dsa-neslihan serap Şengör-

Devre ve Sistem Analizi

Neslihan Serap ŞengörDevreler ve Sistemler A.B.D.

oda no:1107 tel no:0212 285 3610sengorn@itu.edu.tr

Ders Hakkında

• 1 Yarıyıl içi sınavı 5 Nisan 2010 % 20

• 5 Kısa sınav 22 Şubat

8 Mart

22 Mart

19 Nisan

3 Mayıs % 20

• 2 Ödev % 20

• Yarıyıl Sonu Sınavı % 40

Kaynaklar:

Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım II, İ.T.Ü. Yayınları, 1977.

Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım IV, Çağlayan Kitabevi, 1987.

Cevdet Acar, “Elektrik Devrelerinin Analizi” İ.T.Ü. Yayınları, 1995.

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York ( İşlenen Bölümler: 9,10,11,13)

M. Jamshidi, M. Tarokh, B. Shafai. “Computer-Aided Analysis and Design of Linear Control Systems”, Prentice Hall, 1992 ( İşlenen Bölümler: 2,3)

Elektrik Devrelerinin Temelleri dersinde neler öğrendiniz?

Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını öngörme

akım ve gerilim

Devre Teorisinin Aksiyomları:

Devre TeorisindeTanımlanmamış Büyüklükler : akım ve gerilim

Toplu parametreli, KAY, KGY

Eleman Tanım Bağıntıları:Lineer ve lineer olmayan direnç elemanları,Kapasite, Endüktans

Lineer zamanla değişmeyen devrelere özgü yöntemler:

Düğüm gerilimleri, çevre akımları

Bazı Teoremler:Tellegen Teoremi, Toplamsallık ve Çarpımsallık, Thevenin ve Norton Teoremleri

Dinamik Devreler ve Çözümleri

Hatırlatma: Kompleks Sayılar

Kartezyen Koordinatlar

jyxz zjezz

xz Re yz Im

x

y

22 yxz

xy

z arctan

z

z

Polar Koordinatlar

111 jyxz 222 jyxz

1

11zj

ezz

2

22zj

ezz

221121 jyxjyxzz 2121 yyjxx

1221212121. yxyxjyyxxzz

)(2121

21. zzjezzzz

22

11

2

1

jyx

jyx

z

z

2222

2211

jyxjyx

jyxjyx

2

222

12212121

yx

yxyxjyyxx

)(

2

1

2

1 21 zzje

z

z

z

z

xzz 2

jyzz 2

222. yxzzz

Hatırlatma: Dinamik Devrelerin Çözümleri

)()()()()()( 00 txttxtxttx özelözel

)()()()()()( 00 txttxtxttx özelözel

öz çözüm zorlanmış çözüm

öz çözüm zorlanmış çözüm

)()()(

0

)(0

t

t

tAAt dBuetxetx

Durum GeçişMatrisi

Öz çözümü bir daha yazarsak

)(.....)()()( 0)(

022)(

011)( 21 txSetxSetxSetx nn

tttttt onoo

özdeğerler

özvektörler

Öz çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir

.............................................................................................................

Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?

Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne? S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey.

Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası

)()( tAxtx dAx0

))(()( txftx )(0 dxf

Kaç tane denge noktası olabilir?

Sistemin davranışını incelemenin bir yolu kararlılığını incelemektir.

Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık

sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için

eşitsizliği

eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır.

))(()( txftx dx0

)()0( dxx

dxtx )(

)( dx

Lineer sistemlerde denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığını incelemek için ne yapılıyor?

Denge noktasının kararlılığı neye denk, neden?

Sürekli Sinüsoidal Hal

Amaç: Özel çözümü belirlemeye yönelik bir yöntem geliştirmek

Neden “sürekli sinüsoidal hal”?

sürekli Kalıcı çözümle ilgileniyoruz

sinüsoidal Devreyi uyaran kaynaklar sinüsoidal

Yöntem sadece elektrik devreleri ile sınırlı değil; kontrol teorisinde, Kuantum elektroniğinde, elektromanyetik teoride de kullanılır.

Araç: Fazör kavramından yararlanılacak

Sinüsoidal

)cos()( wtAtx m

genlik frekans faz

)cos()( wtAtx m

0mA

][:

2 ,2

ˆ ],/[:

Hzf

fww

Tsnradw

Fazör

jmeAA ̂

Fazör verildiğinde sinüsoidal büyüklüğe nasıl geçeceğiz?

Frekans ve fazör biliniyorsaAw

]Re[]Re[ )( wtjm

jwt eAAe

)cos( wtAm

Sinüsoidal Fazör

)cos()( wtAtx mj

meAA

sinsin)(

)cos()cos(

(wt))(A

wtA

m

m

sincos mm jAA

wtAwtAwtAm sin)Im(cos)Re()cos(

Lemma 1: tBeAe jwtjwt ],Re[]Re[

BA Tanıt: BA

tBeAe jwtjwt ,

tBeAe jwtjwt ],Re[]Re[

tBeAe jwtjwt ],Re[]Re[

]Re[]Re[ :01 BAt

jeew

tj

jwt 2

22 :

