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ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar Cerqueira
Prof. Cezar Augusto Cerqueira – UPE/UNICAP
CURSO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA BÁSICA
ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar Cerqueira
ESTATÍSTICA: UMA VISÃO GERAL
ESTATÍSTICA Ciência de coletar, organizar, interpretar
dados Visando...tomada de decisões
ESTATÍSTICAS Somos bombardeados por elas a todo
momento Números, informações, indicadores...
Sociais, econômicos, demográficos, gerenciais
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A estatística reúne métodos para:
Coleta Processamento Análise e interpretação de dados
Informações numéricas analisadas servem de base para tomada de decisões;
As estatísticas nos auxiliam a entender melhor os fenômenos em geral;
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Métodos Estatísticos: Importância - profissional
Ferramenta fundamental no processo de solução de problemas
Gestores modernos lidam com grande quantidade de informação.
Auxílio na determinação de planos de ação para resolução de problemas
Tomada de decisões “bem informadas“ Apresentar e descrever de forma apropriada as
informações Tirar conclusões sobre grandes populações com base em
amostras Melhorar processos Obter previsões confiáveis
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Métodos Estatísticos: Importância - empresa
Aumento na competitividade Eliminação de desperdícios Redução na necessidade de
inspeção Aumento no grau de satisfação dos
clientes
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PROCESSO Equipamentos Insumos Métodos ou procedimentos Condições ambientais Pessoas Informações do processo Fabricação de um bem ou fornecimento de
um serviço
Uma Ferramenta importante: o fluxograma
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PROBABILIDADE Teoria matemática utilizada para se estudar a
incerteza, oriunda de fenômenos de caráter aleatório.
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Trata da análise e interpretação de dados
amostrais O principio básico é tirar conclusões sobre a
população a partir de uma amostra de dados obtida da mesma.
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População
Amostra
Descrição Análise Inferência
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Coleta de dados Dados: base para tomada de
decisões
Dados Observados (análise exploratória)
Informação (Modelos Probab - Inferencia))
Conhecimento (Tomada de decisão)
Inteligência (Projetos)
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COLETA DE DADOS: OBJETIVOS
Desenvolvimento de novos produtos Pesquisas de mercado
Inspeção Classificação de produtos/insumos
Controle e acompanhamento de processos produtivos
Verificar se o processo está sob controle; quantificar a variabilidade; verificar se o processo é atende a especificações.
Melhoria de processos produtivos Produtos que não satisfazem à meta Melhoria frente a novas exigências e necessidade de
sobrevivencia da empresa.
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Indivíduo e Variável
Indivíduos: objetos descritos por um conjunto de dados (pessoas, empresas, municípios, animais, ações, tempo, etc)
Variáveis: qualquer característica de um indivíduo, podendo assumir diferentes valores, de acordo com o indivíduo a que se refere.
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OBSERVAÇÃO versus EXPERIMENTO
Estudo observacional Investiga indivíduos e mede variáveis de
interesse, sem influenciar as respostas Experimento
Impõe algum tipo de tratamento sobre os indivíduos, a fim de observar suas respostas
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TIPOS DE DADOS: VARIÁVEIS QUALITATIVAS
Nominais (sexo, região...) Ordinais (grau de instrução)
QUANTITATIVAS Discretas (contagens)
Ex: número de itens defeituosos; número de arranhões em certa peça; número de acidentes de trabalho no mês.
Contínuas (mensurações em escala contínua) Diâmetro de uma peça; rendimento de uma reação
química; tempo gasto na execução de uma tarefa; espessura de uma peça.
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O Banco de Dados
Nome Idade Sexo Renda (Sal. Min) InstruçãoJosé 27 Masc 5,32 SuperiorCatarina 30 Fem 6,43 2 GrauPedro 21 Masc 1,20 1 GrauCibele 22 Fem 2,33 2 GrauHelena 25 Fem 3,56 2 GrauMarta 20 Fem 1,70 1 GrauCarolina 35 Fem 4,50 TécnicaJuan 45 Masc 8,00 Superior
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Levantamentos amostrais
População Grupo inteiro de indivíduos sobre o qual
se deseja informações Amostra
Parte da população da qual se coletam de fato informações, utilizadas para se tirarem conclusões sobre o todo.
