estudo da circunferência
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ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
3° Edificações
Grupo 4
INSTITUTO FEDERAL DE SERGIPE (CAMPUS LAGARTO)
Alunos:Andréa Neto;Cristian Valéria;Fernanda Lopes;Hortência Santana;Joana Sueveny;Laísa Fraga;Larissa Menezes;Luciana Venceslau;Natalia Ramos.
DEFINIÇÃO:
Equação reduzida da Circunferência
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C aP(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
A) P É EXTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA:
B) P PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA:
C) P É INTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA:
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão
( x - a )2 + ( y - b )2 - r2 .
Posição relativa entre ponto e reta e circunferência:
Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no plano:
a) A reta r é secante a circunferência; ambas possuem dois pontos em comum.
b) A reta r é tangente a circunferência; ambas possuem somente um ponto em comum.
c) A reta r é externa a circunferência e ambas não possuem nenhum ponto em comum. possuem somente um ponto em comum.
Utilizando-se a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, adaptado para a distância entre o centro da circunferência e a reta r de equação geralax + by + c = 0:
Podemos concluir a posição relativa entre a reta e a circunferência a partir dos seguintes dados:
a) se d < R a reta é secante à circunferência.b) se d = R a reta é tangente à circunferência.c) se d > R a reta é externa à circunferência.
Posição relativa entre ponto e circunferência
Utilizando-se o mesmo raciocínio do item anterior determina-se a distância entre o ponto P(xp, yp) e o centro da circunferência por
intermédio da fórmula:
•Se d > R o ponto é externo à circunferência.•Se d = R o ponto pertence à circunferência.• Se d o ponto é interno à circunferência.
Posição relativa entre duas circunferências:
No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e centro da circunferência são fundamentais para conclusões de diversos problemas e para a determinação da equação que define essa forma geométrica tão importante. Em se tratando de posições relativas entre duas circunferências, elas podem ser: tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso.
Circunferências tangentes.
a) Tangentes externas
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.
dOC = r1 + r2
b) Tangentes internas
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.
dOC = r1 - r2
Circunferências externas.
Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.
dOC > r1 + r2
Circunferências secantes.
Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.
dCO < r1 + r2
Circunferências internas.
Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.
dOC < r1 - r2
Circunferências concêntricas.
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.
dCO = 0
AGORA VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS:
EXEMPLO 1:
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(4;7) e raio R=2.
EXEMPLO 2:
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2;3) e que passa pelo ponto P(-1;2).
EXEMPLO 3:
Ache a equação da circunferência cujas extremidades de mm diâmetro são os pontos
A(0;-8) e B(6;0).
REFERÊNCIAS:
http://www.brasilescola.com/matematica/circunferencia.htm
https://sites.google.com/site/geometriaanaliticaportifolio/calendar
http://mscabral.pro.br/sitemauro/aulas/circulo.htm
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