frazioni continue, continue riforme - wordpress.com · 2011. 4. 12. · frazioni continue e numeri...

Frazioni Continue, Continue Riforme

Alessandro Logar

30 marzo 2011

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempio

501217

= 2.308755760368663594470046082949

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempio

501217

= 2.308755760368663594470046082949∼= 2

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempio

501217

= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +

13

(= 2.3333333333 . . . )

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempio

501217

= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +

13

(= 2.3333333333 . . . )

∼= 2 +1

3 +14

(= 2.307692308 . . . )

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempio

501217

= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +

13

(= 2.3333333333 . . . )

∼= 2 +1

3 +14

(= 2.307692308 . . . )

∼= 2 +1

3 +1

4 +15

(= 2.308823529 . . . )

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempio

501217

= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +

13

(= 2.3333333333 . . . )

∼= 2 +1

3 +14

(= 2.307692308 . . . )

∼= 2 +1

3 +1

4 +15

(= 2.308823529 . . . )

= 2 +1

3 +1

4 +1

5 + 1/3

(= 2.308755760 . . . )

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Esempio

Quindi

501217

= 2 +1

3 +1

4 +1

5 +13

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Definizione

In generale, un’espressione del tipo:

a0 +1

a1 +1

a2 +1

. . . 1

ar−1 +1ar

dove a0 ∈ Z, a1, . . . ,ar ∈ N

si dice frazione continua finita.Si indica anche con:

[a0; a1,a2, . . . ,ar ]

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Definizione

In generale, un’espressione del tipo:

a0 +1

a1 +1

a2 +1

. . . 1

ar−1 +1ar

dove a0 ∈ Z, a1, . . . ,ar ∈ N

si dice frazione continua finita.Si indica anche con:

[a0; a1,a2, . . . ,ar ]

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Frazioni continue infinite

Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .

x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√

10, x2 = 3 +√

10

x = 6 +1x

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Frazioni continue infinite

Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .

x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√

10, x2 = 3 +√

10

x = 6 +1x

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Frazioni continue infinite

Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .

x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√

10, x2 = 3 +√

10

x = 6 +1x

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Frazioni continue infinite

Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .

x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√

10, x2 = 3 +√

10

x = 6 +1x

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Frazioni continue infinite

Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .

x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√

10, x2 = 3 +√

10

x = 6 +1x

= 6 +1

6 +1x

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Frazioni continue infinite

Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .

x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√

10, x2 = 3 +√

10

x = 6 +1x

= 6 +1

6 +1x

= 6 +1

6 +1

6 +1x

= . . .

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Frazioni continue infinite

Pertanto:

x = 6 +1

6 +1

6 +1

6 +1

6 +. . .

Cioèx = [6; 6,6,6,6, . . . ]

è una frazione continua infinita (ammesso ciò voglia direqualcosa).

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Frazioni continue infinite

DefinizioneUn’espressione del tipo:

[a0; a1,a2,a3, . . . ]

cioè:a0 +

1

a1 +1

a2 +1

a3 + . . .

dove a0 ∈ Z, a1,a2, · · · ∈ N si dice frazione continua infinita(ordinaria).

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I convergenti

DefinizioneData una frazione continua (finita o infinita), le frazioni continuefinite

[a0] [a0; a1] [a0; a1,a2] . . .

si dicono i convergenti della frazione continua.

I convergenti sono dei numeri razionalipk

qk:

p0

q0= a0

p1

q1= [a0; a1] = a0 +

1a1

p2

q2= [a0; a1,a2] = a0 +

1

a1 +1a2

. . . = . . .

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I convergenti

DefinizioneData una frazione continua (finita o infinita), le frazioni continuefinite

[a0] [a0; a1] [a0; a1,a2] . . .

si dicono i convergenti della frazione continua.

I convergenti sono dei numeri razionalipk

qk:

p0

q0= a0

p1

q1= [a0; a1] = a0 +

1a1

p2

q2= [a0; a1,a2] = a0 +

1

a1 +1a2

. . . = . . .

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I convergenti

In generale,

pk

qk= a0 +

1

a1 +1

a2 +1

. . . 1

ak−1 +1ak

cioè: pk

qk= [a0; a1,a2, . . . ,ak ]

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I convergenti

TeoremaLa successione dei convergenti(

pk

qk

)k

di una frazione continua: [a0; a1,a2, . . . ] converge ad unnumero reale α.