2

AjAAe

jwtIm]Re[]Re[ 2

BjBBejwt

Im]Re[]Re[ 2

]Im[]Im[ BA

BBjAAjAA ]Im[]Re[]Im[ ]Re[

Lemma 2: ]Re[)( ],Re[)( 2211jwtjwt eAtxeAtx

)( )( 2211 txAtxA

2211221121 )( ,, AaAa(t)xatxaRaa

Tanıt: ]Re[]Re[ )( 22112211jwtjwt eAaeAa(t)xatxa

]Re[]Re[ 2211jwtjwt eAaeAa

]Re[ 2211jwtjwt eAaeAa

])Re[( 2211jwteAaAa

22112211 )( AaAa(t)xatxa

Empedans-Admitans Kavramı

Amaç: Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş N devresininiki uçlu olarak tanımlanması

N 1-kapılısı

+

_v

is

ssjwt

ss wtIeIti cos]Re[)(

vjwt wtVVetv cos]Re[)(

N 1-kapılısına ilişkin giriş empedansı

)(

)(ˆ)(

wI

wVwZ

s

)()()( wjXwRwZ

resistans reaktans )()()( wIwZwV s

vjewVwV

)()(

SIwZwV )()( SZv

SZS wtIwZtv cos)()(

N 1-kapılısı

++

_v

i

Ijwt wtIIeti cos]Re[)(

SSjwt

SS wtVeVtv cos]Re[)(

N 1-kapılısına ilişkin giriş admitansı

)(

)(ˆ)(

wV

wIwY

s

)()()( wVwYwI s

IjewIwI

)()(

SVwYwI )()( SYI

SYS wtVwYti cos)()(

)()()( wjBwGwY

kondüktans suseptans

Empedans-Admitans Kavramını kullanarak neler yapabiliriz?

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York

)(

)()(

wI

wVwZ

)(

)()( 21

wI

wVwV

)()( 21 wZwZ

)(

)()(

wV

wIwY

)(

)()( 21

wV

wIwI

)()( 21 wYwY

Devre Denklemleri

0AIKAY:

VVA dT KGY:

sUIwNVwM )()(ETB:

s

d

T

UI

V

V

wNwM

IA

A

0

0

)()(0

0

00

)(wT

10ˆ)( jwTTwT

)(

0

0

)(

)(

)(

0

0

00

tuti

tv

tv

NM

IA

A

s

d

T

s

d

T

UI

V

V

wNwM

IA

A

0

0

)()(0

0

00

Direnç Devreleri Sürekli Sinüsoidal Hal

)(wTT

Zamanın fonksiyonu olan vektörler

)(),(),( titvtvd

Elemanları fazör olan vektörler

IVVd ,,

T‟nin elemanları reel sayılar T(w)‟nın son ne satırı kompleks sayılar

Devre reel katsayılı, lineer,cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.

Devre kampleks katsayılı, lineer,cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.

Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Düğüm Gerilimleri Yöntemi

0AIKAY:

VVA dT KGY:

sUIwNVwM )()(ETB:

0AIKAY:

VVA dT KGY:

ETB: sUIwNVwM )()(

sIVwYI )(Yöntem:

1. Adım: 1dn düğüm için KAY‟nı yaz 0AI

2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir,

2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.

SIAI

VAA 1

2

1211 ] (w)Y[

0] [2

121

I

IAA

SUI

VwNwM

2

2)]( )([

3. Adım: eleman gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yaz

4. Adım: düğüm gerilimlerini ve ikinci grup elemanların akımlarını bul

s

Sd

T

T

U

IA

I

V

wNAwM

AAwYA 1

22

2111

)()(

)(dTVAV 11

dTVAV 22

Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi

ÇT IBI KAY:

0BVKGY:

sUIwNVwM )()(ETB:

KAY:

KGY:

ETB: sUIwNVwM )()(

sVIwZV )(

ÇT IBI

0BV

Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi

ÇT IBI KAY:

0BVKGY:

sUIwNVwM )()(ETB:

KAY:

KGY:

ETB: sUIwNVwM )()(

sVIwZV )(

ÇT IBI

0BV

Yöntem:1. Adım: 1 de nn göz için KGYı‟nı yaz 0Bv

2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir,2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.

4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul

kVBV

IBB 1

2

1211 ] (w)Z[

0] [2

121

V

VBB

SUI

VwNwM

2

2)]( )([

3. Adım: eleman akımlarını çevre akımları cinsinden yaz

4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul

S

sç

T

T

U

VB

V

I

wMBwN

BBwZB 1

22

2111

)()(

)(çT IBI 11

çT IBI 22

Toplamsallık ve Çarpımsallık Özelliği

Teorem: (Toplamsallık)

Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar 1. Grup bağımsız kaynaklar

2. Grup bağımsız kaynaklar

1. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 2. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün

11,VI

2. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 1. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün

22,VI

Devrede tüm bağımsız kaynaklar varken ki çözüm 21

21 ,

VVV

III

T

T

Teorem: (Çarpımsallık)

VI ,Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları elemanları +Bağımsız kaynakların değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün VI

~,

~

kVV

kII

~

~

Thevenin (1883) ve Norton (1926) TeoremleriAmaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek.

Thevenin Eşdeğeri:

+

_v

i

N1-Kapılısı

Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar

+

_

v

i

+_

ZTH

VTH

ZTH Thevenin eşdeğer empedansı

Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedans

VTH Açık devre gerilimi

1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim

Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.

