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Echtzeitfähige Zeitintegrationvon differentiell-algebraischen Systemen
in der Mehrkörperdynamik7. Workshop für Deskriptorsysteme, März 2005, Paderborn
Bernhard Burgermeister1, Martin Arnold1, Benjamin Esterl2
1{bernhard.burgermeister,martin.arnold}@mathematik.uni-halle.de
Martin–Luther–Universitat Halle–Wittenberg, FB Mathematik und Informatik, 06099 Halle (Saale)
2benjamin.esterl@tesis.de
TESIS DYNAware Technische Simulation Dynamischer Systeme GmbH, 81379 Munchen
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 1/23
Inhalt
1. Problemstellung
2. Partitioniertes linear-implizites Eulerverfahren
3. Baumgarte-Stabilisierung
4. Stabilisierung durch Projektion
5. Testrechnungen
6. Zusammenfassung
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 2/23
Bewegungsgleichungen
Differentiell-algebraisches System vom Index 3 in Deskriptorform:
q = u
M(q)u = f(q, u) − GT (q)λ
0 = g(q) (Lage)
versteckte Zwangsbedingungen: 0 = G(q)u (Geschwindigkeit)0 = gqq(q)(u, u) + G(q)u (Beschleunigung)
mit G(q) = ∂∂q
g(q), rang G(q) = nλ, M(q) positiv definit,(
M(q) GT (q)
G(q) 0
)
regulär.
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 3/23
Anforderungen an das Integrationsverfahren
Anwendung: Hardware-in-the-Loop, Bewegungssimulatoren
I kurzer externer Takt
I stabiles System
I geringe Genauigkeitsanforderungen
Beschränkte Rechenzeit für einen Integrationsschritt
I keine iterativen Lösungsverfahren
I keine Schrittweitensteuerung
I kein Beibehalten der Jacobimatrix über mehrere Schritte
I Lösung der linearen Gleichungssysteme mit direkten Verfahren
Implementierung auf geeigneter Soft- und Hardwareplattform
I nur kontrollierte Unterbrechung des Programmablaufs durch Interrupts
I keine virtuelle Speicherverwaltung
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 4/23
Linear-implizites Eulerverfahren
Berechnung von λ aus der Beschleunigungs-Bedingung: (Index-1-Verfahren)
λ = (GM−1GT )−1(GM−1f(q, u) + gqq(q)(u, u))
angewendet auf die MKS-Bewegungsgleichungen q = u, u = f(q, u):
(I − hJ)
(
∆q
∆u
)
=
(
u
f(q, u)
)
,
(
q1
u1
)
=
(
q0
u0
)
+ h
(
∆q
∆u
)
f(q, u) = M−1Pf(q, u) − M−1GT (GM−1GT )−1gqq(q)(u, u)
mit dem Projektor P = Inq− GT (GM−1GT )−1GM−1
und J =
(
0 I
fq(q, u) fu(q, u)
)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 5/23
Stabilität mit vereinfachter Jacobimatrix I
Testgleichung:
q = u, u = f(q, u) = −aq − bu, q(t), u(t), a, b ∈ R, a, b ≥ 0
Jexakt =
(
0 1
−a −b
)
⇒ stabil fur beliebige a, b ≥ 0
J1 =
(
0 0
−a −b
)
⇒ stabil fur 0 ≤ hb, 0 ≤ h2a ≤ 2hb + 4
J2 =
(
0 0
−a −b − ha
)
⇒ stabil fur beliebige a, b ≥ 0
J3 =
(
0 0
−a 0
)
⇒ stabil fur 0 ≤ hb ≤ 2, 0 ≤ h2a ≤ 4 − 2hb
J4 =
(
0 0
0 −b
)
⇒ stabil fur 0 ≤ h2a ≤ hb
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 6/23
Stabilität mit vereinfachter Jacobimatrix IIPSfrag replacements
J2, Jexakt J1 J4 J3
Re heF
Imhe F
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3
-2
-1
0
1
2
3
J1=
(
0 0
−a −b
)
J2=
(
0 0
−a −b − ha
)
J3=
(
0 0
−a 0
)
J4=
(
0 0
0 −b
)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 7/23
Anwendung auf MKS
∆qn = un
(M(qn) − hJu(qn, un))∆un = f(qn, un) − G(qn)T λn + hJq(qn, un)un
qn+1 = qn + h∆qn
un+1 = un + h∆un
mit
Jq = fq und Ju = 0 oder Ju = fu oder Ju = fu + hfq
