eletromagnetismo i prof. dr. cláudio s. sartori ... · eletromagnetismo i – prof. dr. cláudio...
Post on 17-Dec-2018
240 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 1
1
Lei de Gauss
A Lei de Gauss: Para compreendermos a Lei de Gauss, precisamos entender o significado de fluxo elétrico. A Lei de Gauss está centralizada no que chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana. Esta superfície pode ser formada com a forma que quisermos, porém é adequada aquela que apresentar as devidas simetrias que o problema se apresenta. Por exemplo, uma carga pontual possui linhas de força distribuídas esfericamente; então a superfície gaussiana mais adequada é uma esférica.
Fluxo: Definimos como fluxo de um vetor v através de uma superfície de área A o produto:
θcos. vAAv ==Ψ Ou seja, se pega a componente paralela do vetor v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se pela área A. Para definirmos o fluxo de um campo elétrico, consideramos uma área A que representa uma superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de campo elétrico. Definimos por:
iS
QSdD =⋅= ∫∫ψ
Ou 0εi
S
QSdE =⋅∫∫
ED 0ε= (Para o espaço livre).
Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana.
O círculo na integração representa que a integral deve ser feita sobre a superfície gaussiana fechada.
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada com uma distribuição de cargas que estão envolvidas por essa superfície:
∫ =0
. εqAdE
Note que a carga q é a soma de todas as cargas, positivas e negativas, interiores à superfície gaussiana. A Lei de Gauss permite provar um importante teorema sobre condutores isolados: Se um excesso de carga é colocado em um condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se encontrar no interior do corpo de um condutor.
Teorema da Divergência (Teorema Gauss):
Seja
zzyyxx azyxFazyxFazyxFF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++= Seja S uma superfície contida numa região B, na qual as derivadas parciais de Fx, Fy e Fz são contínuas e V uma região limitada por B. Se a é um vetor normal exterior à S, então:
nˆ
dVFdSaFVS
n ∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ ˆ
ou
dVFSdFVS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅
Aplicando o Teorema de Gauss:
dVDSdDVS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅
Como, da Lei de Gauss:
iS
QSdD =⋅= ∫∫ψ
E para uma distribuição volumétrica de carga: dVQ
Vvi ∫∫∫= ρ
Observe que:
dVdVDSdDv
vVS
∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅∇=⋅ ρ
vD ρ=⋅∇ Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga puntiforme: Imagine um superfície esférica que englobe uma carga pontual q. Então:
2412
000
4.rqErE
QSdE qi
Sπεεπ
ε=→=⇒=⋅∫∫
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 2
2
Lei de Gauss
Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o campo elétrico de uma carga puntiforme.
Exemplo 2 - Campo de um condutor plano infinito de densidade de carga superficial rs:
Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo
do campo de um plano carregado. Escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica, a carga q está na superfície do condutor: Note que o campo elétrico possui sentido divergente. Então, aplicando a Lei de Gauss:
0)).((. ε
q
S
AEAESdE =−−+=⋅∫∫
02ερ SE =
Exemplo 3 - Campo elétrico de um fio infinito de densidade de carga linear Lρ . Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é um cilindro de raio r qualquer:
Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo o fio com densidade de carga linear.λ=rL.
r L
ρρ
πεερπρ
εLL ELE
QSdE Li
S00 2
1
0
2 =⇒=⇒=⋅∫∫
Exemplo 4 - Esfera condutora de raio R carregada com carga elétrica Q na superfície: No seu interior o campo é nulo; para r > R podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana engloba uma carga elétrica puntiforme Q:
Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo uma casca esférica de raio R
Er R
Qr
r R=<
≥
⎧⎨⎪
⎩⎪
01
4 20
, se
se πε
Exemplo 5 - Distribuição esférica de raio R de carga elétrica Q com densidade volumétrica rv: Devemos imaginar duas superfícies gaussianas, de raios r > R e r < R:
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 3
3
Lei de Gauss
Se r R E dA E r r E rq< ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ . . /ερεπ ρ π ε
0 04 2 4
33
0 3
Se r R E dA E r ERr
q R> ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ . .ερε
ρεπ
π
0
43
3
0 04 2
3
3
2
Figura 6 – Superfícies Gaussianas esférica envolvendo uma distribuição volumétrica de carga de raios r > R (a) e r < R (b): Figura 7 – Superfícies Gaussianas para diferentes situações:
(a) Fio.
(b) Plano carregado. (c) Plano carregado de um lado.
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 4
4
Lei de Gauss
(d) Capacitor de placas paralelas com
densidades iguais e diferentes nas placas.
Exemplo 6 – (e 3.1 – Hayt pg. 34) Dada uma carga pontual de 60µC, localizada na origem, determine o fluxo elétrico total que passa através:
(a) da porção de uma esfera limitada de r = 26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.
(b) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm. (c) do plano z = 26 cm. Solução:
iS
QSdD =⋅= ∫∫ψ
Ou 0εi
S
QSdE =⋅∫∫
(a) da porção de uma esfera limitada de r = 26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.
2 2
22
0 0
ˆ4 r r
S
QD dS a r sen d d ar
π π
ψ θ θ φπ
= ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
2 2
0 04Q sen d d
π π
ψ θ θ φπ
= ∫ ∫
2 20 0[ cos ] [ ]
4Q π π
ψ θ φπ
= −
2 2[ cos ( cos 0)][ 0]4Q π πψπ
= − − − −
260 7,5
4 8 8Q Q Cπψ µ µπ
= = = =
(b) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm.
i s
L T Ti s
L T TS S S S
D dS D dS D dS D dSψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
ˆLdS d dzaρρ φ=
ˆsT zdS d d aρ ρ φ=
( )ˆiT zdS d d aρ ρ φ= −
2ˆ
4 rQD a
rπ=
2
2
2
20
ˆ ˆ4
L
LL
L rS
QD dS a d dzar
π
ρρ φπ
+
−
⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
2
2
2
20
ˆ ˆ4
L
LL
L rS
QD dS a a d dzr
π
ρρ φ
π
+
−
⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 5
5
ˆa sen a sen sen a a
Lei de Gauss
ˆ ˆ ˆcos cosr x y z [ ]( )
22 2
3 20 2 2 2sec
4L
L
LS L
QD dS dtg
π ρφ ρ θ θπ ρ θ ρ
+
−
⋅ =+
∫∫ ∫θ φ θ φ θ= + +
a
ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= + 2 2ˆ ˆ cosra a sen sen senρ θ φ θ⋅ = + φ
( )2 2ˆ ˆ cosra a sen senρ θ φ φ⋅ = +
ˆ ˆra a senρ θ⋅ = Observe da figura que: z ρ z θ r r y φ ρ x
senrρθ =
2 2r x y z= + + 2
2 2x yρ = +
2 2r zρ= + Então:
ˆ ˆra arρρ
⋅ =
Substituindo, teremos: 2
2
2
204
L
LL
LS
QD dS d dzr r
π ρ ρ φπ
+
−
⋅ =∫∫ ∫ ∫
2
2
2 2
304
L
LL
LS
QD dS d dzr
π ρ φπ
+
−
⋅ =∫∫ ∫ ∫
2 2
304
L
L
LS L
QD dS d dzr
π ρφπ
+
−
⋅ =∫∫ ∫ ∫
( )2 2
3 22 204
L
L
LS L
QD dS d dzz
π ρφπ ρ
+
−
⋅ =+
∫∫ ∫ ∫
Chamando: 2secz tg dz dρ θ ρ= ⇔ = θ θ
