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DisequazioniDisequazioniDisequazioniDisequazioni
Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo
Metodi di risoluzioneMetodi di risoluzioneMetodi di risoluzioneMetodi di risoluzione
2
Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni?
Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni?
x o
x = o
x > o
x < o
x o
y o
y = o
y > o
y < o
y o
3
Equazione asse y
Tutti i punti del piano con ascissa = 0
x = o
4
Equazione asse x
Tutti i punti del piano con ordinata = 0
y = o
5
Semipiano con ascisse positive
(esclusi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano con ascissa > 0
x > o
6
Semipiano con ascisse positive o
nulle(compresi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano con ascissa 0
x o
7
Semipiano con ordinate positive(esclusi i punti sull’asse x)
Tutti i punti del piano con ordinata > 0
y > o
8
Semipiano con ordinate positive o
nulle(inclusi i punti sull’asse x)
Tutti i punti del piano con ordinata 0
y o
9
Semipiano con ascisse negative
o nullecompresi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano con ascissa 0
x o
10
Semipiano con ordinate negative(esclusi i punti sull’asse x)
Tutti i punti del piano con ordinata < 0
y < o
11
Semipiano con ordinate negative o
nulle(compresi i punti sull’asse x)
Tutti i punti del piano con ordinata 0
y o
12
Semipiano con ascisse negative(esclusi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano con ascissa < 0
x < oBasta!!
13
Semipiano al di sotto della bisettrice del 1°
e 2° quadrante (compresi i punti della bisettrice
y=x)
Tutti i punti del piano con ordinata all’ascissa
y x
14
Soluzione di un equazioneSoluzione di un equazione
2x + 4 = 0 x²-5x+6 = 0Un numero (o un’espressione letterale) è soluzione di un’equazione se, sostituito all’incognita x, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera.
y = 2x+4
y = 0
Risolvere un’equazione corrisponde alla risoluzione di un sistema:
y = x²-5x+6
y = 0
15
Soluzione di Soluzione di un’equazioneun’equazione
y=x²
-5x+
6y = x²-5x+6
y = 0
x²-5x+6=0
S=2;3
y=0y = 2x+4 y = 0
2x+4=0
S=-2
y=2x
-4
(x-2)(x-3)=0Per la legge di
annullamento del prodotto
16
Soluzione di una Soluzione di una disequazionedisequazione
y = 2x+4 y > 0
2x+4>0
2x > -4
4 2x > -
x > -2
S={xR|x > -2} (-2; + )
8
Notare il cerchietto vuoto che
indica l’esclusione del punto estremo.
17
Soluzione di una Soluzione di una disequazionedisequazione
y = 2x-5 y 0
2x-5 0
2x 5
5 2x
S={xR|x 5/2}
S: [5/2; + )8
Notare il cerchietto pieno che
indica l’inclusione del punto estremo.
18
Sistemi di disequazioniSistemi di disequazioni
2x-5 0x-6 < 0
La soluzione del sistema, se esiste, è l’insieme dei valori della x che rende contemporaneamente
vere le due disequazioni
5 2x
x < 6
S={xR | x< 6}52
y=2x
-5y=
x-6
soluzione del sistema
La fascia evidenzia le porzioni di rette che
corrispondono contemporaneamente ai valori di verità indicati
dalle disequazioni
[ ; 6 )52
oppure
19
Sistemi di disequazioniSistemi di disequazioni
2x-5 0x-6 < 0
5 2x
x < 6
S={xR | x < 6}52
[ ; 6 )52
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8
x < 6
x>5/2
oppure
L’area campita in giallo indica la parte comune delle soluzioni delle due disequazioni ovvero l’insieme dei valori della x che rende le due
disequazioni due disuguaglianze contemporaneamente vere; la soluzione del
sistema è:
52
V
V
F
V
V
FIl sistema può essere risolto in modo molto
semplice rappresentando sulla linea dei numeri reali le due soluzioni e
considerando l’intersezione
20
Sistemi di disequazioniSistemi di disequazioni
2x-5 0x+1 < 0
5 2x
x < -1
y=2x
-5
y=x+
1
In questo caso le soluzioni delle due disequazioni non hanno sovrapposizioni per cui la loro intersezione è l’insieme
vuoto.