Norton Eşdeğeri:

+

_v

i

N1-Kapılısı

+

_

v

i

YNIN

+

_

v

i

+_

ZTH

VTH

Thevenin (1883) ve Norton (1926) TeoremleriAmaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri:

+

_V

I

N1-Kapılısı

+

_V

I

+_

ZTH

VTH

ZTH Thevenin eşdeğer empedansı

Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedansVTH Açık devre gerilimi

1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim

+

_V

I

+_

ZTH

VTH

Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm Ideğerleri için tek çözümü varsa ( tek V değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.

Norton Eşdeğeri:

+

_V

I

N1-Kapılısı

+

_

V

I

YNIN

GN Norton eşdeğer admitansı

Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer admitans

iN Kısa devre akımı

1-1‟ uçları kısa devre iken 1-1‟ uçlarındaki akım

+

_

V

I

YNIN

Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı bağlandığında tüm V değerleri için tek çözümü varsa ( tek I değeri belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.

• Thevenin Eşdeğeri: THTH VIZV

N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok

• Norton Eşdeğeri: NN IVYI

N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok

• 0 ,0 VZTHTH

THN

Z

VI

• 0 ,0 IYNN

NTH

Y

IV

,0THZ Norton eşdeğeri yok

,0NY Thevenin eşdeğeri yok

SSH‟de Devre Fonksiyonları

+

_

V1

IS

NLineer

zamanla değişmeyen elemanlar

0

0

0

)()(0

0

00

s

d

T

II

V

V

wNwM

IA

A

)(wT

Vdk „nın Is fazörü sabit iken w ile değişimi nasıldır?

Sdk IwT

wkofaktörTwV

)(det

)()(

)(

)()(

jwQ

jwP

I

wV

S

dk )( jwP ve (jw)‟nın reel katsayılı çok terimlileri

)( jwQ

mm

nn

S

dk

jwbjwbjwb

jwajwajwa

I

wV

)(...)()(

)(...)()()(2

21

221

Sadece N devresine

bağlı, Is „den bağımsız.

İlgilenilen her büyüklük için benzer fonksiyonlar tanımlanabilir:

)(

)(

wI

wV

S

dk Empedans Fonksiyonu

)(

)(1

wI

wV

S

Giriş Empedans Fonksiyonu

)(

)(

1 wV

wVdk Gerilim Transfer Fonksiyonu

Devre Fonksiyonlarının Simetri Özellikleri

Ön Bilgi:

Lemma: kompleks değişkeninin reel katsayılı çok terimlisi olsun

1)

2) z n(z)‟nin sıfırı olarak isimlendirilir.

jwssn ),(

)()( snsn

0)(0)( znzn

Tanıt: 011

1 ...)( nsnsnsnsn kk

kk

Rnnnn kk 011 ,,...,

1) ...)( 011

1 nsnsnsnsn kk

kk

011

1 ... nsnsnsn kk

kk

011

1 ... nsnsnsn kk

kk

)(sn

2) 00)(0)( znzn

0)(0)()()( znznznzn(1)‟den

Devre Fonksiyonu: )(

)()(

jwd

jwnjwH

)()()(

jwj HejwHjwH

)(

)()(

jwd

jwnjwH

Özellik: Herhangibir devre fonksiyonunun genliği w‟nın çift fonksiyonudur,fazı da her zaman w‟nın tek fonksiyonudur.

Tanıt:

)(

)()(

jwd

jwnjwH

)(

)()(

jwd

jwnjwH

)(

)(

jwd

jwn

jwjw ve Lemma‟dan )(

)()(

jwd

jwnjwH

)( jwH

)()( )()( jwHjwHjwHjwHw

‟nin fazı seçilebildiğinden ss

)()( jwjw HH

+_ Vk (t) N-Devresi )cos()(

kVkk wtVtv

kd VjwHVj

)(

)cos()()(kj VHkd wtVjwHtv

kd VjwHVj

)(

kdj VHV

Sonuç:Devrenin w frekansındaki davranışını belirlemek için genlikleri ile fazlarını belirlemek yeterli.

jdk VV ,HVk

,

Hatırlatma

)cos()cos(coscos2

sinsincoscos)cos(

)2cos1(2

1cos2

yxyxyx

yxyxyx

xx

*

**

***

SSH‟de Güç ve Enerji Kavramları

Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller

Ani Güç ve Ortalama Güç

R 2- uçlu direnç elemanı

)cos()( ImR wtIti IjmR eII

Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:

)cos()cos()()()( ImImRR wtIwtRItitvtp

* bağıntısından )](2cos1[2

1)()()( 2

ImRR wtRItitvtp

wT

2Ani güç peryodu boyunca iki kere ve arasında değişiyor

2mRI0

Bir peryod boyunca ortalama güç:2

02

1)(

1m

T

ort RIdttpT

p

C kapasite elemanı

)cos()( vmc wtVtv vjmC eVV

Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:

)2

cos()cos()()()(

vmvmccc wtwCVwtVtitvtp

*** bağıntısından

Bir peryod boyunca ortalama güç: 0)(1

0

T

ort dttpT

p

vjmCC ejwCVjwCVI

)]sin()cos(Re[

))]sin()(cos(Re[]Re[)(

vmvm

vvmjwtj

mc

wtwCVwtjwCV

wtjwtjwCVeejwCVti v

)2

cos()(

vmc wtwCVti

}2

cos]2

)(2{cos[2

1)( 2

vmc wtwCVtp

)4

(2cos2

1 2 vm wtwCV

wT

2Ani güç peryodu boyunca iki kere ve arasında

değişiyor

2

2

1mwCV 2

2

1mwCV

L endüktans elemanı

Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekildeKaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:

