dokuz eylül Üniversitesi mühendislik fakültesi endüstri...
Post on 25-Jun-2020
26 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Dokuz Eylül Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Endüstri Mühendisliği BölümüEND 2303 İstatistik-I
Bölüm 4: Sürekli Rastgele Değişkenler &
Karışık Rastgele Değişkenler
Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN
Ekim, 2019
Örnek-2
Benzindeki kurşun konsantrasyonu 0.1 ile 0.5 arasında
değişmektedir.
a) Depodan rastgele alınan 1 L benzin konsantrasyonunun 0.2 ile
0.3 arasında bulunma olasılığı nedir?
b) X’in kümülatif dağılım fonksiyonunu bulunuz ve çiziniz.
c) Kümülatif dağılım fonksiyonunu kullanarak P (0.2 < x <0.3)
olasılığını hesaplayınız.
Not: Kümülatif dağılım fonksiyonunun türevi, olasılık yoğunluk
fonksiyonunu verecektir.
𝑓 𝑥 = 12.5𝑥 − 1.25 0.1 < 𝑥 < 0.5
0 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒
Örnek-3
𝐹 𝑡 = 0 𝑡 < 0
𝑡 − 99 99 ≤ 𝑡 ≤ 1001 100 < 𝑡
Verilen fonksiyonlar, sürekli bir rastgele değişken için bir
kümülatif dağılım fonksiyonu mudur ?
Örnek-4
𝐹 𝑥 =
0 𝑥 ≤ 0𝑥2 0 < 𝑥 ≤ 1/21
2𝑥
1
2< 𝑥 ≤ 1
1 𝑥 > 1
Bir imalat işletmesindeki elektriksel bir arızayı gidermek
için geçen zaman (saat) bir rastgele değişkenle ifade
edilmektedir. Bu rastgele değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu aşağıda verilmiştir. Bu elektriksel arızasının
giderilmesi sırasında oluşan maliyet 𝑥3 ise, beklenen arıza
maliyeti ne kadardır ? (Birim/saat)
Örnek-6
𝑓 𝑥 = 1 0 < 𝑥 < 10 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒
Örnek-7:
𝑓 𝑥 =
125
216𝑥 = −1
75
216𝑥 = 1
15
216𝑥 = 2
1
216𝑥 = 3
a) Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan yola çıkarak, X rastgele
değişkeninin kümülatif dağılım fonksiyonunu elde ederek çiziniz.
b) 𝑃 0 < 𝑥 ≤ 3 = ?
c) 𝐹 0 = ?
d) 𝑃 −1 < 𝑥 ≤ 0 = ?
e) 𝑃 1 < 𝑥 ≤ 2 = ?
Kesikli Rassal değişken !
Aşağıda kümülatif dağılım fonksiyonu verilen X rastgele
değişkeni için f (0), f (2) ve f (3) olasılık yoğunluk fonksiyonu
değerlerini elde ediniz.
Örnek-8
𝐹 𝑥 =
0 𝑥 < 01
20 ≤ 𝑥 < 2
5
62 ≤ 𝑥 < 3
1 𝑥 ≥ 3
Kesikli Rassal değişken !
Kümülatif dağılım fonksiyonu verilen T sürekli rastgele
değişkeni için f (t) olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz
ve 𝑃(1 < 𝑇 < 3) , 𝑃 𝑇 < 2 ve 𝑃 𝑇 > 4 olasılık
değerlerini hesaplayınız.
Örnek-9
𝐹 𝑡 = 0 𝑡 < 0
1 − 𝑒−𝑡 𝑡 ≥ 0
Karışık Rastgele Değişkenler (Mixture
Random Variables) Bazen kesikli, bazen ise sürekli gibi hareket eden rastgele
değişkenlerdir. Tanımlı olduğu aralığın belli bir bölümündekesikli, diğer bölümlerinde sürekli olan rastgele değişkenlerdir.
Aşağıda kümülatif dağılım fonksiyonu verilen bir T karışıkrastgele değişkeni için Kümülatif dağılım fonksiyonunu çizerekilgili olasılık değerlerini hesaplayınız.
Örnek-10
𝐹 𝑡 =
0 𝑡 < 01
20 ≤ 𝑡 < 1/2
𝑡 1/2 ≤ 𝑡 < 11 𝑡 ≥ 1
𝑃1
4< 𝑇 <
3
4=?
𝑃 −1 < 𝑇 <1
2=?
Örnek-11
Bir X rastgele değişkenine ait dağılım fonksiyonu
(Kümülatif dağılım) aşağıda verilmiştir.
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =
0 𝑥 < 0
𝑥 2 0 ≤ 𝑥 < 1
2 3 1 ≤ 𝑥 < 2
1112 2 ≤ 𝑥 < 3
1 3 ≤ 𝑥
a) 𝑃 𝑥 > 1 2 =?
b) 𝑃 2 < 𝑥 ≤ 4 =?
c) 𝑃 𝑥 ≤ 3 =?
d) 𝑃 𝑥 = 1 =?
