fisica vetores
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Faculdade de Tecnologia – FATEC
Mogi-Mirim
Vetores
Prof. Amauri Amorim
Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim
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Vetores Grandeza física No estudo da Natureza, precisamos utilizar constantemente uma linguagem matemática
para descrever, entender e prever os fenômenos que nos cercam. Este estudo quantitativo é fundamental para o desenvolvimento da Ciência, confirmando, ou não, teorias e modelos científicos que estejam em teste. Para trabalharmos a Ciência de modo quantitativo, utilizamos um ou mais processos de medição aplicados àquilo que se quer estudar. Esse objeto de estudo, sujeito a um processo de medição, quer direto ou indireto, chamamos de grandeza física.
Grandeza física escalar. Ao se determinar uma grandeza física, pode ser necessária a associação de uma unidade a
um valor numérico. Estas grandezas físicas, que são determinadas somente pela intensidade (intensidade = valor numérico + unidade), são chamadas de grandezas físicas escalares. Por exemplo: temperatura, massa, pressão e tempo.
Grandeza física vetorial Quando for necessário acrescentar uma orientação espacial à intensidade de uma
grandeza física, temos o que chamamos de grandeza física vetorial. Por exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração e força.
A orientação espacial será fornecida através de uma direção e de um sentido. Assim sendo, uma grandeza física vetorial será determinada pela associação de uma intensidade (valor numérico + unidade) e uma orientação espacial (direção e sentido) e será representada por um novo artifício teórico (matemático) denominado vetor.
Vetor A representação do vetor é dada por um segmento de reta orientado.
Para se definir uma direção é necessário construir uma reta.
Uma reta apresenta uma direção
A direção de uma grandeza física vetorial é dada pela direção da reta suporte do segmento de reta orientado.
Para se determinar um sentido é necessário definir um segmento de reta orientado.
É possível escolher entre dois sentidos numa reta.
O sentido da grandeza física vetorial é indicado pelo segmento de reta orientado. A intensidade da grandeza física vetorial é dada pelo tamanho do segmento de reta
orientado que constitui o vetor. No caso de um vetor ser citado num texto, sobre seu nome deverá ser colocada a seguinte
notação: →. Por exemplo: Vr
(Leia-se: o vetor “vê”). Já a representação do valor numérico de um vetor é chamada de módulo de um vetor. Sua notação matemática pode ser dada de duas maneiras: Por exemplo: D
r = 5 km ou D = 5 km.
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A adição de vetores Muitas vezes se têm o interesse em substituir, na análise de um problema, dois ou mais
vetores por um único que efetue os mesmos efeitos, ou que represente corretamente determinada situação física. Esse vetor substituto é chamado vetor resultante.
Exemplo: deslocamento resultante. Vamos imaginar que um naufrago resolve nadar 3 km numa direção e depois nada mais
4 km noutra direção, perpendicular à primeira. Qual seria o módulo do seu deslocamento total?
O Teorema de Pitágoras nos permite encontrar o módulo do deslocamento total. Como 1D
r = 3 km e 2D
r = 4 km, então:
222T
22
21
2T 43DDDD +=⇒+=
rrrr
km 5D25D169D T2
T2
T =⇒=⇒+=rrr
Note que o vetor representa o deslocamento total em relação à posição inicial, mostrando sua direção, sentido e intensidade.
Como podemos perceber, é interessante definirmos uma operação entre dois vetores, cujo módulo do vetor resultante não é, a princípio, o módulo do primeiro vetor adicionado ao módulo do segundo vetor. Vamos definir agora a adição de vetores.
Adição de vetores pela regra da linha poligonal Este novo elemento matemático, vetor, que está sendo apresentado, possui regras próprias
para operações elementares. Você deve estar acostumado a adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números; agora teremos que aprender a adicionar e subtrair vetores.
Ao definirmos a adição de dois vetores levaremos em consideração o exemplo anterior. Para somar dois, ou mais vetores, construímos uma linha poligonal emendando a origem de
um vetor à extremidade de outro vetor e assim sucessivamente, até o último vetor. Então, liga-se a origem do primeiro à extremidade do último vetor para se obter o vetor resultante.
