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Revista Integración
ISSN: 0120-419X
integracion@matematicas.uis.ed
Universidad Industrial de Santander
Colombia
Arenas Díaz, Gilberto
Una generalización para operadores del teorema de Rouché
Revista Integración, vol. 26, núm. 2, 2008, pp. 97-115
Universidad Industrial de Santander
Bucaramanga, Colombia
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=327028435004
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Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto
∮Revista Integración
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Vol. 26, No. 2, 2008, pág. 97–115
Una generalización para operadores del
teorema de Rouché
Gilberto Arenas Díaz∗
Resumen. El teorema de Rouché es utilizado para estudiar los ceros deuna función dentro de un contorno conociendo los ceros de otra funciónrelacionada. En este artículo se presenta una generalización de ese teoremapara el caso de operadores, y se da una aplicación asociada con un operadorrelacionado con la linealización de una ecuación tipo Boussinesq.
Abstract. Rouché’s theorem is used to study the zeros of a function in acontour, when the zeros of another related function are known. This papergeneralizes that theorem for the case of operators. Also, it is shown anapplication associated with an operator related to the linearization of aBoussinesq type equation.
1. Introducción
En ocasiones es importantes saber cuántos ceros tiene una función de variable compleja
en el interior de la región limitada por una curva cerrada simple. El siguiente resultado
da una fórmula que cuenta tales ceros.
Teorema 1.1. Si f (z) es una función que es analítica en la región cerrada limitada por
una curva simple cerrada γ y no contiene polos dentro de γ, entonces
M(γ; f(·)) =1
2πi
∮
γ
f ′ (z)
f (z)dz, (1)
donde M(γ; f(·)) denota el número de ceros de f(z) en el interior de γ.
0Palabras y frases claves: Teorema generalizado de Rouché, operadores Fredholm, ecuación tipoBoussinesq.
0MSC2000: Primaria: 47A13, 47B99. Secundaria: 47A75.0∗ Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia,e-mails: garenasd@uis.edu.co, garenasd@yahoo.com
97
96 Carlos Cabal-Mirabal & Ivan Ruiz-Chaveco
[2] W.A. Eaton, J. Hofrichther, “Sickle Cell Hemoglobin Polymerization”, Advances in
Protein Chemistry. 40 (1990) 63-279.
[3] C. Cabal, A. I. Ruiz, “A model of the Molecular Aggregate Processes of Hemoglobin S.Absence of Crystallization”, Revista Integration, Vol 26, No. 1 (2008), 21-30.
[4] T.E. Wellems, R. Josephs, “Crystallization of Deoxyhemoglobin S by Fiber Alignmentand Fusion”, J. Mol. Biol. 135(1979) 651-674.
[5] A. McPherson, “Current approaches to macromolecular crystallization”, Eur. J. Biochem.189 (1990) 1-23.
[6] G. Agarwal, J.C. Wang, S. Kwong , S.M. Cohen, F.A. Ferrone, R. Josephs,
R.W. Briehl, “Sickle hemoglobin Fibers: Mechanisms of Depolymerization”, J. Mol. Biol.322 (2002) 395-412.
[7] F.A. Ferrone, J. Hofrichter, W.A. Eaton, “Kinetics of Sickle Hemoglobin Polyme-rization. II A double nucleation mechanism”, J. Mol. Biol. 183 (1985) 611-631.
[8] M. Ivanova, R. Jasuja, S. Kwong, R.W. Briehl, F.A. Ferrone, “Nonideality andthe nucleation of sickle hemoglobin”, Biophys. J. 79 (2000) 1016-1022.
[9] V.B. Makhijani., G.R. Coketet, A. Clark, “Dymanics of oxygen unloading fromsickle erythrocytes”, Biophys. J. 58 (1990) 1025-1050.
[10] F.A. Ferrone, M. Ivanova, R. Jasuja, “Heterogeneous Nucleation Crowding in SickleHemoglobin. An Analytic Approach”, Biophys. J. 82 (2002) 399- 406.
[11] M. Ivanova, R. Jasuja, S. Kwong, R.W Briehl, F.A. Ferrone, “Nonideality andthe nucleation of Sickle Hemoglobin”, Biophys. J. 79 (2000) 1012- 1022.
[12] L. Elsgoltz, Differential Equations and Variation Calculus, Second Edition. EditorialMir. Moscow. 1977.
Carlos Cabal-Mirabal
Medical Biophysics Center,University of Oriente,Lumumba s/n,Santiago de Cuba 90500, Cuba.e-mail : cabal@cbm.uo.edu.cu
Ivan Ruiz-Chaveco
Faculty of Mathematics and Computing,University of Oriente,Lumumba s/n,Santiago de Cuba 90500, Cuba.e-mail : iruiz@csd.uo.edu.cu
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 99
Definición 2.2. Sean X e Y espacios lineales normados y T ∈ B (X, Y ). La norma de
T se define por
T = sup T (x) : x ≤ 1 .
Definición 2.3. Sea X un espacio normado e I ∈ B(X) el operador identidad. Un opera-
dor T ∈ B (X) se dice invertible si existe S ∈ B (X) tal que ST = I = TS. El operador
S es llamado el inverso de T y es denotado por T−1.
Definición 2.4. Sean X e Y espacios normados. Una transformación lineal T es com-
pacta, si para cualquier sucesión acotada xn en X , la sucesión Txn en Y contiene
una subsucesión convergente.
Definición 2.5. Sean X e Y espacios de Hilbert. Un operador A ∈ B(X, Y ) se denomina
de Fredholm si la imagen de A, Im A, es un conjunto cerrado y los números
n (A) = dimkerA y d (A) = dim (Y/ Im A)
son finitos. En este caso, el número indA = n (A) − d (A) se llama el índice de A.
Por ejemplo, si los espacios de Hilbert X e Y son de dimensión finita, el operador
A ∈ B(X, Y ) es de Fredholm.
A no ser que se diga otra cosa, H denotará un espacio de Hilbert.
Lema 2.6. Sea H un espacio de Hilbert. Si T ∈ B(H) es de rango finito, entonces I − T
es un operador de Fredholm e ind (I − T ) = 0.
Teorema 2.7. Sean H y N espacios de Hilbert y T ∈ B(H,N ) un operador de Fredholm.
Entonces existe ρ > 0 tal que si S ∈ B(H,N ) con S < ρ, entonces T + S es de
Fredholm, e ind (T + S) = ind (T ).
Corolario 2.8. Sea H un espacio de Hilbert. Si T ∈ B(H) es un operador compacto,
entonces I − T es un operador de Fredholm e ind (I − T ) = 0.
Demostración. Por el Lema 2.6 se sabe que I − T es un operador de Fredholm. Veamos
ahora que ind (I − T ) = 0. Dado que el operador T es compacto, existe una sucesión
de operadores Tn de H en H y de rango finito tal que Tn → T en B (H). Puesto que
T − Tn → 0 cuando n → ∞, existe n0 ∈ tal que Tn − T < ρ para todo n ≥ n0. Por
tanto, del Teorema 2.7 se tiene
ind (I − T ) = ind (I − Tn + Tn − T ) = ind (I − Tn) .
Ahora bien, como Tn es de rango finito, el Lema 2.6 garantiza que ind (I − Tn) = 0.
Vol. 26, No. 2, 2008]
98 Gilberto Arenas Díaz
Como en general este teorema no funciona para toda función de variable compleja, se
procede a utilizar cierto tipo de estas funciones, las cuales están relacionadas de forma
apropiada con la función objetivo, y a continuación se aplica el siguiente resultado, el
cual es conocido como el teorema de Rouché.
Teorema 1.2 (Teorema de Rouché). Sean f (z) y g (z) funciones analíticas en la región
cerrada limitada por una curva cerrada simple γ y tales que |g (z)| < |f (z)| sobre γ.
Entonces las funciones f (z)+g (z) y f (z) tienen el mismo número de ceros en el interior
de γ.
El estudio de los anteriores resultados es un tema tratado en un curso clásico de variable
compleja. En el presente artículo se muestra una generalización de estos dos teoremas,
basados en [3], y se hace una aplicación sobre un operador relacionado con la linealización
de una ecuación tipo Boussinesq.
2. Teoría preliminar
A continuación se presentan algunas definiciones y resultados básicos, y se establecen
algunas de las notaciones utilizadas. Consideraremos que el lector esta familiarizado con
los conceptos de espacio de Banach y espacio de Hilbert.
Si X e Y son espacios normados, L(X, Y ) denota el conjunto de todas las transforma-
ciones lineales de X en Y , cuando X = Y se abreviará por L (X).
Si X e Y son espacios normados y T : X → Y es una transformación lineal, la norma de
un elemento en X y la norma de un elemento en Y generalmente son relacionadas en la
misma ecuación. En la practica las normas en cada espacio deberían distinguirse, pero
notaremos simplemente con el símbolo · la norma en ambos espacios, si es claro a la
norma de que espacio nos estamos refiriendo.
Definición 2.1. Sean X e Y espacios lineales normados y T : X → Y una transfor-
mación lineal. Se dice que T es acotada si existe un número real positivo k tal que
T (x) ≤ k x para todo x ∈ X .
Es de notar que la idea de acotada y continua son equivalentes para transformaciones
lineales. El conjunto de todas las transformaciones lineales acotadas (continuas) de X
en Y es denotado por B (X, Y ), cuando X = Y se denota por B (X). Los elementos
de B (X, Y ) son llamados operadores lineales acotados u operadores lineales o
simplemente operadores.
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 99
Definición 2.2. Sean X e Y espacios lineales normados y T ∈ B (X, Y ). La norma de
T se define por
T = sup T (x) : x ≤ 1 .
Definición 2.3. Sea X un espacio normado e I ∈ B(X) el operador identidad. Un opera-
dor T ∈ B (X) se dice invertible si existe S ∈ B (X) tal que ST = I = TS. El operador
S es llamado el inverso de T y es denotado por T−1.
Definición 2.4. Sean X e Y espacios normados. Una transformación lineal T es com-
pacta, si para cualquier sucesión acotada xn en X , la sucesión Txn en Y contiene
una subsucesión convergente.
Definición 2.5. Sean X e Y espacios de Hilbert. Un operador A ∈ B(X, Y ) se denomina
de Fredholm si la imagen de A, Im A, es un conjunto cerrado y los números
n (A) = dimkerA y d (A) = dim (Y/ Im A)
son finitos. En este caso, el número ind A = n (A) − d (A) se llama el índice de A.
Por ejemplo, si los espacios de Hilbert X e Y son de dimensión finita, el operador
A ∈ B(X, Y ) es de Fredholm.
A no ser que se diga otra cosa, H denotará un espacio de Hilbert.
Lema 2.6. Sea H un espacio de Hilbert. Si T ∈ B(H) es de rango finito, entonces I − T
es un operador de Fredholm e ind (I − T ) = 0.
Teorema 2.7. Sean H y N espacios de Hilbert y T ∈ B(H,N ) un operador de Fredholm.
