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histoires d’arithmétique

Les comptes du généralrestes chinois et pulvérisateur indien

hist-math.fr Bernard Ycart

Han Xin (ca. 230–196 av. J.C.)

Han Xin (ca. 230–196 av. J.C.)

quatre à cinq cents soldats moururentHan Xin (ca. 230–196 av. J.C.)

il reste 1049 soldatsHan Xin (ca. 230–196 av. J.C.)

Sun Zi (ca. 544–496 av. JC)l’Art de la Guerre

Sun Zi (ca 400-460)Sun Zi Suan Jing

Combien y a-t-il d’objets ?Sun Zi Suan Jing (ca. 450)

Soit des objets dont on ignore le nombre. En les comptant 3 par3 il en reste 2 ; en les comptant 5 par 5, il en reste 3 et en lescomptant 7 par 7, il en reste 2. Combien y a-t-il d’objets ?

d’où la réponseSun Zi Suan Jing (ca. 450)

Règle : « En comptant par 3, il en reste 2 » : poser 140 ; « Encomptant par 5, il en reste 3 » : poser 63 ; « En comptant par 7, ilen reste 2 » : poser 30. Faire la somme de ces 3 nombres, obtenir233. Soustraire 210 de ce total, d’où la réponse.

Yang Hui (ca 1238–1298)Yang Hui Suan Fa

le nombre d’ouvriers est inconnuYang Hui Suan Fa (ca 1270)

Le nombre d’ouvriers est inconnu. Quand on les paye, on observeles variations suivantes. Quand on donne un chin de viande par 3ouvriers il y a un reste fractionnaire de 5 liang 8 chu (c’est-à-direun reste de deux ouvriers) . Quand on donne un huan poour cinqhommes, il y a un reste fractionnaire de 400 wên (c’est-à-dire unreste de trois hommes) ; quand on donne un t’o de vin pour 7hommes, il n’y a pas de reste. Trouve le nombre des ouvriers etle total de ce qui leur a été payé.

Aryabhat.a (476–550)

Aryabhat.ıya (499)Aryabhat.a (476–550)

Diviser le diviseur du plus grand reste par le diviseur du plus petit.La division mutuelle par le reste est poursuivie. Le dernier reste,ayant une quantité intelligente pour multiplicateur, est augmentéeou diminuées par la différence des restes initiaux et divisée par ledernier diviseur.[. . . ]

ax− by = ±c .

Brahmagupta (ca. 598–665)

Brahmasphut.asiddhanta (628)Brahmagupta (ca. 598–665)

les jours des cycles planétairesBrahmagupta, Brahmasphut.asiddhanta (628)

Celui qui trouve le cycle pour deux, trois, quatre ou plus de pla-nètes, à partir des temps écoulés de ces planètes, connaît la mé-thode du pulvérisateur.

Les jours des cycles planétaires du soleil et des autres sont : soleil1096, lune 137, Mars 685 ; Mercure et Vénus 1096 ; Jupiter 10960 ;Saturne 10960 ; apogée 2740 ; nœud 5480.

Quel nombre, divisé par six. . .Brahmagupta, Brahmasphut.asiddhanta (628)

Quel nombre divisé par six, a un reste de cinq ; et divisé par cinqa un reste de quatre ; et par quatre, un reste de trois ; et par trois,un reste de deux ?

Mahavıracharyaixe siècle

les branches ployaient sous le poids des fruitsMahavıra, Ganita-sara-sangraha, ca. 850

À l’orée lumineuse et rafraichissante d’une forêt, il y avait denombreux arbres, dont les branches ployaient sous le poids desfleurs et des fruits ; des arbres tels que des Jambus, des bananiersplantains, des grenadiers, [. . . ] et des manguiers. Les différentesparties de la forêt bruissaient des chants des perroquets et descoucous que l’on trouvait près de sources ornées de lotus environ-nés d’abeilles vrombissantes.

Un groupe de voyageurs épuisés pénétra dans cette forêt avecdélice.

63 tas de bananes plantainMahavıra, Ganita-sara-sangraha, ca. 850

Il y avait 63 tas de bananes plantain avec 7 fruits restants ; ilsfurent partagés parmi les 23 voyageurs sans qu’il y ait de reste.Dis-moi combien y avait-il de bananes dans un tas.

À nouveau, avec 12 tas de grenades plus 5 fruits, distribués demême entre 19 voyageurs, donne la mesure d’un tas.

Un voyageur voit des tas de mangues, et fait 31 tas moins 3 fruits ;quand ces 31 tas sont divisés équitablement entre 73 hommes, iln’y a pas de reste.

des tas de JambusMahavıra, Ganita-sara-sangraha, ca. 850

combien il y avait de loüisOzanam, Récréations Mathématiques et Physiques (1694)

la part du cuisinier

Dix-sept pirates s’emparent d’un lot de pièces d’or toutes iden-tiques. Leur loi exige un partage à égalité : chacun doit recevoir lemême nombre de pièces d’or et, s’il en reste, elles sont attribuéesau cuisinier de bord. Dans le cas présent, la part du cuisinier se-rait de trois pièces, mais les pirates se querellent et six d’entreeux sont tués, ce qui porte la part du cuisinier à quatre pièces.

c’est la plus petite des solutions

références

D. Daumas, M. Guillemot, O. Keller, R. Mizrahi, M. Spiesser(2011) Le théorème des restes chinois. Textes, commentaireset activités pour l’arithmétique au lycée, Toulouse : IREMA. Keller (2006) Expounding the mathematical seed, 2 vol.,Basel : BirkhäuserL. Y. Lam (1973) A critical study of the Yang Hui Suan Fa,Singapore : University PressU. Libbrecht (1973) Chinese mathematics in the thirteen cen-tury, Cambridge (MA) : MIT PressJ.-C. Martzloff (1988) Histoire des mathématiques chinoises,Paris : Masson