Exemplo Dados os vetores representados na figura seguinte, E e D,C,B,A
rrrrr, pede-se determinar o
módulo do vetor Sr
, em que: EDCBASrrrrrr
++++= .
Resolução Vamos começar a resolução utilizando a regra da linha poligonal. Devemos colocar a
extremidade do vetor Ar
na origem do vetor Br
, a extremidade do vetor Br
na origem do vetor Cr
, a extremidade do vetor C
r na origem do vetor D
r, a extremidade do vetor D
r na origem do vetor E
r.
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E, finalmente, ligamos a origem do vetor Ar
à extremidade do vetor Er
para obtermos o vetor . Veja a figura seguinte:
Neste caso, é só contar as laterais dos quadrinhos, ou seja, compararmos a intensidade do
vetor Sr
com a unidade (1u). O módulo do vetor Sr
é 8 u. Exemplo Dados os vetores y e x
rr encontre, em cada caso abaixo, o módulo do vetor s
r, em que
yxsrrr
+= . Sabe-se que: xr
= 4 u e yr
= 3 u. a) Os vetores têm mesma direção e sentido.
b) Os vetores têm mesma direção e sentidos opostos.
c) Os vetores têm mesma direções perpendiculares.
Resolução a) Somam-se os módulos dos dois vetores:
b) Subtrai-se o módulo do menor vetor do módulo do maior vetor:
c) Aplica-se o Teorema de Pitágoras:
Exemplo Podemos utilizar uma regra para a adição de vetores, que permite calcular a intensidade
do módulo do vetor resultante de qualquer soma de dois vetores: a regra do paralelogramo. Vamos imaginar a situação onde dois grupos de formigas carregam uma lacraia. Note que
se os dois grupos aplicam forças de mesma intensidade.
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O vetor resultante estará entre essas forças aplicadas.
Adição de vetores pela regra do paralelogramo Colocamos os dois vetores com as origens juntas, e desenhamos um paralelogramo, cuja
diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante.
Demonstra-se que:
θ++= cos.B.A.2BAS222 rrrrr
(veja a demonstração do teorema no Apêndice)
Multiplicação de um vetor por um escalar Iremos definir a multiplicação de um vetor por um escalar real a fim de simplificar a
notação, pois é mais simples escrever A.2Brr
= do que AABrrr
+= . Regra da multiplicação de um vetor por um escalar real. Dado um vetor A
r e o vetor A.nB
rr= em que n é um número real, temos:
Quanto à orientação espacial: Se n > 0 ⇔ B e A
rr têm mesma direção e sentido.
Se n < 0 ⇔ B e Arr
têm mesma direção e sentidos opostos. Quanto à intensidade A.nB
rr= :
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Exemplo
Subtração de vetores Subtrair o vetor B
r do vetor A
r é equivalente a somar ao vetor A
r o vetor oposto ao vetor B
r,
ou seja, ( )BABArrrr
−+=− .
Demonstra-se que:
θ−+= cos.B.A.2BAD222 rrrrr
Ou, em outra notação:
θ−+= cos.B.A.2BAD 222
(veja a demonstração do teorema no Apêndice)
Decomposição de vetores. Na adição de dois vetores substituem-se dois ou mais vetores por um único que o
represente. Aprenderemos, agora, o processo inverso, ou seja, partindo de um único vetor, iremos substituí-lo por dois vetores que o represente. Esse processo é chamado decomposição de vetores.
Exemplo Um homem quer descansar numa rede velha, mas não forçar muito a mesma. Então, como
deveria amarrá-la? De modo que ficasse o mais esticada possível ou menos esticada?
Quanto maior forem as intensidades das forças1 exercidas pelas palmeiras sobre a rede
maior será a probabilidade dela se partir. As forças que as palmeiras exercem sobre a rede, 1Fr
e
2Fr
equilibram2 a força exercida pelo homem sobre a rede.
