geometriaanalítica · sibilita tanto no estudo da topologia em espaços métricos quanto na...

Notas de Aula de

Geometria Analítica

Carlos Antônio Freitas da Silva

Sumário

1 Distância na Reta 31.1 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Distância entre pontos na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Espaço Euclidiano 82.1 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Vetores 153.1 Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Vetores no espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Norma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Retas no Espaço Euclidiano 364.1 Parametrização de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Equação Cartesiana da Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Equação Geral da Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1Distância na Reta

1.1 Valor AbsolutoSeja x ∈ R, o valor absoluto de x , denotado por |x|, é definido por

|x| = x, se x > 0|x| = −x, se x < 0.

Proposição 1.1.1. Sejam x,y números reais. Então

|xy| = |x||y|

Demonstração: Suponhamos quexy > 0.

Assim, é necessário que x,y > 0 ou x,y < 0.No primeiro caso temos que

|x| = x, |y| = y, |xy| = xy,

e consequentemente|xy| = |x||y|.

De maneira análoga concluímos para o segundo caso. Suponhamos agora que

xy < 0.

Então ou x < 0 ou y < 0.Caso x < 0 temos que

|x| = −x, |y| = y, |xy| = −xy,

portanto,|xy| = |x||y|.

Proposição 1.1.2. Seja x ∈ R. Então

4 1. Distância na Reta

i) |x|2 = |x2| = x2;

ii)√x2 = |x|.

Proposição 1.1.3. Para todo x ∈ R, tem-se que

x 6 |x|.

Demonstração: Se x > 0, então |x| = x. Se x < 0 temos que

0 < −x, |x| = −x,

consequentementex < −x = |x|.

Portantox 6 |x|, ∀x ∈ R.

Proposição 1.1.4 (Desigualdade Triângular). Para quaisquer x,y ∈ R, tem-se

|x+ y| 6 |x|+ |y|.

Demonstração: Segue do Corolário 1 e da Proposição 2 que

|x+ y|2 = (x+ y)2 = x2 + 2xy+ y2 6 |x|2 + 2|x||y|+ |y|2,

isto é,|x+ y|2 6 (|x|+ |y|)2.

Assim, obtemos|x+ y| 6 |x|+ |y|.

1.2 IntervalosNo conjunto dos números reais existem alguns subconjuntos importantes chamados intervalos.Sejam a,b ∈ R tais que a < b e consideramos os conjuntos:

(a,b) = {x ∈ R; a < x < b}

[a,b] = {x ∈ R; a 6 x 6 b}

(a,b] = {x ∈ R; a < x 6 b}

[a,b) = {x ∈ R; a 6 x < b}

Esses quatro conjuntos são chamados de intervalos limitados de extremidades a e b. São chama-dos rescpectivamentes por intervalo aberto, intervalo fechado, intervalo fechado à direitae intervalo fechado à esquerda. Podemos considerar também os intervalos ilimitados na reta;

(a,+∞) = {x ∈ R; a < x}

(−∞,a) = {x ∈ R; x < a}

[a,+∞) = {x ∈ R; a > x}

(−∞,a] = {x ∈ R; x 6 a}

1.2. Intervalos 5

Podemos definir alguns intervalos limitados na reta utilizando a noção de valor absoluto denúmeros reais. Tais intervalos são de grande importância no estudo de Cálculo Diferencial,Análise e Topologia na Reta. Além da interpretação geometrica é também de grande importânciaque o leitor se atente para notação adequada desses elementos.

Proposição 1.2.1. Sejam r > 0 e a ∈ R. Então

(a− r,a+ r) = {x ∈ R; |x− a| < r}.

Tal conjunto é chamado intervalo aberto de centro em a e raio r > 0.

aa− r a+ r

Figura 1.2.1: Intervalo aberto de centro em a e raio r.

Demonstração: Seja x ∈ (a − r,a + r). Assim, temos necessariamente que a 6 x < a + r oua− r < x < a. Se a 6 x < a+ r, então

0 6 x− a < r,

e|x− a| = x− a < r.

Caso a− r < x < a, temos que−r < x− a < 0,

e consequentemente|x− a| = a− x < r.

Agora consideremos x ∈ R tal que|x− a| < r.

Se x− a > 0 segue que|x− a| = x− a < r,

dondex < a+ r (1.2.1)

Caso x− a < 0 teremos|x− a| = −x+ a < r,

ou seja,a− r < x. (1.2.2)

Portanto, segue das desigualdades (1.2.1) e (1.2.2) que

a− r < x < a+ r.

6 1. Distância na Reta

1.3 Distância entre pontos na retaSeja x ∈ R, podemos observar que se x estiver à esquerda de 0, temos que a distância entre oponto x e a origem da reta, denotada por d(x, 0), pode ser dada por d(x, 0) = −x.

x 0

Figura 1.3.1: d(0, x) = −x

Da mesma forma, se x estiver à direita de 0 temos que a distância entre x e a origem é dadapor d(x, 0) = x.

0 x

Figura 1.3.2: d(0, x) = x

Para todo x ∈ R temos que |x| > 0 (ver exercício 1.1). Podemos então definir a distância entreum ponto x da reta e a origem através do valor absoluto dada por

d(x, 0) = |x|.

Proposição 1.3.1. Sejam x,y ∈ R, então

d(x,y) = |x− y|.

Demonstração: É facil verificar quando x = 0 ou y = 0 ou x = y. Sem perda de generalidade,suponhamos x < y com x 6= 0 e y 6= 0.

Caso 1: 0 < x < y

0 x y

Neste caso temosd(0,y) = d(0, x) + d(x,y).

Assim, temos qued(x,y) = y− x.

Como x− y < 0 segue qued(x,y) = −(x− y) = |x− y|.

Caso 2: x < y < 0

x y 0

1.3. Distância entre pontos na reta 7

Temos qued(x,y) + d(0,y) = d(0, x),

onde obtemosd(x,y) = −x+ y.

Assim, segue qued(x,y) = −(x− y) = |x− y|.

Caso 3: x < 0 < y

x 0 y

Temos agora qued(x,y) = d(0, x) + d(0,y),

o que nos dád(x,y) = −x+ y.

Como nos casos anteriores segue que

d(x,y) = −(x− y) = |x− y|.

Exemplo 1.3.1 Sejam a ∈ R e r > 0. O intervalo aberto de centro em a e raio r é o conjuntode todos os pontos x ∈ R cuja distância entre x e a é menor que r.

aa− r a+ r

Figura 1.3.3: I = {x ∈ R; |x− a| < r}

Exemplo 1.3.2 O intervalo (3, 7) é o conjunto de todos os pontos x ∈ R que estão à umadistância igual a 2 do ponto a = 5, isto é,

(3, 7) = {x ∈ R; |x− 5| < 2}.

