diskretizacija po vremenu zoran m....
Post on 03-Sep-2019
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu
Zoran M. Buqevac
Maxinski fakultet u Bgd.
oktobar 2011.
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 1 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu
1. Odrediti izlazni signal x∗ idealnog odabiraqa periodeodabira�a T ako je �egov ulazni signal x:
a) x (t) = h (t)b) x (t) = th (t)v) x (t) = e−αth (t) , α ∈ ]0,+∞[g) x (t) = te−αth (t) , α ∈ ]0,+∞[d) x (t) = e−αt (sinωt)h (t) , α ∈ ]0,+∞[
Nacrtati �ihove grafike, grafike d iskretizovanih signala za
sve ove sluqajeve?
Rexe�e:
a) x∗ (t) =∞∑k=0
x (kT ) δ (t− kT )
x (kT ) = h (kT ) = 1
x∗ (t) =∞∑k=0
δ (t− kT ) = δ∗ (t)
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 2 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu
T 2T 3T 5T 6T
1
0
t
7T4T
d (t)**
T 2T 3T 5T 6T
1
0
t
7T4T
x (t) x (t)=
b) x (kT ) = kTh (kT ) = kT
x∗ (t) =∞∑k=0
(kT ) δ (t− kT )
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 3 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu
T 2T 3T0
t
4T
*
T 2T 3T0
t
4T
x (t)
x (t)
v) x (kT ) = e−αkTh (kT ) = e−αkT
x∗ (t) =∞∑k=0
e−αkT δ (t− kT )
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 4 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu
T 2T 3T 5T 6T
1
0
t
7T4T
*
T 2T 3T 5T 6T
1
0
t
7T4T
x (t) x (t)
g) x (kT ) = (kT ) e−αkTh (kT ) = (kT ) e−αkT
T 2T 3T=
=
5T 6T0
t
7T4T
*
T 2T 3T=
=
5T 6T0
t
7T4T
x (t)x (t)
1ae
1a
1a
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 5 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu, Xenonova teorema
d) x∗ (t) =∞∑k=0
e−αkT sin (kωT ) δ (t− kT )
T 2T 3T
5T 6T
0
t
7T
4T
*
T 2T 3T
5T 6T
0
t
7T
4T
x (t)x (t)
ω0 > 2ω ispu�ena Xenonova teorema
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 6 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretizacija po vremenu, Xenonova teorema
T
2T0
t
*
T
2T0
t
x (t)x (t)
ω0 < 2ω nije ispu�ena Xenonova teorema
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 7 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
2. Odrediti diskretni kompleksni i frekventni lik signala
x (t) = te−αth (t)?Rexe�e:
1. oblik:
X∗ (s) =∞∑k=0
x (kT ) e−kTs =⇒ X∗ (s) =∞∑k=0
(kT ) e−αkT e−kTs =
∞∑k=0
(kT ) e−(s+α)kT = T∞∑k=0
ke−(s+α)kT
X∗ (jω) =∞∑k=0
(kT ) e−(jω+α)kT = T∞∑k=0
ke−(jω+α)kT
2. oblik
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) =⇒ X (s) = L{te−αth (t)
}= 1
(s+α)2
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 8 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) =1T
∞∑k=−∞
1(s+jkω0+α)
2
X∗ (jω) = 1T
∞∑k=−∞
X [j (ω + kω0)] =1T
∞∑k=−∞
1[j(ω+kω0)+α]
2
3. oblik
X∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTX (p)
∣∣∣∣p=p∗i
=⇒ X (p) = 1(p+α)2
=⇒ p∗1 =
−α; ν∗1 = 2
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗i
= Ri1 =
1
(ν∗i −1)!dν∗i −1
dpν∗i−1
[(p− p∗i )
ν∗i 11−epT e−sTX (p)
]∣∣∣∣p=p∗i
u vixestrukom polu p∗i
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 9 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
R11 =1
(2−1)!ddp
[(p− p∗1)
2 11−epT e−sTX (p)
]∣∣∣p=p∗1=−α
=
ddp
[(p+ α)2 1
1−epT e−sT1
(p+α)2
]∣∣∣p=p∗1=−α
= ddp
11−epT e−sT
∣∣∣p=p∗1=−α
=
−T(−epT e−sT )[1−epT e−sT ]2
= Te−(s+α)T
[1−e−(s+α)T ]2 =⇒
X∗ (s) =1∑i=1
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗1
= Te−(s+α)T
[1−e−(s+α)T ]2 =⇒
X∗ (jω) = Te−(jω+α)T
[1−e−(jω+α)T ]2
3. Za signal x (t) = e−αt (sinβt)h (t) odrediti diskretni
kompleksni i frekventni lik?