1 Força é um “empurrão” ou um “puxão” aplicado por um corpo noutro corpo. Com uma
particularidade: este empurrão ou este puxão pode, ou não, ser dado à distância. 2 Significa que o vetor força resultante é nulo.
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Compare as figuras acima com a figura seguinte. Note que quanto maior for o ângulo entre
as forças exercidas pelas palmeiras, maior terá que ser a intensidade da força aplicada por cada palmeira sobre a rede, a fim de equilibrar a força exercida pelo homem sobre a rede, que tem mesma intensidade da força peso do homem.
Logo, para se ter as forças que seguram a rede com intensidade mínima, deve-se mantê-la o menos esticada possível.
Decomposição de vetores em componentes quaisquer. Note que o vetor S
r pode ser a resultante da soma de infinitos vetores. A figura seguinte
mostra alguns desses vetores:
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Esses vetores B e Arr
ou D e Crr
, que somados dão o vetor Sr
, são chamados componentes de S
r.
Decomposição de vetores em componentes ortogonais. Quando as componentes de um vetor fazem, entre si, 90o, são chamadas componentes
ortogonais do vetor Sr
. Contudo, mais uma vez, temos um caso de infinitas respostas. Existem infinitos pares de vetores ortogonais que somados dão o vetor S
r.
Contudo, pode ser interessante encontrar um par de vetores em particular. Quando se fornece duas direções perpendiculares e pede-se o par de vetores B e A
rr, que
somados dão o vetor Sr
, encontra-se somente um par de vetores. Exemplo Quais são os vetores B e A
rr, nas direções dadas pelos eixos y e x, que somados dão o
vetor Sr
?
Note que esse vetor Sr
faz com o eixo x um ângulo θ. Podemos decompô-lo utilizando a trigonometria do triângulo retângulo.
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Adição de vetores utilizando decomposição de vetores Dados os vetores C e B ,A
rrr, qual o módulo do vetor S
r, em que CBAS
rrrr++= . Sabe-se que:
Ar
=4u, Br
=5u, Cr
=13u, senθ=5/13, cosθ=12/13, senφ=3/5 e cosφ=4/5.
Resolução Decompomos todos os vetores nos eixos x e y:
==
==
==
u; 5 C e u 12 C :C vetor
u; 3 B e u 4 B :B vetor
u; 4 A e u 0 A :A vetor
yx
yx
yx
rrr
rrr
rrr
Encontramos a resultante no eixo x:
xxxx CBARrrrr
++=
xxxx CBARrrrr
+−= ou xxxx CBAR +−=
ou seja: Rx = 0 – 4 + 12 ⇒ Rx = 8 u. Agora, encontraremos a resultante no eixo y:
yyyy CBARrrrr
++=
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yyyy CBARrrrr
+−= ou yyyy CBAR +−=
ou seja: Ry = 4 – 3 + 5 ⇒ Ry = 6 u A resultante será S
r, em que yx RRS
rrr+= ;
Como os vetores xRr
e yRr
são perpendiculares, então: 2
y2
x2
RRSrrr
+= , ou seja:
⇒+=⇒+= 3664S68S2222 rr
u 10S100S2
=⇒=rr
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Apêndice Demonstração da regra do paralelogramo para a adição de dois
vetores. Colocamos os dois vetores com as origens juntas e desenhamos um paralelogramo, cuja
diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante.
BASrrr
+=
Completamos a figura, desenhando um triângulo retângulo (marcado em cinza), cujos catetos medem x e y e a hipotenusa mede A
r.
Assim:
θ= cos.Axr
e θ= sen.Ayr
Nesta construção, podemos notar que o vetor Sr
é a hipotenusa de outro triângulo retângulo, cujos catetos que medem y e )xB( +
r.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:
222)xB(yS ++=
rr
2222xx.B.2ByS +++=
rrr
2222)cos.A(cos.A.B.2B)sen.A(S θ+θ++θ=
rrrrrr
θ++θ+θ= cos.A.B.2B)cossen.(AS22222 rrrrr
θ++= cos.A.B.2BAS222 rrrrr
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Demonstração da regra do paralelogramo para a subtração de dois vetores.