Bir peryod boyunca ortalama güç: 0)(1

0

T

ort dttpT

p

)4

(2cos2

1)( 2

ImL wtwCItp

1-Kapılı

i

+

_v N-Devresi

SSH G

Iti

Vtv

)(

)(

T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:

)cos()cos()()()( imvm wtIwtVtitvtp

*** bağıntısından )2cos(2

1)cos(

2

1)( ivmmivmm wtIVIVtp

Bir peryod boyunca ortalama güç: )cos(2

1)(

1

0

ivmm

T

ort IVdttpT

p

)cos(2

1ivmmort IVp

Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı

)cos( iv Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır

V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans fonksiyonu Z‟ye ilişkin faz „dir.

ivZ

900 Zortp

)Re(2

1cos

2

1

)Re(2

1cos

2

1

2

2

YVIVp

ZIIVp

mYmmort

mZmmort

Kompleks Güç

i

+

_v N-Devresi

SSH G

1-kapılı N devresine G kaynağı tarafından aktarılan kompleks güç:

IVP2

1̂

vjmeVV

ijmeII

)sin(2

1)cos(

2

1ivmmivmm IVjIVP

ortp Q

jQpP ort

AktifGüç

[Watt]

Reaktif Güç

[VAR] [VAR]-VoltAmperReaktif

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York

mmort IVp2

1 0Q

0ortpmmIVQ

2

1

0ortpmmIVQ

2

1

Kompleks Gücün Sakınımı

KAY+KGY Tellegen

Teoremi Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir

Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanladeğişmeyen devrenin SSH‟de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredekielemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir.

Tanıt:

neVVVV ,....,,, 321

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York

neIIII ,....,,, 321

KGY‟yi sağlayan gerilim fazörleri KAY‟yi sağlayan akım fazörleri

00 IAAIKAY

Tellegen teoreminden 02

1

1

ne

k

kk IV

ne

k

kk IVIV2

112

1

2

1

Maksimum Güç Transferi Teoremi

Amaç: Devre SSH‟de çalışıyor; ZL „nindeğerini, çektiği aktif gücün maksimum olmasını sağlayacak şekilde belirlemek.

ZL =?

mGG

GGG

EE

jXRZ

Varsayımlar:

Kompleks gücün sakınımı Aktif gücün sakınımı2

2

1}Re{

2

1LGLGL IRIEP

Kaynağa ilişkin aktif güç

ZG ‟de harcanan aktif güç

2

2

1cos

2

1mLGILGL IRIEP

Lm

PL , ØIL ve ILm „nin fonksiyonu (RG >0 ve EG baştan belirli)

2

2

1cos

2

1mLGILGL IRIEP

Lm

PL „yi maksimum kılmak için 1cos LI

mLGG

L

L IREI

P

m

2

1

G

L

L RI

P

m

2

2

0

0

IL „nin maksimum değeri: oL

I

m

jo

Lo

L eII

02

1 o

GGmL

IRE

G

Go

R

EI

mL 2

1

1cos o

LI

0o

LI

GoL ZZ

GGoL jXRZ

G

GoL

R

EP

8

2

Sonuç: SSH‟de kaynakları w frekanslı 1-kapılı ZL yük empedansını beslesin. Bu 1- kapılı Thevenin eşdeğeri ile

verilsin.Yük empedansının bu 1-kapılıdan maksimum ortalama güç çekmesi için gerek ve yeter koşul olmasıdır.

0 , , GGGGG RjXRZE

GoL ZZ

Bu durumda yüke aktarılan maksimum aktif güç: G

GoL

R

EP

8

2

GoL ZZ , „ye eşit olduğundan kaynağın enerjisinin %50‟si

yüke aktarılıyor. „yi kontrol etmek imkanımız olmadığından bu elde edilebilecek en iyi sonuç.

GL RR

GZ

Hatırlatma: Durum Denklemleri

nRx durum değişkenleri - kapasite gerilimleri, endüktans akımları rRy çıkış büyüklükleri - ilgilenilen eleman akımları ve gerilimleri pRu giriş büyüklükleri - bağımsız akım kaynağının akımı ve bağımsız

gerilim kaynaklarının gerilimleri

0)0( , xxDuCxy

BuAxx

EDT dersinde n=2 için çözümler bulundu

00

2

1

2

1

2221

1211

2

1)( , xtxu

b

b

x

x

aa

aa

x

x

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

)()()( txtxtx özelhT

tth e

S

SSetx

2

1)(

Homojen kısım:

Çözüm Tahmini

00)( , xtxAxx

ASS

ASeSe tt

belirlememiz gereken kaç büyüklük var?

0 SAI sıfırdan farklı çözümlerin olması nasıl mümkün olur?

0det AI 02 baKarakteristik

Denklem

21,Karakteristik denklemin kökleri: özdeğerler

SBelirlememiz gereken özvektör

011 SAI

Hangi uzayın elemanı?O uzaya ait neyi belirlersek

aradığımızı bulmuş oluruz?

022 SAI

„e ilişkin özvektör 1

„e ilişkin özvektör 2

111 VcS

222 VcS

2

121

21)(c

cVeVetxtt

h

)(tMTemel Matris

2

1)(

c

ctM

)(

)()(

2

1

tx

txtx

özel

özel

özel

Özel çözüm:

Tam çözüm: )()()( txCtMtx özel

Nasıl belirleyeceğiz?

