dạng 3: chứng minh hai đường thẳng song...
Post on 01-Sep-2019
22 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
1
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song * Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song - Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (định lý Ta-let đảo trong mặt phẳng, tính chất đường trung bình…) Định lý ta-let đảo trong mặt phẳng (lớp 8): Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với một cạnh còn lại của tam giác
N
B
A
C
M
AM ANAB AC MN BCAM ANBM CD
O
A B
C D OA OBAB CDOD OC
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
2
P
O
A B
C D
PC PD CDCD ABPA PB AB
- Cách 2: Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến của hai mặt phẳng
,
P Q
a P b Qa b c
a bP Q c
- Cách 3: Chứng minh đường thẳng đó song song với đường thẳng thứ 3
Bài tập:
Bài 3.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD, đáy nhỏ BC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SCD a. Chứng minh EF AD BC b. Gọi H là giao điểm của mặt phẳng (ABF) với SD và K là
giao điểm của mặt phẳng (CDE) với SA. Chứng minh HK AD
Bài 3.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
3
điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ MN và PQ AC Bài 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB a. Chứng minh MN CD b. Tìm giao điểm K của SC với (AND). Kéo dài AN và DK cắt
nhau tại I. Chứng minh SI AB CD Bài 3.4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh AB sao cho P A và P B . Gọi I PD AN và J PC AM . Chứng minh rằng IJ CD (Định lý giao tuyến) Bài 3.5: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD với mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau: a. PR song song với AC b. PR cắt AC Bài 3.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN BD (dùng định lý Ta-let đảo) Bài 3.7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh JI CD Bài 3.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q a. Chứng minh MN song song với PQ b. Giả sử AM BP E và CQ DN F . Chứng minh rằng
EF MN PQ .
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
4
Bài 3.9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho
; ;MN BS NP CD MQ CD a. Chứng minh PQ SA (dùng Ta-let) b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh
SK AD BC (Hệ quả định lý giao tuyến) Bài 3.10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, K lần lượt là trung điểm AB và BC, I là giao điểm của DM và AC, J là điểm trên đoạn SM sao cho SJ=2JM a. Chứng minh JI SD b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJK) Bài 3.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SB a. Chứng minh HK CD b. Gọi M là điểm trên cạnh SC và không trùng với S. Tìm giao
tuyến của (HKM) và (SCD) * Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
- Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nào đó
d'
d
P
'
'
d Pd d d Pd P
- Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
5
mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho
Qd
P
d Q
d PP Q
Bài 4.1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB=2MC. Chứng minh rằng MG ACD Bài 4.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi 1G và 2G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng 1 2G G song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) Bài 4.3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt . Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF a. Chứng minh OO' ADF và OO' BCE b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE.
Chứng minh rằng IJ EFC Bài 4.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD=3AM a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N.
Chứng minh rằng NG SCD c. Chứng minh rằng MG SCD Bài 4.5*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. G là trọng tâm của tam giác SCD
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
6
a. Chứng minh rằng OG SBC b. Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM SAB
c. Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho 32
SC SI . Chứng
minh rằng SA BID Bài 4.6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC, K là điểm thuộc đoạn SI sao cho KI=2KS. Chứng minh rằng OK SAB Bài 4.7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam
giác SAB, N là điểm trên đoạn AC sao cho 13
ANAC
. Chứng
minh GN song song với (SCD) Bài 4.8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, AB CD và AB=2CD. Cho M, N là hai điểm trên cạnh AB và CD sao cho AM=2DN. Gọi E là trung điểm của SM. Chứng minh
EN SAD và EN SBC Bài 4.9: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD a. Chứng minh rằng AD SBC và CD SAB b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABD.