Subtrair o vetor Br
do vetor Ar
é equivalente a somar ao vetor Ar
o vetor oposto ao vetor Br
, ou seja, )B(ABA
rrrr−+=− .
)B(ABADrrrrr
−+=−=
Construindo nesta representação gráfica da diferença entre os vetores um triângulo retângulo de catetos que medem z e w e de hipotenusa que mede A
r, temos:
θ=θ= cos.Aw e sen.Azrr
Aplicando no triângulo branco, ao lado do triângulo cinza, o teorema de Pitágoras, temos:
222)wB(zD −+=
rr
2222ww.B.2BzD +−+=
rrr
θ+θ−+θ= 222222cos.A)cos.A.(B.2B sen.AD
rrrrrr
)cos.A.(B.2B)cos sen.(AD22222
θ−+θ+θ=rrrrr
θ−+= cos.B.A.2BAD222 rrrrr
Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Definições elementares: Seno, co-seno e tangente de um ângulo
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Relação Fundamental No triângulo da figura anterior, temos aplicando o Teorema de Pitágoras:
222 cba =+
Dividindo os dois membros da equação por 2c , obtém-se:
1cb
ca
cc
cb
ca 22
2
2
2
2
2
2=
+
⇒=+
Mas casen =θ e
cbcos =θ , logo: ( ) ( ) 1cossen 22 =θ+θ , ou
1cossen 22 =θ+θ
Relações trigonométricas entre um ângulo e seu complemento
φ−=θ⇒=φ+θ oo 9090
φ=φ−⇒φ==θ cos)90(sencoscasen o
φ=φ−⇒φ==θ sen)90cos(sencbcos o
φ=φ−⇒
θ==θ
tg1)90(tg
tg1
batg o
Relação entre a tangente de um ângulo e seu seno e co-seno.
θθ=θ⇒=θ⇔=θ
cossentg
cbca
tgbatg
Relações trigonométricas entre um ângulo e seu complemento. Seno, co-seno e tangente de ângulos notáveis. a) 45o
ba =
2.aca.2caacbac 22222222 =⇒=⇒+=⇒+=
logo:
2245sen
2.1145sen
2.aa45sen
ca45sen oooo =⇒=⇒=⇒=
como a = b, então:
2245cos
ca45cos
cb45cos ooo =⇒=⇒=
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145tg
2222
45tg45cos45sen45tg oo
o
oo =⇒=⇒=
b) 30o e 60º
O triângulo acima é eqüilátero; e a linha tracejada é bissetriz do ângulo pelo qual ela
passa. Logo, a = c/2.
23.cb
4c.3b
4ccbb
2ccbac
22
2222
22222 =⇒=⇒−=⇒+
=⇒+=
2160cos
2130sen
1c2c
30senca30sen oooo =⇒=⇒=⇒=
2360cos
2330sen
1c2
3.c
30coscb30cos oooo =⇒=⇒=⇒=
3330tg
3130tg
2321
30tg30cos30sen30tg ooo
o
oo =⇒=⇒=⇒=
360tg
33160tg
30tg160tg oo
oo =⇒=⇒=
Resumindo
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Testes 1) Assinalar certo ( C ) ou errado ( E ) nas afirmativas abaixo: a) Temperatura é uma grandeza vetorial. b) Uma grandeza vetorial só fica caracterizada quando se conhece sua medida, direção e
sentido. c) Todas as retas de um feixe de retas paralelas têm mesma direção. d) Se um vetor A
r tem módulo 5u, então A
r= 5u.
e) Se os vetores Ar
e Br
têm módulos iguais a 5u, então Ar
= Br
. f) Se os vetores A
r e B
r têm módulos iguais a 5u, então A
r + B
r= 10u.
g) Se o vetor Ar
tem módulo 5u, então - Ar
= - 5 u . h) Se os vetores A
r e B
r têm módulos iguais a 5u, então A
r = B
r.
i) Se os vetores Ar
e Br
têm módulos iguais 5u, então BArr
+ = 10 u.
j) Dois vetores Ar
e Br
têm módulos respectivamente iguais a 5u e 4u, logo Ar
> Br
. k) Se A
r = 3 u e B
r = 4 u, então u 7BAu 1 ≤−≤
rr .
l) Se os vetores Ar
e Br
são vetores ortogonais, então BABArrrr
+=− .