)()()( 000 txCtMtx özel )()()( 001

0 txtxtMC özel

)()()()()()( 0001 txtxtxtMtMtx özelözel

)()()()()()( 0001 txtxtxtMtMtx özelözel

Durum Geçiş Matrisi

)(),()()(),()( 0000 txtttxtxtttx özelözel

),( 0tt

)(),()()(),()( 0000 txtttxtxtttx özelözel

öz çözüm zorlanmış çözüm

öz çözüm zorlanmış çözüm

)()()(

0

0 )(0

)(

t

t

tAttAdBuetxetx

Yüksek Mertebeden Devrelerin Durum Denklemlerin Çözümü

nnn RARxxtxAxx , ,)( , 00

2

121

21)(c

cVeVetxtt

h

)(tMTemel Matris

2

1)(

c

ctM

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

iki sütunu var ve her sütun lineer

bağımsız ve çözüm

nnRtX )(

Temel Matris

n sütunu var ve sütunları lineer

bağımsız çözümler

Temel Matris- • tersinir matris• diferansiyel denklemi sağlar• temel matrisler birbirlerinden bir sabit çarpımı ilefarklıdır

• verilen ilk koşul için tek olarak belirlenir.

n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

)()()()( 001 txtMtMtx

Durum Geçiş Matrisi

),( 0tt

Ne yapmakta?

CtttX ),()( 0

n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek

Durum Geçiş matrisi

),(),( 00 ttAtt

Itt ),( 00

C tersinir matris

)(),(),()( 000 txttctttx i Gerçekten çözüm mü, nasıl anlayacağız?

Durum geçiş matrisinin özellikleri

Durum Geçiş matrisi

),(),( 00 ttAtt

Itt ),( 00

nnn RARxxtxAxx , ,)( , 00

İlgilendiğimiz Sistemler

210011202 ),,(),(),( ttttttttt

00)( xtx 0011 ),()( xtttx

11)( xtx 1122 ),()( xtttx

001122 ),(),()( xtttttx

0022 ),()( xtttx ),(),(),( 011202 tttttt

1-

2- ),(),( 001 tttt

210011202 ),,(),(),( ttttttttt

20011000 ),,(),(),( tttttttt

),(),( 0110 ttttI

),(),( 001 tttt

nnn RARxxtxAxx , ,)( , 00

İlgilendiğimiz Sistemler

)(),()( 00 txtttx

Çözüm

pnnnn RBRARxxtxBuAxx , , ,)( , 00

İlgilendiğimiz Sistemler

Yarsayım: )(),()( 0 tytttx

)(),()(),())(),(()( 000 tytttytttyttdt

dtx

)(),()(),( 00 tyttAtytt

BuAxx

Yarsayımı yerleştirirsek ButyttAx )(),( 0

*

**

* ve **‟dan )(),()(),()(),( 000 tyttAtyttButyttA

)(),( 0 tyttBu

Buttty ),()( 01

)()(),()( 001

0

tydButty

t

t

00001

0 ),()( xxttty

t

t

dButttxtttx

0

)(),(),(),()( 01

000

)(),()( 0 tytttx

t

t

dButxtttx

0

)(),(),()( 00

Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler için:

At

ttA

et

ett

)0,(

ˆ),()(

00

Çözümü bulmak için „nin belirlenmesi gerekiyor.)( 0ttAe

Ön bilgi: Laplace dönüşümü

3- Laplace Dönüşümü

Pierre-Simon,marquis de Laplace

1749-1827

Tanım: 0 ),( ttf için sürekli ya da parça parça

sürekli bir fonksiyon olsun,

koşulunu sağlıyorsa „nin Laplace dönüşümü aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:

0,)(),(

dtetftf t

)(tf )(sF

dtetfsF st)(ˆ)(

0

)(ˆ)( dtetfsF st

)()( tfsF L ile „nin Laplace dönüşümünü )(tf

)()( 1 sFtf -L ile ters Laplace dönüşümünü belirteceğiz

Laplace dönüşümünün özellikleri

1- Teklik

2- Lineerlik

)()()(

)()()(

222

111

sFtftf

sFtftf

L

L1c ve sabit büyüklük olmak üzere 2c

)()()()( 22112211 sFcsFctfctfc L

Tanıt:

0

22112211 )]()([)()( dtetfctfctfctfc stL

0 0

2211 )()( dtetfcdtetfc stst

0 0

2211 )()( dtetfcdtetfc stst

)()( 2211 sFcsFc

3- )()()( tfsFtf L

)0()()()(

fssFdt

tdf

dt

tdfL

Tanıt: dtdt

tdfe

dt

tdf st

0

)()(L

udv

dtsetftfe stst

00

))(()(

dtetfsf st

0

)()0(

)()0( ssFf

)0()( fssF

4- )()()( tfsFtf L

)()()(ˆ)()(ˆ asFtfesFtfetf atat L

Tanıt: dttfeetfe atstat

0

)()(L

dttfe tas

0

)( )(

asS ̂ )()(

0

SFdttfe St

)( asF

5- )()()( tfsFtf L

)()(1)()(1)( 1

1111 sFeTtTtfTtTtfsT

L

Tanıt: dteTtfdteTtTtf

T

st

T

st

1

1

)(0)(1)( 1

0

11L

1ˆ Tt

dtd ̂ def

T

Ts

1

1)()(

defe

T

ssT

1

1 )(

)(1 sFesT

6- )()()( tfsFtf L

Tanıt:

dv

)(1

)()(

00

sFs

dfdf

tt

L

0 00

])([)( dtedfdf sttt

L

u

000

)(])([ dts

etf

s

edf

ststt

u v

0

00

00

)(1

])([])([ dtetfss

edf

s

edf st

t

0 0)(1

sFs

7- )()()( tfsFtf L

a

sF

aatfatf

1)()( L

Tanıt:

0

)()( dteatfatf stL

pat ̂

dpadt ̂

0

1)( dp

aepf a

sp

0

)(1

dpepfa

a

sp

a

sS ̂

0

)(1

dpepfa

Sp

a

sF

aSF

a

1)(

1

)()()(

)()()(

222

111

sFtftf

sFtftf

L

L8-

dftf

dtffdtff

t

tt

)()(

)()()()(

2

0

1

2

0

12

0

1

L

L

)()( 21 sFsF

)(*)( 21 tftf

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Öz Çözümün Bulunması

0)0(, xxAxx -

)()( 0 sAXxssX

0)()( xsAXssX

0)(][ xsXAsI

01][)( xAsIsX

)(s

01 )()( xstx - L öz çözüm

0)( xetx At

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Zorlanmış Çözümün Bulunması

0)0(, xxBuAxx

)()()( 0 sBUsAXxssX

)()()( 0 sBUsAXxssX 0

)()(][ sBUsXAsI

)(][)( 1 sBUAsIsX

)(s

)()()( sBUssX

)}()({)( 1 sBUstx - L zorlanmış çözüm

t

dButtx

0

)(),()(

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Tam Çözümün Bulunması

0)0(, xxBuAxx

)()()()( 0 sBUsxssX

tAt dButxetx

0

0 )(),()(

Çıkışın Belirlenmesi

DuCxy

)()()( sDUsCXsY

)()]()()([)( 0 sDUsBUsxsCsY

)(])([)()( 0 sUDBsxsCsY

)()(),()(

0

0 tDudButCxCety

tAt

Özdeğerler, Sıfırlar ve Kutuplar

0)0( , xxDuCxy

BuAxx

(1)

mrn RuRyRx ,,

Tanım (1) ile verilen sistemin özdeğerleri A‟nın karakteristik çok terimlisinin kökleridir.

))...()(()det()( 21 nAIp karakteristikçok terimli

n1,2,...,i ,iözdeğerler reel, kompleks, katlı olabilirler.

01][)( xAsIsX 0

]det[

)(x

AsI

AsIek

n

i i

i xs

R

1

0)(

nxn sabit matris

n

i

iit

i xRetx i

1

0ˆ,)( nx1 sabit

vektör

Tanım: (1) ile verilen sistemin kutupları

DBAsICsU

sYsG 1)(

)(

)()(

)][det(

)][det()]([

AsI

AsIDBAsIekC

)(

)(

s

sW

kökleridir.))...()(()( 21 sssssss

Sonuç: Kutuplar özdeğerlerin bir alt kümesidir n

Tanım: (1) ile verilen sistemin sıfırları, ( sabit nx1

vektör) girişine çıkışı veren s değerleridir. 0)( uetu st 0u

0)( ty

)()()(

0)()()(

sYsDUsCX

sBUsXAsI

Bir şey ihmal edilmiş ,ne?

0)(sY

0

0

)(

)()(

)()(

sU

sX

DC

BAsI

mnrnmrnr

mnnn

)}(),min{()(

mnrnDC

BAsIrank

Girişler çıkışlara eşit ise m=r 0

)(detˆ)(

DC

BAsIs

Sistemin sıfır çok terimlisi

Girişler çıkışlara eşit ise „in kökleri (1) sisteminin sıfırlarıdır)(s

])(det[)det()( 1 DBAsICAsIs

)(spKarakteristik çok terimli

)(sG

)](det[)()( sGsps

Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik ve Kararlılık

Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi?

)( 0tx *x )(tu

Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? )( 0tx

)(ty

Kararlılık: Denge durumunda bulunana bir sistem, bu durumda uyarıldığında, sistem tekrar denge durumuna mı döner, yoksa denge durumundan uzaklaşır mı?

Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır.

Önbilgi

Cayley-Hamilton Teoremi: nxn kare A matrisine ilişkin karakteristik çok terimli

olsun. A matrisi karakteristik çok terimlisini sağlar.nn

nnn ppppAsI 1

22

11 ...)det(

0... 12

21

1 IpApApApA nn

nnn

Önbilgiye devam

Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı

Tanım: 1xm boyutlu, elemanları zamanın fonksiyonu olan bir vektör olmak üzere fonksiyonlar kümesi aralığında lineer olarak bağımsızdır.

nitfi ,...,2,1),(

nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt

],[,...,2,10,0)( 10

1

ttnitfn

i

iii

t

Biraz daha açık yazarsak

m

mnn

nn

tf

tf

tf

1

2

1

121 0

)(

)(

)(

...

0)(...)()( 2211 tftftf nn

0)](...)()([...

)](...)()([)](...)()([

21

222212112111

tftftf

tftftftftftf

nmnnn

mm

Dikkat!!

Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonları

aralığında lineer bağımsızdır tersinir

nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt

dttFtFttG

t

t

T

1

0

)()(ˆ),( 10

nxn matris

nf

f

f

tF2

1

ˆ)(

Tanıt: „lerin aralığında lineer bağımsız iken „in tersinir olduğu gösterilecek.

)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG

Varsayım: „ler aralığında lineer bağımsız olsun, ama tekil olsun.

)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG

),( 10 ttG tekil 0),(,0 101 ttGn 0),( 10 TttG

dttFtFttG T

t

t

TT 1

0

)()(),( 10 0])()][([1

0

dttFtF T

t

t

negatif olmayan skaler bir fonksiyon

0)( tF )(tfi „ler lineer bağımsız değil

),( 10 ttGVarsayıma aykırı tersinir

Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonları

aralığında lineer bağımsızdır tersinir

nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt

dttFtFttG

t

t

T

1

0

)()(ˆ),( 10

nxn matris

nf

f

f

tF2

1

ˆ)(

Tanıt: „lerin aralığında lineer bağımsız iken „in tersinir olduğu gösterilecek.

)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG

Varsayım: „ler aralığında lineer bağımsız olsun, ama tekil olsun.

)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG

),( 10 ttG tekil 0),(,0 101 ttGn 0),( 10 TttG

dttFtFttG T

t

t

TT 1

0

)()(),( 10 0])()][([1

0

dttFtF T

t

t

negatif olmayan skaler bir fonksiyon

0)( tF )(tfi „ler lineer bağımsız değil

),( 10 ttGVarsayıma aykırı tersinir

Hatırlatma

tersinir , ‟lerin aralığında

lineer bağımsız olduğu gösterilecek.

),( 10 ttG ],[ 10 tt)0),((det 10 ttG )(tfi

Varsayım: tersinir ancak „ler aralığında lineer bağımlı)(tfi ],[ 10 tt),( 10 ttG

0)(,01 tFn dttFtF

t

t

T

1

0

)()( 0),( 10 ttG

),(0),( 1010 ttGttG tersinir değil, varsayıma aykırı

„ler aralığında lineer bağımsız)(tfi ],[ 10 tt

Lemma: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun

sağlayan bir var ise

nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt

ntFtFtFrank an

aa ])(...)()([ )1(

],[ 10 ttta „ler aralığında lineer bağımsızdır)(tfi ],[ 10 tt

Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında (n-1). mertebeye kadar sürekli türevleri olsun,

sağlayan bir var ise „ler aralığında lineer bağımsızdır.

nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt

ntFtFtFrank an

aa ])(...)()([ )1(

],[ 10 ttta )(tfi ],[ 10 tt

Tanıt: varsayımancak „ler aralığında lineer bağımlılar.

ntFtFtFrank an

aa ])(...)()([ )1(

)(tfi ],[ 10 tt

],[,0)(,0 101 ttttFn

],[1,...,2,1,0)( 10)( tttnjtF j

],[],)(...)()([ 10)1( ttttFtFtF aa

naa

satırları lineer bağımsız değil

ntFtFtFrank an

aa ])(...)()([ )1( varsayımı ile çelişiyor

„ler aralığında lineer bağımsız olmalı. )(tfi ],[ 10 tt

Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi?

)( 0tx *x )(tu

Tanım: Yönetilebilirlik:1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem aralığında

yönetilebilir. ],[ 10 tt

2) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır.

0t 0x 1t 1x ],[ 10 tt

Lineer sistemler için :

3) anındaki başlangıç durumunu anındaki herhangi bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır.

0t 0 1t 1x ],[ 10 tt

4) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır.

0t 1t 0 ],[ 10 tt

0x

1

0

101 )()(

0)(

1

t

t

tAttAdBuexex

1

0

101 )()(

0)(

1

t

t

tAttAdBuexex

1̂x

1

0

1 )(ˆ )(1

t

t

tAdBuex

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş1̂x 0

1

0

101 )(0)(

10)(

t

t

tAttAdBuexxe

1

0

101 )()(

0)(

1

t

t

tAttAdBuexex

1

0

10101 )(][0)(

1)(

0)(

t

t

tAttAttAdBuexexe

0x̂

1

0

101 )(ˆ0)(

0)(

t

t

tAttAdBuexe

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş0x̂ 0

Teorem: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları

aralığında lineer bağımsızdır.

)()()( tButAxtx

],[ 10 ttBetF

ttA )( 0ˆ)(

0t

Tanıt: )(tF „ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek

anındaki çözüm1tt

1

0

101 )()()()(

0)(

1

t

t

tAttAdBuetxetx

1

0

00101 )()()()()(

0)(

1

t

t

tAttAttAdBueetxetx

matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsızolduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz

],[ 10 ttBetFttA )( 0ˆ)(

deBBettG TtA

t

t

TtA)(),(

)()(10

0

1

0

0

tersinirdir.

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir,

)( 0tx 0)( 1 tx

)(),()()( 0101)( 0 txttGeBtu TttAT

1

0

000101 )(),()()()( 0101)()()(

0)(

1

t

t

TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx

1

0

000101 )(),()()()( 0101)()()(

0)(

1

t

t

TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx

1

0

000101 )(),()()()( 0101)()()(

0)(

1

t

t

TtATtAttAttAtxttGdeBBeetxetx

),( 10 ttG

)()()( 0)(

0)(

10101 txetxetx

ttAttA

0)( 1 tx

)(tF „ nin satırları lineer bağımsız ise başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.

