gradientes - eumed.net · 2020. 6. 22. · del gradiente que aumenta un porcentaje, tenemos el caso...
Post on 20-Jan-2021
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
354
CAPÍTULO VIII GRADIENTES
VALOR FUTURO VALOR ACTUAL
Abono Anualidad Interés Capital Saldo
Abono Anualidad Interés Saldo 0 1,000.00
1 1,000.00 1,000.00 1 85.58 16.67 68.92 931.08
2 1,000.00 16.67 2,016.67 2 90.29 15.52 74.77 856.31
3 1,000.00 33.61 3,050.28 3 95.26 14.27 80.99 775.32
4 1,000.00 50.84 4,101.12 4 100.50 12.92 87.57 687.75
5 1,000.00 68.35 5,169.47 5 106.02 11.46 94.56 593.19
6 1,000.00 86.16 6,255.63 6 111.86 9.89 101.97 491.22
7 1,000.00 104.26 7,359.89 7 118.01 8.19 109.82 381.40
8 1,000.00 122.66 8,482.55 8 124.50 6.36 118.14 263.26
9 1,000.00 141.38 9,623.93 9 131.35 4.39 126.96 136.30
10 1,000.00 160.40 10,784.33 10 138.57 2.27 136.30 0.00
Taba de amortización (anualidad vencida)
Fondo de ahorro (anualidad vencida)
1,000.00
2,016.67
3,050.28
4,101.12
5,169.47
6,255.63
7,359.89
8,482.55
9,623.93
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,000.00931.08
856.31
775.32
687.75
593.19
491.22
381.40
263.26
136.30
0.00
-200
0
200
400
600
800
1,000
1,200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Series1
Series2
Series3
Series4
Series5
355
8.1.- GRADIENTES Siguiendo el tema de Anualidades, se abre este otro tema denominado Gradientes, de cuya definición podemos partir: Definición: Se refiere a una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen (en $ ó %), sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo, incluso a perpetuidad.
Para clarificar mejor aún el concepto, visualicemos un ejemplo con los flujos de efectivo que genera un proyecto de inversión: por su misma naturaleza éstos tienden a aumentar en cantidad o en porcentaje constante cada período.
Del gradiente que aumenta un porcentaje, tenemos el caso de los flujos de efectivo que crecen o disminuyen en determinado porcentaje por el efecto de la inflación constante por período.
En ingeniería financiera o ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.
De tal forma que también podemos identificarla como la renta variable, y cuyo intervalo de pagos distintos se hace en intervalo de pagos iguales.
LA CLASIFICACIÓN DE ESTE TIPO DE RENTAS PERIÓDICAS VARIABLES ES:
Anualidad ó Rentas periódica con gradiente aritmético: La cuota periódica varía en progresión aritmética (A+ ga ó Rp + Ga).
Anualidad ó Rentas periódica con gradiente geométrico: La cuota periódica varía en progresión geométrica (A* ga ó Rp * Gg).
Las características de este tipo de anualidades con gradientes aritméticos y geométricos son:
356
Los pagos o abonos distintos se realizan al final de cada intervalo de pago (aunque puede ser anticipado o prepagable).
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad o renta periódica
Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago El plazo inicia con la firma del convenio
8.1.1.- Variables que se utilizan en este apartado:
Mga ó VFga: Valor Futuro o Monto de una serie de cuotas con
gradiente: aritmético o geométrico (de la suma de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)
VAga: Valor actual del conjunto de rentas periódicas i: Tasa de Interés nominal m: Capitalización (por su tipo, mensual, bimestral etc., la tasa se
divide: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12) n: Tiempo Ga= Es el gradiente aritmético Gg= Es el gradiente geométrico Rp1= Anualidad o Renta periódica número 1
ACLARACIÓN: Para no generar confusión en lo referente a la tasa, la representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización. Ejemplo si nos dan una tasa del
12% nominal capitalizable mensualmente, sabemos que debemos dividir 12/12=1% POR LO ANTERIOR El lector podrá encontrar indistintamente la tasa en su forma i ó en su forma i/m.
357
8.1.2.- GRADIENTES ARITMÉTICOS De manera particular el gradiente aritmético (Ga) o uniforme es una serie de cuotas periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada período. A esto se le llama gradiente aritmético.
La notación para la serie uniforme de cuotas:
El gradiente (Ga) es una cantidad que aumenta o disminuye (puede ser positivo o negativo).
Rp: es la cuota periódica 1.
La representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización.
n: tiempo (número de cuotas periódicas)
Las fórmulas generalmente utilizadas para las anualidades con gradiente aritmético vencidos o pospagables son:
Para conocer el Valor Actual se tiene la siguiente fórmula:
na
n
a1 )
mi(1
mi
g*n
mi
1)m
i(1
mi
gRp VA
Para conocer el valor futuro tenemos que:
mi
g*n
mi
1)m
i(1)
mi
g(RpM a
n
a1ga
Ejemplo: Cuando se desea conocer el monto de una serie de abonos o rentas vencidas que crecen ga = $500.00 entonces podemos señalar que las cuotas periódicas de una renta variable vencida con gradiente aritmético crecen $500.00 con respecto a la cuota anterior. Como se visualiza en una línea de tiempo si fueran 10 cuotas
358
Supongamos el ejercicio anterior con los siguientes datos:
Se desea conocer el importe total de las 10 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmética a razón de Ga=500.00 con una tasa nominal del 20% capitalizable mensualmente.
Rp1 = $1,000.00 Ga = $500.00 n = 10 i/m = .20/12 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
De la forma tradicional del valor futuro de un monto compuesto se sabe que:
nm
iPM )1(1
y si tenemos más cuotas, la expresión ahora es:
n)m
i(12
Pn)m
i(1PM1
y así sucesivamente formando una progresión.
Para el ejemplo anterior tenemos:
00.5500.........)12/20.1(00.1500)12/20.1(00.1000 89M
00.5500.........)01666667.1(00.1500)01666667.1(00.1000 89M
08.314,34$M
En Excel podría ser relativamente fácil solucionarlo
Monto del conjunto
Anualidad
vencida
1000 1500 2000 2500 3000 3500……..sucesivamente hasta 5500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
359
Rp i/m n
$ 1,000.00 0.01666667 9 $ 1,160.40
$ 1,500.00 0.01666667 8 $ 1,712.06
$ 2,000.00 0.01666667 7 $ 2,245.33
$ 2,500.00 0.01666667 6 $ 2,760.65
$ 3,000.00 0.01666667 5 $ 3,258.47
$ 3,500.00 0.01666667 4 $ 3,739.23
$ 4,000.00 0.01666667 3 $ 4,203.35
$ 4,500.00 0.01666667 2 $ 4,651.25
$ 5,000.00 0.01666667 1 $ 5,083.33
$ 5,500.00 0.01666667 0 $ 5,500.00
$ 34,314.08
Con la fórmula del Monto de un conjunto de rentas
variables vencidas con gradiente aritmético se resuelve de
la siguiente manera:
mi
g*n
mi
1)m
i(1)
mi
g(RpM a
n
a1ga
Así tenemos:
1220.
00.50010
1220.
1220.
1220.
00.50000.000,1$
10
*1)(1)(M
ga
01666667.0
00.50010
01666667.0
01666667.0
01666667.0
00.50000.000,1$
10*1)(1
)(M
ga
99.29999901666667.0
179738793.99.2999900.000,1$
1)(1)(Mga
99.999,299$7843254.1099.30999$ )(Mga
07.313,34$gaM La diferencia es por el manejo de los dígitos
El resultado coincide con el cálculo en Excel
360
AHORA PARA CALCULAR EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO:
DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE n
mi
MVP
)1( Por lo que
para calcular el valor actual del conjunto de rentas periódicas con gradiente
aritmético sería:
31.085,29$ )
12.20(1
$34,313.07
)(1
M VA
10n
ga
ga
mi
$29,086.17 )1(
5500
)1(
5000
)1(
4500
)1(
4000
)1(
3500
)1(
3000
)1(
2500
i)(1
2000
i)(1
1500
i1
1000 VA
ca___analítide___forma
1098765432
iiiiiii
En Excel:
Rp i/m n
$1,000.00 0.01666667 1 $983.61
$1,500.00 0.01666667 2 $1,451.22
$2,000.00 0.01666667 3 $1,903.24
$2,500.00 0.01666667 4 $2,340.05
$3,000.00 0.01666667 5 $2,762.03
$3,500.00 0.01666667 6 $3,169.54
$4,000.00 0.01666667 7 $3,562.95
$4,500.00 0.01666667 8 $3,942.61
$5,000.00 0.01666667 9 $4,308.86
$5,500.00 0.01666667 10 $4,662.05
$29,086.17
361
Utilizando la fórmula del Valor Actual presente del conjunto de rentas
periódicas vencidas con gradiente aritmético, tenemos que:
na
n
a1ga )
mi(1
mi
g*n
mi
1)m
i(1
mi
gRp VA
Por lo que se resuelve:
10
10
1220.
1220.
00.50010
1220.
1220.
1220.
00.50000.1000V
)(1
*
1)(1 Aga
1010
01666667.01666667.0
00.50010
01666667.0
01666667.
01666667.0
00.50000.1000V
)(1
*
1)(1 A ga
)( 1)(1
A 84764526.094.999,299$01666667.0
17973879.94.999,30$V
ga
)( A 84764526.094.999,299$7843252.1094.999,30$V ga
)( A 84764526.049.313,34$V ga 67.085,29$V gaA
Resuelva los siguientes ejercicios: 1.- Calcular el monto de una serie de cuotas periódicas mensuales vencidas, en donde la primera renta es de $750.00 y las subsecuentes se incrementan 150.00 cada una de ellas. Considere la tasa del 22% nominal anual capitalizable mensualmente. 2.- Para liquidar una deuda con un proveedor, se acordó liquidar en cuotas trimestrales vencidas durante 3 años, siendo la primera cuota de 15,000.00 y se incrementará 2,500.00 las subsecuentes cuotas vencidas. Para ello se acordó un interés nominal del 25% capitalizable trimestralmente. Por lo que la pregunta es: ¿Cuál es el valor del adeudo?
Ejercicios para resolver: Redacte al menos 5 casos de rentas periódicas vencidas con
gradiente aritmético, considerando diferentes tasas y capitalizaciones. Resuélvalos………..
362
8.1.3.- GRADIENTES GEOMÉTRICOS
La otra modalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada período. A esto se le llama gradiente geométrico.
La notación que utilizaremos:
El gradiente (Gg) es el porcentaje que aumenta o disminuye cada cuota (puede ser positivo o negativo).
Rp1: es la cuota periódica 1.
La representación i/m, se refiere a la tasa nominal capitalizable y la frecuencia de los pagos.
n: tiempo-plazo en años (número de cuotas periódicas)
Para conocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón de la progresión (Gg) coincide con el factor (1+i/m)
mi1
nR A )
mi(1nRMg Gg)
mi (1 S i
Gg)-m
i(1)m
i(1
Gg)m
i(1R A ,
Gg-m
i
Gg)(1)m
i(1 R Mg :Gg )
mi(1 S i
1-1n
1g
n
nn
1
nn
1g
)(
Ejemplo: Supongamos que se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por 10 depósitos mensuales que crecen a una tasa del Gg: 5.5% siendo el importe del primer depósito $1,000.00.
