equazioni d’onda vettoriali omogenee · 2017-11-16 · m. usai 6c_eaiee_equazioni d’onda...
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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 1
6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE
(ultima modifica 15/11/2017)
EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI OMOGENEE
Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero.
Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento
e i dielettrici sono i materiali principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione ( trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche.
01
01
2
2
2
2
2
2
2
2
t
H
uH
t
E
uE
με/u 1
J
t
D H sJJJ
sJ
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 2
Nel vuoto, (al di là dell’atmosfera terrestre), u=c e le espressioni
delle equazioni d’onda in assenza di sorgenti diventano:
dove
c é la velocità di propagazione dell’onda (velocità della luce) nel
vuoto .
______________________________________________________
m
Fε
m
Hμ
s
km
s
m
εμ c
12
0
67
0
8
12600
10856,8 10256,1104
000.30010310856,810256,1
11
0t
H
c
1H 0
t
E
c
1E
2
2
2
2
2
2
2
2
01
01
2
2
2
2
2
2
2
2
t
H
uH
t
E
uE
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 3
Onde elettromagnetiche piane
Si definisce fronte d’onda (superficie d’onda) il luogo geometrico
dei punti dello spazio in cui le grandezze di campo presentano
contemporaneamente la stessa fase,
ossia l'insieme di tutti i punti dello spazio in cui, per un certo istante
fissato t, la fase ha lo stesso valore.
I fronti d’onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione
dell'onda e sono utili per visualizzare i fenomeni di trasmissione
delle onde.
Ad esempio, i punti, che nello stesso istante t hanno tutti la stessa
fase alla quale corrispondente la massima ampiezza, formano un
fronte d’onda.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 4
Onde elettromagnetiche piane I fronti d’onda possono essere sono definiti in base alla loro forma, per
esempio si possono avere fronti d’onda piani, sferici così via.
Fronte d’onda piano Fronte d’onda sferico
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 5
Onde elettromagnetiche piane
Un onda elettromagnetica è piana quando il suo fronte d’onda è un piano.
Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da grandezze di campo sempre e ovunque in fase su piani perpendicolari alla direzione di propagazione, cioè , per il sistema di riferimento scelto, per ogni valore di z, i campi :
• in fase nel tempo e
• in quadratura nello spazio.
Direzione di propagazione Fronti d’onda piani
x
E
H
z è direzione di propagazione delle onde
y
z
H e E
H e E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 6
Onde elettromagnetiche piane
L’onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione delle
equazioni di Maxwell e costituisce una buona approssimazione
delle onde elettromagnetiche reali in molte applicazioni pratiche.
Le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico che pratico.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 7
Onde elettromagnetiche piane
• Radiofrequenze a grande distanza dal trasmettitore e da
oggetti, che potrebbero causare diffrazione, con curvatura
trascurabile, possono essere studiate come onde piane.
• L’approssimazione delle onde piane è molto utilizzata
nell’ottica.
• Lo studio delle onde piane è molto importante perché, onde
più complesse possono essere considerate come formate
dalla sovrapposizione di onde piane.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 8
Onde Elettromagnetiche piane in regime sinusoidale
Nelle regioni in cui non sono presenti sorgenti (cariche a riposo nulle ρ=0 e correnti elettriche nulle ) e il mezzo non è dissipativo, le onde sono descritte dalle soluzioni delle
Equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee:
= numero d’onda in un mezzo di trasmissione qualsiasi
0
0
22
22
HkH
e
EkE
μεωkf
u
m
rad
u
ωμεωk 22 ,
2
k
2
0J
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 9
Onde elettromagnetiche piane nei mezzi privi di perdite
Le equazione vettoriali esplicitate delle onde elettromagnetiche nel
vuoto (nello spazio libero k=ko ), in assenza di sorgenti, sono:
dove k0 ( free space wavenumber) é il numero d’onda nello spazio
libero, é il reciproco della lunghezza d’onda nel vuoto:
m
rad
c
ωεμωk
0000
2
0
0
2
0
2
2
0
2
HkH
EkE
0Hkz
H
y
H
x
H
0Ekz
E
y
E
x
E
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 10
In coordinate cartesiane la prima equazione di Helmholtz espressa in forma compatta vettoriale, equivale a tre equazioni (scalari) di Helmholtz, una per ciascuna componente: Ex, Ey e Ez:
0Ekzyx
0Ekzyx
0Ekzyx
0Ekz
E
y
E
x
E
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
z
y
x
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 11
Se si considera un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme (ampiezza e fase uniforme), sulle superfici piane (xy) perpendicolari a z, poichè Ex = f(x,y,z)→ Ex = f(z) l’equazione diventa:
con
essa è una equazione differenziale ordinaria (perchè dipende da una sola variabile z ) ossia Ex dipende solo da z, → Ex = f(z).