Örnek-12
Aşağıda karışık bir rastgele değişkene ait kümülatif dağılım
fonksiyonu verilmiştir.
a) Verilen kümülatif dağılım fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) 𝑃 −3 < 𝑥 ≤1
2=?
c) 𝑃 𝑥 = 0 =?
𝐹 𝑥 =
0 𝑥 < 0𝑥 + 1
20 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑥 ≥ 1
X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda
verilmiştir.
a) a sabitinin değerini bulunuz.
b) 𝑃 𝑥 ≥ 4 =?
c) 𝑃 𝑥 − 5 < 0.5 =?
Örnek-13
𝑓 𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 3 2 ≤ 𝑥 < 80 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒
Bir ürünün ağırlığı kg. cinsinden X rastgele değişkeni ile
gösterilmektedir. X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir.
a) Bir ürünün ortalama ağırlığı ne kadardır ?
b) Ürün ağırlıklarının ortalamadan sapması ne kadardır ? Var(x)
c) İmalatçı bu ürünü 20$’a satmaktadır. 𝑥 < 8.25 kg. ise
müşteriye parası iade edilmektedir. Üretim maliyeti ürünün
ağırlığı ile ilişkili olup, 𝑌 =𝑥
15+ 0.35 dir. Ürün başına
beklenen karı bulunuz.
Örnek-14
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8 8 ≤ 𝑥 ≤ 910 − 𝑥 9 < 𝑥 ≤ 100 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒
Örnek-15
X rastgele değişkeni, telefon konuşmasının uzunluğunugöstermektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu;
𝑓 𝑥 =1
10𝑒 −𝑥
10 𝑥 > 0 olduğuna göre,
a) Bu fonksiyon bir yoğunluk fonksiyonu mudur ?
b) Bu fonksiyonun yoğunluk fonksiyonu olduğunuvarsayarsak, rastgele seçilen bir konuşmanın en fazla 7 dk.ile sonuçlanma olasılığı nedir ?
c) Bir konuşmanın 1 veya 2 dk. sürmesi olasılığı nedir ?
d) Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğini çizerek, B ve Cşıkkındaki olasılıkları grafik üzerinde gösteriniz.
Örnek-16
Bir bilgisayarın bozuluncaya kadar fonksiyonunu yerine
getirme süresi bir rastgele değişken olarak tanımlanıyor. Bu
değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
a) Bilgisayar bozuluncaya kadar 50-150 saat arasında çalışma
olasılığı nedir ?
b) 100 saatten daha az çalışma olasılığı nedir ?
Örnek-17
𝑓 𝑥 = 𝜆. 𝑒 −𝑥100 𝑥 ≥ 0 𝜆 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡
0 𝑥 < 0
Bir radyo tüpünün ömrü (saat) rastgele değişken olarak
tanımlanıyor ve aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu
elde ediliyor.
Radyonun içindeki 5 tüpten tam olarak ikisinin 150 saat
içinde yenisiyle değiştirilme olasılığı nedir ?
Not: Tüplerin ömürlerini yitirme olaylarının birbirinden
bağımsız olduğunu varsayınız.
Örnek-18
𝑓 𝑥 = 100
𝑥2𝑥 > 100
0 𝑥 ≤ 100
Örnek-20
Örnek-19
𝑓 𝑥 = 1
20 < 𝑥 < 2
0 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒
𝑓 𝑦 = 40 + 30 𝑋 𝑖𝑠𝑒 𝐸 𝑌 =?
𝐸 𝑋 = 2 𝑣𝑒 𝐸 𝑋2 = 8 ise;
𝐸 2 + 4𝑋 2 =? E 𝑋2 + 𝑋 + 1 2 =?
Bir X sürekli rastgele değişkenine ait olasılık yoğunluk
fonksiyonu:
𝑓 𝑥 =𝑥
80 ≤ 𝑥 ≤ 4
X rastgele değişkeninin bir fonksiyonu olan başka bir Y sürekli
rastgele değişkeni 𝑌 = 2𝑋 + 8 olarak ifade ediliyor. Y sürekli
rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ediniz.
Örnek-21: Bir Rassal Değişkenin Fonksiyonu
olan Rassal Değişkenler
Y kesikli rastgele değişkeni, bir X sürekli rastgele
değişkeninin fonksiyonudur.
X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu;
𝑓 𝑥 = 𝜆. 𝑒−𝜆𝑥 𝑥 ≥ 0
0 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒
𝑌 = 0 𝑋 ≤ 1 𝜆
1 𝑋 > 1 𝜆
ise P(Y = 0) = ? P(Y = 1) = ?
