diffusion equationhydrology2014

R. RigonR. Rigon

Ubiquitous Diffusion

Jack

son

Poll

ok, F

ree

Form

, 19

49

, Mom

a

!2

Objectives

•See where diffusion equations appears in

hydrology:

•The case of Richards’ equation and its

extensions

•The case of snow thermodynamics

!All presented in a somewhat confuse way ...

!Sorry for the mixed English and Italian ….

R. Rigon

Introduction

R. Rigon

Richards ++

R. Rigon

!4

Four phases

Back to the basics

R. Rigon

!5

Four phases

However, we neglect, at the moment, ice.

Soil

Water

Air

Massa Volume

VagMag

La colonna di neve

MwVw

M⇤ V⇤

R. Rigon

Back to the basics

!6

V a r i a z i o n e d i contenuto d’acqua nel suolo nell’unità di tempo

Divergenza del flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo

Ric

har

ds,

19

31

!6

⇤�w

⇤t= ⇥ · ⌃Jv(⇥)

L’equazione di continuità

Back to the basics

R. Rigon

!7

Legge di Darcy-Buckingham

Flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo

Conducibilità idraulica x gradiente del caricoB

uck

ingh

am, 1

90

7, R

ich

ard

s, 1

93

1

!7

~Jv = K(✓w)~r h

]Back to the basics

R. Rigon

!8

Il carico idraulico è una energia per unità di volume e si misura in unità di lunghezza

h = z + �

Carico idraulico

campo gravitazionale

forze capillari - pressione

Ric

har

ds,

19

31

!8

Legge di Darcy-Buckingham

Back to the basics

R. Rigon

!9

Per semplificare possiamo pensare vi sia una relazione biunivoca tra pressione e contenuto d’acqua del suolo

⇤�(⇥)⇤t

=⇤�(⇥)⇤⇥

⇤⇥

⇤t� C(⇥)

⇤⇥

⇤t

Capacità idraulica dei suoli

!9

Back to the basics

R. Rigon

!10

La capacità idraulica è proporzionale alla distribuzione dei pori

!10

Interpretations

R. Rigon

!11

FORME PARAMETRICHE DELLA SWRC:

QUELLA PIU’ USATA E’ QUELLA di van Genucthen

Che ha cinque parametri

!11

Se ⌘✓w � ✓r

�s � ✓r=

h 11 + (↵ )n

im

✓r

�s

↵nm

Parameterisations

R. Rigon

!12

si ottiene:

K(Se) = KsSve

⇤1�

�1� S1/m

e

⇥m⌅2

(m = 1� 1/n)

o, esprimendo il tutto in funzione del potenziale di suzione:

K(⇥) =Ks

�1� (�⇥)mn [1 + (�⇥)n]�m

⇥2

[1 + (�⇥)n]mv (m = 1� 1/n)

FORME PARAMETRICHE DELLA CONDUCIBILITA’ IDRAULICA

!12

Parameterisations

R. Rigon

!13

What I mean with Richards ++

First, I would say, it means that it would be better to call it, for

instance: Richards-Mualem-vanGenuchten equation, since it is:

Se = [1 + (��⇥)m)]�n

Se :=�w � �r

⇥s � �r

C(⇥)⇤⇥

⇤t= ⇥ ·

�K(�w) �⇥ (z + ⇥)

⇥

K(�w) = Ks

⇧Se

⇤�1� (1� Se)1/m

⇥m⌅2

Water balance

Parametric Mualem

Parametric van Genuchten

C(⇥) :=⇤�w()⇤⇥

R. Rigon

To sum-up

!14

What I mean with Richards ++

Extending Richards to treat the transition saturated to unsaturated zone. Which means:

R. Rigon

Extensions

!15

Richards equation is part of a more general equation

that can be obtained by considering also saturated soil/aquifers*

* see for instance, Lu and Godt, 2012, Chapter 4 - Freeze and Cherry, 1979, pg 51

Since the rate of gain/loss of water mass is in general:

<latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>

where:

<latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>

R. Rigon

Extensions

!16

Allora l’equazione generale è ancora

C(⇥)⇤⇥

⇤t= ⇥ ·

�K(�w) �⇥ (z + ⇥)

⇥

purchè (usando la parametrizzazione di van Genuchten):

R. Rigon

Extensions

!17

Le equazioni sono non lineari e richiedono il metodo di

Newton con doppia iterazione interna (nested Newton) per essere risolte

R. Rigon

Phase Transition

R. Rigon

Freezing soil

Gin

o S

ever

ini, B

lue

Dan

cer,

19

12

- G

uggh

enai

m m

use

um

, Ven

ice

R. Rigon

!19

The Cryosphere, 5, 469–484, 2011www.the-cryosphere.net/5/469/2011/doi:10.5194/tc-5-469-2011© Author(s) 2011. CC Attribution 3.0 License.

