diskretna matematika...diskretna matematika elementi matematičke logike relacije ivana...
Post on 18-Feb-2021
21 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
DISKRETNA MATEMATIKA Elementi matematičke logike Relacije
Ivana Milosavljević
-
R E L A C I J E
Relacija je odnos, veza, između objekata. U matematici, se sredemo sa različitim relacijama.
To su jednako, paralelno, normalno, slično i mnoge druge. Matematičke objekte je potrebno
poređivati ili poređati po nekom zadatom kriterijumu, kao i uočiti sličnost između njih i
grupisati ih u grupe međusobno sličnih i tada koristimo osobine relacija. U svakodnevnoj
praksi najčešde se koriste binarne ili dvočlane relacije.
1. DEFINICIJA I OSOBINE
Relacija se može posmatrati kao povezivanje elemenata nekog skupa A, koji su u vezi,
relaciji, sa elementima nekog skupa B. Znači ako x ∈ A i y ∈ B , onda svakom paru (x, y)∈A×B
pridružujemo vrednost T, a ako to nije slučaj vrednost ⊥.
• Binarna relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda proizvoljnih skupova A i B. Ako je ρ ⊂ A × B i ( x, y ) ⊂ ρ, kažemo da je x u relaciji ρ sa y i pišemo x ρ y. Za ρ ⊂ A1 × A2 × … × An kažemo da je n-arna relacija na skupovima A1, A2, …, An.
Primer:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
Svaki od skupova
{(1, a) , (2, a), (2, b)}
{(2, a), (3, b)}
Je binarna relacija iz skupa A u skup B (nad skupovima A i B).
Skup prvih koordinata uređenih parova neke relacije čini njen domen, a skup drugih
koordinata uređenih parova opseg.
Neka je ρ ⊂ A × B data relacija.
Inverzna relacija relacije ρ, u oznaci ρ-1, definisana je sa
ρ-1 = { (y, x)| (x, y)∈ ρ}
Komplementarna relacija relacije ρ, u oznaci ρC, definisana je sa
ρC = { (x, y)| (x, y) ∈ A × B ˄ (x, y) ∉ ρ}
Univerzalna relacija u oznaci U definisana je sa
U = { (x, y)| x ∈ A ˄ y ∈ B}
Identična relacija na skupu A u oznaci I, definisana je sa
I = { (x, x)| x ∈ A}
Važi da je ρ ∪ I ∪ ρ-1 = U.
-
Primer:
Neka su dati skupovi A = {1, 2, 3} i B = {a, b}. Relacija U = A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} je univerzalna relacija.
Relacija I = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} je identična relacija na skupu A. Za relaciju ρ = { (1, a), (1, b), (3, a)}, ρ ⊂ A × B, relacija ρ-1 = { (a, 1), (b, 1), (a, 3)}, ρ-1 ⊂ B × A je
inverzna relacija.
Za relaciju ρ = { (1, a), (1, b), (3, a)}, ρ ⊂ A × B, relacija ρC = { (2, a), (2, b), (3, b)}, ρC ⊂ A × B je
komplementarna relacija.
Domen relacije ρ = {(1, a), (1, b), (3, a)} je skup {1, 3}, a opseg je {a, b}.
Relacija ρ je linearna ako ∀ x, y ∈ A, x≠y, važi (x, y) ∈ ρ ili (y, x) ∈ ρ.
• Relacije se mogu predstaviti na različite načine:
o uređenim parovima
o tablicama,
o grafovima
o matricama
Svakoj relaciji možemo pridružiti matricu
𝑚𝑖𝑗 = 0, (𝑎𝑖 ,𝑎𝑗 ) ∉ 𝜌
1, (𝑎𝑖 ,𝑎𝑗 ) ∈ 𝜌
Primer:
Relaciji ρ = {(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,1) , (1, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 )} odgovara slededi graf i tablica.
-
• Ako A = B , onda se skup A2 = A × A naziva Dekartovim kvadratom.