Temos que|x− 5| < 2⇔ −2 < x− 5 < 2⇔ 3 < x < 7.

53 7

2Espaço Euclidiano

2.1 Produto CartesianoSejam A e B conjuntos quaisquer. O produto cartesiano dos conjuntos A e B, denotado porA × B, é o conjunto dos pares ordenados (a,b) cujo primeiro elemento a ∈ A e o segundoelemento b ∈ B.

A× B = {(a,b); a ∈ A,b ∈ B}.

Exemplo 2.1.1 Sejam A = {a,b, c} e B = {µ,γ,ν}. O produto cartesiano de A por B éconjunto

A× B = {(a,µ), (a,γ), (a,ν), (b,µ), (b,γ), (b,ν), (c,µ), (c,γ), (c,ν)}.

Os elementos do conjunto A× B podem ser obtidos utilizando uma tabela como a seguir:

Tabela 2.1.1: Produto Cartesiano A× B

a b c

µ (a,µ) (b,µ) (c,µ)γ (a,γ) (b,γ) (c,γ)ν (a,ν) (b,ν) (c,ν)

O produto cartesiano de B por A é dado por

B×A = {(µ,a), (γ,a), (ν,a), (µ,b), (γ,b), (ν,b), (µ, c), (γ, c), (ν, c)}.

Tabela 2.1.2: Produto Cartesiano B×A

µ γ ν

a (µ,a) (γ,b) (ν, c)b (µ,a) (γ,b) (ν, c)c (µ,a) (γ,b) (ν, c)

2.2. Espaço Euclidiano 9

É importante observar que A × B 6= B × A, pois os elementos desses conjuntos são paresordenados, portanto o elemento (a,µ) não é o mesmo que (µ,a).

De maneira mais geral, podemos definir o produto cartesiano dos conjuntos A1,A2,A3, ...,Ancom sendo o conjunto das listas ordenadas (a1,a2,a3, ...,an), onde ai ∈ Ai.

A1 ×A2 × · · · ×An = {(a1,a2, ...,an); ai ∈ Ai}.

2.2 Espaço EuclidianoSeja n um número natural. O espaço euclidiano Rn é o produto cartesiano do conjunto dosnúmeros reais n−vezes. Um ponto de Rn é uma lista ordenada

A = (x1, ..., xn),

cujos elementos xi são números reais. Dados pontos A = (x1, ..., xn) e B = (y1, ...,yn) em Rndizemos que A = B se, e somente se,

x1 = y1, ..., xn = yn.

Exemplo 2.2.1 Para n = 2 temos que os pontos de R2 são os pares ordenados A = (x1, x2)com x1, x2 ∈ R. O espaço euclidiano R2 é representado geometricamente no plano cartesiano.

Ax2

x1

Exemplo 2.2.2 O espaço R3 pode ser representado geometricamente por três retas x,y e zperpendiculares entre si em um ponto em comum chamado origem do espaço.

10 2. Espaço Euclidiano

x

y

z

P

Ox1

x2

x3

Figura 2.2.1: Espaço R3

CRIAR ANIMAÇÃO

Cada ponto de R3 é uma terna P = (x1, x2, x3) e a origem é o ponto O = (0, 0, 0). O númeroreal x1 é representado na reta x como sendo a distância do ponto P até o plano determinadopelas retas y, z. De maneira análoga, os números reais x2 e x3 representam, respectivamente,as distâncias do ponto P até o plano determinado pelas retas x, z e o plano determinado pelasretas x,y.

Exemplo 2.2.3 No sistema RGB, cada cor é definida pela quantidade de vermelho (Red),verde (Green) e azul (Blue) que a compõem. As cores no sistema RGB são pontos do espaçoR3 cujas coordenadas (R,G,B) são números inteiros que variam de 0 a 255. o Espaço RGBpode ser representado geometricamente em um cubo de aresta de tamanho igual a 255.

CRIAR ANIMAÇÃO

2.3. Distância 11

Exemplo 2.2.4 O espaço Rn para n > 3 torna-se para nós um espaço abstrato, pois nãoconseguimos representá-lo geometricamente. Este fato não o torna menos importante. Váriosobjetos definidos em liguagem de programação podem ser associados a pontos deste espaço,isto é, uma lista ordenada onde cada elemento desta lista representa uma característica oufunção do objeto. Por exemplo, o código abaixo é um código em Javascript que permite criaro desenho de um arco de circunferência de centro em (x,y) e raio r cujo ângulo inical é 0 e oângulo final é igual a π. Este objeto pode ser visto como um elemento de R5 considerenadoque o útimo elemento da lista não tem valores númericos, apenas “true” ou “false” indicandosentido horário ou anti-horário.

ctx.arc(x, y, r, 0 , Math.PI, false);

Exemplo 2.2.5 Com o código em Javascript abaixo podemos associar um retângulo cujocanto superior esquerdo têm coordenadas (x,y) à um elemento de R4.

rect(x, y, largura, altura)

2.3 DistânciaA distância entre pontos é um conceito fundamental, pois partir da noção de métrica é queconstruímos a geometria em espaços até mais gerais que o espaço euclidiano. A métrica pos-sibilita tanto no estudo da Topologia em espaços métricos quanto na Geometria Diferencial.Desta forma, faz-se necessário definirmos, de uma maneira ideal, a distância entre dois pontosno espaço euclidiano.

Definição 2.3.1 Sejam A = (x1, ..., xn) e B = (y1, ...,yn) pontos em Rn definimos a distânciaeuclidiana entre A e B por

d(A,B) =√(x1 − y1)2 + ...(xn − yn)2.

Na verdade existem outras maneiras de determinar distância entre dois pontos no espaço, poisdistância é um conceito mais geral.

Exemplo 2.3.1 Dados dois pontos A = (x1, x2) e B = (y1,y2) em R2 podemos definir adistância como sendo

d(A,B) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|.

12 2. Espaço Euclidiano

Essa distância é chamada distância do taxista. Dê uma interpretação geométria para estadistância.

Uma esfera de centro no ponto A ∈ Rn e raio r no espaço euclidiano Rn é o conjunto de todosos pontos X ∈ Rn cuja distância até o ponto A é igual a r.

S[A, r] = {X ∈ Rn; d(X,A) = r}

Exemplo 2.3.2 Considere um ponto C = (x0,y0, z0) ∈ R3. A esfera de centro em A e raior é o conjunto

S[A, r] = {X ∈ Rn; d(X,C) = r}.

Assim, todo para todo ponto X = (x,y, z) ∈ S[A, r] temos que

d(X,C) =√(x− x0)2 + (y− y0)2 + (z− z0)2 = r.