0E kzyx
x2
2
2
2
2
2
2
0
y
E e
x
E xx 002
2
2
2
02
2
2
0
x
x Ekz
E
x
E
direzione di propagazione delle onde
y
z
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 12
La soluzione della equazione:
é :
sono costanti arbitrarie che devono essere
determinate con le condizioni al contorno.
Si consideri da prima solo il primo termine:
• usando come fasore di riferimento e
• assumendo costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:
02
2
2
0
x
x Ekz
E
zojk
o
zojk
xxx eEeEzEzEzE
0
ωtcos0E
m
V z)kcos(ωEezE Re
e ezE ReezE Retz,E
0zkωj
jωzjktj
0
o
0
o
0xx
tt
t
o e EE
0
zjko
xeEzE
0
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 13
Esaminando in dettaglio l’equazione trovata:
si può pensare di tracciare il grafico in funzione di z, in un istante definito t. In particolare per t=0, essendo:
• per cui in un dato istante t, nello spazio varia come una cosinusoide con una ampiezza
• Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento identico, ma traslano nella direzione positiva di z.
Ciò dimostra che la curva é viaggiante nella direzione positiva di z con una velocità up = / k0 , che dipende da k0, ossia da e dalla
frequenza f, essendo:
Da cui si deduce che la velocità di trasmissione up nello spazio libero,
coincide con la velocità della luce c.
m
V z)kcos(ωEtz,E 00x
t
)cos0 coscos 000 0z(kEz,Ez)(kz)k(
x
tz,Ex
0E
m
rad
c
ωεμωk
0000
2
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 14
Onda viaggiante nella direzione positiva z, per diversi valori di t
La lunghezza d'onda λ0 è la distanza z= λ0 che un'onda percorre
mentre compie un ciclo completo e
k0 numero d’onda, misura il numero di lunghezze d’onda λ0 nella
unità di lunghezza.
s
radfω
m
rad
c
ωεμωk
2
2
0
000
m
V z)kcos(ωEtz,E 00x
t
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 15
Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che la fase istantanea è costante in ciascun piano normale alla direzione z di propagazione, per cui: (t-koz) =A con A costante. Imponendo questa condizione :
t-koz =A → lo spazio percorso
In particolare nel vuoto al variare del tempo i piani in cui la fase è costante, ossia i fronti d’onda, viaggiano alla velocità della luce c nella direzione z.
Quindi derivando lo spazio percorso z rispetto al tempo, si ottiene l’espressione della velocità di propagazione up=c nel vuoto:
è numero d’onda, è il numero di oscillazioni di un'onda nell'unita di lunghezza.
s
m c
εμk
ω
dt
k
Atd
dt
dzu p
8
000
0 1031
m
rad
π
c
πf
c
22k dove 0
k
Atz
0
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 16
Analogamente si può verificare che il secondo termine della
relazione :
rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z
con la stessa velocità c: essa è chiamata onda riflessa.
Si consideri per ora solo l’onda diretta assumendo l’ipotesi che:
anche se in presenza di discontinuità nel mezzo, devono essere
considerate anche
le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta.
zjkzjkx
o
o
o
xxeEeEzEzEzE
0
0E0
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 17
Il campo magnetico associato alla sola onda diretta può essere
determinato dalla relazione che lo lega al campo elettrico:
Esplicitando la equazione di Maxwell in forma matriciale:
dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove risulta
l’unica componente diversa da zero, essendo:
H
HjE
0
0 0
x y z
x x y y z z
x
a a a
E jω a H a H a H ,x y z
E (z)
zfEy
zE
jH
H
z
zE
jH
H
xx
z
z
xy
x
essendo 01
0
,1
,0
00
yH
Ex = f(z)
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 18
Per un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme
(ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z,
risulta che le componenti del campo elettrico e del campo
magnetico siano rispettivamente uguali a:
quindi il Campo Elettrico risulta nello spazio in quadratura con il
Campo Magnetico .
H
E
0
,1
,0
0
z
xy
x
H
z
zE
jH
H
,0
,0
),(
z
y
x
E
E
zfE
H
E
x
E
H z direzione di propagazione delle onde
y
z
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 19
Esplicitando la relazione che lega il campo elettrico e magnetico si ha:
0 è l’ impedenza intrinseca dello spazio libero (essa è un numero
reale).