Entonces existe ρ > 0 tal que si S ∈ B(H,N ) con S < ρ, entonces T + S es de
Fredholm, e ind (T + S) = ind (T ).
Corolario 2.8. Sea H un espacio de Hilbert. Si T ∈ B(H) es un operador compacto,
entonces I − T es un operador de Fredholm e ind (I − T ) = 0.
Demostración. Por el Lema 2.6 se sabe que I − T es un operador de Fredholm. Veamos
ahora que ind (I − T ) = 0. Dado que el operador T es compacto, existe una sucesión
de operadores Tn de H en H y de rango finito tal que Tn → T en B (H). Puesto que
T − Tn → 0 cuando n → ∞, existe n0 ∈ tal que Tn − T < ρ para todo n ≥ n0. Por
tanto, del Teorema 2.7 se tiene
ind (I − T ) = ind (I − Tn + Tn − T ) = ind (I − Tn) .
Ahora bien, como Tn es de rango finito, el Lema 2.6 garantiza que ind (I − Tn) = 0.
Vol. 26, No. 2, 2008]
98 Gilberto Arenas Díaz
Como en general este teorema no funciona para toda función de variable compleja, se
procede a utilizar cierto tipo de estas funciones, las cuales están relacionadas de forma
apropiada con la función objetivo, y a continuación se aplica el siguiente resultado, el
cual es conocido como el teorema de Rouché.
Teorema 1.2 (Teorema de Rouché). Sean f (z) y g (z) funciones analíticas en la región
cerrada limitada por una curva cerrada simple γ y tales que |g (z)| < |f (z)| sobre γ.
Entonces las funciones f (z)+g (z) y f (z) tienen el mismo número de ceros en el interior
de γ.
El estudio de los anteriores resultados es un tema tratado en un curso clásico de variable
compleja. En el presente artículo se muestra una generalización de estos dos teoremas,
basados en [3], y se hace una aplicación sobre un operador relacionado con la linealización
de una ecuación tipo Boussinesq.
2. Teoría preliminar
A continuación se presentan algunas definiciones y resultados básicos, y se establecen
algunas de las notaciones utilizadas. Consideraremos que el lector esta familiarizado con
los conceptos de espacio de Banach y espacio de Hilbert.
Si X e Y son espacios normados, L(X, Y ) denota el conjunto de todas las transforma-
ciones lineales de X en Y , cuando X = Y se abreviará por L (X).
Si X e Y son espacios normados y T : X → Y es una transformación lineal, la norma de
un elemento en X y la norma de un elemento en Y generalmente son relacionadas en la
misma ecuación. En la practica las normas en cada espacio deberían distinguirse, pero
notaremos simplemente con el símbolo · la norma en ambos espacios, si es claro a la
norma de que espacio nos estamos refiriendo.
Definición 2.1. Sean X e Y espacios lineales normados y T : X → Y una transfor-
mación lineal. Se dice que T es acotada si existe un número real positivo k tal que
T (x) ≤ k x para todo x ∈ X .
Es de notar que la idea de acotada y continua son equivalentes para transformaciones
lineales. El conjunto de todas las transformaciones lineales acotadas (continuas) de X
en Y es denotado por B (X, Y ), cuando X = Y se denota por B (X). Los elementos
de B (X, Y ) son llamados operadores lineales acotados u operadores lineales o
simplemente operadores.
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 101
donde F (λ) y E (λ) son operadores invertibles que dependen analíticamente sobre λ en
U . Si los operadores T (·) y S (·) son equivalente para cualquier λ0 ∈ , se dice que T (·)y S (·) son equivalentes sobre .
En adelante, L(X ) denotará el conjunto de todos los operadores lineales del espacio de
Banach X en si mismo.
Teorema 2.14. Sea W : −→ L (X ) un operador funcional analítico tal que para algún
λ0 ∈ el operador W (λ0) es de Fredholm de índice cero. Entonces W es equivalente en
λ0 a un operador funcional analítico D de la forma
D (λ) = P0 + (λ − λ0)κ1 P1 + · · · + (λ − λ0)
κr Pr, (2)
donde P0, P1, . . . , Pr son proyecciones mutuamente disjuntas del espacio de Banach X ,
donde las proyecciones P1, . . . , Pr tienen rango uno, la proyección I − P0 tiene rango
finito y κ1 ≤ κ2 ≤ · · · ≤ κr son enteros positivos.
Corolario 2.15. Sea W : → L (X ) un operador funcional analíticos de Fredholm tal
que W (z) es invertible para algún z ∈ . Sea
Σ = λ ∈ : W (λ) es no invertible .
Para λ0 ∈ Σ y λ ∈ \ Σ suficientemente cercano a λ0, se tiene que
W (λ)−1 =
∞∑
n=−q
(λ − λ0)n
An,
donde A0 es un operador de Fredholm de índice cero y A−1, . . . , A−q son operadores de
rango finito.
Corolario 2.16. Sea A ∈ L(X ). Si el complemento en C del espectro esencial σess(A) de
A es conexo, entonces σ(A)\σess(A) consiste solamente de valores propios de tipo finito.
Definición 2.17. Supóngase que H es un espacio de Hilbert separable, es un dominio en
C, y que W : → L (H) es un operador funcional analítico sobre . Se dice que λ0 ∈
es un valor propio de tipo finito de W (·) si W (λ0) es de Fredholm, W (λ0)x = 0
para algún x ∈ H diferente de cero y W (λ) es invertible para todo λ en algún anillo
alrededor de λ0 de la forma λ ∈ C : 0 < |λ − λ0| < ε.
Vol. 26, No. 2, 2008]
100 Gilberto Arenas Díaz
Sean I ∈ B(H) el operador identidad y T ∈ B(H). El espectro de T , denotado por σ(T ),
es definido por
σ(T ) = λ ∈ C | T − λI es no invertible.
En estas circunstancias se obtienen los siguientes resultados.
Teorema 2.9. Sean T ∈ B(H) y Ω una vecindad abierta del espectro de T , σ(T ). Entonces
existe un ε > 0 tal que σ(S) ⊂ Ω para cualquier operador S ∈ B(H) con T − S < ε.
En adelante Γ denotará un contorno rectificable cerrado simple, también conocido
como contorno cerrado de Cauchy o curva de Jordan, y ∆ denotará el interior de
la región limitada por Γ.
Teorema 2.10. Sea σ un conjunto finito de valores propios de tipo finito de T , y sea Γ
una curva de Jordan alrededor de σ que lo separa de σ (T ) \σ. Entonces existe un ε > 0
tal que para cualquier operador S con T − S < ε, tal que lo siguiente es verdadero:
σ (S) ∩ Γ = ∅, la parte de σ (S) en ∆ es un conjunto finito de valores propios de tipo
finito y ∑
λ∈∆
M (λ; S) =∑
λ∈∆
M (λ; T ) .
Definición 2.11. Sea A un operador sobre un espacio de Banach X . Entonces se define
la traza de A como
tr A =
∞∑
j=1
Aej , ej ,
para cualquier base ortonormal ej de X .
Definición 2.12. Sea G ⊂ C un dominio y X un espacio de Banach. Entonces el operador
W : G −→ Xλ −→ W (λ) ,
es llamado analítico en el punto λ0 ∈ G si el límite
lımλ→λ0
W (λ) − W (λ0)
λ − λ0
existe. Si W es analítico para todo λ0 ∈ G, entonces se dice que W es analítico en G.
Definición 2.13. Sea un dominio de C. Dado λ0 ∈ se dice que los operadores T (·)y S (·) de B(X ) son equivalentes en λ0 si existe una vecindad abierta U de λ0 en tal
que
T (λ) = F (λ) S (λ) E (λ) , λ ∈ U,
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 101
donde F (λ) y E (λ) son operadores invertibles que dependen analíticamente sobre λ en
U . Si los operadores T (·) y S (·) son equivalente para cualquier λ0 ∈ , se dice que T (·)y S (·) son equivalentes sobre .
En adelante, L(X ) denotará el conjunto de todos los operadores lineales del espacio de
Banach X en si mismo.
Teorema 2.14. Sea W : −→ L (X ) un operador funcional analítico tal que para algún
λ0 ∈ el operador W (λ0) es de Fredholm de índice cero. Entonces W es equivalente en
λ0 a un operador funcional analítico D de la forma
D (λ) = P0 + (λ − λ0)κ1 P1 + · · · + (λ − λ0)
κr Pr, (2)
donde P0, P1, . . . , Pr son proyecciones mutuamente disjuntas del espacio de Banach X ,
donde las proyecciones P1, . . . , Pr tienen rango uno, la proyección I − P0 tiene rango
finito y κ1 ≤ κ2 ≤ · · · ≤ κr son enteros positivos.
Corolario 2.15. Sea W : → L (X ) un operador funcional analíticos de Fredholm tal
que W (z) es invertible para algún z ∈ . Sea
Σ = λ ∈ : W (λ) es no invertible .
Para λ0 ∈ Σ y λ ∈ \ Σ suficientemente cercano a λ0, se tiene que
W (λ)−1 =
∞∑
n=−q
(λ − λ0)n
An,
donde A0 es un operador de Fredholm de índice cero y A−1, . . . , A−q son operadores de
rango finito.
Corolario 2.16. Sea A ∈ L(X ). Si el complemento en C del espectro esencial σess(A) de
A es conexo, entonces σ(A)\σess(A) consiste solamente de valores propios de tipo finito.
Definición 2.17. Supóngase que H es un espacio de Hilbert separable, es un dominio en
C, y que W : → L (H) es un operador funcional analítico sobre . Se dice que λ0 ∈
es un valor propio de tipo finito de W (·) si W (λ0) es de Fredholm, W (λ0)x = 0
para algún x ∈ H diferente de cero y W (λ) es invertible para todo λ en algún anillo
alrededor de λ0 de la forma λ ∈ C : 0 < |λ − λ0| < ε.
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100 Gilberto Arenas Díaz
Sean I ∈ B(H) el operador identidad y T ∈ B(H). El espectro de T , denotado por σ(T ),
es definido por
σ(T ) = λ ∈ C | T − λI es no invertible.
En estas circunstancias se obtienen los siguientes resultados.
Teorema 2.9. Sean T ∈ B(H) y Ω una vecindad abierta del espectro de T , σ(T ). Entonces
existe un ε > 0 tal que σ(S) ⊂ Ω para cualquier operador S ∈ B(H) con T − S < ε.
En adelante Γ denotará un contorno rectificable cerrado simple, también conocido
como contorno cerrado de Cauchy o curva de Jordan, y ∆ denotará el interior de
la región limitada por Γ.
Teorema 2.10. Sea σ un conjunto finito de valores propios de tipo finito de T , y sea Γ
una curva de Jordan alrededor de σ que lo separa de σ (T ) \σ. Entonces existe un ε > 0
tal que para cualquier operador S con T − S < ε, tal que lo siguiente es verdadero:
σ (S) ∩ Γ = ∅, la parte de σ (S) en ∆ es un conjunto finito de valores propios de tipo
finito y ∑
λ∈∆
M (λ; S) =∑
λ∈∆
M (λ; T ) .