The Cryosphere

A robust and energy-conserving model of freezingvariably-saturated soilM. Dall’Amico1,*, S. Endrizzi2, S. Gruber2, and R. Rigon11Department of Civil and Environmental Engineering, University of Trento, Trento, Italy2Department of Geography, University of Zurich, Winterthurerstrasse 190, Zurich, Switzerland*now at: Mountain-eering srl, Via Siemens 19, Bolzano, Italy

Received: 29 June 2010 – Published in The Cryosphere Discuss.: 11 August 2010Revised: 18 May 2011 – Accepted: 19 May 2011 – Published: 1 June 2011

Abstract. Phenomena involving frozen soil or rock are im-portant in many natural systems and, as a consequence, thereis a great interest in the modeling of their behavior. Fewmodels exist that describe this process for both saturated andunsaturated soil and in conditions of freezing and thawing,as the energy equation shows strongly non-linear character-istics and is often difficult to handle with normal methodsof iterative integration. Therefore in this paper we proposea method for solving the energy equation in freezing soil.The solver is linked with the solution of Richards equation,and is able to approximate water movement in unsaturatedsoils and near the liquid-solid phase transition. A globally-convergent Newton method has been implemented to achieverobust convergence of this scheme. The method is tested bycomparison with an analytical solution to the Stefan problemand by comparison with experimental data derived from theliterature.

1 Introduction

The analysis of freezing/thawing processes and phenomenain the ground is important for hydrological and other landsurface and climate model simulations (e.g. Viterbo et al.,1999; Smirnova et al., 2000). For example, comparisonsof results from the Project for Intercomparison of Land Sur-face Parameterization Schemes have shown that the modelswith an explicit frozen soil scheme provide more realisticsoil temperature simulation during winter than those without(Luo et al., 2003). Freezing soil models may be divided intothree categories: empirical and semiempirical, analytical,

Correspondence to: M. Dall’Amico(matteo@mountain-eering.com)

and numerical physically-based (Zhang et al., 2008). Em-pirical and semiempirical algorithms relate ground thawing-freezing depth to some aspect of surface forcing by one ormore experimentally established coefficients (e.g. Anisimovet al., 2002). Analytical algorithms are specific solutions toheat conduction problems under certain assumptions. Themost widely applied analytical solution is Stefan’s formula-tion, which simulates the freezing/thawing front using ac-cumulated ground surface degree-days (either a freezing orthawing index) (Lunardini, 1981). Numerical physically-based algorithms simulate ground freezing by numericallysolving the complete energy equation, and in natural condi-tions they are expected to provide the best accuracy in sim-ulating ground thawing and freezing (Zhang et al., 2008).However, this approach has difficulties, especially regardingthe treatment of phase change, which is strongest in a narrowrange of temperatures near the melting point, and thus rep-resents a discontinuity that may create numerical oscillations(Hansson et al., 2004). Furthermore, the freezing processhas a profound effect also to the water fluxes in the soil, asit changes the soil hydraulic conductivity and induces pres-sure gradients driving water movements. Therefore, a cou-pled mass and energy system is needed to simulate both thethermal and hydraulic characteristics of the soil.The objectives of the paper are: (1) to revisit the theory

of the freezing soil in order to provide the formulation forthe unfrozen water pressure, which can accomodate variably-saturated soils; (2) to outline and describe a numerical ap-proach for solving coupled mass and energy balance equa-tions in variably-saturated freezing soils, based on the split-ting method; (3) to provide an improved numerical schemethat: (i) is written in conservative way, (ii) is based on theglobally convergent Newton scheme, and (iii) can handlethe high non-linearities typical of the freezing/thawing pro-cesses.

Published by Copernicus Publications on behalf of the European Geosciences Union.