( )3
23 23 2
2 s4 1L
L
LS L
QD dS dtg
ρ ecπ θ θπ ρ θ
+
−
⋅ =+
∫∫ ∫
23
12 sec4 sec
L
L
LS L
QD dS dπ θ θπ θ
+
−
⋅ =∫∫ ∫
12 sec
L
L
LS L
QD dS dθθ
+
−
⋅ =∫∫ ∫
cos2
L
L
LS L
QD dS dθ θ+
−
⋅ =∫∫ ∫
4L
LS
QD dS senθπ
⋅ =∫∫
Como: 2 21
tg zsentg z 2
θθθ ρ
= =+ +
0.26
2 20.26
2L
z
LS z
Q zD dSz ρ
=
=−
⋅ =+
∫∫
2 2 2 2
0.26 0.262 0.26 0.26 0.26 0.26L
LS
QD dS⎛ ⎞−
⋅ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫∫ 0.26 0.26
2 0.26 2 0.26 2L
LS
QD dS ⎛ ⎞⋅ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫
22 2
L
LS
QD dS⋅ =∫∫
2L
LS
QD dS⋅ =∫∫
2
20 0
1 ˆ ˆ4s
Ts
R
T r zS
QD dS a a d dr
π
ρ ρ φπ
⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
Observe da figura que:
ˆ ˆ cosr zza ar
θ⋅ = =
2
20 0
14s
Ts
R
TS
Q zD dS d dr r
π
ρ ρ φπ
⋅ =∫∫ ∫ ∫
( )2
3 22 20 04s
Ts
R
TS
Q zD dS d dz
π ρ ρ φπ ρ
⋅ =+
∫∫ ∫ ∫
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 6
6
Lei de Gauss
( )2
3 22 20 04s
Ts
R
TS
Q zD dS d dz
π ρφ ρπ ρ
⋅ =+
∫∫ ∫ ∫
Chamando de
2 2 2
2
u z dudud
dρ ρ ρ
ρ ρ
= + ⇔ =
=
( )23 22
0
24s
Ts
R du
TS
zQD dSu
ππ
⋅ =∫∫ ∫
32
04s
Ts
R
TS
QD dS z u du−⋅ =∫∫ ∫
3 12
34 12
s
Ts
TS
Q uD dS z− +
⋅ =− +
∫∫
12
142
s
Ts
TS
Q uD dS z−
⋅ =−
∫∫
124s
Ts
TS
QD dS zu−
⋅ =∫∫
0.26
2 20
12s
Ts
TS
QD dS zz
ρ
ρρ
=
=
⎡ ⎤⋅ = − ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
2 2 2
1 10.262 0.26 0.26 0.26 0s
Ts
TS
QD dS⎡ ⎤
⋅ =− −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
∫∫ 2
1 10.262 0.260.26 2s
Ts
TS
QD dS ⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
0.26 1 12 0.26 2s
Ts
TS
QD dS ⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
112 2s
Ts
TS
QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
112 2s
Ts
TS
QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
O fluxo na tampa inferior é calculado de
maneira análoga, fornecendo o resultado:
112 2i
Ti
TS
QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
i s
L T Ti s
L T TS S S S
D dS D dS D dS D dSψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
12 122 2S
Q QD dSψ ⎡ ⎤= ⋅ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
2 2S
Q QD dS Qψ = ⋅ = + −∫∫
S
D dS Qψ = ⋅ =∫∫
60
S
D dS Cψ µ= ⋅ =∫∫
(c) do plano z = 26 cm. Pela simetria do problema:
2S
QD dSψ = ⋅ =∫∫
30
S
D dS Cψ µ= ⋅ =∫∫
Ou:
2ˆ ˆ
4 r zS
QD dS a a dxdyr
ψπ
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
24S
Q zD dS dxdyr r
ψπ
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ =∫∫ ∫ ∫
( )3 22 2 2
14S
QzD dS dxdyx y z
ψπ
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ =+ +
∫∫ ∫ ∫
Exemplo 7 – (e 3.2 – Hayt pg. 34) Calcule D em coordenadas retangulares no
ponto P (2, -3, 6) produzido por: (a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3,
-6). (b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20
mC/m no eixo x. (c) uma densidade superficial de carga de ρSC
= 120 µC/m2 no plano z = -5m. Solução:
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 7
7
Lei de Gauss
(a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3, -6).
2
ˆ4
A R
P A
Q aDr rπ
=′−
ˆ ˆ2 3 6 ˆA x yr a a′ = − + − za
ˆza
ˆ ˆ2 3 6P x yr a a= − +
ˆ PR
P P
r rar r
′−=
′−
ˆ ˆ ˆ4 6 12 4 6 12ˆ ˆ14 14 14ˆ ˆ ˆ4 6 12
x y zR x
x y z
a a aa a
a a a− +
= = −− +
ˆ ˆy za a+
2
55 4 6 12ˆ ˆ ˆ4 14 14 14 14x y z
mD a a aπ
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2ˆ ˆ ˆ6.38 9.57 19.14 Cx y z m
D a a a µ= − +
(b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 mC/m no eixo x.
ˆ2
L aD ρρ
π ρ=
( )2 23 6 4ρ = − + = 5
3 6ˆ ˆ3 5 3 5y za aρ = − + a
3 6ˆ ˆ20 3 5 3 52 3 5
y za amDπ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦=
20 3 6ˆ ˆ2 45 45y z
mD aπ
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦a
2ˆ ˆ212 424y zCD a a
mµ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(c) uma densidade superficial de carga de ρSC = 120 µC/m2 no plano z = -5m.
ˆ2
SND aρ
=
120 ˆ2 ZD aµ
=
( )2ˆ60 CZ m
D a µ=
Exemplo 8 – (e 3.3 – Hayt pg. 36)
Dada a densidade de fluxo elétrico D =0,3r2ar nC/m2 no espaço livre:
(a) determine E no ponto P(r = 2, θ =25°,φ = 90°). (b) determine a carga total dentro da esfera r =
3. (c) determine o fluxo elétrico total que deixa a
esfera r = 4. Solução:
(a) 0
1E Dε
=
2
0
1 ˆ0.3 rE nr aε
=
9 212
1 ˆ0.3 10 28.85 10 rE a−
−= ⋅⋅
⋅
( )ˆ135,5 Vr mE a=
(b) S
Q D dS= Ψ = ⋅∫∫
2 2ˆ0.3 rS
Q nr a r sen d dθ θ φ= Ψ = ⋅∫∫
24
0 0
0.3Q nr sen d dπ π
θ θ φ= ∫ ∫
40.3 3 4Q n π= 305Q n= C
(c) S
D dSΨ = ⋅∫∫
2 2ˆ0.3 rS
nr a r sen d dθ θ φΨ = ⋅∫∫
40.3 4 4n πΨ = 965.09nCΨ =
Exemplo 9 – (e 3.3 – Hayt pg. 36) Calcule o fluxo elétrico total deixando uma
superfície cúbica formada por seis planos x, y, z = ±5, se a distribuição de cargas é:
(a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 µC em (1,-2,3) e outra de 1
7 Cµ em (-1, 2, -2); (b) uma linha de cargas uniforme de πµC/m
em x = -2, y = 3; (c) uma superfície de cargas uniforme de
0,1µC/m2 no plano y = 3x. Solução:
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 8
8
Lei de Gauss
(a) 1 2S
D dS Q QΨ = ⋅ = +∫∫17
1,70,17
µ µ µΨ = + =
0, 243 CµΨ = (b) i
S
D dS QΨ = ⋅ =∫∫ z -2 d 3 y x O comprimento da linha que está dentro do
cubo possui uma carga de:
LS
D dS dρΨ = ⋅ =∫∫
10πµΨ = 31, 4 CµΨ =
(c) uma superfície de cargas uniforme de
0,1µC/m2 no plano y = 3x.
A interseção do cubo de lado 10 com o plano
dá um retângulo, de dimensões: d/2 y=5 x=5/3 5 5/3 x
2 22 5 25 25
2 3d⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠5
9
2 225 25 2504 9
d += =
9
4 2509
d ⋅=
10 103
d =
A Carga interna ao cubo será: 2i s sQ S d lρ ρ= = ⋅ ⋅
10 10 10 100,1 2 53 3iQ µ µ= ⋅ ⋅ ⋅ =
10,54iQ CµΨ = =
Exemplo 10 – (e 3.5 – Hayt pg. 39) Uma carga pontual de 0,25µC está localizada
em r=0, e duas densidades superficiais de cargas uniformes estão localizadas como se segue: uma de 2mC/m2 em r = 1cm e outra de -0,6 mC/m2 em r = 1,8 cm. Calcule D em:
(a) r = 0,5 cm. (b) r = 1,5 cm. (c) r = 2,5 cm. (d) Que densidade superficial de carga
uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm?
Solução: (a) r = 0,5 cm
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 9
9
Lei de Gauss
2ˆ
4 rQD a
rπ=
( )22
0, 25 ˆ4 0,5 10
rD aµ
π −=
⋅
( )2ˆ796 Cr m
D a µ=
(b) r = 1,5 cm
2 2ˆ ˆ4 4
sr r
s
QQD ar rπ π
= + a
1
21
2 2
4ˆ ˆ
4 4s
r r
rQD a ar r
ρ ππ π
= +
( )( )
( )
22
2 22 2
2 4 1,0 100,25 ˆ ˆ4 1,5 10 4 1,5 10
r r
mD a
πµ
π π
−
− −
⋅ ⋅= +
⋅ ⋅6 6ˆ ˆ88, 4 10 888,88 10r r
a
D a a− −= ⋅ + ⋅
( )2ˆ977,3 Cr m
D a µ=
(c) r = 2,5 cm.
1 1
2 21 2
2 2 2
4 4ˆ ˆ ˆ
4 4 4s s
r r
r rQrD a a a
r r rρ π ρ π
π π π= + +
( )( )
( )( )
( )
2 22 2
2 22 2
2 4 1,0 10 0,6 4 1,8 100, 25 ˆ ˆ4 2,5 10 4 2,5 10 4 2,5 10
r r
m mD a a
π πµ
π π π
− −
− − −
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= + +
⋅ ⋅ ⋅22
ˆra
ˆra
ˆ ˆ31,83 320 311,04r rD a aµ µ µ= + −
( )2ˆ40,79 Cr m
D a µ=
(d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm?
