ii. a következtetési statisztika alapfogalmai · néhány szakmai kérdés jobb-e a lányok...

II. A következtetési statisztika alapfogalmai

Tartalom

Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai próbák Normalitásvizsgálat

Kockázás

10-szer dobunk 3 kockával.

Partnerem 10-ből 8-szor csupa 6-ost dob.

Milyen következtetést vonsz le ennek alapján?

Néhány szakmai kérdés

Jobb-e a lányok verbális intelligenciája, mint a fiúké? Ha igen, mennyivel?

Hatásos-e egy bizonyos kezelés az anorexia gyógyításában? Ha igen, milyen mértékben?

Van-e kapcsolat a szülők jövedelme és a pszichológia szakra vonatkozó felvételi pontszám között? Ha igen, milyen szoros?

Kiknek jobb a verbális memóriája, a fiúknak, vagy a lányoknak?

A statisztikai következtetések

Mindig a populációkra vonatkoznak, a belőlük kiválasztott véletlen minták alapján.

Emiatt a hibázás lehetőségét sose lehet kizárni.

De: jó módszerekkel a hiba nagyságát (esélyét) kontroll alatt tarthatjuk.

Mikor lesznek jók (érvényesek, megbízhatók)

a statisztikai következtetések?

Ha a minták jól képviselik populációjukat (reprezentativitás).

Ha a következtetési technikák - becslési eljárások, statisztikai próbák jók (helyes módszerválasztás).

Mivel lehet a minta reprezentativitását biztosítani?

Ha a kiválasztás véletlenszerű Ezzel kizárjuk a szubjektivitást.

Ha a minta elég nagy Ezzel lehetővé tesszük, hogy a populáció

sokszínűsége a mintában is megjelenjen.

Hogyan lehet valódi véletlen mintát venni a populációból?

Némi véletlenszerűséget könnyű alkalmazni, de a szubjektivitást nehéz kizárni.

Az önmagában nem elég, hogy a minta nagy: USA elnökválasztás, 1936: Roosevelt versus

Landon. A Literary Digest folyóirat 2,4 millió kérdőív

feldolgozása alapján Landon nagyarányú győzelmét jósolta.

Ezzel szemben Roosevelt 62%-ot kapott és nyert. A Gallup kisebb, de jó minta alapján helyes becslést

adott.

Néhány jó tanács a megfelelő minta kiválasztásához

Minden olyan réteg arányosan képviselve legyen, amelyik a populációhoz tartozik.

Hólabda módszer (ismerős ismerősének az ismerőse).

A kényelmi és hozzáférhetőségi alapon összeállított minták (pl. egyetemisták) esetlegesek.

Az ideálistól eltérő mintaválasztást hibafaktorként számítsuk be a döntés bizonytalanságába.

Ha összeállt a minta, töprengjünk el azon, hogy az milyen populációt képvisel. (Pl. a jelen évfolyam?)

A valószínűségi döntés véletlen jellege

Az egyik urnából véletlenszerűen kiveszek egy golyót. Látjuk, hogy piros. Melyik urnából vettem ki?

A valószínűségi döntés véletlen jellege

Bárhogyan is döntök, nem lehetek teljesen biztos abban, hogy a döntésem helyes, vagyis hogy nem követek el hibát.

Ha piros golyót húzva a bal oldali urnát valószínűsítem, 2/3 az esélye, hogy igazam van, de 1/3 az esélye, hogy tévedek.

Sárga húzás esetén?

Példa: a depresszió két kezelési típusának összehasonlítása

Melyik a jobb kezelés?1. Placebo (napi 3x1, 3 hónapig)

2. Pszichoterápia (heti 3x1 óra, 3 hónapig)

Gyógyulók %-a

1. 2. 3. 4. 5.

Placebo 0 30 30 30 10

Pszicho-terápia 90 60 80 90 70

Következtetés

Melyik esetben jelenthetjük ki legalább 95%-os megbízhatósággal, hogy a pszichoterápia hatásosabb a placebónál?

1. 2. 3. 4. 5.

Placebo 0 30 30 30 10

Pszicho-terápia 90 60 80 90 70

Gyógyulók %-a

A STATISZTIKA RENDSZERE

LEÍRÓ STATISZTIKA

PONT-BECSLÉS

INTERVALLUM-BECSLÉS

BECSLÉS HIPOTÉZIS-VIZSGÁLAT

KÖVETKEZTETÉSISTATISZTIKA

STATISZTIKA

Következtetési statisztika két fő típusa

Becslés (Mekkora? Milyen nagy?) Pontbecslés (kb. 10,6 1,3) Intervallumbecslés (95%-os

megbízhatósággal 7,8 és 12,5 között)

Hipotézisvizsgálat (Igaz-e, hogy …?)