Il numero α si chiama il valore della frazione continua[a0; a1,a2, . . . ]

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Frazioni continue e numeri reali

Ogni numero reale si può rappresentare con una frazionecontinua.

R←→ {[a0; a1,a2, . . . ] | fraz. cont.}

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Esempi

√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

√2 = [1; 2,2,2,2, . . . ]

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Esempi

e = 2 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 +. . .

e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, . . . ]

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Esempi

π = 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 +1

1 +. . .

π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7,1,2,3,7,1,2,1,1,12, . . . ]

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Esempi

e − 1 = [1; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, . . . ]

tan(1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15, . . . ]

tan(1/2) = [0,1,1,4,1,8,1,12,1,16,1,20,1,24,1,28, . . . ]

tan(1/3) = [0,2,1,7,1,13,1,19,1,25,1,31,1,37,1,43 . . . ]

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Frazioni continue e numeri reali

Le frazioni continue evidenziano proprietà “intrinseche” deinumeri.

Un numero reale è razionale se e solo se la frazione continuache lo rappresenta è finita.

Un numero si rappresenta in una fissata base. Le proprietàdella rappresentazione non sono proprietà del numero.

La rappresentazione in base 10 di un numero può ad esempioessere decimale finita, ma la sua rappresentazione in base 2invece periodica (e viceversa).

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Frazioni continue e numeri reali

Le frazioni continue evidenziano proprietà “intrinseche” deinumeri.

Un numero reale è razionale se e solo se la frazione continuache lo rappresenta è finita.

Un numero si rappresenta in una fissata base. Le proprietàdella rappresentazione non sono proprietà del numero.

La rappresentazione in base 10 di un numero può ad esempioessere decimale finita, ma la sua rappresentazione in base 2invece periodica (e viceversa).

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Numeri reali

Esempio (Java)...double a = 4.35;int b;b = (int)(100*a);System.out.println(b);

Il numero 4.35 quando viene rappresentato in base 2 risultaperiodico:

4.3510 = 100.01 0110 0110 0110 0110 · · · 2

pertanto nella rappresentazione nella memoria del computerviene troncato . . .

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Numeri reali

Esempio (Java)...double a = 4.35;int b;b = (int)(100*a);System.out.println(b);

Il numero 4.35 quando viene rappresentato in base 2 risultaperiodico:

4.3510 = 100.01 0110 0110 0110 0110 · · · 2

pertanto nella rappresentazione nella memoria del computerviene troncato . . .

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La costante di Khinchin

Sia [a0; a1,a2, . . . ] una frazione continua che rappresenta unnumero reale α. Consideriamo:

u0 = a0, u1 =√

a0 · a1, u2 = 3√

a0 · a1 · a2, u3 = 4√

a0 · a1 · a2 · a3, . . .

cioè:uk = k

√a0 · a1 · · · · · ak−1

è la media geometrica dei primi k interi a0,a1, . . . ,ak per ogni k .Aleksandr Yakovlevich Khinchin (19 luglio 1894 - 18 novembre1959) ha dimostrato che:

Teoremaper “quasi ogni numero” reale α, il limite della successione(uk )k esiste ed ha sempre lo stesso valore: 2.6854520010 . . .

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La costante di Khinchin

Sia [a0; a1,a2, . . . ] una frazione continua che rappresenta unnumero reale α. Consideriamo:

u0 = a0, u1 =√

a0 · a1, u2 = 3√

a0 · a1 · a2, u3 = 4√

a0 · a1 · a2 · a3, . . .

cioè:uk = k

√a0 · a1 · · · · · ak−1

è la media geometrica dei primi k interi a0,a1, . . . ,ak per ogni k .Aleksandr Yakovlevich Khinchin (19 luglio 1894 - 18 novembre1959) ha dimostrato che:

Teoremaper “quasi ogni numero” reale α, il limite della successione(uk )k esiste ed ha sempre lo stesso valore: 2.6854520010 . . .

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La costante di Khinchin

Sia [a0; a1,a2, . . . ] una frazione continua che rappresenta unnumero reale α. Consideriamo:

u0 = a0, u1 =√

a0 · a1, u2 = 3√

a0 · a1 · a2, u3 = 4√

a0 · a1 · a2 · a3, . . .

cioè:uk = k

√a0 · a1 · · · · · ak−1

è la media geometrica dei primi k interi a0,a1, . . . ,ak per ogni k .Aleksandr Yakovlevich Khinchin (19 luglio 1894 - 18 novembre1959) ha dimostrato che:

Teoremaper “quasi ogni numero” reale α, il limite della successione(uk )k esiste ed ha sempre lo stesso valore: 2.6854520010 . . .