1 1
2 2 21 2
2 2 2
4 4 4ˆ ˆ ˆ4 4 4 4
s s s sr r r
r r rQ2 ˆrD a a a
r r r rρ π ρ π ρ π a
π π π π= + + +
3 2 2
2 2 2 2
2 10 4 (1,0 10 )ˆ ˆ4 (3,5 10 ) 4 (3,5 10 )r r
QD a aππ π
− −
− −
⋅ ⋅ ⋅= +
⋅ ⋅2 23 2 2
2 2 2 2
4 (3 10 )0,6 10 4 (1,8 10 ) ˆ ˆ 04 (3,5 10 ) 4 (3,5 10 )
sr ra aρ ππ
π π
−− −
− −
⋅− ⋅ ⋅ ⋅+ + =
⋅ ⋅ˆ ˆ16,24 163,265r rD a aµ µ= +
ˆ ˆ158,69 0,7346 0r sa aµ ρ− + r =
( )228,33 Cs m
µρ = −
Exemplo 11 – (e 3.6 – Hayt pg. 41) No espaço livre,
( )24 2 4 2 3ˆ ˆ ˆ8 4 16 pC
x y z mD xyz a x z a x yz a= + + .
(a) Determine o fluxo elétrico total que atravessa a superfície retangular
z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az; (b) Determine E em P(2, -1, 3); (c) Determine um valor aproximado para a
carga total contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3.
Solução: (a) Fluxo elétrico total que atravessa a
superfície retangular z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az;
ˆzdS dxdya=
S
D dSΨ = ⋅∫∫
2 316D dS x yz dxdy⋅ = 2 3
2 3 2 3
0 1
16 16S
x yz dxdy x yz dydxΨ = =∫∫ ∫ ∫
2 33 2
0 1
16z x dx ydyΨ = ∫ ∫
2 33 23
20 1
163 2zx yz =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 2 22 3 116 83 2 2⎡ ⎤
Ψ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
32 9 11283 2 2⎡ ⎤Ψ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
1365,33pCΨ = (b) Determine E em P(2, -1, 3);
( )2
4 2 4 2 3
0 0
ˆ ˆ ˆ8 4 16x y z pCm
xyz a x z a x yz aDEε ε
+ += =
( ) ( )2 34 2 4
0
16 2 1 38 2 ( 1)3 4 2 3ˆ ˆ ˆ8,85 8,85 8,85
Nx y C
DE a aε
⋅ −⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = + + za
( )ˆ ˆ ˆ146,44 146, 44 195, 25 Nx y z CE a a a= − + −
(c) Determine um valor aproximado para a
carga total contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3.
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 10
10
Lei de Gauss
v vV
QQ dV DV
ρ ρ= ⇔∇⋅ = ≅∆∫∫∫
Q V= ∆ ⋅∇ ⋅D
( )24 2 4 2 3ˆ ˆ ˆ8 4 16 pC
x y z mD xyz a x z a x yz a= + +
( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 38 4 16D xyz x z x yz px y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
4 28 0 48D yz p x yz p∇⋅ = + + 2
( )( )4 2 28( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10D −∇ ⋅ = − + + ⋅ −
( )12
( )4 2 28( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10D −∇ ⋅ = − + + ⋅ − 12
212,376 10Q V D C−= ∆ ⋅∇ ⋅ = − ⋅ Exemplo 12 – (e 3.7 – Hayt pg. 42) Para cada um dos seguintes itens, determine
um valor numérico para div D no ponto especificado:
(a) ( ) ( ) ( )22 2 2ˆ ˆ2 2 C
x y mD xyz y a x z xy a x ya= − + − + ˆz em
PA(2, 3, -1).
(b) ( )22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 C
z mD z sen a z sen a zsen aρ φρ φ ρ φ ρ φ= + +
em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1).
(c) ( )2ˆ ˆ2 cos cos cos Cr m
D rsen a r a rsen aθ φθ φ θ φ φ= + − ˆ em
PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).
Solução:
(a) ( ) ( ) ( )22 2 2ˆ ˆ2 2 C
x y mD xyz y a x z xy a x ya= − + − + ˆz em
PA(2, 3, -1). Em coordenadas cartesianas:
yx zDD DD
x y z∂∂ ∂
∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )2 2 22 2xyz y x z xy x yD
x y z∂ − ∂ − ∂
∇⋅ = + +∂ ∂
2 2 0D yz x∇⋅ = − +
∂
( )(2, 3, -1) 2 3 1 2 2D∇ ⋅ = ⋅ ⋅ − − ⋅
( )3(2, 3, -1) 10 Cm
D∇⋅ = −
(b) ( )22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 C
z mD z sen a z sen a zsen aρ φρ φ ρ φ ρ φ= + +
em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1).
( )z
DDDD z
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇φρ
ρρρ
φρ
11
( ) ( ) ( )2 22 2
2 21 12z sen zsen
D z senz
2ρ φ ρρ ρ φ
ρ ρ ρ φ
∂ ∂∂∇⋅ = + +
∂ ∂
φ
∂
( ) ( ) ( )2 2 22 222 2 2sen zz sen zD sen
zφφ ρρ ρ
ρ ρ ρ φ∂ ∂∂
∇⋅ = + + φ∂ ∂ ∂
2 22 2 22 2 2cos2 2 1z senD z senφ ρ φ ρ φ
ρ∇⋅ = + + ⋅
2 2 2 2 24 2 cos2 2D z sen z senφ φ ρ φ∇⋅ = + +
( )2 2( 2, 110 , -1) 4 1 110ºD z senρ φ∇⋅ = = ° = = − +
( ) ( )2 2 22 1 cos 2 110 2 2 110sen− ⋅ ° + ⋅ °
( )2 2( 2, 110 , -1) 4 1 110ºD z senρ φ∇⋅ = = ° = = − +
( ) ( )2 2 22 1 cos 2 110 2 2 110sen− ⋅ ° + ⋅ °
( )3( 2, 110 , -1) 9.06 Cm
D zρ φ∇⋅ = = ° = =
(c) ( )2ˆ ˆ ˆ2 cos cos cos Cr m
rsen a r a rsen aθ φθ φ θ φ φ= + −D em
PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).
( ) ( )22
1 1 1r
Dsen DD r D
r r rsen rsenφθθ
θ θ θ φ∂∂∂
∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
( ) ( )22
cos cos1 12 cossen r
D r rsenr r rsen
θ θ φθ φ
θ θ∂∂
∇⋅ = + +∂ ∂
( )1 rsenrsen
φθ φ∂ −
∂
( )32
22 cos cos 2
sensen rD r
r r rsen
θθ φ φ
θ θ
⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∇⋅ = + +∂ ∂
( )senrrsen
φθ φ∂−∂
22
2 cos cos 2cos232
sen rD rr rsenθ φ φ θ
θ⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
1 cossen
φθ
−
cos cos2 cos6 cosD sensen senφ θ φθ φ
θ θ∇⋅ = + −
26 cos cos2 cos cossenDsen
θ φ θ φθ
+ −∇⋅ =
φ
( )2 2 26 cos cos cos cossen senD
senθ φ θ θ φ
θ
+ − −∇⋅ =
φ
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 11
11
Lei de Gauss
2 2 26 cos cos cos cos cossen senDsen
θ φ θ φ θ φθ
+ − −∇⋅ =
(
φ
)2 2 26 cos 1 cos cos cossen sen senD
senθ φ θ φ θ φ
θ
+ − − −∇⋅ =
φ
2 2 26 cos cos cos cos cossen sen senDsen
θ φ φ θ φ θ φθ
+ − − −∇⋅ =
φ
24 cossenDsenθ φθ
∇⋅ =
4 cosD senθ φ∇⋅ =
4 30 cos50D sen∇⋅ = ° ° 14 0.64272
D∇⋅ =
( )31,28 Cm
D∇⋅ =
Exemplo 13– (e 3.8 – Hayt pg. 41) Determine a expressão para a densidade
volumétrica de carga associada com cada campo D a seguir:
(a) ( )2
2 2
2
4 4 2ˆ ˆ ˆ Cx y z m
xy x x yD a a az z z
= + + .
(b) ( )2ˆ ˆ ˆcos Cz m
D zsen a z a sen aρ φφ φ ρ φ= + +
(c) ( )2ˆ ˆ ˆcos cos Cr m
D sen sen a sen a aθ φθ φ θ φ φ= + +
Solução:
(a) ( )2
2 2
2
4 4 2ˆ ˆ ˆ Cx y z m
xy x x yD a a az z z
= + + .
