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Il metodo degli Stati Limite

Giorgio MontiOrdinario di Tecnica delle Costruzioni

Università di Roma La Sapienza

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite2/217

Contenuti

n Fondamenti teoricin Base probabilistica

n Progetto agli Stati Limite Ultimin Flessione semplice e compostan Taglio

n Gli Stati Limite di Esercizio

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Obiettivo della progettazione

n Conseguire una protezione adeguata nei confronti di due condizioni limiten Uno stato di danno strutturale accentuato

che prelude al collasson si preferisce che la struttura subisca

deformazioni anelastiche

n Uno stato di danno agli elementi non strutturalin si richiede che la struttura rimanga elastica

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Strumenti

n L’utilizzo di metodi di analisi lineare o non lineare, statica o dinamica, nella progettazione

n L’utilizzo della gerarchia delle resistenze nella concezione strutturale

n L’utilizzo del metodo degli Stati Limite nella verifica

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Il metodo degli Stati Limite

n Il problema fondamentale dell’affidabilità strutturale. L’equazione di sicurezza.

n Aleatorietà delle grandezzen L’approccio semiprobabilisticon Valori caratteristici e valori di progetton I coefficienti parziali di sicurezza.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite6/217

Il metodo degli Stati Limite

n Principali caratteristichen Si basa sul concetto di aleatorietà delle

grandezze (azioni, resistenze)n Si considerano vari aspetti del

comportamento (esercizio, collasso) nei confronti dei quali si differenzia il livello di rischio.

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Il metodo SPSL

n Definizionin Stato limite

n La struttura o una sua parte non può più svolgere le funzioni per cui è stata progettata

n Stato limite ultimon Si verificano il collasso della struttura e la

possibilità di perdita di vite umane

n Stati limite di esercizio (analogo a TA)n Si verifica la perdita di funzionalità della

struttura in relazione alle esigenze di impiego

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Il problema fondamentale

n Si studia la relazione fra due grandezzen S : Azione , Domanda

n R : Resistenza , Capacità

S

R

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Il problema fondamentale

n Ad esempion S : momento flettente MS(Q)

n R : momento resistente MR

Q

R

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Il problema fondamentale

n Ad esempion S : tensione σ dovuta a MS(Q)

n R : tensione limite σadm

Q

R

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Il problema fondamentale

n Deve risultareR � S

n Si ha sicurezzasicurezza se, R – S � 0

n Si ha collassocollasso seR – S < 0

n Graficamente …

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite12/217

R = S

Il problema fondamentale

S

R

R – S > 0

R – S < 0

S = 5

R = 10

S = 10

R = 5

sicurezzasicurezza

collassocollasso

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite13/217

Aleatorietà

n In realtà R è aleatoriaaleatorian Caratterizzata (se normale) da

una densità di probabilitàfR(r)

funzione di due parametri:n media: µR

n dispersione: σRr

fR(r)

µR

σR

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Aleatorietà

n In realtà S è aleatoriaaleatorian Caratterizzata (se normale) da

una densità di probabilitàfS(s)

funzione di due parametri:n media: µS

n dispersione: σSs

fS(s)

µS

σS

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite15/217

Aleatorietà

n Derivano dalle incertezze relative:n alle resistenze dei materiali impiegati rispetto

ai valori assunti dal progettistan all'intensità delle azioni dirette, indirette e di

natura chimico-fisica ed alla probabilità della loro coesistenza

n alla geometria della costruzionen alla divergenza tra gli effetti realmente indotti

dai carichi e quelli calcolati.

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Probabilità di collasso

s

r

R = S

sicurezzasicurezza

collassocollasso

I diversi eventi hanno diversa probabilità di occorrenza:

fR(r) fS(s) dr ds

Qual è la probabilità che ci

sia collasso?

bassa

bassa

alta

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite17/217

Probabilità di collasso

n E’ data da:

sicurezzasicurezza

collasso collasso

( )( ) ( )∫

<−

=

=<−=

0

0Pr

SRSR

f

dsdrsfrf

SRp

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Nel caso di v.a. normali …

n … la pf si calcola semplicemente come:

n Si noti che:n Se σR e σS diminuiscono, pf diminuisce

n Se (µR – µS) aumenta, pf diminuisce

( )