Statisztikai hipotézisvizsgálat

Van-e különbség az emlékezeti teljesítményátlag tekintetében a magyar pszichológus hallgató fiúk és lányok között?

Nullhipotézis (H0): nincs különbség

Ellenhipotézis (HA): van különbség a) A fiúk jobbak b) A lányok jobbak

Statisztikai becslés

Mi a teljesítményátlaga a 10 szavas memóriajátékban az összes magyar pszichológus hallgatónak?

Kb. mekkora egy egészséges felnőtt nő szisztolés vérnyomása?

Átlagosan hány próbálkozással tanul meg egy ivarérett patkány egy adott útvesztőt?

Mit szoktak becsülni?

Populációátlag (elméleti átlag: μ, E(X)) Populációmedián (elméleti medián: Med(X)) Populációszórás (elméleti szórás: , D(X)) Elméleti variancia (2, Var(X))

Két elméleti átlag különbsége (μ1 – μ2)

Általában a populációk különféle kvantitatív jellemzőit szokták becsülni

Az elméleti átlag pontbecslése konkrét példával illusztrálva

Változó: félév végi statisztika vizsgajegy Populáció: I. éves pszichológus hallgatók Egy lehetséges véletlen minta (rendezve):

{2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5} Néhány szóba jöhető pontbecslés az elméleti

átlagra: Módusz: Mo = 5 Medián: M = 4,5 Terjedelemközép: TK = (Min + Max)/2 = 3,5 Átlag: x = 41/10 = 4,1

Pontbecslés a μ elméleti átlagra

Következtetés: mintából a populációra. Mi van olyan a mintában, aminek köze van

(lehet) a populációátlaghoz? Becslés jelölése: a kalap (^) szimbólummal. Az elméleti átlag egy pontbecslése a

mintaátlag:

μ = x

A pontbecslésről

Amit becsülünk (pl. μ, �stb.), az egy konkrét szám.

Amivel becsülünk (mintaátlag, TK stb.), egy véletlen minta statisztikai mutatója, véletlen változó, melynek értéke a minta kiválasztása után lesz csak ismert.

6789

1011121314

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

véletlen minták

10 véletlen minta átlaga: μ = ?

Hogyan mérhető a pontbecslés jósága (pontatlansága)?

Standard hiba (SH): körülbelül ennyit tévedünk

μ ≈ x SH Példa: ROPstat, részletesebb

statisztikák

μ = 100, = 15, normális eloszlás

� � �

Demonstráció

Excel segítségével vegyünk több véletlen mintát az előző eloszlásból! (Lásd „IQ_9.xls” Excel fájl)

Számítsuk ki az átlagukat (pontbecslés)! Nézzük meg, hogy mennyire pontosak!

GYAK

A pontbecslés standard hibája: SH

Hibavariancia = átlagos négyzetes eltérés a valódi értéktől

Standard hiba (SH) = Hibavariancia négyzetgyöke Egyfajta átlagos eltérés

Mit várunk el egy jó pontbecsléstől?

Ne torzítson szisztematikusan se pozitív, se

negatív irányban (torzítatlanság)

SH-ja legyen kisebb, mint a többi becslésé

(hatékonyság)

SH-ja az elemszám növelésével csökkenjen

és tartson 0-hoz (konzisztencia)

A mintaátlag standard hibájának meghatározása

Elméleti SH = /

Mintabeli SH = s/

Mi itt a „” és mi az „s”?

Ha X = IQ, � � � � � � n = 25, SH = ?

Mekkora elemszámnál lesz SH

1-nél kisebb?

n

n

GYAK

Miért jó becslése a mintaátlag a populációátlagnak?

A véletlen minta átlaga a populációátlag

körül ingadozik (torzítatlanság)

A mintaátlag SH-ja az elemszám

növelésével csökken (konzisztencia)

A mintaátlag SH-ja sok esetben (pl. normális

eloszlású változók esetén) kisebb, mint más

pontbecsléseké (mediáné, TK-é stb.)

ROPstat illusztráció

Minta 500 véletlenszerűen kiválasztott gyerek (antr500.msw)

Változók: testsúly és testmagasság (testhossz) születéskor és 10 éves korban

Statisztikai elemzés: ROPstatban részletesebb statisztikák

GYAK

Intervallumbecslés

Definíció: Olyan intervallum (szakasz,

övezet), mely nagy megbízhatósággal

tartalmazza a becsülni kívánt értéket.