Em coordenadas cartesianas:
yx zv
DD DDx y z
ρ∂∂ ∂
= ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
2 2
2
4 4 2xy x xDx z y z z z
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ ⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
y ⎞⎟⎠
2
3
4 40y x yDz z
∇⋅ = + −
2 2
3
4 4v
yz x yDz
ρ −= ∇⋅ =
( )( )32 2
3
4(2, 3, -1) Cm
yD z xz
∇⋅ = −
(b) ( )2ˆ ˆ ˆcos Cz m
D zsen a z a sen aρ φφ φ ρ φ= + + .
( )1 1 zv
D DD Dz
φρρ ρ
ρ ρ ρ φ∂ ∂∂
= ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )cos1 1 z senD zsen
zφ ρ φ
ρ φρ ρ ρ φ
∂ ∂∂∇⋅ = + +
∂ ∂ ∂
( ) ( )cos0zsen zD
φφ ρρ ρ ρ φ
∂∂∇⋅ = + +
∂ ∂
zsen zsenD φ φρ ρ
∇⋅ = −
( )30 Cv m
Dρ =∇⋅ =
(c) ( )2ˆ ˆ ˆcos cos Cr m
D sen sen a sen a aθ φθ φ θ φ φ= + + .
( ) ( )22
1 1 1r
Dsen DD r D
r r rsen rsenφθθ
θ θ θ φ∂∂∂
∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
( ) ( )22
cos1 1 sen senD r sen sen
r r rsenθ θ φ
θ φθ θ∂∂
∇⋅ = + +∂ ∂
( )cos1rsen
φθ φ∂∂
( )22
22
sensen sen senD r
r r rsen
θθ φ φ
θ θ
⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∇⋅ = + +∂ ∂
( )cos1rsen
φθ φ∂∂
2
2cos222
sen sen senD rr rsenθ φ φ θ
θ⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1 senrsen
φθ
−
2 cos2sen sen sen senDr rsen rsenθ φ φ θ φ
θ θ∇⋅ = + −
( )2 22 cos2 sen sensen sen senDrsen rsen rsen
φ θ θθ φ φθ θ θ
−∇⋅ = + −
( )22 1 22 sen sensen sen senDrsen rsen rsen
φ θθ φ φθ θ θ
−∇⋅ = + −
2 22 2sen sen sen sen sen senDrsen rsen rsenθ φ φ θ φ φθ θ θ
−∇⋅ = + −
( )30 Cv m
Dρ =∇⋅ =
Exemplo 13– (e 3.9 – Hayt pg. 45) Dado o campo: ( )2
1 12 2ˆ ˆ6 1,5 cos C
mD sen a aρ φρ φ ρ φ= +
calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região limitada por:
2, 0, , 0zρ φ φ π= = = = e z = 5. Solução:
iS V
D dS Q DdVΨ = ⋅ = = ∇⋅∫∫ ∫∫∫
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 12
12
Lei de Gauss
A região formada é composta por quatro superfícies SL, STs, STi e Sp, como ilustramos abaixo,
juntamente com os vetores para cada superfície: dS Superfície lateral SL:
ˆ ˆNa aρ=
ˆ ˆL LdS dS a d dzaρ ρρ φ= =
ˆ ˆLNa aρ=
Superfícies inferior e superior (STs, STi):
ˆ ˆsT T zdS dS a d d azρ ρ φ= =
ˆ ˆTsN za a=
( )ˆ ˆiT T zdS dS a d d azρ ρ φ= − = −
ˆ ˆTiN za a= −
Superfície plana lateral Sp:
( )ˆ ˆp pdS dS a d dzaφ φρ= − = −
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ; p pN Na a a aφ φφ φ π= − = = =
Superfície fechada S:
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 13
13
Lei de Gauss
Assim:
L T T pi s iS S S S S
D dS D dS D dS D dS D dS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
( ) (5
1 12 2
0 0
ˆ ˆ ˆ6 1,5 cosL
LS
)D dS sen a a d dzaπ
ρ φ ρρ φ ρ φ ρ φ⋅ = + ⋅∫∫ ∫ ∫Como: ˆ ˆ ˆ ˆ1 0a a a aρ ρ ρ φ⋅ = ∴ ⋅ =
52 1
20 0
6L
LS
D dS sen d dzπ
ρ φ φ⋅ =∫∫ ∫ ∫
52 1
20 0
6L
LS
D dS dz sen dπ
ρ φ φ⋅ =∫∫ ∫ ∫
[ ] [ ]52 120 0
6 2 2cosL
zL z
S
D dS z φ π
φφ ==
= =⋅ = ⋅ −∫∫
[ ] ( ) ( )( )1 12 224 5 0 2cos 2cos 0
L
LS
D dS π⎡ ⎤⋅ = − − − −⎣ ⎦∫∫
[ ]24 5 2L
LS
D dS⋅ = ⋅∫∫
240LS
D dS C⋅ =∫∫
( ) ( )2
1 12 2
0 0
ˆ ˆ ˆ6 1,5 cosi
Ti
T zS
D dS sen a a d d aπ
ρ φρ φ ρ φ ρ ρ φ⋅ = + ⋅ −∫∫ ∫ ∫
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ0 0z za a a aρ φ⋅ = ∴ ⋅ =
0TiS
D dS C⋅ =∫∫
( ) ( )2
1 12 2
0 0
ˆ ˆ6 1,5 cosi
Ts
T zS
ˆD dS sen a a d d aπ
ρ φρ φ ρ φ ρ ρ φ⋅ = + ⋅∫∫ ∫ ∫
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ0 0z za a a aρ φ⋅ = ∴ ⋅ =
0TsS
D dS C⋅ =∫∫
( )5 2
1 12 2
0 0
ˆ ˆ6 1,5 cospS
D dS sen a a d dza( )ˆρ φ φρ φ ρ φ ρ⋅ = + ⋅ −∫∫ ∫ ∫ Como: ˆ ˆ ˆ ˆ1 0a a a aφ φ ρ φ⋅ = ∴ ⋅ =
5 212
0 0
1,5 cospS
D dS d dzρ φ ρ⋅ = −∫∫ ∫∫
5 212
0 0
1,5cospS
D dS dz dφ ρ ρ⋅ = −∫∫ ∫ ∫
( )[ ]22
512 0
0
1,5cos 02
p
z
zS
D dS zρ
ρ
ρ=
=
==
⎡ ⎤⋅ = − ⎢ ⎥
⎣ ⎦∫∫
( )[ ]2 22 01,5cos 0 5 0
2 2pS
D dS⎡ ⎤
⋅ = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫∫
[ ][ ]1,5 1 5 2pS
D dS⋅ = − ⋅∫∫
15pS
D dS C⋅ = −∫∫
L T T pi s iS S S S S
D dS D dS D dS D dS D dS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
240 0 0 15S
D dS⋅ = + + −∫∫
225S
D dS C⋅ =∫∫
Integral de volume:
V
DdVΨ = ∇⋅∫∫∫
( )1 1 zD DD Dz
φρρ
ρ ρ ρ φ∂ ∂∂
∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
( )21 12 2ˆ ˆ6 1,5 cos C
mD sen a aρ φρ φ ρ φ= +
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 14
14
Lei de Gauss
( ) ( )1 12 2
1 16 1,5 cosD senz
ρ ρ φ ρ φρ ρ ρ φ
∂ ∂∇⋅ = + +
∂ ∂0∂∂
( ) ( )1
22 12
6 1,5 cossenD φ ρρ φρ ρ ρ φ
∂ ∂∇⋅ = +
∂ ∂
12 1
26 1,5 12
2senD sφ ρ enρ φρ ρ
⎛ ⎞∇⋅ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
1 12 2
1,5122
D sen senφ φ∇ ⋅ = −
12
22,52
D sen φ∇ ⋅ =
5 212
0 0 0
22,52V
DdV sen d d dzπ
φρ ρ φ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫ ∫ ∫
5 212
0 0 0
22,52V
DdV dz d sen dπ
ρ ρ φ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ φ
[ ] [ ]22
5 120 0
0
22,5 2cos2 2
z
zV
DdV zρ
φ π
φρ
ρ φ=
==
= ==
⎡ ⎤∇ ⋅ = −⎢ ⎥
⎣ ⎦∫∫∫
[ ] ( ) ( )( )2 2
1 12 2
22,5 2 05 0 2cos 2cos 02 2 2V
DdV π⎡ ⎤⎡ ⎤∇⋅ = − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∫∫∫
[ ][ ][ ]22,5 5 2 22V
DdV∇⋅ =∫∫∫
225V
DdV C∇⋅ =∫∫∫
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 15
15
Lei de Gauss
Exercícios – Capítulo 3 - Hayt 1. Uma lata de pintura de metal vazia é
colocada em uma mesa de mármore, sua tampa é retirada, e ambas as partes são descarregadas conectando-as à terra. Um fio isolante de náilon é colado no centro da tampa e três moedas, de 5, 10 e 50 centavos são coladas ao fio de forma que não se toquem. A moeda de 50 centavos é aplicada uma carga de +5 nC e as moedas de 5 e 10 centavos permanecem descarregadas. A montagem é descida até a lata de forma que as moedas fiquem suspensas e longe das paredes, estando a tampa presa. O lado de fora da lata é temporariamente conectado de novo a terra. O dispositivo é cuidadosamente desmontado com luvas e ferramentas isolantes.
