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COMSOL Seminar

July 11, 2019

Yosuke Mizuyama, Ph.D.COMSOL, Inc. Burlington , MA, U.S.A.

半導体モジュール

半導体

𝛻 · −𝜖 𝛻𝑉 = 𝑞(𝑝 − 𝑛 + 𝑁 − 𝑁 )𝜕𝑛𝜕𝑡 = − 1𝑞 𝛻 · 𝐽 − 𝑈𝜕𝑝𝜕𝑡 = − 1𝑞 𝛻 · 𝐽 − 𝑈シュレディンガー方程式 −ℏ 𝛻 · 𝛻𝜓2𝑚 + 𝑉𝜓 = −𝑖ℏ 𝜕𝜓ð𝑡

シュレディンガー・ポアソン方程式 𝛻 · −𝜖 𝛻𝑉 = 𝑞, −ℏ 𝛻 · 𝛻𝜓2𝑚 + 𝑉𝜓 = −𝑖ℏ 𝜕𝜓ð𝑡半導体オプトエレクトロニクス

（周波数領域）

半導体+𝛻 × 𝜇 𝛻 × 𝑬 − 𝑘 𝜖 − 𝑗𝜎𝜔𝜖 𝑬 = 0半導体オプトエレクトロニクス

（ビームエンベロープ）

半導体+ 𝛻 − 𝑖𝒌 𝛻 × 𝜇 𝛻 − 𝑖𝒌 × 𝑬− 𝑘 𝜖 − 𝑗𝜎𝜔𝜖 𝑬 = 0

半導体モジュール

半導体

支配方程式

半導体モデルキャリア統計• Maxwell Boltzmann• Fermi Dirac

ヘテロ接合• Quasi-Fermi continuity• Thermionic emissions

易動度• Arora (LI)• Caughey-Thomas (E)• Fletcher (C)• Lombardi surface (S)• べき乗則(L)

再結合• オージェ

• 直接

• 捕獲アシスト

生成• Okuto Crowell

トンネリング• Fowler-Nordheim

遷移• 間接遷移

• 光学

金属コンタクト• 理想オーミック

• 理想ショットキー

バンド狭帯化• Slotboom• Jain-Roulston

アプリケーション

PN接合 1D

PNダイオード回路

ヘテロ接合1D

バイポーラートランジスター

EEPROM

MOSFET

MOSFET破壊

MOSFET小信号解析

バイポーラートランジスター熱連成

GaAs PIN フォトダイオード

ISFET

GaAs PN接合赤外LED

ロンバルディ表面易動度

Si 太陽電池1D

アプリ

波長可変LED

Si 太陽電池（光線光学連成）

モデルおよび機能

キャリア統計

Maxwell-Boltzmann

Fermi-Dirac

キャリア統計

n 型

P 型

非縮退 縮退

易動度モデル

Caughey-Thomas 易動度モデルによるMOSFET

べき乗則 フォノン効果

Arora フォノン効果

イオン化不純物効果

Fletcher キャリア‐キャリア散乱効果

Lombardi Surface 表面散乱

Caughey-Thomas 高フィールド速度散乱

生成・再結合モデル

再結合 直接

捕獲アシスト

オージェ

生成 衝撃イオン化

トンネリング

絶縁層でのトンネリング

Fowler-Nordheimモデル

EEPROM デバイスの浮遊コンタクトへのトンネル電流

（直接）光学遷移

放物型直接バンドギャップモデル

入力データ：

遷移強度

自発放射寿命

運動量／双極子行列要素

Kane 4-バンドモデル

計算量:

光学吸収

自発放射

誘導放射

屈折率変化光学遷移の直接バンドギャップモデル

間接光学遷移入力：

Siの吸収実験データ／ユーザー定義

屈折率

電場振幅

計算量：

吸収／光生成率

ヘテロ接合モデル熱電子放出 ホモ接合 ヘテロ接合

n p

n p

バンドギャップ狭帯化

Slotboom:

Siで使われる経験モデル

Jain-Roulston:

物理ベースモデル

材料ライブラリデータ参照

ユーザー定義

価電子帯から導電帯の比率

ドーピング

解析表現

立方体均一領域

減衰プロファイル：ガウス型／線形／誤差関数

幾何表現

境界参照

減衰プロファイル：ガウス型／線形／誤差関数

ドーパントイオン化

完全電離モデル

不完全電離モデル

標準／イオン化率

ランピング処理

捕獲空間分布

薄膜絶縁ゲート／絶縁体／絶縁体界面で適用

離散捕獲エネルギーレベル

複数エネルギーレベル設定可能

連続分布可能

ガウス型／長方形／指数関数プロファイル

Trap Species Carriers Trapped Charge Unoccupied Charge Occupied

Donor Electrons Positive Neutral

Acceptor Holes Negative Neutral

Neutral electron Electrons Neutral Negative

Neutral hole Holes Neutral Positive

金属‐半導体コンタクトバイアスオプション

電圧制御

電流制御

パワー制御

回路接続

理想ショットキー

熱電子放出

理想／非理想障壁高さ

理想オーミック理想ショットキー 理想オーミック

仮定

緩和時間近似

放物線型エネルギーバンド

金属‐半導体での複雑なフィジックス（散乱／ポテンシャル揺らぎ／界面粗さ／鏡像力等）を無視

複雑な時間依存導電率を無視

簡略化

非縮退デバイスはMaxwell-Boltzmann 分布

主キャリアデバイスは主キャリアのみ計算

エネルギーバンド

− ℏ 𝛻2𝑚 + V cos 2𝜋𝑥𝑎 𝜓 = ℰ𝜓𝒌 = 𝑚𝜋𝑎

Bragg 条件

格子中の電子のシュレディンガー方程式

ℰ

k2𝜋𝑎𝜋𝑎 3𝜋𝑎

ℏ 𝑘2𝑚

求解方法

有限体積法（デフォルト）

電流密度を正確に計算

Scharfetter-Gummel スキーム

有限要素法 log

擬フェルミ準位

1D FVM離散化

𝑥𝑥𝑥 𝐽 , /Mesh boundaryComputational node (0th order)

𝐽 , / = 𝑛 − 𝑒 ∆ 𝑛1 − 𝑒 ∆ A basic Scharfetter-Gummel scheme

∆𝑥

メッシュ

𝑘 𝑇𝜀 𝜀𝑞 𝑁メッシュはデバイ長を分解

マルチフィジックス

オプトエレクトロニクス連成

電磁場伝搬計算 電磁場吸収計算

自発／誘導放射／屈折率変化計算

電磁場の屈折率更新

半導体インターフェース電磁場インターフェース

熱連成

半導体熱源 温度上昇

シュレディンガー方程式

シュレディンガー・ポアソン方程式

支配方程式

時間発展

固有値

ポアソン

機能

単粒子シュレディンガー方程式

1D, 2D, 3Dの一般量子力学問題を求解

量子閉じ込め系の電子とホールの波動関数を求解

定常問題における PML 完備

シュレディンガー方程式解による電荷分布とポアソン方程式が練成

可能

アプリケーション

量子ワイヤー

調和ポテンシャル

超格子

２重井戸1D

Gross-Pitaevskii 方程式

超格子バンドギャップ

GaAsナノワイヤー

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