deretharmonik - wonosb.files.wordpress.com · deretharmonik deretharmonik 1 misalkan kita mempunyai...
Post on 18-Mar-2019
229 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Deret Harmonik
Wono Setya Budhi
October 16, 2014
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 1 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
2 Selanjutnya, buat barisan baru
H (n) =n
∑k=1
1
k
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuatdengan cara khusus).
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
2 Selanjutnya, buat barisan baru
H (n) =n
∑k=1
1
k
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuatdengan cara khusus).
3 Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini
1+1
2+
1
3+
1
4+
1
5+
1
6+
1
7+
1
8+
1
9+ . . .
≥ 1+1
2+
1
4+
1
4+
1
8+
1
8+
1
8+
1
8+
1
16+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
2 Selanjutnya, buat barisan baru
H (n) =n
∑k=1
1
k
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuatdengan cara khusus).
3 Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini
1+1
2+
1
3+
1
4+
1
5+
1
6+
1
7+
1
8+
1
9+ . . .
≥ 1+1
2+
1
4+
1
4+
1
8+
1
8+
1
8+
1
8+
1
16+ . . .
4 Saat ini kita akan melihat order dari cara deret ini membesar denganmembandingkan fungsi f (x) dengan
limx→∞
f (x) = ∞ dan limn→∞
[H (n)− f (n)] = c
dengan c konstanta.Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
% Kita akan melihat ukuran membesarnyaN=40H(1)=1for i=2:NH(i)=H(i-1)+1/i;endplot(H,’+r’)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 3 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 401
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 Pernah melihat fungsi seperti ini?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 4 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 401
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 Fungsi dengan bentuk seperti di atas f (x) =√x , f (x) = ln x atau
f (x) = x r dengan 0 < r < 1.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 5 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 40−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
y = logx
y =√
x
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 6 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang”konstan” terhadap y = ln (x).
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang”konstan” terhadap y = ln (x).
2 Apakah ini benar?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang”konstan” terhadap y = ln (x).
2 Apakah ini benar?
3 Kita akan menguji dengan melihat barisan
C (n) = H (n)− ln n
c (n) = H (n)− ln (n+ 1)
dengan n sangat besar
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
x=linspace(1,40,40);plot(x,H(x)-log(x),’b’,’LineWidth’,2)text(’Interpreter’,’latex’,...
’String’,’$y=H(n)-\log n$’,...’Position’,[10 H(10)-log(10)],...’FontSize’,16)
plot(x,H(x)-log(x+1),’g’,’LineWidth’,2)text(’Interpreter’,’latex’,...
’String’,’$y=H(n)-\log (n+1)$’,...’Position’,[10 H(10)-log(10+1)],...’FontSize’,16)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 8 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y = H(n)− logn
y = H(n)− log(n + 1)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 9 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Karena C (n) = H (n)− log (n) monoton turun danc (n) = H (n)− log (n+ 1) monoton naik, dan
C (n) 6= c (n)
untuk setiap n, dugaan kita
limn→∞
H (n)− log (n)
ada
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 10 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1y=H(n)−log (n+1)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 11 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1y=H(n)−log (n+1)
2
c (5) = H (5)− ln (5+ 1)
= H (5)−∫ 5+1
1
1
xdx
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 11 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6y=H(n)−log n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 12 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6y=H(n)−log n
2
c (5) = H (5)− ln (5)
= H (5)−∫ 6
2
1
x − 1dx
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 12 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Perhatikan bahwa
C (n)− c (n) = H (n)− ln (n)− H (n) + ln (n+ 1)
= ln
(
1+1
n
)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 13 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Perhatikan bahwa
C (n)− c (n) = H (n)− ln (n)− H (n) + ln (n+ 1)
= ln
(
1+1
n
)
2 Jika n → ∞, limn→∞ ln(
1+ 1n
)
= 0, maka
limn→∞
{C (n)− c (n)} = 0 atau limn→∞
C (n) = limn→∞
c (n) = C
yang sudah diketemukan oleh Euler (1707-1783)
C = limn→∞
(
1+1
2+
1
3+ . . . +
1
n
)
− ln n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 13 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Apakah kita dapat mengenali sisa
1+1
2+
1
3+ . . . +
1
n− ln n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 14 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
2 Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n)− H (n) jika n → ∞. Apakahanda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
2 Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n)− H (n) jika n → ∞. Apakahanda mengenalinya?
3 Selidiki juga dengan H(
2kn)
− H (n)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
2 Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n)− H (n) jika n → ∞. Apakahanda mengenalinya?
3 Selidiki juga dengan H(
2kn)
− H (n)
4 Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi denganH(
2kn)
. Tentu nilainya juga akan membesar. Bagaimana ukuranmembesarnya? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan sebagaiukuran.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2 Tentukan kemungkinan nilai m
njika J (m) = J (n) + 1?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2 Tentukan kemungkinan nilai m
njika J (m) = J (n) + 1?
3 Misalkan n bilangan terbesar sehingga J (n) = m, untuk
m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m). Hitung L(m+1)L(m)
. Carilah
suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2 Tentukan kemungkinan nilai m
njika J (m) = J (n) + 1?
3 Misalkan n bilangan terbesar sehingga J (n) = m, untuk
m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m). Hitung L(m+1)L(m)
. Carilah
suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
4 Tentukan order dari L (m) jika m membesar tanpa batas. Sekali lagi,tentukan order membesarnya H (n).
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bagaimana dengan deret
∞
∑n=1
(−1)n+1 1
n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bagaimana dengan deret
∞
∑n=1
(−1)n+1 1
n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
2 Bagaimana dengan deret
1+1
2− 1
3+
1
4+
1
5− 1
6+ . . .
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bagaimana dengan deret
∞
∑n=1
(−1)n+1 1
n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
2 Bagaimana dengan deret
1+1
2− 1
3+
1
4+
1
5− 1
6+ . . .
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
3 Bagaimana dengan deret
1+1
3− 1
2+
1
5+
1
7− 1
4+ . . .
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
3 Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
3 Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
4 Ingat saat 1+ 12 +
13 +
14 + . . ., kita memperoleh f (x) = ln x .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+13√2+
13√3+ . . . +
13√n
divergen. Selidiki order konvergensinya.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+13√2+
13√3+ . . . +
13√n
divergen. Selidiki order konvergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+13√2+
13√3+ . . . +
13√n
divergen. Selidiki order konvergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
3 Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Selidiki ke konvergenan
1+1
22+
1
32+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 20 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Selidiki ke konvergenan
1+1
22+
1
32+ . . .
2 Selidiki ke konvergenan
1+1
23+
1
33+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 20 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Selidiki ke konvergenan
1+1
22+
1
32+ . . .
2 Selidiki ke konvergenan
1+1
23+
1
33+ . . .
3 Selidiki ke konvergenan
1+1
24+
1
34+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 20 / 20
top related