0
0 0
0
0
0 0 0
0
7 7
0
0 9 12
0
1 1
1 1
2
4 10 4 10 120 377
1/ 36 10 8,854 10
jk zx o
y
x x x
E zH E e
j z j z
kjk E z E z E z
j
πf radcon k
c c m
e
00
0
2
0
00
0
00
000
0
8
00
1
k
1031
c
s
m
εμc
zEzH xy
0
1
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 20
Poichè 0 è un numero reale risulta in fase con e
l’espressione di si può scrivere in funzione del campo elettrico
come:
Quindi per un’onda piana e uniforme il rapporto delle ampiezze di
e é l’impedenza intrinseca del mezzo:
Inoltre risulta che é perpendicolare ad e che entrambe
sono normali alla direzione di propagazione.
zH y
zEx
H
+ + jωty yy y
+
0y 0
0
H z,t =a H z,t =a Re H z e =
E A =a cos ωt-k z
η m
E H
H E
0
0 0
0 0
1 con x
y x
y
EH E
H
zEzH xy
0
1
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 21
Campi e di un’onda piana uniforme per t=0 E H
m
rad
c
ωεμωk
0000
2
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 22
Effetto Doppler
Quando c’é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel
tempo e un ricevitore, la frequenza dell’onda intercettata dal
ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla
sorgente .
Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta
in acustica come nell’elettromagnetismo.
Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un’onda armonica
nel tempo di frequenza f si muova con velocità con una
deviazione di un angolo rispetto alla direzione della
congiungente Trasmettitore-Ricevitore.
u
'f
f
T R r0
u
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 23
Le onde elettromagnetiche emesse da T nell’istante t = 0
raggiungeranno il ricevitore R in ritardo nell’istante .
Nell’istante successivo t = t, l’emettitore T si è spostata nella
nuova posizione T’ e l’onda emessa da T’ in quell’istante
raggiungerà il ricevitore nell’istante t2:
c
rt 0
1
u
T R r0
t = 0→emettitore in T t = t emettitore in T’
u
T R r0
r’ ut T’
H
c
rtt
'
2
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 24
12 2 2'
' '2 1
11 2 2 2 2cos sin 0
11 2 22 2 2 22 cos cos sin 0
0
11 22 22 cos 0
0
HR T Hr r
t t t tc c c
t r u t u tc
t r r u t u t u tc
t r r u t u tc
u
T R r0
t = 0 t = t
u
T R r0
r’ ut T’
H
2t
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 25
Se l’equazione precedente diventa:
Quindi il ritardo temporale in R pari a t’ =t2-t1 é:
che non è uguale al t .
Se t rappresenta un periodo della sorgente armonica nel tempo,
cioè t =1/f , allora la frequenza f’ dell’onda ricevuta da R per la
condizione più comune (u/c)2 << 1 é:
2220' rtuTT
0
2
0
1 cos .r u t
t tc r
0 02 1
0
r ruΔt uΔt'=t -t =Δt+ 1- cosθ - =Δt 1- cosθ ,
c r c c
cos1
cos1'
1'
c
uf
c
u
f
tf
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 26
Questa é una formula approssimata che non é valida quando é
prossimo a /2, e in base a questa relazione si può dire che:
quindi si può avere che
• f’ > f : la frequenza in ricezione é maggiore della frequenza di
trasmissione, quando T si muove avvicinandosi a R ( cosϑ > 0).
Il massimo incremento di f si ha per = 0, infatti
• f’ < f : la frequenza in ricezione é minore della frequenza di
trasmissione, quando T si muove allontanandosi da R ( cosϑ < 0)
Il massimo decremento di f si ha per = , infati
cos1
'
1'
c
uf
tf
ffc
uf
c
uff
' 1cos1' 1cos 0per
' 1cos1' 1cos per ffc
uf
c
uff
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 27
Risultati simili si ottengono se si muove il ricevitore R e il trasmettitore T rimane fermo.
L’effetto Doppler si verifica ogni volta che esiste movimento relativo tra un ricevitore e un emettitore.
L’effetto Doppler é alla base del funzionamento del radar Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un veicolo.
Il funzionamento del Radar Doppler è basato sul fatto che
la variazione di frequenza dell’onda di ricezione riflessa dal movimento del veicolo è proporzionale alla velocità del veicolo e può essere misurata e visualizzata nell’unità di misura stabilita, infatti:
coscos θc
uff' θ
c
uff'
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 28
L’effetto Doppler è anche la causa, in astronomia, della
cosiddetta red shift (variazione rossa) dello spettro della luce
emessa da una stella distante che si allontana.
Quando la stella si allontana ad alta velocità rispetto ad un
osservatore sulla terra, la frequenza del segnale luminoso nel
punto di ricezione trasla verso una frequenza più bassa dello
spettro (si verifica un allungamento della lunghezza d’onda).
v
f
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 29
Onde elettromagnetiche trasversali
Un’onda piana uniforme caratterizzata da che si propaga
nella direzione + z è associato a un campo magnetico
Quindi e sono perpendicolari uno con l’altro ed entrambi sono
trasversali alla direzione di propagazione.
Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica
(transverse electromagnetic wave: TEM wave).
Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e
quindi variano lungo un singolo asse di coordinate.
Si considera ora la propagazione di un’onda piana uniforme lungo
una direzione arbitraria, che non coincide necessariamente con un
asse delle coordinate.
xx EaE
.HaH yy
E H
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 30
L’intensità del fasore campo elettrico per un’onda piana uniforme
che si propaga nella direzione +z è:
dove è un vettore costante.