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Aleatória simples
Estratificada
PROBABILÍSTICA Sistemática
Grupos (cluster)
Multifásica
AMOSTRAGEM
(Tipos)
NÃO PROBABILÍSTICA
Amostragem
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ESTRATIFICAÇÃO
Agrupamento da informação (dados) sob vários pontos de vista para dar foco à ação.
Equipamentos, insumos, pessoas, métodos, medidas, condições ambientais.
Tempo (manhã, tarde, noite) Local (linhas de produção, regiões) Tipo (fornecedor) Indivíduo(operadores)
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Gráfico de Pareto
Princípio de Pareto (80/20) Em torno de 80% dos problemas
vem de 20% das causas Atacar 1/5 das causas solucionaria
4/5 dos problemas
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Distribuições de frequência: Gráfico de Pareto
Tabela 2.4 – Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas pela indústria
Tipo de Defeito Freqüência de defeitos
Total Acumulado
Freqüência relativa (%)
Percentual Acumulado
Revest. Inadequado 55 55 43,3 43,3 Trinca 41 96 32,3 75,6 Arranhão 12 108 9,4 85,0 Espessura inadequada 11 119 8,7 93,7 Mal-acabada 5 124 3,9 97,6 outros 3 127 2,4 100,0 Total 127 - 100,0 -
FONTE: Indústria de lentes 0
10
20
30
40
50
60
Revest.
Inadequado
Trinca
Arranhão
Espessura
inadequada
Mal-acabada
outros
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
defeitos% Acum
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Gráfico de Pareto Para causas: equipamentos, insumos,
informação do processo ou medidas, condições ambientais, pessoas, métodos ou procedimentos.
Para efeitos: qualidade, custo, entrega, moral, segurança, etc.
Expresso em unidades monetárias Gráfico de Pareto estratificado (por operador,
etc) Comparações tipo antes e depois Desdobramento de gráficos de Pareto (causas e
sub-causas)
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Organização e Análise de dados
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FERRAMENTAS GRÁFICAS FERRAMENTAS GRÁFICAS SIMPLES: VARIÁVEIS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUASCONTÍNUAS
o o o o o o 3 4 5 6 7 8
Diagrama de Pontos
Considere os dados: 3 4 4,5 4,5 6 8
Exibem: Dispersão, conglomerados de pontos, lacunas, outliers, comparações
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GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUASCONTÍNUAS : Gráfico Ramo-e-Folhas
Exemplo: Considere os dados abaixo representando a resistência à compressão de uma amostra de 80 corpos de prova de liga de alumínio:
105 221 183 186 121 181 180 143
97 154 153 174 120 168 167 141245 228 174 199 181 158 176 110163 131 154 115 160 208 158 133207 180 190 193 194 133 156 123134 178 76 167 184 135 229 146218 157 101 171 165 172 158 169199 151 142 163 145 171 148 158160 175 149 87 160 237 150 135196 201 200 176 150 170 118 149
Ramo Folha Frequencia7 6 18 7 19 7 1
10 51 211 580 312 103 313 413535 614 29583169 815 471340886808 1216 3073050879 1017 8544162106 1018 361410 719 960934 620 7108 421 8 122 189 323 7 124 5 1
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Apresentação de DadosDistribuições de frequências: caso nominal
Tabela 2.1 Empregados do setor de produção, segundo o grau de instrução, 2005.
GRAU DE INSTRUÇÃO Freqüência (fi) Primeiro Grau 15 Segundo Grau 25 Superior 10 TOTAL 50 FONTE: Pesquisa direta
Empregados do Setor de Produção, segundo grau de instrução - 2000
30%
50%
20%
Primeiro Grau
Segundo Grau
Superior
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VARIABILIDADE Sempre presente em processos de produção
ou serviços É afetada por diversos fatores Produtos defeituosas são produzidos devido à
presença da variabilidade A redução da variabilidade implica na redução
do número de itens defeituosos Causas comuns (inerentes) e causas especiais Processo sob controle: atuam apenas as
causas comuns
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Gráfico de Sequencias no tempo
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Os dados representam a resistencia à compressão de uma amostra de 20 conectores plásticos:
241 194 190 209258 225 250 212237 190 240 123210 250 190 178189 220 180 190
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HISTOGRAMA Distribuição: modelo estatístico para o padrão de
ocorrencia dos valores de determinada população O histograma é um gráfico de barras no qual o
eixo horizontal é subdividido em vários pequenos intervalos, sendo construída uma barra vertical, de área proporcional ao número de observações na amostra cujos valores pertencem ao intervalo correspondente.