Berechnung von λn aus der Beschleunigungsbedingung:
0 = gqq(qn)(un, un) + G(qn)∆un ⇒
(
M(qn) − hJu(qn, un) G(qn)T
G(qn) 0
)(
∆un
λn
)
=
(
f(qn, un) + hJq(qn, un)un
−gqq(qn)(un, un)
)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 8/23
Beispiel Kreisbahn
I Massepunkt gleitetreibungsfrei auf Kreisbahn
I zusätzliche Kraft radialnach außen
I Geschwindigkeit durchPI-Regler nahe ‖u‖ = 1geregelt
PSfrag replacements
t
‖g(q
)‖
Kreisbahn
Index 1Index 2stabilisiert
0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 9/23
Baumgarte-Stabilisierung (1972)
Ersetze0 = gqq(qn)(un, un) + G(qn)∆un
durch0 = gqq(qn)(un, un) + G(qn)∆un+2αG(qn)un + βg(qn)
Wahl von α, β so, dass die skalare Differentialgleichung
0 = g + 2αg + βg
eine asymptotisch stabile Lösung g(t) = c1eτ1t + c2e
τ2t besitzt.Aperiodischer Grenzfall:
α = γ, β = γ2, γ > 0 ⇒ τ1,2 = −γ
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 10/23
Optimale Baumgarte-Parameter
mit den Abkürzungen wi = g(qi) und vi = G(qi)ui gilt nach einem Schritt desBaumgarte-stabilisierten Verfahrens:
w1 = w0 + hv0 + O(h2)
v1 = −hβw0 + (1 − 2hα)v0 + O(h2)
und nach zwei Schritten:
w2 = (1 − h2β)w0 + 2h(1 − hα)v0 + O(h2)
v2 = (1 − h2β + 4hα(hα − 1))v0 + 2hβ(hα − 1)w0 + O(h2)
Optimal: α = 1/h und β = 1/h2
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 11/23
Test Baumgarte-VerfahrenPSfrag replacements
Fehler Lage Kreisbahn
α × hβ × h2
log10‖g
(q)‖
0 0.5 1 1.5 2
01
23
4
-4
-2
0
PSfrag replacements
Driftverhalten Kreisbahn
α × hβ×
h2
0 0.5 1 1.5 20
0.51
1.52
2.53
3.54
4.5
11.5
22.5
33.5
4
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 12/23
Stabilisierung durch Projektion
Gesucht: qn+1 mit
g(qn+1) = 0
distM (qn+1, qn+1) → min. (Lubich)
Notwendige Bedingungen:
M(qn+1)(qn+1 − qn+1) + GT (qn+1)µ = 0
g(qn+1) = 0
Lösung durch einen Schritt eines vereinfachten Newton-Verfahrens.
Projektion der Geschwindigkeit durch Lösen eines LGS.
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 13/23
Halbexplizites Eulerverfahren
Berechne λn aus der Bedingung
0 = G(qn+1)un+1 = G(qn+1)un + hG(qn+1)∆un
(M − hJu)∆un = f − GT λn + hfqun
(Index-2-Verfahren)
qn+1 = qn + hun,(
M(qn) − hJu GT (qn)
G(qn+1) 0
)(
∆un
λn
)
=
(
f(qn, un) + hfqun
− 1
hG(qn+1)un
)
un+1 = un + h∆un
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 14/23
Linearisierte GGL-Formulierung
Gear-Gupta-Leimkuhler-Formulierung der MKS-Bewegungsgleichungen:
M(q)q = M(q)u − GT (q)µ (1)
M(q)u = f(q, u) − GT (q)λ (2)
0 = g(q) (3)
0 = G(q)u (4)
Berechne qn+1 aus (1) und (3):
M(qn)(qn+1 − qn) = h(M(qn)un − GT (qn)µ)
0 = g(qn+1)
mit einem vereinfachten Newton-Schritt und dann un+1 aus (2) und (4)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 15/23
Drift nach Projektion mit 1 Newtonschritt
Satz 1 (BBU 2003): Sei Un eine Umgebung der Lösung q(t) (t ∈ [tn, tn+1]) inder auch die numerische Lösung liegt, so gilt nach einem Newtonschritt zurProjektion der Lagebedingung
‖g(qn+1)‖ ≤ C2,n‖g(qn)‖2 + hC1,n‖g(qn)‖ + h3C0,n
mit Konstanten
C2,n ≥ maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(Pn(·), Pn(·))‖
C1,n ≥ maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(un, Pn(·))‖ + h maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(2An(ξ), Pn(·))‖
C0,n ≥ maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(un, An(ξ))‖ + h maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(An(ξ), An(ξ))‖
