discrete 15 29
Post on 15-Nov-2014
115 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Содержание15 Выборка. Сочетания с повторениями и без повторений.................................................................216 Перестановки с повторениями и без повторений. Полиномиальная формула.............................417 Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов...........................................................518 Принцип включений и исключений..................................................................................................619 Задачи о распределениях. Случаи T и U...........................................................................................820 Задачи о распределениях. Случаи V и W.........................................................................................921 Обобщённый арифметический треугольник. Теорема о связи между обобщённым арифметическим треугольником порядка m и m- ичной системой счисления. Число "счастливых" автобусных билетов.......................................................................................................1022 Свойства обобщённых коэффициентов..........................................................................................1223 Рекуррентные соотношения. Лемма о линейной комбинации. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай действительных корней............................................................................1324 Рекуррентные соотношения. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней. Однородное линейное рекуррентное соотношение k-го порядка с постоянными коэффициентами....................................................................................................................................1625 Функции k-значной логики. Теорема о количестве функций k-значной логики, зависящих от n аргументов. Основные функции k-значной логики............................................................................1926 Функциональная полнота. Теорема о функциональной полноте класса Поста .........................2327 Общие принципы построения формальных теорий. Классическое исчисление высказываний L. Формулы, аксиомы, правило MP.....................................................................................................2528 Доказательство теоремы A→A. Теорема о дедукции...................................................................2729 Следствие теоремы о дедукции. Транзитивность импликации и правило сечения...................30
1
15 Выборка. Сочетания с повторениями и без повторений
Процедуры выбора:
1 Выбор с возвращением 2 Выбор без возвращения
ai, 1∈A
ai, 2∈A
⋯
ai, k∈A
ai, 1∈A
a i, 2∈A ∖ {ai ,1}
⋯
ai, k∈A ∖{ai, 1 ,ai, 2 , ... ,ai ,k−1}
Запись полученная по одной из процедур выбора называется выборкой.
[ai ,1 ,ai ,2 , ... ai ,k]
Выборка называется неупорядоченной выборкой или сочетанием из n
элементов по k, если две записи, отличающиеся только порядком следования
символов считаем одинаковыми.
Сочетания без повторений - неупорядоченная выборка, сделанная по второй
процедуре выбора.
Cnk ,nk - Биномиальный коэффициент. Число сочетаний без повторений из n
элементов по k меньше числа размещений из n элементов по k в k ! раз, так как
перестановка местами выбранных k предметов не даёт нового сочетания, а
переставить k предметов можно только k ! способами.
Сnk=
Ank
k !=
n!k ! n−k!
2
Сочетание с повторениями - неупорядоченная выборка, сделанная по первой
процедуре выбора.
Cnk
Каждому сочетанию с повторениями из n элементов по k соответствует
перестановка k неразличимых точек и n−1 неразличимой между собой перегородки
(количество точек, лежащих левее первой перегородки указывает на кратность a1 ,
между первой и второй на кратность a2 и так далее).
Pk ,n−1=nk−1!k ! n−1 !
=Cnk−1k
=Cnk−1n−1
Cnk=Cnk−1
k
3
16 Перестановки с повторениями и без повторений. Полиномиальная формула
Перестановка без повторений - размещение без повторений из n элементов по
n . Pn=Pn=n!
Перестановка с повторениями
Пусть у нас имеется
n1 - элементов 1-го типа;
n2 - элементов 2-го типа, и далее;
Тогда nk - элементов k-го типа, причём элементы каждого типа неразличимы
между собой. Переставляя эти предметы между собой будем иметь перестановки с
повторениями.
Pn1,n2,.. ,nk=n1n2..nk!
n1 !n2 ! ..nk ! - перестановка с повторениями, где
n1 ,n2 , .. ,nk - полиномиальные коэффициенты. Сначала мы считаем, что все
элементы разные, но так как предметы 1-го типа неразличимы, а переставить n1
можно n1 ! способами, то количество перестановок будет в n1 ! раз меньше общего
числа перестановок. Аналогично с n2, n3, .. ,nk .
Полиномиальная формула.
x1x2..xmn= ∑
k i∈ℕ0
k 1k2..k m=n
Pk1, k2,.. ,kmx1k1 x2
k2 .. xmkm
,
Pk1,k2, .. ,km =n!
k1 !k2 ! ..km !