Intervallumbecslésaz elméleti átlagra

X-skála

x

• Vegyünk alkalmas övezetet a mintaátlag körül!• Milyen övezet lesz jó?• Ha nagyon szűk, könnyen kívül maradhat.• Ha nagyon tág (pl. 0-1000): semmitmondó állítás.

Szokásos kritérium

Olyan övezetet vegyünk a mintaátlag körül, amelyik nagy (90 vagy 95%-os) eséllyel tartalmazza az elméleti átlagot (azaz -t).

Ennek az övezetnek (intervallumnak) a neve: 90, illetve 95%-os konfidencia-intervallum.

Jelölés: C0,90, illetve C0,95.

A konfidencia-intervallummeghatározása

X-skála

x

2SH

C0,95 2SH

95%-os konfidencia-intervallum nagy minták esetén:

2SH

x

Egy következmény

Minél nagyobb az elemszám, annál keskenyebb lesz rögzített (pl. 90 vagy 95%-os) megbízhatósági szinten a konfidencia-intervallum, vagyis annál jobb lesz az intervallumbecslés.

SH = / n

Egy példa

Tegyük fel, hogy a MAWI-IQ az egyetemihallgatók populációjában közel normáliseloszlású, szórása 15, de a populációátlagotnem ismerjük. • Egy véletlen 25 fős mintában az átlag 110. • Mekkora lehet a populációátlag?

C0,95 110± ·SE � � 110 ± 2· � � � � � � � � � � � � � ± · � � � � � �

n

GYAK

Konklúziók

95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, hogy az elméleti átlag valahol 104 és 116 között van.

Következmény:- Az elméleti átlag legalább 95%-os megbízhatósággal 104-nél nem kisebb.- Az elméleti átlag legalább 95%-os megbízhatósággal 116-nál nem nagyobb.

C0,95

Statisztikai hipotézisvizsgálat

Igen-nem segítségével megválaszolható kérdések

1. Pszichológus egyetemi hallgatók IQ-ja nagyobb-e az átlagosnál?

2. Van-e különbség férfiak és nők verbális intelligenciaszintje között?

3. Van-e kapcsolat az emberek érzelmi intelligenciája és kreativitása között?

A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az előző dia 1. kérdésével

szemléltetve1. Szakmai feltételezés: az egyetemi hallgatók IQ-

ja nagyobb az átlagosnál.

2. Szakmai hipotézis formulával:

E(IQ) > 100.

3. Statisztikai nullhipotézis:

E(IQ) = 100.

4. Indirekt gondolatmenet: a szakmai hipotézis igazolása a nullhipotézis elutasításával történik.

10 véletlenszerűen kiválasztott egyetemi hallgató

IQ-ja

117, 137, 152, 149, 110, 135, 108, 120, 127, 127

E(IQ) = 100 esetén mi a valószínűsége, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott hallgató mindegyikének 100-nál nagyobb lesz az IQ-ja?

p = 1/210 = 1/1024 ≈ 0,001

Vagyis:

Ha igaz az a nullhipotézis, hogy az egyetemi hallgatók átlagos IQ-júak, akkor igen kicsi (p < 0,001) annak a valószínűsége, hogy ilyen nagy (csupa 100-nál nagyobb) adatokat kapjunk 10 megfigyelésből.

A statisztikai hipotézisvizsgálat alapgondolata

Ha a minta, illetve a mintából kiszámított

valamely mutató értéke a nullhipotézis (H0)

fennállása esetén igen kis valószínűségű, akkor a nullhipotézist elutasítjuk.

A statisztikai próba p-értéke

Mi a valószínűsége, hogy a

nullhipotézis (H0) fennállása esetén

ilyen, vagy ennél szélsőségesebb legyen a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke?

A szélsőségesség kétirányú

100-nál nagyobb

IQ

100-nál kisebb

IQ

Egy-oldalú

p

Két-oldalú

pEllentmond

H0-nak?

10 0 0,001 0,002 IGEN

9 1 0,011 0,022 IGEN

8 2 0,055 0,110 NEM

7 3 0,172 0,344 NEM

Mi is itt a nullhipotézis?