Örnek-22
Özel Sürekli Olasılık Dağılımları
• Sürekli Üniform (Tekdüze Dağılım)
• Exponensiyal (Üstel) Dağılım
• Normal Dağılım
• Gama Dağılımı
• Beta Dağılımı
• Cauchy Dağılımı
• Lognormal Dağılım
• Laplace (Çift Üstel) Dağılım
İlerleyen derslerde anlatılacak
Birlikte Dağılan Rastgele Değişkenler
(Bivariate) Şimdiye kadar anlatılan derslerde, kesikli yada sürekli tipte dağılan
tek bir rastgele değişken söz konusuydu (Univariate değişkenler).
Birlikte dağılan rastgele değişkenler, iki rastgele değişkenin aynı
anda incelendiği problemlerde ortaya çıkabilmektedir.
Örneğin, bir kimyasal reaksiyon sonucu ortaya çıkan ürün
miktarı ile sıcaklığı aynı anda incelenmek istenebilir. Bu durumda
sorulacak sorular şunlar olabilir:
1. Elde edilen ürün miktarı sıcaklıktan bağımsız mı?
2. Sıcaklık 34C olursa elde edilecek ürün miktarı ne olur?
Benzer problemleri çözebilmek için iki boyutlu rastgele değişkenleri
ve bunların kesikli ve sürekli tiplerini incelemek gerekmektedir.
Kesikli Bileşik Rastgele Değişkenler
X ve Y kesikli rastgele değişkenler olsun.
(X, Y) iki boyutlu kesikli rastgele değişken olarak
isimlendirilir.
(X, Y) için bileşik yoğunluk fonksiyonu: fXY(x,y)
fXY(x,y) = P(X = x ve Y = y)
Herhangi bir fonksiyonun bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu
olabilmesi için;
1) X ve Y’nin tanım aralığı için fXY (x,y) ≥ 0,
2) şartlarını sağlaması gereklidir.
fXY(x,y)tüm y
1tüm x
Örnek-23 Bir otomobil fabrikasında robotlar tarafından her bir araba üzerinde
2 kaynak ve 3 cıvata bağlanması işleri yapılmaktadır.
X rastgele değişkeni: kusurlu kaynak sayısı/araba başına
Y rastgele değişkeni: iyi bağlanmamış cıvata sayısı/araba başına
X ve Y kesikli rastgele değişkenler olduğundan (X,Y) iki boyutlu
kesikli rastgele değişkendir. Geçmiş verileri kullanarak bileşik
yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur.
Y
0 1 2 3
X
0 0,840 0,030 0,020 0,010
1 0,060 0,010 0,008 0,002
2 0,010 0,005 0,004 0,001
a) Rastgele seçilen bir arabada, robot tarafından yapılan hiçbir
hatanın bulunmaması olasılığı nedir ?
b) Rastgele seçilen bir arabada, tam olarak bir hatanın bulunması
olasılığı nedir ?
c) Rastgele seçilen bir arabada, kusurlu cıvata sayısının sıfır
olması olasılığı nedir ?
d) Rastgele seçilen bir arabada, kusurlu kaynak sayısının sıfır
olması olasılığı nedir ?
Örnek-23 (Devam)
e) Robotun iki hatalı kaynak yapma olasılığı nedir ?
f) Robotun bir tane hatalı kaynak ve bir tane iyi bağlanmamış
cıvata işlemi yapma olasılığı nedir ?
g) Robotun üç adet cıvatayı iyi bağlamamış olma olasılığı nedir ?
h) Rastgele seçilen bir arabada, tam olarak iki kusurlu kaynak ve
bir hatalı cıvata bulunma olasılığı nedir ?
ı) Rastgele seçilen bir arabada, en az bir kusurlu kaynak ve en az
bir kusurlu cıvata bulunma olasılığı nedir ?
j) Rastgele seçilen bir arabada, en az iki kusurlu cıvata bulunma
olasılığı nedir ?
Örnek-23 (Devam)
Kaynakça D. C. Montgomery and G.C. Runger, (1999). Applied Statistics and Probability for
Engineers, 2nd Edition. John Wiley and Sons, USA.
R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers, (1998). Probability and Statistics for
Engineers and Scientists, 6th Edition. Prentice Hall, USA.
F. Akdeniz. (2010). Olasılık ve İstatistik, 15.Baskı. Nobel Yayın Dağıtım, Adana.
Prof. Dr. G. Miraç Bayhan, Ders notları.
Dr. Öğr. Üyesi Seren Özmehmet Taşan, Ders notları.
Prof. Dr. Ali Kemal Şehirlioğlu Ders notları,
http://kisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/%C4%B0STAT%C4%B0ST%C4%B0K%20I-IV.pdf
http://www.khanacademy.org.tr/matematik/%C4%B0statistik-ve-olasilik/rassal-
(rastgele)-degiskenler/beklenen-deger/lotodan-beklenen-k%C3%A2r-/3106
https://slideplayer.biz.tr/slide/2674577/
https://www.yumpu.com/tr/document/view/50512126/tek-boyutlu-rassal-
deaayiaaykenler/11
top related