Rexe�e:
1. oblik
x (t) = e−αt(ejβt−e−jβt
2j
)h (t) = C
(ewt − ewt
)h (t) ;C = 1
2j , w =
− (α− jβ) , w = − (α+ jβ)
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 10 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
X∗ (s) =∞∑k=0
x (kT ) e−kTs =⇒ X∗ (s) =
C
( ∞∑k=0
ekTwe−kTs −∞∑k=0
ekTwe−kTs)
=
C
( ∞∑k=0
ekT (w−s) −∞∑k=0
ekT (w−s))
= C 11−e−T (s−w) − C 1
1−e−T (s−w) =
12j
(1
1−e−Tse−(α−jβ)T − 11−e−Tse−(α+jβ)T
)=
12j
([1−e−Tse−(α+jβ)T ]−[1−e−Tse−(α−jβ)T ][1−e−Tse−(α−jβ)T ][1−e−Tse−(α+jβ)T ]
)=⇒ X∗ (s) =
e−(s+α)T sinβT1−2e−(s+α)T cosβT+e−2(s+α)T
X∗ (jω) = e−(jω+α)T sinβT1−2e−(jω+α)T cosβT+e−2(jω+α)T
2. oblik
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) ;x (t) = e−αt (sinβt)h (t) =⇒ X (s) =
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 11 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
β
(s+α)2+β2=⇒ X∗ (s) = 1
T
∞∑k=−∞
β
(s+jkω0+α)2+β2
3. oblik
X∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTX (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ X (p) = β
(p+α)2+β2=⇒ p∗1 =
−α+ jβ; p∗2 = −α− jβ
X∗ (s) =2∑i=1
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT Res X (p)|p=p∗i =
2∑i=1
11−epT e−sT
β
[(p+α)2+β2]′
∣∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT
β2(p+α)
∣∣∣p=p∗i
=
1
1−e−T(s−p∗1)
β
2(p∗1+α)+ 1
1−e−T(s−p∗2)
β
2(p∗2+α)=
11−e−T [s−(−α+jβ)]
β2(−α+jβ+α) +
11−e−T [s−(−α−jβ)]
β2(−α−jβ+α) =
12j
11−e−T [s−(−α+jβ)] − 1
2j1
1−e−T [s−(−α−jβ)] =
12j
1−e−T [s−(−α−jβ)]−1−e−T [s−(−α+jβ)]
[1−e−T [s−(−α+jβ)]][1−e−T [s−(−α−jβ)]]= e−T (s+α) sinβT
1−2e−T (s+α) cosβT+e−2T (s+α)
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 12 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
X∗ (s) = e−T (s+α) sinβT1−2e−T (s+α) cosβT+e−2T (s+α) =⇒
X∗ (jω) = e−T (jω+α) sinβT1−2e−T (jω+α) cosβT+e−2T (jω+α)
4. Odrediti sva tri oblika kompleksnog lika izlaznog signala
x∗ (t) idealnog odabiraqa ako je �egov ulazni signal
x (t) =(2e−t + e−2t
)h (t). Odrediti sve nule i polove tog
kompleksnog lika?