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La costante di Khinchin

K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.

È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.

Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.

Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.

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La costante di Khinchin

K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.

È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.

Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.

Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.

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La costante di Khinchin

K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.

È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.

Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.

Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.

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La costante di Khinchin

K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.

È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.

Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.

Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.

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La costante di Khinchin

Non si sa se la costante di Khinchin sia irrazionale.

Sul sito:

http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/khintchine.txt

si trova la costante di Khinchin calcolata con 110000 decimali(il 09/02/97 da Xavier Gourdon)

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La costante di Khinchin

Non si sa se la costante di Khinchin sia irrazionale.

Sul sito:

http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/khintchine.txt

si trova la costante di Khinchin calcolata con 110000 decimali(il 09/02/97 da Xavier Gourdon)

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Migliori approssimanti

Definizione

Sia α un numero reale. Un numero razionaleab

si dice miglior

approssimante di α (del I tipo) se per ogni frazionecd

tale che0 < d ≤ b vale: ∣∣∣α− a

b

∣∣∣ < ∣∣∣α− cd

∣∣∣

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Migliori approssimanti

Ogni convergente di un numero α è un miglior approssimante eviceversa, ogni miglior approssimante è un convergente (oquasi).

Esempio:

π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, . . . ]

I primi convergenti sono:

[3] = 3/1 = 3.0[3; 7] = 22/7 = 3.14285714285714[3; 7,15] = 333/106 = 3.14150943396226[3; 7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035398

(Archimede 287-212 BC, Zu Chongzhi 480 DC)

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Migliori approssimanti

Ogni convergente di un numero α è un miglior approssimante eviceversa, ogni miglior approssimante è un convergente (oquasi).

Esempio:

π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, . . . ]

I primi convergenti sono:

[3] = 3/1 = 3.0[3; 7] = 22/7 = 3.14285714285714[3; 7,15] = 333/106 = 3.14150943396226[3; 7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035398

(Archimede 287-212 BC, Zu Chongzhi 480 DC)

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Migliori approssimanti

Ci sono numeri che si fanno approssimare meglio dai loroconvergenti e numeri che si fanno approssimare peggio.

Il numero aureo

ϕ =1 +√

52

= 1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

= [1; 1,1,1,1, . . . ]= 1.61803398874989

è quello che tra tutti i numeri reali viene peggiormenteapprossimato dai suoi convergenti.

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Migliori approssimanti

Ci sono numeri che si fanno approssimare meglio dai loroconvergenti e numeri che si fanno approssimare peggio.

Il numero aureo

ϕ =1 +√

52

= 1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

= [1; 1,1,1,1, . . . ]= 1.61803398874989

è quello che tra tutti i numeri reali viene peggiormenteapprossimato dai suoi convergenti.

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Migliori approssimanti

[1] = 1 = 1.0[1; 1] = 2 = 2.0[1; 1,1] = 3/2 = 1.5[1; 1,1,1] = 5/3 = 1.3333333333[1; 1,1,1,1] = 8/5 = 1.6000000000[1; 1,1,1,1,1] = 13/8 = 1.6250000000

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Numeri algebrici

La “velocità” con cui viene approssimato un numero reale con isuoi convergenti rivela importanti proprietà del numero.

DefinizioneUn numero reale α si dice algebrico (di grado n) se è la radicedi un polinomio f (x) ∈ Q[x ] di grado n (e n è minimo possibile).

ϕ è algebrico di grado 2, in quanto radice del polinomiox2 − x − 1.

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Numeri algebrici

La “velocità” con cui viene approssimato un numero reale con isuoi convergenti rivela importanti proprietà del numero.

DefinizioneUn numero reale α si dice algebrico (di grado n) se è la radicedi un polinomio f (x) ∈ Q[x ] di grado n (e n è minimo possibile).

ϕ è algebrico di grado 2, in quanto radice del polinomiox2 − x − 1.

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Numeri algebrici

La “velocità” con cui viene approssimato un numero reale con isuoi convergenti rivela importanti proprietà del numero.

DefinizioneUn numero reale α si dice algebrico (di grado n) se è la radicedi un polinomio f (x) ∈ Q[x ] di grado n (e n è minimo possibile).

ϕ è algebrico di grado 2, in quanto radice del polinomiox2 − x − 1.

