hierarchical model-based clustering of large datasets through fractionation and refractionation
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Jeremy Tantrum, Department of Statistics,
University of Washington
joint work with
Alejandro Murua & Werner StuetzleInsightful Corporation University of Washington
This work has been supported by NSA grant 62-1942
Hierarchical Model-Based Clustering of Large Datasets Through Fractionation and
Refractionation
Motivating Example
• Consider clustering documents• Topic Detection and Tracking corpus
• 15,863 news stories for one year from Reuters and CNN• 25,000 unique words• Possibly many topics
• Large numbers of observations• High dimensions• Many groups
Goal of Clustering
40 45 50 55
7476
7880
8284
Detect that there are 5 or 6 groupsAssign Observations to groups
NonParametric Clustering
Premise: • Observations are sampled from a density p(x) • Groups correspond to modes of p(x)
-10 -5 0 5 10
0.0
0.05
0.10
0.15
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NonParametric Clustering
Fitting: Estimate p(x) nonparametrically and find significant modes of the estimate
-10 -5 0 5 10
0.0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
| | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| | ||||||||||| |||||| || || |||||||||| |||||||| |||| ||| | | | | | |||||||||| ||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ||
-10 -5 0 5 10
0.0
0.05
0.10
0.15
| | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| | ||||||||||| |||||| || || |||||||||| |||||||| |||| ||| | | | | | |||||||||| ||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ||
Model Based Clustering
Premise: • Observations are sampled from a mixture density p(x) = g pg(x)• Groups correspond to mixture components
Model Based Clustering
-10 -5 0 5 10
0.0
0.05
0.10
0.15
| | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||||| |||||| || || |||||||||| |||||||| |||| ||| | | | | | |||||||||| ||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ||
Fitting: Estimate g and parameters of pg(x)
Model Based Clustering
Fitting a Mixture of Gaussians • Use the EM algorithm to maximize the log
likelihood– Estimates the probabilities of each observation
belonging to each group– Maximizes likelihood given these probabilites
– Requires a good starting point
Model Based Clustering
Hierarchical Clustering• Provides a good starting point for EM
algorithm• Start with every point being it’s own cluster• Merge the two closest clusters
– Measured by the decrease in likelihood when those two clusters are merged
– Uses the Classification Likelihood – not the Mixture Likelihood
• Algorithm is quadratic in the number of observations
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p1(x)p2(x)
p (x)
Merge gives small decrease in likelihood
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Merge gives big decrease in likelihood
Likelihood Distance
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p1(x) p2(x)
p (x)
Bayesian Information Criterion
• Choose number of clusters by maximizing the Bayesian Information Criterion
– r is the number of parameters– n is the number of observations
• Log likelihood penalized for complexity
Fractionation
Original Data – size n
n/M fractions of size M
If n >M
M is the largest number of observations for which a hierarchical O(M2) algorithm is computationally feasible
Invented by Cutting, Karger, Pederson and Tukey for nonparametric clustering of large datasets.
n clusters(meta-obervations, i)
Partition each fraction into M clusters < 1
Fractionation– n meta-observations after the first round– 2n meta-observations after the second round– in meta-observations after the ith round
• For the ith pass, we have i-1n/M fractions taking O(M2) operations each
• Total number of operations is:
• Total running time is linear in n!
• Use model based clustering• Meta-observations contain all sufficient
statistics – (ni, i, i)– ni is the number of observations – size
– i is the mean – location
– i is the covariance matrix – shape and volume
Model Based Fractionation
1.0 1.5 2.0
0.5
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An example, 400 observations in 4 groupsObservations in the first fraction
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10 meta-observations from the first fraction10 meta-observations from the second fraction
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10 meta-observations from the fourth fraction
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The 40 Meta-observations
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The Final Clusters Chosen by BICSuccess!
Model Based Fractionation
The data – 400 observations in 25 groups
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Observations in fraction 110 meta-observations from the first fraction10 meta-observations from the second fraction
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The 40 meta-observations
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The clusters chosen by BICFractionation fails!
Example 2
Refractionation
Problem:• If the number of meta-observations generated from a
fraction is less than the number of groups in that fraction then two or more groups will be merged.
• Once observations from two groups are merged they can never be split again.
Solution:• Apply fractionation repeatedly.• Use meta-observations from the previous pass of
fractionation to create “better” fractions.
Example 2 Continued
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The 40 meta-observations4 new clusters4 new fractions
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Clusters chosen by BIC
Example 2 – Pass 2
The 40 meta-observations of pass 2 of fractionation
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4 new clusters
1 2 3 4 5
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Example 2 – Pass 3
Realistic Example• 1100 documents from the TDT corpus
partitioned by people into 19 topics– Transformed into 50 dimensional space using Latent
Semantic Indexing
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Projection of the dataonto a plane – colorsrepresent topics
Realistic ExampleWant to create a dataset with more observations and more groupsIdea: Replace each group with a scaled and transformed version of the entire data set.
Realistic ExampleWant to create a dataset with more observations and more groupsIdea: Replace each group with a scaled and transformed version of the entire data set.
Realistic ExampleTo measure similarity of clusters to groups:Fowlkes-Mallows index• Geometric average of:
– Probability of 2 randomly chosen observations from the same cluster being in the same group
– Probability of 2 randomly chosen observations from the same group being in the same cluster
• Fowlkes–Mallows index near 1 means clusters are good estimates of the groups
• Clustering the 1100 documents gives a Fowlkes–Mallows index of 0.76 – our “gold standard”
Realistic Example• 19£19=361 clusters, 19£1100=20900 observations in
50 dimensions• Fraction size¼1000 with 100 metaobservations per
fraction• 4 passes of fractionation choosing 361 clusters
Pass Min Median Max nf
1 270 289 296 202 18 88 150 183 18 19 60 174 19 19 58 16
Distribution of the number of groups per fraction.
Number of fractions
Realistic Example
Pass Fowlkes Mallows
Purity of the clusters
1 0.325 17292 0.554 9083 0.616 6714 0.613 651
The sum of the number of groups represented in each cluster:• 361 is perfect
• 19£19=361 clusters, 19£1100=20900 observations in 50 dimensions
• Fraction size¼1000 with 100 metaobservations per fraction
• 4 passes of fractionation choosing 361 clusters
Realistic Example• 19£19=361 clusters, 19£1100=20900 observations in
50 dimensions• Fraction size¼1000 with 100 metaobservations per
fraction• 4 passes of fractionation choosing 361 clusters
Refractionation:• Purifies fractions• Successfully deals with the case where the number of
groups is greater than M, the number of meta-observations
Contributions
• Model Based Fractionation– Extended fractionation idea to parametric setting
• Incorporates information about size, shape and volume of clusters
• Chooses number of clusters– Still linear in n
• Model Based ReFractionation– Extended fractionation to handle larger number of
groups
Extensions
• Extend to 100,000s of observations – 1000s of groups– Currently the number of groups must be less
than M• Extend to a more flexible class of models
– With small groups in high dimensions, we need a more constrained model (fewer parameters) than the full covariance model
– Mixture of Factor Analyzers
Fowlkes-Mallows Index
Pr(2 documents in same group | they are in the same cluster)
Pr(2 documents in same cluster | they are in the same group)
true clustersGroups 1 2 … I Total
1 n11 n12 … n1I n1¢
2 n21 n22 … n2I n1¢
… … … … … …J nJ1 nj2 … nJI n1¢
Total n¢1 n¢2 … n¢I n
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