und Pn := M−1GT (GM−1GT )−1|qn
An(ξ) := Pngqq(ξ)(un, un)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 16/23
Kriterium für beschränkten Drift
Satz 2: Falls Konstanten C2, C1, C0 ≥ 0 mit
C2 ≥ C2,n, C1 ≥ C1,n, C0 ≥ C0,n, (n = 0, 1, . . . , N)
hC1 < 1 und (1 − hC1)2 − 4h3C0C2 > 0
existieren, bleibt der Fehler ‖g(qn)‖ beschränkt und es gilt
‖g(qn)‖ ≤ glim (0 ≤ n ≤ (te − t0)/h)
mit
glim :=1 − hC1 −
√
(1 − hC1)2 − 4h3C0C2
2C2
=O(h3)PSfrag replacements
gn+1
idglimgstab
gn
g n+
1
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 17/23
Vergleich der Verfahren
Grundaufwand: Auswertung von f, M, G, Ju, Jq
Verfahren ‖g(q)‖ ‖G(q)u‖ g Gu gqqu2 LGS
Index-1-Verfahren O(h)t2 O(h)t 0 0 1 1Baumgarte-Stabilisierung O(h2) O(h) 1 1 1 1Lage-Projektion O(h3)t O(h)t 1 0 1 2Geschwindigkeits-Projektion O(h)t 0 0 1 1 2Lage+Geschw.-Projektion O(h3) 0 1 1 1 3
Index-2-Verfahren O(h)t 0 0 0 0 1Projektion (linearisierte GGL) O(h3) 0 1 0 0 2
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 18/23
Bei
spie
lPK
W-A
chse
(IV
P-Te
stse
t)
PS
frag
repl
acem
ents
expl
izit
expl
izit
mit
Pro
jekt
ion
linea
r-im
pliz
itlin
ear-
impl
izit
mit
Pro
jekt
ion
PK
W-A
chse
y r
t0
0.5
11.
52
-1.5-1
-0.50
0.51
7.W
orks
hop
furD
eskr
ipto
rsys
tem
e,E
chtz
eitfa
hige
Zeiti
nteg
ratio
nvo
ndi
ffere
ntie
ll-al
gebr
aisc
hen
Sys
tem
enin
derM
ehrk
orpe
rdyn
amik
–p.
19/2
3
Genauigkeit PKW-Achse
PSfrag replacements
I1 unstabilisiertBaumgarteProjektionI2 unstabilisiertlin. GGL
PKW-Achse aus IVP-Testset
Schrittweite h
Fehl
erq
10−3 10−2
10−3
10−2
10−1
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 20/23
Siebenkörpermechanismus
PSfrag replacements
I1 unstabilisiertBaumgarteProjektionI2 unstabilisiertlin. GGL
Andrews squeezing mech.
Schrittweite h
‖g(q
)‖
10−5 10−4
10−8
10−6
10−4
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 21/23
Zusammenfassung
I Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen können mit einerkonstanten Anzahl von Rechenoperationen pro Zeitschritt integriertwerden
I Zur Vermeidung des Drift-Effekts ist eine Stabilisierung notwendig
I Projektionsverfahren benötigen häufig nur einen Schritt derNewton-Iteration
I Vereinfachte Jacobimatrizen erlauben eine schnellere und trotzdemstabile Integration mit dem linear-impliziten Eulerverfahren
I Offene Probleme. große Makroschritte. Fehlerschätzer und Extrapolation. Schaltfunktionen
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 22/23
Literatur
Literatur[1] J. Baumgarte. Stabilization of constraints and integrals of motion in
dynamical systems. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering, 1:1–16, 1972.
[2] B. Burgermeister. Echtzeitfähige Zeitintegration vondifferentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkörperdynamik. Master’sthesis, TU München, Zentrum Mathematik, 2003.
[3] E. Hairer and G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations. II. Stiffand Differential-Algebraic Problems. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 2nd edition, 1996.
[4] IVP-Testset. http://hilbert.dm.uniba.it/~testset/.
[5] W.O. Schiehlen. Technische Dynamik. Teubner Studienbücher, Stuttgart,1985.
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 23/23
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