gravitation regiert die welt einsteins gleichungen leicht gemacht

Gravitation regiert Gravitation regiert die Weltdie WeltEinsteins Gleichungen leicht Einsteins Gleichungen leicht

gemachtgemacht

Am Anfang war das GesetzAm Anfang war das Gesetz

ΛόγοςΛόγος

ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ Λόγος ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ Λόγος καὶ ὁ Λόγος ἦν πρὸς καὶ ὁ Λόγος ἦν πρὸς τὸν Θεὸν καὶ Θεὸς ἦν τὸν Θεὸν καὶ Θεὸς ἦν ὁ Λόγοςὁ Λόγος

„„Im Anfang war das Im Anfang war das Wort, und das Wort Wort, und das Wort war bei Gott, und das war bei Gott, und das Wort war Gott.“Wort war Gott.“

VorhersagbarkeitVorhersagbarkeit

Gleichung für die Gleichung für die kosmologische Evolution : kosmologische Evolution :

Friedmann GleichungFriedmann Gleichung

a(t) : Skalenfaktora(t) : Skalenfaktorρρ(t) : Energie-(t) : Energie- DichteDichte t : Zeitt : Zeit

M M : Planck-Masse: Planck-Masseverknüpft mit verknüpft mit GravitationskonstanGravitationskonstante te GG

Friedmann GleichungFriedmann Gleichung beschreibt die Änderung der beschreibt die Änderung der kosmologischen Abstände mit der Zeit ; kosmologischen Abstände mit der Zeit ; a(t)a(t) enthält Ableitungenthält Ableitung DifferentialgleichungDifferentialgleichung erlaubt Bestimmung der Zukunft und erlaubt Bestimmung der Zukunft und

Vergangenheit wennVergangenheit wenn aa und und ρρ zu bestimmtem zu bestimmtem ZeitpunktZeitpunkt tt gegebengegeben

benötigt Eigenschaftenbenötigt Eigenschaften von von ρρ

Friedmann GleichungFriedmann Gleichung Mit Friedmann GleichungMit Friedmann Gleichung läßt sich Evolution desläßt sich Evolution des Universums einfachUniversums einfach verstehen verstehen

Spezialfall derSpezialfall der Einstein GleichungEinstein Gleichung

AbleitungAbleitungSpezialfall: Spezialfall: konstante konstante SteigungSteigung

Ableitung und Ableitung und TangentenvektorTangentenvektor

je kleiner je kleiner v, v, desto desto kleinerkleinerist dieist dieSteigungSteigung

DifferentialgleichungDifferentialgleichung

v(a,v(a,t)t)

Friedmann GleichungFriedmann Gleichung Verschiedene Verschiedene

AnfangsbedingungAnfangsbedingungen ergeben en ergeben verschiedene verschiedene Geschichten des Geschichten des UniversumsUniversums

Zukunft und Zukunft und VergangenheitVergangenheit

v: Expansions-v: Expansions-geschwindigkeitgeschwindigkeit

wenn Materie dominiert :wenn Materie dominiert :

n : n : TeilchendichteTeilchendichte

Expansion Expansion wird wird langsamer , langsamer , wennwennaa größer größer wirdwird

The Accelerating UniverseThe Accelerating Universe Brian P. Schmidt, Brian P. Schmidt,

Mainz, 17.6.Mainz, 17.6.

Vorhersagen für Kosmologie mit Vorhersagen für Kosmologie mit Dunkler EnergieDunkler Energie

Die Expansion des Universums

beschleunigt sich heute !