A próba neve: előjelpróba

Nullhipotézis: H0: E(IQ) = 100 Az IQ elméleti átlaga 100-zal egyenlő

Ekvivalens nullhipotézis normális eloszlású változók esetén:

H0: P(IQ < 100) = P(IQ > 100) A populációban ugyanolyan gyakran fordul elő

100-nál kisebb, mint 100-nál nagyobb IQ-érték Ez az előjelpróba szokásos alakú nullhipotézise Döntés az elemszám alapján statisztika táblázat

segítségével (lásd tankönyv)

A statisztikai döntés logikája

• Miért érezzük úgy, hogy 10-0 vagy 0-10

esetén elutasítható a nullhipotézis (H0)?

• Miért érezzük 10 egymás utáni fej dobás után azt, hogy a pénzérme szabályosságát

állító H0 elutasítható?

• Ha ilyen esetben H0-t elvetjük, mi az esélye

annak, hogy hibásan döntünk? • Ha elméletileg lehetséges ilyen sorozat, akkor miért lepődünk meg, ha bekövetkezik?

Eddig mit néztünka mintában?

Azt, hogy hány 100-nál nagyobb és hány 100-nál kisebb IQ-érték van.

Van más mutató is, ami mond valamit a nullhipotézis (H0) valószínűségéről?

SHtap100taátlagmint

Egy másik lehetséges mutató: t-statisztika

(100: a feltételezett elméleti átlag)

Próbastatisztika

A t-statisztikát és a statisztikai hipotézisvizsgálatokhoz használt hasonló – mintából kiszámított – mutatókat próbastatisztikáknak nevezzük.

Ha H0: μ = 100 igaz, akkor t eloszlása n = 10 esetén

t

� � � �

-2,26 2,260

Hogyan döntsünk különböző t-értékekre n = 10 esetén?

t

-2,26 2,26

t = -2,50 t = 4,60t = 0,41

0

Széli p-értékek kétirányú döntésnél

t-érték t-értékhez tartozószéli p-érték (2 old.)

Ellentmond H0-nak?

-2,50 0,034 IGEN

-2,26 0,050 IGEN

0,41 0,691 NEM

2,26 0,050 IGEN

4,60 0,001 IGEN***

Döntés H0-ról n = 10 esetén

t

-2,26 2,26

t = -2,50 t = 4,60t = 0,41

Kritikustartomány

Kritikustartomány

Megtartásitartomány

A H0-ról szóló döntés logikája

Hova esik a t-érték?

Széli p A t-érték megítélése

Megtartási tartomány

Nem kicsi (> 0,05)

Nem mond ellent eléggé H0-nak

Kritikus tartomány

Kicsi (≤ 0,05)

Nagyon ellentmond H0-nak

Széli p = H0 jogtalan elutasításának (I. fajta hiba) valószínűsége

Az előjelpróba és az egymintás t-próba nullhipotézise

‘A’: az X változó hipotetikus nagyságszintje

Előjelpróba: H0: P(X < A) = P(X > A)

Az X változó esetében ugyanolyan gyakran fordul elő A-nál kisebb, mint A-nál nagyobb érték

Egymintás t-próba: H0: E(X) = A

Az X változó elméleti átlaga A-val egyenlő

Az előjelpróba és az egymintást-próba alkalmazási feltételei

Előjelpróba: nincs, de kis minták esetén a próba kevéssé hatékony

Egymintás t-próba: X változó normalitása Mennyire fontos ez? Ha a minta nagyon kicsi (n < 20): fontos Ha a minta elég nagy (n > 50): nem igazán fontos

Az egymintás t-próba robusztus változatai

Mit tegyünk, ha erősen sérül az X változó normalitási feltétele?

Léteznek olyan próbák, amelyek a normalitás megsértésére kevésbé érzékenyek: robusztus alternatívák Lásd ROPstat, illetve tankönyv

Szokásos statisztikai szóhasználat

p < 0,05 (szignifikancia)

• H0-t 5%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk• a próba 5%-os szinten szignifikáns

p < 0,01 (erős szignifikancia)

• H0-t 1%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk• a próba 1%-os szinten szignifikáns

p < 0,10 (tendencia)• H0-t 5%-os szinten nem utasíthatjuk el• a próba 5%-os szinten nem szignifikáns• csak egy tendencia van arra, hogy H0 nem igaz

Normalitásvizsgálat (n = 500)

Változó Átlag St.hiba

Ferdeség

Csúcsos-ság

Szülsúly 3,21 0,0223 -0,331** 0,858***

Szülhosz 50,15 0,113 -0,352** 1,097***

Súly10 33,23 0,305 1,221*** 1,992***

Tmag10 138,7 0,288 0,198 0,278

Jelölés: *: p < 0,05 **: p < 0,01 ***: p < 0,001

GYAK