Relacija može da ima sledede osobine:
Neka je ρ ⊂ A2. Za relaciju tada kažemo da je
(R) refleksivna ako (∀x ∈ A)(x ρ x), odnosno ako (∀x ∈ A) (x, x) ∈ ρ
(AR) anti refleksivna ako (∀x ∈ A)( ˥(x ρ x) ), odnosno ako (∀x ∈ A) (x, x) ∉ ρ
(S) simetrična ako (∀x, y ∈ A)( x ρ y ⇒ y ρ x )
(AS) anti simetrična ako (∀x, y ∈ A)( x ρ y ∧ y ρ x ⇒ x = y )
(T) tranzitivna ako (∀x, y, z ∈ A)( x ρ y ∧ y ρ z ⇒ x ρ z )
Relacija ρ nije refleksivna ako (∃x ∈ A)( ˥(x ρ x) ), odnosno ako ((∃x ∈ A) (x, x) ∉ ρ
Matrica pridružena relaciji ρ koja je refleksivna na dijagonali ima sve jedinice.
Matrica pridružena relaciji ρ koja je anti refleksivna na dijagonali ima sve nule.
Matrica pridružena relaciji ρ koja nije refleksivna na dijagonali ima bar jednu nulu.
Za relaciju ρ koja je
refleksivna važi da je I ⊂ ρ
anti refleksivna važi da je I ∩ ρ = ∅
simetrična važi da je ρ = ρ-1
anti simetrična ρ ∩ ρ-1 ⊂ I
2. VRSTE RELACIJA
• Relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna zove se relacija ekvivalencije.
• Relacija koja je refleksivna, anti simetrična i tranzitivna zove se relacija delimičnog
(parcijalnog) poretka.
Za relaciju delimičnog poretka koja na skupu A zadovoljava uslov (∀x, y ∈ A)(xρy ˅ yρx),
kažemo da je relacija totalnog poretka.
Relacije ekvivalencije su jednako, podudarno, slično itd, a relacije poretka su manje ili
jednako, vede ili jednako itd.
-
Uloga relacije ekvivalencije je da se pomodu njih izraze sličnosti između objekata i da se oni
grupišu u grupe međusobno sličnih, a uloga relacije poretka da se objekti poređaju i
upoređuju po nekom zadatom kriterijumu.
Relacija ekvivalencije može da se razlaže na klase ekvivalencije.
• Ako je ρ relacija ekvivalencije skupa A, onda se klasa ekvivalencije, elementa x, u oznaci CX
definiše kao CX = { y | x ρ y}.
• Količnički skup je skup klasa A|ρ.
Klase ekvivalencije jednog skupa čine njegovo razlaganje na disjunktne podskupove, a
njihova unija je sam polazni skup.
Primer:
Dat je skup A = {−2, −1, 0, 1, 2} u kome je definisana je relacija x ρ y ⇔ x2 = y2. Odrediti
tablicu, napisati skup uređenih parova i ispitati osobine relacije.
x ρ y -2 -1 0 1 2
-2 T ⊥ ⊥ ⊥ T
-1 ⊥ T ⊥ T ⊥
0 ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥
1 ⊥ T ⊥ T ⊥
2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T
ρ ={( −2, −2), ( −2, 2), ( −1, −1), (1, 1), (1, −1), ( −1, 1), (0, 0), (2, 2), (2, −2)}
Osobine :
Kako je x2 = x2, sledi da je ( ∀x ∈ A )( x ρ x ), odnosno relacija je refleksivna.
Ako je (∀x, y ∈ A )(x ρ y), onda važi da je x2 = y2. Iz x2 = y2 sledi da je y2= x2 , odnosno y ρ x,
pa je relacija simetrična.
Ako je ( ∀x, y, z ∈ A )( x ρ y ∧ y ρ z ) onda važi da je x2 = y2 i y2 = z2. Iz toga sledi da je
x2 = y2 = z2, odnosno x2 = z2. Dakle važi da je x ρ z, pa je relacija tranzitivna.
Znači ova relacija je relacija ekvivalencije.
Razlikujemo 3 klase ekvivalencije C2 = {−2, 2} = C-2, C1 = {−1,1} = C-1, C0 = {0}.
-
Primer:
Dat je skup X = {1, -1, i, -i} I u njemu relacija ekvivalencije x ρ y ⇔ x2010 = y2010. Odrediti klase
ekvivalencije elemenata -1 i i.