Segue que(x− x0)

2 + (y− y0)2 + (z− z0)

2 = r2 (2.3.1)

A expressão 2.3.1 é equação da esfera de centro em C e raio r. Para saber se um pontoX = (x,y, z) pertence à esfera basta substituir suas coordenadas na sua equação e verificar seé solução.

r

C

x

y

z

Figura 2.3.1: Esfera de centro em C e raio r

Exemplo 2.3.3 No espaço euclidiano R2 a esfera de centro em C = (x0,y0) e raio r échamada de circunferência e sua equação é dada por

(x− x0)2 + (y− y0)

2 = r2. (2.3.2)

2.4. Exercícios 13

Para saber se um ponto P = (x,y) pertence à circunferência basta substituir suas coordenadasna sua equação e verificar se é solução. (Exercício 2.4.2)

Uma bola aberta de centro em A ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto de todos os pontos X ∈ Rncuja distância até o ponto A é menor que r. Denotaremos por

B(A, r) = {X ∈ Rn; d(A,X) < r}.

A noção de bola aberta no espaço euclidiano é muito utilizada no estudo de Cálculo de Funçõesde Várias Variáves e é fundamental para a Topologia em espaços métricos.

Exemplo 2.3.4 A bola aberta de centro em A e raio r em R2 é o interior da círcunferênciaS[A, r] ⊂ R2

r

A

B(A, r) = {X ∈ R2; d(A,X) < r}.

2.4 Exercícios

2.4.1 Esboce os pontos A = (1, 0, 5), B = (1,−2, 2), C = (−1,−3, 3) e C = (−2, 1,−3) no espaçoeuclidiano R3.2.4.2 Verifique se os pontos A = (1, 0),B = (2, 3),C = (−1,−1),D = (3, 4),E = (1, 4), F =(1, 2),G = (2,−1) pertencem à circunferência

(x− 2)2 + (y− 1)2 = 4

e esboce o gráfico.2.4.3 Sejam A = (−1, 3) e B = (2,−1). Determine os pontos P = (x,y) de modo que, o triânguloABP seja um triângulo isósceles. Interprete geometricamente.2.4.4 Dados os pontos A = (1, 4), B = (−3, 4) e C = (1, 5), determine o centro da circunfêrenciano qual esses pontos pertencem e escreva sua equação.2.4.5 Deduza a equação da circunferência de centro em C = (x0,y0) e raio r mostrada noExemplo 2.3.3

14 2. Espaço Euclidiano

2.4.6 Dados três pontos no espaço euclidiano R3 é possivel encontrar um esfera que tem essespontos? Se for possível, dê um exemplo.2.4.7 Considere os pontos A = (1, 4, 3) e B = (1, 4, 8). Determine o conjunto dos ponto P =(x,y, z) de modo que d(A,P) = 5 e d(B,P) =

√50. Interprete geometricamente.

2.4.8 Considere o ponto P = (x0 + r cos θ,y0 + r sen θ), 0 6 θ 6 2π, como mostra a figuraabaixo. Prove que P pertence à circunferência de centro em (x0,y0) e raio r. Procure entender oque acontece quando θ varia entre 0 e 2π.

r

x0

y0C θ

P

3Vetores

3.1 Espaço vetorial

Definição 3.1.1 Seja V um conjunto não vazio. Dizemos que V é um espaço vetorial sobreR se estiverem definidas em V duas operações binárias soma + : V × V → V e multiplicaçãopor um escalar · : R× V → V tais que para quaisquer u, v,w ∈ V e λ,γ ∈ R tem-se

1. u+v=v+u;

2. (u+v)+w=u+(v+w);

3. Existe 0V ∈ V tal que u+ 0V = 0V + u = u;

4. Para qualquer u ∈ V existe um elemento u ′ ∈ V tal que u+ u ′ = 0V = u ′ + u;

5. λ · (u+ v) = λ · u+ λ · v;

6. (λ+ γ) · u = λ · u+ γ · u;

7. (λγ) · u = λ(γ · u);

8. 1 · u = u.

Exemplo 3.1.1 O conjunto M2×2(R) da matrizes quadradas de ordem 2 com as operaçõesusuais de soma e multiplicação por um número real é um espaço vetorial, pois essas operaçõespossuem as propriedades das operações para espaço vetorial. Verifique!

16 3. Vetores

Exemplo 3.1.2 Considere P2(R) o conjunto de todos os polinômios de grau menor que ouigual a 2. Para quaisquer p(x) = a0 + a1x + a2x

2 e q(x) = b0 + b1x + b2x2 em P2(R) e para

todo λ ∈ R, definimos as operações

p(x) + q(x) = a0 + b0 + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2

λ · p(x) = λa0 + λa1x+ λa2x2.

O conjunto P2(R) munido dessas operações é um espaço vetorial real.

3.2 Vetores no espaço euclidianoOs pontos A = (x1, ..., xn) e B = (y1, ...,yn) em Rn definem um vetor −→AB em Rn dado por

−→AB = (y1 − x1, ...,yn − xn).

Os elementos yi − xi, onde i = 1, ...,n são chamados coordenadas do vetor −→AB. O vetor −→AB érepresentado por um segmento orientado de origem em A e extremidade em B.

Exemplo 3.2.1 No espaço R3 o vetor−→AB é representado como mostra a figura:

y

x

z

B

A

Figura 3.2.1: Vetor em R3

Exemplo 3.2.2 Sejam A = (1, 2), B = (3, 4), C = (3, 1) e D = (5, 3). Assim, temos que−→AB = (2, 2) e

−→CD = (2, 2).

3.2. Vetores no espaço euclidiano 17

x

y

A

B

C

D

Figura 3.2.2: Vetores equivalentes

Podemos observar do Exemplo 4.1.1 que cada um dos vetores −→AB e −→CD possuem uma represen-tação geométrica diferente, porém têm as mesmas coordenadas e são, portanto, equivalentes.O que acontece é que a equivalência de vetores no espaço euclidiano Rn não depende de suarepresentação geométrica, mas apenas de suas coordenadas. Assim, dizemos que dois vetoresno espaço euclidiano são iguais se, e somente se, suas coordenadas são iguas.

Exemplo 3.2.3 O vetores−→AB e

−→CD do Exemplo 4.1.1 podem ser representados geometri-

camente no plano cartesiano por um segmento orientado de origem no ponto O = (0, 0) eextremidade no ponto P = (2, 2).

−→AB =

−→CD =

−→OP = (2, 2).

x

y

P

Figura 3.2.3: Representação do vetor na origem do plano cartesiano

Uma lista ordenada v = (x1, ..., xn) ∈ Rn é um vetor que pode ser representado geometricamentepor um segmento orientado com origem no ponto O = (0, ..., 0) e extremidade no ponto P =

18 3. Vetores

(x1, ..., xn) e assim temos v =−→OP. O vetor −→0 = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn, de origem e extremidade no

ponto O = (0, 0, ..., 0), é chamado de vetor nulo.

