geometri görme ve çizme işidir

Geometri görme ve çizme işidir.

GEOMETRİ SORULARINI KOLAY ÇÖZMEK İÇİN GEOMETRİ SORULARINI KOLAY ÇÖZMEK İÇİN YAPILMASI GEREKENLERYAPILMASI GEREKENLER

• Soruyu içeren konu ve formüller iyi bir şekilde bilinmelidirSoruyu içeren konu ve formüller iyi bir şekilde bilinmelidir..• Önceden yeterince örnek soru çözülmelidirÖnceden yeterince örnek soru çözülmelidir..• Verilen tüm bilgiler şekle yerleştirilmelidirVerilen tüm bilgiler şekle yerleştirilmelidir..• Açı sorularında ikizkenar üçgen varsa tepe açısı tespit edilerek taban Açı sorularında ikizkenar üçgen varsa tepe açısı tespit edilerek taban

açıları şekilde belirlenmelidiraçıları şekilde belirlenmelidir..• İkizkenar üçgen, eşkenar üçgen, ikizkenar yamuk sorularında soruyu İkizkenar üçgen, eşkenar üçgen, ikizkenar yamuk sorularında soruyu

kolay çözebilmek için bu şekillerin tepe açılarından dik inilmelidir.kolay çözebilmek için bu şekillerin tepe açılarından dik inilmelidir.• Bir şekilde 30,45,60,120 dereceleri varsa bunlar mutlaka kullanılmak Bir şekilde 30,45,60,120 dereceleri varsa bunlar mutlaka kullanılmak

için verilmiştir.Böyle sorularda uygun bir köşeden dik indirilerek soru için verilmiştir.Böyle sorularda uygun bir köşeden dik indirilerek soru çözülebilir.çözülebilir.

• İki kenarı paralel olan bir dörtgen sorusunda bir köşeden paralel İki kenarı paralel olan bir dörtgen sorusunda bir köşeden paralel olmayan kenara paralel çizilerek soru kolayca çözülebilir.olmayan kenara paralel çizilerek soru kolayca çözülebilir.

• Öğrenilen konular mutlaka akşam tekrar edilmeli ve hafta sonu da Öğrenilen konular mutlaka akşam tekrar edilmeli ve hafta sonu da bir tekrar yapılmalıdır. Böylece konu uzun süre hafızamızda bir tekrar yapılmalıdır. Böylece konu uzun süre hafızamızda kalacaktır.kalacaktır.

• AçıAçı

• Komşu AçılarKomşu Açılar

• Dar AçıDar Açı

• Dik AçıDik Açı

• Geniş AçıGeniş Açı

• Bütünler AçıBütünler Açı

• Tümler AçıTümler Açı

• Tam AçıTam Açı

Açılar ve ÜçgenlerAçılar ve Üçgenler

• Başlangıç noktaları Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının aynı olan iki ışının arasında kalan arasında kalan bölgeye bölgeye açıaçı denir. denir.

• [OA U [OA U [OB=AOB=BOA=A[OB=AOB=BOA=A

• x açısına AOB x açısına AOB açısının ölçüsü açısının ölçüsü denir.denir.

A

O

B

x

AÇIAÇI

• Başlangıç noktaları Başlangıç noktaları ve birer kolları ve birer kolları ortak olan iki açıya ortak olan iki açıya komşu açılarkomşu açılar denir. denir.

• x ve y açıları x ve y açıları komşu açılardır.komşu açılardır.

• AOB ve BOC açıları AOB ve BOC açıları komşu açılardır.komşu açılardır.

O

A

B

C

KOMŞU AÇILARKOMŞU AÇILARxx

yy

• Ölçüsü 0Ölçüsü 0°° ile 90 ile 90°° arasındaki açılara arasındaki açılara dar açılardar açılar denir. denir.

• X bir dar açıdır. Ve X bir dar açıdır. Ve ölçüsü;ölçüsü;

• 00°<°<xx< < 9090°° arasındadır.arasındadır.

K

L Mx

DAR AÇIDAR AÇI

• Ölçüsü 90Ölçüsü 90°° olan açıya olan açıya

dik açıdik açı denir. denir.

• X bir dik açıdır. Ve X bir dik açıdır. Ve ölçüsü;ölçüsü;

• x= x= 9090°°

.x

A

OB

DİK AÇIDİK AÇI

• Ölçüsü 90Ölçüsü 90°° ile 180 ile 180°° arasında olan arasında olan açılara açılara geniş açıgeniş açı denir.denir.