Il sistema non ha soluzione: è impossibile
21
Consideriamo la seguente espressione:
)2()1()2(
2
2
xxxx
E’ costituita da quattro fattori di cui due di secondo grado.
Il fattore F4 è un prodotto notevole scomponibile in (1+x)(1-x) mentre il fattore F3 non è scomponibile; scomponendo F4 l’espressione diventa:
F1
F2
F4
F3
3F2F5F4F1F
Disequazioni di grado superiore al primo Disequazioni di grado superiore al primo riconducibili a fattori di primo gradoriconducibili a fattori di primo grado
)2²x(x)x1()x1()2x(
Il segno dell’espressione
dipende quindi dal prodotto dei segni di
cinque fattori
22
Questi fattori non vanno posti =0 perchè si trovano a denominatore
0)2²x(x
)x1()x1()2x(
Consideriamo ora
la disequazione:
Per risolverla, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore risulta 0 (oppure>0 se nel testo non c’è
l’uguale)numeratore
denominato
re
N1 x 2 02x
N2 0x1 x -1
N3 0x1 x 1
D10x x>0
D2 022x x
23
N1 x 2
N2x -1
D2x
D1x>0
0)2²x(x
)x1()x1()2x(
N3x 1
Tracciamo un diagramma evidenziando con linea continua gli intervalli
dell’insieme dei numeri reali in cui ciascun fattore
è positivo e con linea discontinua il resto.
Gli estremi (capisaldi) saranno
indicati con un cerchietto pieno se
inclusi, vuoto se esclusi.
x210-1
--- + +
In ciascun intervallo
determiniamo il prodotto dei
segni.
24
0)2²x(x
)x1()x1()2x(
N1
N2
D1
D2
x 2
x -1
x
x>0N3
x 1
x210-1
--- + +
Se la disequazione richiede che
l’espressione sia 0, come in questo caso,
prendiamo gli intervalli positivi
inclusi i capisaldi con pallino pieno.
La nostra soluzione è
quindi:
S=xR-1x<0 V 1x2 S: [-1;0) [1;2]
25
Proviamo a rappresentare graficamente la relazione y=f(x) e determiniamo la
soluzione
La disequazione fratta che Abbiamo risolto corrisponde al seguente sistema:
0)22x(x
)2x1()2x(
(x-2)(1-x²) x(x²+2) y 0
y=S=xR-1x<0 V
1x2
26
0)2²x(x
)x1()x1()2x(
N1
N2
D1
D2
x 2
x -1
x
x>0N3
x 1
x210-1
--- + +
Se la disequazione richiede che
l’espressione sia < 0, prendiamo gli
intervalli negativi esclusi gli estremi.
In questo caso la soluzione è:
S=xRx<-1 V 0<x<1 V x>2 S: (-;-1) (0;1) (2;+)
27
|x| =-x se x<0
x se x0
Disequazioni con Disequazioni con modulimoduli
Il modulo o valore assoluto di un
numero reale x è definito come…
|9| = 9
|-9| = 9
28
Disequazioni con Disequazioni con modulimoduli
|x-5| = x-5 se x-5 0
Il modulo o valore assoluto di una espressione è uguale all’argomento
se l’argomento è 0, opposto dell’argomento se l’argomento è < 0
|x-5| = -(x-5) se x-5<0
|4| = 4se x=9:
|-9|= -(-9)=9se x=-4:
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Disequazioni con Disequazioni con modulimoduliLa soluzione di una disequazione
contenente moduli corrisponde alla soluzione di due sistemi che
contemplano i due casi:
x-5 0x-5 < 2
Si considerano i due sistemi seguenti:per esempio se: |x-5| < 2
x-5 < 0-(x-5) < 2
x 5x < 7
x < 5x > 3
La soluzione è l’unione delle due:
S2: 3< x <5
S1: 5 x <7
3 < x < 7
30
Rappresentiamo la disequazione y=|x-5|-2 sul piano cartesiano e cerchiamo di individuare i punti della linea
che ricadono nel semipiano y<0:
y=|x-5|-2 y <0
Se nella disequazione |x-5|<2 portiamo tutti i termini
al primo membro, la disequazione diventa |x-5|-2<0. La disequazione corrisponde al seguente sistema:
y=|x-5|-2 y <0
3 < x < 7 3 7
La parte della linea che ricade al di sotto dell’asse x è compresa tra 3 e 7, estremi esclusi
31
Disequazioni con Disequazioni con modulimoduli
2x-3 02x-3 5
consideriamo i due sistemi: altro esempio: |2x-3| 5
2x-3 < 0-(2x-3)
5
x 3/2x 4
x < 3/2-2x 2
La soluzione è l’unione delle due soluzioni parziali:
x -1
x 4
(-;-1] [4;+)
| |40-1
|- +Sulla linea dei numeri:
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Disequazioni letteraliDisequazioni letterali
consideriamo la disequazione letterale: a(x-3) 2
Per risolverla, non conoscendo il valore e il segno di a, occorre considerare tutti i casi possibili. Non ci sono regole precise ma
si deve operare con il criterio più opportuno, caso per caso
a(x-3) 2 ax-3a 2 ax 3a+2
Prima di dividere per a, dobbiamo valutare cosa succede se
a=0, a<0 oppure a>0
33
Disequazioni letteraliDisequazioni letterali
ax 3a+2
Per a=0, la disequazione risulta evidentemente impossibile.