Exemplo 3.2.4 O vetor v = (3, 1) em R2 é representado gemoetricamente com origem noponto O = (0, 0) e extremidade no ponto P = (3, 1).

x

y

P1

3

Figura 3.2.4: Representação do vetor na origem do plano cartesiano

Observação 3.2.1 Dois segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo compri-mento são equivalentes. Assim, um segmento orientado

−→AB, pode representar o conjunto de

todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento que−→AB ob-

tendo assim uma classe de equivalência. Existe outra maneira de definir vetores utilizando essaideia de classes de equivalência a partir de uma relação de equivalência. Para mais detalhes oleitor deve consultar (citar as referencias).

Operações com vetores

Sejam u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ...,yn) ∈ Rn e t ∈ R. As operações de soma de e a multilicaçãopor um escalar no espaço euclidiano são definidas, respectivamente por

u+ v = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn);

t · u = (tx1, tx2, ..., txn).

O espaço euclidiano Rn munido dessas operações torna-se um espaço vetorial, isto é, tais ope-rações possuem todas as propriedades da Definição 3.1.1.

3.2. Vetores no espaço euclidiano 19

Exemplo 3.2.5 A soma dos vetores u = (3,−4, 5) e v = (4,−3, 0) é o vetor

u+ v = (7,−7, 5).

Exemplo 3.2.6 A soma dos vetores u = (3, 5), v = (3,−1) e w = (0, 2) é o vetor

u+ v+w = (6, 6).

Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, v2, ..., vs ∈ V se exsitem λ1, ..., λs ∈ R tais que

v = λ1 · v1 + λ2 · v2 + · · ·+ λs · vs.

Exemplo 3.2.7 Seja v = (1,−2, 1) ∈ R3. Temos que

v = 1 · (1, 0, 0) − 2 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1),

então v é uma combinação linear dos vetores−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0) e

−→k = (0, 0, 1).

Exemplo 3.2.8 Seja v = (x,y, z) um vetor qualquer em R3. Temos que

v = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).

Qualquer vetor de R3 é uma combinação linear dos vetores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k =(0, 0, 1). Podemos dizer que os vetores ~i, ~j e ~k são geradores do espaço R3. O vetor v pode,também, ser escrito na forma

v = x~i+ y~j+ z~k.

Dado o vetor v = (2,−3,−4), escrevemos

v = 2~i− 3~j− 4~k.

Definição 3.2.1 Seja V um espaço vetorial real. Dizemos que os vetores v,w ∈ V sãoparalelos se existe um t ∈ R tal que

w = t · v.

20 3. Vetores

Dados vetores u e v no espaço euclidiano, para representar geometricamente o vetor u + vtraçamos uma reta paralela ao vetor v passando pela extremidade de u e uma reta paralela aovetor u passando pela extremidade de v e em seguida marcamos o ponto de interseção dessasretas. O vetor u + v terá sua origem em O e sua extremidade no ponto de interseção dessasretas.

Vimos neste capítulo que a noção de vetores como elementos de um espaço vetorial é bem maisgeral, pois existem espaços vetoriais em que fica difícil ter uma representação geométrica deseus vetores e acabam se tornando em objetos abstratos. Tais espaços são objetos de estudoem Álgebra Linear e outras áreas da matemática pura.

3.3 Norma de vetoresDefinimos a norma de um vetor v = (x1, x2, ..., xn) no espaço euclidiano como sendo

‖v‖ =√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n.

A norma do vetor v é a medida de seu comprimento.

Exemplo 3.3.1 Considere o vetor v = (2,−3,−1). Então o seu comprimento é dado por

‖v‖ =√

22 + (−3)2 + (−1)2 =√

14.

Exemplo 3.3.2 Se v = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn e t ∈ R temos que

‖t · v‖ =√(tx1)2 + (tx2)2 + · · ·+ (txn)2 = |t|

√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n.

3.4. Produto Escalar 21

Assim, obtemos uma propriedade de norma de vetores que é dada por

‖t · v‖ = |t|‖v‖

Exemplo 3.3.3 Considere um vetor v = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn de comprimento igual a zero.Tal vetor deve ser, necessariamente, o vetor nulo. Observe que se

‖v‖ =√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n = 0,

então é necessário quex2

1 + x22 + · · ·+ x2

n = 0. (3.3.1)

Como a expressão 3.3.2 é uma soma de números positivos, então x1 = x2 = · · · = xn = 0 e,portanto, v = (0, 0, ..., 0). Podemos concluir que

‖v‖ = 0⇔ v = ~0

Considere os vetores u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ...,yn) em Rn. A norma do vetor u+v é dada por

‖u+ v‖ =√

(x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 + ... + (xn + yn)2.

elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo o produto notável de cada parcelatemos que

‖u+ v‖2 = x21 + 2x1y1 + y

21 + · · ·+ x2

n + 2xnyn + y2n. (3.3.2)

Podemos reescrever a Equação 3.3.2 da seguinte forma

‖u+ v‖2 =x21 + · · · x2

n + y21 · · ·+ y2

n + 2(x1y1 + · · · xnyn)=‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(x1y1 + · · · xnyn) (3.3.3)

Da Equação 3.3.3 podemos perceber que ao calcular a norma da soma dos vetores u e vobtivemos na terceira parcela a expressão x1y1 + · · · xnyn. Esta expressão aparece em outrassituações, como por exemplo no cálculo de ângulo entre vetores, e é chamada de produtoescalar entre os vetores u e v. É indispensável, portanto, que dediquemos um pouco de tempono estudo desta expressão, como será feito na proxima seção.

3.4 Produto EscalarSejam u = (x1, ..., xn) v = (y1, ...,yn) vetores em Rn. Definimos o produto interno entre osvetores u e v por

< u, v >= x1y1 + ... + xnyn.

Proposição 3.4.1. Sejam u, v e w vetores em Rn e λ ∈ R.

i) < u, v >=< v,u >;

22 3. Vetores

ii) < u+ v,w >=< u,w > + < v,w >;

iii) < λv,u >= λ < v,u >

iv) ‖v‖2 =< v, v > .

Demonstração: Exercício

Proposição 3.4.2 (Desiguldade de Cauchy-Schwarz). Sejam u, v vetores em Rn. Então

| < u, v > | 6 ‖u‖‖v‖.

Demonstração: Seja λ > 0 e considere o vetor λv+ u. Temos então que

‖λv+ u‖2 > 0.