• X bir geniş açıdır. X bir geniş açıdır. Ve ölçüsü;Ve ölçüsü;

• 9090°<°<xx< < 180180°° arasındadır.arasındadır.

A

B C

x

GENİŞ AÇIGENİŞ AÇI

• Ölçüleri toplamı Ölçüleri toplamı 180180°° olan açılara olan açılara bütünler açılarbütünler açılar denir.denir.

• x ve y bütünler x ve y bütünler açılardır. Ve açılardır. Ve ölçüleri toplamı;ölçüleri toplamı;

• x+y= x+y= 180180°° dir. dir.

A O B

C

xy

BÜTÜNLER AÇILARBÜTÜNLER AÇILAR

• Bütünler iki açıdan biri diğerinin iki Bütünler iki açıdan biri diğerinin iki katı ise küçük açıyı bulunuz ?katı ise küçük açıyı bulunuz ?

ÖRNEÖRNEKK

• Küçük açıya x dersek;Küçük açıya x dersek;• Büyük açı, küçük açının iki katı olacağından 2x Büyük açı, küçük açının iki katı olacağından 2x

olur.olur.• Bütünler iki açının toplamlarının 180Bütünler iki açının toplamlarının 1800 0 olduğunu olduğunu

biliyoruz.O halde;biliyoruz.O halde;• x+2x=180x+2x=18000

• 3x=1803x=18000

• Her iki tarafı 3 e bölersek;Her iki tarafı 3 e bölersek;• x=60x=6000 bulunur. bulunur.• Bize küçük açı yani x soruluyordu, o halde çözüm Bize küçük açı yani x soruluyordu, o halde çözüm

x=60x=6000 olarak bulunur. olarak bulunur.

ÇÖZÜMÇÖZÜM

• Ölçüleri toplamı Ölçüleri toplamı 9090°° olan açılara olan açılara tümler açılartümler açılar denir. denir.

• x ile y tümler x ile y tümler açılardır. Ve açılardır. Ve ölçüleri toplamı;ölçüleri toplamı;

• x + y = x + y = 9090°° dir. dir.

C

D E

F

xy

TÜMLER AÇILARTÜMLER AÇILAR

• İki tümler açıdan İki tümler açıdan birisi diğerinin birisi diğerinin yarısından 30yarısından 3000 eksik ise büyük eksik ise büyük açıyı bulunuz ?açıyı bulunuz ?

ÖRNEKÖRNEK

• Büyük açıya 2x dersek;Büyük açıya 2x dersek;• Küçük açı, büyük açının yarısından 30Küçük açı, büyük açının yarısından 3000 eksik eksik

olduğundan x-30olduğundan x-3000 olur. olur.• Tümler açıların toplamları 90Tümler açıların toplamları 9000 idi; idi;• Buradan;Buradan;• 2x+x-302x+x-3000 =90 =9000

• 3x-303x-3000 =90 =9000

• 3x=1203x=12000 Her iki tarafı 3‘e bölersek; Her iki tarafı 3‘e bölersek;• x=40x=4000 bulunur. bulunur.• Bize büyük açı sorulduğuna göre çözüm Bize büyük açı sorulduğuna göre çözüm

2x=2.402x=2.4000=80=8000 olur. olur.

ÇÖZÜMÇÖZÜM

• Ölçüsü 360Ölçüsü 360°° olan olan açıya açıya tam açıtam açı denir.denir.

• x = x = 360360°°

x

TAM AÇITAM AÇI

• Bir açının ölçüsünü Bir açının ölçüsünü iki eşit parçaya iki eşit parçaya bölen ışına o açının bölen ışına o açının açıortayı denir.açıortayı denir.

• M(AOP) = m(POC) M(AOP) = m(POC) ise [OP AOC ise [OP AOC açısının açısının açıortayıdır.açıortayıdır.

A

C

O

Px

x..

AÇIORTAYAÇIORTAY

• Açıortay üzerinde Açıortay üzerinde alınan herhangi bir alınan herhangi bir nokta, açının nokta, açının kollarına eşit kollarına eşit uzaklıktadır.uzaklıktadır.

• [AP KAM açısının [AP KAM açısının açıortayı ise;açıortayı ise;

llBPBPll = = llPCPCll dir. dir.

A

K

L

M.P

..B C

AÇIORTAY KURALI 1AÇIORTAY KURALI 1

• Yandaki şekilde Yandaki şekilde [AD] açıortay,[AD] açıortay,

• llBDBDll=4x+10=4x+10

• llDEDEll=3x+20=3x+20

iseise

• llDEDEll=?=?

ÖRNEKÖRNEK

..

..