Definición 2.11. Sea A un operador sobre un espacio de Banach X . Entonces se define
la traza de A como
tr A =
∞∑
j=1
Aej , ej ,
para cualquier base ortonormal ej de X .
Definición 2.12. Sea G ⊂ C un dominio y X un espacio de Banach. Entonces el operador
W : G −→ Xλ −→ W (λ) ,
es llamado analítico en el punto λ0 ∈ G si el límite
lımλ→λ0
W (λ) − W (λ0)
λ − λ0
existe. Si W es analítico para todo λ0 ∈ G, entonces se dice que W es analítico en G.
Definición 2.13. Sea un dominio de C. Dado λ0 ∈ se dice que los operadores T (·)y S (·) de B(X ) son equivalentes en λ0 si existe una vecindad abierta U de λ0 en tal
que
T (λ) = F (λ) S (λ) E (λ) , λ ∈ U,
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 103
Definición 2.22. Sea Γ una curva de Jordan en tal que su dominio interno ∆ es un
subconjunto de . El operador funcional W se dice que es normal con respecto a Γ si
W (λ) es invertible para todo λ ∈ Γ y W (λ) es de Fredholm para todo λ en el dominio
interno ∆.
3. Resultados principales
A continuación se presenta la generalización para operadores de los Teoremas 1.1 y 1.2.
Teorema 3.1. Sea W : −→ L (X) un operador funcional analítico, y supóngase que W
es normal con respecto a la curva de Jordan Γ. Entonces
M (Γ; W (·)) = tr
(1
2πi
∫
Γ
W ′ (λ) W (λ)−1
dλ
), (3)
donde W ′ (Λ) denota la derivada de W en Λ.
Demostración. El operador funcional W ′ (·)W (·)−1 es analítico sobre ∆ ∪ Γ, excepto
posiblemente en un número finito de puntos en ∆ que son valores propios de tipo finito
de W . Por lo tanto, por el Teorema de Cauchy para funciones analíticas, es suficiente
probar el teorema en el caso en el que Γ es una circunferencia de radio ρ suficientemente
pequeño y con centro en un valor propio λ0 de W . Recuérdese que W es equivalente en
λ0 al operador funcional D definido en (2). Así, existe una vecindad abierta U de λ0 tal
que
W (λ) = E (λ) D (λ) F (λ) , λ ∈ U, (4)
donde E (λ) y F (λ) son operadores invertibles que dependen analíticamente de λ en U .
Supóngase que el radio ρ de la circunferencia Γ se ha elegido de una manera tal que
λ ∈ U siempre que |λ − λ0| ≤ ρ. Omitiendo la variable λ, se puede escribir
W ′W−1 = (E′DF + ED′F + EDF ′)F−1D−1E−1
= E′E−1 + ED′D−1E−1 + EDF ′F−1D−1E−1. (5)
Por el Corolario 2.15 se sabe que W−1 es finitamente meromorfa en λ0. Puesto que W es
analítica en U , su derivada W ′ es también analítica en U , y así W ′W−1 es finitamente
meromorfa. Se sigue que
K :=1
2πi
∫
Γ
W ′ (λ) W (λ)−1
dλ (6)
Vol. 26, No. 2, 2008]
102 Gilberto Arenas Díaz
Obsérvese que si λ0 ∈ es un valor propio de tipo finito de W (·), entonces
ind W (λ0) = 0, y por tanto el Teorema 2.14 garantiza que el operador funcional W es
equivalente en λ0 a un operador funcional D que satisface las condiciones allí enunciadas.
Además, dado que en este caso D (λ) es invertible para λ = λ0 y λ suficientemente cerca
de λ0, se satisface también que P0 + P1 + · · · + Pr = I.
Definición 2.18. La suma κ1 + · · · + κr de los índices en (2) se llama la multiplicidad
algebraica de W en λ0, y será denotada por M (λ0; W (·)).
Supóngase que W es un operador funcional. Entonces el Corolario 2.15 implica que W (λ)
es invertible para todo λ ∈ ∆, excepto para un número finito de puntos que son valores
propios de tipo finito de W . Esto permite formular la siguiente definición.
Definición 2.19. La multiplicidad algebraica M (Γ; W (·)) de W relativa a la curva
de Jordan Γ se define como la suma
M (Γ; W (·)) = M (λ1; W (·)) + · · · + M (λp; W (·)) ,
donde λ1, . . . , λp son los valores propios de tipo finito de W en el interior de Γ.
Definición 2.20. Un operador funcional G con valores en L (H), es llamado finitamente
meromorfo en λ0 si G tiene un polo en λ0 y los coeficientes de la parte principal de su
expansión de Laurent en λ0 son operadores de rango finito; es decir, en alguna vecindad
perforada de λ0 tiene una expansión
G (λ) =
∞∑
ν=−q
(λ − λ0)νGν ,
la cual converge en la norma del operador sobre L (H), tal que G−1, . . . , G−q son opera-
dores de rango finito. En este caso ΞG (λ) denota la parte principal de G en λ0. Así,
ΞG (λ) =
−1∑
ν=−q
(λ − λ0)νGν , λ = λ0.
Nótese que ΞG es analítico sobre C \ λ0, y que sus valores son operadores de rango
finito.
Lema 2.21. Sean G1 y G2 dos operadores funcionales con valores en L (H) que son
finitamente meromorfos en λ0. Entonces los operadores G1G2 y G2G1 son finitamente
meromorfos en λ0 y
tr Ξ (G1G2) (λ) = tr Ξ (G2G1) (λ) , λ = λ0.
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 103
Definición 2.22. Sea Γ una curva de Jordan en tal que su dominio interno ∆ es un
subconjunto de . El operador funcional W se dice que es normal con respecto a Γ si
W (λ) es invertible para todo λ ∈ Γ y W (λ) es de Fredholm para todo λ en el dominio
interno ∆.
3. Resultados principales
A continuación se presenta la generalización para operadores de los Teoremas 1.1 y 1.2.
Teorema 3.1. Sea W : −→ L (X) un operador funcional analítico, y supóngase que W
es normal con respecto a la curva de Jordan Γ. Entonces
M (Γ; W (·)) = tr
(1
2πi
∫
Γ
W ′ (λ) W (λ)−1
dλ
), (3)
donde W ′ (Λ) denota la derivada de W en Λ.
Demostración. El operador funcional W ′ (·)W (·)−1 es analítico sobre ∆ ∪ Γ, excepto
posiblemente en un número finito de puntos en ∆ que son valores propios de tipo finito
de W . Por lo tanto, por el Teorema de Cauchy para funciones analíticas, es suficiente
probar el teorema en el caso en el que Γ es una circunferencia de radio ρ suficientemente
pequeño y con centro en un valor propio λ0 de W . Recuérdese que W es equivalente en
λ0 al operador funcional D definido en (2). Así, existe una vecindad abierta U de λ0 tal
que
W (λ) = E (λ) D (λ) F (λ) , λ ∈ U, (4)
donde E (λ) y F (λ) son operadores invertibles que dependen analíticamente de λ en U .
Supóngase que el radio ρ de la circunferencia Γ se ha elegido de una manera tal que
λ ∈ U siempre que |λ − λ0| ≤ ρ. Omitiendo la variable λ, se puede escribir
W ′W−1 = (E′DF + ED′F + EDF ′)F−1D−1E−1
= E′E−1 + ED′D−1E−1 + EDF ′F−1D−1E−1. (5)
Por el Corolario 2.15 se sabe que W−1 es finitamente meromorfa en λ0. Puesto que W es
analítica en U , su derivada W ′ es también analítica en U , y así W ′W−1 es finitamente
meromorfa. Se sigue que
K :=1
2πi
∫
Γ
W ′ (λ) W (λ)−1
dλ (6)
Vol. 26, No. 2, 2008]
102 Gilberto Arenas Díaz
Obsérvese que si λ0 ∈ es un valor propio de tipo finito de W (·), entonces
ind W (λ0) = 0, y por tanto el Teorema 2.14 garantiza que el operador funcional W es
equivalente en λ0 a un operador funcional D que satisface las condiciones allí enunciadas.
Además, dado que en este caso D (λ) es invertible para λ = λ0 y λ suficientemente cerca
de λ0, se satisface también que P0 + P1 + · · · + Pr = I.
Definición 2.18. La suma κ1 + · · · + κr de los índices en (2) se llama la multiplicidad
algebraica de W en λ0, y será denotada por M (λ0; W (·)).
Supóngase que W es un operador funcional. Entonces el Corolario 2.15 implica que W (λ)
es invertible para todo λ ∈ ∆, excepto para un número finito de puntos que son valores
propios de tipo finito de W . Esto permite formular la siguiente definición.
Definición 2.19. La multiplicidad algebraica M (Γ; W (·)) de W relativa a la curva
de Jordan Γ se define como la suma
M (Γ; W (·)) = M (λ1; W (·)) + · · · + M (λp; W (·)) ,
donde λ1, . . . , λp son los valores propios de tipo finito de W en el interior de Γ.
Definición 2.20. Un operador funcional G con valores en L (H), es llamado finitamente
meromorfo en λ0 si G tiene un polo en λ0 y los coeficientes de la parte principal de su
expansión de Laurent en λ0 son operadores de rango finito; es decir, en alguna vecindad
perforada de λ0 tiene una expansión
G (λ) =
∞∑
ν=−q
(λ − λ0)νGν ,
la cual converge en la norma del operador sobre L (H), tal que G−1, . . . , G−q son opera-
dores de rango finito. En este caso ΞG (λ) denota la parte principal de G en λ0. Así,
ΞG (λ) =
−1∑
ν=−q
(λ − λ0)νGν , λ = λ0.
Nótese que ΞG es analítico sobre C \ λ0, y que sus valores son operadores de rango
finito.
Lema 2.21. Sean G1 y G2 dos operadores funcionales con valores en L (H) que son
finitamente meromorfos en λ0. Entonces los operadores G1G2 y G2G1 son finitamente
meromorfos en λ0 y
tr Ξ (G1G2) (λ) = tr Ξ (G2G1) (λ) , λ = λ0.
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 105
valor propio de tipo finito de WA(·) si y solo si λ0 es un valor propio de tipo finito de A. El
teorema anterior implica que en este caso M(λ0, WA(·)) es precisamente la multiplicidad
algebraica de λ0 como valor propio de A. Para ver esto, se elige un círculo Γ0 con centro
en λ0, orientado positivamente, y tal que σ(A) ∩ Γ0 = ∅ y λ0 es el único punto en el
espectro de A en el interior de Γ0. Entonces WA es normal con respecto a Γ0 y
1
2πi
∫
Γ0
W ′A(λ)WA(λ)−1dλ =
1
2πi
∫
Γ0
(λI − A)−1 dλ, (10)
en donde el lado derecho es la proyección de Riesz Pλ0de A que corresponde al punto
λ0. El rango de Pλ0es finito e igual a M(λ0, A), la multiplicidad algebraica de λ0 como
un valor propio de A. Por el teorema anterior la traza del lado izquierdo de la ecuación
anterior es igual a M(λ0, WA(·)). Puesto que la traza de una proyección de rango finito
es igual al rango de la proyección, se sigue que
M(λ0, WA(·)) = M(λ0, A).
