galat

GALAT

OlehBambang Sugeng, ST.MT

Galat

• Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian :– Galat Mutlak

Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan.

Kesalahan = Nilai eksak – Nilai perkiraan

Contoh : x = 3,141592 dan x*=3,14, maka galat mutlaknya adalah, E = 3,141592 – 3,14 = 0,001592

Galat

• Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis.

• Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak

Galat

• Untuk mengambil data, diperlukan pengukuran secara kuantitatif, bukan sekedar kualitatif

• Tidak ada pengukuran yang absolut tepat keterbatasan instrumen

• Contoh :– Mengukur dengan penggaris (skala 1mm),

sehingga terjadi ketidakpastian sebesar 1mm.– Hasil 20,5 ± 0,1 cm panjang sebenarnya antara

20,4 cm sampai 20,6 cm

Galat

• Jenis pengukuran yang dikenal sbb :– Pengukuran tunggal : Tidak mungkin diulang

(mengukur lama gerhana matahari)– Pengukuran berulang : Kemungkinan pengukuran

dilakukan berkali-kali.• Pengkuran berulang :– Mengukur beberapa kali dengan alat yang sama

dengan waktu yang berbeda– Mengukur beberapa kali dengan alat ukur yang

berbeda

Type Kesalahan Eksperimen

• Instrumental : Kalibrasi alat yang jelek.• Obeservasi : Kesalahan paralaks dalam

pembacaan• Enviromental : Tegangan listrik yang tidak

stabil• Teori : Model yang terlalu

sederhana, banyaknya pengabaian)

Galat

• Prinsip perhitungan dalam numerik• Penggunaan metode/algoritma yang

tepat sesuai kasus“tidak ada algoritma untuk segalanya”

• Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

Galat

• Walaupun kita berusaha untuk memperoleh jawaban eksak, namun jawaban demikian jarang diperoleh secara numeris

• Pada tiap langkah penyelesaian masalah, dari formulasi hingga komputasi numerisnya, error dan ketidakpastian dapat terjadi

Asal Error/Kesalahan

1. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk mengubah peristiwa real ke dalam model matematis

2. Kesalahan aritmatik dan programming3. Ketidakpastian dalam data4. dll.

Contoh

• Seorang penerjunpayungmemilikimassa 68100 gr, meloncatdarisebuahpesawatterbangdenganmenggunakanrumuskecepatansbb : = , untukmenghitungkecepatansebelumpenerjunmembukapayungnya. Koefisientahanangeser c kira – kira 12500 gr/det.

• Jawaban : kitamasukan parameter yang adadalam data untukmenghitung :

• =

Hasil Perhitungan

Solusi Numerik

• = + • Padasaatmulaiperhitunganti = 0, kecepatanpenerjun = 0,

denganmenggunakaninformasiinidapatdigunakanuntukmenghitung ( Vt ) dengansuatukenaikanwaktu 2 detik , dannilai parameter dari V(ti + 1 ), pada t ( i+1 ) = 2 detik

• = 0 + 2 = 1960 cm / det

• = 1960 + 2 = 3200,5 cm / det

Hasil Perhitungan

Grafik Solusi

Keterangan

• Terdapat beberapa ketidak cocokan diantara dua hasil, cara untuk mengurangi perbedaan semacam ini dengan menerapkan interval perhitungan yang lebih kecil

Sampai berapa besar error / kesalahan itu dapat ditolerir?

Angka Signifikan (AS)

• Konsep Angka Signifikan adalah bagaimana kita menggunakan angka dan seberapa besar kita mempercayainya.

• Angka signifikan adalah angka yang menyatakan besar nilai dan tingkat keakuratan sebuah hasil pengukuran

• Konsep angka signifikan sering digunakan dalam kaitannya dengan pembulatan

• Jumlah angka signifikan tidak termasuk angka nol yang diperlukan untuk menulis poin desimal

Angka Signifikan (AS)

• Aturan angka signifikan adalah sebagai berikut :– Setiap angka tidak nol adalah angka signifikan.– Nol di antara tidak nol adalah angka signifikan.– Nol di kiri digit tidak nol petama adalah angka

signifikan.– Jika suatu bilangan lebih besar dari 1, maka semua

nol di sebelah angka koma adalah angka signifikan. – Jika bilangan lebih kecil dari 1, maka nol di akhir

bilangan dan terletak di antara digit tidak nol adalah angka signifikan.

– Untuk bilangan yang tidak mengandung koma desimal, nol-nol di belakang mungkin desimal mungkin juga tidak.

Angka Signifikan (AS)

0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Angka Signifikan (AS)

• Dua arti penting angka signifikan

“AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik”

“AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas” (error/kesalahan pembulatan/round-off-error

Akurasi dan Presisi

Presisi• Jumlah angka signifikan

yg menyatakan suatu besaran

• Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alat yg mengukur suatu perilaku fisik tertentu

AkurasiDekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakanInakurasi (Tdk akurat)Simpangan sistematis dari kebenaran

Error/Kesalahan “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi

dari ramalan yang dilakukan”

Definisi Error/Kesalahan

• Error/Kesalahan Numerik Adanya aproksimasiMeliputi:• Kesalahan pemotongan (truncation error) saat

aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.

• Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

Sehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Error/Kesalahan

Jenis Error/Kesalahan

1. Error Bawaan (Inheren)2. Error Pemotongan (truncation error)3. Error Pembulatan (round-off error)4. Error Pemrograman

Error Bawaan (Inheren)

• Merupakan kesalahan dari nilai data (berhubungan dengan error pada data)

• Dapat terjadi karena salah menyalin data, salah membaca skala,

• Kesalahan karena kurangnya pengertian atau pemahaman mengenai data yang diukur

• Kadang disebut juga sebagai error eksperimen jika terjadi saat eksperimen.

Error Pemotongan (truncation error)

• Error pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematis yang benar

• Error yang disebabkan oleh cara pelaksanaan prosedur numeris

• Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga.

Kesalahan

• Kesalahan numerikadalahsetaradenganketidakcocokanantara yang sebenarnyadenganaproksimasi ( perkiraan ) yang seringdigambarkandengan :

• Et = Hargasebenarnya – aproksimasi

Contoh

• Misalnya anda mempunyai tugas untuk mengukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku keling dan masing – masing muncul dengan harga 9999 dan 9 cm, kalau harga sebenarnya masing – masing adalah 10000 dan 10 cm.

• Hitunglah : Kesalahan dan kesalahan relatif persen untuk tiap kasus

• Jawaban :• Kesalahan pengukuran jembatan adalah : Et = 10000 - 9999 =

1Cm • Kesalahan Paku keling : Et = 10 – 9 = 1 cm

Contoh

• Kesalahan relatifpersenuntukjembatan : = x 100% = 0,01%• KesalahanRelatifPakukeling : = x 100% = 10%• Jadiwalaupunkeduapengukuranmemilikikesala

han 1 cm , kesalahanrelatifpadapakukelinglebihbesar

Normalisasi

• Normalisasi kesalahandenganmenggunakantaksiranterbaik

• = x 100%• Sehinggakesalahanrelatifpersenditentukanme

nurut :

• = x 100 %

Contoh

• Fungsi eksponensialdapatdihitungmenggunakan :

• = 1 + X + + + • Pertamadapatditentukandenganmengerjakan

= % sehingga = % = 0,5%• = 1 + X atauuntuk X = 0,5• = 1 + 0,5 = 1,5

Lanjutan

• Untuk kesalahanrelatifpersensebenarnyaadalah :

• = x 100% = 9,02 %• Aproksimasikesalahan• = x 100% = 33,3 %• Karenamaka proses

berlanjutsampaikomputasikeseluruhandapatdiringkassbb :

Hasil Perhitungan

Suku Hasil % %

1 1 39,3

2 1,5 9,02 33,3

3 1,625 1,44 7,69

4 1,645833333 0,175 1,27

5 1,648437500 0,0172 0,158

6 1,648697917 0,00142 0,0158

Lanjutan

• Setelah enamsuku kata dimasukkan, kesalahantaksiranjatuhdibawah = 0,05 % dankomputasidihentikan.

• Sekarangkitadapatmelanjutkanduajeniskesalahan yang dihubungkansecaralangsungdenganmetodenumerikyaitukesalahanpembulatandankesalahanpemotongan.

Error Pemotongan (truncation error)

• Error yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin

• Contoh

...!7!5!3

sin753

xxxxx

!5!3sin

53 xxxx

ERROR PEMBULATAN (round-off error)

• error yang disebabkan oleh cara pelaksanaan prosedur numeris

• Terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan

• Bilangan dibulatkan pada posisi ke-n dengan membuat semua angka di sebelah kanannya menjadi nol.

• Contoh: – 8632574 dibulatkan menjadi 8633000– 3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14

ERROR PEMBULATAN (round-off error)

Contoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 Error a = x – x*= 0.378546x103 – 0.379x103

= - 0.000454x103 = - 0.454• error tanpa memperhatikan tanda positif atau negatif error

mutlakError a = |x – x*|= |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

Error Pemrograman

• Error pemrograman dapat terjadi saat penerapan metode ke dalam software / program.

• Untuk itu program harus dibuat seteliti mungkin untuk menghindarkan kesalahan dan perlu dilakukan pemeriksaan sebelum aplikasi real.

Aturan Pembulatan

• Pembulatan untuk digit yang signifikan disimpan sedangkan digit yang tidak signifikan dibuang.

• Contoh :5,6723 → 5,67 3 angka signifikan10,406 → 10,41 4 angka signifikan7,3500 → 7,4 2 angka signifikan88,21650 → 88,216 5 angka signifikan1,25001 → 1,3 2 angka signifikan

Penambahan dan Pengurangan

• Contoh- 2,2 - 1,768 = 0,432 → 0,4

- 4,68 x 10⁻⁷ + 8,3 x 10⁻⁴ - 228 x 10⁻⁶ = 0,00468 x 10⁻⁴ + 8,3 x 10⁻⁴ - 2,28 x 10⁻⁴ = 6,02468 x 10⁻⁴ → 6,0 x 10⁻⁴

Metode akolade

• Metode akolade ( breaketing method ) adalah metode yang menggali fakta bahwa sebuah fungsi berdasar jenisnya akan berubah tanda disekitar suatu harga akar, karena dibutuhkan dua tebakan awal untuk akar.