2) Analisando a figura a seguir, pode-se afirmar:
a) ECArrr
=+ b) AEC
rrr=+
c) BDCrrr
=+ d) DBE
rrr−=+
e) BADCrrrr
+=+ 3) Suponha dois vetores de mesmo módulo de valor igual a a. A respeito da soma desses vetores
é incorreto afirmar: a) pode ter módulo a. 12 b) pode ter módulo a. c) pode ter módulo 2.a. d) pode ter módulo nulo. e) tem módulo . 4) Considere os vetores E e D ,C ,B ,A
rrrrr definidos de acordo com o gráfico abaixo. Sejam i
r e j
r
vetores unitários na direção dos eixos X e Y, respectivamente.
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Então: a) D
r - E
r = 2. i
r - j
r
b) Br
- Cr
= 4. ir
- 4. jr
c) Ar
+ Er
= 3. ir
+ 2. jr
d) C-Arr
= 6 u
e) n.d.a. 5) Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as afirmações falsas. a) O módulo da soma de dois vetores pode ser maior do que o módulo de cada um dos vetores. b) O módulo do vetor S
r, soma de dois vetores 1v
r e 2v
r, aumenta à medida que cresce o ângulo
entre os dois vetores. c) Um vetor localizado no eixo x (eixo das abcissas) não apresenta componente paralela ao eixo y
(eixo das ordenadas). d) Um vetor localizado no eixo y (eixo das ordenadas) não apresenta componente na direção do
eixo x (eixo das abcissas). e) Seja S
r o vetor soma de dois vetores 1v
r e 2v
r, com 1v
r < 2v
r. Neste caso, o módulo de S
r
obedece a relação: 2121 vvSvvrrrrr
+≤≤−
6) Três forças se equilibram quando aplicadas em um objeto. Qual das alternativas abaixo nos
fornece um possível conjunto de valores para as intensidades dessas forças? a) 20 N, 30 N e 60 N. b) 10 N, 20 N e 50 N. c) 15 N, 15 N e 15 N. d) 5 N, 10 N e 20 N. e) 8 N, 8 N e 20 N. 7) Quatro vetores, iguais em módulo e representando uma certa grandeza física, estão dispostos
no plano (x, y), como mostra a figura (α = 30o e β = 60o). Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) 0DCBA =+++rrrr
b) 0CBArrrr
=−+ c) DCBA
rrrr+=+
d) )AD(CBrrrr
−−=+
e) ( ) ( ) 0DBCArrrrr
≠+−−
f) 0DCBArrrrr
=+++ g) )AD(CA
rrrr+−=+
8) Dados os vetores a seguir:
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O módulo do vetor , em que:
12D
6C
6B
6AR
rrrrr
+−−=
É igual a: a) 12. 2 u b) 12 u c) 1 u d) 2 u
e) 6. 2 u
Respostas dos testes: 1) a) E b) C c) C d) E e) E f) E g) E h) C i) C j) E k) C l) C 2) E 3) A 4) B 5) a) V b) F c) V d) V e) V 6) C 7) a) F b) F c) F d) F e) F f) V g) F 8) D
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Questões analítico-expositivas 1) Dados os vetores a seguir, determine o módulo do vetor soma S
r, tal que CBAS
rrrr++= .