L’espressione più generale per un’onda che si propaga in una
direzione generica sarà:
Si dimostra facilmente per sostituzione diretta che questa
espressione soddisfa l’equazione omogenea di Helmholtz e che:
( ) 0jk zzE z E e
0E
( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo
2 2 2 2 k k kx y z
k kcon 220 0
c
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 31
Definendo un vettore numero d’onda come:
e un vettore radiale dall’origine (vettore posizione) che definisce
posizione del punto in cui si vuole valutare il campo:
La relazione precedente può essere scritta in forma compatta:
con versore nella direzione di propagazione.
nzzyyxx akkakakak
zayaxaR zyx
m
V eEeE)R(E RajkRkj n
00
na
( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 32
Per la relazione:
per cui: è l’equazione di un piano normale ad
, direzione di propagazione.
nzzyyxx akkakakak
znzz
ynyy
xnxx
aakakk
aakakk
aakakk
OP lengthRan
na
x
y z
0 P
Piano con fase costante
R
na
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 33
Se un’onda si propaga nella direzione z, nel piano z = costante il
campo ha fase costante e ampiezza uniforme.
Analogamente si dimostra che l’onda che si propaga in una direzione
generica definita dalla relazione:
ha fase costante e ampiezza uniforme nel piano
Infatti in una regione dello spazio priva di cariche,
per cui , essendo
un vettore costante.
jkz0 e E)z(E
tetancosRan
eEeE)R(ERaj
0Rkj
0n
0E
0e Ee E)R(ERaj
0Raj
0nn
0E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 34
Ma
per cui l’equazione diventa :
ciò implica che il campo sia trasversale alla direzione di
propagazione delle onde.
,eajk
ekakakaj
ex
ax
ax
ae
Rajkn
zkykxk
zzyyxx
zkykxkxxx
Raj
n
zyx
zyxn
0e ERaj
0n
0aE 0eaEjk n0Rajk
n0n
0E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 35
Il campo magnetico associato al campo elettrico:
può essere ottenuto dalla equazione di Maxwell:
o
dove: è l’impedenza intrinseca del mezzo o
l’impedenza d’onda.
HjωE
eE)R(E Rajk n 0
RE jω
1 R H
m
A e E a
1 REa
1 R H
Rajk-0nn
n
Ω ε
μ
k
ωμη
R H
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 36
Dalla espressione trovata per il campo magnetico:
appare chiaramente come un’onda piana uniforme che si propaga in
una direzione arbitraria sia un’onda trasversale elettromagnetica
TEM con il campo elettrico e il campo magnetico
perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di
propagazione dell’onda, ossia la direzione del versore .
m
A e E a
1 REa
1 R H
Rajk-0nn
n
na
E H
na
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 37
Analogamente assumendo il campo magnetico:
in base alla equazione di Maxwell; si ottiene:
o
Dalle quali sono deducibili le stesse considerazioni fatte in base alle
espressioni del campo magnetico
eH)R(HRaj
0n
EjωH
m
V RH a jk-
j
1 RH
j
1 R E n
m
V RHa R E n
.)R(H
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 38
Polarizzazione delle onde piane
La polarizzazione di un’onda piana uniforme, caratterizza l’onda
e descrive come variano l’ampiezza e la fase del vettore
intensità campo elettrico in un dato punto dello spazio, al
variare del tempo.
Essa indica come il campo elettrico e quindi il campo
magnetico oscilla durante la propagazione dell’onda.
Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare,
circolare ed ellittica in base al fatto che l’estremità del vettore
campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la
trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su
un’ellisse.
E
EH
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 39
Polarizzazione delle onde piane
Poiché l’equazione delle onde è una equazione lineare , qualunque
sua soluzione può essere espressa come somma di altre soluzioni.
Ciò comporta che distribuzioni complesse di onde
elettromagnetiche possano essere considerate come costitute dalla
sovrapposizione di un gran numero di semplici onde piane con
differenti ampiezze, fasi e direzioni di propagazione. Ciascuna
onda può essere studiata separatamente, per poi analizzare l’onda
risultante dalla sovrapposizione delle singole onde piane.
In particolate lo studio della polarizzazione di una onda piana
sarà sviluppato considerando l’onda come la sovrapposizione
di due onde lineari.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 40
Onda polarizzata in un piano o linearmente polarizzata.
Se il vettore campo elettrico ha sempre la stessa direzione si
dice che l’onda è polarizzata in un piano o linearmente
polarizzata.
Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte
hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i
diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente
la stessa fase.
Onda polarizzata ellitticamente.
Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la
stessa frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni
dei vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si
dice essere un’onda polarizzata ellitticamente.
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 41
Se il vettore dell’onda piana è fissato nella direzione x :
dove Ex può essere positivo o negativo, l’onda è detta
polarizzata linearmente nella direzione x.