Desta forma, obtemos< v, v > λ2 + 2 < u, v > λ+ < u,u >> 0 (3.4.1)

A desigualdade (3.4.1) é uma inequação de segundo grau da forma

Aλ2 + Bλ+ C > 0, ∀λ ∈ R.

Assim é suficiente que ∆ 6 0, ou seja,

4 < v,u >2 −4 < v, v >< u,u >6 0.

Portanto| < v,u > | 6 ‖v‖‖u‖.

Proposição 3.4.3 (Desigualdade Triângular). Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn tem-se

‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖.

Demonstração: Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn tem-se que

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + 2 < u, v > +‖v‖2.

Segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz que

< u, v >6 ‖u‖‖v‖,

consequentemente

‖u+ v‖2 6 ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2 = (‖u‖+ ‖v‖)2 .

Logo‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖.

3.5. Ângulo entre vetores 23

3.5 Ângulo entre vetoresConsidere os vetores u, v no plano e considere θ o ângulo entre esses vetores. A intersecão dareta perpendicular ao vetor v que contem a extremidade de u com a reta paralela ao vetor vdefine o vetor λv. Suponhamos que 0 < θ < π

2 e então temos que λ > 0.

λv v

u

θ

Figura 3.5.1: λ > 0

Observe que

cos θ =|λ|‖v‖‖u‖

= λ‖v‖‖u‖

(3.5.1)

Seja w = u− λv e assim obtemos

sen θ =‖u− λv‖‖u‖

Utilizando a relação fundamental tem-se

λ2‖v‖2 + ‖u− λv‖2 = ‖u‖2 (3.5.2)

Por outro lado,

‖u− λv‖2 = ‖u‖2 − 2λ < u, v > +λ2‖v‖2

e substituindo em (3.5.2) obtemos

λ =< u, v >‖v‖2 . (3.5.3)

Segue que

cos θ =< u, v >‖u‖‖v‖

. (3.5.4)

No caso em que π2 < θ < π temos que λ < 0.

24 3. Vetores

λv v

θα

Figura 3.5.2: λ < 0

Consideramos α < π2 o ângulo entre os vetores u e λv. Desta forma, temos que

cos θ = − cosα = −|λ|‖v‖‖u‖

= λ‖v‖‖u‖

como na iguladade (3.5.1).

Exemplo 3.5.1 (Vetores ortogonais) Através da expressão (3.5.4) concluímos que doisvetores u e v são ortogonais se, e somente se, < u, v >= 0.

Exemplo 3.5.2 (Projeção de Vetores) O vetor λv como mostra na Figura 3.5.1 é chamadoprojeção de u sobre v denotado por Puv . Segue da expressão (3.5.3) que

Puv =< u, v >‖v‖2 v.

Exemplo 3.5.3 (Lei dos cossenos) Sejam u e v vetores no plano

‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2 < u, v > +‖v‖2

Se θ é o angulo formado pelos vetores u e v segue que

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ (3.5.5)

A expressão (3.5.5) é chamada lei dos cossenos.

3.5. Ângulo entre vetores 25

θv

u

u− v

Figura 3.5.3: Lei dos cossenos

Exemplo 3.5.4 (Força resultante) Sejam−→F1 ,−→F2 duas forças exercidas num objeto que

formam um ângulo θ e considere−→R =

−→F1 +

−→F2 a força resultante. Essas forças são vetores

num plano, então para obtermos o módulo da força resultante fazemos

‖−→R ‖2 =<

−→F1 +

−→F2 ,−→F1 +

−→F2 > .

Assim, obtemos‖−→R ‖2 = ‖

−→F1‖2 + ‖

−→F2‖2 + 2‖

−→F1‖‖−→F2‖ cos θ. (3.5.6)

θ

−→F1

−→F2

−→R

Figura 3.5.4: Força resultante

Observação 3.5.1 É comum denotar o módulo de uma força−→F por F. Não confunda o

número F com o vetor−→F . Assim, a expressão (3.5.6) é escrita como

R2 = F21 + F

22 + 2F1F2 cos θ.

Exemplo 3.5.5 (Trabalho) Se−→F é uma força exercida sobre um objeto realizando um des-

locamento−→d o trabalho realizado é dado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento,

26 3. Vetores

isto é,W =<

−→F ,−→d > .

Utilizando a expressão 3.5.4, podemos calcular o trabalho realizado pela força−→F por

W = F · d cos θ,

onde θ é ângulo entre a força exercida e o deslocamento.

Exemplo 3.5.6 (Área do paralelogramo) Considere o paralelogramo definido pelos ve-tores u e v.

Puv v

u

h

Figura 3.5.5: Paralelogramo

A área do paralelogramo é dada por

A = ‖v‖ · h.

Observe que h = ‖u− Puv ‖ e então

A2 = ‖v‖2 · ‖u− Puv ‖2 (3.5.7)

Por outro lado, segue do Teorema de Pitágoras que

‖u− Puv ‖2 = ‖u‖2 − ‖Puv ‖2,

portantoA2 = ‖v‖2‖u‖2 − ‖v‖2‖Puv ‖2.

ComoPuv =

< u, v >‖v‖2 v

então

‖Puv ‖2 =< u, v >2

‖v‖2 .

3.6. Produto Vetorial 27

Assim, obtemos a expressão da área do paralelogramo dada por

A2 = ‖v‖2‖u‖2− < u, v >2 .

O Exercício 3.7.4 nos dá um método prático para o cálculo de área de paralelogramo.

Exemplo 3.5.7 (Equação do plano) Dado um vetor não nulo v = (a,b, c) ∈ R3 e umponto A = (x0,y0, z0). Existe um único plano α que contém o ponto A e é perpendicular aovetor v. Este plano é o conjunto de todos os pontos P = (x,y, z) ∈ R3 tal que

<−→AP, v > 0.

Como−→AP = (x− x0,y− y0, z− z0), obtemos

ax+ by+ cz = ax0 + bx0 + cz0.

Fazendo d = ax0 +bx0 +cz0, obtemos a equação do plano perpendicular ao vetor v = (a,b, c)dada por

ax+ by+ cz = d (3.5.8)

Exemplo 3.5.8 Para determinar a equação de um plano α que contém o ponto A = (3, 0, 1)perpendicular ao vetor v = (2, 1, 2) consideramos

<−→AP, v >= 0

para todo ponto P = (x,y, z) ∈ α. Como−→AP = (x− 3,y, z− 1) segue que

2(x− 3) + y+ 2(z− 1) = 0,

portanto a equação do plano α é dada por

2x+ y+ 2z = 8.