Chứng minh MN SAD Bài 4.10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, BD a. Chứng minh rằng BD CMN b. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho AI=2IC, MI cắt BC tại
K. Chứng minh rằng DK CPN Bài 4.11: (Cơ Bản) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, CD. Chứng minh rằng
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
7
a. MNP AB b. MNP AD c. MNP BD Bài 4.12: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB, đáy nhỏ CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC a. Tìm giao tuyến của (SIJ) với các mặt phẳng (SAD), (SBC), (ABCD), (SAB) và (SCD) b. Chứng minh rằng IJAB S và IJCD S Bài 4.13: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song với nhau a. Tìm giao tuyến của (SAC) với (SBD) b. Tìm giao tuyến của (SCD) với (SAB) c. Tìm giao tuyến của (SAD) với (SBC) d. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và K là điểm bất kỳ trên SD. Tìm giao điểm của IJ với (SCD) e. Chứng minh rằng IJAB D f. Tìm giao điểm KJ với (SAC) g. Tìm giao tuyến của (IJK) với (SAC) Bài 4.14: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SB và điểm I là điểm bất kỳ trên cạnh CD sao cho I không trùng với trung điểm của CD, và trùng C, D. a. Tìm giao điểm của SD với (IMN) b. Chứng minh ( )IMN AD Bài 4.15: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB a. Chứng minh MN CD b. Tìm giao điểm P của SC với (AND) c. Gọi I là giao điểm AN với DP. Chứng minh SI AB CD
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
8
* Dựng thiết diện song song với một đường thẳng Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Nếu một mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d
Bài 5.1: Cho tứ diện ABCD. Một điểm M trên cạnh AC. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với AB và CD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD
Bài 5.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB và (P) là mặt phẳng qua M song song với AD và SB
a. Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp
b. Chứng minh rằng SC song song với (P)
Bài 5.3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG)
Bài 5.4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
9
Hướng Dẫn Giải: Bài 3.1:
a. Chứng minh EF AD BC
F
N
E
M
A D
B C
S
Ta có E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, SCD nên
2 2;3 3
SE SF SE SFSM SN SM SN
Theo định lý ta-let đảo trong tam giác SMN thì EF MN (1) Lại có MN là đường trung bình của hình thanh ABCD nên MN BC AD (2) Từ (1), (2) suy ra EF BC AD * Cách khác: Áp dụng hệ quả về giao tuyến của 3 mặt phẳng
EF
; EF
AEFD BCFE
AD AEFD BC BCFE BC ADAD BC
b. * Xác định H, ABF SD H
( )F SN SCD
SCD ABF FF ABF
(1)
Trong mặt phẳng (ABCD), AB CD P
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
10
P AB ABF
ABF SCD PP CD SCD
(2)
Từ (1), (2) suy ra ABF SCD PF Trong mặt phẳng (SCD), PF SD H
SD ABF H * Xác định K, CDE SA K
K H
P
E F
NM
A D
B C
S
Tương tự trên ta có CDE SAB E (3)
P AB SAB
SAB CDE PP CD CDE
(4)
Từ (3), (4) suy ra CDE SAB PE Trong mặt phẳng (SAB), PE SA K
CDE SA K * Chứng minh HK AD
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
11
Ta có
EF
EF ; AD EFEF
P SAD KH
EF P AD S KH ADAD
(đpcm)
* Cách khác: Áp dụng hệ quả về định lý giao tuyến 3 mặt phẳng
;
ADHK BCHK KH
AD ADHK BC BCHK HK AD BCAD BC
Bài 3.2:
P
M N
A C
B
D
Q
Để xác định điểm P ta dựa vào hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng. Mặt phẳng (MNQ) và (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và AC song song với nhau nên giao tuyến cũng song song với MN và AC. Từ Q ta vẽ đường thẳng song song với AC cắt CD tại P. Rõ ràng PQ MN và PQ AC
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
12
Bài 3.3:
M N
A B
D C
S
a. Chứng minh MN CD Trong tam giác SAB, MN AB (theo tính chất đường trung bình) Lại có AB CD (theo ABCD là hình bình hành)
MN ABMN CD
AB CD
b.