363
¿Cómo se visualiza en una línea de tiempo si fueran 10 cuotas depositadas a inicio de
mes?
Cuotas anticipadas (prepagables) con Gg:
Otros autores (Villalobos, 2001) sugieren TG: como el gradiente geométrico
Monto del conjunto de
los depósitos del fondo
de ahorro
Depósitos
a inicio de
mes
1000(1+i/m)1 + 1055(1+i/m)
2 + 1113.03(1+i/m)
3 + 1174.24(1+i/m)
4 + …… 1619.09(1+i/m)
n
1 2 3 4 5 6 7 …………… 10
364
De la fórmula: , Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
)m
i(11
Rp g
Mg :Gg )m
i(1 Si
Donde: Rp1 = $1000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
.-
).().(1 ).(1
1.,
gMg
055012
20
10055011012
20
1220000001
.-.
).().(1 ).(1
1.,
gMg
055001666667
1005501100166666701666667000001
.-.
.).(1 ).(1
1.,
gMg
0550016666670
7081444611797387901666667000001
.
. ).(1
1.,
gMg
038333330
52840567001666667000001
. ).(11
., g
Mg 78449691301666667000001
).(1
., g
Mg 014238614000001
24.014,14$g
Mg
En Excel podría ser relativamente fácil solucionarlo
Anticipados
Rp i/m n importe
$1,000.00 0.01666667 10 $1,179.74
$1,055.00 0.01666667 9 $1,224.22
$1,113.03 0.01666667 8 $1,270.38
$1,174.24 0.01666667 7 $1,318.28
$1,238.82 0.01666667 6 $1,367.99
$1,306.96 0.01666667 5 $1,419.56
$1,378.84 0.01666667 4 $1,473.09
$1,454.68 0.01666667 3 $1,528.63
$1,534.69 0.01666667 2 $1,586.27
$1,619.09 0.01666667 1 $1,646.08
$12,875.35 $14,014.24
365
Si fueran cuotas pospagables (vencidas) con
Gg:
De la fórmula: , Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
)m
i(11
Rp g
Mg :Gg )m
i(1 Si
Se modifica
, Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
1Rp
gMg :Gg )
mi(1 Si
Mismos datos:
Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
Monto del conjunto de
cuotas pospagables
Cuotas
pospagables
1000(1+i/m) + 1055(1+i/m)1 + 1113.03(1+i/m)
2 + 1174.24(1+i/m)
3 + …… 1619.09(1+i/m)
n
0 … 1 2 3 4 5 6 7 …………… 10
366
.-
).().(1*
1.,
gMg
055012
20
10055011012
20
000001
.-.
).().(1 *
1.,
gMg
055001666667
10055011001666667000001
.-.
.).(1 *
1.,
gMg
0550016666670
70814446117973879000001
.
.*.,
gMg
038333330
528405670000001
.., g
Mg 784496913000001
50.784,13$g
Mg
En Excel:
Vencidos
Rp i/m n
$1,000.00 0.01666667 9 $1,160.40
$1,055.00 0.01666667 8 $1,204.15
$1,113.03 0.01666667 7 $1,249.55
$1,174.24 0.01666667 6 $1,296.67
$1,238.82 0.01666667 5 $1,345.56
$1,306.96 0.01666667 4 $1,396.29
$1,378.84 0.01666667 3 $1,448.94
$1,454.68 0.01666667 2 $1,503.57
$1,534.69 0.01666667 1 $1,560.26
$1,619.09 0.01666667 0 $1,619.09
$12,875.35 $13,784.50
367
Ejercicio de Valor Actual de Rp:
Para obtener un monto de $14,014.24, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 10
cuotas periódicas (n=10) que aumentan en forma creciente en un 5.5 % y con una tasa
de interés del 20% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato
de cuotas prepagables y pospagables:
, Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
)m
i(11
Rp g
Mg :Gg )m
i(1 Si
Prepagables (anticipadas)
-
)(1 )(1
1
055.012
20
10)055.01(1012
20.
1220.24.014,14$ Rp
-
)(1 )(1
1
055.001666667.
10)055.01(1001666667.01666667.24.014,14$ Rp
-
)(1 )(1
1
055.001666667.0
70814446.117973879.01666667.24.014,14$ Rp
)(11
03833333.0
52840567.001666667.24.014,14$ Rp
)(11
7844969.1301666667.24.014,14$ Rp
.
.,$ gRp
014238614
24014141
00.000,1$1Rp
Mismo caso, pero ahora si fueran cuotas pospagables (vencidas)
Para obtener un monto de $13,784.50, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 10
cuotas periódicas (n=10) que aumentan en forma creciente en un 5.5 % y con una tasa
de interés del 20% nominal capitalizable mensualmente?:
-
)(1
1
055.012
20
10)055.01(1012
20.
*50.784,13$ Rp
368
-
)(1
1
055.001666667.0
70814446.117973879.*50.784,13$ Rp
7844969.1350.784,13$ Rp 7844969.13
50.784,13$1Rp 00.000,1$
1Rp
Si deseamos conocer ahora el plazo, tenemos que despejarlo de la fórmula del monto de una serie de cuotas con gradiente geométrico prepagables:
0)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg)
mi(1)G(1
te_la_siguienatisfacer_iene_que_sAhora_se_t
_izquierdamando_a_late_pasa_suEl_gradien
)G(1)m
i(1)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg
:Se_obtiene
izquierdaando_a_la__multiplicrecho_pasaonjunto_deador_del_cEl_denomin
Gm
i
)G(1)m
i(1
)m
i(1Rp
Mg
entonces
, Gg-
mi
nGg)(1n)m
i(1 )
mi(1
1Rp
gMg :Gg )
mi(1 Si
g
1
gxx
g
x
g
x
g
1
g
g
x
g
x
1
g
ecuación
Desarrollemos un ejercicio con los mismos datos que hemos venido utilizando
en este tema:
Mgg = $14,014.24 Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas “x” i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
369
De la fórmula:
0)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg)
mi(1)G(1 g
1
gxx
g
Se tiene que satisfacer la siguiente ecuación:
0)(*)(1
)(1)(1xx
055.0
1220.
1220.00.000,1
24.014,14
1220.055.
A prueba y error utilizamos para “x”= 9, 11 respectivamente y obtenemos:
0697085.0528403993.0)160398809.1()619094273.1(
03833333.0(*7844532.1301666667.055. 99
0))(1)(1
0742873.0528403993.0)19940111.1()802092404.1(
03833333.0(*7844532.1301666667.055. 1111
0))(1)(1
Los resultados sugieren que entre 9 y 11 puede estar el plazo, por lo que
diseñamos en Excel una herramienta para simular con varias opciones de “x”:
0)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg)
mi(1)G(1 g
1
gxx
g
370
DATOS:
Mgg: 14014.24
Rp1: 1000
i/m: .20/12
x:
Gg: 5.50%
Prueba y error
x: 9.997
Desarrollo de la fórmula en Excel
(Mgg/(Rp1*1+i/m) ((i/m)-Gg)) (Mgg/(Rp1*1+i/m)* ((i/m)-Gg))
13.7844532 -0.03833333 -0.528403993
(1+i/m) n
1.01666667 9.997 1.179680294
1.055 9.997 1.707870114 0.00021417
El valor de n=9.997, que redondeado al número entero es 10
Comprobación:
000001672.0528403993.0)179738793.1()708144458.1(
03833333.0(*7844532.1301666667.055. 1010
0))(1)(1
El resultado es concordante con el ejercicio en donde se calculó el monto
Donde:
Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
371
10 10.20 (1 0.055)12.20$1,000.00
12 20 0.05512
(1 ) Mg (1 )
g 1 -
10 10.01666667 (1 0.055)
$1,000.00 .01666667.01666667 0.055
(1 ) Mg (1 )
g 1 -
.17973879 1.70814446$1,000.00 .01666667
0.01666667 0.055
(1 ) Mg (1 )
g 1 -
0.52840567$1,000.00 .01666667
0.03833333
Mg (1 ) g 1
$1,000.00 .01666667 13.7844969 Mg (1 ) g 1
$1,000.00 14.0142386) Mg ( g 1
24.014,14$g
Mg Este resultado es su comprobación
372
8.1.4.- GRADIENTE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICO
¿Cómo poder mezclar el gradiente aritmético y geométrico en el desarrollo de un caso?:
Supongamos que para construir la Escuela de Medicina, la Universidad Cristóbal Colón se ha propuesto constituir un fondo con 10 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $350,000.00 cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 25% con capitalización mensual y el importe del primer depósito ascendió a $3’500,000.00. La pregunta es: ¿Cuánto acumulará al final de la última cuota? El monto acumulado de esta serie aritmética y geométrica esta dado por la siguiente expresión:
)MGMA( )m
i(1 ga
Mg gant
Donde:
mi
)m
i(
AMA
n
ant
11
1
y
2
11
mi
))i*n()m
i(GMG
n
gg
Se fusionan las expresiones MAant y MGg obteniendo la siguiente fórmula:
mi
1)i*n()m
i(1(G)
mi
1)m
i(1A()
mi(1 gΜ
n
g
n
ag
21
Su nomenclatura:
Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico
MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada
MGg = El monto acumulado de la anualidad anticipada
A1: la primera cuota
n: el número de cuotas
i: es la tasa nominal (normalmente es anual)
i/m: La tasa capitalizable
Gg: El gradiente geométrico
373
La solución entonces es ahora:
Los Datos son:
Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico
MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada
Rp1: la primera cuota
n: el número de cuotas
i/m: La tasa capitalizable
Gg: El gradiente geométrico
.
1).*/().(1(.)
.
1).(1.)
12.25(1 GΜ ag
2
1010
1225
25121012
25
35
1225
1225
53
).(
1).*.().((.)
.
1).(.*. GΜ ag
2
1010
0208333330
2583333333020833333135
0208333330
0208333331530208333331
.
1).().((.)
.
1).(.*. GΜ ag
0004340280
2083333330228990215135
02083333330
22899021515302083333331
.
