargo del 23% sobre el básico.
Determine cual es la alternativa en que debe invertir la administración estatal.
Utilice una tasa de interés del 6%
Primera opción. La tarifa del m3 corresponde a: 650 + 15 + 21 + 7=693. Los ingresos
por suministro son:
Consumo básico: 68,000x0,6x23x693x0,77x0,7 =350,517,736 por mes
Consumo complementario: 68,000x0,4x34x693x1.23x0,77x0,65= 320,763,643 por
mes.
Total ingresos por mes: 671,281,379
Total ingresos anuales: 8,055,376,550
Total gastos por mes: 240,000,000 + 190,000,000 + 170,000,000 = 600,000,000
Total gastos por año: 7,200,000,000
La situación descrita se diagrama inmediatamente
Ingeniería económica en la construcción
101
Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a la inversión
inicial, esto es:
74621314810601
060106000000070014
4
,,),(
),(x,x,,,A =
−++=
El diagrama equivalente es:
CAUE=-8,055,376,550 + 7,200,000,000 + 148,213,746 = -707,162,803
3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19 2 10 6 15 16 20 12 13
8,055,376,550
14
7,200,000,000
148,213,746
3 4 7 5 8 11 18 17 1 19
11,,770000,,000000,,000000
2 10 6 15 16 20 12 13
8,055,376,550
14
7,200,000,000
9
Ingeniería económica en la construcción
102
Segunda opción. La tarifa del m3 corresponde a: 630 + 18 + 17 + 9 = 674. Los ingresos
por suministro son:
Consumo básico: 68,000x0,6x23x674x0,77x0,7 = 340,907,582 por mes
Consumo complementario: 68,000x0,4x34x674x1.23x0,77x0,65 =211,038,027 por
mes.
Total ingresos por mes: 551,945,609
Total ingresos anuales: 6,623,347,310
Total gastos por mes: 280,000,000 + 73,000,000 + 115,000,000 = 468,000,000
Total gastos por año: 5,616,000,000
Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a
La situación descrita se diagrama inmediatamente
La serie uniforme de la inversión corresponde a:
918,276,1261)06,01(
)06,01(06,0000,000,900,140
40
=−+
+=
xxA
CAUE= -6,623,347,310 + 5,616,000,000 + 126,276,918= 887,070,392
6 8 10 16 14 20 34 32 2 36
11,,990000,,000000,,000000
4 18 12 28 30 38 22 24
6,623,347,310
26
5,616,000,000
40
Ingeniería económica en la construcción
103
Advertimos con estas respuestas que la alternativa de suministro mediante a partir de
un cuerpo estacionario de agua resulta menos atractiva que suministrar agua a partir
del acuífero. Por lo tanto, la solución de suministro partir del acuífero es menos
costosa anualmente en aproximadamente el 25% de su costo anual
Sin embargo vemos para este caso en particular, que ambos sistemas garantizan la
operación y funcionamiento y adicionalmente recuperan el capital invertido, aunque
de diferentes formas.
Ejercicio 31. En una zona urbana existe una condición crítica. El caso consiste en un
puente vehicular construido sobre una zona altamente poblada y de las más costosas de
la ciudad. Actualmente el puente lleva 3 años de construido y ha presentado fallas que
han originado costos de operación anuales bastante altos. Estudios preliminares han
demostrado que el puente necesitará costos de operación anuales más altos a los
iniciales y a los 7 años necesitará una intervención estructural costosa.
La administración municipal está considerando en destruir el puente y construir la
estructura requerida. Veamos las características de ambas situaciones
Descripción Puente existente Puente nuevo
Costo prefactibilidad U$ 10,000 US 15,000
Costo de construcción US 400,000 US 700,000 ejecutados en un
solo año
Costos de operación anual US 25,000 US 5,000
Costo demolición US 45,000
Intervención estructural US 300,000, en n= 7
Vida útil 15 25
Determine cuál alternativa es la más aconsejable para la administración municipal.