AA

BB CCDD

EE

....

• [AD] açıortay ise, [AD] açıortay ise, llBDBDll==llDEDEll dir. dir.

• O halde;O halde;

• 4x+10=3x+20 eşitliğinden;4x+10=3x+20 eşitliğinden;

• x=10 bulunur.x=10 bulunur.

• Buradan;Buradan;

• llDEDEll=3x+20=3.10+20=50 bulunur.=3x+20=3.10+20=50 bulunur.

ÇÖZÜMÇÖZÜM

• Komşu bütünler iki Komşu bütünler iki açının açıortayları açının açıortayları arasında kalan açı arasında kalan açı 9090°° dir. dir.

• a+b= 90a+b= 90°° .. aa

aabbbb

OOAA

BB CC

DD

EE

AÇIORTAY KURALI 2AÇIORTAY KURALI 2

• Kesişen iki doğrunun Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan birbirine komşu olmayan açılara açılara ters açılarters açılar denir. denir.

• Ters açıların ölçüleri Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.birbirine eşittir.

• x=y , z=tx=y , z=t

• x+z = 180x+z = 180°°, y+t= , y+t= 180180°°

• x+t= x+t= 180180°° , z+y= , z+y= 180180°°

d1

d2

x

yz t

TERS AÇILARTERS AÇILAR

PARALEL İKİ DOĞRUYU ÜÇÜNCÜ BİR DOĞRU PARALEL İKİ DOĞRUYU ÜÇÜNCÜ BİR DOĞRU KESTİĞİNDE OLUŞAN AÇILARKESTİĞİNDE OLUŞAN AÇILAR

• Yöndeş AçılarYöndeş Açılar

• İç Ters Açılarİç Ters Açılar

• Dış Ters AçılarDış Ters Açılar

• Karşı Durumlu AçılarKarşı Durumlu Açılar

• NOT: Paralel NOT: Paralel doğruların arasında doğruların arasında kalan açılar iç açılar, kalan açılar iç açılar, dışında kalan açılar da dışında kalan açılar da dış açılardır.dış açılardır.

d1

d2

d1d2

xy

z t

a b

c d

• Aynı yöne doğru Aynı yöne doğru bakan açılara bakan açılara yöndeş yöndeş açılaraçılar denir. denir.

• Yöndeş açıların Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.ölçüleri eşittir.

• b ile y, t ile d, c ile z ,a b ile y, t ile d, c ile z ,a ile x açıları yöndeş ile x açıları yöndeş açılardır.açılardır.

• b=y , t=d , c=z , x=a b=y , t=d , c=z , x=a dır.dır.

d1

d2

d1d2

xy

z t

a b

c d

YÖNDEŞ AÇILARYÖNDEŞ AÇILAR

• İç açılardan tam ters İç açılardan tam ters yöne bakan açılara yöne bakan açılara iç iç ters açılarters açılar denir. denir.

• İç ters açıların İç ters açıların ölçüleri birbirine ölçüleri birbirine eşittir.eşittir.

• a ile t , z ile b iç ters a ile t , z ile b iç ters açılardır.açılardır.

• a=t ve z=b dir. a=t ve z=b dir.

d1

d2

d1d2

xy

z t

a b

c d

İÇ TERS AÇILARİÇ TERS AÇILAR

• Dış açılardan tam Dış açılardan tam ters yöne bakanlar ters yöne bakanlar dış ters açılardır.dış ters açılardır.

• Dış ters açıların Dış ters açıların ölçüleri birbirine ölçüleri birbirine eşittir.eşittir.

• x ile d ve y ile c x ile d ve y ile c açıları dış ters açıları dış ters açılardır.açılardır.

• x=d ve y=c dir.x=d ve y=c dir.

d1

d2

d1d2

xy

z t

a b

c d

DIŞ TERS AÇILARDIŞ TERS AÇILAR

• Karşı durumlu açılar Karşı durumlu açılar birbirinin bütünleridir.birbirinin bütünleridir.

• Yandaki şekilde a ile Yandaki şekilde a ile z , b ile t açıları karşı z , b ile t açıları karşı durumlu açılardır.durumlu açılardır.

• Karşı durumlu açıların Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180ölçüleri toplamı 180°° dir.dir.

• a+z= 180a+z= 180°° , b+t= , b+t= 180180°°

d1

d2

d1d2

xy

z t

a b

c d

KARŞI DURUMLU KARŞI DURUMLU AÇILARAÇILAR

• Yandaki şekilde dYandaki şekilde d11 d d22 d d3 3 tür.tür.