..).(.*. GΜ ag
0004340280
02065688203599150386105302083333331
..*. GΜ ag 6577098816470263513802083333331
.*. GΜ ag 12797339550208333331
8147227656276478156 .,'$. GΜ ag
374
La solución en una hoja de cálculo en Excel:
Anticipados
A i/m n
$3,500,000.00 0.020833333 10 $4,301,465.77
$3,850,000.00 0.020833333 9 $4,635,048.83
$4,200,000.00 0.020833333 8 $4,953,224.72
$4,550,000.00 0.020833333 7 $5,256,483.38
$4,900,000.00 0.020833333 6 $5,545,301.14
$5,250,000.00 0.020833333 5 $5,820,141.14
$5,600,000.00 0.020833333 4 $6,081,453.60
$5,950,000.00 0.020833333 3 $6,329,676.20
$6,300,000.00 0.020833333 2 $6,565,234.38
$6,650,000.00 0.020833333 1 $6,788,541.67
$50,750,000.00 $56,276,570.81
Resultado factor 1 factor 2
i/m 0.020833333
n 10 38.47035679 16.65771258
A: 3.5
Unidad 1 Resultados
i 0.25 MA 38.47035679
d 0.35 MG 16.65771258
i/m 0.020833333 Mgag: 55.12806937
Valor de G 0.35 56.27657081
Para el factor 2: n/12 0.833333333 $ 56,276,570.81
(i/m)2 0.000434028
375
8.1.5. Ejercicios para resolver
Calcular el monto de una serie de cuotas periódicas mensuales vencidas, en donde la primera renta es de $5,750.00 y las subsecuentes se incrementan 450.00 cada una de ellas. Considere la tasa del 29.4% nominal anual capitalizable mensualmente.
De un conjunto de 30 cuotas vencidas que generan un interés del 17.5% capitalizable bimestralmente, ¿cuál es el monto que acumulan si crecen a razón de Ga=100.00?
La Nucleoeléctrica japonesa, Japan Corporation, desea ampliar las instalaciones de su planta en Cancún y para ello se ha propuesto constituir un fondo con 40 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $850,000.00 dls., cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 19.65% con capitalización mensual y el importe del primer depósito ascendió a $5’500,000.00 de dls. La pregunta es: ¿Cuánto acumulará al final de la última cuota?
Para obtener un monto de $123,784.50, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 30 cuotas periódicas (n=10) que crecen en forma creciente en un 15.5 % y con una tasa de interés del 12% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato de cuotas pospagables.
Para obtener un monto de $124,514.24, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 30 cuotas periódicas (n=30) que crecen en forma creciente en un 15.5.% y con una tasa de interés del 12% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato de cuotas prepagables y pospagables
Se desea conocer el importe total de las 20 cuotas vencidas que crecen en forma aritmética a razón de Ga=1,500.00 con una tasa nominal del 18% capitalizable mensualmente.
Supongamos que se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por 100 depósitos mensuales que crecen a una tasa del Gg: 8.5% siendo el importe del primer depósito $11,570.00.
Un deudor acordó con su proveedor liquidar su deuda en cuotas bimestrales vencidas durante dos años. La primera de dichas cuotas es por $12,500.00 y las subsecuentes se incrementarán $350.00 Para ello se acordó un interés nominal del 25% capitalizable mensualmente. Ahora la pregunta es: ¿Cuál es el valor del adeudo?
376
8.1.6. Ejercicios resueltos:
Caso 1: Con los siguientes datos calcule el ejercicio:
20 cuotas vencidas que crecen en forma aritmética a razón de
Ga= $750.00 i = 18% anual m = mensual Rp1 = $21,500.00
Con la fórmula del Monto de un conjunto de rentas variables vencidas con gradiente aritmético se resuelve con la siguiente fórmula:
mi
g*n
mi
1)m
i(1)
mi
g(RpM a
n
a1ga
Así tenemos:
ga
.. .
$ , .. . .
(1 ) 1 *M ( )
2018750 00 20 750 001221 500 0018 18 18
12 12 12
ga
. . .$ , .
. . .
(1 ) 1 *M ( )
2075000 0015 10 7500021 50000
0015 0015 0015
ga$ , . $ , . . $ , . M ( )21 50000 50 00000 231236671 500 00000
ga$ , . . $ . M ( )71 50000 231236671 50000000
ga$ , .M 653 3421977
377
El resultado coincide con el cálculo en Excel
Rp i/m n importe
$ 21,500.00 0.015 19 $ 28,529.44 $ 22,250.00 0.015 18 $ 29,088.33 $ 23,000.00 0.015 17 $ 29,624.47 $ 23,750.00 0.015 16 $ 30,138.41 $ 24,500.00 0.015 15 $ 30,630.69 $ 25,250.00 0.015 14 $ 31,101.83 $ 26,000.00 0.015 13 $ 31,552.36 $ 26,750.00 0.015 12 $ 31,982.79 $ 27,500.00 0.015 11 $ 32,393.60 $ 28,250.00 0.015 10 $ 32,785.28 $ 29,000.00 0.015 9 $ 33,158.31 $ 29,750.00 0.015 8 $ 33,513.15 $ 30,500.00 0.015 7 $ 33,850.27 $ 31,250.00 0.015 6 $ 34,170.10 $ 32,000.00 0.015 5 $ 34,473.09 $ 32,750.00 0.015 4 $ 34,759.66 $ 33,500.00 0.015 3 $ 35,030.23 $ 34,250.00 0.015 2 $ 35,285.21 $ 35,000.00 0.015 1 $ 35,525.00 $ 35,750.00 0.015 0 $ 35,750.00 S $ 653,342.20
AHORA PARA CALCULAR EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO:
DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE: n
mi
MVP
)1(
Por lo que para calcular el valor actual del conjunto de rentas periódicas con
gradiente aritmético sería:
ga
ga n 20
M $653,342.19VA = = = $485,087.25
i .18(1+ ) (1+ )m 12
378
En Excel obtenemos: Rp i/m n importe
$ 21,500.00 0.015 1 $ 21,182.27
$ 22,250.00 0.015 2 $ 21,597.22
$ 23,000.00 0.015 3 $ 21,995.29
$ 23,750.00 0.015 4 $ 22,376.88
$ 24,500.00 0.015 5 $ 22,742.38
$ 25,250.00 0.015 6 $ 23,092.19
$ 26,000.00 0.015 7 $ 23,426.70
$ 26,750.00 0.015 8 $ 23,746.27
$ 27,500.00 0.015 9 $ 24,051.29
$ 28,250.00 0.015 10 $ 24,342.10
$ 29,000.00 0.015 11 $ 24,619.06
$ 29,750.00 0.015 12 $ 24,882.53
$ 30,500.00 0.015 13 $ 25,132.82
$ 31,250.00 0.015 14 $ 25,370.29
$ 32,000.00 0.015 15 $ 25,595.25
$ 32,750.00 0.015 16 $ 25,808.02
$ 33,500.00 0.015 17 $ 26,008.91
$ 34,250.00 0.015 18 $ 26,198.22
$ 35,000.00 0.015 19 $ 26,376.26
$ 35,750.00 0.015 20 $ 26,543.32
$ 485,087.25
Utilizando la fórmula del Valor Actual presente del conjunto de rentas periódicas vencidas con gradiente aritmético (Ga), tenemos que:
na
n
a1ga )
mi(1
mi
g*n
mi
1)m
i(1
mi
gRp VA
Ahora resolvemos:
ga
.. . . V $ , .
. . .
(1 ) 1 *A (1 )
20
20
18750 00 20 750 0012 1821 500 00
1218 18 1812 12 12
379
ga
. . . V , . .
. . .
(1 ) 1 *A (1 )
202075000 015 20 75000
21 50000 0150015 0015 0015
ga
. V $ , . $ ' , . .
.
(1 ) 1A ( )
3468550171 50000 1 000 00000 0742470418
0015
ga V $ , . . $ ' , . .
A ( )71 50000 23123667 1 000 00000 0742470418
ga V $ , . . A ( )653 342191 0742470418
ga V $ , .A 485 087 25
Caso 2: Con los siguientes datos calcule el siguiente ejercicio:
35 cuotas vencidas que crecen en forma aritmética a razón de Ga= $223.50 i = 7.8% anual m = c/21 días mensual Rp1 = $7,970.00
Con la fórmula del Monto de un conjunto de rentas variables vencidas con gradiente aritmético se resuelve con la siguiente fórmula:
mi
g*n
mi
1)m
i(1)
mi
g(RpM a
n
a1ga
Así tenemos:
ga
. ( . * / ) .$ , .
. * . * . *
(1 ) 1 *M ( )
35223 50 0 078 21 365 35 223 507 970 00
0 078 21 0 078 21 0 078 21365 365 365
ga$ , . $ , . . $ ' , . M ( )7 97000 49 8031136 37 80684228 1 743 108 974
ga$ , . . $ ' , . M ( )57 7731136 37 80684228 1 743 108 974
ga$ , .M 441 11002
380
El resultado coincide con el cálculo en Excel
Rp i/m n importe
$ 7,970.00 0.00448767 34 $ 9,280.58
$ 8,193.50 0.00448767 33 $ 9,498.21
$ 8,417.00 0.00448767 32 $ 9,713.70
$ 8,640.50 0.00448767 31 $ 9,927.09
$ 8,864.00 0.00448767 30 $ 10,138.37
$ 9,087.50 0.00448767 29 $ 10,347.56
$ 9,311.00 0.00448767 28 $ 10,554.69
$ 9,534.50 0.00448767 27 $ 10,759.76
$ 9,758.00 0.00448767 26 $ 10,962.78
$ 9,981.50 0.00448767 25 $ 11,163.78
$ 10,205.00 0.00448767 24 $ 11,362.76
$ 10,428.50 0.00448767 23 $ 11,559.74
$ 10,652.00 0.00448767 22 $ 11,754.73
$ 10,875.50 0.00448767 21 $ 11,947.75
$ 11,099.00 0.00448767 20 $ 12,138.81
$ 11,322.50 0.00448767 19 $ 12,327.92
$ 11,546.00 0.00448767 18 $ 12,515.11
$ 11,769.50 0.00448767 17 $ 12,700.37
$ 11,993.00 0.00448767 16 $ 12,883.73
$ 12,216.50 0.00448767 15 $ 13,065.20
$ 12,440.00 0.00448767 14 $ 13,244.79
$ 12,663.50 0.00448767 13 $ 13,422.51
$ 12,887.00 0.00448767 12 $ 13,598.38
$ 13,110.50 0.00448767 11 $ 13,772.41
$ 13,334.00 0.00448767 10 $ 13,944.62
$ 13,557.50 0.00448767 9 $ 14,115.01
$ 13,781.00 0.00448767 8 $ 14,283.60
$ 14,004.50 0.00448767 7 $ 14,450.40
$ 14,228.00 0.00448767 6 $ 14,615.43
$ 14,451.50 0.00448767 5 $ 14,778.69
$ 14,675.00 0.00448767 4 $ 14,940.20
$ 14,898.50 0.00448767 3 $ 15,099.98
$ 15,122.00 0.00448767 2 $ 15,258.03
$ 15,345.50 0.00448767 1 $ 15,414.37
$ 15,569.00 0.00448767 0 $ 15,569.00
$ 441,110.02
381
EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO: DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE
n
mi
MVP
)1(
Por lo que para
calcular el valor actual del conjunto de rentas periódicas con gradiente
aritmético sería:
ga
ga n 35
M $441,110.02 $441,110.02VA = = = = $377,125.20
i 0.078* 21 1.16966468(1+ ) (1+( )m 365
En Excel obtenemos:
Rp i/m n importe
$7,970.00 0.004487671 1 $7,934.39
$8,193.50 0.004487671 2 $8,120.45
$8,417.00 0.004487671 3 $8,304.69
$8,640.50 0.004487671 4 $8,487.12
$8,864.00 0.004487671 5 $8,667.76
$9,087.50 0.004487671 6 $8,846.61
$9,311.00 0.004487671 7 $9,023.69
$9,534.50 0.004487671 8 $9,199.01
$9,758.00 0.004487671 9 $9,372.58
$9,981.50 0.004487671 10 $9,544.42
$10,205.00 0.004487671 11 $9,714.54
$10,428.50 0.004487671 12 $9,882.95
$10,652.00 0.004487671 13 $10,049.66
$10,875.50 0.004487671 14 $10,214.68
$11,099.00 0.004487671 15 $10,378.02
$11,322.50 0.004487671 16 $10,539.71
$11,546.00 0.004487671 17 $10,699.74
$11,769.50 0.004487671 18 $10,858.13
$11,993.00 0.004487671 19 $11,014.89
$12,216.50 0.004487671 20 $11,170.04
$12,440.00 0.004487671 21 $11,323.57
$12,663.50 0.004487671 22 $11,475.52
$12,887.00 0.004487671 23 $11,625.88
$13,110.50 0.004487671 24 $11,774.67
$13,334.00 0.004487671 25 $11,921.89
$13,557.50 0.004487671 26 $12,067.57
$13,781.00 0.004487671 27 $12,211.70
$14,004.50 0.004487671 28 $12,354.31
$14,228.00 0.004487671 29 $12,495.40
$14,451.50 0.004487671 30 $12,634.98
$14,675.00 0.004487671 31 $12,773.07
$14,898.50 0.004487671 32 $12,909.67
$15,122.00 0.004487671 33 $13,044.79
$15,345.50 0.004487671 34 $13,178.45
$15,569.00 0.004487671 35 $13,310.65
$377,125.19
382
8.1.7. Algunos ejercicios resueltos para revisar. Conviértase en un evaluador y verifique que el procedimiento sea correcto. De no ser así, repórtelo al autor:
Nota: en todos los casos comprobar Rp1 Con los siguientes datos, resuelva el ejercicio: ( 1 )
Rp1= $210.00
n = 65 cuotas
i = 18%
m= mensual
crece: $18 aritmético/ 1.8% geométrico
Mga= ?