(a) Que cargas são encontradas em cada uma das cinco peças metálicas?
(b) Se fosse aplicada à moeda de 50 centavos uma carga de + 5 nC, à de l0 centavos uma carga de - 2 nC e à de 5 centavos uma carga de - l nC, qual seria a distribuição final de cargas?
2. Uma carga pontual de 12 nC está localizada na origem. Quatro linhas de cargas uniformes estão localizadas no plano x = O como se segue: 80 nC/m em y = - l e -5 m, -50nC/m e y = -2e -4m.
(a) Determine D em P(0, -3, 2); (b) Quanto fluxo elétrico atravessa o plano x
= -3 e em que direção? (c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície da
esfera de 4 m de raio centrada em C(0, -3, 0) ?
3. A superfície cilíndrica r = 8 cm contém
uma densidade superficial de carga zS e 205 −=ρ
nC/m2. (a) Qual a quantidade de carga total presente? (b) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície r = 8 cm, l cm < z < 5 cm, 30° < f < 90°? Solução:
dSQS
S∫∫= ρ
dzdeQ z φρπ
∫ ∫+∞
∞−
−−⋅=2
0
209105
dzedQ z∫∫+∞
∞−
−−⋅= 2092
0
105ρφπ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅⋅= ∫∫
+∞−
∞−
−−− dzedzeQ zz
0
200
)(202
0
9105 ρφπ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⋅⋅⋅⋅=
+∞→
=
−
−∞→
−−
z
z
z
z
z eeQ0
2002029
20201081010π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅= −
201
2011080 11πQ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅= −
2021080 11πQ
11108 −⋅= πQ
nCQ 25,0102513,0 9 =⋅= − (b) – Cálculo do fluxo: z 5 1
dSQR
S∫∫= ρ
dzdQ S φρρπ
π∫ ∫=2
6
05,0
01,0
∫∫ −−⋅=05,0
01,0
2091052
6
dzedQ z
π
π
φρ
05,0
01,0
209
2010508,0 2
6 −⋅⋅⋅=
−−
zeQπ
πφ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=
⋅−⋅−−
202062104
01,02005,02010 eeQ ππ
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 16
16
Lei de Gauss
( )12,010
310
204 −−− −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅= eeQ π
CQ 12104384,9 −⋅= pCQ 4384,9=
4. As superfícies cilíndricas r = l, 2 e 3 cm possuem densidades superficiais de carga uniformes de 20, - 8 e 5 nC/m2, respectivamente, (a) Quanto fluxo elétrico passa através da superfície fechada r = 5 cm, 0 < z < l m? (b) Determine D em P(l cm, 2 cm, 3 cm).
5. Seja: 222 ˆ4ˆ)(2ˆ4 mCayzazxaxyD zyx +++=
Calcule as integrais de superfície para determinar a carga total contida no paralelepípedo retângulo 0 < .x: < 2. 0 < y < 3, 0 < z < 5 m. Solução: Observando a figura: z Sxy 5 Sxz Syz 0 3 y 2 x
( )∫∫∫∫∫∫==
−⋅+⋅=⋅=
50
ˆˆ
zxy
zxy S
zS
zS
i aDaDSdDQ
( )∫∫∫∫==
−⋅+⋅+
03
ˆˆ
yxz
yxz S
yS
y aDaD
( )∫∫∫∫==
−⋅+⋅+
02
ˆˆ
xzy
xzy S
xS
x aDaD
dydxzydydxzyQzzi ∫ ∫∫ ∫ ==
+−=2
0
3
05
2
0
3
00
44
dzdxzxdzdxzx ∫ ∫∫ ∫ +−++2
0
5
0
222
0
5
0
22 )(2)(2
dzdyxydzdyyxxx ∫ ∫∫ ∫ == −++
3
0
5
00
3
0
5
02 44
dyydxQi ∫∫−=3
0
2
0
200 085
0
3
0
++ ∫∫ dzdyy
( ) 5
0
3
0
23
0
2
28
20220 zyyQi ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
5298
2940 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅=iQ
180180+=iQ
CQi 360= 6. Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m
cada estão localizadas em y = l., z = ± l m. Determine o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de raio 2 m, se ela está centrada em: (a) A(3. l. 0); B(3, 2, 0).
7. Uma densidade volumétrica de carga está localizada no espaço livre com:
rv e 10002 −=ρ nC/m3 para 0< r < l mm e rv=
O em qualquer outra parte, (a) Determine a carga total contida na
superfície esférica r = l mm. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de
D, na superfície r = l mm. Solução: (a) A carga total será dada por:
θφθρρ ddrdsenrQdVQV
viv
vi2∫∫∫∫∫∫ =⇒=
∫∫∫ −−⋅=ππ
φθθ2
00
001.0
0
100029102 ddsendrerQ ri
[ ] [ ] ππ φθ 200
001.0
0
210009 cos
50000000050000010001102 −⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++−⋅= −− rreQ r
i
π2210606,1102 109 ⋅⋅⋅= −−iQ
CQi191036,40 −⋅= nCQi
910036,4 −⋅= (b) Usando a lei de Gauss: i
SS QSdD =⋅= ∫ψ
ir QddsenrD =∫ ∫ φθθππ
22
0 0
24 rQD i
r π=
( )12
23
18
1032117,0104
10036,4 −
−
−
⋅=⋅
=π
rD
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 17
17
Lei de Gauss
213102117,3 mCDr−⋅=
24102117,3 mnCDr−⋅=
8. Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m
estão localizadas no espaço livre em x =1, y = 1 e z = l.
(a) Obtenha a expressão para D em coordenadas cartesianas em P(0, O, z);
(b) Esboce |D| versus z em -3< z < 10.
9. Uma densidade volumétrica de carga uniforme de 80 mC/rn3 está presente na região 8 mm < r < 10 mm. Seja rv = 0 para 0 < r < 8 mm.
(a) Determine a carga total dentro da superfície esférica r = 10 mm;
(b) Determine D, em r = 10 mm; (c) Se não há carga para r > 10 mm, determine D, em r = 20 mm. Solução:
(a) A carga total será dada por: θφθρρ ddrdsenrQdVQ
Vvi
vvi
2∫∫∫∫∫∫ =⇒=
θφθ ddrdsenrQV
i261080∫∫∫ −⋅=
θθφππ
dsenddrrQi ∫∫∫−⋅=0
2
0
01.0
0
261080
( )ππ θφ0
2
0
01.0
008.0
36 cos
31080 −⋅= − rQi
223
008.001,0108033
6 ⋅−
⋅= − πiQ
π41062667,11080 76 ⋅⋅⋅⋅= −−iQ
π41062667,11080 76 ⋅⋅⋅⋅= −−iQ
CQi1310307,1635 −⋅=
pCQi 5307,163= (b) D, em r = 10 mm
iS
S QSdD =⋅= ∫ψ
ir QddsenrD =∫ ∫ φθθππ
22
0 0
2
12
2 01,041053,163
4 ⋅⋅
==−
ππrQD i
r
81001,13 −⋅=rD 9101,130 −⋅=rD
21,130 mnCDr =
10. Seja rs = 8 mC/m2 na região onde x = 0, -4 < z < 4 m e rs = 0 em qualquer outra parte. Determine D em P(x, 0, z), onde x > 0.
11. Em coordenadas cilíndricas, seja rs = 0 para
r < l mm, πρρ 20002senv = (nC/m3) para l mm < r < l ,5 mm e rs = 0 para r > 1,5 mm. Determine D em toda parte.
Solução:
VD ρ=⋅∇ Em coordenadas cilíndricas:
( )z
DDDD z
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇φρ
ρρρ
φρ
11
( ) ( )πρρρρ ρ 200021 nsenD =∂∂
( ) ( )πρρρρ ρ 20002 sennD =∂∂
( ) ( ) ρπρρρ ρ dsennD ∫= 20002
( ) ( ) CsennD +
+−=
2400000020002000cos20002
ππρπρπρρ ρ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−= CsennD
ππρπρρ
πρρ 2000)2000()2000cos(
20002
( )[ ]ππρπρπρ
πρρ 2000)2000()2000cos(20002000
22 CsennD ++−=
[ ])2000())2000cos((2000104
10262
9
πρπρρπρπρ senCD +−
⋅⋅
=−
[ ])2000())2000cos(1010(2210 33
2
15
πρπρρπρπρ senCD +−=
−
12. Uma densidade volumétrica de carga não - uniforme de rv = 120r C/m3 está situada dentro de uma superfície esférica de r = l m e rv = 0 em qualquer outra parte, (a) Determine D, em toda parte; (b) Qual densidade superficial de carga rs2 deve estar presente na superfície r= 2 m de modo que Dr’r= Drr’
+? (c.) Esboce Dr versus r para 0 < r < 5 com ambas as distribuições presentes.