• Verilenlere göre x=?Verilenlere göre x=?

ÖRNEKÖRNEKdd11

dd22

dd33

xx

4y4y 121266

180-3y180-3y

• 12612600 lik açının bütünleyeni lik açının bütünleyeni olan açı 54olan açı 5400 dir. dir.

• 180-3y ile 54 lik açılar iç 180-3y ile 54 lik açılar iç ters açılar olup eşittirler.ters açılar olup eşittirler.

• Buradan;Buradan;• 180-3y=54 olup y=42 dir.180-3y=54 olup y=42 dir.• O halde 4y=4.42=168 olur.O halde 4y=4.42=168 olur.• 4y ile x de karşı durumlu 4y ile x de karşı durumlu

açılar olup toplamları 180 açılar olup toplamları 180 dir.dir.

• Buradan;Buradan;• 4y+x=180 dir.4y+x=180 dir.• 168+x=180 eşitliğinden 168+x=180 eşitliğinden

x=12 bulunur.x=12 bulunur.

ÇÖZÜMÇÖZÜM

dd11

dd22

dd33

xx

4y4y 121266

180-3y180-3y

5454

4y4y

• dd1 1 dd2 2 ve d ve d3 3 dd4 4 ise ise

x =y dir.x =y dir.

dd11

dd22

dd33

dd44

xx

yy

KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 1KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 1

• dd1 1 dd2 2 ve d ve d3 3 dd4 4 ise ise

x=y dir.x=y dir.

dd11 dd22

dd33

dd44

xx

yy

KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 2KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 2

• dd1 1 dd2 2 ve d ve d3 3 dd4 4 ise ise

x=y dir.x=y dir.

dd11

dd22

dd33

dd44

xx

yy

KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 3KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 3

• dd1 1 dd2 2 ve d ve d3 3 dd4 4 ise ise

x+y= 180x+y= 180°° dir. dir.

dd11

dd22

dd33

dd44

xx

yy

KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 4KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 4

• dd1 1 dd2 2 ve d ve d3 3 dd4 4 ise ise

x=y dir.x=y dir.dd11

dd22dd33

dd44

xx

yy

KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 5KENARLARI BİRBİRİNE PARALEL AÇILAR 5

• dd11 d d22 ve d ve d33 d d4 4

ise;ise;

• x=y dir.x=y dir...

..

xx

yydd11

dd22

dd33

dd44

KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 1KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 1

• dd1 1 dd2 2 ve dve d3 3 dd4 4

ise; ise;

• x+y=180x+y=1800 0 dir.dir.yyxx

..

..

dd11 dd22

dd33

dd44

KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 2KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 2

• dd1 1 dd2 2 ve dve d3 3 dd4 4

ise; ise;

• x=y dir.x=y dir.

..

..

xxyy

dd11

dd22

dd33

dd44

KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 3KENARLARI BİRBİRİNE DİK AÇILAR 3

• dd11 dd2 2 ise;ise;

• x+y+z=a+b+c dir.x+y+z=a+b+c dir.

• Sağa bakan açıların Sağa bakan açıların toplamı, sola bakan toplamı, sola bakan açıların toplamına açıların toplamına eşittir.eşittir.

xx

yy

zz

aa

bb

cc

dd11

dd22

KURAL KURAL 11

• dd1 1 dd2 2 ise x=?ise x=?

ÖRNEKÖRNEKdd11

dd22

2020 xx

7070

170170

• dd22 doğrusu şekildeki doğrusu şekildeki gibi uzatılır.gibi uzatılır.

• 170 in bütünleri 10 170 in bütünleri 10 dur.dur.

• Buradan;Buradan;

• x+10=70+20 x+10=70+20 eşitliğinden (Kural eşitliğinden (Kural 1);1);

• X=80 bulunur.X=80 bulunur.

ÇÖZÜMÇÖZÜM

dd11

dd22

2020 xx

7070

170170

1010

Bütünler AçılarBütünler Açılar

• dd11 dd2 2 ise;ise;

• x+y+z=360x+y+z=3600 0 dir.dir.

dd11

dd22

xx

yy

zz

KURAL KURAL 22

• dd1 1 dd2 2 ise x=?ise x=?

ÖRNEKÖRNEK

dd11

dd22

100100

120120

XX

• Kural 2 den;Kural 2 den;

• 100+120+x=360100+120+x=360

• 220+x=360220+x=360

• x=360-220x=360-220

• x=140 bulunur. x=140 bulunur.

ÇÖZÜMÇÖZÜM

dd11

dd22

100100

120120

XX

100100

Ters açılarTers açılar