De las observaciones anteriores combinadas con el Teorema 2.10 se obtiene la siguiente
generalización para operadores del Teorema 1.2.
Teorema 3.2 (Teorema generalizado de Rouché). Sean W, S : → L (H) operadores
funcionales analíticos. Si W es normal con respecto a la curva de Jordan Γ y
∥∥W (λ)−1S(λ)∥∥ < 1, para todo λ ∈ Γ, (11)
entonces V (·) = W (·) + S (·) es normal con respecto a Γ y
M (Γ; V (·)) = M (Γ; W (·)) . (12)
Demostración. La prueba está dividida en dos partes. Como antes, ∆ denota el dominio
interno de Γ.
(i) Primero se muestra que V es normal con respecto a Γ. Tómese C (·) = W (·)−1 S (·).Para λ ∈ Γ se tiene que C (λ) < 1, y entonces I + C (λ) es invertible para λ ∈Γ. Por hipótesis, se cumple lo mismo para W (λ). Así, V (λ) = W (λ) [I + C (λ)] es
invertible para λ ∈ Γ. Para probar que V (λ) es de Fredholm para λ ∈ ∆, estudiamos el
comportamiento de C (·) en ∆. De la definición se ve que C es analítica en cada punto
de Γ, y C es analítica sobre ∆, excepto posiblemente para un número finito de puntos
dentro de ∆, que son valores propios de tipo finito de W . Sean λ1, . . . , λp estos puntos
excepcionales. Por el Teorema 2.15 se sabe que W (·)−1 es finitamente meromorfo en
Vol. 26, No. 2, 2008]
104 Gilberto Arenas Díaz
es un operador bien definido y de rango finito. En (6) el integrando se puede substituir
por la parte principal de W ′ (·) W (·)−1. Pero entonces la integral existe en la norma de
la traza, y la integral puede ser intercambiada. Obsérvese que
trK = tr
(1
2πi
∫
Γ
W ′ (λ) W (λ)−1
dλ
)
=1
2πi
∫
Γ
tr ΞW ′ (λ) W (λ)−1
dλ; (7)
por otra parte,
D (λ)−1 = P0 + (λ − λ0)−κ1 P1 + · · · + (λ − λ0)
−κr Pr, λ = λ0. (8)
En particular, D (·)−1 es finitamente meromorfa en λ0. El resto de las funciones que
aparecen en el lado derecho de (5) son analíticas en λ0. Utilizando el Lema 2.21 se sigue
que para λ0 = λ ∈ U
tr ΞW ′W−1
= tr Ξ
E′E−1 + ED′D−1E−1 + EDF ′F−1D−1E−1
= tr ΞD′D−1
.
Ahora, de la definición del operador (2) y la ecuación (8) se obtiene que
D′ (λ) D (λ)−1
= κ1 (λ − λ0)−1
P1 + · · · + κr (λ − λ0)−1
Pr, λ = λ0,
y así
tr ΞW ′(λ)W(λ)−1
= tr Ξ
D′(λ) D(λ)−1
=
r∑
j=1
κr (λ − λ0)−1, λ = λ0. (9)
De esta forma, usando (9) en la integral (7), se tiene que para la curva de Jordan Γ,
M (Γ; W (·)) =r∑
j=1
κr,
que es el resultado deseado (3).
El Teorema 3.1 implica que la definición de la multiplicidad de W en λ0 no depende de
la elección de la función D(·) dada en (2). En efecto, el residuo de tr ΞW ′(·)W (·)−1 en
λ0 es igual a κ1 + · · · + κr, y por lo tanto este número es determinado únicamente por
W .
Antes de probar el siguiente teorema, considérese el caso en el que WA(λ) = λI − A,
donde A es un operador lineal acotado en H. Del Corolario 2.16 se sigue que λ0 es un
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 105
valor propio de tipo finito de WA(·) si y solo si λ0 es un valor propio de tipo finito de A. El
teorema anterior implica que en este caso M(λ0, WA(·)) es precisamente la multiplicidad
algebraica de λ0 como valor propio de A. Para ver esto, se elige un círculo Γ0 con centro
en λ0, orientado positivamente, y tal que σ(A) ∩ Γ0 = ∅ y λ0 es el único punto en el
espectro de A en el interior de Γ0. Entonces WA es normal con respecto a Γ0 y
1
2πi
∫
Γ0
W ′A(λ)WA(λ)−1dλ =
1
2πi
∫
Γ0
(λI − A)−1 dλ, (10)
en donde el lado derecho es la proyección de Riesz Pλ0de A que corresponde al punto
λ0. El rango de Pλ0es finito e igual a M(λ0, A), la multiplicidad algebraica de λ0 como
un valor propio de A. Por el teorema anterior la traza del lado izquierdo de la ecuación
anterior es igual a M(λ0, WA(·)). Puesto que la traza de una proyección de rango finito
es igual al rango de la proyección, se sigue que
M(λ0, WA(·)) = M(λ0, A).
De las observaciones anteriores combinadas con el Teorema 2.10 se obtiene la siguiente
generalización para operadores del Teorema 1.2.
Teorema 3.2 (Teorema generalizado de Rouché). Sean W, S : → L (H) operadores
funcionales analíticos. Si W es normal con respecto a la curva de Jordan Γ y
∥∥W (λ)−1S(λ)∥∥ < 1, para todo λ ∈ Γ, (11)
entonces V (·) = W (·) + S (·) es normal con respecto a Γ y
M (Γ; V (·)) = M (Γ; W (·)) . (12)
Demostración. La prueba está dividida en dos partes. Como antes, ∆ denota el dominio
interno de Γ.
(i) Primero se muestra que V es normal con respecto a Γ. Tómese C (·) = W (·)−1 S (·).Para λ ∈ Γ se tiene que C (λ) < 1, y entonces I + C (λ) es invertible para λ ∈Γ. Por hipótesis, se cumple lo mismo para W (λ). Así, V (λ) = W (λ) [I + C (λ)] es
invertible para λ ∈ Γ. Para probar que V (λ) es de Fredholm para λ ∈ ∆, estudiamos el
comportamiento de C (·) en ∆. De la definición se ve que C es analítica en cada punto
de Γ, y C es analítica sobre ∆, excepto posiblemente para un número finito de puntos
dentro de ∆, que son valores propios de tipo finito de W . Sean λ1, . . . , λp estos puntos
excepcionales. Por el Teorema 2.15 se sabe que W (·)−1 es finitamente meromorfo en
Vol. 26, No. 2, 2008]
104 Gilberto Arenas Díaz
es un operador bien definido y de rango finito. En (6) el integrando se puede substituir
por la parte principal de W ′ (·) W (·)−1. Pero entonces la integral existe en la norma de
la traza, y la integral puede ser intercambiada. Obsérvese que
trK = tr
(1
2πi
∫
Γ
W ′ (λ) W (λ)−1
dλ
)
=1
2πi
∫
Γ
tr ΞW ′ (λ) W (λ)−1
dλ; (7)
por otra parte,
D (λ)−1 = P0 + (λ − λ0)−κ1 P1 + · · · + (λ − λ0)
−κr Pr, λ = λ0. (8)
En particular, D (·)−1 es finitamente meromorfa en λ0. El resto de las funciones que
aparecen en el lado derecho de (5) son analíticas en λ0. Utilizando el Lema 2.21 se sigue
que para λ0 = λ ∈ U
tr ΞW ′W−1
= tr Ξ
E′E−1 + ED′D−1E−1 + EDF ′F−1D−1E−1
= tr ΞD′D−1
.
Ahora, de la definición del operador (2) y la ecuación (8) se obtiene que
D′ (λ) D (λ)−1
= κ1 (λ − λ0)−1
P1 + · · · + κr (λ − λ0)−1
Pr, λ = λ0,
y así
tr ΞW ′(λ)W(λ)−1
= tr Ξ
D′(λ) D(λ)−1
=
r∑
j=1
κr (λ − λ0)−1, λ = λ0. (9)
De esta forma, usando (9) en la integral (7), se tiene que para la curva de Jordan Γ,
M (Γ; W (·)) =r∑
j=1
κr,
que es el resultado deseado (3).
El Teorema 3.1 implica que la definición de la multiplicidad de W en λ0 no depende de
la elección de la función D(·) dada en (2). En efecto, el residuo de tr ΞW ′(·)W (·)−1 en
λ0 es igual a κ1 + · · · + κr, y por lo tanto este número es determinado únicamente por
W .
Antes de probar el siguiente teorema, considérese el caso en el que WA(λ) = λI − A,
donde A es un operador lineal acotado en H. Del Corolario 2.16 se sigue que λ0 es un
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 107
en (13). Hasta una isometría lineal el espacio de Hilbert K es determinado de manera
única por K0. Puesto que H es separable, también lo es K.
Para 0 ≤ t ≤ 1 se toma el operador At en K definido por
(Atf) (z) = zf (z) − 1
2πi
∫
∂Θ
[I − W (ζ) − tS (ζ)] f (ζ) dζ, z ∈ ∂Θ. (14)
El operador At es acotado en K0, y por lo tanto, por continuidad, At se extiende a un
operador lineal limitado en K, el cual también se denota por At. A partir de (14) se sigue
que la aplicación
t −→ At, [0, 1] −→ L (K) (15)
es continua con respecto a la norma del operador sobre L (K).
Sea ω : K → H el operador lineal acotado (único) tal que
ωf =1
2πi
∫
∂Θ
1
ζf (ζ) dζ, f ∈ K0. (16)
Obsérvese que ω está acotado en K0, y por lo tanto, por continuidad, se extiende a toda
K. Supóngase que Z = kerω. Entonces Z es un espacio de Hilbert (separable) en sí
mismo, y para 0 ≤ t ≤ 1 la extensión Z de W (·) + tS (·) es equivalente en Θ a λ − At.
Considérese Wt (λ) = λ − At. La equivalencia anterior implica que Wt es normal con
respecto a Γ. Por la extensión y la equivalencia la multiplicidad algebraica no cambia.
Así,
M (Γ; W (·) + tS (·)) = M (Γ; Wt (·)) . (17)
Por las observaciones hechas antes de enunciar este teorema, se tiene que
M (Γ; Wt (·)) =∑
λ∈∆
M (λ; At (·)) .
Además, por el Teorema 2.10, la cantidad en el lado derecho de la ecuación anterior es
una función continua de t. Esto implica que se siga lo mismo para la cantidad en el lado
izquierdo de la ecuación (17). Puesto que estas funciones son de valor en los enteros,
concluimos que M (Γ; W (·) + tS (·)) no depende de t ∈ [0, 1], y por lo tanto se prueba
(12).