C-1={ x | x ρ (-1), x∈X}={ x | x2010 = (-1)2010, x∈X}={ x | x2010 = 1, x∈X}={ -1, 1}
Ci={ x | x ρ i, x∈X}={ x | x2010 = i 2010, x∈X}={ x | x2010 = (i 2)1005, x∈X}={ x | x2010 = (-1)1005, x∈X}
={ x | x2010 = -1, x∈X}={ i, -i }
ZADACI ZA VEŽBANJE
1. Dat je skup A={a, b, c, d} i na njemu relacije:
a. ρ1 = {(a, b) , (b, a) , (c,c)}
b. ρ2 = {(a, a) , (a, b) , (b, a) , (b, b) , (c, c) , (c, d), (d, c), (d, d)}
c. ρ3 = {(a, a) , (a, b) , (b, b) , (a, c) , (c, c) , (d, d), (a, d)}
Koje od datih relacija su refleksivne, simetrične ili antisimetrične?
2. U skupu A={1, 2, 3, 4, 5} definisana je relacija x ρ y ⇔ y = x+1. Napisati tablicu,
prikazati je grafom, skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije.
3. U skupu A={-1, 0, 1} definisana je relacija x ρ y ⇔ x3 = y3. Napisati tablicu, prikazati je
skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije.
4. Dat je skup A={-2, -1, 0, 1, 2} u kome je definisana relacija x ρ y ⇔ x ≤ y. Napisati
tablicu, prikazati je skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije.
5. U skupu A={1, 2, 1
2, 3,
1
3, 4,
1
4} definisana je relacija xρy ⇔ (x∈Z ˄ y∈Z) ˅ (x∉Z ˄ y∉Z).
Predstaviti relaciju skupom uređenih parova, dokazati da je relacija ekvivalencije I
odrediti klase ekvivalencije.
6. U skupu formula F = { ˥(p ˅ q), ˥p ˅ q, p ⇒ q, ˥p ˄ ˥q, ˥(p ˄ q), ˥q ⇒ ˥p, ˥p ˅ ˥q}
uvedena je relacija na slededi način xρy ⇔ ako je formula x⇔y tautologija. Dokazati
da je relacija ρ relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije.
7. U skupu Z celih brojeva definisana je relacija x ρ y ⇔ 3 | (x - y). Dokazati da je ova
relacija relacija ekvivalencije, odrediti klase ekvivalencije i količnički skup.
8. U skupu N definisana je relacija x ρ y ⇔ 2 | (x + y). Dokazati da je relacija
ekvivalencije i odredi klase ekvivalencije elemenata 1 i 2.
9. U skupu R definisana je relacija x ρ y ⇔ sinX = sinY. Dokazati da je relacija
ekvivalencije i odredi klasu ekvivalencije elementa 0.
10. U skupu A={1, 2, 3, 4, 5} definisana je relacija x ρ y ⇔ x2 + 7y = y2 + 7x. Prikazati
relaciju grafom, skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije. Dokazati da je
relacija ekvivalencije I nadi klase ekvivalencije. Nadi inverznu relaciju.
-
11. U skupu R\{0} definisana je relacija x ρ y ⇔ x2y + 2y = y2x + 2x. Dokazati da je relacija
ekvivalencije i odredi klase ekvivalencije elemenata 3.
12. U skupu R definisana je relacija x ρ y ⇔ x2 -xy + y2 =1. Ispitati osobine relacije.
13. Ispitati da li je relacija deljivosti u skupu N relacija poretka (x ρ y ⇔ x | y).
14. U skupu Z\{0} definisana je relacija x ρ y ⇔ xy > 0. Pokazati da je relacija
ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije elemenata -1 i 1.
15. U skupu X definisana je relacija x ρ y ⇔ (x - y) ∈ X. Ispitati vrstu relacije u skupu X ako
je:
a) X = N0
b) X = Z
16. U skupu X = { z | z = ia, a∈R, a≠0} definisana je relacija z1 ρ z2 ⇔ z1z2 < 0. Pokazati
da je relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije elemenata i i –i.
top related