Rexe�e:
1. oblik kompleksnog lika
x (t) =(2e−t + e−2t
)h (t) =⇒ X (s) = 2
s+1 + 1s+2 = 2(s+2)+(s+1)
(s+1)(s+2) =3s+5
(s+1)(s+2) =⇒ s∗1 = −1; s∗2 = −2; s01 = −53 = −1, 6̇; x (kT ) =(
2e−kT + e−2kT)h (kT ) =
(2e−kT + e−2kT
)X∗ (s) =
∞∑k=0
x (kT ) e−kTs; =⇒ X∗ (s) =∞∑k=0
(2e−kT + e−2kT
)e−kTs
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 13 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
2. oblik
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) ;X (s) = 3s+5(s+1)(s+2) =⇒ X∗ (s) =
1T
∞∑k=−∞
3(s+jkω0)+5(s+jkω0+1)(s+jkω0+2)
3. oblik
X∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTX (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ X (p) = 3p+5(p+1)(p+2) =⇒ p∗1 =
−1; p∗2 = −2
X∗ (s) =2∑i=1
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT Res X (p)|p=p∗i =
2∑i=1
11−epT e−sT
3p+5[(p+1)(p+2)]′
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT
3p+52p+3
∣∣∣p=p∗i
=
1
1−ep∗1T e−sT
3p∗1+52p∗1+3 + 1
1−ep∗2T e−sT
3p∗2+52p∗2+3 = 2
1−e−T e−sT + 11−e−2T e−sT
=2
1−e−T (s+1) +1
1−e−T (s+2)
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 14 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
s
jw
jw
2
0
j w0
jw
2
0
j w0
j2
w03
j2
w03
0s1s2 s1**
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 15 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskih sistema Diskretnikompleksni i frekventni lik
5. Nacrtati frekventni spektar izlaznog signala x∗ (t) idealnogodabiraqa ako je �egov ulazni signal x (t) = 2e−th (t) za dvevrednosti uqestanosti odabira�a: ω0 = 1rad/s i ω0 = 5rad/s.Prodiskutovati dobijeno rexe�e?
Rexe�e:
x (t) = 2e−th (t) =⇒ X (s) = 2s+1 =⇒ X (jω) = 2
1+jω1−jω1−jω =
21+ω2 − j 2ω
1+ω2 =⇒ |X (jω)| =√(
21+ω2
)2+(− 2ω
1+ω2
)2= 2√
1+ω2
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 16 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.5
1.0
1.5
2.0
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 17 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
ww
2
0 1
2=
| ( )|X jw*
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 18 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
p| X (jω)|
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 19 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 20 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
p| X (jω)|
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 21 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
6. Posmatra se sistem prikazan na slici. Odrediti tre�i oblik
kompleksnog lika diskretnog izlaznog signala sistema S za
sluqaj da je X (s) = 1s a prenosna funkcija sistema S i perioda
odabira�a, W (s) = 1s+1 ;T = 0, 1 sec?
T x (t)*x(t) x (t)i
S
Rexe�e:
T
T
x (t)
x (t)
*
*
x(t) x (t)i
S
i
•
X z( ) X z( )
W ( )zi
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 22 / 59
Auditorne ve�be iz Raqunarskog uprava�aDiskretni kompleksni i frekventni lik
3. oblik W ∗ (s)
W ∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTW (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ W (p) = 11+p =⇒ p∗1 = −1
W ∗ (s) =1∑i=1
Res 11−epT e−sTW (p)
∣∣∣p=p∗i
=1∑i=1
11−epT e−sT ResW (p)|p=p∗i =
1∑i=1
11−epT e−sT
1(p+1)′
∣∣∣p=p∗i
=1∑i=1
11−epT e−sT
∣∣∣p=p∗i
=
1
1−ep∗1T e−sT
= 11−e−T e−sT = 1
1−e−T (s+1)
X∗ (s)
X∗ (s) =∞∑i=0
x (kT ) e−kTs =∞∑i=0
h (kT ) e−kTs =∞∑i=0
e−kTs =
1 + e−Ts + e−2Ts + · · ·+ e−kTs + · · ·+ =⇒X∗ (s) = 1
1−q = 11−e−sT
3. oblik X∗i (s)X∗i (s) =W ∗ (s)X∗ (s) = 1
1−e−T (s+1)1
1−e−sTZ. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 23 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
1. Grafiqki odrediti izlazni signal predajnika koji sadr�i
nelinearnost prikazanu na slici, a za ulazni signal
x (t) = e−th (t):
0,05
0,1
Rexe�e:
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 24 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t
x
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 25 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
2. Odrediti sva tri oblika kompleksnog lika izlaznog signala
x∗ (t) idealnog odabiraqa ako je �egov ulazni signal x:
x (t) = (5 sin 2t)h (t) .