Dunkle Energie und Dunkle Dunkle Energie und Dunkle MaterieMateriesind ( heute ) Gegenspieler :sind ( heute ) Gegenspieler :

Dunkle Materie verlangsamt Dunkle Materie verlangsamt ExpansionExpansion

Dunkle Energie beschleunigt Dunkle Energie beschleunigt ExpansionExpansion ρρ konstant:konstant:

Expansion wird Expansion wird schneller,schneller,wenn wenn aa größer wird größer wird

(1) Vorhersage der Zukunft (1) Vorhersage der Zukunft aus dem Jetztaus dem Jetzt

DifferentialgleichungDifferentialgleichung

Gravitations - Gravitations - WechselwirkungWechselwirkung

Gravitation dominiert die Gravitation dominiert die Kräfte der MakroweltKräfte der Makrowelt

Gravitation ist die weitaus schwächste Wechselwirkung Gravitation ist die weitaus schwächste Wechselwirkung zwischen einzelnen Elementarteilchenzwischen einzelnen Elementarteilchen

Aber : alles zieht sich an !Aber : alles zieht sich an ! Elektromagnetische Wechselwirkung zum Teil abstoßendElektromagnetische Wechselwirkung zum Teil abstoßend

Gravitation dominiert die Gravitation dominiert die

Kräfte der MakroweltKräfte der MakroweltElektromagnetismus : Elektromagnetismus : ++ und und –– ++++ abstoßend , abstoßend , – – – – abstoßend , abstoßend , + – + –

anziehendanziehend

Gravitation nur Gravitation nur ++ ++++ anziehend anziehend

Gravitation dominiert MakrokosmosGravitation dominiert Makrokosmos Elektromagnetische Wechselwirkung Elektromagnetische Wechselwirkung

dominiert Mikrokosmosdominiert Mikrokosmos

(1) Gravitation ist die (1) Gravitation ist die dominierende dominierende Wechselwirkung Wechselwirkung (Kraft) (Kraft) bei großen bei großen AbständenAbständen

(1) Gravitation ist die (1) Gravitation ist die dominierende dominierende Wechselwirkung Wechselwirkung (Kraft) (Kraft) bei großen bei großen AbständenAbständen

GravitationsfeldGravitationsfeld

FelderFelderFelder haben einen Wert für Felder haben einen Wert für jeden Ort im Raum jeden Ort im Raum (x,y,z) (x,y,z) und und für jeden Zeitpunkt für jeden Zeitpunkt tt

Beispiel: Beispiel:

elektrisches Feld elektrisches Feld MagnetfeldMagnetfeld

talk talk WilczekWilczek

Gravitationspotenzial : Gravitationspotenzial : FeldFeld

ΦΦ(t,x,y,z)(t,x,y,z) Für jede Zeit Für jede Zeit tt , und für jeden Ort , und für jeden Ort (x,y,z) (x,y,z) , ,

hat das Gravitationspotenzial einen Wert hat das Gravitationspotenzial einen Wert ΦΦ Ähnlich wie elektrisches FeldÄhnlich wie elektrisches Feld Aber : keine Richtung ist ausgezeichnetAber : keine Richtung ist ausgezeichnet (kein Vektor )(kein Vektor )

Gravitationspotenzial Gravitationspotenzial ( Newton )( Newton )

ΦΦ(t,x,y,(t,x,y,z)z)

ΦΦ(r)(r) ΦΦ(x,y(x,y))

Gravitations - PotenzialGravitations - Potenzial Materieklumpen erzeugen Materieklumpen erzeugen

GravitationspotenzialGravitationspotenzial (Newton )(Newton ) Dies kann Dies kann vermessenvermessen werden werden Bestimmung der Masse des Bestimmung der Masse des

KlumpensKlumpens z.B. Sonnenmasse genau z.B. Sonnenmasse genau bekanntbekannt

GravitationsfeldGravitationsfeld

Elektromagnetisches Elektromagnetisches Feld:Feld:

6 Größen6 Größen

elektrisches Feld elektrisches Feld MagnetfeldMagnetfeld

Gravitations - Feld:Gravitations - Feld:10 Größen10 Größen

MatrixMatrix

Newton –Newton –Näherung Näherung : : GravitatioGravitations-ns-potenzialpotenzial