Alternativa mediante la cual se mantiene el puente existente
Ingeniería económica en la construcción
104
Es necesario determinar el CAUE de cada alternativa y comparar si aún así, el puente
nuevo genera menor CAUE que el puente existente.
La serie uniforme para P=U$ 10,000 es.
314,1)11.1(
1.11.01000015
15
1 =−
=xx
A
La serie que genera P= U$ 400,000 en n=2, es
462,431.1)11.1(
1.11.0400000215
15
1 =−
=x
xxA
La serie que genera P= U$ 300,000 en n=7, es
240,201.1)11.1(
1.11.0300000715
15
1 =−
=x
xxA
CAUE = 1,314 + 43,462 + 20,240 + 25,000 = U$ 90,016
Examinemos ahora la opción de construir el nuevo puente
3 4 7 5 8 9 11 1 2 10 6 15 12 13 14
25,000
400,000
10,000
300,000
Ingeniería económica en la construcción
105
La serie que genera P= U$ 15,000 en n=0, es
1652111
11101500025
25
1 =−
=).(
.. xxA
La serie que genera P= U$7945,000 en n=1, es
6127411111
111074500025
25
1 ,.).(
..=
−=
x
xxA
CAUE = 1,652 + 74,6123 + 5,000 = U$ 81,264
De esta forma se demuestra que demoler el puente y construir otro nuevo, es la
solución económicamente más acertada, aún a costa de las inversiones que deben
realizarse para la nueva construcción.
3 4 7 5 8 9 11 1 19 2 10 6 15 20 12 13 14
5,000
21 22 23 25 24
15,000
700,000+45,000
Ingeniería económica en la construcción
106
8.1. CONSIDERACIONES GENERALES
En el sector de la producción industrial, los activos como maquinarias y equipos, se
ven afectados durante su vida útil por diferentes factores, frente a lo cual la
productividad, eficiencia, vida útil se van reduciendo en medida que transcurre el
tiempo.
La depreciación es una rutina natural de todos los activos. La depreciación afecta el
valor de los equipos a lo largo del tiempo
Debido al estado de las máquinas en un momento específico, donde se ve reducida la
vida útil y la productividad se hace necesaria el reemplazo y reposición de estos
activos. Esta situación sucede en virtud a situaciones como:
Disminución de la productividad. Debido al desgaste de piezas, deterioro físico,
variación de las tolerancias admisibles en accesorios mecánicas para elementos de
fuerza, método de uso, excedencias de carga por encima de las capacidades nominales
y en algunos casos, observado en la variabilidad de la precisión de medida o
funcionamiento. Estas situaciones motivan acciones tendientes a mantener el
equilibrio de la producción
Atraso tecnológico. La obsolescencia puede llevar a generar caos en la producción.
Para afrentar situaciones específicas se requieren equipos específicos y en la medida
CAPITULO
TECNICAS Y ANALISIS DE REEMPLAZO PARA MAQUINARIA Y EQUIPOS VVII
Ingeniería económica en la construcción
107
que avanza la tecnología las máquinas, al igual que otras realidades, van siendo
optimizadas en su funcionamiento y en su rendimiento. La tendencia es producir
máquinas y accesorios cada vez más eficientes que van desplazando a las generaciones
anteriores.
Nuevas realidades. Es posible que una empresa de construcción se vea frente a nuevas
realidades de construcción imposibles, de hacer con equipo tradicional, para lo cual
habrá que abrir un abanico de opciones. La Ingeniería Civil y la construcción en
general, cada vez se ven enfrentadas a situaciones cada vez más complejas
Las técnicas de reemplazo son un análisis para determinar la conveniencia económica
de adquirir nuevos activos de transformación o dejar los existentes en virtud a las
características financieras que posean cada uno.
El activo o equipo existente, el cual es objeto de estudio para ser remplazado, se
denomina defensor. Y el activo que está en las condiciones de ser suministrado a
reemplazar el existente, se denomina retador.