3.6 Produto VetorialUma força aplicada em um objeto tende a a faze-lo girar em torno de um eixo fora da linha deação da força. A tendência deste objeto girar é chamada de momento e este eixo é denominadoeixo de momento. Por exemplo, considere uma força F sendo aplicada em uma garrafa numponto A, como mostra a figura 3.6.1, então esta garrafa tende a girar em torno do eixo demomento que passa por um ponto B perpendicular ao plano de ação da força e o vetor −→BA. Ovetor −→BA é chamado braço de momento. O momento é uma grandeza vetorial que dá a direção

28 3. Vetores

do eixo de momento. Assim, para determinarmos a direção do momento de uma força precisamosencontar um vetor que seja perpendicular a força e ao braço de momento simultaneamente. Pararesolvermos este tipo de problema utilizamos a noção de produto vetorial em R3.

Figura 3.6.1

Considere dois vetores u = (x1,y1, z1) e v = (x2,y2, z2) ∈ R3. Para determinarmos um vetorw = (a,b, c) perpendicular a u e v, simultaneamente, devemos encontrar uma solução para osistema

{x1a+ y1b+ z1c = 0x2a+ y2b+ z2c = 0. (3.6.1)

Podemos observar que o sistema tem uma infinidade de soluções. O vetor

w1 = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1) (3.6.2)

é uma solução para o sistema e é chamado de produto vetorial de u por v.

Exemplo 3.6.1 Considere os vetores u = (1,−2, 0) e v = (−3, 1,−2). O produto vetorial deu por v é o vetor

w1 = (4, 2,−7).

Note que w1 é, simultaneamente, perpendicular a a u e v.

É importante observar que o vetor

w2 = (y2z1 − y1z2, x1z2 − x2z1, x2y1 − x1y2) (3.6.3)

3.6. Produto Vetorial 29

é, também, uma solução para o sistema e é chamado produto vetorial de v por u.

Exemplo 3.6.2 Dados os vetores u = (2,−5, 1) e v = (2, 3,−3) temos que w1 = (12, 8, 16)e w2 = (−12,−8,−16) são vetores perpendiculares a u e v simultaneamente.

O produto vetorial de u por v será indicado por u × v e o produto vetorial de v por u seráindicado por v× u. Tais vetores tem sentidos opostos, isto é, v× u = −u× v.

u

v

u× v

v× u

Figura 3.6.2: Produto vetorial

Propriedades

É importane observar algumas propriedades do produto vetorial. Dados vestores u, v,w ∈ R3 et ∈ R então:

a) (u+ v)×w = u×w+ v×w e w× (u+ v) = w× u+w× v

b) (tu)× v = u× (tv) = t(u× v)

A propriedade associativa no produto vetorial não é válida, isto é,

(u× v)×w 6= u× (v×w).

O leitor deve dar um contra-exemplo para mostrar que a associatividade não é válida.

Método prático para cálculo do produto vetorial

As coordenadas do produto vetorial de u = (x1,y1, z1) por v = (x2,y2, z2) podem ser calculadasutilizando a matriz

M =

i j k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

30 3. Vetores

e por meio de seu determinante dado pordet(M) = (y1z2 − y2z1)i− (x1z2 − x2z1)j+ (x1y2 − x2y1)k.

Os coeficientes que multiplicam i, j,k serão, respectivamente, a primeira, segunda e terceiracoordenada de u× v. Desta maneira, obtemos como na expressão 3.6.2 o vetor

u× v = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1).

Para obter o vetor v×u basta permutar as linhas 2 e 3 da matriz M e fazer o mesmo processo.

Exemplo 3.6.3 Dados os vetores u = (2,−2, 2), v = (−5, 0, 2) e calculando o determinante∣∣∣∣∣∣i j k

2 −2 2−5 0 2

∣∣∣∣∣∣ = −4i− 14j− 10k,

temos queu× v = (−4,−14,−10).

Ao permutarmos as linhas 2 e 3 o determinante muda de sinal e, consequentemente, teremos

v× u = (4, 14, 10).

Exemplo 3.6.4 (Momento de uma força) Uma estrutura tubular está sujeita a umaforça de 80 N como mostra a figura abaixo. Determine a direção do eixo de momento dessaforça em relaçao ao ponto C.

Fonte: HIBBELER

O eixo de momento é perpendicular ao plano que contém a força e o braço de momento. O

3.6. Produto Vetorial 31

braço de momento é o vetor ~r com origem no ponto A e extremidade em C. No sistema SIsuas coordenadas são dadas por

~r = (0.55, 0.4,−0.2).

As coordenadas da força ~F são dadas por ~F = (40√

3 sen 40o, 40√

3 cos 40o,−40). Considerandosen 40o = 0.64 e cos 40o = 0.76 temos

~F = (44.34, 52.65,−40).

O momento da força ~F em relação ao ponto C é o vetor~r×~F, e suas componentes são calculadosa partir do determinante∣∣∣∣∣∣

i j k

0.55 0.4 −0.244.34 52.65 −40

∣∣∣∣∣∣ = −5.47i+ 13.132j+ 11.2215k,

e obtemos, portanto,~r×~F = (−5.47, 13.132, 11.2215)

A intensidade do momento é dada por ‖~r×~F‖ = 18.12 N· m.

Exemplo 3.6.5 Determine a intensidade do momento da força ~F em relação ao ponto A,onde θ = 30o.

Fonte: HIBBELER

Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no ponto A temos que obraço de momento é

~r = (−3, 2, 0).

As componentes da força ~F são dadas por

~F = (−400 cos 30o,−400 sen 30o, 0) = (−200√

3,−200, 0).

32 3. Vetores

Calculando as componentes do momento ~r×~F através do determinante∣∣∣∣∣∣i j k

−3 2 0−200

√3 −200 0

∣∣∣∣∣∣ = (600 + 400√

3)k,

obtemos, portanto,~r×~F = (0, 0, 600 + 400

√3)

A intensidade do momento é ‖~r×~F‖ = 1292, 8 N·m.

Exemplo 3.6.6 (Área do paralelogramo em R3) A área do paralelogramo determinadopelos vetores u e v em R3 pode ser calculada através do módulo do produto vetorial de u porv, isto é, podemos demonstrar a igualdade

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2− < u, v >2 .

Ver exercício ??

Dados u = (2, 3, 3) e v = (−1, 0,−2), então a área do paralelogramo determinado por u e v éo módulo do vetor u× v. Temos∣∣∣∣∣∣

i j k

2 3 3−1 0 −2

∣∣∣∣∣∣ = −6i+ 1j+ 3k,

e, portanto,u× v = (−6, 1, 3).

A área do paralelogramo é A =√

46.

