hauptseminar: strukturerhaltende zeitintegratoren fur ... · 1 einleitung, historisches und...
Post on 25-Aug-2019
217 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Hauptseminar: Strukturerhaltende Zeitintegratoren furAnfangswertprobleme
Molekulardynamik
Franziska Dilger
Technische Universitat Munchen
27. Januar 2011
1 Einleitung, Historisches und MotivationWas ist Molekulardynamik?Bewegungsgleichungen undHamiltonsches System
2 Potentiale / Kraftauswertungkurzreichweitige Potentialelangreichweitige PotenitaleAlgorithmen zur effizienten Berechnung
3 ZeitintegrationsverfahrenAnforderungenIn MD-Simulationen verwendeteVerfahrenFehler der Zeitintegration
4 Zusammenfassung und AusblickParallelisierung
Was ist Molekulardynamik?
Einfuhrung in die klassische MD :
• Computersimulationen imMolekulardesign
• interagierende Teilchen als Partikelmodelliert; im einfachsten Fall alsPunktmassen
• Wechselwirkungen zwischen den Partikeln→ Newtonsche Bewegungsgleichung →Krafteberechnung
• Bestimmung der Zeitentwicklung mittelszeitdiskreter Integration
• Einsatzmoglichkeiten undAnwendungsgebiete : Biologie, Chemie,Physik, Astrophysik undMaterialwissenschaften
Historisches
• 1957 Einfuhrung der MD-Methode fur die Wechselwirkung von hartenKugeln als Modell von Flussigkeiten (Alder, Wainwright)
• 1964 erste Simulation mit realistischem Potential (Lennard-Jones) furflussiges Argon (Rahman)
• 1967 Verlet: effiziente Datenverwaltung mittels Nachbarschaftslisten,Entwicklung eines Zeitintegrationsverfahrens
• 1974 erste MD-Simulation von Wasser (Stillinger, Rahman)
• 1977 SHAKE-Algorithmus
• 1986 Entwicklung einer Methode fur Kraftberechnunglangreichweitiger Potentiale: Barnes-Hut Methode (Josh Barnes, PietHut)
• 90er Jahre: MD-Simulation auf parallelen Prozessoren → großereSysteme , langere Simulationszeiten
Hard-Sphere-Model
Modell harter Kugeln :
• Vereinfachung der Teilchen als• ” schwebende runde Kreise ” im zweidimensionalen Raum• ” schwebende runde Kugeln ” im dreidimensionalen Raum
!
Bewegungsgleichungen und Hamiltonsches System
N-Teilchen-System
Geg.: N Partikel mit jeweiligen Anfangeswerten (Massemi , Ort xi , Geschwindigkeit vi , Impuls pi )
• Newtonsche Bewegungsgleichung:
mi xi = Fi i = 1, ...,N
mit Fi = −∇xiV (x1, ..., xN)
• im Hamilton-Formalismus:
xi = ∇piH, pi = −∇xiH, i = 1, ...,N
mitH(x1, ..., xN , p1, ...pN) =
∑Ni=1
p2i2mi
+ V (x1, ..., xN)
Bewegungsgleichungen und Hamiltonsches System
• System von Differentialgleichungen erster Ordnung:
xi = m−1i pi , pi = −∇xiV (x1, ..., xN)
Potentiale
des Kraftfeldes.jpg
Vtot = Vbond + Vangle + ...+ VvdW
Potentiale
Einige einfache Potentiale
Potentielle Energie:
V (x1, ...xN) =N∑i=1
N∑j=1,j>i
U(rij) rij := ‖xj − xi‖
• van der Waals-Potential:
U(rij) = −a(
1
rij
)6
• Lennard-Jones-Potential:
U(rij) = αε
((σ
r ij
)n
−(σ
r ij
)m)
m < n α =1
n −m
(nn
mm
) 1n−m
Potentiale
Einige einfache Potentiale
LJ-(12,6)-Potential: Gravitationspotential:
U(rij) = −GGravmimj
rij
Potentiale
• Ziel: schnellere Auswertung der Potentiale ( naiv Aufwand O(N2) )
Unterschiede zwischen:• kurzreichweitigen Potentialen:
• Linked-Cell-Verfahren
• langreichweitigen Potentialen:• Gitterbasierte Methoden:
Smooth-Particle-Mesh-Ewald-Methode(SPME)• Baumverfahren: Barnes-Hut-Verfahren, Schnelles Multipolverfahren
Definition: kurzreichweitig/langreichweitiges Potential
Ein Potential heißt kurzreichweitig, wenn es fur d > 2 mit zunehmendem rschneller als r−d abfallt, andernfalls heißt das Potential langreichweitig.
