curs 9: grafuri orientate

Curs 9: Grafuri orientateTeoria grafurilor

Radu Dumbraveanu

Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale

Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)

Balt, i, 2013

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 1 / 1

Graf orientat; Arce

Definit, ieUn graf orientat este o pereche G = (V ,E) de mult, imi unde E este omult, ime de perechi ordonate de elemente din V .

Elementele mult, imii V se numesc vırfurile grafului G; elementele mult, imiiE se numesc arcele grafului G.

Mult, imea arcelor este o submult, ime a produsului cartezian V ×V .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 2 / 1

Reprezentarea grafica

u

v x

yz

G = ({u, v, x, y, z}, {(u, v), (u, x), (u, y), (u, z)})

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 3 / 1

Reprezentarea grafica

u

v x

yz

H = (V ,E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, zy, vz}

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 4 / 1

Grade

Gradul exterior al vırfului v se noteaza d+(v) si este egal cu numarul dearce care au ca extremitate initiala pe v.

Gradul interior al vırfului v se noteaza d−(v) si este egal cu numarul dearce care au ca extremitate finala pe v.

Se numes, te succesor al vırfului v oirce vırf la care ajunge un arc care iesedin vırful v

Se numes, te predecesor al vırfului vırf orice vırf la care intra un arc invırful v

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 5 / 1

Grade

u

v x

yz

Succesorul vırfului x este y; predecesorul lui x este v.

Grade interioare s, i exterioare: d−(x) = d+(x) = 1; d−(y) = 2 s, id+(y) = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 6 / 1

Drum; Circuit

Se numeste drum ıntr-un graf orientat o secventa de vırfuri v1, v2, ..., vn ,astfel ıncıt pentru oricare doua vırfuri consecutive vi si vi+1 exista arcul(vi , vi+1).

Un drum ınchis, ınceputul s, i sfırs, itul coincid, se numes, te circuit.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 7 / 1

Drum vs Lant, ; Circuit vs ciclu

v0

v1

v2

v3

v4

Drum de la v0 la v3: (v0, v1, v2, v3).

Lant, care nu este drum: (v1, v2, v4).

In general nu exista drumuri care sa se termine ın v4.

Cicuit: v1, v2, v3, v1.

Ciclu, dar nu s, i circuit: v0, v1, v3, v0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 8 / 1

Secvent, e infinite de vırfuriLemmaDaca un digraf cont, ine o secvent, a infinita de vırfuri (v0, v1, ...) astfel ıncıtvi−1vi este un arc pentru orice i > 0, atunci G cont, ine un circuit.

v7 v0

v1v2

v3

v4

v5v6

Exemplu de secvent, a infinita cu prorietatea ca vi−1vi este un arc pentru orice i:(v0, v1, ..., v5, v6, v0, v1, ..., v5, v6, ...).

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 9 / 1

Secvent, e infinite de vırfuri

Demonstratie.Graful G are un numar finit de vırfuri; reiese ca ın secvent, a sınt vırfuri carese repeta.Fie ca vi = vj pentru un careva i < j s, i tot, i vk , i < k < j sınt diferit, i (nuse repeta ın acest diapazon).Atunci vi , vi+1, ..., vj este un ciclu ın G.

Analog putem demonstra urmatoarea lema:

LemmaDaca un digraf cont, ine o secvent, a infinita de vırfuri (v0, v1, ...) astfel ıncıtvi+1vi este un arc pentru orice i ≥ 0, atunci G cont, ine un circuit.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 10 / 1

Surse s, i destinat, ii

TeoremaUn digraf fara circuite contine cel putin un vırf fara succesori si cel putinun vırf fara predecesori.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 11 / 1

Surse s, i destinat, ii

Demonstratie.Presupunem ca G nu cont, ine vırfuir fara succesori.Alegem v0 ın baza presupunerii acesta are cel put, in un succesor; alegemunul din ei, de exemplu v1.Pentru v1 este valabila aceeas, i presupunere, deci putem alege succserotulv2 s, .amd.m.d.Dar atunci lema spune ca graful are circuite; Contradict, ie.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 12 / 1

Drumuri; Numar cromatic

TeoremaOrice graf orientat G cont, ine un drum elementar de lungimea χ(G)− 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 13 / 1

Conexitate tare

Intr-un digraf doua vırfuri se numesc tare conexe daca exista un drum dela primul vırf spre al doilea s, i invers.

Un digraf este tare conex daca orice doua vırfuri sınt tare conexe.

Vom considera ca orice vırf este tare conex cu el ınsas, i.