0)( 1 tx)( 0tx

Lemma: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun

sağlayan bir var ise

nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt

ntFtFtFrank an

aa ])(...)()([ )1(

],[ 10 ttta „ler aralığında lineer bağımsızdır)(tfi ],[ 10 tt

Hatırlatma

Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları

aralığında lineer bağımsızdır.

)()()( tButAxtx

],[ 10 ttBetF

ttA )( 0ˆ)(

0t

Tanıt: )(tF „ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek

anındaki çözüm1tt

1

0

101 )()()()(

0)(

1

t

t

tAttAdBuetxetx

1

0

00101 )()()()()(

0)(

1

t

t

tAttAttAdBueetxetx

matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsızolduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz

],[ 10 ttBetFttA )( 0ˆ)(

deBBettG TtA

t

t

TtA)(),(

)()(10

0

1

0

0

tersinirdir.

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir,

)( 0tx 0)( 1 tx

)(),()()( 0101)( 0 txttGeBtu TttAT

1

0

000101 )(),()()()( 0101)()()(

0)(

1

t

t

TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx

1

0

000101 )(),()()()( 0101)()()(

0)(

1

t

t

TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx

1

0

000101 )(),()()()( 0101)()()(

0)(

1

t

t

TtATtAttAttAtxttGdeBBeetxetx

),( 10 ttG

)()()( 0)(

0)(

10101 txetxetx

ttAttA

0)( 1 tx

)(tF „ nin satırları lineer bağımsız ise başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.

0)( 1 tx)( 0tx

Varsayım: sistem yönetilebilir ancak „nin satırları lineer bağımlı)(tF

0)(,01 tFn Ttx )( 0 alırsak

1

0

00101 )(0)()()(

t

t

tAttATttAdBueee

1

0

00101 )(0)()()(

t

t

tAttATttAdBueee

1

0

0 )(0)(

t

t

tAT dBue

1

0

0 )(0)(

t

t

tAT dBue

1

0

0 )(0)(

t

t

tAT dBue 0)( tF

T0

0 varsayım ile çelişiyor

)(tF „ nin satırları lineer bağımsız

Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir

)()()( tButAxtx

nBAABBrankrank n ]...[ˆ)1(C

yönetilebilirlik matrisi

Tanıt: Teorem 2 yönetilebilir „nin satırları lineer bağımsız

)()()( tButAxtx BettA )( 0

Lemma nBAeABeBerank nAtnAtAt aaa ]...)1(...[ 11

nBAABBrankt nna ]...)1(...[0 11

Cayley-Hamilton Teoreminden „nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez

11 ,...,,...., nnn AAIAA

nBAABBrank n ]......[ 1

Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? )( 0tx

)(ty

Tanım: Gözlenebilirlik

aralığındaki giriş-çıkış çiftinden tek olarak belirlenebiliyorsasistem aralığında gözlenebilirdir.

)( 0tx ],[ 10 tt ],[ 10 tt

Du(t)dBueCtxCety

t

t

tAttA

0

10 )()()()(

0)(

Du(t)dBueCtyty

t

t

tA

0

1 )()(ˆ)(ˆ)(

)()(ˆ 0)( 0 txCety

ttA

Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen

sistemi gözlenebilir matrisinin sütunları aralığında lineer bağımsız.

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

)( 0ˆ)(~ ttA

CetF

],[ 10 tt

Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Hatırlatma

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

Yönetilebilirlik

matrisinin satırları aralığında lineer bağımsızdır. ],[ 10 ttBetFttA )( 0ˆ)(

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş)( 0tx 0)( 1 tx

)(),()()( 0101)( 0 txttGeBtu TttAT

nBAABBrankrank n ]...[ˆ1C

Gözlenebilirlik

matrisinin sütunları aralığında lineer bağımsızdır. ],[ 10 tt)( 0ˆ)(~ ttA

CetF

n

CA

CA

C

rankrank

n

1

ˆO

1

0

0 )(ˆ),()()(

101

0

t

t

TTttAdttyCettMtx

Du(t)dBueCty

t

t

tA

0

1 )()()(

1

)()( 0

1

0

0

deCCe

tA

t

t

TTtA

Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik

Varsayım: A‟nın özdeğerleri lineer katsız n ,...,, 21

0D

‟ler birbirinden .......ix

ise .................................dolayısıyla sistem...........0ib ix

ise .................................dolayısıyla sistem...........0ic ix

xcccy

u

b

b

b

xx

n

nn

...

0

0...

0...00

0...00

0...00

21

2

1

3

2

1

(*)

(*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu:

n

n

n

b

b

b

s

s

s

s

ccc

BAsICsG

2

1

3

2

1

21

1

10

0...

0...1

00

0...01

0

0...001

...

)()(

n

i i

ii

s

bcsG

1

)(

0jb 0jcve/veya ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez

n

jii i

ii

s

bcsG

1

)(

Lemma: sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul transfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır.

),,( CBA

BAsICsG 1)()(

Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak:

BAsIsGc1)()( Yönetilebilirlik için

1)()( AsICsGo Gözlenebilirlik için

BetFttA )( 0ˆ)(

)( 0ˆ)(~ ttA

CetF

t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler

Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin ayrıştırılması