GPS braucht die 10 GPS braucht die 10 GrößenGrößen

(3) Gravitation wird durch (3) Gravitation wird durch ein Gravitations - ein Gravitations - FeldFeld

beschriebenbeschrieben

GeometrieGeometrie

Ist Raum einfach da ?Ist Raum einfach da ? Eigenschaften des Raums werden durch Eigenschaften des Raums werden durch

physikalische Eigenschaften bestimmtphysikalische Eigenschaften bestimmt Wie lange braucht ein Lichtstrahl von Wie lange braucht ein Lichtstrahl von

Mainz nach Wiesbaden oder Heidelberg ?Mainz nach Wiesbaden oder Heidelberg ? Wieviele Atome liegen in einem Kristall Wieviele Atome liegen in einem Kristall

zwischen zwei Punkten A und B ?zwischen zwei Punkten A und B ? Es gibt keinen „leeren Raum“ außerhalb Es gibt keinen „leeren Raum“ außerhalb

physikalischer Prozessephysikalischer Prozesse

Abstand und MetrikAbstand und MetrikPythagorPythagoras :as :

Riemann Riemann Geometrie :Geometrie :

Metrik Metrik ggμνμν

dsds2 2 = g= g11 11 dxdx2 2 + g+ g22 22

dydy22

+g+g12 12 dx dydx dy

Einheitlicher Raum für Einheitlicher Raum für Ort und Zeit : RaumzeitOrt und Zeit : Raumzeit

Vierer - VektorVierer - Vektor

Abstand und MetrikAbstand und Metrik

Riemann Riemann Geometrie :Geometrie :

MetrikMetrik ggμνμν

Das Gravitationsfeld ist Das Gravitationsfeld ist diedie

Metrik der RaumzeitMetrik der Raumzeit

Geometrie wird dynamisch !Geometrie wird dynamisch !

Wie zeigt sich die Wie zeigt sich die Geometrie ?Geometrie ?

Massive Körper oder Massive Körper oder Elementarteilchen nehmen Elementarteilchen nehmen

den „kürzesten Weg“den „kürzesten Weg“

minimale minimale EigenzeitEigenzeit

Räumliche Geometrie ändert sich Räumliche Geometrie ändert sich mit der Zeitmit der Zeit

Vier – dimensionale Geometrie Vier – dimensionale Geometrie : (t,x,y,z): (t,x,y,z)

Lichtstrahlen werden durch Lichtstrahlen werden durch Massen abgelenktMassen abgelenkt

Metrik des UniversumsMetrik des Universumshomogen und isotrophomogen und isotrop

Räumlicher Abstand ist Räumlicher Abstand ist proportional proportional a(t)a(t)Ausdehnung des Raums wenn Ausdehnung des Raums wenn a(t)a(t) wächst wächst

(4) Das Gravitationsfeld (4) Das Gravitationsfeld bestimmt die Geometrie bestimmt die Geometrie

von Raum und Zeitvon Raum und ZeitMetrikMetrik

Einstein GleichungEinstein Gleichung

Einstein GleichungEinstein Gleichung

Differentialgleichung für Gravitationsfelder Differentialgleichung für Gravitationsfelder (Metrik)(Metrik) Verknüpft Geometrie und Materie Verknüpft Geometrie und Materie ( Energie-Impuls-Tensor)( Energie-Impuls-Tensor) Benötigt weitere Gleichung für Eigenschaften des Benötigt weitere Gleichung für Eigenschaften des

Energie-Impuls-Tensors ( Zustandsgleichung )Energie-Impuls-Tensors ( Zustandsgleichung )

Wenn Verteilung der Materie sowie Metrik und ihre Wenn Verteilung der Materie sowie Metrik und ihre Ableitung an Ableitung an jedem Ort jedem Ort zu einer zu einer bestimmten Zeit bestimmten Zeit gegeben: gegeben:

Berechnung für jeden späteren oder früheren Zeitpunkt Berechnung für jeden späteren oder früheren Zeitpunkt möglich !möglich !