Una descrizione separata del campo magnetico non è
necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del
campo elettrico .
E
xx EaE
H
E
H
x
E
H z direzione di propagazione delle onde
y
z
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 42
In diversi casi
la direzione di dell’onda piana in un dato punto varia nel
tempo e il campo si può considerare come la sovrapposizione
di due onde lineari che si propagano nella direzione z:
1. una polarizzata nella direzione x di ampiezza E10 e
2. l’altra polarizzata nella direzione y e ritardata di 90°
(o /2 rad) nella fase temporale e di ampiezza E20.
La notazione fasoriale sarà:
dove E10 e E20 , che indicano le ampiezze delle due onde
polarizzate linearmente, sono numeri reali.
E
1 2 10 20( ) ( ) ( ) jkz jkz
x y x yE z a E z a E z a E e a jE e
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 43
L’espressione istantanea di è :
Per studiare la variazione di direzione di in un punto dato al
variare di t , è conveniente considerare il punto per il quale z = 0:
come t varia da 0 a 2 , l’estremità del vettore percorre un
luogo ellittico in senso antiorario.
E
)2
cos(a)cos(a
aa Re (z) Re),(
20y10x
2y1x
kztEkztE
ezEjzEeEtzE tjtj
1 2 10 20( ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t
)t,0(E
1 2 10 20( ) ( ) ( ) jkz jkz
x y x yE z a E z a E z a E e a jE e
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 44
Infatti uguagliando gli addendi corrispondenti, analiticamente si ha:
che porta alla seguente equazione di una ellisse:
2
10
12
20
2
10
1
E
t,0E1tcos1
E
t,0Etins
e E
t,0Etcos
1
E
t,0E
E
t,0E2
10
1
2
20
2
1 2 10 20( ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 45
Quindi il campo elettrico , ottenuto come la somma di due
onde polarizzate sia nello spazio che nel tempo, è
• polarizzato ellitticamente se E20 E10 e
• polarizzato circolarmente se E20 = E10 .
Quando E20 = E10 l’angolo istantaneo che forma con l’asse x
per z = 0 è:
ossia ruota con velocità
angolare uniforme in
senso antiorario.
E
,),0(
),0(tan
1
21 ttE
tE
E
E
y
x
0
)t,0(E
E10
E20
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 46
Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di , il
pollice indica la direzione della propagazione dell’onda.
Questa è un’onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa.
Se E2(z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E1(z):
anche in questo caso risulta ellitticamente polarizzato e se
E20 = E10 , ruota in senso orario con velocità angolare -.
Questa è un’onda polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.
E
tjEatEat0E
ejEaeEazE
20y10x
jkz
20yjkz
10x
sincos),(
e )(
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 47
×
Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa
(direzione della propagazione entrante nel foglio)
Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa
(direzione della propagazione uscente nel foglio)
Agendo sullo sfasamento di E2 rispetto a E1 si può invertire il
senso di propagazione dell’onda.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 48
Se E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel
tempo, la loro somma sarà polarizzata linearmente lungo una
linea che forma un angolo con l’asse x e
l’espressione istantanea di per z = 0 è:
L’estremità di sarà nel
punto P1 quando t = 0.
La sua ampiezza decrescerà verso
zero come t aumenta verso /2.
Quindi inizia ad aumentare
di nuovo, in direzione opposta
verso il punto P2 dove t = .
E
10
201tanE
E
E
tcosEaEa)t,0(E 20y10x
y
x 0
E10
E2
0
10
201tanE
E
P1
P2
)t,0(E
)t,0(E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 49
Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile
ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ
qualsiasi rispetto all’asse delle x, essendo:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Nel caso generale E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma
hanno ampiezza diversa E20 E10 e possono avere una differenza di
fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /2.
La loro somma sarà:
•polarizzata ellitticamente e
•gli assi principali dell’ellisse di polarizzazione non coincideranno
con gli assi delle coordinate.
E
10
201tanE
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 50
Si noti che le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di
trasmissione AM dalle loro torri di antenne sono linearmente
polarizzate con il campo perpendicolare al suolo.
Per la massima ricezione l’antenna ricevente dovrà essere parallela
al campo che è verticale alla direzione di propagazione.
I segnali televisivi al contrario, sono polarizzati linearmente nella
direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle
antenne riceventi sui tetti sono orizzontali.
Le onde FM irradiate da stazioni radio sono generalmente
polarizzate circolarmente; quindi l’orientazione di una antenna
ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale
alla direzione del segnale.
E
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 51
Polarizzazione lineare :
Si ottiene dalla composizione di
due onde in fase polarizzate
linearmente in due piani
ortogonali (x=0 e y=0). L’onda
risultante è ancora un’onda
polarizzata linearmente con
piano di vibrazione obliquo,
ovvero risulta essere obliqua sul
piano x-y quando l’onda stessa
viaggia lungo la direzione z.