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Numeri algebrici

numero alg.: 3√

5 +√

3pol. min.: x6 − 9x4 − 10x3 + 27x2 − 90x − 2

numero alg.:√

3 +4√

2

pol. min.: x8 − 12x6 + 54x4 − 108x2 + 79

numero alg.:√

3√

3 +4√

5

pol. min.: x24 − 12x18 − 15x16 + 54x12 − 720x10

+ 75x8 − 108x6 − 1350x4 − 900x2 − 44

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Numeri algebrici

numero alg.: 2√

2 + 3 3√

3 + 4 4√

5pol. min.:

x24 − 96x22 − 648x21 − 3456x20

+ 31104x19 + 193948x18 − 7838208x17

+ 34052832x16 − 1470995640x15

+ 2867002368x14 + 74354407488x13

− 162708833338x12 − 2593176436224x11

+ 16495900787040x10 − 60142304360376x9

− 494817323736960x8 + 6103619520784128x7

+ 29144224822577308x6 + 18811118974786560x5

+ 609027831258234912x4 + 1435381316140844664x3

− 2850788259340456704x2 + 13656392895952395072x− 15714160926253787519

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Numeri algebrici

Se un numero non è algebrico, si dice trascendente.

Teorema(Liouville) Se α è un numero algebrico di grado n allora esisteuna costante C tale che∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ > Cqn ∀ p,q

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Numeri algebrici

Se un numero non è algebrico, si dice trascendente.

Teorema(Liouville) Se α è un numero algebrico di grado n allora esisteuna costante C tale che∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ > Cqn ∀ p,q

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Numeri algebrici

Conseguenza: Se riusciamo a trovare un numero reale β taleche per ogni n esistono p e q (q > 1) con la proprietà:∣∣∣∣β − p

q

∣∣∣∣ < 1qn

il numero β non può essere algebrico.

Con le frazioni continue è facile costruire numeri con questaproprietà.Fissiamo a0 e costruiamo i successivi ak con la formula:

ak+1 > qk−1k

È facile vedere che un numero β = [a0; a1,a2, . . . ] cosìcostruito soddisfa alla condizione di sopra, quindi non è unnumero algebrico, ma trascendente.

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Numeri algebrici

Conseguenza: Se riusciamo a trovare un numero reale β taleche per ogni n esistono p e q (q > 1) con la proprietà:∣∣∣∣β − p

q

∣∣∣∣ < 1qn

il numero β non può essere algebrico.

Con le frazioni continue è facile costruire numeri con questaproprietà.Fissiamo a0 e costruiamo i successivi ak con la formula:

ak+1 > qk−1k

È facile vedere che un numero β = [a0; a1,a2, . . . ] cosìcostruito soddisfa alla condizione di sopra, quindi non è unnumero algebrico, ma trascendente.

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Numeri alg. grado 2

√2 = [1; 2,2,2,2, . . . ]√3 = [1; 1,2,1,2,1,2,1,2,1, . . . ]√

19 = [4; 2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8, . . . ]√23 = [4; 1,3,1,8,1,3,1,8,1,3,1,8, . . . ]

2 + 2√

55

= [1; 3,2,1,1,10,1,1,2,3,1,2,44,2,1,

3,2,1,1,10,1,1,2,3,1,2,44,2,1 . . . ]

Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme

Numeri alg. grado 2

Teorema(Lagrange, 1770) Un numero algebrico di grado 2 si esprimecon una frazione continua periodica.Viceversa, una frazione continua periodica rappresenta unnumero algebrico di grado 2.

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Oltre il grado 2

3√

2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,

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Oltre il grado 2

3√

2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,12,1,15,3,1,4,

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Oltre il grado 2

3√

2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,12,1,15,3,1,4,534,

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Oltre il grado 2

3√

2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,12,1,15,3,1,4,534,1,1,5,1,1,121,1,2,24,10,3,2,2,41,1,1,1,3,7,2,2,9,4,1,3,7,6,1,1,2,2,9,3,1,1,69,4,4,5,12,1,1,5,15,1,4,1,1,1,1,1,89,1,22,186,6,2,3,1,3,2,1,1,5,1,3,1,8,9,1,26,1,7,1,18,6,1,372,3,13,1,1,14,2,2,2,1,1,4,3,2,2,1,1,9,1,6,1, . . . ]

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Oltre il grado 2

“No properties of the representing continuedfractions, analogous to those which have just beenproved, are known for algebraic numbers of higherdegree. [...] It is of interest to point out that up till thepresent time no continued fraction development of analgebraic number of higher degree than the second isknown. It is not even known if such a development hasbounded elements. Generally speaking the problemsassociated with the continued fraction expansion ofalgebraic numbers of degree higher than the secondare extremely difficult and virtually unstudied.”

