industrijsko inŽenjerstvo ispit iz , 09.24.2014.imft.ftn.uns.ac.rs/~ljubo/iim/141jan1.pdfprimenom...
Post on 11-May-2018
215 Views
Preview:
TRANSCRIPT
INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike 1, 09.24.2014.
Zadaci za ceo ispit: 1, 2b, 3, 5, 6.Zadaci za kolokvijum 1: 1, 2, 3.Zadaci za kolokvijum 2: 4, 5, 6.
1. Rešiti po z ∈ C jednacinu: |z|− z = 1+2i.
2. (a) Rešiti sistem linearnih jednacina: x − y + 2z = 1−x + 2y − z = 22x − y + 5z = 5
(b) Diskutovati po a ∈ R sistem linearnih jednacina: x − y + 2z = 1−x + 2y − z = 22x − y + az = a
3. Za matrice A =
−1 2 0−1 3 1−1 3 2
i B =
2 −22 13 −1
, rešiti po nepoznatoj matrici X matricnu jednacinu
AX = B.
4. Naci sve korene polinoma p(x) = x4 +4x3 +3x2 −4x−4 nad poljima R i C.
5. Izracunati a,b ∈ R tako da 1 bude dvostruki koren polinoma p(x) = x5 − x4 −3x3 +5x2 −2ax+b,a zatim za te vrednosti a i b faktorisati polinom p nad poljima R i C.
6. Naci maksimum funkcije f (x1,x2,x3) = x1 +3x2 −2x3 pod uslovima
−2x1 − x2 −3x3 ≥−2, −x1 +2x2 +2x3 ≤ 1, −x1 −2x2 − x3 ≤−1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike 1, 09.24.2014.
Zadaci za ceo ispit: 1, 2b, 3, 5, 6.Zadaci za kolokvijum 1: 1, 2, 3.Zadaci za kolokvijum 2: 4, 5, 6.
1. Rešiti po z ∈ C jednacinu: |z|− z = 1+2i.
2. (a) Rešiti sistem linearnih jednacina: x − y + 2z = 1−x + 2y − z = 22x − y + 5z = 5
(b) Diskutovati po a ∈ R sistem linearnih jednacina: x − y + 2z = 1−x + 2y − z = 22x − y + az = a
3. Za matrice A =
−1 2 0−1 3 1−1 3 2
i B =
2 −22 13 −1
, rešiti po nepoznatoj matrici X matricnu jednacinu
AX = B.
4. Naci sve korene polinoma p(x) = x4 +4x3 +3x2 −4x−4 nad poljima R i C.
5. Izracunati a,b ∈ R tako da 1 bude dvostruki koren polinoma p(x) = x5 − x4 −3x3 +5x2 −2ax+b,a zatim za te vrednosti a i b faktorisati polinom p nad poljima R i C.
6. Naci maksimum funkcije f (x1,x2,x3) = x1 +3x2 −2x3 pod uslovima
−2x1 − x2 −3x3 ≥−2, −x1 +2x2 +2x3 ≤ 1, −x1 −2x2 − x3 ≤−1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
REŠENJA:
1. Uvodenjem smene z = x+ iy dobijamo
⇔√
x2 + y2 − x− iy = 1+2i
⇔√
x2 + y2 − x = 1−y = 2
⇔ y =−2√x2 +4 = x+1
⇔ y =−2x2 +4 = x2 +2x+1
⇔ y =−23 = 2x
⇔(
x =23∧ y =−2
)⇔ z =
23−2i.
2.
3. Kako je detA =−1, to postoji inverzna matrica A−1 =
−3 4 −2−1 2 −1
0 −1 1
, te je
AX = B ⇔ X = A−1B =
−3 4 −2−1 2 −1
0 −1 1
·
2 −22 13 −1
=
−4 12−1 5
1 −2
.
4. Kandidati za racionalne korene polinoma p su ±1,±2,±4. Pomocu Hornerove šeme proveravamo koji od ovihkandidata jeste koren i kolike je višestrukosti, i time tražimo odgovarajuce linearne faktore.
1 4 3 −4 −41 1 5 8 4 0 ⇒ p(x) = (x−1)
(x3 +5x2 +8x+4
)1 1 6 14 18
−1 1 4 4 0 ⇒ p(x) = (x−1)(x+1)(x2 +4x+4
)−1 1 3 1
2 1 6 16−2 1 2 0 ⇒ p(x) = (x−1)(x+1)(x+2)(x+2)−2 1 0 ⇒ p(x) = (x−1)(x+1)(x+2)2
5.1 −1 −3 5 −2a b
1 1 0 −3 2 −2a+2 −2a+b+21 1 1 −2 0 −2a+2
te je
−2a + b + 2 = 0−2a + 2 = 0
⇔ −2a + b = −2−2a = −2
⇔ a = 1b = 0
.
Za a = 1 i b = 0 je
p(x) = (x−1)2(x3 + x2 −2x)= x(x−1)2(x2 + x−2
),
gde je x2 + x−2 = 0 za x1,2 =−1±
√1+8
2= {−2,1}, te je
p(x) = x(x−1)3(x+2)
faktorizacija polinoma p i nad R i nad C.
6. Nakon što prvu i trecu jednacinu pomnožimo sa −1, a zatim u prvu i drugu dodamo, a u trecoj oduzmemo dodatnepromenljive x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, dobijamo sistem jednacina
2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 2−x1 + 2x2 + 2x3 + x5 = 1
x1 + 2x2 + x3 − x6 = 1.
Trecu jednacinu dodamo na drugu, i pomnoženu sa −2 dodamo na prvu, te dobijamo
− 3x2 + x3 + x4 + 2x6 = 04x2 + 3x3 + x5 − x6 = 2
x1 + 2x2 + x3 − x6 = 1,
odakle je
x1 =−2x2 − x3 + x6 +1, x4 = 3x2 − x3 −2x6, x5 =−4x2 −3x3 + x6 +2,
odnosnox1 + 2x2 + x3 − x6 = 1
− 3x2 + x3 + x4 + 2x6 = 04x2 + 3x3 + x5 − x6 = 2
,
pri cemu je
f (x2,x3,x6) = (−2x2 − x3 + x6 +1)+3x2 −2x3 = x2 −3x3 + x6 +1.
Primenom simpleks metoda dobijamo
1 2 1 0 0 −1 10 −3 1 1 0 2 00 4 3 0 1 −1 20 1 −3 0 0 1 −1
[1]⇒
1 12
32
12 0 0 1 (1/1
2 = 2)0 −3 1 1 0 2 0
0 52
72
12 1 0 2 (2/5
2 = 45)
0 52 −7
2 −12 0 0 −1
[2]⇒
1 0 310
410 −1
5 0 35
0 0 265
85
65 2 12
5
0 52
72
12 1 0 2
0 0 −7 −1 −1 0 −3
[3]⇒
1 0 310
410 −1
5 0 35
0 0 135
45
35 1 6
5
0 1 75
15
25 0 2
5
0 0 −7 −1 −1 0 −3
[1] - Drugu vrstu pomnoženu sa 12 dodamo na prvu i trecu, i pomnoženu sa −1
2 dodamo cetvrtoj.
[2] - Trecu vrstu pomnoženu sa −15 dodamo na prvu, pomnoženu sa 6
5 dodamo na drugu, i oduzmemo od cetvrte.
[3] - Drugu vrstu množimo sa 12 , a trecu sa 2
5 .
Dakle, maksimum funkcije f je 3, i dostiže se u tacki(3
5 ,25 ,0,0,0,
65
), odnosno
(35 ,
25 ,0
).
top related