1
65
65
(1 ) 1 *( ) (1 )
.18(1 ) 118 65*1812.18(210 ) (1 )12.18 .18 .18
12 12 12
18 (1.015) 1 1,170(210 ) (1.015)
.015 .015 .015
(210 1,200) (1.015)108.8027667 78,
niga n gamiMga Rp
mi i im m m
Mga
Mga
Mga
000
(1,410) 110.4348082 78,000
155,713.07956 78,000
$77,713.07956
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 ) (1 )
77,713.07956 .3799332
$29,525.779
n
n
iga n gami iVAga Rp
m mi i im m m
VAga
VAga
Prepagable Aritmético
383
1
(1 ) 1 *( )
(1,410) 108.8027667 78,000
153,411.901 78,000
$75,411.90105
niga n gamMga Rpi i im m m
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 )
75,411.90105 .3799332
$28,651.48488
n
n
iga n gam iVAga Rp
mi i im m m
VAga
VAga
1
65 65
(1 ) (1 )(1 )
(1.015) (1 .018)210(1.015)
.015 .018
2.6320415 3.1886405213.15
.003
.556599213.15
.003
213.15 185.533
$39,546.35895
n ni ggmiMgg Rp
m i ggm
Mgg
Mgg
Mgg
Mgg
Mgg
1
1
1
1
(1 ) (1 )(1 )
39,546.35895
1.015 185.533
39,546.35895
188.315995
$210.00
n n
MggRp
i ggmi
m i ggm
Rp
Rp
Rp
1
(1 ) (1 )
210 185.533
$38,961.93
n ni ggmMgg Rpi ggm
Mgg
Mgg
1
1
1
(1 ) (1 )
38,961.93
185.533
$210.00
n n
MggRp
i ggmi ggm
Rp
Rp
Pospagable
Prepagable Geométrico
384
( 2 )
Rp1= $180.00 n= 50 cuotas
i= 16% crece: $15 aritmético/ 1.5% geométrico
m= cada 20 días
Mga= ¿?
1
65
(1 ) 1 *( ) (1 )
15 (1.0087671) 1 50*15(180 ) (1.0087671)
.16 .0087671 .0087671*20365
15 .5471965 750(180 ) (1.0087671)
.0087671 .0087671 .0087671
(180 1,710
niga n gamiMga Rp
mi i im m m
Mga
Mga
Mga
.942045) (1.0087671)62.4147665 85,547.10223
(1,890.942045) 62.961963 85,547.10223
119,057.4231 85,547.10223
$33,510.32084
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 ) (1 )
33,510.32084 .6463302
$21,658.73237
n
n
iga n gami iVAga Rp
m mi i im m m
VAga
VAga
1
(1 ) 1 *( )
(1,890.942045) 62.4147665 87,547.10223
118,022.7062 87,547.10223
$30,475.60397
niga n gamMga Rpi i im m m
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 )
30,475.60397 .6463302
$19,697.30321
n
n
iga n gam iVAga Rp
mi i im m m
VAga
VAga
Prepagable Aritmético
Pospagable
385
1
65 65
(1 ) (1 )(1 )
(1.0087671) (1.015)180(1.0087671)
.0087671 .015
1.5471965 2.1052424181.578078
.0062329
.5580450181.578078
.0062329
181.57807
n ni ggmiMgg Rp
m i ggm
Mgg
Mgg
Mgg
Mgg
8 89.5323043
$16,257.10373Mgg
1
1
1
1
(1 ) (1 )(1 )
16,257.10373
1.0087671 89.5323043
16,257.10373
90.3172429
$180.00
n n
MggRp
i ggmi
m i ggm
Rp
Rp
Rp
1
(1 ) (1 )
180 89.5323043
$16,115.81477
n ni ggmMgg Rpi ggm
Mgg
Mgg
1
1
1
(1 ) (1 )
16,115.81477
89.5323043
$180.00
n n
MggRp
i ggmi ggm
Rp
Rp
( 3 )
Rp1= $310.00 n= 33 cuotas
i= .13% mensual crece: $22.00 aritmético/ 2.2% geométrico
m= cada 18 días
Mga= ¿?
Prepagable Geométrico
Pospagable
386
1
33
(1 ) 1 *( ) (1 )
22 (1.078) 1 33*22(310 ) (1.078)
.13 .078 .078*1830
22 10.9239215(310 ) (1.078) 9,307.692308
.078 .078
(310 282.0512821) (1.078)140.0502756
niga n gamiMga Rp
mi i im m m
Mga
Mga
Mga
9,307.692308
(592.0512821) 150.9741971 9,307.692308
89,384.46698 9,307.692308
$80,076.77467
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 ) (1 )
80,076.77467 .0838650
$6,715.638708
n
n
iga n gami iVAga Rp
m mi i im m m
VAga
VAga
1
(1 ) 1 *( )
(592.0512821) 140.0502756 9,307.692308
82,916.94523 9,307.692308
$73,609.25292
niga n gamMga Rpi i im m m
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 )
73,609.25292 .0838650
$6,173.239996
n
n
iga n gam iVAga Rp
mi i im m m
VAga
VAga
Prepagable Aritmético
Pospagable
387
1
33 33
(1 ) (1 )(1 )
(1.078) (1.022)310(1.078)
.078 .022
11.9239215 2.0505934334.18
.056
334.18 176.30943
$58,919.08544
n ni ggmiMgg Rp
m i ggm
Mgg
Mgg
Mgg
Mgg
1
1
1
1
(1 ) (1 )(1 )
58,919.08544
1.078 176.3094304
58,919.08544
190.061566
$310.00
n n
MggRp
i ggmi
m i ggm
Rp
Rp
Rp
1
(1 ) (1 )
310 176.3094304
$54,655.92342
n ni ggmMgg Rpi ggm
Mgg
Mgg
1
1
1
(1 ) (1 )
54,655.92342
176.3094304
$310.00
n n
MggRp
i ggmi ggm
Rp
Rp
Prepagable Geométrico
Pospagable
388
( 4 )
Mga= ¿?
Rp1= $400.00 n= 22 cuotas
i= 19% crece: $12 aritmético/ 1.2% geométrico
m= quincenal
1
22
(1 ) 1 *( ) (1 )
12 (1.0078082) 1 22*12(400 ) (1.0078082)
.19 .0078082 .0078082*15365
12 .1866255(400 ) (1.0078082) 33,810.60936
.0078082 .0078082
(400 1,53
niga n gamiMga Rp
mi i im m m
Mga
Mga
Mga
6.84588) (1.0078082)23.9012192 33,810.60936
(1,936.84588) 24.0878447 33,810.60936
46,654.44276 33,810.60936
$12,843.8334
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 ) (1 )
12,843.8334 .8427261
$10,823.83363
n
n
iga n gami iVAga Rp
m mi i im m m
VAga
VAga
1
(1 ) 1 *( )
(1,936.84588) 23.9012192 33,810.60936
46,292.97793 33,810.60936
$12,482.36857
niga n gamMga Rpi i im m m
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 )
12,482.36857 .8427261
$10,519.21779
n
n
iga n gam iVAga Rp
mi i im m m
VAga
VAga
Prepagable Aritmético
Pospagable
389
1
22 22
(1 ) (1 )(1 )
(1.0078082) (1.012)400(1.0078082)
.078 .022
1.1866250 1.3000835403.12328
.0041918
403.12328 27.0667732
$10,911.24639
n ni ggmiMgg Rp
m i ggm
Mgg
Mgg
Mgg
Mgg
1
1
1
1
(1 ) (1 )(1 )
10,911.24639
1.0078082 27.0667732
10,911.24639
27.2781159
$400.00
n n
MggRp
i ggmi
m i ggm
Rp
Rp
Rp
1
(1 ) (1 )
400 27.0667732
$10,826.70928
n ni ggmMgg Rpi ggm
Mgg
Mgg
1
1
1
(1 ) (1 )
10,826.70928
27.0667732
$400.00
n n
MggRp
i ggmi ggm
Rp
Rp
Prepagable Geométrico
Pospagable
390
( 5 )
Mga= ¿?