What about soil freezing ?

see also Dall’Amico Ph.D thesis: http://eprints-phd.biblio.unitn.it/335/

The long story of soil freezing

R. Rigon

!20

Two cases

is hydraulic head [L] of water <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>

R. Rigon

in vadose and saturated conditions

!21

Two equations (just one here)

first principle

potential energy

kinetic energy

internal energy

energy fluxes at the boundaries

second principle

more details onhttp://abouthydrology.blogspot.com/2013/04/beyond-and-side-by-side-with-numerics.html

Back to the basics

R. Rigon

!22

Four phases

Back to the basics

R. Rigon

!23

Water is

•often in unsaturated conditions

•in pores

•it is known that it does not freeze until very negative temperatures are obtained

•a relationship (the Soil Water Retention Curves needs to be invoked between water head and water content to close the equations)

Back to the basics

R. Rigon

!24

Unsaturated conditions

means that capillary forces acts, i.e. we have to account for the tension forces that accumulate in curves surfaces

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!25

Unsaturated conditionsYoung-Laplace equation

pw = pa � �wa⇤Awa(r)⇤Vw(r)

= pa � �wa⇤Awa/⇤r

⇤Vw/⇤r= pa � �wa

2r

:= pa � pwa(r)

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!26

In unsaturated conditionsthe equilibrium condition:

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!27

In unsaturated conditionsthe equilibrium condition becomes

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!28

So, skipping a few passages

The situation at the freezing point is the opposite, and represented by the

blue arrowFreezing point depression

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!29

Because, the smaller the pores,

the larger the freezing point depression !

larger pores freezes before than

smaller pores

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!30

Because

by means of the Clausius-Clapeyron equation

there is a one-to-one relations between the size of the pores and the temperature

depression, and because there is also a one-to-one relationship between the

size of the pores and the pressure

there is a one-one relation among T and

Beyond the Stefan problem

R. Rigon

!31

Unsaturated unfrozen

Unsaturated Frozen

Freezing starts

Freezing procedes

Capillarity (and other stuff)

R. Rigon

!32

pw0 = pa � �wa⇥Awa(r0)

⇥Vw= pa � pwa(r0) pi = pa � �ia

⇥Aia(r0)⇥Vw

:= pa � pia(r0)

pw1 = pa � �ia⇥Aiar(0)

⇥Vw� �iw

⇥Aiw(r1)⇥Vw

Two interfaces (air-ice and water- ice) should be considered!!!

Curved interfaces with three phases

Four phases … well interfaces are phases too, indeed

R. Rigon

!33

Now

we have enough information to write the right equations

!Perhaps

If we do not get lost in simplifications

Making it short

R. Rigon

!34

A further assuption

To make it manageable, we do a further assumption. Mainly the freezing=drying

one.

Considering the assumption “freezing=drying” (Miller, 1963) the ice “behaves

like air” and does not add further pressure terms

Freezing=Drying

R. Rigon

!35

Unfrozen water content

soil water retention curve

thermodynamic equilibrium (Clausius Clapeyron)

+

⇥w =pw

�w gpressure head:

�w(T ) = �w [⇥w(T )]

How this reflects on pressure head

Freezing=Drying

R. Rigon

!36

Unsaturated unfrozen

Unsaturated Frozen

Freezing starts

Freezing procedes

Soil water retention curvesFreezing=Drying

R. Rigon

!37

Soil water retention curvesFreezing=Drying

R. Rigon

!38

Soil water retention curvesFreezing=Drying

R. Rigon

!39

T � := T0 +g T0

Lf�w0

ice content: �i =⇥w

⇥i

��� �w

⇥

⇥w = ⇥r + (⇥s � ⇥r) ·⇤

1 +���⇤w0 � �

Lf

g T0(T � T ⇥) · H(T � T ⇥)

⇥n⌅�m

liquid water content:

Total water content:

depressed melting point

Modified Richards equations

� = ⇥r + (⇥s � ⇥r) · {1 + [�� · ⇤w0]n}�m

Water and ice mass budget

R. Rigon

!40

U = Cg(1� �s) T + ⇥wcw�w T + ⇥ici�i T + ⇥wLf�w

�U

�t+ ⌥⇥ • (⌥G + ⌥J) + Sen = 0

⌃G = ��T (⇥w0, T ) · ⌃⇤T

�J = �w · �Jw(⇥w0, T ) · [Lf + cw T ]

0 assuming freezing=drying

U = hgMg + hwMw + hiMi � (pwVw + piVi) + µwMphw + µiM

phi

no expansion: ρw=ρi

assuming:0 no flux during phase change

Eventually:

0 assuming equilibrium thermodynamics: µw=µi and Mw

ph = -Miph

conduction

advection

Energy Equation

Water and ice energy budget in soil

R. Rigon

!41

⇤⌃⇧

⌃⌅

⇤U(�w0,T )⇤t � ⇤

⇤z

�⇥T (⇤w0, T ) · ⇤T

⇤z � J(⇤w0, T )⇥+ Sen = 0

⇤�(�w0)⇤t � ⇤

⇤z

⌥KH(⇤w0, T ) · ⇤�w1(�w0,T )

⇤z �KH cos ��

+ Sw = 0

1D representation:

Finally the “right” equations

Water and ice mass and energy budget together

R. Rigon

R. RigonR. Rigon

Tu

rner

, Sn

ow

Sto

rm, 1

84

2

Snow

!43

Il manto nevosoNeve, Ghiaccio, Permafrost

Acqua (Liquida)

Ghiaccio

Aria

Massa Volume

Vag

ViMi

Mag

La colonna di neve

Mw Vw

M⇤ V⇤

R. Rigon

Introduction

!44

Il manto nevoso

Il manto nevoso (snow-pack) è:

! - un mezzo poroso (come mostrato nella slide precedente)

!Generalmente composto da strati, più o meno omogenei, di differente

spessore e da tipi differenti di neve

!Gli strati sono composti da cristalli e grani che sono, di solito, legati da

qualche tipo di coesione.

R. Rigon

Introduction

!45

Massa dell’acqua liquida

Massa del vapore Massa del ghiaccio

Massa della neve

Massa dell’aria

Notazione di base

M⇤ = Mag + Mw + Mi

M⇤ = Mv + Mw + Mi

R. Rigon

Introduction

!46

Notazione di baseI volumi con gli stessi indici delle masse

V⇤ = Vag + Vw + Vi

Vtw = Vv + Vw + Vi

R. Rigon

Introduction

Densità del ghiaccio ice density

!47

Densità apparente della neve snow bulk density

Notazione di base

⇢i :=Mi

Vi

⇢⇤ :=M⇤V⇤

=M⇤

Vag + Vw + Vi

R. Rigon

Introduction

!48

Notazione di base

Contenuto volumetrico d’acqua nella neve(adimensionale)

Volume fraction of liquid water in snow pores

✓w :=Vw

Vag + Vw + Vi

Contenuto volumetrico adimensionale di ghiaccio nella neve

Volume fraction of frozen water (ice) in snow

✓i :=Vi

Vag + Vw + Vi

R. Rigon

Introduction

!49

Porosità della neve

Notazione di base

Saturazione (relativa) della neve

�⇤ :=Vag + Vw

Vag + Vw + Vi

S⇤ :=✓w

�⇤

R. Rigon

Introduction

!50

Notazione di base

Equivalente in acqua della neve

Volume dell’acqua derivante dalla completa fusione della neve su un area orizzontale corispondente.

h⇤ =✓

✓w + (1� �⇤)⇢i

⇢w

◆V⇤A

=✓

✓w + (1� �⇤)⇢i

⇢w

◆hsn

hsn :=V⇤A

h⇤ :=Vw(A) + ⇢i

⇢wVi(A)

A

R. Rigon

Introduction

!51

Proprietà termiche della neve

Si assume che il flusso di calore segua la legge di Fourier:

~Jh = Kh~rT

Flusso di calore W m-2

Conducibilità termica

W m-1 K-1

Gradiente di Temperatura

K m-1

R. Rigon

Thermal conductivity

!52

Proprietà termiche della neve

La conducibilità termica Kh è una misura della abilità di un materiale di trasmettere

calore. un buon conduttore di calore ha un alto valore di K, un isolante ha un basso

valore di K (in W/m K).

Neve Fresca 0.03 (meglio della lana di vetro!)

Neve vecchia 0.4

Ghiaccio 2.1

~Jh = Kh~rT

La neve attenua i cambiamenti termici dell’atmosfera. Per esempio un cambio

di 1 grado di temperatura dell’aria in 15 minuti, cambia la temperatura a 20

cm di profondità nella neve di soli 0.1 gradi e di 0.01 gradi ad un metro.  

R. Rigon

Thermal conductivity

!53

Proprietà termiche della neve

~Jh = Kh~rT

Kh cresce con il metamorfismo della neve. Ad esempio, Sturm, 1997 fornisce

questa formula parametrica:

Kh = 0.138� 1.01 ⇢ ⇤+3.233 ⇢2⇤

R. Rigon

Thermal conductivity

!54

Temperatura

Generalmente nel manto nevoso si presentano due situazioni:

!

- E’ presente una variazione di temperatura tra la sommità della neve

e il il terreno su cui si posa: la temperatura è normalmente dominata

dalla temperatura in superficie e il terreno si trova generalmente a 0

C .... a meno che non si sia in presenza di permafrost.

!

- Non è presente alcun gradiente: la neve si trova in uno stato isotermo

R. Rigon

Thermal conductivity

!55

Temperatura

La neve è un buon isolante termico. Si generano gradienti di temperatura anche molto elevati in prossimità della superficie.