Esempi di polarizzazione
θ
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 52
Polarizzazione circolare:
Si ottiene dalla composizione di
due onde sfasate di π/2,
polarizzate linearmente in due
piani ortogonali (x=0 e y=0).
L’onda risultante è un’onda
polarizzata circolarmente in
senso orario.
Si noti che le ampiezze delle due
componenti Ex e Ex sono uguali.
Esempi di polarizzazione
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 53
Polarizzazione ellittica :
Si ottiene dalla composizione di
due onde sfasate di π/2 polarizzate
linearmente in due piani
ortogonali.. L’onda risultante è
un’onda polarizzata ellitticamente
in senso orario.
In questo caso le ampiezze delle
due componenti Ex e Ex non
sono uguali.
Esempi di polarizzazione
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 54
Confronto tra
Polarizzazione ellitica
e
Polarizzazione lineare
-- onda componente polarizzata nella dir. x
-- onda componente polarizzata nella dir. y
-- onda risultante polarizzata
x
x
y
y
z
z
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 55
Proiezioni (color viola) sul piano x-y dello spostamento dell’estremo
del vettore di campo E al variare del tempo per i 3 tipi di polarizzazione
z z z
x x x
y y
y
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 56
Onde piane nei mezzi dissipativi
In un mezzo dissipativo privo di sorgenti σ ≠ 0, nelle equazioni
d’onda vettoriale omogenee di Helmholz il numero d’onda deve
essere complesso, infatti
Le onde piane in un mezzo dissipativo si studiano in maniera analoga
alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite sostituendo .
Inoltre si definisce una costante di propagazione tale che:
0EkE 0EkE2
c
222
"' :diventak jkke cc
1-m cc jkj
"c
σ Fessendo ε ε -j '
ω mj
k a kc
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 57
Poichè la costante di propagazione é un numero complesso:
l’equazione di Helmholtz diventa:
e la soluzione é un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione z.
Nella ipotesi che l’onda sia linearmente polarizzata nella direzione x:
fattore e costante di attenuazione in [Np/m]
fattore e costante di fase in [rad/m]
• equivale l’attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione
• equivale allo sfasamento dell’onda per 1 m di propagazione.
2
1
2
1
'
"1'1
jj
jjjkjj cc
0EE22
zjzx
zxxx eeEaeEaEaE 00
2222 ; cccc kkjkj
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 58
• Il Neper Np è utilizzato come unità di misura della attenuazione di una
grandezza. Si esprime come rapporto tra due valori che una grandezza assume in
due punti diversi, dove il termine a denominatore è assunto come valore di
riferimento:
Il neper è utile quando si devono confrontare valori molto diversi fra loro, poiché
sfruttando la scala logaritmica si comprime il campo di variazione della
grandezza.
• L’attenuazione di una grandezza può essere espressa in decibel dB
1
1 2
2
xNp = ln =ln x -ln x
x
20il valore corrispondente in decibel: 1Np = dB = 8.686 dB
ln10
1
10
2
2
1 1
10 10
2 2
xdB= 10 log per le potenze
x
x xdB= 10 log =20 log per le tensioni e le correnti
x x
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 59
l’attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell’onda per ogni metro
di propagazione dipendono:
• dalla pulsazione e quindi dalla frequenza della sorgente e
• dai parametri costitutivi , e e possono essere così espressi:
In particolare per i mezzi:
1. dielettrici con basse perdite
2. buoni conduttori
3. gas ionizzati
si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide per
molte applicazioni pratiche.
2
1
2
1
'
"1'1
jj
jjjj c
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 60
1. Dielettrici a basse perdite ( >> )
fase di cità velos
m
'
"
8
11
'
1u
intrinseca impedenza '2
"1
'
fase di fattore m
rad
'
"
8
11'
neattenuazio di fattore m
Np
'2
2
p
c
2
"
j
2
1
2
1
'
"1'1
jj
jjjj c
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 61
2. Buoni conduttori ( >> )
*** il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico
1 e f a aliproporzion fase di velocità
s
m
2u
*** 45 di fasecon intrinseca impedenza
1
e fcon variabilifase di fattore e neattenuazio di fattore
m
Np
p
c
jj
f
c
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 62
Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration:
essa è uguale all’inverso del fattore di attenuazione e rappresenta la
distanza lungo la quale l’ampiezza di un onda piana viaggiante diminuisce
di un fattore pari a e-1 =1/(2.71828 )=0.3679 (≈ 37%)
Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in un
mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto
rapidamente, essendo sia f che valori molto grandi.
In particolare alle frequenze delle microonde ( 300MHz ÷300GHz) la skin
depth di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti
possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della
superficie del conduttore.
m π2
λ
πfμσ
1
α
1δ
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 63
skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori
confrontata con quella dell’acqua
δ [mm] .