4
17 Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
axn=∑k=0
n
Cnk ak xn−k - формула бинома Ньютона
Свойства биномиальных коэффициентов.
Сn0=Cn
n=1
Cn1=Cn
n−1=n
Cnk=Cn
n−k, Cn
n−k=
n!n−k !n−nk !
=n!
n−k !k !=Cn
k
Cn0Cn
1..Cnn=2n
Cn0−Cn
1...−1nCnn=0
Cn1k =Cn
kCnk−1 ,
n!k ! n−k !
n!
k−1! n−k1!=
n! n−k1 n!kk ! n−k1!
=n! n−k1k k ! n1−k!
=
=n!n1k !n1−k!
=n1!k ! n1−k !
=Cn1k
5
18 Принцип включений и исключений
Пусть имеем N некоторых предметов и 1,2, .. ,n - свойства предметов.
N1,3 ,4 - количество предметов, которые обладают свойствами 1, 4 и не
обладают свойством 3.
Формула включений и исключений.
N1 ,2 , .. ,n=N−N1−..−NnN1,2 ...Nn−1 ,n−N1,2,3
−1nN1,2, .. ,n
Доказательство:
1. n=1 , N1=N−N1 , верно
2. Допустим
N1 ,2 , .. ,k=N−N1−..−NkN1,2 ..−1nN1,2, ..k
3. Докажем справедливость для n=k1
N1 ,2 , .. ,k ,k1=Nk1−N1,k1−..−Nk ,k1N1,2,k1
−1nN1,2, .. ,k1
N1 ,2 , .. ,k ,k1=N1 ,2 , .. ,k−N1 ,2 , .. ,k ,k1
N1 ,2 , .. ,n=N−N1 −..−NnN1,2...Nn−1 ,n −
−N1,2,3..−1nN1,2,.. ,n
Формула доказана.
Задачи о смещениях
Перестановки с n предметами, за которыми зафиксированы первоначальные
позиции.
6
Dn - количество перестановок предметов, когда ни один из них не стоит на
первоначальной позиции.
Dn= n!общее количество
перестановок
− Cn1n−1!
число выборов 1−го предмета ,сохраняя позицию
... −1nCnn
число выборов n предметов ,
сохраняя позицию
Dn=n! 1−11!
12!−...−1n
1n!≈
n!e
Dn ,k=Cnk Dn−k - количество перестановок предметов, когда k из них сохраняют
свою позицию.
Dn ,k=n!
k !n−k !n−k ! 1−
11!
12!−...−1n
n−kn−k !
≈n!
k !e
7
19 Задачи о распределениях. Случаи T и U
Случай T. Распределение неразличимых шаров по различимым ящикам.
Введём k−1 перегородку. Левее первой - количество шаров в первом ящике,
между первой и второй - количество шаров во втором ящике, и так далее. Очевидно,
что любому способу распределения n неразличимых шаров по k различным
ящикам, соответствует n неразличимых точек и k−1 перегородка. Количество
таких перестановок: Pn,k−1=nk−1!n !k−1 !
=Cnk−1k−1
T n,k =Cnk−1k−1
В случае когда ни один из ящиков не пуст T∗n,k , задача сводится к
нахождению, сколькими способами можно из n−1 позиций выбрать k−1
расстановок перегородок.
T∗n,k =Cn−1k−1
Случай U. Распределение различимых шаров по различимым ящикам.
Un,k=k×k×..×kn раз
=kn
В случае, когда ни один из ящиков не пуст, количество распределений равно
U∗n,k = kn
общее число способов
− Ck1k−1n
число способоввыбораодногопустого ящика
Ck2 k−2n
число способоввыборадвухпустых ящиков
.. −1k−1Ckk−1
числоспособоввыбора
n−1 пустых ящиков
Числа Стирлинга 2-го рода
8
20 Задачи о распределениях. Случаи V и W
Cлучай V. Распределение различимых шаров по неразличимым ящикам.
V∗n,k=U∗ n ,k
k ! - так как перестановка k ящиков местами в случае V∗ не
даёт нового способа распределения, а переставить ящики можно k способами.
V n ,k= V∗ n ,kнет пустых ящиков
V∗ n ,k−1один ящик пуст
..V∗n,1
Случай W. Распределение неразличимых шаров по неразличимым ящикам.