As informações são dispostas de modo a permitir a possível visualização da forma da distribuição dos dados e a percepção do valor central e da dispersão em torno desta valor central.
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Distribuições de frequência: Caso contínuo - Histograma
As distribuições podem diferir em: Locação (centralidade, média, mediana) Variabilidade (desvio padrão, variância) Forma (assimetria)
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Um procedimento para construção de um Histograma (variáveis contínuas)
Coletar “n” observações Escolher o número de intervalos (k) Calcular a amplitude total dos dados (R)
R = Max - Min Calcular o comprimento de cada intervalo (amplitude
de classe, h) h=R/k
Arredondar convenientemente h Calcular os limites de cada intervalo Construir a tabela de frequencias, que deve conter:
Limites de cada intervalo; ponto médio; frequencia simples (fi); frequencia relativa; frequencia acumulada (simples e relativa)
Desenhar o Histograma
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Distribuições de frequência variável contínua: Histograma
Dados relativos ao comprimento de uma amostra de 100 parafusos
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Distribuições de frequência: Caso discreto
Peças0 351 402 73 54 25 1
Total 90
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5
Dados referentes ao número de defeitos encontrados em uma amostra de 90 chapas de aço
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Tipos de Histogramas: simétrico
Valor médio no centro Frequencia mais alta no centro diminuindo gradualmente de
forma simétrica em direção aos extremos
0
20
40
60
80
100
Média=mediana=moda
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Tipos de Histogramas: assimétrico positivo
freqüência decresce bruscamente em um dos lados e de forma gradual no outro
Média fora do centro do histograma cauda mais longa em um dos lados
0102030405060708090
Média>mediana; média>moda
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Tipos de Histogramas: despenhadeiro
0102030405060708090
0102030405060708090
Frequencia diminui de forma abrupta de um ou dos 2 ladosProcesso não atende às especificações
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Tipos de Histogramas: dois picos
Mistura de dados com médias diferentesDados de 2 máquinas ou 2 turnos, etc
0
20
40
60
80
100
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Tipos de Histogramas: ilhas isoladas
Erros de medição, erros de registro ou transcrição dos dados Anormalidades temporárias no processo
0
20
40
60
80
100
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Tipos de Histogramas: achatado (platô)
Mistura de várias distribuições com médias diferentes Classes centrais possuem aproximadamente a mesma frequência.
01020304050607080
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Histograma: estratificação
Quando estratificado o Histograma pode exibir diferentes distribuições para distintos fatores.
A existencia de diferentes distribuições podem estar contribuindo para aumentar a variabilidade do processo.
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Histogramas e limites de especificação
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Resumindo dados: análise descritiva e exploratória
“Um estatístico é um sujeito que se está com a cabeça num forno e os pés enterrados no gelo, ainda diz que na média a temperatura está ótima”.( K. Dunnigan)
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RESUMO NUMÉRICO DE DADOS QUANTITATIVOS: LOCALIZAÇÃO DO
CENTRO DOS DADOS Média Aritmética
Mediana Valor do meio em uma sequencia ordenada de dados
Moda Valor mais frequente de uma série de dados
n
XiX
n
i 1
n
fXX
k
iii
1Dados brutos
Dados agrupados
2
)1]2/([)2/( nn
e
XXM “n” ímpar “n” par
cf
FnLiMe
Me
ant .])5,0[(
Dados agrupados
)2
1( nX
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OUTRAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO: Quartis
Primeiro Quartil 25% das observações são menores e
75% maiores
Segundo Quartil (Mediana) Terceiro Quartil
)4
1(
1 nXQ
)4
)1(3(
3 nXQ
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VARIABILIDADE
Medidas de tendência central podem mascarar importantes aspectos em uma série de dados
Um processo de produção de bens e fornecimento de serviços sempre apresenta variabilidade
A variabilidade é resultado de uma série de alterações nas condições sob as quais as observações são tomadas. matérias-primas, condições de equipamentos, métodos de trabalho,
condições ambientais e operadores
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VARIABILIDADE: Problematizando Os dados abaixo referem-se a notas obtidas em 3
turmas de 5 alunos cada: Turma A: 3 4 5 6 7 Turma B: 1 3 5 7 9 Turma C: 5 5 5 5 5
Em termos de tendência central como podemos analisar os grupos ?