Materiale [S/m] f = 60Hz f=1 MHz f=1GHz
argento 6.17 107 8.27 [mm] 0.064 [mm] 0.0020 [mm]
rame 5.80 107 8.53 0.066 0.0021
oro 4.10 107 10.14 0.079 0.0025
alluminio 3.54 107 10.92 0.084 0.0027
ferro 1.00 107 0.65 0.005 0.00016
acqua di mare 4 32 [m] 0 .25 [m]
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 64
3. Gas ionizzati
Nello strato della atmosfera terrestre, con una quota compresa tra 50
e 500 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati o Plasmi che
costituiscono la ionosfera.
L'atmosfera terrestre è l'involucro di gas
(termine generico aria) che riveste il
pianeta Terra, principalmente: • azoto (N2),
•ossigeno (O2)
•argon,
•anidride carbonica e
•tracce di altri elementi.
Possiede una struttura complessa e
suddivisa in più strati, con caratteristiche
differenti (densità, temperatura, proprietà
chimiche, spessori etc..).
Trasmissione delle onde nella ionosfera
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 65
Ionosfera
1 miglia=1,60934km
La ionosfera è ulteriormente divisa in strati (D, E, F1, F2) per evidenziare le
diverse proprietà elettriche, dovute:
• alle variazioni della composizione e
• dell'intensità di radiazione solare ricevuta.
D= 40 ÷ 88.5 km
E=88.5 ÷144.8 km
F1=152÷250 km
F2 = 300 ÷400 km
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 66
Gas ionizzati
Gli strati più alti della dell’ionosfera, la radiazione solare è molto
forte ma ci sono pochi atomi con i quali interagire, quindi la
ionizzazione è minima.
Come la quota diminuisce, aumenta sensibilmente il numero di atomi
di gas e il processo di ionizzazione aumenta.
Contemporaneamente inizia a verificasi un processo chiamato
ricombinazione; un elettrone libero è "catturato" da uno ione
positivo se si muove abbastanza vicino ad esso.
A bassa quota, all'aumentare della densità del gas, il processo di
ricombinazione aumenta in quanto le molecole di gas e ioni sono più
vicini. Il punto di equilibrio tra questi due processi determina il
grado di "ionizzazione" presente in un dato momento a una certa
quota.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 67
Gas ionizzati
Lo strato F ( F1 e F2) presenta una densità elettronica superiore a
10.000 volte a quella dello strato D.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 68
Le radiazione solari ultraviolette*** proveniente dal sole investono
gli atomi e le molecole di ossigeno della parte superiore della
ionosfera, dove la densità è più alta, rispetto agli strati superiori.
Quindi gli atomi e le molecole assorbono parte della energia associata
alla radiazione solare e ciò comporta la produzione di un elettrone
libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). I gas ionizzati, con
uguale densità di elettroni e ioni, sono chiamati plasmi, quindi: la
ionosfera si può considerare in gran parte costituita da un plasma.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
*** La radiazione solare è l’energia radiante emessa nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire
dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a
varie frequenze o lunghezze d’onda, le quali si propagano poi nello spazio alle velocità tipiche di queste onde.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 69
Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti
è molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere,
anche se per brevi periodi di tempo, prima di essere “catturati”
da uno ione positivo vicino, formando nuovamente un l’atomo
neutro, che a sua volta, assorbe radiazione solare e il processo
si ripete.
Per tutta la durata di un giorno (nel lato della terra investito
dalle radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita:
• da elettroni liberi e ioni positivi e
• in minore quantità, da molecole del gas (atomi di ossigeno
neutri)
con percentuali dei componenti che variano con la quota degli
strati e durante l’arco della giornata.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 70
Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo
magnetico terrestre.
L’altezza e le caratteristiche degli strati ionizzati dipendono
• dalla natura della radiazione solare ( energia radiante) e
• dalla composizione della ionosfera.
Gli strati della ionosfera variano con il ciclo di sunspot, la
stagione e l’ora del giorno e i paralleli terrestri in modo molto
complicato.
Per ciascuno strato ionizzato la densità degli elettroni e la
densità degli ioni è essenzialmente uguale.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 71
Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono
più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche
che attraversano la ionosfera.
La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle
onde elettromagnetiche e influisce sulla telecomunicazione.
Per comprendere e valutare qualitativamente l’entità di questa
influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi
semplificative
• movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore
a quello degli elettroni),
• ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi e
• si trascurano le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole
del gas
• si ipotizza un campo elettrico armonico con pulsazione . E
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 72
Frequenza del plasma o frequenza di taglio
Su un singolo elettrone di carica -e e massa m in un campo
elettrico armonico nel tempo agente nella direzione x con
frequenza angolare , agisce una forza di campo:
F=qE= –eE,
che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che:
da cui ricava lo spostamento :
dove e sono fasori.
