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I sistemi di numerazione

Struttura

Un sistema di numerazione è formato

• da un insieme di simboli, utilizzati per rappresentare i numeri,

• da un insieme di regole

– per la scrittura

– per la lettura dei numeri stessi

Sistemi additivi

• I sistemi arcaici erano solitamente di tipo additivo.

• Nei sistemi additivi il numero rappresentato era dato dalla somma dei valori costante dei simboli.

• Erano di questo tipo il sistema di numerazione egiziano, quello greco e quello romano.

• I sistemi additivi presentano lo svantaggio di richiedere sempre nuovi simboli, mano a mano che i numeri diventano più grandi. Comportavano, inoltre, difficoltà nel calcolo.

Sistema Romano

• I simboli utilizzati dal sistema di numerazione romano sono:

• I simboli I - X - C si possono ripetere fino a tre volte e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli impiegati: CLVIII = 100+50+5+1+1+1 = 158

• Per non introdurre una quarta ripetizione, si deve sottrarre un simbolo:XL=40 (significa che tolgo 10 da 50)

• I primi tre multipli dei simboli base I, X, C e M, si ottengono ripetendo i simboli al massimo per sole tre volte.

• I simboli V, L e D, non si possono mai ripetere. • Il numero più alto che si può scrivere, seguendo queste regole è 3999. • Per moltiplicare per 1.000 il valore di un numero si pone sopra il simbolo una linea• Per moltiplicare un numero per 1.000.000, oltre alla linea superiore si aggiungono

due linee verticali |¯| così da incorniciarlo (un milione di volte più grande).

Esempi Sistema Romano

• VIII = 3+1+1+1 = 8

• XII = 10+1+1 = 12

• LV = 50+5 = 55

• CLVIII = 100+50+5+1+1+1 = 158

• IX = 10 – 1 = 9

• CD = 500-100 = 400

• CMLIX = (1000-100)+50+(10-1) = 959

Mettiti alla prova

• 12

• 31

• 27

• 29

• 54

• 71

• 123

• 92

• 89

• 345

• 459

• 998

• 1.469

• 10.200

Sistema egiziano

• Il sistema di numerazione egiziano è nato circa quattromila anni or sono. Oggi è obsoleto ma è tra i più elaborati tra quelli antichi. Erano disponibili sia la versione con i geroglifici sia la versione in ieratico (la grafia usata dagli scribi).

• Il sistema comprendeva solo sette simboli, ognuno di questi era un multiplo di dieci, e la logica era di tipo additivo.

Esempi sistema egiziano

• Simboli usati:

• Esempio:

Mettiti alla prova

• 12

• 31

• 27

• 29

• 54

• 71

• 123

• 111

• 3.410

• 2.721

• 1.009

• 10.010

• 71.040

• 123.000

Sistemi posizionali

• I sistemi di tipo posizionale, attribuiscono ai simboli, utilizzati per rappresentare un numero, un significato diverso in base alla loro posizione.

• Si passa da una posizione all’altra formando gruppi successivi di unità, dette ordini. Le unità che servono a formare un’unità di ordine superiore costituiscono la base di un sistema di numerazione posizionale.

Sistema di numerazione decimale

• Il sistema di numerazione da noi usato è detto decimale ed è di tipo posizionale.

• I simboli del nostro sistema di numerazione sono detti cifre.

• Il sistema è detto decimale perché ha dieci simboli.

• È in base dieci perché servono dieci unità di un ordine per formare un’unità dell’ordine successivo.

Cifre e loro valore

• Le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 sono utilizzate per scrivere i numeri nel sistema di numerazione decimale. Usando questi simboli è possibile comporre qualsiasi numero.

• In un numero, ogni cifra ha un suo valore caratteristico– valore assoluto, legato al simbolo

– valore relativo, dipende dalla posizione occupata dalla cifra nel numero

Scrittura polinomiale

• La scrittura polinomiale di un numero è l’espressione data dalla somma dei valori assoluti delle cifre per il loro peso.

Mettiti alla prova

• Scrivi un numero e usa l’abaco correttamente.

unitàmigliaiamilionimiliardi

Classi e ordini

• In un numero, ogni cifra occupa un ordine diverso. Gli ordini si numerano da destra verso sinistra.

• Per leggere e scrivere i numeri, i diversi ordini sono stati raggruppati di tre in tre (unità, decine e centinaia), a formare le classi.

• Le classi assumono nomi particolari (unità, migliaia, milioni e miliardi).

Cardinali e ordinali

• I numeri cardinali, indicati in cifre e in lettere sono usati per indicare la quantità di un gruppo di elementi.

• I numeri ordinali, indicati in lettere o numeri romani, indicano l’ordine o la posizione assunta da un elemento in una sequenza.

• L’aritmetica si occupa solamente dei numeri cardinali.

Ancora numeri

• moltiplicativi(doppio, triplo, …)

• distributivi(uno a uno, due a due, …)

• frazionari(uno su uno, due su due, ...)

• collettivi(ambedue, terno, quartetto, ottetto …).

Numeri decimali

• Le unità intere possono essere ulteriormente suddivise in parti tra loro uguali. Nel sistema di numerazione decimale ogni unità può essere suddivisa in dieci parti.

• Suddividendo un’unità intera in dieci parti uguali ognuna di queste rappresenterà un decimo, un’unità decimale di primo ordine. Se questa è ulteriormente suddivisa in altre dieci parti uguali, ognuna di queste rappresenterà dell’unità di partenza un centesimo, unità decimale di secondo ordine.

• Operando in questo modo si ottengono le unità decimali dei vari ordini.

• Un numero decimale è costituito da una parte intera e da una parte decimale propriamente detta.

Decimali

• Il separatore decimale usato in matematica è la virgola. Nei paesi anglosassoni e nei sistemi di calcolo e di programmazione la virgola è sostituita dal punto decimale.

• Gli zeri che seguono l’ultima cifra decimale e quelli che eventualmente anteposti alla parte intera sono ininfluenti e detti anche zeri non significativi, questi possono essere tralasciati nella scrittura del numero.

Mettiti alla prova

• Scrivi un numero e usa l’abaco correttamente.

parte intera parte decimale

unitàmigliaiamilioni

Altri sistemi di numerazione

• Binario

– base 2

– 0,1

• Ottale

– base 8

– 0,1,2,3,4,5,6,7

• Esadecimale

– base 16

– 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f

Credit UbiMath

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