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DISEÑO COMPUTACIONAL EFICIENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS PONDERADOS DE FILTROS FIR QUE SATISFACEN LA MAGNITUD PRESCRITA Y LAS ESPECIFICACIONES DE FASE.
1. RESUMEN
Se formula una función objetiva en una forma cuadrática, los coeficientes del filtro, se obtendrán resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.
La estrecha banda de transición, la fase lineal los filtros FIR producen retardos de grupo , es necesario diseñar filtros que provean de una constante retardo de grupo que sea menores a los producidos por los filtros de fase lineal, es decir diseñar filtros de fase no lineales logrado con la aproximación de la magnitud y la fase.
Se han utilizado técnicas de mínimos cuadrados ponderados (WLS) para el diseño de filtros FIR ,prescrita de la magnitud y especificaciones de fase, teniendo así un método que tiene un orden de magnitud con menor complejidad computacional, que produce un diseño equiripple.
2. ERROR EN LA FUNCION FORMULACIÓN Y MINIMIZACIÓN
La respuesta en frecuencia de un filtro FIR digital esta dado por :
2.1 respuesta de fase del filtro:
2.2 Ecuación del retardo de grupo:
2.3 respuestas de frecuencias deseadas D(e jw):
Donde el error medio cuadrático:
Respuesta en frecuencia para N coeficientes la respuesta del impulso está dada por:
El ángulo formado por la parte imaginaria y real de la respuesta en frecuencia del impulso
Constante de retardo de grupo
Dónde : M(w) es la repuesta de amplitud
: p(w) es la respuesta de fase
W(w) : es una función de ponderación de frecuencia dependiente no negativo.
M es el número de puntos de
muestreo de D(e jw):
2.4 Si minimizamos el error Emsc y ∂ Emse∂h
=0obteniendo unos sistemas de ecuaciones lineales Qh=d:
2.5 Entradas:
W(w) : es una función de ponderación de frecuencia dependiente no negativo.
M es el número de puntos de
muestreo de D(e jw):
Donde :Qc (w )=c (w ) cT (w)
Qs (w )=s (w ) cT (w)
Los valores de MR (w ) yM I (w )son cero en la
banda de rechazo.
La nueva ecuación de d está relacionada con los
nuevos puntos de muestreo en D(e jw) que se da
con los Mp
Para n≥0 y m≤N−1 podemos observar que Q es real, al reemplazar los valores obtenemos ecuaciones lineales.
Cabe notar que Q es independiente de D(e jw)
Para un filtro pasa todo w[0 : π] , p(w)es la respuesta de fase , el error medio cuadrático se puede minimizar y resolver el sistema lineal.p(w) es anti simétrico o simétrica con respecto a π/2 la complejidad computación se redujo y es necesario solo determinar la mitad de los coeficientes.
3. Fase antisimétrica características:
4. Fase simétrica características:
Es el caso donde es simétrico alrededor de π/2 entonces tenemos:
De la respuesta en frecuencia para N coeficientes tenemos:
donde :
Entonces podemos escribir como :
p(w) es el termino antisimetrico alrededor de π/2
El número de coeficientes N debe ser impar
Cuando n es impar
Cuando n es par
Utilizando los diferentes términos de U,V ,a(n), b(n)
Dónde :
Como podemos observar la parte real de
la imaginaria solo difirieren en un solo número los cálculos se escribirán por separado.
El error medio cuadrático de la parte real:
Estableciendo
obtenemos donde y
De la misma forma el proceso para la parte imaginaria
Con el fin de diseñar un filtro que tiene un equiripple respuesta de magnitud, con un peso adecuado función, W (w), se tiene que utilizar en la minimización del error cuadrático medio. Dado que no existen métodos de análisis para obtener la adecuada W (w).
Se analizó que se puede representar los coeficientes en una matriz , que resolviéndole logramos obtener un sistema de ecuaciones lineales.
Resulto ser un método eficiente (WLS) para el diseño de filtros FIR, utilizando las fase simétrica y antisimétrica , se logro determinar la respuesta de impulso de fase lineal .
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