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 18
18
D
Lei de Gauss
13. Três superfícies esféricas em r =2. 4 e 6 m possuem densidades superficiais de carga de 20 nC/m2, -4nC/m2 e rs0,. Respectivamente.
(a) Determine D em r = 1, 3 e 5 m: (b) Determine rs0, de modo que D = 0 em r =
7m. Solução:
(a) a Lei de Gauss:
iS
QSdD =⋅∫∫
r = 1ï Como não há carga internamente à essa superfície: Dr = 0. r = 3 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana de raio r > 3
22 2441
⋅= πρπ SrD
221
144
44
rrD S
S
ρππρ =⋅=
292
9
10889.8310204)3( mCrD −
−
⋅=⋅
===
r = 5 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana de raio r > 5
iS
QSdD =⋅∫∫
222 4424421πρπρπ SSrD +⋅=
164444204 2 πππ nnrD −⋅=
πππ nnrD 2563204 2 −=
2464
rnDππ
=
2102
9
104,654
6410 mCDD −−
⋅=⇒=π
π
(b) Escolhendo uma superfície de raio > 7, teremos envolvido três cargas:
321 QQQSdDS
++=⋅∫∫
321 32124 sssr AAADr ρρρπ ++=
0646440
22 =+= sr nDr ρπππ
2910
9464364
00 mCn ss
−⋅−=⇒−= ρπρπ
14. Se rv = 5 nC/rn3 para 0 < r < l mm e não há outras cargas presentes:
(a) determine D, para r < l mm:
(b) determine Dr para r > l mm: (c) Que densidade linear de carga rL em r = 0
daria o mesmo resultado que o do item b? 15 Duas densidades volumétricas de carga estão
localizadas como se segue: rv = 0 para r < l mm e para r > 2 mm e rv = 4rmC/m2 para l < r < 2 mm.
(a) Calcule a carga total na região 0 < r < r1; 0 < z < L, onde l < r1 < 2 mm;
(b) Use a lei de Gauss para determinar Dr em r = r1;
(c) Calcule Dr em r = 0,8mm; 1.6 mm e 2.4 mm. Solução:
{ mm 21 4 3 <<⇒= ρρρ µm
Cv
⎩⎨⎧
><
⇒=mm 2mm 1
0 3 ρρ
ρ µm
Cv
(a) Carga para:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<<<<<
2100
1
1
ρ
ρρLz
∫ ∫ ∫∫∫∫ ==L
Vv dzdddVQ
0 001.0
2
0
1
4ρ π
ρφρρµρ
∫∫∫=L
dzddQ0001.0
22
0
1
4 ρρφµρπ
LzQ0
001.0
32
0
1
34
ρπ ρφπ=
( ) LQ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
−
31024
3331ρπµ
( ) CLQ µρπ 931 10
38 −−=
(b) Lei de Gauss par determinar Da r em r = r1;
QSdDS
=⋅∫∫
( )µρπφρπ
ρ93
10
2
0
103
8 −−=∫ ∫LdzdD
L
( )( )CLLD µρπρπ ρ93
11 103
82 −−=
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 19
19
Lei de Gauss
( )( )2931
11
1032
8 mCL
LD µρρππ
ρ−−=
( )( )2931
11
1034 mCD µρρρ
−−=
(c) Calculo de: Dr em r = 0,8mm=8.10-4m
0)8( 1 == mmD ρρ Pois não há carga interna a uma superfície
Gaussiana cilíndrica de raio r1 = 0,8mm. A distribuição de carga é nula para r1 < 1mm.
Dr em r = 1.6 mm Dr em r = 2.4 mm.
QSdDS
=⋅∫∫
( )( )( )CLdzdDL
µπφρπ
ρ933
0
2
0
101023
8 −− −⋅=∫ ∫
( )( )2910)18(32
8 mCL
LD µρπ
πρ
−−=
( )( )2910)18(34 mCD µρρ
−−=
Substituindo: r = 2.4 mm=2.4.10-3m
( )( )293 10)18(
104,234 mCD µρ
−− −
⋅⋅=
( )261088.3 mCD µρ−⋅=
16. Dada a densidade de fluxo elétrico
(C/mzyx azaxaxyD 32 6ˆˆ2 ++= 2) use a lei de Gauss para calcular a carga total contida no volume 0 < x,y,z < a;
(b) Use Eq. 8 para determinar um valor aproximado para a carga acima. Calcule as derivadas em P(a, a/2, a/2);
(c) Mostre que os resultados dos itens a e b são equivalentes no limite aö0.
17. Um cubo é definido por l < x,y,z < 1.2. Se
(C/myx ayxayxD ˆ3ˆ2 222 += 2): (a) aplique a lei de Gauss para determinar o
Fluxo total deixando a superfície fechada do cubo.
(b) calcule x
Dx
Dx
D zyx
∂∂
+∂∂
+∂∂
no centro do
cubo.
(c) Estime a carga total contida dentro do cubo usando a Eq. 8.
Solução:
z S y x (a) Fluxo total no cubo de superfície S de superfícies S1, S2, S3, S4, S5 e S6 especificadas por:
⎩⎨⎧
==⇔=⇒=−=⇒=
dydzdSdSaaxSaaxS
xn
xn21
2
1
ˆˆ2.1:ˆˆ1:
2
1
⎩⎨⎧
==⇔=⇒=−=⇒=
dxdzdSdSaaySaayS
yn
yn43
4
3
ˆˆ2.1:ˆˆ1:
4
3
⎩⎨⎧
==⇔=⇒=−=⇒=
dxdydSdSaazSaazS
zn
zn65
6
5
ˆˆ2.1:ˆˆ1:
6
5
Escrevendo a integral fechada sobre a superfície S na soma de todas as 6 faces:
+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ 21
2
2
1
1ˆˆ dSaDdSaDSdD
Sn
Sn
S
543
5
5
4
4
3
3ˆˆˆ dSaDdSaDdSaD
Sn
Sn
Sn ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅
6
6
6ˆ dSaD
Sn∫∫ ⋅+
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 20
20
Lei de Gauss
Como: , ilustramos esse campo vetorial na região abaixo:
yx ayxayxD ˆ3ˆ2 222 +=
Fazemos os produtos escalares: ( ) yxaDaD xn
22ˆˆ1
−=−⋅=⋅
yxaDaD xn22ˆˆ
2=⋅=⋅
( ) 223ˆˆ3
yxaDaD yn −=−⋅=⋅ 223ˆˆ
4yxaDaD yn =⋅=⋅
( ) 0ˆˆ5
=−⋅=⋅ zn aDaD
0ˆˆ6
=⋅=⋅ zn aDaD
dydzydydzySdDS
∫ ∫∫ ∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅−=⋅2.1
1
2.1
1
22.1
1
2.1
1
2 2.1212
dxdzxdxdzx ∫ ∫∫ ∫ ⋅++⋅⋅−+2.1
1
2.1
1
222.1
1
2.1
1
22 2.1313
∫∫∫∫∫∫ +−=⋅2.1
1
2.1
1
2.1
1
2.1
1
82 dzdyydzydySdDS
∫∫∫∫ +−2.1
1
2.1
1
22.1
1
2.1
1
2 32.43 dzdxxdzdxx
2.1
1
2.1
1
22.1
1
2.1
1
2
244.12
22 zyzySdD
S
⋅+−=⋅∫∫
2.1
1
2.1
1
32.1
1
2.1
1
3
332.4
33 zxzx
+−
( )( ) ( )( )12.112.144.112.112.1 222 −−+−−−=⋅∫∫S
SdD
( )( ) ( )( )12.112.1332.412.112.1 3333 −−+−−−
( )( ) ( )( )2.0728.044.02.044.044.0 +=⋅∫∫S
SdD
( )( ) ( )( )2.0728.044.02.044.044.0 +−=⋅∫∫S
SdD
( )( ) ( )( 2.01728.1332.42.01728.1 −+−− )
( )( ) )2.0)(728.0(44.02.044.044.0 +=⋅∫∫S
SdD
064064.003872.0 +=⋅∫∫S
SdD
2102784.0 mCSdDS
=⋅∫∫
(b) y
Dx
DD =⋅∇ yx
∂∂
+∂∂
( ) ( )
yyx
xyxD
∂∂
+∂
∂=⋅∇
222 32
2264 yxxyD +=⋅∇
( ) 22 1.11.161.11.141.1,1.1,1.1 ⋅+⋅⋅=⋅∇ D
( ) 826.121.1,1.1,1.1 =⋅∇ D
(c) DVQVQD v ⋅∇⋅=⇔==⋅∇ ρ
CQQ 1026.0826.122.0 3 =⇒⋅=
18. Seja um campo vetorial dado por
yazyxG ˆ5 444= .Calcule ambos os lados da Eq. 8 para este campo G o volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e 1,1 e z = 2 e 2.1. Calcule as derivadas parciais no centro do volume.
