distribuciones especiales

Distribuciones Discretas y Continuas

LUIS E. TUÑOQUE GUTIÉRREZAdministración de Empresas

Distribución Binomial• En cada prueba del experimento sólo son

posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario A’ (fracaso). Cada resultado independiente.

• La probabilidad del suceso A es constante (p), y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A’ es 1- p, (q) .

• El experimento consta de un número n de pruebas.

Función de Probabilidad

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Donde:p : Probabilidad de éxito.n : Número de ensayos o muestra.q = 1 - p

Valor Esperado y Varianza

Ejemplo

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 12 por 100 de piezas defectuosas. •Hallar la probabilidad de que al examinar 5 piezas sólo haya una defectuosa•Hallar la probabilidad de que por lo menos haya dos piezas defectuosas•Hallar el promedio y la desviación estándar de la distribución.

Distribución Hipergeométrica Al realizar un experimento con este tipo de

distribución, se esperan dos tipos de resultados. Las probabilidades asociadas a cada uno de los

resultados no son constantes. Cada ensayo o repetición del experimento no es

independiente de los demás. El número de repeticiones del experimento (n) es

constante.

Función de Probabilidad

Media y Varianza de la Distribución

Donde:N : Tamaño del espacio muestral o población.n : Número de ensayos o muestra.M : Número de éxitos en el espacio muestral.x : número de éxitos en la muestra.

EjemploSi en una empresa se presentan 13 aspirantes para cubrir dos vacantes, de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres• Calcular la distribución de probabilidad para el número de hombres contratados.• Encuentra la media y la d. s. de la distribución.Desarrollando:N = 13 total de aspirantesM = 5 aspirantes hombresN-M = 8 aspirantes mujern = 2 vacantes totalesx = 0,1,2 hombres posibles a contratar

• Donde • : Número medio de sucesos esperados en

una unidad de tiempo, espacio, etc.• e: 2,71828…

Distribución de Poisson

0 210 ,!

)(

...,,,xx

exp

x

Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo.

Si el número de eventos esperados, el número medio de eventos en un intervalo de extensión h es m.

Entonces λ = h/m, será la tasa de eventos por unidad de h.

La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Media y Varianza

• Mediaµ =E(X) =

• Varianza

Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x

Una estación de policía recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar reciba?a) Ninguna llamada.b) Exactamente 3 llamadas.c) No más de 3 llamadas.

EJEMPLO

Aproximación de la distribución de Binomial a la de Poisson

Cuando n es grande podemos aproximar una distribución de Binomial a una distribución de Poisson:

20n 05.0p

np

!)(

)()(

Xnpe

xpXnp

Ejemplo

El 0,005% de la población de un país muere debido a cierta clase de accidentes cada año. Una compañía de seguros tiene l0 000 asegurados contra este tipo de accidente. Encuentre la probabilidad de que la compañía deba pagar más de 3 pólizas en un año dado.

Aproximación de la distribución hipergeométrica a la Distribución Binomial

Cuando N es grande podemos aproximar la distribución hipergeométrica a una distribución binomial:

10.0Nn

),(~),,( pnBNpnH

Ejemplo

Se estima que 4000 de 10000 votantes residentes en la ciudad están en contra de un nuevo impuesto a las ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide la opinión. ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos 7 estén a favor del nuevo impuesto?

Distribuciones Continuas

Distribución Normal

• Es muy conocida, dado que se presta muy bien para el estudio de gran cantidad de fenómenos.

• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.

Función de densidad

0) (σ π2σ

1)(

2

2

σ2

μ)(

x

exf

σ)μ,(Nx

Función de distribución

Puede tomar cualquier valor (-, +) Hay más probabilidad para los valores

cercanos a la media µ Conforme nos separamos de µ , la

probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).

Conforme nos separamos de µ , la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviación estándar σ

xx

xdxexF 2

1)(

2

2

2

)(

Función de distribución

Características Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las

abscisas (para x = ) Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la

mediana (Me) y la moda (Mo ) Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores

La curva normal es asintótica al eje de X Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos

están… a distancia σ, → tenemos probabilidad 68% a distancia 1,96 σ, → tenemos probabilidad 95% a distancia 2,58 σ → tenemos probabilidad 99%

Probabilidades bajo la curva

Variación de la media

Variación de la desviación estándar

Distribución normal estandar

No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación

estándar es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje de Y Tiene un máximo en el eje de Y. Tiene dos puntos de inflexión en 1 y -1

Estandarización

N(μ, σ)

N(0,1)

Estandarización

x

z

0.00.00.10.10.20.20.30.30.40.4

0.50.5

0.00.00.10.10.20.20.30.30.40.4

0.50.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .... ...... ......

.1179 ..... ...... ...... ......

.1554 .... ..... ....

.1915 ....

La tabla consta de:La tabla consta de: *Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal.* * Margen superior: segundo decimal* * Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes,

acumuladas, desde 0 hasta 3.99

29

EjemploSe quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico: El estudiante A tiene una calificación de 8 en un

sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).

El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

Ejemplo

Una fábrica produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80000 km y una desviación estándar de 8000 km. Suponiendo que esta vida útil esta distribuida normalmente:a)¿Cuál es la probabilidad que un neumático dure más de 96000 km?b)El 50% de los neumáticos duran entre x1 y x2 km. Halle los valores de x1 y x2 si son simétricos respecto a la media.

Distribución t de Student Es una distribución continua, es simétrica respecto de la media y se

extiende de - a + Tiene forma acampanada y simétrica Está constituida por una "familia" de distribuciones t. Con media

cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n.

La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.

Generalmente no disponemos de la desviación standard de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z

TabuladadxxfxF

vxv

v

v

xf

densidadFunción

k

)()(

1

1*

*2

21

)(2

12

Conversión a T

Con n-1 grados de libertad