W n,k= W∗n,kнет пустых ящиков
W∗ n ,k−1один пустой ящик
..W∗ n ,1
W∗n ,k=W n−k ,k
9
21 Обобщённый арифметический треугольник. Теорема о связи между обобщённым арифметическим треугольником порядка m и m- ичной системой счисления. Число "счастливых" автобусных билетов
k 0 1 2 ⋯ m-2 m-1 m ⋯
n
1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 ⋯
2 1 2 3 ⋯ m-1 m m-1 ⋯
3 1 3 6 ⋯ m12
m⋯ ⋯ ⋯
Сmn,k - арифметические коэффициенты.
Сm1,k =0, если km−1 ; Сm 1,k=1, если k≤m−1
Cmn,k ={Cmn−1,kCmn−1,k−1..Cmn−1,0, если k≤m−1Cmn−1,kCmn−1,k−1..Cmn−1,k−m1, если km−1
Теорема о связи между обобщённым арифметическим треугольником
порядка m и m-ичной системы счисления
Сmn,k равен количеству n-разрядных чисел в m-ичной системе счисления,
сумма которых равна k, причём допускаются записи, начинающиеся с 0.
Доказательство:
обозначим это количество за Bmn,k
Bm1,k ={1, если k≤m−10, если km−1
10
Bmn,k ={Bmn−1,kBmn−1,k−1..Bmn−1,0, если k≤m−1Bmn−1,kBmn−1,k−1..Bmn−1,k−m1, если km−1
Cmn,k =Bmn,k
Счастливые билеты.
Пусть имеется номер из одних нулей, 000000 - самая малая комбинация, 999999 -
самая большая комбинация.
C103,k ,k∈{0,1,2,.., 27}
Всего способов C103,k2
L - число всех счастливых билетов;
L=C103,02C103,12C103,22..C103,132×2=55252
=55252
1000000≈
118
- вероятность "счастливого" билета.
Второй способ: каждому счастливому билету можно поставить в соответствие билет
с суммой цифр 27. С106,27=55252
11
22 Свойства обобщённых коэффициентов
1. С2n,k =Cnk
2. Cmn,k =Cm n,nm−1−k , доказательство:
a1a2..an=k
m−1−a1m−1−a2..m−1−an=nm−1−k
3. Cmn,0Cmn,1..Cmn,nm−1=mk - общее количество различных
чисел
4. Зафиксируем первые i разрядов. Пусть сумма первых i разрядов равна S .
Сmn,k = ∑s=0
m−1i
Cmi ,sCmn−i ,k−s - формула разложения по первым
разрядам.
5. Формула разложения по нулевым разрядам.
Сmn,k =∑s=0
n
CnsCm−1n−s,k−ns
S - количество нулевых разрядов;
Cns
- количество способов выбора позиции для S нулей;
Cm−1 n−s,k−ns - все числа уменьшили на единицу.
12
23 Рекуррентные соотношения. Лемма о линейной комбинации. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай действительных корней
Рекуррентным соотношением k-ого порядка называется соотношение,
позволяющее вычислить каждый член последовательности начиная с k+1, через k
предыдущих членов этой последовательности. Решением рекуррентного соотношения
называется последовательность, которая при подстановке в это отношение
превращается в верное равенство.
Общим решением рекуррентного соотношения k-го порядка называется
решение, содержащее k произвольных постоянных, путём подбора которых можно
удовлетворить любые начальные условия.
Линейным однородным рекуррентным соотношением 2 порядка с
постоянными коэффициентами (ЛОРС2ППК) называется соотношение вида:
f n2=p f n1q f n , p, q−const
Решения ЛОРС2ППК ищутся в виде xn :
xn2=pxn1qxn
x2=pxq
x2−px−q=0 - характеристическое уравнение ЛОРС2ППК.
Лемма о линейной комбинации решений ЛОРС2ППК.
Если последовательности f n ,gn - решения некоторого соотношения, то
hn=A f nBgn - так же решение этого соотношения. Доказательство:
13
{f n2=p f n1q f n |×Agn2=pgn1qgn |×B
A f n2Bgn2=A p f n1A qf nBp gn1Bq gn=pA f n1Bgn1qAf nBgn=phn1qhn
Теорема об общем виде решения ЛОРС2ППК.