Einstein GleichungEinstein Gleichung

M M : Planck-Masse: Planck-Masseverknüpft mit verknüpft mit GravitationskonstantGravitationskonstante e GG

Einstein GleichungEinstein Gleichung

KrümmungstensorKrümmungstensor

ZusammenhZusammenhangang

inverse inverse Metrik Metrik ggμνμν

KrümmungsskaKrümmungsskalarlar

Newton GravitationNewton Gravitation

Einstein GleichungEinstein Gleichungfür für zeitunabhängiges zeitunabhängiges ΦΦ : :

Newton - GravitationNewton - Gravitation

Altes Gesetz ist in neuemAltes Gesetz ist in neuemals Näherung enthaltenals Näherung enthalten

Kosmologische Kosmologische GleichungGleichung

Einstein Einstein ––GleichuGleichung ng für für MetrikMetrik ρρ : Energie- : Energie-

DichteDichte

Friedmann Friedmann GleichungGleichung

Hubble ParameterHubble Parameter

Kritische DichteKritische Dichte ρρcc =3 H² M² =3 H² M² Kritische Energiedichte des Kritische Energiedichte des

Universums Universums ( M : reduzierte Planck-Masse , M( M : reduzierte Planck-Masse , M-2-2=8 =8 ππ G ; G ; H : Hubble Parameter )H : Hubble Parameter )

ΩΩbb==ρρbb//ρρcc

Anteil der Atome ( Baryonen ) an Anteil der Atome ( Baryonen ) an der (kritischen) Energiedichteder (kritischen) Energiedichte

Modifikation der Einstein Modifikation der Einstein GleichungGleichung

modifiziermodifizierteteGravitatioGravitationn

DunklDunkleeEnergiEnergieeUnterschied ist nicht Unterschied ist nicht

eindeutig !eindeutig !Kosmologische Konstante links oder Kosmologische Konstante links oder rechts ?rechts ?

(5) Das Materielle (5) Das Materielle bestimmt die bestimmt die

GeometrieGeometrie Einstein GleichungEinstein Gleichung

Was steckt hinter der Was steckt hinter der Einstein Gleichung ?Einstein Gleichung ?

SymmetrieSymmetrie Allgemeine RelativitätstheorieAllgemeine Relativitätstheorie Invarianz unter Änderung der Invarianz unter Änderung der

KoordinatenKoordinaten

Quantengravitation : Metrik ist Quantengravitation : Metrik ist Erwartungswert eines Metrik- OperatorsErwartungswert eines Metrik- Operators

SymmetrieprinzipSymmetrieprinzip

Physik ist die Physik ist die Gleiche Gleiche

in allen frei fallenden in allen frei fallenden SystemenSystemen

(6) Konstruktionsprinzip (6) Konstruktionsprinzip SymmetrieSymmetrieAllgemeine Allgemeine

RelativitätstheorieRelativitätstheorie

ZusammenfasssungZusammenfasssung

(1) Vorhersage der Zukunft (1) Vorhersage der Zukunft aus dem Jetztaus dem Jetzt

DifferentialgleichungDifferentialgleichung

(2) Gravitation ist die (2) Gravitation ist die dominierende dominierende Wechselwirkung Wechselwirkung (Kraft) (Kraft) bei großen bei großen AbständenAbständen

(3) Gravitation wird durch (3) Gravitation wird durch ein Gravitations - ein Gravitations - FeldFeld

beschriebenbeschrieben

(4) Das Gravitationsfeld (4) Das Gravitationsfeld bestimmt die Geometrie bestimmt die Geometrie

von Raum und Zeitvon Raum und ZeitMetrikMetrik

(5) Das Materielle (5) Das Materielle bestimmt die bestimmt die

GeometrieGeometrie Einstein GleichungEinstein Gleichung

(6) Konstruktionsprinzip (6) Konstruktionsprinzip SymmetrieSymmetrieAllgemeine Allgemeine

RelativitätstheorieRelativitätstheorie