R. Rigon

Phenomenology

!56

050

100

150

Snow

Dep

th [c

m]

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SnowD simFlux to ground

Nov 97 Feb 98 May 98 Aug 98 Nov 98

030

6090

120

150

Flux

to g

roun

d [W

/m^2

]

● SnowD meas

estateinverno

circa 50 W/m2circa 5 W/m2

Temperaturawith and without

R. Rigon

Phenomenology

!57

Scambi di energia attraverso i flussi

turbolenti

Conduzione di calore verso il terreno

Percolazione di acqua verso il terreno

Bilancio di radiazione

dU⇤dt

= Rn lw + Rn sw �H � �s Ev + G + Pe

Variazione di energia

dU⇤dt

= CpdT⇤dt

Capacità termica della neveVariazione di temperatura

della neve

Il bilancio di energia della neve

R. Rigon

Energy budget

!58!58

energy fluxes at the boundary

phase transition

Variazione di energia della neve

Il bilancio di energia interno

Neve

R. Rigon

Energy budget

!59!59

phase transition

Variazione di energia della neve

Flussi di energia al contorno

Il bilancio di energia interno

Neve

Energy budget

!60!60

Transizioni di fase

Variazione di energia della neve

Flussi di energia

Il bilancio di energia interno

Neve

Energy budget

!61

Il flusso di calore trasportato dalla precipitazione è calcolato

supponendo che la precipitazione abbia la stessa temperatura

dell’aria e quello trasportato dall’acqua di fusione supponendo che

questa sia alla temperatura di 0°C.

Una nota sulla precipitazione

R. Rigon

Precipitation and Energy

!62!62

raffreddamento/riscaldamento per conduzione

raffreddamento/riscaldamento per avvezione (principalmente di

acqua liquida)

Il bilancio di energia interno

Neve

Energy budget

!63!63

Dove il termine di flusso

è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per

conduzione:

raffreddamento/riscaldamento:

il flusso di calore

Neve

Energy budget

!64!64

gradiente di temperatura

raffreddamento/riscaldamento:

il flusso di calore

Dove il termine di flusso

è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per

conduzione:

Neve

Energy budget

!65!65

conducibilità termica

Questa è la teoria di

Onsager che porta

alla legge di Fourier

gradiente di temperatura

raffreddamento/riscaldamento:

il flusso di calore

Dove il termine di flusso

è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per

conduzione:

Neve

Energy budget

!66!66

L’energia interna della neve

variazione dell’energia interna della neve

Neve

Energy budget

!67!67

Una parte dipende dalla temperatura

variazione dell’energia interna della neve

L’energia interna della neve nelle sue parti

Energy budget

!68!68

Una parte dipende dalla quantità della sostanza

Una parte dipende dalla temperatura

variazione dell’energia interna della neve

L’energia interna della neve nelle sue parti

Energy budget

!69

Lo scioglimento del manto nevoso

Tradotto in termini del bilancio di energia. Per T < 0

Variazione dell’energia interna del

ghiaccio

<latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>

R. Rigon

Energy budget

!70

Lo scioglimento del manto nevoso

Tradotto in termini del bilancio di energia. Per T > 0

Variazione dell’energia interna dell’acqua ... ma in questo caso bisognerebbe

fare dei distinguo ...

<latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>

R. Rigon

Energy budget

!71

Lo scioglimento del manto nevoso

`

Variazione dell’energia interna

del sistema complessivo

acqua + ghiaccio Variazione di entalpia del sistema

acqua + ghiaccio

dT

dt= 0T = 0 dp

dt= 0

<latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>

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R. Rigon

Energy budget

!72

Lo scioglimento del manto nevosoLo scioglimento del manto nevoso

Le porzioni relative nel volume di controllo di ghiaccio e neve sono determinate

dai rispettivi volumi.

!Questi ultimi sono, evidentemente funzione della storia energetica della neve.

dT

dt= 0T = 0 dp

dt= 0

dU⇤dt

=dH

dt

R. Rigon

Phase Transition

!73

Lo scioglimento del manto nevoso

Nei layer non superficiali, si ha conduzione del calore secondo la legge di

Fourier (se si trascura la percolazione)

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R. Rigon

Phase Transition

!74!74

le due equazioni di conservazione della massa e dell’energia vengono risolte

congiuntamente per la massa di neve

Poichè le equazioni sono accoppiate

dM⇤dt

= P � Ev �Gp in superficie

all’interno della neve

in superficie

all’interno della neve

R. Rigon

Equations

!75

Ma i metodi di soluzione

rimangono i medesimi

Le equazioni sono non lineari e discontinue alla transizione di fase richiedono il metodo di

Newton con doppia iterazione interna

R. Rigon

Phase Transition

!76

Grazie per l’attenzione!

G.U

lric

i -

, 20

00

?

R. Rigon

The End