σ+σ

µ−µ−Φ=<−=

220Pr

SR

SRf SRp

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Esempio

n Trave appoggiata con carico concentrato

§§ Carico:Carico:

§§ Capacità:Capacità:

( )kN 1 , kN 3 =σ=µ= QQNQ

( )kNm 5.1 , kNm 10 =σ=µ= RRNR

5.0 m

Q

R

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Esempio

n Il momento agente è: S = Q L/4n E’ anch’esso una v.a. con

n Media: µS = µQ L/4 = 3.75

n Dispersione: σS = σQ L/4 = 1.25

n La probabilità di collasso è:

4

22221085.6

25.15.1

75.310 −⋅=

+

−−Φ=

σ+σ

µ−µ−Φ=

SR

SRfp

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite21/217

Esempio

n La probabilità di collasso pf trovata andrebbe confrontata con un valore ritenuto accettabile, pf,amm

n Questo metodo, detto di Livello 2, è adatto per strutture di una certa rilevanza

n Un metodo che tenga conto delle aleatorietà in modo più semplice …

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite22/217

Un approccio semiprobabilistico

s

rsicurezzasicurezza

collassocollasso

Si cerca una coppia di valori:Rd ed Sd

per cui se si ha:Rd > Sdallora:

pf < pf,amm

Sd

Rd

R = S

grande

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite23/217

Un approccio semiprobabilistico

s

r

R = S

sicurezzasicurezza

collassocollasso

Si cerca una coppia di valori:Rd ed Sd

per cui se si ha:Rd > Sdallora:

pf < pf,amm

Sd

Rd piccola

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite24/217

I valori di calcolo

n I valori di calcolo Rd ed Sd consentono di trasformare un problema aleatorio:

Pr[R � S] � pf,amm

in uno deterministico:

Rd � Sd

n Cioè: se Rd � Sd à pf� pf,amm

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I valori di calcolo

n I valori di calcolo Rd ed Sd vengono espressi in funzione dei valori caratteristici Rk ed Sk

n I valori caratteristici Rk ed Sk sono i frattili di ordine 0,05 e 0,95 delle distribuzioni di R ed S

n I rapporti γR = Rk/Rd e γS = Sd/Sk sono detti coefficienti di sicurezza

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite26/217

Rd, Rk e γR

n Il valore caratteristico è: Rk = µR – 1.64 σR

n Pr[R<Rk] = 0,05n Il valore di calcolo è:

Rd = Rk / γR

n γR si ottiene da studi di calibrazione

r

fR(r)

µR

σR

Rk

Rd

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite27/217

Sd, Sk e γS

s

fS(s)

µS

σS

Sk

Sd

n Il valore caratteristico è: Sk = µS + 1.64 σS

n Pr[S<Sk] = 0,95n Il valore di calcolo è:

Sd = Sk · γS

n γS si ottiene da studi di calibrazione

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite28/217

L’equazione di sicurezza

n E’ dunque:

Rk / γR � Sk · γS

n Nella forma più generale si ha:

R(fk / γm) � S(Fk · γf)

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite29/217

Esempio

n Trave appoggiata con carico concentrato

§§ Carico:Carico:

§§ Capacità:Capacità:

( )kN 1 , kN 3 =σ=µ= QQNQ

( )kNm 5.1 , kNm 10 =σ=µ= RRNR

5.0 m

Q

R

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite30/217

Esempio

n I valori caratteristici di S ed R sono:

n Sk = µS + 1.64 σS = 3.75 + 1.64·1.25 = 5.8 kNm

n Rk = µR – 1.64 σR = 10 – 1.64·1.5 = 7.5 kNm

n Si ha dunque:

7.5 / γR � 5.8 · γSn Che sarebbe verificata per, ad es.: γR = 1.10 e γS = 1.17

n Questo assicurerebbe una pf = 6.85·10-4

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite31/217

Il quadro normativon D.M. LL.PP. del 09/01/1996

n Norme tecniche per il calcolo, l'esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche

n Circolare M. LL.PP. del 15/10/96, n. 252n Istruzioni per l'applicazione del DM 09/01/1996

n D.M. LL.PP. del 16/01/1996n Norme tecniche relative ai Criteri generali per la verifica di

sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi

n Circolare M. LL.PP. del 04/07/96, n. 156n Istruzioni per l'applicazione del DM 16/01/1996