Effiziente Kraftauswertung
Linked-Cell-Verfahren fur kurzreichweitige Krafte:
• Idee: Zerlegung des Simulationsraums Ω in uniforme Teilgebiete(Zellen)
• kurzreichweitige Wechselwirkungen → Abschneideradius rcut
• wahle Seitenlange der Zellen ≥ rcut → Interaktionen auf Partikelbenachtbarter Zellen beschrankt
• Fi ≈∑
Zelle kc,kc∈N (ic)
∑j∈Partikel der Zelle kc
j 6=iFij → Aufwand O(N)
Effiziente Kraftauswertung
Barnes-Hut-Verfahren:
• Aufbau des Baumes, Quadtree/Octtree• rekursive Zerlegung des Simulationsgebiets in gleich große Teilgebiete
(Zellen), pro Zelle hochstens ein Partikel = Blatter des Quadtrees/Octtrees
• Berechnung der Masseverteilung• Pseudopartikel = innere Knoten des Octtrees, reprasentieren Zellen mit
mehreren Partikeln• geometr. Koord = massengewichtete Mittelung uber Koord. aller
Partikeln in der jeweiligen Zelle• Masse = Gesamtmasse aller Partikel der Zelle
• Berechnung der Krafte
Effiziente Kraftauswertung
Barnes-Hut-Verfahren:• Berechnung der Krafte
• Idee: Approximation der Kraft von mehreren Teilchen j auf Teilchen idurch Kraft des Pseudopartikels (Zelle in dem Teilchen j liegen) auf dasTeilchen i
• Naherung zulassig, falls gilt:
Θ ≤ d
rmit Θ < 1
d = Seitenlange Große der Zeller = Entfernung des Teilchens vom Massenschwerpunkt des Knotens
• Iteration uber Knoten des Baumes, prufe Wert von Θ• Θ > Schwellwert erneute Unterteilung des Quadranten und
Uberprufung, andernfalls Kraftauswertung
→ Aufwand O(N logN)
Effiziente Kraftauswertung
Schnelles Multipolverfahren:
• Erweiterung des Barnes-Hut-Verfahrens
• anstatt Partikel-Cluster-Wechselwirkungen betrachte nun nur nochCluster-Cluster Wechselwirkungen
→ Aufwand O(N)
Zeitintegrationsverfahren
Anforderungen an den Algorithmus
• Exaktheit
• Stabilitat
• Energieerhaltung
• Symplektizitat
• Reversibilitat
• rechnerische Effizienz
• soll große Schrittweiten ermoglichen, trotzdem Stabilitat
• nur eine Kraftauswertung pro Zeitschritt → implizite Verfahren sindausgeschlossen
Zeitintegrationsverfahren
Moglichkeiten um Zeitintegrationsverfahren zu beschleunigen:
• Integrationsverfahren hoherer Ordnung → bessereKonvergenzordnung → Fehler der Simulation verkleinert , verbesserterStabilitatsbereich → großere Zeitschritte
• Multiple Zeitschrittverfahren bei molekularen Problemen verschiedeneZeitskalen durch Verschiedenheit der Langenskala derBindungs-,Winkel-,Torsionswinkel-, Lennard-Jones undCoulombanteile der Gesamtpotentialfunktion im Problem vorhanden
• Fixieren hochfrequenter Moden durch das Erfullen zusatzlicherNebenbedingungen: Bsp. Shake- und Rattleverfahren
Zeitintegrationsverfahren
Symplektische Verfahren fur die Zeitintegration
• Stormer-Verlet Verfahren / Geschwindigkeits-Stormer-VerletVerfahren
• Mehrschrittverfahren (Ruckwartsdifferenzenverfahren (BDF) )→ nachste Woche
• Splittingverfahren
• Kompositionsverfahren
• partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
Multiple Zeitschrittverfahren - das Impuls-Verfahren
→ Vortrag Hochoszillierende Probleme vom 20.01.2011 Landskron,Richard
Zwangsbedingungen - der Rattle Algorithmus
→ Vortrag SHAKE-und RATTLE vom 16.12.2010 Hofmann, Tobias
Zeitintegrationsverfahren
Fehler der Zeitintegration fur Einschrittverfahren:
lokaler Fehler in einem Zeitschritt fur ein Verfahren der Ordnung p:
‖ xn+1 − x(h + tn) ‖= O(hp+1)
‖ pn+1 − p(h + tn) ‖= O(hp+1)
globaler Fehler fur ein Verfahren der Ordnung p
‖ xn − x(tend) ‖≤ C · hp · eM(tend−t0) − 1
M
‖ pn − p(tend) ‖≤ C · hp · eM(tend−t0) − 1
M
fur festes Zeitintervall (t0, tend), tend = t0 + n · h mit Zeitschritt h
Zeitintegrationsverfahren
Experiment chaotisches Verhalten
• zur Untersuchung des exponentiellen Fehlerwachstums betrachte zweieinfach Simulationen mit jeweils tausend Partikeln undunterschiedlichen Anfangsbedingungen zweier Partikel
• Erwartung: diese kleine Storung der Anfangsbedingungen verstarktsich exponentiell in der Zeit
Zusammenfassung
MD-Simulation ist eine etablierte und mittlerweile sehr robusteSimulationstechnik.
Standig neue Anwendungsgebiete durch:
• Beschleunigung der Algorithmen
• Zunahme der Prozessorgeschwindigkeit
• Parallelisierung der Programme
Ende
Ende
Quellen• Numerische Simulation in der Molekuldynamik, Griebel · Knapek ·
Zumbusch · Caglar
• Numerische Mathematik 2, Peter Deuflhard · Folkmar Bornemann
• www5.in.tum.de · Algorithms of Scientific Computing II - Winter 10→ Arbeitsgruppe Lehrstuhl Info 5
top related