se a=00x30+
2 0 + 2
Se invece di il verso della disequazione fosse oppure
< la disequazione sarebbe verificata per ogni x reale.
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Disequazioni letteraliDisequazioni letterali
ax 3a+2
Se a<0 ricordiamo che dividendo per un numero negativo la disequazione cambia verso.
se a>0 3a+2 ax
se a<0 3a+2 ax
35
Proviamo a rappresentare sul piano cartesiano la retta y=ax-3a-2 al
variare di a.
La disequazione ax3a+2 corrisponde al seguente sistema:
y=ax-3a-2 y 0
a=0: impossibile
a=1
a=2a=3
a=-1
a=-2 a=-3Disequazioni letteraliDisequazioni letterali
3a+2 aa>0: x 3a+2
aa<0: x
36
Disequazioni letteraliDisequazioni letterali
consideriamo la disequazione letterale fratta:
Possiamo esplicitare la x al denominatore e risolverla come una comune disequazione fratta
Consideriamo i tre casi a=0, a<0 oppure a>0
(x-a) (x²+ax)
0
(x - a) x(x+a)
0
è verificata x>0 R se a=0 xx² 0
37
y=
y 0
xx²
xx² 0a=0
Equivale al sistema
x>0 R la soluzione è
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Ricordiamo che i fattori a denominatore non vanno posti =0
Consideriamo ora il caso in cui a>0
oppure a<0:In entrambi i casi, cerchiamo in quale intervallo
ciascun fattore risulta 0numeratore
denominato
re
(x - a) x(x+a)
0
N1
x-a 0 x a
D1 x>0 x > 0
D2 x+a>0 x > -a
39
D1 x>0
-- + +
xa0-a
N1 x a
Se a>0 nella linea dei numeri reali è a destra
dello zero e –a è a sinistra
S=xR-a<x<0 V xaS: (-a;0) [a;+)
(x - a) x(x+a)
0
D2 x>-a
Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è
0:
Se a>0 la soluzione èovvero
40
D1 x>0
-- + +
x-a0 a
N1 x a
Se a<0 nella linea dei numeri reali è a sinistra dello zero e –a è a destra
S=xRax<0 V x>-aS: [a;0) (-a;+)
(x - a) x(x+a)
0
D2 x>-a
Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è
0:
Se a<0 la soluzione èovvero
41
Sintetizziamo le diverse soluzioni
(x - a) x(x+a)
0
S=xR x>0se a=0 S: (0;+)
S=xR-a<x<0 V xa S: (-a;0)[a;+) se a>0
se a<0 S=xRax<0 V x>-a S: [a;0)(-a;+)
Abbiamo già visto la soluzione grafica per a=0; vediamo ora la soluzione grafica al
variare di a0
42
(x - a) x(x+a)
0a = 2>0
-2 2a
sin
toto
ve
rtic
ale
_+_ +
S=xR-a<x<0 V xa S: (-a;0)[a;+)
43
(x - a) x(x+a)
0a = -3<0
-3 3
asi
nto
to v
ert
ica
le
+_ _ +S=xRax<0 V x>-
a
S: [a;0)(-a;+)
44
FFFFFiFiFiFiFinFinFinFinFineFineFineFine
Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo
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