19. Uma superfície esférica de raio 3 mm está centrada em P(4, l, 5) no espaço livre. Seja
xaxD ˆ= C/m2. Use os resultados da Seção 3.4 para estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície esférica.
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 21
21
Lei de Gauss
Solução:
-4.002
-4
-3.998
-1.002-1
-0.998
-5.002
-5
-4.998
1.002-1
-0.998
Esfera: raio r = 3mm centrada em P(4, 1, 5):
Campo vetorial: xaxD ˆ= Fluxo que deixa a seção:
QSdDS
=⋅=Ψ ∫∫
vD ρ=⋅∇
11 =⇒=∂∂
=⋅∇ vxxD ρ
3
34 RQ
VQ
vv πρρ ⋅=⇒=
( ) nCQ 09.1131009.113103341 933 =⋅=⋅⋅= −−π
20. Um cubo de volume a3 possui suas faces
paralelas às superfícies do sistema de coordenadas cartesianas e está centrado cm P(3, - 2, 4). Dado o
campo xaxD ˆ2 3= C/ m2
(a) calcule div D cm P; (b) calcule a fração mais à direita da Eq. 13 para
a = l m. 0.1 m e l mm.
21. Calcule a divergência de D no ponto especificado se (a) ( )[ ]zyx ayxzazxaxyz
zD ˆ52ˆ5ˆ101 232
2 −++=
em P(-2, 3, 5); (b) zazazD ˆ10ˆ5 2 ρρ += em P(3, -450, 5); (c)
φθ φφθφθ arasenrasenrsenD r ˆcosˆcosˆ2 ++= em P(3, 450, -45°). Solução:
(a) Nas coordenadas cartesianas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⋅∇ 2
23
2
2
252510
zyxz
zzzx
yzxyz
xD
( )222
52510 −−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⋅∇ yzxzzz
xyz
xyx
D
( )222
52510 −−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⋅∇ yzxzzz
xyz
xyx
D
3
2102010z
yxzyD +++=⋅∇
3
2
53)2(102
5310)5,3,2( −
++⋅
=−⋅∇ D
25242
530)5,3,2( ++=−⋅∇ D
25224
252450150)5,3,2( =
++=−⋅∇ D
96.8)5,3,2( =−⋅∇ D
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 22
22
Lei de Gauss
Ilustração do vetor D num cubo -4 ≤ x,y,z ≤4.
(b) Nas coordenadas cilíndricas:
( )z
DDDD z
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇φρ
ρρρ
φρ
11
⎩⎨⎧
==
⇔+=zD
zDazazD
zz ρ
ρ ρρ 10
5ˆ10ˆ52
2
( )z
zzD∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇)10()0(1)5(1 2 ρ
φρρ
ρρ
ρρ
1005 2
++=⋅∇zD
)3(1003)5(5)5,45,3(
20 ++=−⋅∇ D
3215
390125)5,45,3( 0 =
+=−⋅∇ D
67.71)5,45,3( 0 =−⋅∇ D
(c) Nas coordenadas esféricas:
( ) ( )φθ
θθθ
φθ ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇D
rsensenD
rsenDr
rrD r
111 22
φθ φφθφθ arasenrasenrsenD r ˆcosˆcosˆ2 ++=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
φφθφθ
φ
θ
coscos
2
rDsenrDsenrsenDr
( +∂∂
=⋅∇ )2(1 22 φθsenrsenr )
rrD
( )φφ
θθφθ
θθ ∂∂
+∂∂ )cos(1)cos(1 r
rsensensenr
rsen
( )+∂∂
=⋅∇ φθsensenrrr
D 32 21
( ) )(1cos1 φθ
φθθθθ
rsenrsen
sensenrrsen
−+∂∂
+=⋅∇ φθsensenrr
D 22 61
)coscos(1 θθθθφθ
+− sensenrsenrsen
θφ
sensen
−
+=⋅∇ φθsensenD 6
)cos( 22 θθθφ
+−sensensen
θφ
sensen
−
( ) +−=−⋅∇ )45(45645,45,3 0000 sensenD
)45cos45(45
)45( 02020
0
+−− sen
sensen
0
0
45)45(
sensen −
−
( ) +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅=−⋅∇
22
22645,45,3 00D
)21
21(1 +−−
2222−
−
( ) 10345,45,3 00 ++−=−⋅∇ D
( ) 245,45,3 00 −=−⋅∇ D
22. Seja φρ φρφρ aasenD ˆcos4ˆ8 += . C/m2.
(a) Determine div D. (b) Determine a densidade volumétrica de carga
cm P(2,6, 380; -6,1); (c) Quanta carga esta localizada dentro da região
definida por 0 < r < 1,8; 200 < f < 700 e 2,4 < z < 3, l? 23 (a) Uma carga pontual Q está situada na
origem. Mostre que div D = 0 por toda parte, exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica de carga uniforme rv0 para 0 ≤ r ≤ a. Relacione rv0 a Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Determine div D por toda a parte.
Solução:
( ) ( )φθ
θθθ
φθ ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇D
rsensenD
rsenDr
rrD r
111 22
24 rQDr π
=
( )φθ
θθθπ ∂
∂+
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⋅∇0101
41
22
2 rsensen
rsenrQr
rrD
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⋅∇π4
12
Qrr
D
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 23
23
Lei de Gauss
012r
D=⋅∇
0=⋅∇ D (b) Densidade de carga uniforme:
00
334
334 vv aQ
aQ
VQ ρπ
πρ =⇒==
⎪⎩
⎪⎨⎧
><
=⋅∫∫ araarr
SdDv
v
S se se
0
03
34
334
ρπρπ
⎪⎩
⎪⎨⎧
><
=araarr
rDv
vr se
se 4
0
03
34
334
2
ρπρπ
π
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
<=
arra
arrD
v
v
r se
se
0
0
2
3
31
31
ρ
ρ
( ) ( )φθ
θθθ
φθ ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇D
rsensenD
rsenDr
rrD r
111 22
arD >=⋅∇ se 0
arr
rr
D v >⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⋅∇ se 3r
1 022
ρ
( ) arrr
D v >∂∂
=⋅∇ se r
3
320
ρ
arrr
D v >=⋅∇ se 3 3
220
ρ
arD v >=⋅∇ se 0
ρ
24. Dentro da casca cilíndrica 3 < r < 4 m. a densidade de fluxo elétrico é dada por:
C/m( ) ρρ aD ˆ35 3−= 2. Qual e a densidade volumétrica de carga em r = 4?
(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r = r =m?
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície fechada: 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5?
(d) Quanta carga está contida dentro do volume 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5 ?
25. Dentro da casca esférica 3 < r < 4 m. a
densidade de fluxo elétrico é dada por C/m( ) rarD ˆ35 3−= 2.
(a) Qual é a densidade volumétrica de carga em r = 4?
(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r =- 4 m?
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de r =- 4 m?
(d) Quanta carga está contida dentro da esfera r =- 4 m?
Solução:
(a) Densidade em r = 4m:
( ) rarD ˆ35 3−=
( )335 −= rDr
( )+−∂∂
=⋅∇ ))3(5(1 322 rr
rrD
( )φθ
θθθ ∂
∂+
∂∂ )0(1)0(1
rsensen
rsen
( )( )2232 )3(3325
−+−=⋅∇ rrrrr
D
( ))65()3(5 222 rrr
rD −−=⋅∇
( ))65()3(5 2 −−=⋅∇ rrr
D
( ))645()34(45)4( 2 −⋅−==⋅∇ rD
( )23514
45)4( ===⋅∇ rD
25,17)4( mCrD ==⋅∇
(b) Densidade do fluxo elétrico: r = 4m:
( ) rarD ˆ35 3−=
( ) rarD ˆ345)4( 3−==
( )2ˆ5)4( mCarD r==
(c) Fluxo elétrico que deixa a esfera:
QSdDS
=⋅=Ψ ∫∫
( )32 354 −= rrQ π
( )32 34544)4( −== πrQπ320)4( ==rQ (C)
(d) Carga contida na esfera r = 4m?