Пусть имеем некоторое ЛОРС2ППК, составим характеристическое уравнение:
x2−px−q=0
В случае, если D0 , x1≠x2 , x1, x2∈ℝ :
С1 x1nC2x2
n - решение.
Покажем, что для любых констант A,B можно подобрать значения C1 и C2 ,
чтобы:
f 0=A
f 1=B
{C1C2=AC1 x1C2 x2=B
=∣1 1x1 x2
∣=x2−x1≠0
В случае, если D=0 , x1=x2 , x2∈ℝ :
f n=x1n C1nC2
2 x1=p
14
x12=−q
f n2=2x1 f n1−x12 f n=x1
n2 C1n C2
Покажем, что для любых констант A ,B можно подобрать значения C1 и C2 ,
чтобы:
f 0=A
f 1=B
{C1=AC1 x1C2 x2=B
=∣1 0x1 x1
∣=x1≠0
15
24 Рекуррентные соотношения. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней. Однородное линейное рекуррентное соотношение k-го порядка с постоянными коэффициентами
Рекуррентным соотношением k-ого порядка называется соотношение,
позволяющее вычислить каждый член последовательности начиная с k+1, через k
предыдущих членов этой последовательности. Решением рекуррентного соотношения
называется последовательность, которая при подстановке в это отношение
превращается в верное равенство.
Общим решением рекуррентного соотношения k-го порядка называется
решение, содержащее k произвольных постоянных, путём подбора которых можно
удовлетворить любые начальные условия.
Линейным однородным рекуррентным соотношением 2 порядка с
постоянными коэффициентами (ЛОРС2ППК) называется соотношение вида:
f n2=p f n1q f n , p, q−const
Решения ЛОРС2ППК ищутся в виде xn :
xn2=p xn1q xn
x2=pxq
x2−px−q=0 - характеристическое уравнение ЛОРС2ППК.
Теорема о виде общего решения ЛОРС2ППК.
Пусть имеем некоторое ЛОРС2ППК, составим характеристическое уравнение:
x2−px−q=0
В случае, если D0 , x1,2=r cos±isin
16
f n=rn C1 cosC2 sin
x1=r cosi sin
x2=r cos−i sin
x1n=rn cosnisinn
x2n=rn cosn−isinn
x1nx2
n
2=rncosn
x1n−x2
n
2i=rnsinn
C1rn cosnC2rnsinn=rnC1 cosnC2sinn
Покажем, что ∀ A, B:∃C1,C2 :
f 0=A
f 1=B
{C1=ArC1cosr C2sin=B
=∣ 1 0r cos r sin∣=r sin
Линейным однородным рекуррентным соотношением k-ого порядка с
постоянными коэффициентами (ЛОРСkППК) называется соотношение вида:
f nk =a1 f nk−1a2 f nk−2..ak f n
xk−a1 xk−1−a2xk−2−..−ak=0 - характеристическое уравнение соотношения.
17
Теорема о виде общего решения ЛОРСkППК.
Пусть имеется некоторое ЛОРСkППК, решим его характеристическое уравнение.
1. x1∈ℝ , x1n C1nC2..nm−1Cm
2. x1,2=2cos± isin
rncos C1nC2..nm−1Cmsin D1nD2..nm−1Dm
18
25 Функции k-значной логики. Теорема о количестве функций k-значной логики, зависящих от n аргументов. Основные функции k-значной логики
Ek={0,1,.. ,k}
f :EknEk - функция k-значной логики;
Pk - множество всех функций k-значной логики;
Pkn
- множество всех функций k-значной логики от n переменных;
x1 x2 ⋯ xn f
0 0 ⋯ 0 a1
0 0 ⋯ 1 a2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 ⋯ k−1 ak
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
k−1 k−1 ⋯ k−1 akn
Теорема о количестве различных функций k-значной логики от n переменных.
∣Pkn∣=kkn
Доказательство:
Каждая функция k-значной логики однозначно определяется вектором своих
значений - вектором размерности k, каждая координата которого может принимать k
различных значений. Тогда общее количество всевозможных векторов такого вида
будет равно k×k×..×k
kn
=k kn
.
19
Основные функции k-значной логики.