K
P
N
A B
D C
S
* Xác định giao điểm của (AND) và SC Ta có AD BC P
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
13
P CD SBC
SBC AND PP AD AND
Lại có SBC AND N Do đó SBC AND NP Trong mặt phẳng (SBC), NP SC K
K SC
SC AND KK NP AND
Vậy K là giao điểm cần tìm I
K
P
N
A B
D C
S
Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến, ta có
IS
;
SICD AB SI
AB ABIS CD SICD SI AB CDAB CD
(đpcm)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
14
Bài 3.4:
J
IN
M
A C
B
D
P
Ta có
,
AMN PCD JI
CD PCD MN AMN
Lại có MN CD (MN là đường trung bình BCD ) Theo hệ quả định lý giao tuyến của ba mặt phẳng ta suy ra JI MN CD (điều phải chứng minh)
Bài 3.5: a. PR song song với AC
M
A C
B
D
P
Q
R
Ta có mặt phẳng PQR ACD Q
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
15
Lại có PR AC Theo định lý đảo về giao tuyến thì giao tuyến của (PQR) và (ACD) sẽ song song với AC và PR. Do đó từ Q ta vẽ đường thẳng song song với AC hoặc PR và cắt AD tại điểm M Nên PQR ACD QM
M AD
AD PQR MM PQR
b. PR cắt AC
N
HA
C
B
D
P
Q
R
Rõ ràng ta có MNP ACD HQ Trong mặt phẳng (ACD), HQ AD N
N AD
AD PQR NN HQ PQR
Vậy N là điểm cần tìm
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
16
Bài 3.6: Chứng minh rằng MN BD
N
Q
M
P
D
C
A
B
S
Trong tam giác SQP, 2
3SN SMSQ SP
. Theo định lý Ta-let đảo
thì MN PQ Lại có trong tam giác ABD, PQ BD (đường trung bình)
Do đó, MN PQ
MN BDBD PQ
Bài 3.7:
J
IH
AC
B
D
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
17
Ta có J, I là trọng tâm của tam giác ABD và ABC nên ta có HD=3HJ và HC=3HI
Hay 13
HI HJHC HD
Theo định lý ta-let đảo trong tam giác HCD, ta có JI CD Bài 3.8:
QP
NM J
I
A D
B C
S
a. Chứng minh MN PQ Ta có
;
ADJ SBC J
AD ADJ BC SBCAD BC
Theo hệ quả của định lý giao tuyến thì giao tuyến của (ADJ) và (SBC) đi qua J và song song với BC, AD và cắt SB, SC lần lượt tại M, N Do đó, ADJ SBC MN
MN BC AD (1)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
18
Lại có
AD
;
BCI S I
BC BCI AD SADBC AD
Tương tự, giao tuyến của hai mặt phẳng (BCI), (SAD) đi qua I, song song với BC, AD và cắt SA, SD lần lượt P, Q Do đó, BCI SAD PQ
PQ BC AD (2) Từ (1) và (2), suy ra MN PQ b.
FE
QP
NM J
I
A D
B C
S
Ta có EFAMND BCQP
PQ MNBC AD
EF MN PQ Bài 3.9:
a.
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
19
C
AD
B
S
M
N
P
Q
Trong tam giác SCD, NP CD theo định lý Ta-let ta có DP CNDS CS
(1)
Trong tam giác SBC, MN BS CN CMCS CB
(2)
Lại có MQ CD AB nên CM DQCB DA
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra DP DQDS DA
Theo định lý ta-let đảo trong tam giác SAD thì PQ SA (đpcm)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
20
b. K
C
AD
B
S
M
N
P
Q
Ta có
ADK MN SBC
SBC S KK PQ SAD
Lại có SBC SAD S SBC SAD KS
;
SBC SAD KS
BC SBC AD SAD SK BC ADBC AD
(đpcm)
Bài 3.10: a.
OI
K
M
C
AD
B
S
J
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
21
Rõ ràng ta thấy J là trọng tâm của tam giác SAB, I là trọng tâm của tam giác ABD nên
1 1;3 3
MJ MIMS MD
MJ MIMS MD
Theo định lý Ta-let đảo trong tam giác SMD, suy ra JI SD b.