4. Una aplicación del teorema generalizado de Rouché
En esta sección se presenta una aplicación del Teorema generalizado de Rouché asocia-
da con un operador relacionado con el problema de linealización de una ecuación tipo
Vol. 26, No. 2, 2008]
106 Gilberto Arenas Díaz
los puntos λ1, . . . , λp. Puesto que S es analítico sobre , se sigue que C es también
finitamente meromorfo para λ1, . . . , λp. Así, para λ cerca de λj se tiene que
C (λ) =
∞∑
ν=−qj
(λ − λ0)νCj,ν ,
donde Cj,−1, , Cj,−qjson operadores rango finito. Definiendo
N =⋂
kerCj,ν : ν = −1, . . . ,−qj , j = 1, . . . , p ,
se observa que es un espacio lineal cerrado de H y dimH/N < ∞. Sea CN (λ) : N → Hdefinido por CN (λ)x = C (λ)x para cada x ∈ N . Entonces CN es un operador funcional
con valores en L (N ,H), el conjunto de los operadores lineales de N en H, que es analítico
en cada punto de Γ∪∆. A partir de (11) se sigue que existe 0 ≤ γ < 1 tal que C (λ) ≤ γ
para todo λ ∈ Γ. En particular, para x ∈ N y y ∈ H se tiene que
|CN (λ) x, y| ≤ γ x y , λ ∈ Γ.
Pero CH (·) x, y es analítica en cada punto de Γ∪∆, así que, por el principio del módulo
máximo, la desigualdad anterior se satisface para todo λ ∈ Γ ∪ ∆, y entonces
C (λ) ≤ γ < 1, λ ∈ Γ ∪ ∆.
Ahora, definiendo C (λ) : H → H por C (λ) = CN (λ) Π, donde Π es la proyección
ortogonal de H sobre N , tenemos que C es un operador funcional con valores en L (H)
que es analítico en cada punto de Γ∪∆ y C (λ) ≤ γ < 1 para todo λ ∈ Γ∪∆. De esto se
sigue que I + C (λ) es invertible para cada λ ∈ Γ∪∆. Se sabe que W (λ) es de Fredholm
para cada λ ∈ ∆. Así, el mismo argumento es válido para W (λ)[I + C (λ)
]. Nótese que
V (λ) y W (λ)[I + C (λ)
]coinciden sobre el espacio N . Pero N tiene codimensión finita
en H, y en consecuencia V (λ) es normal con respecto a Γ.
(ii) En esta parte se prueba la fórmula (12) usando el método de linearización. Sin
pérdida de generalidad se puede asumir que 0 está en el dominio interno de Γ. Elíjase el
dominio Θ como el interior de una curva de Jordan, tal que Γ ⊂ Θ ⊂ Θ ⊂ . Sea K0 el
espacio de todas las funciones continuas H con valores en ∂Θ dotadas con el producto
interno
f, g =
∫
∂Θ
f (ζ) , g (ζ) dζ, (13)
y sea K un espacio de Hilbert tal que K0 es un subvariedad lineal de H que es densa en
H, y que para los elementos f y g en K0 el producto interno en K coincide con el dado
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 107
en (13). Hasta una isometría lineal el espacio de Hilbert K es determinado de manera
única por K0. Puesto que H es separable, también lo es K.
Para 0 ≤ t ≤ 1 se toma el operador At en K definido por
(Atf) (z) = zf (z) − 1
2πi
∫
∂Θ
[I − W (ζ) − tS (ζ)] f (ζ) dζ, z ∈ ∂Θ. (14)
El operador At es acotado en K0, y por lo tanto, por continuidad, At se extiende a un
operador lineal limitado en K, el cual también se denota por At. A partir de (14) se sigue
que la aplicación
t −→ At, [0, 1] −→ L (K) (15)
es continua con respecto a la norma del operador sobre L (K).
Sea ω : K → H el operador lineal acotado (único) tal que
ωf =1
2πi
∫
∂Θ
1
ζf (ζ) dζ, f ∈ K0. (16)
Obsérvese que ω está acotado en K0, y por lo tanto, por continuidad, se extiende a toda
K. Supóngase que Z = kerω. Entonces Z es un espacio de Hilbert (separable) en sí
mismo, y para 0 ≤ t ≤ 1 la extensión Z de W (·) + tS (·) es equivalente en Θ a λ − At.
Considérese Wt (λ) = λ − At. La equivalencia anterior implica que Wt es normal con
respecto a Γ. Por la extensión y la equivalencia la multiplicidad algebraica no cambia.
Así,
M (Γ; W (·) + tS (·)) = M (Γ; Wt (·)) . (17)
Por las observaciones hechas antes de enunciar este teorema, se tiene que
M (Γ; Wt (·)) =∑
λ∈∆
M (λ; At (·)) .
Además, por el Teorema 2.10, la cantidad en el lado derecho de la ecuación anterior es
una función continua de t. Esto implica que se siga lo mismo para la cantidad en el lado
izquierdo de la ecuación (17). Puesto que estas funciones son de valor en los enteros,
concluimos que M (Γ; W (·) + tS (·)) no depende de t ∈ [0, 1], y por lo tanto se prueba
(12).
4. Una aplicación del teorema generalizado de Rouché
En esta sección se presenta una aplicación del Teorema generalizado de Rouché asocia-
da con un operador relacionado con el problema de linealización de una ecuación tipo
Vol. 26, No. 2, 2008]
106 Gilberto Arenas Díaz
los puntos λ1, . . . , λp. Puesto que S es analítico sobre , se sigue que C es también
finitamente meromorfo para λ1, . . . , λp. Así, para λ cerca de λj se tiene que
C (λ) =
∞∑
ν=−qj
(λ − λ0)νCj,ν ,
donde Cj,−1, , Cj,−qjson operadores rango finito. Definiendo
N =⋂
kerCj,ν : ν = −1, . . . ,−qj , j = 1, . . . , p ,
se observa que es un espacio lineal cerrado de H y dimH/N < ∞. Sea CN (λ) : N → Hdefinido por CN (λ)x = C (λ)x para cada x ∈ N . Entonces CN es un operador funcional
con valores en L (N ,H), el conjunto de los operadores lineales de N en H, que es analítico
en cada punto de Γ∪∆. A partir de (11) se sigue que existe 0 ≤ γ < 1 tal que C (λ) ≤ γ
para todo λ ∈ Γ. En particular, para x ∈ N y y ∈ H se tiene que
|CN (λ) x, y| ≤ γ x y , λ ∈ Γ.
Pero CH (·) x, y es analítica en cada punto de Γ∪∆, así que, por el principio del módulo
máximo, la desigualdad anterior se satisface para todo λ ∈ Γ ∪ ∆, y entonces
C (λ) ≤ γ < 1, λ ∈ Γ ∪ ∆.
Ahora, definiendo C (λ) : H → H por C (λ) = CN (λ) Π, donde Π es la proyección
ortogonal de H sobre N , tenemos que C es un operador funcional con valores en L (H)
que es analítico en cada punto de Γ∪∆ y C (λ) ≤ γ < 1 para todo λ ∈ Γ∪∆. De esto se
sigue que I + C (λ) es invertible para cada λ ∈ Γ∪∆. Se sabe que W (λ) es de Fredholm
para cada λ ∈ ∆. Así, el mismo argumento es válido para W (λ)[I + C (λ)
]. Nótese que
V (λ) y W (λ)[I + C (λ)
]coinciden sobre el espacio N . Pero N tiene codimensión finita
en H, y en consecuencia V (λ) es normal con respecto a Γ.
(ii) En esta parte se prueba la fórmula (12) usando el método de linearización. Sin
pérdida de generalidad se puede asumir que 0 está en el dominio interno de Γ. Elíjase el
dominio Θ como el interior de una curva de Jordan, tal que Γ ⊂ Θ ⊂ Θ ⊂ . Sea K0 el
espacio de todas las funciones continuas H con valores en ∂Θ dotadas con el producto
interno
f, g =
∫
∂Θ
f (ζ) , g (ζ) dζ, (13)
y sea K un espacio de Hilbert tal que K0 es un subvariedad lineal de H que es densa en
H, y que para los elementos f y g en K0 el producto interno en K coincide con el dado
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 109
∂T η∗ − ∂rη∗ + ∂r
(1
2η2∗
)+ ∂3
rη∗ = 0. (21)
Nótese que la ecuación KdV (21) tiene una onda solitaria η∗ (r, T ) = Θ (r − T ) con
Θ (r) = 3 sech2(
12r
). Más aún, la onda solitaria de la ecuación (20) tiene la forma
ηc (s) = γ2Θ (γs).
R. Pego y M. Weinstein observaron que este problema de valores propios es equivalente
a buscar soluciones de la forma H(s, τ) = eλτh(s). En este caso, la función propia h
satisface la ecuación de valores propios
(I − ∂2
s
)(λ − ∂s)
2h − ∂2
s
(c−2 + ηc
)h = 0. (22)
La estrategia abordada por R. Pego y M. Weinstein en [5] para estudiar la linealización
asociada con la ecuación (20) fue utilizar la información conocida acerca del problema
de valores propios de la ecuación KdV, de la cual se conoce el siguiente resultado.
Corolario 4.1 (R. Pego y M. Weinstein, [4]). Sea Θ (r) = 3 sech2(
12r
). Entonces Λ = 0 es
el único valor propio con Re (Λ) ≥ − α3 , de la ecuación de valores propios
(∂r − a)[− (∂r − a)
2+ 1 − Θ (r)
]H = ΛH en L2 (R) .
Más aún, la multiplicidad algebraica de Λ = 0 es 2.
El resultado obtenido es el siguiente:
Teorema 4.2 (R. Pego y M. Weinstein, [5]). Suponga que a = γα, donde 0 < α <√
13 y
γ > 0 es suficientemente pequeño. Entonces existe b > 0 tal que si λ = 0 con Reλ > −b,
el problema (22) no tiene solución trivial tal que ha sea finita. Además, λ = 0 es un
valor propio de (22) de multiplicidad algebraica 2.
El análisis realizado por R. Pego y M. Weinstein en [5] para la demostración del Teorema
4.2 se basa en el estudio de una función analítica D (λ, γ), llamada función de Evans,
que tiene la propiedad que sus ceros corresponden a los valores propios λ de (22) con
Re λ > 0.
La aplicación que se presenta en este artículo corresponde a una nueva demostración
del teorema anterior, utilizando el hecho de que las transformadas de Fourier de las
soluciones a la ecuación (22) y la ecuación asociada a la linealización de la ecuación KdV
Vol. 26, No. 2, 2008]
108 Gilberto Arenas Díaz
Boussinesq. Antes de dar esta aplicación se hace una descripción de los antecedentes rela-
cionados con este problema, los detalles relacionados con las pruebas. Las observaciones
realizadas en esta sección se pueden encontrar en [2].
4.1. Antecedentes
R. Pego y M. Weinstein en [5] estudiaron un tipo de estabilidad lineal para las ondas
solitarias de una ecuación tipo Boussinesq. El modelo considerado por R. Pego y M.