Exemplo 3.6.7 (Volume do paralelepípedo) Os vetores u, v e w em R3 determinam umparalelepípedo como mostra a figura.

u

v

w

3.6. Produto Vetorial 33

O volume do paralelepípedo é o produto da área da base pela sua altura. Considerando abase como sendo o paralelogramo determinado pelos vetores u e v, então sua área é dada por‖u×v‖ como no Exemplo 3.6.6. A altura h é um segmento paralelo ao vetor u×v e é traçada,perpendicularmente, a partir da extremidade do vetor w até à base.

u

h

w

u× v

θ

θ

Temos, então, queh = ‖w‖| cos θ|.

Por outro lado, como θ é o ângulo entres os vetores u× v e w temos, também, que

cos θ =< u× v,w >‖u× v‖‖w‖

.

Portanto, a altura é dado por

h =| < u× v,w > |

‖u× v‖,

e, consequentemente, o volume é dado por

V = | < u× v,w > |.

O número < u× v,w > é chamado produto misto entre os vetores u, v e w.

Produto misto

O produto misto entre os vetores u = (x1,y1, z1), v = (x2,y2, z2) e w = (x3,y3, z3) pode sercalculado a partir do determinate da matrz cujo suas linhas são as corrdenadas dos vetores u, ve w.

< u× v,w >=

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

Exemplo 3.6.8 O Produto misto entre os vetores u = (1, 0, 1), v = (2, 1, 1) e w = (0,−2−1)é

34 3. Vetores

< u× v,w >=

∣∣∣∣∣∣1 0 12 1 10 −2 −2

∣∣∣∣∣∣ = −4.

Como no Exemplo 3.6.7, o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores é

V = | < u× v,w > | = 4

3.7 Exercícios

3.7.1 Determine as coordenadas do vetor v ∈ R2 de comprimento igual a 5 e faz um ângulo de60◦ com a horizontal e esboce o gráfico.3.7.2 Um bloco está sendo puxado por um fio sobre um superfície lisa, com uma força consatante~F intensidade

√3

3 N. Supondo que o ângulo da força em relação a superfície é de 30◦ determine ascoordenadas da força ~F e esboce num sistema de coordenadas.3.7.3 Suponha que um objeto está sob ação de forças como mostra o diagrama abaixo. Determineas coordenadas da forças ~F1, ~F2, ~F3 e as coordenadas da força resultante e a sua intensidade.

F1 =√

5 N

F2 = 2 N

F3 =√

8 N

60o

135o

165o

3.7.4 Considere um paralelogramo em R3 determinado pelos vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2).Mostre que sua área pode ser calculada como sendo o valor absoluto do determinate da matriz

A =

[x1 y1

x2 y2

]3.7.5 Mostre que a área A de um paralelogramo em R3 determinado pelos vetores u e v podeser calculada por

A = ‖u× v‖.

3.7.6 Determine a equação do plano α que contém o ponto A = (−1, 3, 2) perpendicular ao vetorv = (2, 3, 1).3.7.7 Determine a equação do plano que contém o conjunto dos pontos A = (3, 1, 2),B = (5, 2, 3)e C = (−1, 3 − 1).3.7.8 O método de levantamento topográfico por irradiação baseia-se em estabelecer uma estaçãocentral O, de onde todos os vértices que definem a poligonal possam ser vistos. A partir da estaçãocentral medem-se as distâncias aos vértices A,B e C da poligonal e os ângulos horizontais entre adireção norte sul com a linhas que possuem a estação central e o vértice, medido a partir do nortepara direita, chamado azimute à direita.

3.7. Exercícios 35

NM

O

A

B

C

Figura 3.7.1: Levantamento topográfico

Considerando os valores na tabela abaixo calcule as coordenadas dos vértices e a área do terreno.

Linhas Azimute ComprimentoO−A 60◦ 50 mO− B 135◦ 30 mO− C 300◦ 35 m

4Retas no Espaço Euclidiano

Quando uma partícula P descreve uma trajetória em R2 podemos determinar sua posição acada instante t, isto é, suas coordenadas podem ser dadas em função do tempo e escrevemosP = (x(t),y(t)). Parametrização de curvas no espaço euclidiano consiste em determinar ascoordenadas de seus pontos em função de um parâmetro t ∈ R. Assim, uma curva parametrizadano espaço euclidiano é uma função que associa cada t ∈ I ⊂ R a um único ponto P(t) ∈ Rn.

Exemplo 4.0.1 Uma particula descrevendo a trajetória no sentido anti-horário de umacircunferência de centro na origem e raio r tem coordenadas P(t) = (rcos(t), rsen(t)). Afunção P(t) é uma parametrização para esta circunferência.

37

Observe que para todo t ∈ R tem-se que x = rcos(t) e y = rsen(t) são soluções para aequação da circunferência

x2 + y2 = r2.

Exemplo 4.0.2 A trajetória descrita pela particula cujas coordenadas, para cada instantet, são P(t) = (et cos(t), et sen(t)), é uma espiral como mostra a figura abaixo.

Exemplo 4.0.3 A função P(t) = (−1 + t, 3 + 2t) é a parametrização de uma reta em R2.Para cada t ∈ R tem-se que P(t) é um ponto desta reta.

Neste capítulo iremos focar apenas no estudo de parametrização de retas no espaço euclidiano.

38 4. Retas no Espaço Euclidiano

4.1 Parametrização de RetasPara parametrizar uma reta no espaço euclidiano consideremos, inicialmente, um ponto A =(a1, ...,an) e um vetor v = (v1, ..., vn) em Rn. A reta paralela ao vetor v e que contém o pontoA, denotada por r, é o conjunto de todos os pontos P = (x1, ..., xn) ∈ Rn tais que o vetor −→AP éparalelo a v , isto é, para cada ponto P ∈ r existe um t ∈ R tal que

−→AP = tv.

Sendo assim, temos que(x1 − a1, ..., xn − an) = t(v1, ..., vn). (4.1.1)

Da Equação 4.1.1 temos que os pontos P ∈ r são dados por

P = (a1 + tv1, ...,an + tvn), t ∈ R. (4.1.2)

Observe que da Equação 4.1.2 cada coordenada xi, i = 1, ...,n, do ponto P ∈ r é uma funçãoreal dependendo do parâmetro t ∈ R, dada por

xi(t) = a1 + vit,

além disso, a reta “passa” 1 pelo ponto A em t = 0. Podemos definir a função

α(t) = (a1 + tv1, ...,an + tvn), t ∈ R,

chamada parametrização da reta que é paralela ao vetor v = (v1, ..., vn) que contém o pontoA = (a1, ...,an). Note que α(0) = A.

Exemplo 4.1.1 Se A = (x0,y0) e v = (a,b), então uma parametrização da reta que passapelo ponto A na direção do vetor v é dada colocando para todo t ∈ R

x =x0 + at

y =y0 + bt

obtendo α(t) = (x0 + at,y0 + bt).