1. f x=C - константа;
2. x=x1modk - отрицание Поста;
3. ~x=k−1−xmodk - отрицание Лукасевича;
4. x⋅y modk - умножение по модулю k;
5. x∧y=min{x , y} - конъюнкция;
6. x∨y=max{x ,y} - дизъюнкция;
7. xy modk - сложение по модулю k;
8. x−y modk - разность по модулю k;
x−y={x−y , еслиx≥ykx−y , еслиxy
9. x∸ y - усечённая разность;
10. jix={1, x=i0, x≠i
- характеристическая функция I типа (рода);
11. Jix ={k−1, x=i0, x≠i
- характеристическая функция II типа (рода);
12. Vk x ,y=x∨y - функция Вебба.
20
Таблица функций n переменных k-значной логики для n=2,k=3
x y x ~y x⋅y x∧y x∨y xy x−y x∸ y j1 x J1y Vk x ,y
0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 0 1 1 2 0 0 0 2
0 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 2 0
1 0 2 2 0 0 1 1 1 1 1 0 2
1 1 2 1 1 1 1 2 0 0 1 0 2
1 2 2 0 2 1 2 0 2 0 1 2 0
2 0 0 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0
2 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0
2 2 0 0 2 2 2 1 0 0 0 2 0
Докажем справедливость законов де Моргана:
~x∧y =~x ∨~y
1. x≤y
~x∧y =~ x=k−1−x
~x∨~y=k−1−x∨k−1−y=k−1−x
2. xy
~x∧y=~ y=k−1−y
~x∨~y=k−1−x∨k−1−y=k−1−y
~x∨y =~x ∧~y
1. x≤y
x∨y=min{x ,y}=y
~x∨y=~ y=k−1−y
~x∧~y=k−1−x∧k−1−y=min{k−1−x ,k−1−y}=k−1−y
21
2. xy
~x∨y =~ x=k−1−x
~x∧~y=k−1−x∧k−1−y=k−1−x
~~x=x
~~x=~k−1−x=k−1−k1x=x
x∧y=~~ x∨~y
22
26 Функциональная полнота. Теорема о функциональной полноте класса Поста {¬ ,∨}
Теорема о представлении функций k-значной логики в первой форме.
Для каждой функции k-значной логики справедлива формула:
f x1, x2, .. , xn= ∨a1, a2, .., an
Ja1x1∧Ja2
x2∧..∧Janxn∧f a1,a2,. . ,an
Доказательство:
f b1,b2, .. ,bn=0∨0∨..∨Jb1b1∧Jb2
b1 ∧..∧Jbnbn ∧f b1,b2, .. ,bn∨0∨..∨0=
=k−1∧k−1∧..∧k−1∧f b1,b2, .. ,bn=f b1,b2,. . ,bn
Cистема функций называется функционально полной, если любая функция k-
значной логики может быть представлена в виде суперпозиции функций этой системы.
1. Pk
2. {0,1, .. , k−1, J0 x ,J1x , .. , Jk x,∧ ,∨}
Теорема о функциональной полноте класса Поста {¬ ,∨} .
Класс {¬ ,∨} - функционально полный.
Доказательство:
1. Построим константу
max{x ,x, x,..}=k−1
При каждом фиксированном х получим полный набор констант.
23
2. Получим Jix
Покажем, что Jix =1max{x}
i≠k−1
1. x≠i
1max{x}=k−1−i
=1k−1=0
Jix =0
2. x=i
1max{x}i=k−1
=1k−2=k−1
Jix=k−1
3. Получим min
fs ,ix={s, x=i0, x≠ i}
fs ,ix=s1max k−1−s, Jix
Покажем, что любую функцию одной переменной можно представить через fs ,ix .
gx=max{fg0,0 x , fg1 ,1x , .. , fgk−1 ,k−1 x}
gb=max {fg0, 0b, fg1, 1b , .. , fgk−1 ,k−1 b}=fgb,b b=gb
~x=max{fk−1,0x, fk−2,0x, .. , f0,k−1x}
x∧y=~~x ∨~y
24
27 Общие принципы построения формальных теорий. Классическое исчисление высказываний L. Формулы, аксиомы, правило MP
1. Алфавит - множество символов;
2. Формулы - множество правильно построенных предложений из символов
алфавита;
3. Аксиомы - некоторое подмножество формул;
4. Правило вывода - правило, позволяющее из одних формул получать другие.