De hecho la decisión de tomar otro activo o dejar el existente, es resultado de
comparar alternativas. Estamos frente a un defensor al que se está considerando su
reemplazo por dos o más retadores.
El análisis de la situación en la cual un activo, defensor, ha perdido vida útil por
efecto de la depreciación y otras instancias, posee ahora un valor contable que será el
utilizado para establecer la evaluación económica en relación al valor del retador. No
es posible tomar el valor de adquisición del defensor, pues desde este evento a la
fecha, el equipo ha perdido vida útil. Es posible que el retador, mirado a lo largo de un
horizonte de evaluación, posea valor de salvamento.
En el uso de maquinaria interviene, el valor de adquisición, valor contable actual,
valor de salvamento y costo anual de operación. Comoquiera que los activos van a ser
definidos para uso continuo, el indicador que nos permite evaluar la interacción de los
anteriores factores, es el costo anual uniforme equivalente CAUE. Lo que interesa en
Ingeniería económica en la construcción
108
este análisis es cual equipo nos representa un menor costo periódico a lo largo de los
años posteriores a la toma de la decisión
8.2. DEPRECIACIÓN O MODELOS DE AGOTAMIENTO.
Representa la pérdida anual del valor del activo en estudio en virtud al desgaste
propio, disminución del rendimiento, pérdida de eficiencia y aumento del costo de
operación y mantenimiento anual. El valor del activo es expresado en función del
precio de adquisición I.
Un activo, como maquinaria o equipos, se adquieren en un período n, con lo cual a la
fecha del examen ha transcurrido una secuencia de períodos ∆n. Luego el valor
presente del equipo será una fracción del precio de adquisición I, disminuido en
función del tiempo transcurrido desde el evento de la compra y del modelo de
agotamiento empleado para evaluar.
8.2.1 Depreciación lineal. Es un método demasiado popular y usado en la mayor parte
de las aplicaciones donde se incluye modelos de agotamiento.
De acuerdo a este modelo el valor del activo varía desde el valor de adquisición I, a lo
largo de su vida útil n, hasta llegar a un valor residual definido, el cual de existir
tomará el nombre de valor de salvamento Vs, en caso contrario, tomará valor cero. El
valor de salvamento no función deducida de la producción, es una variable que va a
depender del mercado del equipo usado. La existencia de valor de salvamento se
expresa en el hecho que de manera contable, el activo tiene una vida útil n a lo largo
de la cual debe agotarse el valor de adquisición. Pero en la práctica, tal como lo ha
mostrado la historia y el ejercicio práctico, estos equipos siguen prestando servicio.
Por ello son susceptibles de tener valor comercial.
Ingeniería económica en la construcción
109
La tasa de depreciación por período anual se expresa como n
VsITl
−= . La secuencia
periódica puede tener cualquier amplitud. Con ello se establece que la variación de la
depreciación es constante
8.2.2 Agotamiento por saldo decreciente (SD) y saldo doblemente decreciente
(SDD).
Es conocido como el método del porcentaje fijo uniforme. Para el método del saldo
doblemente decreciente, el porcentaje fijo de depreciación que se permite es 200%, el
doble de la tasa en línea recta.
La tasa de depreciación máxima se expresa como t= n
2 y la tasa de depreciación para
el año n cualesquiera, se calcula como, 1nn )t1(Itt −−=
8.2.3 Depreciación por suma de dígitos de los años (SDA).
De acuerdo a esta técnica gran parte del activo se amortiza en el primer tercio de la
vida útil. Es de cambio menos sensible a los anteriores métodos en cuanto a la tasa de
depreciación.