Tako�e, odrediti sve nule i polove tog kompleksnog lika?
Rexe�e:
1. oblik:
x (t) = (5 sin 2t)h (t) = 5(ej2t−e−j2t
2j
)h (t) = C
(ej2t − e−j2t
)h (t) ;
C = 52j
X∗ (s) =∞∑k=0
x (kT ) e−kTs =⇒ X∗ (s) =
∞∑k=0
C(ej2kT − e−j2kT
)e−kTs =
C
( ∞∑k=0
ej2kT e−kTs − e−j2kT e−kTs)
=
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 26 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
C
( ∞∑k=0
ej2kT e−kTs −∞∑k=0
e−j2kT e−kTs)
=
C
( ∞∑k=0
ekT (j2−s) −∞∑k=0
ekT (−j2−s))
= C 11−e−T (s−2j) − C 1
1−e−T (s+2j) =
52j
(1
1−e−Tsej2T −1
1−e−Tse−j2T
)= 5
2j
([1−e−Tse−j2T ]−[1−e−Tsej2T ][1−e−Tsej2T ][1−e−Tse−j2T ]
)=
5e−Ts(ej2T−e−j2T
2j
)1−2e−Ts (e
j2T+e−j2T )2
+e−2Ts= 5e−Ts sin 2T
1−2e−Ts cos 2T+e−2Ts
=⇒ X∗ (s) = 5e−Ts sin 2T1−2e−Ts cos 2T+e−2Ts
2. oblik
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) =⇒ X (s) = L{(5 sin 2t)h (t)} = 10s2+4
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) =1T
∞∑k=−∞
10(s+jkω0)
2+4
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 27 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
3. oblik
X∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTX (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ X (p) = 10p2+4
=⇒ p∗1 =
+2j, p∗2 = −2j
X∗ (s) =2∑i=1
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT Res X (p)|p=p∗i =
2∑i=1
11−epT e−sT
10[p2+4]′
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT
5p
∣∣∣p=p∗i
=
1
1−ep∗1T e−sT
5p∗1
+ 1
1−ep∗2T e−sT
5p∗2
= 51−ej2T e−sT
12j +
51−e−j2T e−sT
1−2j =
−j2,51−ej2T e−sT + j2,5
1−e−j2T e−sT =−j2,5(1−e−j2T e−sT )+j2,5(1−ej2T e−sT )
(1−ej2T e−sT )(1−e−j2T e−sT ) =j2,5(1−ej2T e−sT−1+e−j2T e−sT )
(1−ej2T e−sT )(1−e−j2T e−sT ) =
−j2,5e−sT 2j (ej2T−e−j2T )
2j
1−ej2T e−sT−e−j2T e−sT+ej2T e−sT e−j2T e−sT =
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 28 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
5e−sT sin 2T
1−2e−sT (ej2T+e−j2T )2
+e−2sT= 5e−sT sin 2T
1−2e−sT cos 2T+e−2sT
s
jw
jw
2
0
j w0
jw
2
0
j w0
j2
w03
j2
w03
0
s = 2j2*
s =- 2j1*
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 29 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
3. Nacrtati frekventni spektar signala x iz predhodnog zadatka.
Na osnovu toga izvrxiti izbor periode odabira�a i nacrtati
frekventni spektar signala x (t) na ulazu u idealniniskopropusni priguxivaq i frekventni spektar �egovog
izlaznog signala?