Weinstein en [5] corresponde a una aproximación válida para ondas de agua que se
propagan en una dirección, cuya ecuación es
ηtt − ηxx − 3
2ǫ(η2
)xx
− ǫ
3ηxxtt = 0. (18)
La primera observación es que el parámetro ǫ de la ecuación (18) se puede eliminar
considerando las sustituciones
η(x, t) =c2
3ǫη(s, τ), τ = c
√3
ǫt, s =
√3
ǫ(x − ct) .
De aquí se obtiene la ecuación
(I − ∂2
s
)(∂τ − ∂s)
2η − ∂2
s
(c−2η +
1
2η2
)= 0. (19)
R. Pego y M. Weinstein estudiaron la estabilidad de la ecuación (18) a través de un
problema de valores propios asociado con la linealización alrededor de la onda solitaria
ηc (s) = 3γ2 sech2(
12γs
), donde c−2 = 1 − γ2. Para ello consideraron perturbaciones de
la onda solitaria ηc de la forma
η (s, τ) = ηc(s) + H(s, τ),
obteniendo una ecuación lineal de evolución eliminando los términos cuadráticos en H .
La ecuación lineal de evolución correspondiente a H(s, τ) es
(I − ∂2
s
)(∂τ − ∂s)
2H − ∂2
s
(c−2 + ηc
)H = 0. (20)
Al considerar el escalamiento tipo KdV para la ecuación (19), dado por
η (s, τ) = γ2η∗ (r, T ) , donde r = γs, T =1
2γ3τ, y c−2 = 1 − γ2,
observaron que en este caso, hasta orden O(γ2
), η∗ satisface la ecuación KdV en la forma
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 109
∂T η∗ − ∂rη∗ + ∂r
(1
2η2∗
)+ ∂3
rη∗ = 0. (21)
Nótese que la ecuación KdV (21) tiene una onda solitaria η∗ (r, T ) = Θ (r − T ) con
Θ (r) = 3 sech2(
12r
). Más aún, la onda solitaria de la ecuación (20) tiene la forma
ηc (s) = γ2Θ (γs).
R. Pego y M. Weinstein observaron que este problema de valores propios es equivalente
a buscar soluciones de la forma H(s, τ) = eλτh(s). En este caso, la función propia h
satisface la ecuación de valores propios
(I − ∂2
s
)(λ − ∂s)
2h − ∂2
s
(c−2 + ηc
)h = 0. (22)
La estrategia abordada por R. Pego y M. Weinstein en [5] para estudiar la linealización
asociada con la ecuación (20) fue utilizar la información conocida acerca del problema
de valores propios de la ecuación KdV, de la cual se conoce el siguiente resultado.
Corolario 4.1 (R. Pego y M. Weinstein, [4]). Sea Θ (r) = 3 sech2(
12r
). Entonces Λ = 0 es
el único valor propio con Re (Λ) ≥ − α3 , de la ecuación de valores propios
(∂r − a)[− (∂r − a)
2+ 1 − Θ (r)
]H = ΛH en L2 (R) .
Más aún, la multiplicidad algebraica de Λ = 0 es 2.
El resultado obtenido es el siguiente:
Teorema 4.2 (R. Pego y M. Weinstein, [5]). Suponga que a = γα, donde 0 < α <√
13 y
γ > 0 es suficientemente pequeño. Entonces existe b > 0 tal que si λ = 0 con Reλ > −b,
el problema (22) no tiene solución trivial tal que ha sea finita. Además, λ = 0 es un
valor propio de (22) de multiplicidad algebraica 2.
El análisis realizado por R. Pego y M. Weinstein en [5] para la demostración del Teorema
4.2 se basa en el estudio de una función analítica D (λ, γ), llamada función de Evans,
que tiene la propiedad que sus ceros corresponden a los valores propios λ de (22) con
Re λ > 0.
La aplicación que se presenta en este artículo corresponde a una nueva demostración
del teorema anterior, utilizando el hecho de que las transformadas de Fourier de las
soluciones a la ecuación (22) y la ecuación asociada a la linealización de la ecuación KdV
Vol. 26, No. 2, 2008]
108 Gilberto Arenas Díaz
Boussinesq. Antes de dar esta aplicación se hace una descripción de los antecedentes rela-
cionados con este problema, los detalles relacionados con las pruebas. Las observaciones
realizadas en esta sección se pueden encontrar en [2].
4.1. Antecedentes
R. Pego y M. Weinstein en [5] estudiaron un tipo de estabilidad lineal para las ondas
solitarias de una ecuación tipo Boussinesq. El modelo considerado por R. Pego y M.
Weinstein en [5] corresponde a una aproximación válida para ondas de agua que se
propagan en una dirección, cuya ecuación es
ηtt − ηxx − 3
2ǫ(η2
)xx
− ǫ
3ηxxtt = 0. (18)
La primera observación es que el parámetro ǫ de la ecuación (18) se puede eliminar
considerando las sustituciones
η(x, t) =c2
3ǫη(s, τ), τ = c
√3
ǫt, s =
√3
ǫ(x − ct) .
De aquí se obtiene la ecuación
(I − ∂2
s
)(∂τ − ∂s)
2η − ∂2
s
(c−2η +
1
2η2
)= 0. (19)
R. Pego y M. Weinstein estudiaron la estabilidad de la ecuación (18) a través de un
problema de valores propios asociado con la linealización alrededor de la onda solitaria
ηc (s) = 3γ2 sech2(
12γs
), donde c−2 = 1 − γ2. Para ello consideraron perturbaciones de
la onda solitaria ηc de la forma
η (s, τ) = ηc(s) + H(s, τ),
obteniendo una ecuación lineal de evolución eliminando los términos cuadráticos en H .
La ecuación lineal de evolución correspondiente a H(s, τ) es
(I − ∂2
s
)(∂τ − ∂s)
2H − ∂2
s
(c−2 + ηc
)H = 0. (20)
Al considerar el escalamiento tipo KdV para la ecuación (19), dado por
η (s, τ) = γ2η∗ (r, T ) , donde r = γs, T =1
2γ3τ, y c−2 = 1 − γ2,
observaron que en este caso, hasta orden O(γ2
), η∗ satisface la ecuación KdV en la forma
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 111
donde ηc (s) = γ2Θ (γs), y si F denota la transformada de Fourier en la variable ζ,
encontramos que H satisface la ecuación,
F(H) (ζ) = m(γ) (Λ, ν)F (ΘH) (ζ) , (26)
donde ν = iζ − α y m(γ) (Λ, ν) =γ2ν2
(1 − γ2ν2)(
12Λγ2 − ν
)2 − c−2ν2.
Por otra parte, de la ecuación (24) asociada con la ecuación KdV se tiene que
(∂r − Λ − ∂3
r
)H (r) = ∂r (ΘH) (r) .
Realizando un procedimiento análogo, encontramos que H satisface la ecuación
F(H) (ζ) = m(0) (Λ, ν)F (ΘH) (ζ) , (27)
donde ν = iζ − α y m(0) (Λ, ν) =ν
ν − Λ − ν3.
Nótese que la ecuación (26) se puede escribir formalmente como
F (H) = m(γ) (Λ, ν)F (ΘH) .
Al aplicar transformada inversa de Fourier, tenemos que H satisface la ecuación
H −F−1(m(γ) (Λ, ν)F (ΘH)
)= 0.
La anterior ecuación se puede escribir formalmente como
(I −K(γ) (Λ)
)(H) = 0, (28)
donde K(γ) (Λ) es el operador lineal tipo multiplicación definido por
K(γ) (Λ) (H) = F−1[m(γ) (Λ, ν)F (ΘH)
].
De manera análoga, la ecuación (27) se puede escribir formalmente como(I −K(0) (Λ)
)(H) = 0, (29)
donde K(0) (Λ) es el operador lineal tipo multiplicación definido por
K(0) (Λ) (H) = F−1[m(0) (Λ, ν)F (ΘH)
].
Una importante observación es que formalmente, para (Λ, ν) fijos,
lımγ→0+
m(γ) (Λ, ν) = m(0) (Λ, ν) .
Es de observar que los símbolo m(0) (Λ, ν) y m(γ) (Λ, ν) están bien definidos y además
satisfacen el siguiente teorema.
Vol. 26, No. 2, 2008]
110 Gilberto Arenas Díaz
se pueden expresar usando operadores tipo multiplicación en L2, los cuales satisfacen las
condiciones del Teorema 3.2.
El estudio de los valores propios de (22) se hace a través de la relación existente entre
la linealización de la ecuación (18), ecuación (22), y la linealización de la ecuación KdV,
ecuación (21). Para observar lo anterior, vamos a realizar el mismo tipo de reescalamiento
KdV de la ecuación (19) a la ecuación (22). En este caso tomamos
λ =1
2γ3Λ, h (s) = γ2H (r) ,
donde r = γs. Por lo tanto, dado que Θ (r) = 3 sech2(
12r
)es una onda solitaria de la
ecuación (21), entonces H satisface la ecuación
∂r
[ΛH + ∂3
rH − ∂rH + ∂r (ΘH)]
= γ2
[Λ∂3
r +1
4Λ2
(I − γ2∂2
r
)]H. (23)
Nótese que cuando γ → 0+, H satisface formalmente la ecuación
∂r
[ΛH + ∂3
rH − ∂rH + ∂r (ΘH)]
= 0.
Si suponemos decaimiento de H en ±∞, H satisface formalmente la ecuación de valores
propios
ΛH + ∂3rH − ∂rH + ∂r (ΘH) = 0. (24)
Esta ecuación corresponde exactamente al problema de valor propio asociado con la
linealización de la ecuación KdV alrededor de su onda solitaria Θ (r).
Recordemos que estamos interesados en estudiar las soluciones del problema de valores
propios (22) en el espacio con peso a, que denotamos L2a, y que tiene norma · a.
Obsérvese que estudiar las soluciones de la ecuación (22) en L2a es equivalente a estudiar
las soluciones en L2 de la ecuación(I − (∂s − a)2
)(λ − (∂s − a))2 h − c−2 (∂s − a)2 h = (∂s − a)2 ηch. (25)
Con el fin de reescribir la ecuación (25) como un operador tipo multiplicación en L2,
aplicamos formalmente la transformada de Fourier en ambos lados de dicha ecuación. En
este caso, la transformada de Fourier de h, h, satisface la fórmula
h(ξ) =
(µ2
(1 − µ2) (λ − µ)2 − c−2µ2
)ηch(ξ),
donde µ = iξ − a. Si realizamos el escalamiento tipo KdV definido por
µ = γν, ξ = γζ, λ =1
2Λγ3, h (r) = γ2H (γs) ,
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 111
donde ηc (s) = γ2Θ (γs), y si F denota la transformada de Fourier en la variable ζ,
encontramos que H satisface la ecuación,
F(H) (ζ) = m(γ) (Λ, ν)F (ΘH) (ζ) , (26)
donde ν = iζ − α y m(γ) (Λ, ν) =γ2ν2
(1 − γ2ν2)(
12Λγ2 − ν
)2 − c−2ν2.