La tasa de depreciación a lo largo de n años, corresponde a. ∑ =
+−=n
1n
1tnt
Donde ∑ =
n
1nes la suma de los dígitos de los años
8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS
La gráfica siguiente ilustra la variación de comportamiento entre los modelos
Ingeniería económica en la construcción
110
0
30000000
60000000
90000000
120000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
lineal
sdd
sda
Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento
Fuente: Desarrollada por el autor
El modelo de saldo creciente da lugar a un valor de salvamento, pues es obvio que el
activo en estudio, siguen teniendo fuerza productiva y capacidad de servicio. Este
modelo es la simulación perfecta del comportamiento y resultado de uso en un equipo.
El método lineal, es drástico en esencia y castiga fuertemente al activo. Es una
aproximación tosca y antigua sobre la evolución y disminución de la vida útil de los
equipos.
El método de suma de dígitos es una regular aproximación al comportamiento de los
equipos, pues los deja sin probabilidad de uso al final de su vida útil. La diferencia
entre la integral de la función lineal y la función de correlación para la suma de dígitos
nos significa la pérdida de valor adicional que experimenta una máquina en términos
contables. Valor que debe ser asignado a los costos anuales para realizar los balances
de los flujos de valores.
Ingeniería económica en la construcción
111
Ejercicio 32. Una retroexcavadora comprada hace 4 años, se adquirió por valor de
$180,000,000. La capacidad del cucharón es de 3.1 m3, está montada sobre orugas. De
acuerdo a lo especificado por el fabricante la vida útil es de 36500 horas, con uso
diario de 10 horas. La depreciación se establece en línea recta para este activo. Al
final de esta vida útil, el valor de salvamento es $30,000,000 y se opera con inversión
de $40,000,000 en costo anual de operación
Existe la opción de reemplazar la retroexcavadora, por un equipo combinado de
retroexcavadora y gancho. Este equipo con vida útil de 40150 horas, con frecuencia de
10 horas de uso, tiene un valor de $230,000,000 y tienen un valor de salvamento de
$45,000,000. Para trabajar con esta máquina se requiere un costo anual de operación
de $52,000,000.
Si la empresa utiliza una tasa del 8% anual, determine cual es la alternativa más
aconsejable para el manejo de equipos.
PARAMETROS DEFENSOR RETADOR
Valor presente 108,000,000 230,000,000
Valor de salvamento 30,000,000 45,000,000
Costo anual de operación 40,000,000 52,000,000
Vida útil (años) 10 11
Valor presente para el defensor: Depreciación por año 10
1del valor de adquisición.
Luego, después de 4 años, el saldo es10
6de dicho valor, es decir 108,000,000.
Diagramemos la situación del retador.
Ingeniería económica en la construcción
112
La serie equivalente para P=108,000,000 es:
061,362,231)08,01(
)08,01(x08,0x000,000,108A
6
6
=−+
+=
La serie para el valor de salvamento es
46189410801
080000000306
,,),(
,,,O
xAs =
−+=
CAUE=40,000,000 + 23,362,061 –4,O89,461 = 59,272,6OO
Para el retador
612,820,371)08,01(
)06,01(08,0000,000,27011
11
=−+
+=
xxA
1 2 3
270,000,000
4
52,000,000
5 6 7 8 9 10
45,000,000
11
5 6 7
108,000,000
8
40,000,000
9 10
30,000,000
4
Ingeniería económica en la construcción
113
La serie para el valor de salvamento es
43537210801
0800000004511
,,),(
,,,O
xAs =
−+=
CAUE= 52,000,000 + 612,820,37 - 2,7O3,435= 87,117,177
Se logra observar que el defensor tiene menor CAUE, lo que equivale a recomendar
que sea mejor quedarse con el equipo existente
Ejercicio 33. Una compañía de estudios geotécnicos desea analizar la situación de su
actual equipo de perforación. Este equipo se compró hace 5 años en $23,000,000.
Tiene una vida útil de 10 años. Los costos de operación anula del equipo oscilan
alrededor de $4,000,000. Con este quipo que perfora hasta una profundidad de 15
metros mediante penetración estándar. Al final de su vida útil no logra obtenerse
valor de salvamento.