Rexe�e:
x (t) = (5 sin 2t)h (t) =⇒ X (s) = 10s2+4
=⇒ X (jω) = 104−ω2 =⇒
|X (jω)| =√(
104−ω2
)2+ 02 = 10√
(4−ω2)2=∣∣∣ 104−ω2
∣∣∣ .
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 30 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
| X(j )|ω
ω
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
0ω 10=
2 2
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 31 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
ω
∗X (j )ω
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
1
2
3
4
5
6
7
8
0ω 10=
2 2
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 32 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
pX (j )ω
1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tT 2T
ω
-4 -2 0 2 4
1
2
3
4
5
6
7
8
0ω 10=
2 2
( )x t
3T
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 33 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
4. Posmatra se sistem prikazan na slici. Odrediti tre�i oblik
kompleksnog lika diskretnog izlaznog signala sistema S za
sluqaj da je X (s) = 1s a prenosna funkcija sistema S i perioda
odabira�a W (s) = 1;T = 0, 1s.
T x (t)*x(t) x (t)i
S
Rexe�e:
T
T
x (t)
x (t)
*
*
x(t) x (t)i
S
i
•
X z( ) X z( )
W ( )zi
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 34 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
3. oblik W ∗ (s)
W ∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTW (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ W (p) = 1 =⇒ W ∗ (s) = 1
X∗ (s) =∞∑k=0
x (kT ) e−kTs =∞∑k=0
h (kT ) e−kTs =∞∑k=0
e−kTs =
1 + e−Ts + e−2Ts + · · ·+ e−kTs + · · ·+ =⇒X∗ (s) = 1
1−q = 11−e−sT
3. oblik X∗i (s)X∗i (s) =W ∗ (s)X∗ (s) = 1
1−e−sT
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 35 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
1. Grafiqki odrediti izlazni signal predajnika koji sadr�i
nelinearnost prikazanu na slici, a za ulazni signal
x (t) = (10− t)h (t):
0,5
1
Rexe�e:
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 36 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
( ) ( )ˆx t , x t
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 37 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
2. Odrediti sva tri oblika kompleksnog lika izlaznog signala
x∗ (t) idealnog odabiraqa ako je �egov ulazni signal x:
x (t) = (5 sin 2t)h (t) .
Tako�e, odrediti sve nule i polove tog kompleksnog lika?
Rexe�e:
1. oblik:
x (t) = (5 sin 2t)h (t) = 5(ej2t−e−j2t
2j
)h (t) = C
(ej2t − e−j2t
)h (t) ;
C = 52j
X∗ (s) =∞∑k=0
x (kT ) e−kTs =⇒ X∗ (s) =
∞∑k=0
C(ej2kT − e−j2kT
)e−kTs =
C
( ∞∑k=0
ej2kT e−kTs − e−j2kT e−kTs)
=
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 38 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
C
( ∞∑k=0
ej2kT e−kTs −∞∑k=0
e−j2kT e−kTs)
=
C
( ∞∑k=0
ekT (j2−s) −∞∑k=0
ekT (−j2−s))
= C 11−e−T (s−2j) − C 1
1−e−T (s+2j) =
52j
(1
1−e−Tsej2T −1
1−e−Tse−j2T
)= 5
2j
([1−e−Tse−j2T ]−[1−e−Tsej2T ][1−e−Tsej2T ][1−e−Tse−j2T ]
)=
5e−Ts(ej2T−e−j2T
2j
)1−2e−Ts (e
j2T+e−j2T )2
+e−2Ts= 5e−Ts sin 2T
1−2e−Ts cos 2T+e−2Ts
=⇒ X∗ (s) = 5e−Ts sin 2T1−2e−Ts cos 2T+e−2Ts
2. oblik
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) =⇒ X (s) = L{(5 sin 2t)h (t)} = 10s2+4