(Khinchin, 1963).

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Riconoscimento numeri razionali

94953847

= 2.46815700545879906420587470756433584611385 . . .

frazione continua:

[2; 2,7,2,1,5,1,1,1,1,1,1,13645291999014809917671130723944143,1,2,1,12,1,6 . . . ]

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Riconoscimento numeri razionali

94953847

= 2.46815700545879906420587470756433584611385 . . .

frazione continua:

[2; 2,7,2,1,5,1,1,1,1,1,1,13645291999014809917671130723944143,1,2,1,12,1,6 . . . ]

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Riconoscimento numeri razionali

Considero la frazione continua finita:

[2; 2,7,2,1,5,1,1,1,1,1,1]

Il suo valore è:94953847

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Riconoscimento numeri razionali

Esempio:Trovare le radici razionali di

3847x2 − 14808904x + 36527265 = 0

Con Newton (partendo dal punto iniziale 0), si trova subito unaradice approssimata:

x1 = 2.468157004807401923043166846

numero razionale corrispondente:

94953847

Si verifica che è radice del polinomio.

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Riconoscimento numeri razionali

Esempio:Trovare le radici razionali di

3847x2 − 14808904x + 36527265 = 0

Con Newton (partendo dal punto iniziale 0), si trova subito unaradice approssimata:

x1 = 2.468157004807401923043166846

numero razionale corrispondente:

94953847

Si verifica che è radice del polinomio.

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Riconoscimento numeri razionali

Esempio:Trovare le radici razionali di

3847x2 − 14808904x + 36527265 = 0

Con Newton (partendo dal punto iniziale 0), si trova subito unaradice approssimata:

x1 = 2.468157004807401923043166846

numero razionale corrispondente:

94953847

Si verifica che è radice del polinomio.

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frazioni continue generalizzate

Nel 1655 compare nel libro di Wallis Aritmetica Infinitorum laformula

4π

=12

2 +32

2 +52

2 +72

2 +92

2 +112

2 +. . .

attribuita a William Brouncker (1620-1684) dimostrata daEulero qualche decennio più tardi.

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frazioni continue generalizzate

π = 3 +12

6 +32

6 +52

6 +72

6 +92

6 +112

6 +. . .

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frazioni continue generalizzate

4π

= 1 +12

3 +22

5 +32

7 +42

9 +52

11 +62

13 +. . .

(L. J. Lange, 1999)

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Riforme

1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti

2000 Zecchino

2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.

2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale

2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.

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Riforme

1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti

2000 Zecchino

2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.

2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale

2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.

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Riforme

1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti

2000 Zecchino

2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.

2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale

2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.

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Riforme

1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti

2000 Zecchino

2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.

2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale

2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.

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Riforme

1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti

2000 Zecchino

2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.

2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale

2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.

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Riforme

Prima della riforma Berlinguer:

4π

= 1 +12

2 +32

2 +52

2 +72

2 +92

2 +112

2 +. . .

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Riforme

dopo riforma Berlinguer:

4π

= 1 +12

2 +32

2 +52

2 +72

2 +92

2 +112

2 +. . .

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Riforme

prima degli interventi di Zecchino:

e − 1 = 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 +. . .

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Riforme

dopo Zecchino

e − 1 = 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 +. . .

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Riforme

Valore della Costante di Khinchin prima della riforma Moratti:

2.6854520010 . . .

Valore della Costante di Khinchin dopo la riforma Moratti:

2.6854520010 . . .

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Riforme

Valore della Costante di Khinchin prima della riforma Moratti:

2.6854520010 . . .

Valore della Costante di Khinchin dopo la riforma Moratti:

2.6854520010 . . .

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Riforme

Prima del Decreto Mussi:

ϕ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

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Riforme

Dopo Decreto Mussi:

ϕ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

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Riforme

Prima della riforma Gelmini:

4π

= 1 +12

3 +22

5 +32

7 +42

9 +52

11 +62

13 +. . .

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Riforme

Dopo la riforma Gelmini:

4π

= 1 +12

3 +22

5 +32

7 +42

9 +52

11 +62

13 +. . .

però. . .

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Dopo la riforma Gelmini

ci sarà ancora un’Universitàdove si studiano

questi argomenti?

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