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 24
24
Lei de Gauss
dVQv
v∫∫∫= ρ
( ))65()3(5 2 −−=⋅∇ rrr
D
( ))65()3(5 2 −−=⋅∇= rrr
Dvρ
drddsenrr
rrQ θφθπ π
24
3 0
2
0
2 )65()3(5∫ ∫ ∫
−−=
drrrrQ ∫ −−=4
3
2 )65()3(54π
drrrrQ ∫ −−=4
3
2 )65()3(20π
( )[ ] 4
332 320
=
=−=r
rrrQ π ( )[ ]3232 )33(334420 −−−= πQ
1620 ⋅= πQ
)(320 CQ π=
26. Dado o campo rar
senD ˆcos5 φθ=
C/m2, determine: (a) a densidade volumétrica de carga rv. (b) a carga total contida na região r < 2 m; (c) o valor de D na superfície r = 2. (d) o fluxo elétrico total que deixa a superfície r
= 2. 27. Seja mC/mrarD ˆ5 2= 2 para r < 0,08 m e
( ) rarD ˆ1,0 2= C/m2 para r > 0.08 m. (a) Determine rv, para r = 0.06 m; (b) Determine rv para r = 0.1 m. (c) Que densidade superficial de carga deve ser
colocada em r = 0.08 m para que D = 0 para r > 0,08m?
Solução: (a) Cálculo de rv, para r = 0.06 m:
vD ρ=⋅∇
rarD ˆ5 2=
( ))5(1 222 mrr
rrD
∂∂
=⋅∇
( ) mrrrmr
rrmD 20455 3
24
2 =⋅=∂∂
=⋅∇
mrv 6.020)06.0( ⋅==ρ 32.1)06.0( mmCrv ==ρ
(b) Cálculo de rv, para r = 0.1 m:
( ) rarD ˆ1,0 2=
( ))1.0(1 222 rr
rrD
∂∂
=⋅∇
( ) 01.052 =∂∂
=⋅∇rr
mD
0)1.0( ==rvρ 3/0)1.0( mCrv ==ρ
(c) Densidade superficial em r = 0,08
para que D =0 para r > 0,08m?
iS
QSdD =⋅∫∫
dSdVQS
sv
vi ∫∫∫∫∫ += ρρ
mrDv 20=⋅∇=ρ
φθθππ
ddrdsenrmrQi2
2
0 0
08.0
0
20∫ ∫ ∫=
φθθρπ π
ddsenrs∫ ∫+2
0 0
2
208.0
0
3 08.04420 ⋅+⋅= ∫ πρπ si drrmQ
208.0
0
4
08.044
420 ⋅+⋅= πρπ sirmQ
πρπ 0256.00008192.0 si mQ +=
0==⋅∫∫ iS
QSdD
00256.00008192.0 =+= πρπ si mQ2032.0
0256.00008192.0 mmCm
s −=−=π
πρ
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 25
25
Lei de Gauss
232 mCs µρ −= 28. A densidade de fluxo elétrico é dada por
C/mρρ aD ˆ20 3= 2, para r < 100 mm e
para r > 100 mm. ρakD ˆ=(a) Determine k de modo que D seja contínua
em r = 100 mm; (b) Determine e esboce rv, como uma função
de r. 29. Em uma região do espaço livre que inclui o volume:2 < x,y,z < 3,
[ ] 22
ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayzz
D zyx −+= .
(a) Calcule a integral de volume do teorema da divergência para o volume definido por: 2 < x,y,z < 3;
(b) Calcule a integral de superfície para a superfície fechada correspondente.
Solução: (a) – Integral de volume:
dVDV∫∫∫ ⋅∇
z
Dy
Dx
DD zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
[ ] 22
ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayzz
D zyx −+=
2
422zxyD
zxD
zyD zyx −=⇔=⇔=⇔
( ) ( ) ( )zyx
D zxy
zx
zy
∂
−∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇2
422
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+=⋅∇ 3
2400zxyD
3
8zxyD =⋅∇
dVzxydVD
VV∫∫∫∫∫∫ =⋅∇ 3
8
dxdydzzxydVD
V∫ ∫ ∫∫∫∫ =⋅∇3
2
3
2
3
23
8
dzzdyydxxdVDV
∫∫∫∫∫∫ −=⋅∇3
2
33
2
3
2
8
3
22
3
2
23
2
2
21
228 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅∇∫∫∫ z
yxdVDV
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅−
−⋅−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⋅∇∫∫∫ 22
2222
221
321
223
2238dVD
V
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=⋅∇∫∫∫ 9
14155
88dVD
V
94525
⋅⋅
=⋅∇∫∫∫ dVDV
36125
=⋅∇∫∫∫ dVDV
C
(b) Integral de superfície para a superfície fechada correspondente. Escrevendo a integral sobre a superfície fechada S
na soma de to as as 6 faces: d +⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ 21
2
2
1
1ˆˆ dSaDdSaDSdD
Sn
Sn
S
543
5
5
4
4
3
3ˆˆˆ dSaDdSaDdSaD
Sn
Sn
Sn ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅
6
6
6ˆ dSaD
Sn∫∫ ⋅+
Como: [ ] 22
ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayzz
D zyx −+= ,
ilustramos esse campo vetorial na região abaixo: Fazemos os produtos escalares:
Definindo as tampas do cubo:
⎩⎨⎧
==⇔=⇒=−=⇒=
dydzdSdSaaxSaaxS
xn
xn21
2
1
ˆˆ3:ˆˆ2:
2
1
⎩⎨⎧
==⇔=⇒=−=⇒=
dxdzdSdSaaySaayS
yn
yn43
4
3
ˆˆ3:ˆˆ2:
4
3
⎩⎨⎧
==⇔=⇒=−=⇒=
dxdydSdSaazSaazS
zn
zn65
6
5
ˆˆ3:ˆˆ2:
6
5
( )zyaDaD xn 2ˆˆ
1−=−⋅=⋅
zyaDaD xn 2ˆˆ
2=⋅=⋅
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 26
26
Lei de Gauss
( )zxaDaD yn 2ˆˆ
3−=−⋅=⋅
zxaDaD yn 2ˆˆ
4=⋅=⋅
( ) 24ˆˆ5 z
xyaDaD zn =−⋅=⋅
24ˆˆ6 z
xyaDaD zn −=⋅=⋅
dydzzydydz
zySdD
S∫ ∫∫ ∫∫∫ +⋅−=⋅3
2
3
2
2
2
3
2
22
dxdzzxdxdz
zx
∫ ∫∫ ∫ +−+3
2
3
2
3
2
3
2
22
dxdyzxydxdy
zxy
∫ ∫∫ ∫ −++3
2
3
2
3
2
3
22 44
dyyxdxdyyxdxSdDS
∫ ∫∫ ∫∫∫ −=⋅3
2
3
22
3
2
3
22 3
424
3
2
23
2
23
2
23
2
2
2294
2244
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅∫∫
yxyxSdDS
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⋅∫∫ 2
232
2312222
S
SdD
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
223
223
94 2222
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⋅∫∫ 2
525
94
25
25
S
SdD
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⋅∫∫ 9
414
25
S
SdD
95
425
=⋅∫∫S
SdD
36125
=⋅∫∫S
SdD C
30. Se:
φρ φρφρ aasenD ˆ2cos10ˆ15 22 += calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região 1 < r < 2m, 1 <f < 2 rad, 1 < z < 2 m. 31. Dada a densidade de fluxo:
θθar
D ˆ2cos16= (C/m2)
, use dois métodos diferentes para determinar a carga dentro da região:
1 < r < 2m, 1 < θ < 2 rad, 1 < f < 2 rad.
Solução: Determinação por :
vD ρ=⋅∇
( ) ( )φθ
θθθ
φθ ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇D
rsensenD
rsenDr
rrD r
111 22
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0
2cos160
φ
θ θ
Dr
D
Dr
( )φθ
θθθθ ∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=⋅∇012cos16101 2
2 rsensen
rrsenr
rrD
( )θθθθ
sensenr
D 2cos162 ∂
∂=⋅∇
( )θθθθθ
cos2cos22162 +−=⋅∇ sensensenr
D
( )θθθ ctgsenr
D 2cos22162 +−=⋅∇
( )θθθρ ctgsenrv 2cos2216
2 +−=
Cálculo da carga:
dVQv
v∫∫∫= ρ
( )dVctgsenr
Qv∫∫∫ +−= θθθ 2cos2216
2
( ) φθθθθθ ddrdsenrctgsenr
Qv
22 2cos2216
∫∫∫ +−=
( ) θθθθθφ dsensenddrQ ∫∫∫ +−=2
1
2
1
2
1
cos2cos2216
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅= ∫∫ θθθθθθφ ddsensenrQ cos2cos2216
2
1
2
1
2
1
2
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅= ∫∫ θθθθθθ ddsensenQ cos2cos2216
2
1
2
1
θθθθθθ ddsensenQ ∫∫ +−=2
1
2
1
cos2cos16232
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 27
27
Lei de Gauss
2
1
2
1
3
63
2216
3232 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
θθθ sensensenQ
CQ 9069.3−=
32. Se: (C/mrarD ˆ2= 2), determine o fluxo elétrico total deixando a superfície do cubo 0 ≤ x,y,z ≤ 0,4;
top related