2) Dados os vetores D e C ,B ,Arrrr
encontre os módulos dos vetores:
a) B AErrr
+= b) C B AF
rrrr++=
c) AAGrrr
+= d) DCBAH
rrrrr+++=
3) Um dromedário parte de um oásis, percorre 5 km em linha reta, pára, e depois percorre mais
12 km em linha reta. Qual a máxima e a mínima intensidade possível para o deslocamento resultante do dromedário?
4) Dados os módulos dos vetores C e B ,Arrr
, calcular os valores possíveis para o módulo do vetor Sr
, em que: CBASrrrr
++= Dados: A
r = 5 u; B
r = 7 u; C
r = 3 u.
5) Considere duas forças 1F
r e 2F
r, de intensidades respectivamente iguais a 120 N e 90 N
aplicadas num ponto material. a) Determine o intervalo de valores possíveis para a intensidade da resultante de 1F
r e 2F
r;
b) Calcule a intensidade da resultante, supondo que 1Fr
e 2Fr
sejam perpendiculares entre si. 6) Qual a intensidade da resultante das duas forças representadas aplicadas na caixa?
7) Três forças coplanares, de mesma intensidade x, são aplicadas num ponto material formando
120o; duas a duas, como mostra o esquema a seguir:
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Qual a intensidade da resultante das três forças? 8) Três vetores de mesmo módulo, possuem direção e sentido de modo que: 1o) caso: A
r + B
r = C
r
2o) caso: Ar
+ Br
+ Cr
= 0r
Pede-se responder os itens abaixo, para cada um dos casos: a) Faça um desenho que representa a operação vetorial descrita em cada caso. b) Forneça o ângulo entre os vetores A
r e B
r;
c) Forneça o ângulo entre os vetores Ar
e Cr
; d) Forneça o ângulo entre os vetores B
r e C
r.
9) Calcule o módulo de R
r, em que DCBAR
rrrrr+++= .
Dados: Ar
= 20 u; Br
= 10 u; Cr
= 10. 2 u; Dr
= 10. 2 u; sen 37o = 0,6; cos 37o = 0,8;
2245sen o =
10) Uma pessoa deve pendurar um quadro utilizando um fio muito fino e que, portanto, não deve
suportar grandes tensões.
De que forma ela deve pendurar o quadro? Opte pela sugestão A ou B e justifique a sua resposta. Sabe-se que α < β.
Respostas questões analítico-expositivas:
1) 0S =r
2)
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a) u 65E =r
b) u 85F =r
c) u 17.2G =r
d) u 5H =r
3) 7 km ≤≤ RDr
17 km
4) 0 u ≤≤ Sr
15 u
5) a) 30 N ≤≤ R
r 210 N
b) Rr
= 150 N
6) Rr
= 60 N
7) Rr
= 0
8) 1o) caso
2o) caso
9) R
r = 10 u
10) Opção B
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Tarefa Complementar 1) Dados os vetores a seguir, determine o módulo do vetor soma:
2) “Tudo certo, como dois e dois são cinco.” Caetano Veloso.
Esse verso, como já sabemos, não corresponde ao que a aritmética, nossa velha conhecida, diz. Comente a possibilidade dessa frase possuir algum sentido, no caso de adição de dois vetores, ambos de intensidade igual a duas unidades. Espera-se com seu comentário, que você confirme ou não a possibilidade do verso acima ser verdadeiro no caso da adição de dois vetores. Justifique.
3) Possuo 1000 vetores, sendo os 999 primeiros de módulo 1 unidade u) 1a...a( 9991 ===
rr; e o
1000° vetor de módulo 998 unidades ( u 998a1000 =r
). Qual o intervalo de soluções possíveis
para o módulo de Sr
, em que 10009991 aa...aSrrrr
+++= . 4) Nas figuras seguintes temos algumas representações gráficas de operações vetoriais
envolvendo sempre 4 vetores. Dê a expressão vetorial correspondente a cada uma das representações gráficas apresentadas.
5) Dados os vetores na figura abaixo, encontre em função de a intensidade do vetor Rr
, em que
54321 FFFFFRrrrrrr
++++= :
6) A soma de dois vetores perpendiculares entre si tem módulo igual a 2 u. Se o módulo de um deles é o dobro do módulo do outro, qual o módulo do maior?