P
Q FH
I
K
M
C
AD
B
S
J
IJKI AD P K ABCD KP (1) IJKKI AB H SAB HJ (2)
Trong mặt phẳng (SAB), IJHJ SA F K SAB F IJJF SB Q SAB K FQ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra thiết diện là tứ giác KPFQ
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
22
Bài 3.11 a. Chứng minh HK CD
PK
H
C
AD
B
S
M
Ta có HK AB (HK là đường trung bình tam giác SAB) AB CD (ABCD là hình bình hành)
KH CD (đpcm) b. Ta có HKM SCD M
HK HKM
CD SCDHK CD
Suy ra giao tuyến của (HKM) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với HK, CD và cắt SD tại điểm P Vậy HKM SCD MP
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
23
Bài 4.1
G
I
BD
C
A
M
Ta có
2 2;3 3
23
BM BGBC BI
BM BGBC BI
Theo định lý Talet đảo, ta có MG CI
MG CI
MG ACDCI ACD
(đpcm)
Bài 4.2
N G1
G2M P
BD
C
A
* Chứng minh 1 2G G ABC
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
24
Ta có 1 2 23
DG DGDN DM
Theo định lý Talet trong tam giác DMN suy ra 1 2G G MN
1 21 2
G G MNG G ABC
MN ABC
(đpcm)
* Chứng minh 1 2G G ABD
2 1 13
PG PGPB PA
Theo định lý Talet trong tam giác ABP suy ra 1 2G G AB
1 21 2
G G ABG G ABD
AB ABD
(đpcm)
Bài 4.3
O'
O
F
D
BC
A
E
a. * Chứng minh OO' ADF
Ta có ' 12
BO BOBD BF
Theo định lý talet trong tam giác BFD, suy ra OO' DF
'
OO 'OO DF
ADFDF ADF
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
25
* Chứng minh OO' BCE ' 1
2AO AOAC AE
Theo định lý talet trong tam giác ACE, suy ra OO' CE
'
OO 'OO CE
BCECE BCE
b.
J
H
I
F
D
BC
A
E
Ta có 1
3HJ HIHE HD
Theo định lý talet trong tam giác HDE, suy ra JI ED Từ hai hình bình hành ABCD, ABEF suy ra
EF;CD=AB=EFCD AB Suy ra tứ giác CDFE là hình bình hành
IJ EF
EF
JI EDED CDEF C
C CDFE
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
26
Bài 4.4
d
PN
G
I B
DC
A
S
M
a. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và
song song với AD, BC b. Chứng minh NG SCD Ta có NP IB . Theo định lý talet trong tam giác IBC, suy ra
23
CN CPCI CB
(Vì AD BC và 23
DMDA
)
13
INIC
Lại có 1IS 3IG IN
IC NG SC
NG SC
NG SCDSC SCD
c. Chứng minh MG SCD
( )NG SC
GMN SCDMN CD
Mà MG GMN MG SCD
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
27
Bài 4.5
HG
O
A D
B C
S
Gọi H là trung điểm của SC, ta có tam giác OAD đồng dạng với tam giác OCB nên
22 23
OD OA AD DOOD OBOB OC BC DB
Và 23
DGDH
DO DGDB DH
Theo định lý talet trong tam giác BDH, OG BH mà BH SBC nên OG SBC
b.
HG
O
MM'
A D
B C
S
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
28
Gọi M’ là trung điểm của SA, '
1'2
MM AD
MM AD
(1)
Lại có 12
BC AD
BC AD
(2)
''
MM BCMM BC
'BCMM là hình bình hành 'MC M B
'
'MC BM
MC SABBM SAB
(đpcm)
c.
O
A D
B C
S
I
Ta có 1 1
2 3OC COOA CA
Mặt khác, 3 12 3
CISC SICS
13
CO CI OI SACA CS
OI SA
SA BIDOI BID
(đpcm)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
29
Bài 4.6:
F
E
I
O
A B
D C
S
K
Từ AB CD và 2AB CD , ta có OF IF 1
2CD
OE IE AB
1 1IF2 2
1 1 12 2 2
3 22 3
IO FO IE OE
IE IE IO IE IO
IOIO IEIE
Lại có 2IS 3IK
ISIO IKIE
Theo định lý talet trong tam giác IES, suy ra ESKO
ES
ESKO
KO SABSAB
(đpcm)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
30
Bài 4.7:
NO
G
I B
D C
A
S
Gọi O AC BD
2 1 22.1 3 32
AN AN ANAO ACAC
N là trọng tâm của tam giác ABD
Gọi I là trung điểm của AB, do đó N nằm trên DI và 13
INID
.