E em termos de dispersão? Qual deles parece mais disperso? E qual deles apresenta maior variabilidade?
Façamos uma investigação gráfica do fenômeno. Como obter uma medida de variabilidade média
para os grupos?
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MEDINDO A VARIABILIDADE Variância Populacional
Variância Amostral
Desvio Padrão Corresponde à raiz quadrada da
variância
])(
[1 222
nX
Xn
ii
])(
[1
1 222
nX
Xn
s ii
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MEDINDO A VARIABILIDADE: outras medidas
Amplitude Total Xmax-Xmin
Amplitude Interquartil J = Q3–Q1
Coeficiente de variação
Comparação de grupos muito diferentes Comparação de dispersão com escalas diferentes
XS
médiapadrãoDesvioCV
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ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA
Curva Simétrica
Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da Companhia A
0
5
10
15
20
25
30
6 10 14 18 22
sal.min.
freq.
sim
ples
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ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA
Assimetria Negativa
Assimetria PositivaSimetria
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Gráfico Box-Plot
Juntas: Q1,Q2,Q3
Extremos: E1 e E2
E1 Q1 Me Q3 E2
REGIAO
COSULSENENOID
HMUN
1.0
.9
.8
.7
.6
.5
.4
Índice de Desenvolvimento Humano no Brasil, por Região - 2000
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Explorando a relação entre variáveis
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EXPLORANDO A RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
Mensurar o tipo e grau de associação entre duas ou mais variáveis.
Foco inicial: duas variáveis quantitativas Etapas:
Abordagem gráfica: diagrama de dispersão Cálculo do coeficiente de correlação linear de
Pearson,
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Diagrama de dispersão
Gráfico utilizado para a visualização do tipo de relacionamento entre 2 variáveis quantitativas
Este entendimento contribui para aumentar a eficiencia dos métodos de controle de um processo
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Construção do diagrama de Construção do diagrama de dispersãodispersão
1.1. Coletar ao menos 30 pares de observações (x,y) Coletar ao menos 30 pares de observações (x,y) das variáveis a serem estudadas;das variáveis a serem estudadas;
2.2. Registrar os dados em uma tabela;Registrar os dados em uma tabela;3.3. Escolher uma variável a ser representada no eixo Escolher uma variável a ser representada no eixo
‘x’ (preditora) e outra variável em ‘y’ ‘x’ (preditora) e outra variável em ‘y’ (dependente);(dependente);
4.4. Determinar os valores máximo e mínimo para Determinar os valores máximo e mínimo para cada variável;cada variável;
5.5. Escolher as escalas para ‘x’ e ‘y’Escolher as escalas para ‘x’ e ‘y’6.6. Representar no gráfico os pares de observações Representar no gráfico os pares de observações
(x,y). (x,y). 7.7. Registrar informações importantes que devem Registrar informações importantes que devem
constar no gráfico: título, legendas, unidades de constar no gráfico: título, legendas, unidades de medidas, etcmedidas, etc
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Interpretação de diagramas Interpretação de diagramas de dispersãode dispersão
Correlação Correlação positiva: à positiva: à medida que x medida que x aumenta, y aumenta, y também também aumenta.aumenta.
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Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de
dispersãodispersão Moderada Moderada
correlação correlação positiva: y tende a positiva: y tende a aumentar com x, aumentar com x, porém com porém com elevada elevada variabilidade.variabilidade.
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Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de
dispersãodispersão Ausência de Ausência de
correlação: os correlação: os valores das valores das variáveis não variáveis não estão estão relacionados.relacionados.
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Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de
dispersãodispersão Moderada Moderada
correlação correlação negativa: y tende negativa: y tende a diminuir com o a diminuir com o aumento de x.aumento de x.