La empresa está pensando en remplazar este equipo por la presentación de dos
opciones a saber. La primera opción es un equipo de perforación por rotación por
valor de $53,000,000. Tiene costos anuales de operación de $3,000,000. Tiene una vida
útil de 10 años
La segunda opción es un sistema de penetración estándar, con capacidad de 30
metros. Posee costo de $21,000,000. Vida útil de 12 años. Tiene costos anuales de
operación de $3,000,000
Si la compañía utiliza una tasa del 7% anual y bajo la premisa que los equipos se
deprecian linealmente, determine que decisión deberá tomarse.
Ingeniería económica en la construcción
114
El valor residual a la fecha del equipo usado es $11,500,00. El diagrama para la
situación actual es:
La serie para el valor actual es: A= 742,804,21)07.01(
)07.01(7.115000005
5
=−+
+XOXO
CAUE= 2,804,742 + 4,000,000 = $6,804,742
El análisis del primer retador muestra el siguiente diagrama.
La serie para P=53,000,000 es 007,546,71)07.01(
)07.01(7.000,000,5312
10
=−+
+XOXO
1 2 3 4
153000000
5 6 7 8 9 10
3000000
1 2 3 4
11500000
5 6 7 8 9 10
4000000
Ingeniería económica en la construcción
115
CAUE= 7,546,007 + 3,000,000 = 10,546,007
Analizando el segundo retador se presenta la siguiente situación
La serie para P=21,000,000 es 941643210701
070170000002112
12
,,).(
).(.,,=
−++XOXO
CAUE= 2,643,941 + 3,000,000 = $5,64,941
Este valor es menor al que produce el equipo actual, por ello la empresa debe
reemplazar el equipo existente por el sistema de penetración estándar de la segunda
opción de reemplazo
Ejercicio 34. Se necesita precisar información económica sobre un equipo hincado de
pilotes a una profundidad de 20 metros en las acciones preliminares de una
cimentación de un proyecto.
La empresa necesita evaluar si utiliza su equipo o arrienda un equipo neumático.
El equipo actual posee un sistema de presión accionado mediante bombas hidráulicas.
Con este equipo es posible hincar 20 pilotes por día hasta una profundidad de 10
metros, comoquiera que la profundidad de desplante es de 20 metros, se disminuye el
rendimiento a 12 pilotes por día. El equipo se compró hace 5 años por valor de
1 2 3 4
21000000
5 6 7 8 9 10
3000000
11 12
Ingeniería económica en la construcción
116
$200,000,000 y tiene una vida útil de 12 años al final de los cuales tienen valor de
salvamento por $50,000,000. Los costos anuales de operación se aproximan a
$18,000,000,000
El retador, un equipo de accionamiento neumático, tiene capacidad de hincado de 20
toneladas por pilote. Puede hincar 18 pilotes por día a una profundidad de 20 metros.
El alquilar de esta máquina está ardedor de los $30,000,000 por semana y $9,000,000
en costos de operación anual
Evalúe la solución a esta situación si la empresa utiliza una TMAR del 10% anual y el
proyecto pretende desarrollarse a los largo de un año
Examinemos la situación actual:
El valor residual de la máquina ahora es 666,666,116000,000,20012
7 =x
La serie correspondiente a P=116,666,666 corresponde a
974,963,231)1.01(
)1.01(1.666,666,1167
7
=−+
+XXO
CAUE= 18,000,000 + 23,963,974 = 41,963,974
Para el retador se presenta la siguiente situación.
12 7 11 8 9 6 5 4 3 1 2
116,666,666
10
18,000,000
Ingeniería económica en la construcción
117
CAUE = 30,000,000 + 9,000,000 = 39,000,000.
Asi, de esta manera que el retador presenta más ventaja que el defensor. La
compañía debe vender el equipo existente y arrendar el equipo neumático para hincar
los pilotes.
Ejercicio 35. Una empresa constructora está contemplando la posibilidad de
reemplazar sus unidades de carga, pero no tiene la precisión de los costos asociados a
las alternativas que se presentan.