Rp1= $850.00 n= 90 cuotas
i= 32% bianual crece: $15.00 aritmético/ 1.5% geométrico
m= mensual
1
90
(1 ) 1 *( ) (1 )
15 (1.0133333) 1 90*15(850 ) (1.0133333)
.32 .0133333 .013333324
15 2.2938841(850 ) (1.0133333) 101,250.2531
.0133333 .0133333
(850 1,125.0
niga n gamiMga Rp
mi i im m m
Mga
Mga
Mga
02813) (1.0133333)172.0417376 101,250.2531
(1,975.002813) 174.3356217 101,250.2531
344,313.3433 101,250.2531
$243,063.0902
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 ) (1 )
243,063.0902 .3035929
$73,792.22844
n
n
iga n gami iVAga Rp
m mi i im m m
VAga
VAga
1
(1 ) 1 *( )
(1,975.002813) 174.3356217 101,250.2531
344,313.3433 101,250.2531
$243,063.0802
niga n gamMga Rpi i im m m
Mga
Mga
Mga
1
(1 ) 1 *( ) (1 )
243,063.0802 .3035929
$73,792.22539
n
n
iga n gam iVAga Rp
mi i im m m
VAga
VAga
Prepagable Aritmético
Pospagable
391
1
90 90
(1 ) (1 )(1 )
(1.0133333) (1.015)850(1.0133333)
.0133333 .015
3.2938841 3.8189485861.333305
.0016667
861.333305 315.0323394
$271,347.846
n ni ggmiMgg Rp
m i ggm
Mgg
Mgg
Mgg
Mgg
1
1
1
1
(1 ) (1 )(1 )
271,347.846
1.0133333 315.0323394
271,347.846
319.2327601
$850.00
n n
MggRp
i ggmi
m i ggm
Rp
Rp
Rp
1
(1 ) (1 )
850 315.0323394
$267,777.4885
n ni ggmMgg Rpi ggm
Mgg
Mgg
1
1
1
(1 ) (1 )
267,777.4885
315.0323394
$850.00
n n
MggRp
i ggmi ggm
Rp
Rp
Prepagable Geométrico
Pospagable
392
8.1.8.- Ejercicios con despeje de “n” para desarrollar en clase su verificación
Colaboración especial de MARISOL DOMÍNGUEZ MARTÍNEZ (LAET) 1. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
393
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
394
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
395
*
+
[
]
[
]
*
+
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
396
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
397
2. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
398
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
399
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
400
*
+
[
]
[
]
*
+
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
401
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
402
3. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
403
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
404
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
405
*
+
[
]
[
]
*
+
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
406
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
407
4. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
408
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
409
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
410
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
411
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
412
5. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
413
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
414
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
415
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
416
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
6. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
BUSCAR “n”
417
[
]
[
]
[
]
[ ]
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
418
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
419
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
420
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
421
7. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
422
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
423
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
424
(
) *(
)
+
[
]
[
]
*
+
*
+
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
425
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
8. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
BUSCAR “n”
426
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
427
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
428
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
429
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
430
9. Con los siguientes datos:
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
431
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
432
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
433
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
*
+
[
]
[
]
*
+
*
+
434
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
10. Con los siguientes datos:
.00
PREPAGABLE
*
+
BUSCAR “n”
435
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
POSPAGABLE
(
)*
+
(
) [
]
[
]
[
]
[
]
436
VALOR ACTUAL
*(
)*
+
+
[(
) [
]
]
[ [
]
]
[ [
] ]
[ [
] ]
[ [ ] ]
[ ]
PREPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
*
+
437
POSPAGABLE
*
+
[
]
[
]
[
]
[
]
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
438
*
+
[
]
[
]
*
+
* +
*
(
)+
[
]
[
]
[
]
[ ]
BUSCAR “n”
439
8.1.9. EJERCICIOS PARA RESOLVER
GRADIENTES ARITMETICOS PROBLEMA 1.- Juan Carlos pide prestada cierta cantidad de dinero y firma un contrato-pagaré en el que se estipula la obligación de pagar en un año con pagos mensuales vencidos y una tasa del interés del 30% anual con capitalización mensual. Si el primer pago mensual es por $1,300.00 y los pagos sucesivos aumentaran $200.00 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que Juan Carlos pidió prestada.
PROBLEMA 2.- El señor García desea conocer el monto de 30 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmética a razón Ga=$1,500.00; con una tasa nominal del 35% capitalizable mensualmente, con pagos de $4,200.00. ¿Cuál sería el monto de esas cuotas al terminar el plazo?
Anualidad
vencida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Monto del conjunto
1,300; 1,500; 1,700; 1,900; 2,100; 2,300; 2,500; 2,700; 2,900……….. Sucesivamente hasta $3,500.00
Anualidad
vencida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …………………………..…. 30
Monto
del
conjunto
4,200 5,700 7,200 8,700 10,200 11,700 13,200 14,700 16,200…………………….. Sucesivamente hasta $47,700.00
440
PROBLEMA 3.- La compañía Alfa & Omega, S.A. pide prestado cierta cantidad de dinero y firma un contrato -pagare en el que se estipula la obligación de pagar en 10 meses con pagos mensuales vencidos y una tasa de interés del 20% anual con capitalización mensual. Si el primer pago mensual es de $35,000 y los pagos sucesivos aumentaran $600.00 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que la compañía Alfa &Omega pidió prestada.
GRADIENTES GEOMETRICOS PROBLEMA 1.- Un padre de familia ha destinado cierta cantidad de dinero para que su hijo estudie una carrera universitaria que dura 9 semestres y debido a la inflación, la colegiatura aumenta el 3.5% semestral. Si el padre deposita el dinero en una cuenta bancaria que paga el 10% capitalizable cada semestre, ¿qué cantidad de dinero tendrá que depositar en la cuenta, si la colegiatura correspondiente al primer semestre es de $24,870.00?
Anualidad
vencida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Monto
del
conjunto
35,000; 35,600; 36,200; 36,800; 37,400; 38,000; 38,600……….….. Sucesivamente hasta $40,400.00
441
PROBLEMA 2.-
La señora Laura, desea conocer el monto acumulado de una inversión de 18 mensualidades (cuotas anticipadas), las que crecen en forma aritmética a razón Gg=4.3%; con una tasa nominal del 27% capitalizable mensualmente, siendo su primer depósito de $2,700.00 ¿Cuál sería el monto de la inversión al terminar el plazo?
Depósitos a
inicio de mes
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Monto del conjunto
depósitos del fondo
de inversión
Depósitos a
inicio de mes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …………….. 18
Monto del
conjunto
depósitos del
fondo de
442
GRADIENTES ARITMETICO-GEOMETRICO PROBLEMA 1.- La familia López se ha propuesto construir una casa, por lo que consideró realizar un fondo con 8 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $170,000.00 para cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 15% con capitalización mensual y el importe del primer depósito asciende a $1’500,000.00. La pregunta es: ¿Cuánto acumulara al final de la última cuota?
PROBLEMA 2.- La Nucleoeléctrica Laguna Verde, desea ampliar las instalaciones de su planta en Veracruz y para ello se ha propuesto construir un fondo con 40 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $850,000.00 dls., para cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 19.65% con capitalización mensual y el importe del primer depósito asciende a $5’500,000.00 de dls. La pregunta es: ¿Cuánto acumulara al final de la última cuota?
La respuesta, en la sección de Anexos
443
8.1.10.- A manera de repaso general
GRADIENTES ARITMETICOS PROBLEMA 1.-
Anualidad vencida
1 2 3 4 5 6
Monto del conjunto
80,000 80,200 80,400 80,600 80,800 81,000
El Sr. Martínez pagará un importe similar, al que resulte de los 6 depósitos de $80,000.00 que crecen aritméticamente en $200.00 con respecto a la cuota anterior. La tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente.
444
𝑅𝑝1 = $80,000.00 𝐺𝑎 = $200.00 𝑛 = 6
Para calcular el Valor futuro, utilizaremos los siguientes datos: Datos:
i/m = .24/12 = 0.02( tasa de interés capitalizable en m periodos por año)
𝑀𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
𝑀𝑔𝑎 = $80,000.00 +200.00
. 2412
1 + . 24
12 6− 1
. 2412
−6 ∗ 200.00
. 2412
𝑀𝑔𝑎 = $80,000.00 +200.00
0.02
1 + 0.02 6 − 1
0.02 −
6 ∗ 200.00
0.02
𝑀𝑔𝑎 = $80,000.00 + 10,000 1.126162419 − 1
0.02 − 60,000.00
𝑀𝑔𝑎 = $90,000.00 6.30812095 − $60,000.00
𝑀𝑔𝑎 = $507,730.89
Para resolverlo se ocupa la fórmula del Monto de un conjunto de rentas variables vencidas con gradiente aritmético, la cual es la siguiente:
Así tenemos:
445
Para calcular el Valor Actual lo haremos de la siguiente manera:
𝑅𝑝1 = $80,000.00 𝐺𝑎 = $200.00 𝑛 = 6
Datos:
i/m = .24/12 =0.02(tasa de interés capitalizable en m periodos por año)
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖𝑚 −𝑛
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 80,000.00 +200.00
. 2412
1 + . 24
12 6− 1
. 2412
−6 ∗ 200.00
. 2412
1 + . 2412 −6
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 80,000.00 +200.00
0.02
1 + 0.02 6 − 1
0.02 −
6 ∗ 200.00
0.02 1.02 −6
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 80,000.00 + 10,000.00 1.126162419 − 1
0.02 − 60,000.00 0.887971382
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 90,000.00 6.30812095 − 60,000.00 0.887971382
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 507,730.89 0.887971382
𝑉𝐴𝑔𝑎 = $450,850.50
446
Solo como comprobación en Excel: En formato anticipado y vencido:
Rp1 = 80,000.00
Ga = 200.00 Mga= 507,730.89 Mga= 517,885.50
n = 6.00 Ga = 200.00 Ga = 200.00
i= 2.00% n = 6.00 n = 6.00
Mga (anualidad vencida)= 507,730.89 i= 2.00% i= 2.00%
Mga (anualidad anticipada)= 517,885.50 Rp1 = 80,000.00 Rp1 = 80,000.00
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 80,000.00 80,000.00 1 80,000.00 1,600.00 81,600.00
2 80,200.00 1,600.00 161,800.00 2 80,200.00 3,236.00 165,036.00
3 80,400.00 3,236.00 245,436.00 3 80,400.00 4,908.72 250,344.72
4 80,600.00 4,908.72 330,944.72 4 80,600.00 6,618.89 337,563.61
5 80,800.00 6,618.89 418,363.61 5 80,800.00 8,367.27 426,730.89
6 81,000.00 8,367.27 507,730.89 Comprobación 6 81,000.00 10,154.62 517,885.50 Comprobación
Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fondos de ahorro)
Fondo de ahorro (anualidad vencida)
INICIO
447
PROBLEMA 2.-
Después de clases…
El primer paso es trazar
nuestra línea de tiempo.
Anualidad vencida
1 2 3 4 5
Monto del conjunto
1,400 1,700 2,000 2,300 2,600
448
𝑀𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
Para resolverlo primero conoceremos el valor futuro, ocupando la siguiente fórmula del monto de un conjunto de rentas variables vencidas con gradiente aritmético.
𝑅𝑝1 = $1,400.00 𝐺𝑎 = $300.00 𝑛 = 5
En donde:
i/m = .10/12 = 0.008333333( tasa de interés capitalizable en m periodos por año)
Al sustituir los datos en la fórmula quedaría de la siguiente manera:
𝑀𝑔𝑎 = $1,400.00 +300.00
. 1012
1 + . 10
12 5− 1
. 1012
−5 ∗ 300.00
. 1012
𝑀𝑔𝑎 = $1,400.00 +300.00
0.008333333
1 + 0.008333333 5 − 1
0.008333333 −
5 ∗ 300.00
0.008333333
𝑀𝑔𝑎 = $1,400.00 + 36,000 1.042366922 − 1
0.008333333 − 180,000.00
𝑀𝑔𝑎 = $37,400.00 5.084030843 − $180,000.00
𝑴𝒈𝒂 = $𝟏𝟎,𝟏𝟒𝟐.𝟕𝟓
449
Utilizar la fórmula del Valor Actual
𝑅𝑝1 = $1,400.00 𝐺𝑎 = $300.00 𝑛 = 5
Identificando los Datos:
i/m = .10/12 =0.008333333(tasa de interés capitalizable en m periodos por año) VAga = ¿?