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7) Seis vetores fecham um hexágono regular, dando uma resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles alternadamente, a resultante terá módulo igual a:
a) 2 vezes o módulo de um vetor componente. b) 2. 3 vezes o módulo de um vetor componente.
c) 26 vezes o módulo de um vetor componente.
d) nenhuma das respostas anteriores. 8) Os esquemas seguintes mostram um barco sendo retirado de um rio por dois homens. Na
figura 1, são usadas cordas que transmitem ao barco forças paralelas de intensidade F1 e F2 . Na figura 2, são usadas cordas inclinadas de 90o que transmitem ao barco forças de intensidades iguais às anteriores.
Sabe-se que, no caso da figura 1, a força resultante transmitida ao barco tem valor 700 N e, no caso a figura 2, 500 N. Nessas condições, podemos afirmar que os esforços desenvolvidos pelos dois homens têm valor:
a) 250 N e 250 N b) 350 N e 350 N c) 200 N e 500 N d) 100 N e 600 N e) 300 N e 400 N
9) Os módulos de dois vetores, perpendiculares entre si, obedecem à relação 43
vv
2
1 =r
r
.
Se o vetor soma desses dois vetores tem módulo 15 u, determine os módulos de 1vr
e 2vr
. 10) A soma das intensidades de duas forças ortogonais vale 23 kgf. Qual o módulo de cada uma
sabendo que a resultante tem módulo igual a 17 kgf? 11) A diferença dos módulos de duas forças ortogonais é 49 kgf. A resultante tem intensidade
igual a 61kgf . Qual o módulo de cada força? 12) As arestas e diagonais do paralelepípedo abaixo podem representar vetores.
Assim sendo, efetue as operações vetoriais abaixo, fornecendo o módulo, a direção e o sentido dos vetores que representam os resultados destas operações:
Dados : altura do paralelepípedo: AC = 5,0 cm. profundidade do paralelepípedo: DF = 9,0 cm. espessura do paralelepípedo: CD = 3,0 cm.
13) Forneça um exemplo de :
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a) dois vetores cuja subtração é nula. b) três vetores cuja adição é nula. c) quatro vetores cuja adição é nula.
14) Dados os vetores ar
, br
, cr
e dr
, calcule Tr
, em que: 3dc
2ba.2T
rr
rrr
−−+−=
15) Os vetores Vr
1 e Vr
2 possuem mesmo módulo ( cm/s 10VV 21 ==rr
) e representam os vetores
velocidade de um corpo que executa um movimento circular uniforme. Calcule a intensidade do vetor V
r∆ , em que 21 VVV
rrr−=∆ .
16) Um helicóptero é um aparelho complexo devido à sua geometria assimétrica. As pás do rotor
principal (hélices) possuem velocidades de intensidades, em relação ao ar quando em movimento, para diferentes posições ocupadas. Como a sustentação do helicóptero depende dessas velocidades, isso poderia causar uma rotação do aparelho que o deixaria de cabeça para baixo, se essas pás tivessem inclinações fixas. Além disso, ao girar o rotor (hélices) para um lado o aparelho seria girado para o outro lado. Para resolver esses problemas a maioria dos helicópteros adota um rotor secundário na cauda e todos os helicópteros têm inclinações das pás do rotor principal variáveis, que dependem das posições ocupadas pelas pás. Mas tratemos de assuntos mais simples. Para calcular a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao ar, devemos fazer a adição vetorial 21 VVV
rrr+= , em que:
Vr
: é a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao ar;
1Vr
: é a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao helicóptero;
2Vr
: é a velocidade do helicóptero em relação ao ar.
Pede-se para cada uma das posições A, B, C e D indicadas na figura calcular o módulo do vetor V
r. Considere os dados km/h 150V1 =
r, km/h 200V2 =
r, que a reta é perpendicular à
reta e que a reta é a reta que dá a direção do movimento do helicóptero.
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