diseño de carreteras - curvas simples
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Diseño Geométrico de Vías
El diseño geométrico es la parte más importante dentro de un proyecto de construcción o
mejoramiento de una vía, pues allí se determina su configuración tridimensional, es decir, la
ubicación y la forma geométrica definida para los elementos de la carretera; de manera que ésta
sea funcional, segura, cómoda, estética, económica y compatible con el medio ambiente.
El diseño geométrico es aplicable tanto a carreteras como a vías férreas e incluso a canales de navegación,
sin embargo, en este curso vamos a hacer énfasis en las carreteras. Espero que al finalizar el semestre ya
sean capaces de conjugar todos los elementos en que se divide el diseño (planta, perfil y sección transversal)
para concebir una carretera completa y funcional, que cumpla los objetivos de seguridad y comodidad para los
usuarios y compatibilidad con el medio ambiente, es decir que su construcción sea sostenible y los beneficios
esperados sean mucho mayores que los costos.
Calendario En los últimos días he estado trabajando en la planificación de las asignaturas que dicto. Como resultado de
ello, realicé un completo calendario que muestra lo que espero que se haga en cada día de clase. Desde
luego que puede ser flexible y no es una camisa de fuerza. Pero es una buena manera de mantenerse
enterado sobre lo que vamos a trabajar y, sobre todo, sobre la fecha de evaluaciones, talleres y entrega de
trabajos. Lamentablemente, lo hice utilizando Google Calendar, sin embargo, permite verlo únicamente a
quienes tengan una cuenta en los servicios de Google (como gmail).
Si usted tiene tal cuenta, dé click en el botón que aparece a continuación. Recuerde que el código de Diseño
Geométrico de Vías es 2545:
Curvas Circulares Simples
Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados
para unir dos alineamientos rectos de una vía.
Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos:
o Ángulo de deflexión [ ∆]: El que se forma con la prolongación de uno de los
alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (∆).
o Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se
trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia- hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).
o Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva.
o Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).
o Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.
o Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.
o Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información.
o Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.
Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle:
Grado de curvatura
Usando arcos unidad:
En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada),
llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un
ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:
Usando cuerdas unidad:
Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una
curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta
longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda
unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la
curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el
terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias
curvas en el terreno utilizando técnicas de topogra fía?¿cómo?) .
Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos
como se muestra en la figura, de donde:
Longitud de la curva
A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se
tiene:
Usando arcos unidad:
Usando cuerdas unidad:
La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unid ad, se toma comúnmente como 5 m , 10
m , ó 20 m .
Localización de una curva circular
Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión.
Un ángulo de deflexión (δ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda
que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva.
Como se observa en la figura, el ángulo de deflexión (δ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por
la cuerda en cuestión (Φ).
Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad, dada por:
Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC, midiendo cuerdas unidad
desde allí. Sin embargo, rara vez las abscisas del PC o del PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda
unidad), por lo que resulta más sencillo calcular una subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa
cerrada y, de igual manera, desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él.
Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una
cuerda de un metro (1 m ) de longitud δm:
Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como:
δsc = δm · Longitud de la subcuerda
La deflexión para el PT, desde el PC, según lo anotado, debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de
la curva:
δPT = ∆/2
Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno.
Ejemplo
Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos:
o Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E
o Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E
o Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226
o Coordenadas del PI: 800 N , 700 E
o Cuerda unidad: 20 m
o Radio de curvatura: 150 m
Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y
el centro de la curva; y las deflexiones de la curva.
Solución
o Elementos geométricos de la curva
El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no
siempre es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE):
∆ = 76º20′ – 19º40′ = 56º40′ Izquierda
(A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada)
Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos:
Tangente: T = R · Tan (∆/2)
Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ]
Longitud de la curva: Lc = c·∆/Gc
Cuerda Larga: CL = 2·RSen(∆/2)
Externa: E = R(1/Cos(∆/2) – 1)
Ordenada Media (Flecha): M = R[1 - Cos(∆/2)]
Deflexión por cuerda:
Deflexión por metro:
o Abscisas del PC y el PT
Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc):
Abscisa del PC = Abscisa del PI – T
Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121
Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc
Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364
Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI , pues la curva
acorta distancia respecto a los alineamientos rectos.
o Coordenadas de los puntos PC, PT y O
Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes:
Azimut del PC al PI = 76º 20′
Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′
Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el
PC)
Azimut del PI al PT = 19º 40′
Nota : Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las condiciones
particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el
hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no
cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un
dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala.
Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (NA y EA), las coordenadas de un punto B (NB y
EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así:
NB = NA + DistanciaAB · Cos(AzimutAB)
EB = EA + DistanciaAB · Sen(AzimutAB)
Coordenadas del PI:
800N 700E
Coordenadas del PC:
N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80,879 Cos(256º 20′)
N = 780,890
E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80,879 Sen(256º 20′)
E = 621,411
Coordenadas del centro de la curva (O):
N = 780,890 + R·Cos(346º20′) = 780,890 + 150 Cos(346º20′)
N = 926,643
E = 621,411 + R·Sen(346º20′) = 621,411 + 150 Sen(346º20′)
E = 585,970
Coordenadas del PT
N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80,879 Cos(19º40′)
N = 876,161
E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80,879 Sen(19º40′)
E = 727,220
o Deflexiones de la curva
Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos
que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro.
Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa
distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la
k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de
20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula
como la diferencia entre las dos abscisas:
o Subcuerda de entrada: 2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m
Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11’28,06”, para la
primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de: o Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 0º11’28,06” = 2º50’37,64”
A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda
unidad), hasta llegar al PC, y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de
la anterior con la deflexión por cuerda:
o Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84”
o Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04”
o Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24”
o Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44”
o Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64”
o Deflexión para la k2+280 = 21º57’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”
Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la
de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada:
o Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364
Y de la misma manera, la deflexión para la subcuerda es de:
o Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”
Así que al final, la deflexión para el PT es:
o Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”
La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:
Con esta información se construye la cartera de deflexiones , que va a ser la que permita materializar la
curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las
tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se
calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los
alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde
el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de
abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos.
ESTACIÓN ABSCISA DEFLEXIÓN
PT k2+293,364 28º20’00,07”
K2+280 25º46’44,84”
K2+260 21º57’23,64”
K2+240 18º08’02,44”
K2+220 14º18’41,24”
K2+200 10º29’20,04”
K2+180 6º39’58.84”
K2+160 2º50’37,64”
PC k2+145,121 0º00’00”
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Bibliografía
Cárdenas Grisales, James. Diseño Geométrico de Carreteras. Ecoe ediciones. Bogotá. 2002. Código
topográfico de la Biblioteca de la Universidad: 625.7 C266 di
Las ecuaciones mostradas en este artículos están hechas usando en el Interactive Latex Equation
Editor de Sitmo, disponible enhttp://www.sitmo.com/latex
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