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖𝑚 −𝑛
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 1,400.00 +300.00
. 1012
1 + . 10
12 5− 1
. 1012
−5 ∗ 300.00
. 1012
1 + . 1012 −5
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 1,400.00 +300.00
0.008333333
1 + 0.008333333 5 − 1
0.008333333
−5 ∗ 300.00
0.008333333 1.008333333 −5
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 1,400.00 + 36,000.00 1.042366922 − 1
0.008333333 − 180,000.00 0.959355079
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 37,400.00 5.084030843 − 180,000.00 0.959355079
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 10,142.75353 0.959355079
𝑽𝑨𝒈𝒂 = $𝟗,𝟕𝟑𝟎.𝟓𝟎
450
Rp1 = 1,400.00
Ga = 300.00 Mga= 10,142.75 Mga= 10,227.27
n = 5.00 Ga = 300.00 Ga = 300.00
i= 0.83% n = 5.00 n = 5.00
Mga (anualidad vencida)= 10,142.75 i= 0.83% i= 0.83%
Mga (anualidad anticipada)= 10,227.27 Rp1 = 1,400.00 Rp1 = 1,400.00
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 1,400.00 1,400.00 1 1,400.00 11.67 1,411.67
2 1,700.00 11.67 3,111.67 2 1,700.00 25.93 3,137.60
3 2,000.00 25.93 5,137.60 3 2,000.00 42.81 5,180.41
4 2,300.00 42.81 7,480.41 4 2,300.00 62.34 7,542.75
5 2,600.00 62.34 10,142.75 Comprobación 5 2,600.00 84.52 10,227.27 Comprobación
Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fondos de ahorro)
Fondo de ahorro (anualidad vencida)
451
PROBLEMA 3.-
𝑀𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
Primero lo resolveremos en Valor Futuro, utilizando esta fórmula:
Identificando los Datos: RP=$2,100.00 Ga=$500.00 n=12 i=34.8% anual =34.8/12=2.9% mensual Se desea conocer su monto Mga
452
𝑀𝑔𝑎 = 2,100 +500
0.029
1 + 0.029 12 − 1
0.029 −
12 ∗ 500
0.029
𝑀𝑔𝑎 = 2,100 + 17,241.38 1.029 12 − 1
0.029 −
6,000
0.029
𝑀𝑔𝑎 = 19,341.38 1.409238492 − 1
0.029 − 206,896.55
𝑀𝑔𝑎 = 19,341.38 0.409238492
0.029 − 206,896.55
𝑀𝑔𝑎 = 19,341.38 14.11167215 − 206,896.55
𝑀𝑔𝑎 = 272,939.21 − 206,896.55
𝑀𝑔𝑎 = $66,042.66
Sustitución de Valores en la Formula:
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖𝑚 −𝑛
Para resolverlo por Valor Actual, ahora utilizamos la siguiente fórmula:
Sustituiremos estos Datos: RP=$2,100.00 Ga=$500.00 n=12 i=34.8% anual =34.8/12=2.9% mensual
VAga
453
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖𝑚 −𝑛
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 2,100 +500
0.029
1 + 0.029 12 − 1
0.029 −
12 ∗ 500
0.029 1
+ 0.029 −12
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 2,100 + 17,241.38 1.029 12 − 1
0.029 −
6,000
0.029 1.029 −12
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 19,341.38 1.409238492 − 1
0.029 − 206,896.55 0.709603098
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 19,341.38 0.40923849
0.029 − 206,896.55 0.709603098
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 19,341.38 14.11167215 − 206,896.55 0.709603098
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 272,939.21 − 206,896.55 0.709603098
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 66,042.6635 0.709603098
𝑉𝐴𝑔𝑎 = $46,864.078
454
Solo como comprobación en Excel: En formato anticipado y vencido:
Rp1 = 2,100.00
Ga = 500.00 Mga= 66,042.65 Mga= 67,957.89
n = 12.00 Ga = 500.00 Ga = 500.00
i= 2.90% n = 12.00 n = 12.00
Mga (anualidad vencida)= 66,042.65 i= 2.90% i= 2.90%
Mga (anualidad anticipada)= 67,957.89 Rp1 = 2,100.00 Rp1 = 2,100.00
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 2,100.00 2,100.00 1 2,100.00 60.90 2,160.90
2 2,600.00 60.90 4,760.90 2 2,600.00 138.07 4,898.97
3 3,100.00 138.07 7,998.97 3 3,100.00 231.97 8,230.94
4 3,600.00 231.97 11,830.94 4 3,600.00 343.10 12,174.03
5 4,100.00 343.10 16,274.03 5 4,100.00 471.95 16,745.98
6 4,600.00 471.95 21,345.98 6 4,600.00 619.03 21,965.01
7 5,100.00 619.03 27,065.01 7 5,100.00 784.89 27,849.90
8 5,600.00 784.89 33,449.90 8 5,600.00 970.05 34,419.95
9 6,100.00 970.05 40,519.95 9 6,100.00 1,175.08 41,695.02
10 6,600.00 1,175.08 48,295.02 10 6,600.00 1,400.56 49,695.58
11 7,100.00 1,400.56 56,795.58 11 7,100.00 1,647.07 58,442.65
12 7,600.00 1,647.07 66,042.65 Comprobación 12 7,600.00 1,915.24 67,957.89 Comprobación
Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fondos de ahorro)
Fondo de ahorro (anualidad vencida)
455
PROBLEMA 4.-
𝑀𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
De acuerdo a los datos que me proporcionó Andrés, me dice que pagará $3,500.00 mensuales con incrementos de $150.00 durante un año en modalidad vencida. Y la tasa de interés que le cargarán es del 18% con capitalización mensual…… mmmm veamos cómo se resuelve este problema, utilizando la fórmula del monto de un gradiente aritmético. Primero lo resolveremos en Valor Futuro, utilizando esta fórmula:
Identificando los Datos: RP=$3,500.00 Ga=$150.00 n=12 i=18% anual =18/12=1.5% mensual Mga = ¿?
456
𝑀𝑔𝑎 = 3,500 +1500
0.015
1 + 0.015 12 − 1
0.015 −
12 ∗ 150
0.015
𝑀𝑔𝑎 = 3,500 + 10,000.00 1.015 12 − 1
0.015 −
1,800
0.015
𝑀𝑔𝑎 = 13,500.0 1.195618171 − 1
0.015 − 120,000.00
𝑀𝑔𝑎 = 13,500.0 0.195618171
0.015 − 120,000.00
𝑀𝑔𝑎 = 13,500.0 13.0412114 − 120,000.00
𝑀𝑔𝑎 = 176056.3539 − 120,000.00
𝑀𝑔𝑎 = $56,056.35
Sustitución de Valores en la Formula:
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖𝑚 −𝑛
Para resolverlo por Valor Actual, utilizando esta fórmula:
Identificando los Datos: RP=$3,500.00 Ga=$150.00 n=12 i=18% anual =18/12=1.5% mensual VAga= ¿?
457
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖𝑚 −𝑛
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 3,500 +150
0.015
1 + 0.015 12 − 1
0.015 −
12 ∗ 150
0.015 1 + 0.015 −12
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 3,500 + 10,000.00 1.015 12 − 1
0.015 −
1,800
0.015 1.015 −12
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 13,500.00 1.195618171 − 1
0.015 − 120,000.00 0.836387421
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 13,500.00 0.195618171
0.015 − 120,000.00 0.836387421
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 13,500 13.0412114 − 120,000.00 00.836387421
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 176,056.353 − 120,000.00 0.836387421
𝑉𝐴𝑔𝑎 = 656,056.3539 0.836387421
𝑉𝐴𝑔𝑎 = $46,884.83
458
Solo como comprobación en Excel: En formato anticipado y vencido:
Entonces si realiza pagos de la siguiente forma: $3,500.00 mensuales con incrementos gradiente de $150.00 a partir de la segunda cuota y con respecto de la anterior y así suscesivamente, entonces el abona capital por $51,900.00 y la diferencia es el interes que pago por el préstamo, de ahí que si el total que paga al banco es de $56,056.35 menos $51,900.00 entonces pago la cantidad de$4,156.35 por concepto de interéses.
Rp1 = 3,500.00
Ga = 150.00 Mga= 56,056.35 Mga= 56,897.20
n = 12.00 Ga = 150.00 Ga = 150.00
i= 1.50% n = 12.00 n = 12.00
Mga (anualidad vencida)= 56,056.35 i= 1.50% i= 1.50%
Mga (anualidad anticipada)= 56,897.20 Rp1 = 3,500.00 Rp1 = 3,500.00
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 3,500.00 3,500.00 1 3,500.00 52.50 3,552.50
2 3,650.00 52.50 7,202.50 2 3,650.00 108.04 7,310.54
3 3,800.00 108.04 11,110.54 3 3,800.00 166.66 11,277.20
4 3,950.00 166.66 15,227.20 4 3,950.00 228.41 15,455.60
5 4,100.00 228.41 19,555.60 5 4,100.00 293.33 19,848.94
6 4,250.00 293.33 24,098.94 6 4,250.00 361.48 24,460.42
7 4,400.00 361.48 28,860.42 7 4,400.00 432.91 29,293.33
8 4,550.00 432.91 33,843.33 8 4,550.00 507.65 34,350.98
9 4,700.00 507.65 39,050.98 9 4,700.00 585.76 39,636.74
10 4,850.00 585.76 44,486.74 10 4,850.00 667.30 45,154.04
11 5,000.00 667.30 50,154.04 11 5,000.00 752.31 50,906.35
12 5,150.00 752.31 56,056.35 Comprobación 12 5,150.00 840.85 56,897.20 Comprobación
Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fondos de ahorro)
Fondo de ahorro (anualidad vencida)
INICIO
Pago No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
abonos 3,500.00$ 3,650.00$ 3,800.00$ 3,950.00$ 4,100.00$ 4,250.00$ 4,400.00$ 4,550.00$ 4,700.00$ 4,850.00$ 5,000.00$ 5,150.00$ 51,900.00$
Total depósitos51,900.00$
calculado -56,056.35
interés pagado 4,156.35-$
459
PROBLEMA 5.-
Carolina tramito su crédito para comprar una casa; en el que se estipula la obligación de pagar durante 10 años las mensualidades a fin de mes; y una tasa del interés del 12.30% anual con capitalización mensual. Si el primer pago mensual es por $11,300.00 y los pagos sucesivos aumentaran $350.00 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que pagará Carolina.