E
armonici campi iper - e
2
2
2
2
2
2
dt
dj
dt
d
xmdt
xdmEeamF
Em
ex
2
E x
E
x ione +
-e
x
x
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 73
La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x
fa nascere un momento di dipolo elettrico:
Se N è il numero di elettroni per unita di volume , la densità
volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di
polarizzazione è:
Nella precedente equazione è stato trascurato implicitamente
l’effetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli
altri elettroni.
Em
NepNP
2
2
E
m
eexep
2
P
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 74
In base alle leggi dell’elettrostatica, dalla conoscenza del vettore di
polarizzazione si ottiene la relazione costitutiva che lega a
nel plasma:
s
rad
1
con
11
0
2
2
2
2
2
0
0
2
2
00
del plasma angolare pulsazionem
eN
plasmadeltatà assolupermettivi
ED
EEEm
NePED
p
p
p
p
p
p
Em
NepNP
2
2
D EP
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 75
Dalla pulsazione ωp si definisce la frequenza del plasma :
e la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta :
da cui si ottiene la costante di propagazione:
e l’impedenza intrinseca: dove
2
0
1 f Hz
2 2
pp
N e
m
m
F 11
2
2
02
2
0f
f pp
p
2
0 1
f
fjj
p
pp
2
0
1
f
f p
p
120
0
00
0
2
m
eNp
)( fp
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 76
Dalla espressione di εp si vede come
per f fp , la permettività equivalente εp 0.
Quando la permettività diventa nulla εp ( fp=f ), lo spostamento
elettrico (che dipende solo dalle cariche libere è nullo, anche
quando l’intensità del campo elettrico (che dipende sia dalle
cariche libere che dalla polarizzazione) non lo è.
In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico
oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo
una cosi detta oscillazione di plasma.
D
E
2
2
02
2
00 1 essendo 1f
fEDE
f
fPED
p
pp
p
E
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 77
Quando f < fp : l’argomento sotto radice è negativo e quindi
• diventa puramente reale =α e β =0, ciò comporta una attenuazione senza
propagazione ; contemporaneamente
•p diventa puramente immaginario indicando una carico reattivo per cui non si
verifica trasmissione di potenza attiva.: il segnale viene riflesso.
Perciò fp é anche indicata come frequenza di taglio.
Quando f > fp : l’argomento sotto radice è positivo e quindi
• é puramente immaginario reale =j β , e le onde elettromagnetiche si
propagano sfasate senza attenuazione nel plasma essendo α=0 (nella ipotesi
di perdite di collisione trascurabili). La riflessione si verifica con angolo di
incidenza, che dipende dalla frequenza.
.
2
0p 1γnepropagazio di costante
f
fjj
p
p
2
0
1
intrinseca impedenza
f
f p
p
2
0
1 f Hz
2 2
pp
N e
m
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 78
Se si sostituisce l’espressione di ωp in funzione dei valori numerici di e, m
e 0 nella espressione della fp, si ottiene una formula molto semplice per
esprimere la frequenza di taglio del plasma:
Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla trasmissione delle
onde attraverso la ionosfera.
Poichè la densità elettronica della ionosfera N (N espressa come n° di
elettroni per unita di volume ) varia da:
N=1010/m3 ( stati inferiori) ÷ 1012/m3 ( stati superiori)
104/cm3 ( stati inferiori) ÷ 106/cm3( stati superiori)
Per cui fp varia da 0.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di
ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio e
maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N.
2
0
1 9 Hz
2 2
pp
N ef N
m
0
2
m
eNp
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 79
Quindi se fp =0.9 ÷ 9 MHz , dovendo essere f > fp , per la
comunicazione con un satellite o una stazione spaziale oltre la
ionosfera, si devono usare frequenze superiori a 9 MHz.
Occorre lavorare con frequenze superiori a 9 MHz, per assicurare la
penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di elettroni
per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di incidenza.
La situazione reale è più complessa
• Perché gli strati della ionosfera sono caratterizzati da densità
elettronica N variabile da punto a punto e
• per presenza del campo magnetico terrestre, che agiste
differentemente da punto a punto della spazio.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 80
Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei
segnali nella ionosfera sono :
• I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la ionosfera
• I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente
negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove
N é più grande.
• I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare
nello strato più basso della ionosfera, ma saranno riflessi e potranno
propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di riflessioni
multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie della terra.
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 81
Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei
segnali nella ionosfera sono:
f > 9 MHz
f < 9 MHz
f = 0.9 ÷ 9 MHz
M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 82
Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si
utilizzano frequenze alte legate alle condizioni della ionosfera
nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione , dal
l’ora del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che
dipendono dalle sunspots.
Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura
acurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo
militare.
La frequenza di taglio fp
• può raggiungere 50 MHz a mezzogiorno e nell'immediato
pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie
solari (sunspots),
• può diminuire a 10 MHz nelle prime ore del mattino e
• diminuire sino a a 2 MHz durante la notte.
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