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite32/217

Il DM del 9 gennaio1996

n Parte Generalen Parte I - Cemento armato normale e

precompresson Sezione I - Prescrizioni generali e comunin Sezione II - Metodo agli stati limite:

progetto ed esecuzionen Sezione III - Eurocodice 2 (DAN)

(Documento di Applicazione Nazionale)UNI ENV 1992-1-1: criteri e prescrizioni.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite33/217

Il quadro normativo

n Il progettista può adottare il metodo SL:n Nella versione "nazionale“

n à dovrà seguire la Sezione II della Parte I

n Nella versione Eurocodice 2 (DAN)n à dovrà seguire la Sezione III della Parte I.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite34/217

Azioni di calcolo

n Le verifiche debbono essere condotte nei riguardi degli stati limite di esercizio (SLE) e degli stati limite ultimi (SLU)

n Le combinazioni delle azioni da considerare per tutti le verifiche agli SL (versione “nazionale” ed Eurocodici) sono specificate nel paragrafo 7.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite35/217

Vita utile di progetto

100Ponti, edifici monumentali

50Edifici

15 – 30Strutture agricole et similia

10 – 25 Parti sostituibili (es. appoggi)

10Strutture temporanee

Anni (indicativo)Categorie

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite36/217

Gli Stati Limite

n Definizione di Stato Limiten La struttura o una sua parte non può più svolgere

le funzioni per cui è stata progettata

n Due categorie:n Stati Limite Ultimi (SLU)

n Corrispondenti al valore estremo della capacità portante o comunque al raggiungimento di condizioni estreme

n Stati Limite di Esercizio (SLE)n Legati alle esigenze di impiego normale e di durata.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite37/217

Gli Stati Limite Ultimi

n Sono gli Stati Limite che riguardano:n La sicurezza delle personen La sicurezza della strutturan La sicurezza del contenuto (in alcuni casi)

n Gli SL da verificare riguardano:n Perdita di equilibrio della struttura o di parte di

essa, come corpo rigidon Rottura, deformazione eccessiva, trasformazione

in meccanismo, perdita di stabilitàn Rottura per fatica.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite38/217

Gli Stati Limite di Esercizio

n Sono gli Stati Limite che riguardano:n Il funzionamento della strutturan Il comfort delle personen L’apparenza del costruito (deformazioni, fessure)

n Gli SL da verificare riguardano:n Deformazioni eccessiven Fessurazioni premature o eccessiven Degrado o corrosionen Vibrazioni eccessive.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite39/217

Progetto agli SL

n Il progetto si basa sull’uso di modellin della strutturan dei carichi

n Nessuno SL è superato quando si usano in questi modelli i valori opportuni di:n Azionin Proprietà dei materiali e dei prodottin Dati geometrici

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite40/217

Soddisfacimento dei requisiti

n I requisiti vengono soddisfatti attraverso l’uso del metodo dei coefficienti parziali γ

n Il metodo preveden L’introduzione dei «valori caratteristici»n La trasformazione dei valori caratteristici in

«valori di calcolo» adeguati allo SL considerato, mediante l'applicazione di coefficienti parziali γm o γf

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite41/217

I coefficienti parziali

n Le resistenze di calcolo dei materiali si ottengono dividendo le resistenze caratteristiche per i coefficienti γm (>1)

n Le azioni di calcolo si ottengono moltiplicando le azioni caratteristiche per i coefficienti γf

n >1 o � 1 a seconda che il contributo dell'azione diminuisca o aumenti la sicurezza

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite42/217

Variabili di base

n Azionin Classificazionen Valori caratteristicin Altri valori rappresentativi delle azioni

variabili

n Proprietà dei materiali e dei prodottin Dati geometrici

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite43/217

Classificazione delle azioni

n In base alla variazione nel tempo, si definiscono azioni:n Permanenti (G)

n Pesi propri, macchinari fissi, azioni indirette causate da ritiro e cedimenti differenziali

n Variabili (Q)n Carichi ai piani degli edifici, vento, neve

n Eccezionali (Qex)n Uragani, urti di veicoli, esplosioni

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite44/217

Azioni (F) e Sollecitazioni (S)

n Azione Fn ogni causa (carichi permanenti, carichi variabili,

deformazioni impresse, agenti chimico-fisici...) capaci di indurre stati limite in una struttura

n Sollecitazione Sn ogni effetto interno (forza normale, momento

flettente, forza di taglio, ecc.) che, a causa delle azioni, si determina nella struttura

n più in generale si potranno indicare con «S» anche deformazioni, aperture di fessure, ecc.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite45/217