460
Anualidad vencida
Monto del conjunto
$11,300.00 11,650 12,000 12,350 1 2,700 13,050 13,400 13,750 14,100……….. Sucesivamente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dibujaremos nuestra línea del tiempo, para
ayudarnos a entender el crédito de Carolina
𝑀𝑔𝑎 = 𝑅𝑝1 +𝑔𝑎𝑖𝑚
1 + 𝑖
𝑚 𝑛− 1
𝑖𝑚
−𝑛 ∗ 𝑔𝑎𝑖𝑚
Realizaremos el cálculo de un conjunto de
anualidad vencida con gradientes aritméticos,
con los siguientes datos: RP=$11,300.00 Ga=$350.00 n=120 i=12.30% anual =12.30/12=1.025% mensual
Para la cual Utilizaremos la fórmula:
461
𝑀𝑔𝑎 = 11,300 +350
0.01025
1 + 0.01025 120 − 1
0.01025 −
120 ∗ 350
0.01025
𝑀𝑔𝑎 = 11,300 + 34,146.3414 1.01025 120 − 1
0.01025 −
42,000
0.01025
𝑀𝑔𝑎 = 45,446.3114 3.399876125 − 1
0.01025 − 4,097,560.9756
𝑀𝑔𝑎 = 45,446.3114 2.399876125
0.01025 − 4,097,560.9756
𝑀𝑔𝑎 = 45,446.3114 234.1342561 − 4,097,560.9756
𝑀𝑔𝑎 = 10,640,538.31 − 4,097,560.9756
𝑀𝑔𝑎 = $6,542,997.34
Sustitución de Valores en la Fórmula:
Ahora sustituiremos
los valores en la fórmula.
462
Su comprobación en Excel
Rp1 = 11,300.00
Ga = 350.00 Mga= 6,542,984.38 Mga= 6,610,049.97
n = 120.00 Ga = 350.00 Ga = 350.00
i= 1.03% n = 120.00 n = 120.00
Mga (anualidad vencida)= 6,542,984.38 i= 1.03% i= 1.03%
Mga (anualidad anticipada)= 6,610,049.97 Rp1 = 11,300.00 Rp1 = 11,300.00
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fondos de ahorro)
INICIO
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 11,300.00 11,300.00 1 11,300.00 115.83 11,415.83
2 11,650.00 115.83 23,065.83 2 11,650.00 236.42 23,302.25
3 12,000.00 236.42 35,302.25 3 12,000.00 361.85 35,664.10
4 12,350.00 361.85 48,014.10 4 12,350.00 492.14 48,506.24
5 12,700.00 492.14 61,206.24 5 12,700.00 627.36 61,833.61
6 13,050.00 627.36 74,883.61 6 13,050.00 767.56 75,651.16
7 13,400.00 767.56 89,051.16 7 13,400.00 912.77 89,963.94
8 13,750.00 912.77 103,713.94 8 13,750.00 1,063.07 104,777.01
9 14,100.00 1,063.07 118,877.01 9 14,100.00 1,218.49 120,095.49
10 14,450.00 1,218.49 134,545.49 10 14,450.00 1,379.09 135,924.59
11 14,800.00 1,379.09 150,724.59 11 14,800.00 1,544.93 152,269.51
12 15,150.00 1,544.93 167,419.51 12 15,150.00 1,716.05 169,135.56
13 15,500.00 1,716.05 184,635.56 13 15,500.00 1,892.51 186,528.08
14 15,850.00 1,892.51 202,378.08 14 15,850.00 2,074.38 204,452.45
15 16,200.00 2,074.38 220,652.45 15 16,200.00 2,261.69 222,914.14
16 16,550.00 2,261.69 239,464.14 16 16,550.00 2,454.51 241,918.65
17 16,900.00 2,454.51 258,818.65 17 16,900.00 2,652.89 261,471.54
18 17,250.00 2,652.89 278,721.54 18 17,250.00 2,856.90 281,578.43
19 17,600.00 2,856.90 299,178.43 19 17,600.00 3,066.58 302,245.01
20 17,950.00 3,066.58 320,195.01 20 17,950.00 3,282.00 323,477.01
21 18,300.00 3,282.00 341,777.01 21 18,300.00 3,503.21 345,280.23
22 18,650.00 3,503.21 363,930.23 22 18,650.00 3,730.28 367,660.51
23 19,000.00 3,730.28 386,660.51 23 19,000.00 3,963.27 390,623.78
24 19,350.00 3,963.27 409,973.78 24 19,350.00 4,202.23 414,176.01
25 19,700.00 4,202.23 433,876.01 25 19,700.00 4,447.23 438,323.24
26 20,050.00 4,447.23 458,373.24 26 20,050.00 4,698.33 463,071.57
27 20,400.00 4,698.33 483,471.57 27 20,400.00 4,955.58 488,427.15
28 20,750.00 4,955.58 509,177.15 28 20,750.00 5,219.07 514,396.22
29 21,100.00 5,219.07 535,496.22 29 21,100.00 5,488.84 540,985.05
30 21,450.00 5,488.84 562,435.05 30 21,450.00 5,764.96 568,200.01
31 21,800.00 5,764.96 590,000.01 31 21,800.00 6,047.50 596,047.51
32 22,150.00 6,047.50 618,197.51 32 22,150.00 6,336.52 624,534.04
33 22,500.00 6,336.52 647,034.04 33 22,500.00 6,632.10 653,666.14
34 22,850.00 6,632.10 676,516.14 34 22,850.00 6,934.29 683,450.43
35 23,200.00 6,934.29 706,650.43 35 23,200.00 7,243.17 713,893.59
104 47,350.00 48,422.28 4,819,897.52 104 47,350.00 49,403.95 4,869,301.47
105 47,700.00 49,403.95 4,917,001.47 105 47,700.00 50,399.27 4,967,400.74
106 48,050.00 50,399.27 5,015,450.74 106 48,050.00 51,408.37 5,066,859.11
107 48,400.00 51,408.37 5,115,259.11 107 48,400.00 52,431.41 5,167,690.51
108 48,750.00 52,431.41 5,216,440.51 108 48,750.00 53,468.52 5,269,909.03
109 49,100.00 53,468.52 5,319,009.03 109 49,100.00 54,519.84 5,373,528.87
110 49,450.00 54,519.84 5,422,978.87 110 49,450.00 55,585.53 5,478,564.40
111 49,800.00 55,585.53 5,528,364.40 111 49,800.00 56,665.74 5,585,030.14
112 50,150.00 56,665.74 5,635,180.14 112 50,150.00 57,760.60 5,692,940.74
113 50,500.00 57,760.60 5,743,440.74 113 50,500.00 58,870.27 5,802,311.00
114 50,850.00 58,870.27 5,853,161.00 114 50,850.00 59,994.90 5,913,155.90
115 51,200.00 59,994.90 5,964,355.90 115 51,200.00 61,134.65 6,025,490.55
116 51,550.00 61,134.65 6,077,040.55 116 51,550.00 62,289.67 6,139,330.22
117 51,900.00 62,289.67 6,191,230.22 117 51,900.00 63,460.11 6,254,690.33
118 52,250.00 63,460.11 6,306,940.33 118 52,250.00 64,646.14 6,371,586.46
119 52,600.00 64,646.14 6,424,186.46 119 52,600.00 65,847.91 6,490,034.38
120 52,950.00 65,847.91 6,542,984.38 Comprobación 120 52,950.00 67,065.59 6,610,049.97
Fondo de ahorro (anualidad vencida) Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
463
GRADIENTES GEOMETRICOS PROBLEMA 1.-
Depósitos a inicio de
mes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …………….. 15
Monto del conjunto
depósitos del fondo de inversión
A continuación se muestra la línea de tiempo de los 15 depósitos mensuales.
464
Mg𝑔 = $2,000.00 1 + . 1512
1+ . 1512 15 − 1 + 0.076 15
. 1512 − 0.076
Mg𝑔 = $2,000.00 1.0125 1. 0125 15 − 1 + 0.076 15
. 0125 − 0.076
Mg𝑔 = $2,000.00 1.0125 1.20482918 − 3.00043394
. 0125 − 0.076
Mg𝑔 = $2,000.00 1.0125 −1.79560476
−0.0635
Mg𝑔 = $2,000.00 1.0125 28.27724032
Mg𝑔 = $2,000.00 28.63070582
Mg𝑔 = $57,261.41
465
𝑀𝑔𝑔 = $2,000.00 1 + . 15
12 15 − 1 + 0.076 15
. 1512 − 0.076
𝑀𝑔𝑔 = $2,000.00 1.0125 15 − 1 + 0.076 15
. 0125 − 0.076
𝑀𝑔𝑔 = $2,000.00 1.20482918 − 3.00043394
. 0125 − 0.076
𝑀𝑔𝑔 = $2,000.00 −1.79560476
−0.0635
Mg𝑔 = $2,000.00 28.27724032
Mg𝑔 = $56,554.48
Se Modifica bajo el mismo criterio si:
Para calcular el Monto de un conjunto de
Cuotas Vencidas (Pospagables) con
Gradiente geométrico (Gg), utilizaremos
los siguientes datos:
Datos: n = 15 depósitos
Mgg=?
i/m= . 15 12 = 0.0125 (Tasa de interés nominal
capitalizable en m periodos por año)
Rp=$2,000.00
Gg = 7.6%
466
Solución en Excel
En el simulador de Visual Basic
Ambos simuladores (Excel y Visual Basic) están disponibles para compartirlos con los lectores de esta obra (solicitarlos a los correos descritos al final de cada capítulo)
Rp1 = 2,000.00
Gg = 7.60% Mgg= 56,554.48 Mgg= 57,261.41
n = 15.00 Gg = 0.08 Gg = 0.08
i= 1.25% n = 15.00 n = 15.00
Mgg (anualidad vencida)= 56,554.48 i= 1.25% i= 1.25%
Mgg (anualidad anticipada)= 57,261.41 Rp1 = 2,000.00 Rp1 = 2,000.00
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 2,000.00 2,000.00 1 2,000.00 25.00 2,025.00
2 2,152.00 25.00 4,177.00 2 2,152.00 52.21 4,229.21
3 2,315.55 52.21 6,544.76 3 2,315.55 81.81 6,626.57
4 2,491.53 81.81 9,118.11 4 2,491.53 113.98 9,232.08
5 2,680.89 113.98 11,912.97 5 2,680.89 148.91 12,061.89
6 2,884.64 148.91 14,946.53 6 2,884.64 186.83 15,133.36
7 3,103.87 186.83 18,237.23 7 3,103.87 227.97 18,465.19
8 3,339.76 227.97 21,804.96 8 3,339.76 272.56 22,077.52
9 3,593.59 272.56 25,671.11 9 3,593.59 320.89 25,992.00
10 3,866.70 320.89 29,858.70 10 3,866.70 373.23 30,231.93
11 4,160.57 373.23 34,392.50 11 4,160.57 429.91 34,822.40
12 4,476.77 429.91 39,299.18 12 4,476.77 491.24 39,790.42
13 4,817.01 491.24 44,607.42 13 4,817.01 557.59 45,165.02
14 5,183.10 557.59 50,348.11 14 5,183.10 629.35 50,977.47
15 5,577.01 629.35 56,554.48 Comprobación 15 5,577.01 706.93 57,261.41 Comprobación
GRADIENTES GEOMÉTRICOS (Valor futuro y fondos de ahorro)
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
Fondo de ahorro (anualidad vencida) Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
INICIO
467
PROBLEMA 2.-
Durante el receso…
El primer paso es trazar nuestra línea
de tiempo.