Правилом вывода GA1, A2, .. ,An−1 ,B называется n-местное отношение на
множестве формул. Если A1,A2, .. , An−1 ,B вступают в это отношение, то говорят, что
B непосредственно выводится из A1,A2, .. , An−1 и записывают это в виде:
A1, A2, .. ,An−1
BG или A1,A2, .. , An−1⊢
G
B .
Формула называется теоремой формальной теории, если существует
последовательность B1, B2, .. ,Bm−1 ,Bm=B , каждый член которой либо аксиома, либо
получен по некоторому правилу вывода из предыдущих членов последовательности.
Пишут ⊢B .
Говорят, что формула B выводима из множества гипотез Г и пишут Г⊢B ,
если существует последовательность B1, B2, .. ,Bm−1 ,Bm=B , каждый член которой
либо одна из формул списка Г , либо аксиома, либо получена по правилу вывода из
некоторых предыдущих членов последовательности.
L - классическое исчисление высказываний.
25
1. Алфавит: Bi ,A , ,¬ , ( , )
2. Формулу определим индуктивно
1. Bi ,A - формулы;
2. Если A ,B - формулы, то ¬A , AB - формулы;
3. Других формул нет.
Замечание: самые внешние круглые скобки будет опускать.
3. Введём 3 схемы аксиом
1. ABA
2. ABCABAC
3. ¬A¬B¬BAB
Аксиомой по данной схеме аксиом называется формула, полученная из схемы
аксиом подстановкой на место переменных в эту схему аксиом других формул.
4. Правило MP (Modus ponens)
AB ,AB
MP
26
28 Доказательство теоремы A→A. Теорема о дедукции
Теорема ⊢AA
Доказательство:
B1 : A B CA AA A - по II схеме аксиом.
B1 : AAAAAAAAA
B2 :AAAA - аксиома по I схеме A BA AA
B3 :AAAAA - по MP, применённому к B1, B2
B4 :AAA - аксиома по I схеме A BA A
B5 :AA - по MP к B3,B4
Теорема доказана.
Теорема о дедукции.
Г , A⊢B⇔Г⊢ AB
1. Г⊢ AB⇒Г , A⊢B
A1, .. ,Bm−1 , AB
B1, .. ,Bm−1 , AB, A ,B - по MP к предыдущим
2. Г , A⊢B⇒Г⊢ AB
B1, B2,.. ,Bm−1 ,B
27
.. , AB1, .. ,AB2, .. ,ABi−1 , .. , ABi, .. , AB
Покажем, что можно сделать вставки так, что AB - вывод из списка Г .
Покажем по методу математической индукции.
1. Проверим, возможны ли вставки перед AB1
◦ B1 - аксиома из формул из Г
B1AB1аксиомапо Г
,B1, AB1поMPкпредыдущему
◦ B1=A ,AA
Вставки 4 формулы из доказательства ⊢AA
2. Допустим, что все вставки до ABi−1 сделаны
3. Докажем, что можно сделать вставку перед формулой ABi
... , AB
B1, B2, .. ,Bi−1 ,Bi, .. ,Bm=B
◦ Bi - аксиома или гипотеза из Г
BiABiаксиомапо Iсхеме
, Bi, ABiMPизпред.
◦ Bi=A , AA
Вставка состоит из 4 формулы из доказательства ⊢AA
◦ Bk=BjBi,Bj , k , j i
...,ABjBi, .. , ABi
ABjBiABjABiаксиома поII схеме
28
ABjABiпоMPкформулам
, ABiпоMPк формулам
На основании метода математической индукции утверждаем, что ∀ i можно
сделать вставки, в том числе и для i=m . То есть можно получить вывод формулы
AB из множества гипотез Г .
29
29 Следствие теоремы о дедукции. Транзитивность импликации и правило сечения
Транзитивность импликации.
AB,BC ⊢ AC
Доказательство:
1. AB - гипотеза;
2. BC - гипотеза;
3. A - гипотеза;
4. B (по MP к 1 и 3)
5. C (по MP к 2,4)
AB,BCГ
,A⊢C
Г , A⊢C - применим теорему о дедукции;
6. AB,BC ⊢ AC
Правило сечения.
ABC,B⊢AC
1. ABC - гипотеза;
2. B - гипотеза;
3. A - гипотеза;
4. BC (по MP к 1, 3)
5. С (по MP к 2,4)
30
ABCГ
,A⊢C
6. ABC,B⊢AC по теореме о дедукции.
31
top related