Tipi di azioni

n Per determinare S, si considerano le F :n Dirette (forze)

n Carichi permanenti (peso proprio e carichi fissi)n Carichi variabili (carichi di servizio, neve, vento,

sisma, spinta delle terre, forze dinamiche, ecc.)

n Indirette (deformazioni impresse)n variazioni termiche, ritiro, pre-tensione,

spostamenti di vincoli, difetti di montaggio, ecc.

n Chimico-fisichen Agenti aggressivi, umidità, gelo, materiali nocivi

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite46/217

Carichi variabili per edifici

� 6,00Archivi, biblioteche, magazzini, depositi, laboratori, officine e simili

2,50Rimesse e parcheggi (fino 30 kN/vettura)

0,50Coperture non accessibili

1,00Sottotetti accessibili

4,00Balconi, ballatoi e scale comuni

5,00Sale da ballo, palestre, tribune libere, aree di vendita con esposizione diffusa

4,00Ambienti suscettibili di grande affollamento

3,00Ambienti suscettibili di affollamento

2,00Ambienti non suscettibili di affollamento

kN/m2TIPO DI LOCALE

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite47/217

Altri valori rappresentativi delle azioni variabili

n Valore di combinazione: Ψ0 Qk

n Per la verifica SLU o SLE irreversibili

n Valore frequente: Ψ1 Qk

n Per la verifica di SLE reversibili

n Valore quasi permanente: Ψ2 Qk

n Per la verifica di SLE reversibili

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite48/217

I coefficienti Ψ

00,20,7Vento, neve

0,60,70,7autorimesse

0,30,60,7uffici, negozi, scuole, ecc.

0,20,50,7abitazioni

Carichi variabili nei fabbricati per:

ΨΨ 2ΨΨ 1ΨΨ 0Azione

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite49/217

Valore di calcolo delle azioni

n Il valore di calcolo è dato da:Fd = γf Frep

n Con: Frep = Ψ Fk

n Dove:n Fk = valore caratteristico dell’azionen Frep = valore rappresentativo dell’azionen γf = fattore parziale per l’azione che considera la

possibilità di deviazioni sfavorevoli dell’azione dai valori rappresentativi

n Ψ = 1,00 oppure Ψ0, Ψ1 o Ψ2

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite50/217

Combinazioni (SLU)

n Per gli SLU si adottano le combinazioni:

])([2

01 ∑=

=

Ψ+γ+γ+γ=ni

iikikqkpkgd QQPGF

essendo:Gk il valore caratteristico delle azioni permanentiPk il valore caratteristico della forza di precompressioneQ1k il valore caratteristico dell'azione di base di ogni combinazioneQik i valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendentiγg = 1,4 (1,0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)γp = 0,9 (1,2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza)γq = 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)Ψ0i = coefficiente di combinazione allo SLU.

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite51/217

Combinazioni (SLE)

n Per gli SLE si adottano le combinazioni:n Rare

n Frequenti

n Quasi permanenti

∑=

=

Ψ+++=ni

iikikkkd QQPGF

201 )(

Ψ1 = definisce i frattili 95% delle distribuzioni dei valori istantaneiΨ2 = definisce i frattili 50% delle distribuzioni dei valori istantanei

∑=

=

Ψ+Ψ++=ni

iikikkkd QQPGF

22111 )(

∑=

=

Ψ++=ni

iikikkd QPGF

12 )(

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite52/217

Azioni eccezionali

n Si combinano solo con i carichi di carattere permanente

exexdkkd QQGF γ++=

in cui:Qdk la frazione dei carichi variabili caratteristici con durata di

applicazione >30 giorni all'annoQex il valore nominale dell'azione eccezionale considerataγex = 1,0 ÷ 1,5 in relazione all’importanza dei danni cui

potrebbe dar luogo il superamento dello SL considerato