Por otra parte, de la ecuación (24) asociada con la ecuación KdV se tiene que
(∂r − Λ − ∂3
r
)H (r) = ∂r (ΘH) (r) .
Realizando un procedimiento análogo, encontramos que H satisface la ecuación
F(H) (ζ) = m(0) (Λ, ν)F (ΘH) (ζ) , (27)
donde ν = iζ − α y m(0) (Λ, ν) =ν
ν − Λ − ν3.
Nótese que la ecuación (26) se puede escribir formalmente como
F (H) = m(γ) (Λ, ν)F (ΘH) .
Al aplicar transformada inversa de Fourier, tenemos que H satisface la ecuación
H −F−1(m(γ) (Λ, ν)F (ΘH)
)= 0.
La anterior ecuación se puede escribir formalmente como
(I −K(γ) (Λ)
)(H) = 0, (28)
donde K(γ) (Λ) es el operador lineal tipo multiplicación definido por
K(γ) (Λ) (H) = F−1[m(γ) (Λ, ν)F (ΘH)
].
De manera análoga, la ecuación (27) se puede escribir formalmente como(I −K(0) (Λ)
)(H) = 0, (29)
donde K(0) (Λ) es el operador lineal tipo multiplicación definido por
K(0) (Λ) (H) = F−1[m(0) (Λ, ν)F (ΘH)
].
Una importante observación es que formalmente, para (Λ, ν) fijos,
lımγ→0+
m(γ) (Λ, ν) = m(0) (Λ, ν) .
Es de observar que los símbolo m(0) (Λ, ν) y m(γ) (Λ, ν) están bien definidos y además
satisfacen el siguiente teorema.
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se pueden expresar usando operadores tipo multiplicación en L2, los cuales satisfacen las
condiciones del Teorema 3.2.
El estudio de los valores propios de (22) se hace a través de la relación existente entre
la linealización de la ecuación (18), ecuación (22), y la linealización de la ecuación KdV,
ecuación (21). Para observar lo anterior, vamos a realizar el mismo tipo de reescalamiento
KdV de la ecuación (19) a la ecuación (22). En este caso tomamos
λ =1
2γ3Λ, h (s) = γ2H (r) ,
donde r = γs. Por lo tanto, dado que Θ (r) = 3 sech2(
12r
)es una onda solitaria de la
ecuación (21), entonces H satisface la ecuación
∂r
[ΛH + ∂3
rH − ∂rH + ∂r (ΘH)]
= γ2
[Λ∂3
r +1
4Λ2
(I − γ2∂2
r
)]H. (23)
Nótese que cuando γ → 0+, H satisface formalmente la ecuación
∂r
[ΛH + ∂3
rH − ∂rH + ∂r (ΘH)]
= 0.
Si suponemos decaimiento de H en ±∞, H satisface formalmente la ecuación de valores
propios
ΛH + ∂3rH − ∂rH + ∂r (ΘH) = 0. (24)
Esta ecuación corresponde exactamente al problema de valor propio asociado con la
linealización de la ecuación KdV alrededor de su onda solitaria Θ (r).
Recordemos que estamos interesados en estudiar las soluciones del problema de valores
propios (22) en el espacio con peso a, que denotamos L2a, y que tiene norma · a.
Obsérvese que estudiar las soluciones de la ecuación (22) en L2a es equivalente a estudiar
las soluciones en L2 de la ecuación(I − (∂s − a)2
)(λ − (∂s − a))2 h − c−2 (∂s − a)2 h = (∂s − a)2 ηch. (25)
Con el fin de reescribir la ecuación (25) como un operador tipo multiplicación en L2,
aplicamos formalmente la transformada de Fourier en ambos lados de dicha ecuación. En
este caso, la transformada de Fourier de h, h, satisface la fórmula
h(ξ) =
(µ2
(1 − µ2) (λ − µ)2 − c−2µ2
)ηch(ξ),
donde µ = iξ − a. Si realizamos el escalamiento tipo KdV definido por
µ = γν, ξ = γζ, λ =1
2Λγ3, h (r) = γ2H (γs) ,
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 113
S(γ) (Λ) = K(0) (Λ) −K(γ) (Λ) .
La primera observación es que los operadores W y S(γ) son analíticos, dado que el símbolo
m(γ) (Λ, ν) está bien definido para γ = 0 y γ > 0, pero suficientemente pequeño.
Afirmación 1. Supongamos que Λ ∈ U . Entonces, el operador W (Λ) es de Fredholm.
Más aún, si Λ = 0, W (Λ) es invertible, entonces W es normal con respecto a cualquier
curva de Jordan Γ ⊂ U tal que 0 ∈ Γ.
En efecto, del Teorema 4.7 tenemos que el operador K(0) (Λ) es compacto para todo Λ
tal que Re (Λ) > − α3 . Así que el Corolario 2.6 implica que I − K(0) (Λ) = W (Λ) es de
Fredholm en U .
Sea ahora Λ = 0 con Re (Λ) ≥ − α3 . Supongamos que el operador W (Λ) no es invertible.
Entonces, existe H ∈ L2 no nula, tal que
W (Λ)H =(I −K(0) (Λ)
)H = 0.
Esto implica que H = K(0) (Λ)H . Por la definición del operador tipo multiplicación
K(0) (Λ), se tiene que H satisface la ecuación diferencial en L2
(∂s − a)[− (∂s − a)2 + 1 − Θ
]H = ΛH. (30)
Pero del Corolario 4.1 tenemos que el único valor propio de la ecuación (30) en L2 es
Λ = 0. Por tanto, W (Λ) es invertible para todo Λ = 0 con Re (Λ) ≥ − α3 . En consecuencia,
el operador W es normal con respecto a cualquier curva de Jordan Γ ⊂ U tal que 0 /∈ Γ.
.
Afirmación 2. Para γ > 0, pero suficientemente pequeño, los operadores W y S(γ) satis-
facen la desigualdad ∥∥∥W (Λ)−1
S(γ) (Λ)∥∥∥ < 1, Λ ∈ Γ,
donde Γ es cualquier curva de Jordan contenida en U tal que 0 /∈ Γ.
En efecto, sea Ω =(Λ, ζ) : ζ ∈ R y Re (Λ) ≥ − α
3
,
∥∥∥W (Λ)−1
S(γ) (Λ)∥∥∥ =
∥∥∥W (Λ)−1
(K(0) (Λ) −K(γ) (Λ)
)∥∥∥
=∥∥∥W (Λ)
−1∥∥∥
∥∥∥K(0) (Λ) −K(γ) (Λ)∥∥∥
≤(
supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ Θ∞
) ∥∥∥W (Λ)−1
∥∥∥ .
Vol. 26, No. 2, 2008]
112 Gilberto Arenas Díaz
Teorema 4.3. Sea α ∈(0,
√13
)fijo. Entonces,
lımγ→0+
(sup
(Λ,ζ)∈Ω
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣)
= 0,
donde
Ω =
(Λ, ζ) : ζ ∈ R y Re (Λ) ≥ − α
3
.
Por otra parte, se tienen los siguientes resultados para los operadores K(γ) (Λ) y K(0) (Λ).
Proposición 4.4. Sea Re(Λ) ≥ − α3 , y γ = 0 ó γ > 0, pero suficientemente pequeño.
Entonces, el operador K(γ) (Λ) es lineal y continuo sobre L2.
Como consecuencia del Teorema de Plancharel y del Teorema 4.3 se tiene el siguiente
resultado.
Teorema 4.5. Sea α ∈(0,
√13
)fijo. Entonces, para γ > 0, pero suficientemente pequeño
∥∥∥(K(γ) (Λ) −K(0) (Λ)
)(H)
∥∥∥L2
≤ supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ Θ∞ HL2 .
Del Teorema 4.3, se tiene que supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ → 0 cuando γ → 0+. En
consecuencia, tenemos el siguiente Corolario.
Corolario 4.6. Sea α ∈(0,
√13
)y Re (Λ) ≥ − α
3 . Entonces,
lımγ→0+
∥∥∥(K(γ) (Λ) −K(0) (Λ)
)∥∥∥L(L2)
= 0.
Teorema 4.7. Sea α ∈(0,
√13
)y Re (Λ) ≥ − α
3 . Entonces, el operador K(0) (Λ) es
compacto.
4.2. Una aplicación
A continuación el objetivo principal es presentar una nueva demostración del Teorema 4.2,
relacionado con los valores propios asociados con la linealización de la ecuación (22). Está
nueva demostración se obtiene como una aplicación directa del teorema generalizado de
Rouché (Teorema 3.2).
Demostración del Teorema 4.2. Sea U =Λ ∈ C : Re (Λ) ≥ − α
3
y consideremos los
operadores W, W (γ), S(γ) : U → L(L2) definidos por
W (Λ) = I −K(0) (Λ) , W (γ) (Λ) = I −K(γ) (Λ) ,
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 113
S(γ) (Λ) = K(0) (Λ) −K(γ) (Λ) .
La primera observación es que los operadores W y S(γ) son analíticos, dado que el símbolo
m(γ) (Λ, ν) está bien definido para γ = 0 y γ > 0, pero suficientemente pequeño.
Afirmación 1. Supongamos que Λ ∈ U . Entonces, el operador W (Λ) es de Fredholm.
Más aún, si Λ = 0, W (Λ) es invertible, entonces W es normal con respecto a cualquier
curva de Jordan Γ ⊂ U tal que 0 ∈ Γ.
En efecto, del Teorema 4.7 tenemos que el operador K(0) (Λ) es compacto para todo Λ
tal que Re (Λ) > − α3 . Así que el Corolario 2.6 implica que I − K(0) (Λ) = W (Λ) es de
Fredholm en U .
Sea ahora Λ = 0 con Re (Λ) ≥ − α3 . Supongamos que el operador W (Λ) no es invertible.
Entonces, existe H ∈ L2 no nula, tal que
W (Λ)H =(I −K(0) (Λ)
)H = 0.
Esto implica que H = K(0) (Λ)H . Por la definición del operador tipo multiplicación
K(0) (Λ), se tiene que H satisface la ecuación diferencial en L2
(∂s − a)[− (∂s − a)2 + 1 − Θ
]H = ΛH. (30)
Pero del Corolario 4.1 tenemos que el único valor propio de la ecuación (30) en L2 es
Λ = 0. Por tanto, W (Λ) es invertible para todo Λ = 0 con Re (Λ) ≥ − α3 . En consecuencia,
el operador W es normal con respecto a cualquier curva de Jordan Γ ⊂ U tal que 0 /∈ Γ.
.
Afirmación 2. Para γ > 0, pero suficientemente pequeño, los operadores W y S(γ) satis-
facen la desigualdad ∥∥∥W (Λ)−1
S(γ) (Λ)∥∥∥ < 1, Λ ∈ Γ,
donde Γ es cualquier curva de Jordan contenida en U tal que 0 /∈ Γ.