Lại có G là trọng tâm của tam giác SAB nên 1IS 3IG
ISIN IGID
. Theo định lý talet đảo trong tam giác SDI suy ra
NG DS
NG DS
NG SCDDS SCD
(đpcm)
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
31
Bài 4.8:
P
E
A B
D C
S
M
N
Trong mặt phẳng (ABCD), AD MN P Ta có DN AM , theo định lý talet trong tam giác APM
12
PD PN DNPA PM AM
N là trung điểm của PM nên 12
MNMP
(1)
Lại có 12
MEMS
(2)
Từ (1), (2) MN MEMP MS
. Theo định lý Talet trong tam giác SPM,
suy ra EN SP
EN SP
EN SADSP SAD
(đpcm)
* Chứng minh EN SBC
Từ 12
PDPA
D là trung điểm của AP
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
32
12
DC ABDC
DC AB
là đường trung bình của tam giác ABP
P BC hay SP SBC
EN SP
EN SBCSP SBC
(đpcm)
Bài 4.9: a. * Chứng minh AD SBC
AD BC
AD SBCBC SBC
* Chứng minh CD SAB
CD AB
CD SABAB SAB
b.
N
M
I B
D C
A
S
N là trọng tâm của tam giác ABD nên 1
3INID
M là trọng tâm của tam giác SAB nên 1IS 3IM
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
33
Suy ra IS
IN IMID
Theo định lý talet đảo trong tam giác IDS suy ra MN SD
MN SD
MN SCDSD SCD
(đpcm)
Bài 4.10: a.
P
N
M
AC
B
D
MN là đường trung bình của tam giác ABD nên MN BD
MN BD
BD CMNMN CMN
b.
J K
P
N
M
A
C
B
D
I
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
34
Gọi J điểm trên MK sao cho JC AB 12
CI CJCA AB
12
JC AB JC là đường trung bình của tam giác ABK
C là trung điểm BK Từ đó CP là đường trung bình của tam giác BDK
CP DK
CP DK
DK CPNCP CPN
(đpcm)
Bài 4.11:
P
NM
C
BA
D
a. MNP AB
Ta có
MN ABMNP AB
MN MNP
Câu b, c tương tự
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
35
Bài 5.1:
PQ
N
B
DC
A
M
Ta có
P ABC M
P AB P ABC MQ
AB ABC
P ABCD MQ (1)
P ACD
P CD P ACD MN
CD ACD
P ABCD MN (2) Tương tự
P BCD Q
CD P P BCD QP
CD BCD
P ABCD QP (3)
Và
P ABD N
P AB P ABD PN
AB ABD
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
36
P ABCD PN (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra thiết diện là hình bình hành MNPQ Bài 5.2 a.
PQ
N
A D
B C
S
M
Ta có
P AD
AD ABCD
P ABCD M
Giao tuyến của (P) với (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AD cắt CD tại N
P ABCD MN (1) Tương tự
P SB
SB SAB
P SAB M
Giao tuyến của (P) với (SAB) là đường thẳng qua M và song song với SB cắt SA tại Q
P SAB MQ (2) Tương tự
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
37
AD P
AD SAD
P SAD Q
Giao tuyến của (P) với (SAD) là đường thẳng qua Q và song song với AD cắt SD tại P
P SAD MP (3) Lại có P SCD NP (4) Từ (1), (2), (3), (4) thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ b. Chứng minh SC MNPQ Ta có
PN SC
SC MNPQPN MNPQ
(đpcm)
Bài 5.3 a.
M NG
I J
A B
D C
S
IJ
IJ ABAB SAB
SAB G
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
38
Giao tuyến của (IJG) với (SAB) là đường thẳng đi qua G song song với AB, IJ và cắt SA, SB lần lượt tại M, N
IJG SAB MN b.
M NG
I J
A B
D C
S
Ta có
IJ
IJIJG .
IJ
IJ
G SAD MI
G SAB MNS ABCD IMNJ
G SBC NJ
G ABCD JI
Vậy thiết diện là hình thang IMNJ
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
39
Bài 5.4
E
T
R
Q NP
K
M
J
H
I
I B
DC
A
S
Trong mặt phẳng (ABCD), DI HM K Suy ra SHM SDI SK Trong mặt phẳng (SHM), SK MJ P Trong mặt phẳng (SDI), IP SD N Trong mặt phẳng (SAD), JN SA Q IJM SAD NQ Trong mặt phẳng (SAB), QI SB R
IJM SAB QR Trong mặt phẳng (SAB), QR AB T Trong mặt phẳng (ABCD), MT BC E
IJM SBC RE Vậy thiết diện là ngũ giác MNQRE
Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ
40
top related