• Sesuai dengan namanya, tebakan tersebut harus berada dalam kurung atau berada pada kedua sisi nilai akar

• Metode akolade terdiri atas metode grafik, metode bagi dua dan metode posisi salah atau palsu

Metode grafik

• Sebuah metode sederhana untuk memperoleh sebuah taksiran mengenai akar persamaan f(x) = 0 ialah dengan membuat grafik fungsi itu dan mengamati dimana ia memotong sumbu X

• Titik ini yang menyatakan harga x untuk f(x) = 0, memberikan sebuah pendekatan kasar dari akar tersebut.

Contoh

• Gunakan pendekatan grafik untuk memperoleh suatu akar pendekatan dari f(x) = e⁻ˣ - X

X F(x)0,00,20,40,60,81,0

1,0000,6190,270-0,051-0,351-0,632

Hasilnya adalah kurva memotong disumbu X diantara 0,5 dan 0,6, pemeriksaan visual atas plot memberikan taksiran akar secara kasar = 0,57, ini mendekati harga sebenarnya yaitu 0,56714329 yang harus dicari dengan metode numerik

Metode Bagi dua

• Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian.

• Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Metode Bagi Dua

Metode Bagi dua

1. PilihselangintevalpencarianawalXl<X <XudimanaXl= batasbawahdan Xu batas atas. Kemudian lakukan pengujian apakah akar terdapat dalam interval , yaituf(Xu) . f(Xl) < 0.

2. Taksirnilaiakar(Xr) dalamselangdengancaramembagiduaselang = 3. Lakukanpengujianterhadapnilaifungsiuntukmengetahuiintevalpencarianb

erikutnya , yaitudengan cara :

- Jika f(Xl) . f(Xr) < 0 , berarti akar terletak pada interval di bawah Xr sehinggainterval pencarianselanjutnyaXl= Xl<X<Xu=

Xrlaluulangilangkahke – 2.- Jika f(Xl) . f(Xr) > 0 , berarti akar terletak pada interval di atas Xr sehingga interval pencarian selanjutnya Xl= Xr< X<Xu = Xu lalu ulangilangkahke – 2.- Jika f(Xl) . f(Xr) = 0 , berarti akar sama dengan xr maka hentikan perhitungan.

Contoh

• Tentukan nilai akar dari fungsi berikut f(x) = X² – 2,8 dengan menggunakan interval nilai 1,5 < X < 2 . Hitung hingga nilai Ea < 5 % !

• Penyelesaian :

Lanjutan

Lanjutan

Karena nilai galat Ea < 5 % maka iterasi dapat dihentikan dan diperoleh nilai akar sama dengan nilai Xr yaitu 1,6875.

Algoritma Metode Bagi Dua

Algoritma Metode Bagi Dua

Contoh 2

• Selesaikan persamaan X² - 3 = 0 dalam interval [1; 2] menggunakan metode bagi dua sampai lima iterasi.

• Penyelesaian: Proses metode bagi dua adalah seperti

berikut ini. Iterasi 1 =

Lanjutan iterasi 2

Lanjutan iterasi 3

Lanjutan iterasi 4

Lanjutan iterasi 5

Bila dgn program

Metode Posisi Salah

• Metode ini menghampiri nilai akar suatu fungsi f(x) dalam selang Xl < X < Xu dengan cara mengganti kurva fungsi dengan garis lurus sehingga memberikan posisi palsu dari akar.

• Berdasarkan grafik , diketahui bahwa dengan menggunakan segitiga – segitiga sebangun dapat ditaksir titik perpotongan garis dengan sumbu x yang merupakan nilai akar dari fungsi.

Metode Posisi Salah

Penyelesaian Metode Palsu

• Langkah penyelesaian dengan metode posisi salah, yaitu :• Pilih selang interval pencarian awal Xl< X < Xu dimana Xl =

batas bawah dan xu batas atas. Kemudian lakukan pengujian apakah akar terdapat dalam interval , yaitu f(Xu) . f(Xl) < 0.

• Taksir nilai akar (Xr ) dalam selang dengan cara membagi dua selang, Ulangi terus perhitungan hingga diperoleh hampiran nilai akar sebenarnya

Contoh

• Tentukan nilai akar dari fungsi berikut f(x) = X² – 2,8 dengan menggunakan interval nilai 1,5 < X < 2 . Hitung hingga nilai Ea < 5 % !

• Penyelesaian :

f (Xl ). f (Xu ) = f (1,5) f (2) < 0 , sehingga dalam interval tersebut terdapat akar persamaan

Lanjutan

Lanjutan

Karena nilai galat Ea < 5 % maka iterasi dapat dihentikan dan diperoleh nilai akar sama dengan nilai xr yaitu 1,671876.