En efecto, sea Ω =(Λ, ζ) : ζ ∈ R y Re (Λ) ≥ − α
3
,
∥∥∥W (Λ)−1
S(γ) (Λ)∥∥∥ =
∥∥∥W (Λ)−1
(K(0) (Λ) −K(γ) (Λ)
)∥∥∥
=∥∥∥W (Λ)
−1∥∥∥
∥∥∥K(0) (Λ) −K(γ) (Λ)∥∥∥
≤(
supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ Θ∞
) ∥∥∥W (Λ)−1
∥∥∥ .
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Teorema 4.3. Sea α ∈(0,
√13
)fijo. Entonces,
lımγ→0+
(sup
(Λ,ζ)∈Ω
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣)
= 0,
donde
Ω =
(Λ, ζ) : ζ ∈ R y Re (Λ) ≥ − α
3
.
Por otra parte, se tienen los siguientes resultados para los operadores K(γ) (Λ) y K(0) (Λ).
Proposición 4.4. Sea Re(Λ) ≥ − α3 , y γ = 0 ó γ > 0, pero suficientemente pequeño.
Entonces, el operador K(γ) (Λ) es lineal y continuo sobre L2.
Como consecuencia del Teorema de Plancharel y del Teorema 4.3 se tiene el siguiente
resultado.
Teorema 4.5. Sea α ∈(0,
√13
)fijo. Entonces, para γ > 0, pero suficientemente pequeño
∥∥∥(K(γ) (Λ) −K(0) (Λ)
)(H)
∥∥∥L2
≤ supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ Θ∞ HL2 .
Del Teorema 4.3, se tiene que supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ → 0 cuando γ → 0+. En
consecuencia, tenemos el siguiente Corolario.
Corolario 4.6. Sea α ∈(0,
√13
)y Re (Λ) ≥ − α
3 . Entonces,
lımγ→0+
∥∥∥(K(γ) (Λ) −K(0) (Λ)
)∥∥∥L(L2)
= 0.
Teorema 4.7. Sea α ∈(0,
√13
)y Re (Λ) ≥ − α
3 . Entonces, el operador K(0) (Λ) es
compacto.
4.2. Una aplicación
A continuación el objetivo principal es presentar una nueva demostración del Teorema 4.2,
relacionado con los valores propios asociados con la linealización de la ecuación (22). Está
nueva demostración se obtiene como una aplicación directa del teorema generalizado de
Rouché (Teorema 3.2).
Demostración del Teorema 4.2. Sea U =Λ ∈ C : Re (Λ) ≥ − α
3
y consideremos los
operadores W, W (γ), S(γ) : U → L(L2) definidos por
W (Λ) = I −K(0) (Λ) , W (γ) (Λ) = I −K(γ) (Λ) ,
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 115
Referencias
[1] Lars V. Ahlfors, Análisis de variable compleja, McGraw-Hill Book Company,Madrid, 1966.
[2] G. Arenas, Valores propios de la linealización de una ecuación tipo Boussinesq, vía
el teorema generalizado de Rouché, Tesis de Maestría, Universidad del Valle, Cali,2003.
[3] I.C. Gohberg & E.I. Sigal, “An Operator Generalization of the Logarithmic Re-sidue Theorem and the Theorem of Rouché”, Mat. Issled. Vol. 13, No. 4, 603-625,(1971).
[4] R. Pego & M. Weinstein, “Asymptotic Stabilities of Solitary Waves”, Phil. Trans.Roy. Soc. London A340: 305-349, (1994).
[5] R. Pego & M. Weinstein, “Convective Linear Stability of Solitary Waves forBoussinesq Equation”, AMS, No. 99, 311-375, (1997).
[6] J.R. Quintero & G. Arenas, “The Eigenvalue Problem for Solitary Waves ofa Boussinesq Equation, via a Generalization of the Rouché Theorem”, ApplicableAnalysis, Vol. 83, No. 12, 1211–1228, (2004).
Gilberto Arenas Díaz
Escuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mails: garenasd@uis.edu.co, garenasd@yahoo.com
Vol. 26, No. 2, 2008]
114 Gilberto Arenas Díaz
Dado que supΩ
∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣ → 0+ y que W (Λ) es invertible para todo
Λ ∈ Γ, se tiene que para γ > 0, pero suficientemente pequeño,
(supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ Θ∞
) ∥∥∥W (Λ)−1
∥∥∥ < 1.
Por tanto, para 0 < γ suficientemente pequeño, los operadores W y S(γ) satisfacen
las hipótesis del Teorema de Rouché Generalizado 3.2 sobre cualquier curva de Jordan
Γ ⊂ U tal que 0 /∈ Γ. En consecuencia, W (γ) (·) = W (·) +S(γ) (·) es normal con respecto
a Γ ⊂ U tal que 0 /∈ Γ y
M(Γ; W (γ) (·)
)= M (Γ; W (·)) .
Es decir, la multiplicidad algebraica de W (·) relativa a la curva de Jordan Γ es igual a
la multiplicidad algebraica de W (γ) (·) relativa a la curva de Jordan Γ.
Denotemos por Γ0 cualquier curva de Jordan al-
rededor de cero. Por el Corolario 4.1 se sabe que
Λ = 0 es un valor propio de multiplicidad alge-
braica 2, por tanto
M (Γ0; W (·)) = 2 = M(Γ0; W
(γ) (·))
.
En consecuencia, como λ = 12γ3Λ, entonces
λ = 0 es un valor propio de multiplicidad alge-
braica 2 para el problema de valor propio (22).
|
C U
•Γ0
·Λ0
ΓΛ0
− α3
Supongamos ahora que existe un valor propio Λ0 de W (γ) (Λ), tal que Λ0 = 0 y Re (Λ0) ≥− α
3 . Sea ΓΛ0= Λ ∈ C : |Λ − Λ0| = δ0 ⊂ U , de tal forma que 0 no esté en ΓΛ0
, ni en el
interior de él. Esto implica que M(ΓΛ0
; W (γ) (·))≥ 1.
Dado que el único valor propio Λ asociado con la ecuación KdV (30) con Re (Λ) ≥ − α3
es Λ = 0, se tiene una contradicción, pues M(ΓΛ0
; W (γ) (·))
= M (ΓΛ0; W (·)) = 0.
Por consiguiente, Λ = 0 es el único valor propio de W (γ) (Λ) con Re (Λ) ≥ − α3 . Esto
implica que si Λ = 0 con Re (Λ) ≥ − α3 , entonces el problema (28) no tiene solución
trivial tal que Hα sea finita. En consecuencia, como λ = 12γ3Λ y a = γα, obtenemos
que Re (λ) ≥ −aγ2/6. Por tanto, para b = aγ2/6 tenemos que el problema (22) no tiene
solución trivial tal que ha sea finita, siempre que λ = 0 con Re (λ) ≥ −b.
[Revista Integración
Una generalización para operadores del teorema de Rouché 115
Referencias
[1] Lars V. Ahlfors, Análisis de variable compleja, McGraw-Hill Book Company,Madrid, 1966.
[2] G. Arenas, Valores propios de la linealización de una ecuación tipo Boussinesq, vía
el teorema generalizado de Rouché, Tesis de Maestría, Universidad del Valle, Cali,2003.
[3] I.C. Gohberg & E.I. Sigal, “An Operator Generalization of the Logarithmic Re-sidue Theorem and the Theorem of Rouché”, Mat. Issled. Vol. 13, No. 4, 603-625,(1971).
[4] R. Pego & M. Weinstein, “Asymptotic Stabilities of Solitary Waves”, Phil. Trans.Roy. Soc. London A340: 305-349, (1994).
[5] R. Pego & M. Weinstein, “Convective Linear Stability of Solitary Waves forBoussinesq Equation”, AMS, No. 99, 311-375, (1997).
[6] J.R. Quintero & G. Arenas, “The Eigenvalue Problem for Solitary Waves ofa Boussinesq Equation, via a Generalization of the Rouché Theorem”, ApplicableAnalysis, Vol. 83, No. 12, 1211–1228, (2004).
Gilberto Arenas Díaz
Escuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mails: garenasd@uis.edu.co, garenasd@yahoo.com
Vol. 26, No. 2, 2008]
114 Gilberto Arenas Díaz
Dado que supΩ
∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣ → 0+ y que W (Λ) es invertible para todo
Λ ∈ Γ, se tiene que para γ > 0, pero suficientemente pequeño,
(supΩ
∣∣∣m(γ) (Λ, ζ) − m(0) (Λ, ζ)∣∣∣ Θ∞
) ∥∥∥W (Λ)−1
∥∥∥ < 1.
Por tanto, para 0 < γ suficientemente pequeño, los operadores W y S(γ) satisfacen
las hipótesis del Teorema de Rouché Generalizado 3.2 sobre cualquier curva de Jordan
Γ ⊂ U tal que 0 /∈ Γ. En consecuencia, W (γ) (·) = W (·) +S(γ) (·) es normal con respecto
a Γ ⊂ U tal que 0 /∈ Γ y
M(Γ; W (γ) (·)
)= M (Γ; W (·)) .
Es decir, la multiplicidad algebraica de W (·) relativa a la curva de Jordan Γ es igual a
la multiplicidad algebraica de W (γ) (·) relativa a la curva de Jordan Γ.
Denotemos por Γ0 cualquier curva de Jordan al-
rededor de cero. Por el Corolario 4.1 se sabe que
Λ = 0 es un valor propio de multiplicidad alge-
braica 2, por tanto
M (Γ0; W (·)) = 2 = M(Γ0; W
(γ) (·))
.
En consecuencia, como λ = 12γ3Λ, entonces
λ = 0 es un valor propio de multiplicidad alge-
braica 2 para el problema de valor propio (22).
|
C U
•Γ0
·Λ0
ΓΛ0
− α3
Supongamos ahora que existe un valor propio Λ0 de W (γ) (Λ), tal que Λ0 = 0 y Re (Λ0) ≥− α
3 . Sea ΓΛ0= Λ ∈ C : |Λ − Λ0| = δ0 ⊂ U , de tal forma que 0 no esté en ΓΛ0
, ni en el
interior de él. Esto implica que M(ΓΛ0
; W (γ) (·))≥ 1.
Dado que el único valor propio Λ asociado con la ecuación KdV (30) con Re (Λ) ≥ − α3
es Λ = 0, se tiene una contradicción, pues M(ΓΛ0
; W (γ) (·))
= M (ΓΛ0; W (·)) = 0.
Por consiguiente, Λ = 0 es el único valor propio de W (γ) (Λ) con Re (Λ) ≥ − α3 . Esto
implica que si Λ = 0 con Re (Λ) ≥ − α3 , entonces el problema (28) no tiene solución
trivial tal que Hα sea finita. En consecuencia, como λ = 12γ3Λ y a = γα, obtenemos
que Re (λ) ≥ −aγ2/6. Por tanto, para b = aγ2/6 tenemos que el problema (22) no tiene
solución trivial tal que ha sea finita, siempre que λ = 0 con Re (λ) ≥ −b.
[Revista Integración
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