Depósitos a inicio de cada mes
1 2 3 4 5 6 7 ……… 10
Monto del conjunto de
depósitos del fondo de inversión
468
En donde: n = 10 depósitos
i/m= . 30 12 = 0.025 (Tasa de interés nominal capitalizable en m periodos por año)
Rp=$6,000.00
Gg = 6.5%
Al sustituir los datos en la fórmula, queda
de la siguiente manera:
Mg𝑔 = $6,000.00 1 + . 3012
1+ . 3012 10 − 1 + 0.065 10
. 3012 − 0.065
Mg𝑔 = $6,000.00 1.025 1. 025 10 − 1 + 0.065 10
0.025 − 0.065
Mg𝑔 = $6,000.00 1.025 1.280084544 − 1.877137465
0.025 − 0.065
Mg𝑔 = $6,000.00 1.025 −0.597052921
−0.04
Mg𝑔 = $6,000.00 1.025 14.92632303
Mg𝑔 = $6,000.00 15.2994811
𝐌𝐠𝒈 = $𝟗𝟏,𝟕𝟗𝟔.𝟖𝟕
469
TABLA DE DESPEJES
Valor Actual del Rp
Valor de “n” plazo
Fórmula original:
(1 / )Si i m Gg
1
(1 / ) (1 )(1 / )
( / )
n n
g
i m GgMg Rp i m
i m Gg
Despeje:
1(1 / ) (1 )
(1 / )( / )
g
n n
MgRp
i m Ggi m
i m Gg
Datos: = $ , .
= = .
= = .
= . (Tasa de interés
nominal capitalizable en m periodos por año)
$ , .
+ .
. − .
. − .
=
$ , .
. [ . − .
. − . ]=
$ , .
. [ . − .
. − . ]=
$ , .
. [− .
− . ]=
$ , .
. . =
=$ , .
.
= , . = $ , .
Formula Original:
1 + − 1 +
−
1 1 +
∗ − = 0
Se tiene que satisfacer la fórmula:
1 + 0.065 − 1 + .025 − $91,796.87
$6,000 1 + .025 ∗ . 025 − 0.065 = 0
A prueba y error utilizamos para “x”= 9, 11 respectivamente y obtenemos:
1 + 0.065 − 1 + .025 − $91,796.87
$6,000 1 + .025 ∗ . 025 − 0.065 = 0
1.76257039 − 1.24886297 − 14.92632033 ∗ −0.04 = 0
1.76257039 − 1.24886297 − 0.597052813= 0.083345393
No es exacto
1 + 0.065 11 − 1 + .025 11 − $91,796.87
$6,000 1 + .025 ∗ . 025 − 0.065
= 0 1.999151401 − 1.312086658 − 14.92632033 ∗ −0.04
= 0
1.999151401 − 1.312086658 − 0.597052813= −0.09001193
No es exacto
1 + 0.065 10 − 1 + .025 10 − $91,796.87
$6,000 1 + .025 ∗ . 025 − 0.065
= 0
1.87713747 − 1.28008454 − 14.92632033 ∗ −0.04 = 0
1.87713747 − 1.28008454 − 0.597052813 = −0.0079238
n= 10 se comprueba el ejercicio
470
En Excel
Rp1 = 6,000.00
Gg = 6.50% Mgg= 89,557.94 Mgg= 91,796.89
n = 10.00 Gg = 0.07 Gg = 0.07
i= 2.50% n = 10.00 n = 10.00
Mgg (anualidad vencida)= 89,557.94 i= 2.50% i= 2.50%
Mgg (anualidad anticipada)= 91,796.89 Rp1 = 6,000.00 Rp1 = 6,000.00
Abono Anualidad Interés Saldo Abono Anualidad Interés Saldo
1 6,000.00 6,000.00 1 6,000.00 150.00 6,150.00
2 6,390.00 150.00 12,540.00 2 6,390.00 313.50 12,853.50
3 6,805.35 313.50 19,658.85 3 6,805.35 491.47 20,150.32
4 7,247.70 491.47 27,398.02 4 7,247.70 684.95 28,082.97
5 7,718.80 684.95 35,801.77 5 7,718.80 895.04 36,696.81
6 8,220.52 895.04 44,917.33 6 8,220.52 1,122.93 46,040.27
7 8,754.85 1,122.93 54,795.12 7 8,754.85 1,369.88 56,165.00
8 9,323.92 1,369.88 65,488.92 8 9,323.92 1,637.22 67,126.14
9 9,929.97 1,637.22 77,056.11 9 9,929.97 1,926.40 78,982.52
10 10,575.42 1,926.40 89,557.94 Comprobación 10 10,575.42 2,238.95 91,796.89 Comprobación
GRADIENTES GEOMÉTRICOS (Valor futuro y fondos de ahorro)
Anualidad Vencida Anualidad Anticipada
Fondo de ahorro (anualidad vencida) Fondo de ahorro (anualidad anticipada)
INICIO
471
𝑅𝑝1 = $6,000.00
𝑛 = n mero de depositos 10
En donde:
𝐺𝑔 =6.5%
𝑖𝑚 = . 30
12 = 0.025 (Tasa de interés nominal capitalizable en m periodos por año)
Al sustituir los datos en la fórmula, queda de la siguiente manera:
𝑀𝑔𝑔 = $6,000.00 1 + . 30
12 10
− 1 + 0.065 10
. 3012 − 0.065
𝑀𝑔𝑔 = $6,000.00 1.025 10 − 1 + 0.065 10
. 025 − 0.065
𝑀𝑔𝑔 = $6,000.00 1.280084544 − 1.877137465
. 025 − 0.065
𝑀𝑔𝑔 = $6,000.00 −0.597052921
−0.04
𝑴𝒈𝒈 = $𝟖𝟗,𝟓𝟓𝟕.𝟗𝟒
Ahora
Ahora para comprobar el resultado mostrado anteriormente, debemos realizar una tabla de despejes en donde se calculará el valor de “Rp” y de “n”.
472
TABLA DE DESPEJES
Valor Actual Rp1 Valor de “n” plazo Fórmula original:
(1 / )Si i m Gg
1
(1 / ) (1 )
( / )
n n
g
i m GgMg Rp
i m Gg
Despeje:
1(1 / ) (1 )
( / )
g
n n
MgRp
i m Gg
i m Gg
Datos:
= $ , .
= = .
= = .
= . (Tasa de interés
nominal capitalizable en m periodos por año)
$ , .
= + .
− + .
. − .
$ , . = . − + .
. − .
$ , .
= . − .
. − .
$ , . = − .
− .
$ , . = .
=$ , .
.
= $ , .
Fórmula Original
1
1 1 / *( / ) 0x x Mgg
Gg i m i m GgRp
Se tiene que satisfacer la fórmula:
1 + 0.065 − 1 + .025
− = $ , .
$6,000.00 ∗ . 025 − 0.065
= 0
A prueba y error utilizamos para “x”= 9, 11 respectivamente y obtenemos:
1 + 0.065 − 1 + .025 − $89,557.94
$6,000.00∗ . 025 − 0.065
= 0
1.76257039 − 1.24886297 − 14.9263223 ∗ −0.04 = 0
1.76257039 − 1.24886297 − −0.59705293 = 0.08334551
1 + 0.065 11 − 1 + .025 11 − $89,557.94
$6,000.00∗ . 025 − 0.065
= 0 1.999151401 − 1.312086658 − 14.9263223 ∗ −0.04 = 0
1.999151401 − 1.312086658 − 0.59705293= 0.09001181
El resultado oscila entre 9 y 11
Con “n”=10 obtenemos
1 + 0.065 10 − 1 + .025 10 − $91,796.87
$6,000.00∗ . 025 − 0.065
= 0 1.87713747 − 1.28008454 − 15.29947833 ∗ −0.04 = 0
1.87713747 − 1.28008454 − 0.59705293 = 0.00000
473
PROBLEMA 3.-
Primero identificamos el monto en el formato de cuotas Anticipadas (Prepagables)
con Gg y lo resolveremos, utilizando esta fórmula:
Para desarrollar el ejercicio, consideramos los siguientes Datos: n = 24 mensualidades Mgg=?
i= 20% cap. mensual Rp=$4,200.00 Gg = 3.7%
474
Para despejar Rp, utilizamos la siguiente fórmula:
Identificando los siguientes datos: n = 24 mensualidades Mgg=$189,984.4756 i= 20% cap. mensual Rp=? Gg = 3.7%
475
PROBLEMA 4.-
Las características de la operación: primero son cuotas Anticipadas
(Prepagables) con crecimiento Gg por lo que debemos resolverlo utilizando
la fórmula:
Los datos de la operación son los siguientes n = 18 mensualidades Mgg=?
i= 17% cap. mensual Rp=$1,300.00 Gg = 2.6%
476
Para despejar Rp, utilizamos la siguiente fórmula:
Identificando los siguientes datos: n = 18 mensualidades Mgg=$33,324.76665 i= 17% cap. mensual Rp=? Gg = 2.6%
477
478
La comprobación de los ejercicios de las págs. 475 y 477, con el simulador de Visual Basic
479
PROBLEMA 5.-
Iniciaremos dibujando nuestra línea del
tiempo, para entender más fácil este
ejercicio matemático.
480
Depósitos
a inicio de
mes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ……………..
22
Monto del
conjunto
depósitos del
fondo de
inversión
Utilizaremos la fórmula para gradientes
geométricos, para cuotas anticipadas:
Datos: n = 22 mensualidades Mgg=?
i= 29% cap. mensual Rp=$13,000.00 Gg = 3.7%
Ya que trazamos nuestra
línea del tiempo, veamos
la fórmula que
requerimos para el
cálculo y los datos que
tenemos tal fín.
481
De la fórmula original haremos un despeje, para realizar la comprobación, ahora buscaremos Rp.
Posterior sustituimos los
datos.
482
Cuotas Pos-pagables (vencidas) con Gg:
Datos: n = 22 mensualidades Mgg=?
i= 29% cap. mensual Rp=$13,000.00 Gg = 3.7%
Cuando se trata de Pagos o Abonos en la modalidad vencidos o pos-pagable, utilizamos la siguiente formula:
Se Modifica:
Sustituiremos
los valores en la
formula.
483
Fórmula original:
Despeje:
Realizaremos un despeje a la
formula inicial, como
comprobación.
Aquí encontraremos Rp que es
el dato de donde partimos.
484
485
Fin del Capitulo
Sugerencias o comentarios
Enviar correo a: agsposgrados@yahoo.com,
arturogarciasantillan@yahoo.com.mx
top related