Exemplo 4.1.2 Se B = (x0,y0, z0) e u = (a,b, c), então uma parametrização da reta quepassa pelo ponto B na direção do vetor u é dada colocando para todo t ∈ R

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

obtendo α(t) = (x0 + at,y0 + bt, z0 + ct).1Passar não é no sentido de que a reta se movimenta, mas no sentido de que a reta é a trajetória de uma

partícula que passa por um ponto P num instante t0 ∈ R

4.1. Parametrização de Retas 39

Exemplo 4.1.3 A reta r que contém o ponto A = (1,−2) paralela ao vetor v = (3, 1) podeser parametrizada colocando

x = 1 + 3ty = −2 + t,

e assim escrevemos r(t) = (1 + 3t,−2 + t).

Exemplo 4.1.4 Considere os pontos A = (2, 3, 0) e B = (1, 4, 2) em R3. Para determinarmosuma parametrização da reta r que contém os pontos A e B precisamos de um vetor que dá adireção desta reta e, neste caso, escolhemos o próprio vetor v =

−→AB = (−1, 1, 2). Considerando

o ponto A e fazendo para todo t ∈ R

x = 2 − ty = 3 + tz = 2t

(4.1.3)

obtemos uma parametrização α(t) = (2 − t, 3 + t, 2t). Se considerarmos o ponto B e fizermospara todo t ∈ R

x = 1 − 1ty = 4 + tz = 2 + 2t

(4.1.4)

iremos obter outra parametrização β(t) = (1 − t, 4 + t, 2 + 2t) para a reta r. Observe que naparametrização 4.1.3 a reta passa pelos pontos A e B em t = 0 e t = 1, respectivamente. Em4.1.4 a reta passa pelos pontos A e B respectivamente em t = −1 e t = 0.

Exemplo 4.1.5 Considere as retas α(t) = (−1 + 2t, 5 − 3t) e β(t) = (−1 + 4t, 5 − 6t) emR2.

A reta α(t) passa pelo ponto P = (−1, 5) na direção do vetor v = (2,−3) e a reta β(t) épassa pelo ponto P na direção do vetor u = (4,−6). Assim, temos que as retas α(t) e β(t)tem a mesma direção e passam pelo mesmo ponto e são, portanto, iguais. Neste caso, temosque embora as parametrizações são distintas a velocidade que um ponto se desloca nesta retaé diferente para cada parametrização. Observe que para t = 0 temos que α(0) = β(0) = P,enquanto que para t = 1 temos que α(1) = (1, 2) e β(1) = (3,−1).

40 4. Retas no Espaço Euclidiano

Exemplo 4.1.6 Vamos determinar a equação da reta s que passa pelo ponto A = (−1, 0,−1)em t = 2 e passa pelo ponto B = (−5, 2,−7) em t = 4. Sejam d = (a,b, c) o vetor paralelo àreta e O = (x0,y0, z0) o ponto em que a reta passa quando t = 0. Temos então que para todoponto P = (x,y, z) em s

x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct

, t ∈ R. (4.1.5)

Para t = 2 tem-se−1 = x0 + 2a

0 = y0 + 2b−1 = z0 + 2c

, (4.1.6)

e para t = 4 tem-se que−5 = x0 + 4a

2 = y0 + 4b−7 = z0 + 4c

(4.1.7)

Das equações 4.1.6 e 4.1.7 obtemos d = (−2, 1,−3) e O = (3,−2, 5). Portanto,

x = 3 − 2ty = −2 + tz = 5 − 3t

, t ∈ R. (4.1.8)

Para parametrizarmos uma reta no espaço euclidiano, vimos que basta conhecermos pelo menosum de seus pontos e um vetor v que dá sua direção. No Exemplo 4.1.4 e no Exemplo 4.1.5 vimosque uma mesma reta pode ter parametrizações distintas. No caso do Exemplo 4.1.5 emboraos vetores v e u tem a mesma direção as parametrizações são diferentes. O que acontece éque o vetor dá, além da direção, a velocidade de deslocamento entre dois pontos da reta aléme a orientação. Tal vetor é chamado de vetor velocidade e sua norma é a velocidade dedeslocamento.

4.2. Equação Cartesiana da Reta no Plano 41

Observação 4.1.1 Direção não é o mesmo que orientação.

No estudo de parametrização de retas em Rn utilizamos a noção de pontos, vetores e paralelismoque são, na verdade, objetos de espaços vetoriais. Assim, o mesmo pode ser feito em qualquerespaço vetorial. Imagine como seria um reta parametrizada no espaço vetorial P2(R), isto é, umareta cujos pontos são polinômios. Como seria a equação de uma reta em P2(R) passando porp(x) = 1 + x paralela ao vetor q(x) = x2?

4.2 Equação Cartesiana da Reta no PlanoA equação de uma reta r em R2 pode ser escrita na forma

y = mx+ k (4.2.1)

chamada equação cartesiana da reta. Considere r uma reta paralela ao vetor v = (a,b), ondeb 6= 0, parametrizada por

x =x0 + at (4.2.2)y =y0 + bt. (4.2.3)

Multiplicando Equação 4.2.2 por b e a Equação 4.2.3 por a e subtraindo obtemos

bx− ay = bx0 − ay0,

o que nos dáy =

b

ax+

ay0 − bx0

b.

Assim, obtemos a equação da reta na forma da Equação 4.2.1, onde m =b

ae k =

ay0 − bx0

b.

Observe que m é igual a tangente do ângulo que o vetor v faz com o eixo x que é o mesmoângulo que a reta faz com o eixo x. Dizemos que m é o cofeciente angular da reta.

4.3 Equação Geral da Reta no PlanoDados um ponto A = (x0,y0) e um vetor u = (a,b) em R2, podemos definir a reta s perpendicularao vetor u que contém o ponto A. A reta s é o conjunto de todos os pontos P = (x,y) tais queo vetor −→AP é perpendicular ao vetor u,

s ={(x,y) ∈ R2; <

−→AP, v >= 0

}.

Temos que<−→AP, v >= 0⇐⇒ ax+ by = ax0 + by0.

42 4. Retas no Espaço Euclidiano

Considerando a constante c = ax0 + by0, obtemos a equação da reta na forma

ax+ by = c. (4.3.1)

A Equação 4.3.1 é chamada equação geral da reta perpendicular ao vetor u = (a,b).

Exemplo 4.3.1 A equação2x− 1y = −1

é de uma reta perpendicular ao vetor u = (2,−1).

2

−1 u

Figura 4.3.1: Reta perpendicular ao vetor u

Exemplo 4.3.2 Considerando a reta r do Exemplo 4.1.4, vamos determinar uma parame-trização de tal maneira que a reta passe pelo ponto A em t = 0 e no ponto B em t = 3.