X∗ (s) = 1T
∞∑k=−∞
X (s+ jkω0) =1T
∞∑k=−∞
10(s+jkω0)
2+4
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 39 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
3. oblik
X∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTX (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ X (p) = 10p2+4
=⇒ p∗1 =
+2j, p∗2 = −2j
X∗ (s) =2∑i=1
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT Res X (p)|p=p∗i =
2∑i=1
11−epT e−sT
10[p2+4]′
∣∣∣p=p∗i
=2∑i=1
11−epT e−sT
5p
∣∣∣p=p∗i
=
1
1−ep∗1T e−sT
5p∗1
+ 1
1−ep∗2T e−sT
5p∗2
= 51−ej2T e−sT
12j +
51−e−j2T e−sT
1−2j =
−j2,51−ej2T e−sT + j2,5
1−e−j2T e−sT =−j2,5(1−e−j2T e−sT )+j2,5(1−ej2T e−sT )
(1−ej2T e−sT )(1−e−j2T e−sT ) =j2,5(1−ej2T e−sT−1+e−j2T e−sT )
(1−ej2T e−sT )(1−e−j2T e−sT ) =
−j2,5e−sT 2j (ej2T−e−j2T )
2j
1−ej2T e−sT−e−j2T e−sT+ej2T e−sT e−j2T e−sT =
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 40 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
5e−sT sin 2T
1−2e−sT (ej2T+e−j2T )2
+e−2sT= 5e−sT sin 2T
1−2e−sT cos 2T+e−2sT
s
jw
jw
2
0
j w0
jw
2
0
j w0
j2
w03
j2
w03
0
s = 2j2*
s =- 2j1*
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 41 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
3. Nacrtati frekventni spektar signala x iz predhodnog zadatka.
Na osnovu toga izvrxiti izbor periode odabira�a i nacrtati
frekventni spektar signala x (t) na ulazu u idealniniskopropusni priguxivaq i frekventni spektar �egovog
izlaznog signala?
Rexe�e:
x (t) = (5 sin 2t)h (t) =⇒ X (s) = 10s2+4
=⇒ X (jω) = 104−ω2 =⇒
|X (jω)| =√(
104−ω2
)2+ 02 = 10√
(4−ω2)2=∣∣∣ 104−ω2
∣∣∣ .
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 42 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
| X(j )|ω
ω
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
0ω 10=
2 2
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 43 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
ω
∗X (j )ω
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
1
2
3
4
5
6
7
8
0ω 10=
2 2
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 44 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
pX (j )ω
1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tT 2T
ω
-4 -2 0 2 4
1
2
3
4
5
6
7
8
0ω 10=
2 2
( )x t
3T
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 45 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
4. Posmatra se sistem prikazan na slici. Odrediti tre�i oblik
kompleksnog lika diskretnog izlaznog signala sistema S za
sluqaj da je X (s) = 1s+1 a prenosna funkcija sistema S i
perioda odabira�a W (s) = 1;T = 0, 1s.
T x (t)*x(t) x (t)i
S
Rexe�e:
T
T
x (t)
x (t)
*
*
x(t) x (t)i
S
i
•
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 46 / 59
Prvi kolokvijum iz Raqunarskog uprava�a
W ∗(s) = 1,3. oblik X∗ (s)
X∗ (s) =∑iRes 1
1−epT e−sTX (p)∣∣∣p=p∗i
=⇒ X (p) = 1p+1
X∗ (s) =1∑i=1
Res 11−epT e−sTX (p)
∣∣∣p=p∗i
=1∑i=1
11−epT e−sT Res X (p)|p=p∗i =
1∑i=1
11−epT e−sT
1(p+1)′
∣∣∣p=p∗i
=1∑i=1
11−epT e−sT
∣∣∣p=p∗i
=
1
1−ep∗1T e−sT
= 11−e−T e−sT = 1
1−e−T (s+1)
X∗i (s) = X∗ (s) =⇒ X∗i (s) =1
1−e−T (s+1)
Z. B. (Maxinski fakultet u Bgd.) Auditorne ve�be iz RU oktobar 2011. 47 / 59
top related