Un digraf este conex daca ıntre orice doua vırfuri exista un lant, .

Intr-un digraf care nu este tare conex putem evident, ia componente tari[conexe].

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 14 / 1

Grafuri orientate remarcabile

Graf orientat complet pe n vırfuri este graful ın care ıntre orice douavırfuri exista un arc.

In general pe n vırfuri putem construi mai multe grafuri complete.

Un graf orientat se numeste antisimetric daca pentru oricare doua varfuridin graf u si v daca exista arcul (u, v), atunci nu exista arcul (v, u).

Un graf orientat complet si antisimetric se numeste graf turneu.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 15 / 1

Digraf asimetric; Turneu

v0

v1

v2

v3

v0

v1

v2

v3

Primul digraf este un turneu; al doilea nu este antisimetric s, i respectiv nupoate fi turneu.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 16 / 1

Grafuri orientate remarcabile

Notat, iile pentru grafurile remarcabile neorientate ramın aceleas, i doar caprefixate cu “D”;

Digraful circuit: DCn .

Digraful drum: DPn .

Digraful complet: DKn .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 17 / 1

Orientari

Un graf neorientat poate fi transformat ıntr-un digraf asociind fiecareimuchii o direct, ie.

Acest proces se numes, te orientare a grafului.

Daca un graf neorientat are m muchii acesta poate orientat ın 2m moduri;ın general printre aceste 2m digrafuri unele sınt izomorfe.

O problema practica ın cazul orientarii grafurilor este de a orienta astfelıncıt digraful rezultat sa fie tare conex.

O astfel de orientare se numes, te orientare tare.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 18 / 1

Orientari tari

TeoremaUn graf conex G are o orientare tare daca s, i numai daca orice muchieapart, ine la cel put, in un ciclu.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 19 / 1

Turnee

In cazul cınd avem o competit, ie sportiva ın care fiecare participant trebuiesa joace cu tot, i ceilalt, i participant, i s, i rezultatul fiecarui joc este cıs, tig saupierdere; acesta poate fi modelata printr-un digraf.

Participant, ii reprezentam prin vırfuri, iar daca x a cıs, tigat jucınd cu yducem un arc de xy.

Pentru n participant, i avem un graf orientat complet s, i asimetric; care senumes, te turneu.

Gradul exterior al unui vırf este numarul de cıs, tiguri al acestui participant.

Daca avem arcul xy spunem ca x domina y.

Un turneu este reductibil daca mult, imea vırfurilor poate fi partit, ionata ındoua submult, imi nevide X s, i Y astfel ıncıt fiecare vırf din X dominafiecare vırf din Y .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 20 / 1

Turnee

TeoremaUn turneu este ireductibil daca s, i numai daca este tare conex.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 21 / 1

Turnee

Demonstratie.Presupunem ca G este un turneu reductibil s, i fiecare vırf din X dominafiecare vırf din Y .Atunci nici un vırf din X nu este accesibil din Y (nu exista drum din Yspre X), deci G nu este tare conex.Presupunem ca G nu este tare conex; fie doua vırfuri u s, i v astfel ıncıt vnu este accesibil din u.Notam prin X mult, imea tuturor vırfurilor care nu-s accesibile din u.S, i prin Y mult, imea vırfurilor care-s accesibile din u.Atunci X s, i Y nu sınt vide deoarece u ∈ X s, i v ∈ Y ; X ∩Y = ∅ s, iX ∪Y = V (G).In plus orice vırf din X domina orice vırf din Y . Deci G este reductibil.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 22 / 1

Turnee

CorolarOrice vırf dintr-un turneu ireductibil apart, ine unui circuit de lungimea 3.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 23 / 1

Turnee; Drum Hamilton

Un drum Hamilton este drum elementar care cont, ine toate vırfuriledigrafului

TeoremaOrice turneu cont, ine un drum Hamilton.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 24 / 1

Turnee; Drum Hamilton

Demonstratie.Fie dat un turneu pe n vırfuri; adica un DKn .In baza unei teoreme anterioare ın DKn exista un drum elementar delungimea χ(DKn)− 1.Acesta este drumul Hamilton cautat deoarece χ(DKn) = n − 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 25 / 1

Turnee; Circuit Hamilton

TeoremaOrice vırf ıntr-un turneu tare conex pe n vırfuri, n ≥ 3, apart, ine unuicircuit de lungimea k pentru orice 3 ≤ k ≤ n.

CorolarOrice turneu tare conex cont, ine un circuit Hamilton.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 9: Grafuri orientate Balt,i, 2013 26 / 1