Esta empresa tiene 2 volteos, ambos tienen capacidad de 7 m3. El primero de ellos se
compró hace 2 años, y el segundo volteo se adquirió hace 3 años.
A continuación se relacionan las características de estos activos
Datos Vehículo inicial Vehículo final
Costo de adquicisión CA $90,000,000 $75,000,000
Vida útil 12 años 10 años
Valor de salvamento VS $25,000,000 $20,000,000
Costo anual de operación $700,000 $800,000
Es posible alquilar dos camiones con capacidad de 10 m3 por valor de $200,000,000
anuales. El costo de operación por es $800,000 anuales
La alternativa final es la compra de 2 volteos de 11 m3 con las siguientes
características
Costo de adquisición CA $100,000,000
Vida útil 10 años
Valor de salvamento VS $30,000,000
Costo anual de operación $900,000
Ingeniería económica en la construcción
118
¿Qué camino debe tomar la empresa?
Examinemos lo que acontece con la situación actual del primer defensor:
La serie correspondiente a P=75,000,000 corresponde a
904,205,121)1.01(
)1.01(X1.0x7500000010
10
=−+
+
La serie correspondiente a P=25,000,000 como valor de salvamento, corresponde a
63456811101
12500000010
.,).(
.=
−+xO
CAUE=12,205,904 + 700,000 – 6345681 ., =11,337,27O
Con el segundo defensor:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
700,000
11 12
25,000,000
75,000,000
Ingeniería económica en la construcción
119
La serie correspondiente a P=52,500,000 corresponde a
788,783,1017)1.01(
)1.01(1.52500000 7
=−+
+XxO
La serie correspondiente a P=20,000,000 como valor de salvamento, corresponde a
981121101
1200000007
OOxO
,).(
.=
−+
CAUE= 10,783,788 + 800,000 – 2,1O8,1O9 = 9,475,679
El CAUE definitivo de estos equipos es 2O,812,949
Veamos ahora que acontece con las características del retador No 1
CAUE = 2O,OOO,OOO+8OO,OOO=2O,8OO,OOO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
800,000
20,000,000
52,500,000
Ingeniería económica en la construcción
120
La serie correspondiente a P=280,000,000 corresponde a
078,549,321)1.01(
)1.01(1.000,000,20010
10
=−+
+XxO
La serie correspondiente a P=60,000,000 como valor de salvamento, corresponde a
72376431101
1600000007
,,).(
.=
−+xO
CAUE = 32,549,078 +900,000 - 9,764,723 =29,684,355
El CAUE menor se presenta el arriendo de los equipos, de manera que la empresa
deberá venderlos.
8.3 PREMISAS GENERALES DEL MODELO DE REMPLAZO.
Existe un equipo en uso con x años en uso. Adquirido en un valor I y con una vida útil
n, y existe una TMAR denotada como i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
900,000
60,000,000
200,000,000
Ingeniería económica en la construcción
121
A los x años se genera la incertidumbre sobre la sustitución de los equipos. Así el
equipo existe ha agotado una fracción de I y se precisa determinar en qué momento
desde x en adelante debe ser introducido el siguiente equipo.
En la medida que la vida útil disminuye, los costos anuales de operación y
mantenimiento van en aumento en forma de gradiente uniforme. Esto es lógico si se
abstrae que el rendimiento y eficiencia disminuyen en función al agotamiento y
deterioro, de manera que para mantenerlo dentro de los límites de tolerancia, cada
vez debe emplearse mayores asignaciones de capital.
Revisemos cuando debe ser remplazada la retroexcavadora en estudio.
Definamos la depreciación restante como función de la vida útil n del retador.
Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo.