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Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de
dispersãodispersão Forte correlação Forte correlação
negativa: à medida negativa: à medida que x aumenta, y que x aumenta, y diminui.diminui.
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Outliers: SãoOutliers: Sãoobservações extremasobservações extremasnão condizentes com não condizentes com o restante dos o restante dos dados.dados.
Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de
dispersãodispersão
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Interpretação de Interpretação de diagramas de diagramas de
dispersãodispersãoExemplo: O Exemplo: O
diagramadiagramaao lado mostra forte ao lado mostra forte correlação negativa correlação negativa entre as variáveis entre as variáveis Tensão e Variação Tensão e Variação no Corte.no Corte.
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Estratificação de Diagramas Estratificação de Diagramas de Dispersãode Dispersão
Em muitos casos a estratificação de Em muitos casos a estratificação de um diagrama de dispersão permite um diagrama de dispersão permite
a a descoberta da causa de um descoberta da causa de um
problema.problema.
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CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão
Gráfico que representa no plano cartesiano duas variáveis quantitativas
Ferramenta simples que permite aprofundar o estudo da associação entre 2 variáveis.
Como ilustração, considere a tabela abaixo, que representa o tempo de serviço e o volume de vendas semanais de uma amostra de 5 vendedores de determinado produto:
5550424035Vendas
86431Tempo (anos)
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Diagrama de Dispersão
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5Y
ve
nd
as
X te m p o
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CORRELAÇÃO
Quando as variáveis crescem no mesmo sentido temos o caso de correlação positiva.
Quando as variáveis crescem em sentidos opostos temos uma correlação negativa.
Se os dados estão perfeitamente alinhados sobre uma reta temos uma correlação perfeita.
Quando o crescimento de uma variável é acompanhado de variações casuais da outra variável a correlação é nula.
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: FÓRMULA DE CÁLCULO
YYXX
XYXY SS
Sr
n
YXXYS XY
nX
XS XX
22 )(
nY
YSYY
22 )(
onde:
Lembre que: -1 rxy 1
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: CÁLCULO PARA O EXEMPLO ANTERIOR
Elemento Tempo (anos) Vendas X2 Y2 XY1 1 35 1 1225 352 3 40 9 1600 1203 4 42 16 1764 1684 6 50 36 2500 3005 8 55 64 3025 440
Total 22 222 126 10114 1063
106310114;126;222;22 22iiiiii YXeYXYX
2,295
22126)( 22
2 nX
XS xx
2,2575
22210114)( 22
2 nY
YS yy
2,865
)222)(22(1063))((
n
YXXYS xy
995,0)2,257)(2,29(
2,86
yyxx
xyxy SS
Sr Indica uma
associação forte e positiva !!
CUIDADO!!! Correlação não implica em relação de causa efeito. !!
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: QUANTITATIVAS X
QUALITATIVAS Comparação do Comportamento de
uma Variável Contínua por Grupos Captar diferenças: i)nos níveis
médios, ii)em variabilidade, iii)na forma da distribuição, iv)detalhes individuais. Via: Diagrama de Pontos Gráficos tipo Box-Plot Gráfico Ramo-e-Folhas
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS
Tabela de contingência a 2 fatores Variável dependente e explicativa Medir associações Encontrar distribuições percentuais Distribuições marginais Distribuições condicionais
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Noções de Probabilidade e Inferência: mensurando a incerteza...
O Acaso existe?
“ O acaso não existe: tudo é provação, ou punição, ou recompensa, ou previdencia”. (Voltaire)
“O acaso é a causa ignorada de um efeito conhecido” (Voltaire)
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE Aleatoriedade Experimentos aleatórios
Resultados imprevisíveis regularidade
Probabilidade chance de ocorrência de um evento aleatório. idealização do que aconteceria se feita uma
sequencia longa de repetições Proporção de vezes em quem um evento ocorre
em uma sequencia longa de repetições do experimento
Independencia Resultado de uma tentativa não deve influenciar o
resultado de outra
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Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas:
Distribuição Binomial Considera n repetições independentes de um
experimento de Bernoulli. Exemplos:
Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X=nº de caras obtido Uma máquina produz 1% de peças defeituosas. Seja
X=nº de peças defeituosas nas próximas 25 produzidas. Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade,
seja X=nº de meninas observado.