Fuente Desarrollada por el autor
Luego la depreciación restante puede expresarse por la función n
xnVat i1 −= , donde
xi, es cualquier valor que pueda ser tomado en el intervalo [ ]1n,x . Ahora, sea b el
Ingeniería económica en la construcción
122
cociente entre la vida útil restante del defensor y la vida futura del retador, n2, de
manera que 2
1
n
xnb
−= , donde.
Ahora bien, el gradiente para el costo anual de mantenimiento y reparación se expresa
en el siguiente diagrama:
Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación
Fuente: Desarrollada por el autor
La tasa con la que se incrementa el costo de mantenimiento y reparación es i0.
El CAUE del defensor, tomado desde el año x, hasta la n1 expresado en función de n2 se
desarrolla individualmente como:
La serie correspondiente al valor presente del equipo debe expresarse en función de
[ ]1)i1(
)i1(ibn
)abn(Vcomouniformeserielardesarrolla,esesto,
xna)xn(
V2
2
bn
bn
2
2a
1
1a −+
+−−
−−
Ingeniería económica en la construcción
123
Debe plantearse que al tomar los valores de costo de reparación y mantenimiento en
forma de gradiente, el costo anual no es equivalente. Sin embargo es el costo efectivo
que de desarrolla tras cada período. El valor inicial de este costo de mantenimiento
para n=x, resulta ser P, con ello el gradiente tendrá notación
22
2
bno
2bn
oo
bno
o
)i1(
bn
)i1(i
1)i1(
1Pi
+−
+−+
, que es igual a o
bno
bnoo
oni1)i1(
)i1(iPi
2
2
−−++
, con ello el CAUE, en
definitiva puede denotarse como o2
bno
bnoo
obn
bn
2
2a
ibn1)i1(
)i1(iPi
1)i1(
)i1(i
bn
)abn(CAUE
2
2
2
2
−−++
+−+
+−=
Para el retador, el CAUE es,22
n2
n22
22n
n
in1)i1(
)i1(iiP
1)i1(
)i1(iI
2
2
2
2
−−++
+−+
+, donde I es el valor de
adquisición del equipo, i2 es la tasa en que se incrementa el costo de mantenimiento y
operación a lo largo de los n2 períodos existentes, partiendo de un valor inicial P2.
En los anteriores planteamientos i, io, b, n1, n2, P y P2 son parámetros conocidos.
Para determinar la fracción de n2 donde debe entrar la sustitución, se requiere
introducir formas canónicas restringidas. No es posible precisar usar las formas
matemáticas estándar para evaluar un único período. Al igual los CAUE de cada
alternativa
o2bn
o
bnoo
obn
bn
2
2
ibn1)i1(
)i1(iPi
1)i1(
)i1(ibn
)abn(2
2
2
2
−−+++
−++− =
22n
2
n22
22n
n
in1)i1(
)i1(iiP
1)i1(
)i1(iI
2
2
2
2
−−+++
−++
, luego
el período n resultante es el lugar donde debe ser sustituido los equipos. Es necesario,
para efectuar la sustitución que el defensor, tenga mayor CAUE que el retador.
La modelación, puede ser llegar a ser tan específica como se logre acercar al detalle
con niveles de acercamiento y precisión definidos.
Ingeniería económica en la construcción
124
BIBLIOGRAFIA
ARBONES, Eduardo. Ingeniería Económica. Barcelona. Editorial Alfaomega. 1999
BACA CURREA, Guillermo. Ingeniería Económica. Bogotá. Fondo Interamericano del
Libro. 2005
BACA CURREA, Guillermo. Excel y la calculadora financiera. Fondo Interamericano del
Libro. 2004
LELAND T, Blank y TARQUIN, Anthony. Ingeniería Económica. Méjico. 2004. Editorial Mc
Graw Hill
LONDOÑO OROZCO, Carlos. Fundamentos de Ingeniería Económica. Pereira.
Universidad Católica Popular de Risaralda. Sf
MELO MOLINA, Jorge Eduardo. Manual de Ingeniería Económica. Cali. Escuela Militar de
aviación Marco Fidel Suaréz. 2002
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