Seja a VA X=nº de sucessos obtidos. Portanto:
E(X)=np e V(X)=np(1-p) nkppkXP knknk ,.....,1,0,)1()(
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Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas:
Distribuição de Poisson Largamente empregada quando se deseja contar
o número de eventos de certo tio que ocorrem em um intervalo de tempo, superfície ou volume.
Exemplos: Fórmula:
Número de chamadas telefônicas recebidas em uma central em um intervalo de tempo.
Número de falhas em um computador em um dia de operação.
Número de defeitos em uma chapa de metal de 1 m2 produzida.
!)()(
ktekXP
Kt
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Modelos Probabilísticos para variáveis contínuas: Distribuição Normal
Representação Gráfica:
A distribuição Normal é um modelo estatístico que fornece uma base teórica para o estudo do padrão de ocorrência dos elementos de várias populações de interesse.
µ é a média da distribuição (centro)ơ é o desvio padrão da distribuição (dispersão)
+ -
68%
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Curva Normal
Para calcular probabilidades associadas a uma variável Normal de média µ e desvio padrão ơ, (N(µ,ơ)), deve ser utilizada a variável Normal padronizada ou reduzida:
A média de Z é zero e seu desvio padrão é 1.
Xz
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µ µ+2ơ
µ+3ơµ+ơ
µ-ơµ-2ơµ-3ơ
0 1 32-1-2-3
X
z
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Distribuição Normal: uso da tabela
0 z
Xz
0 1
P(0<Z<1)
1
P(Z>1)
0,3413
0,5-0,3413
-1 0
P(Z<-1)0,5+0,3413
z=1,64
0 z
5%
Uso inverso da Tabela
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Curva Normal
Propriedades:1) A área sob a curva é igual a 1.2) A curva é simétrica em relação à sua média.3) f(x) tende para 0 quando X tende para +/- 4) A curva possui um ponto máximo em x = .
Intervalo Probabilidade (Área)Interna Externa
(µ±ơ) 68,3% 31,7%(µ±2ơ) 95,5% 4,5%(µ±3ơ) 99,73% 0,27
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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Lei dos grandes números – Extraia observações
aleatórias e independentes de uma população de média
À medida que o número de observações aumenta, a média amostral aproxima-se cada vez mais da média da população .
Características de uma população podem ser descritas pelos parâmetros.
Os parâmetros são quantidades desconhecidas, a serem estimadas via amostra.
As distribuições amostrais podem ser vistas como: Distribuição de probabilidades de uma estatística
amostral Indicam como variam as estatísticas devido a
variações no processo de amostragem.
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS
Obtida a partir da média aritmética de uma série de amostras de tamanho n, extraída de uma população que tem média e desvio padrão .
A média da distribuição amostral de médias é igual à média populacional
O desvio-padrão da distribuição amostral de médias é dada por:
A distribuição amostral de médias é aproximadamente normal, para n grande.
A estatística correspondente à equação abaixo é aproximadamente N(0,1).
n
nxZ )(
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES
Obtida a partir da proporção de elementos em uma amostra que possuem certa característica de interesse.
A média da distribuição amostral da proporção é igual à proporção populacional.
O desvio-padrão da distribuição amostral da proporção é dado por:
A distribuição amostral da proporção é aproximadamente normal, para n grande.
A estatística correspondente à equação abaixo é aproximadamente N(0,1).
npp
p)1(
nPPPpz a
)1(
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA – com desvio
padrão conhecido Objetivo do IC: estimar um parâmetro desconhecido
com uma indicação da precisão da estimativa. Formato: estimativa +/- margem de erro Nível de confiança: probabilidade de que o método
forneça uma resposta correta. A média amostral varia de amostra para amostra Para levar em consideração esta fato devemos
construir um intervalo de confiança para a verdadeira média populacional, com base na média amostral.
Tal intervalo tem uma probabilidade (nível de confiança) de estar estimando corretamente (conter) o parâmetro.
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA – com desvio
padrão conhecido O intervalo para a média, com desvio-padrão
conhecido, pode ser representado pela expressão:
nZx
2
normaltabelanaobtidovalorZ 2
adotadociasignificandenível
médiadaamostralãodistribuiçdapadrãoerron
amostralmédiax
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