corsi di laurea in: informatica ed informatica per le...
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Lezione n. 7 (2 ore)
Carlo PaganiDipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: carlo.pagani@unimi.it
Università degli Studi di MilanoFacoltà di Scienze Matematiche Fisiche e NaturaliCorsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Gianluca ColòDipartimento di Fisica – sede
Via Celoria 16, 20133 Milano
web page: http://www.mi.infn.it/~colo
e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 2
La carica elettrica
E’ esperienza comune che la materia può contenere della
carica elettrica e molti dei fenomeni associati ad essa sono già noti:
fulmini, scariche, attrazione elettrostatica ecc.
La materia ordinaria contiene enormi quantità di carica elettrica anche
se risulta normalmente nascosta: infatti contiene un numero identico di
cariche positive e negative, risultando così elettricamente neutra.
E’ pero possibile, ad esempio per sfregamento, generare in un corpo un
eccesso di carica di un dato segno, tale corpo avrà allora una carica
netta.
Esiste in natura una forza sensibile allo stato di carica di un corpo:
cariche elettriche dello stesso segno si respingono, cariche di
segno opposto si attraggono.
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 3
Materia, conduttori ed isolanti
La struttura stessa degli atomi è responsabile della natura elettrica della
materia:
– Protoni con carica positiva e neutroni, privi di carica,
formano un nucleo centrale
– Elettroni carichi negativamente orbitano intorno al nucleo
– L’atomo ha una struttura complessivamente neutra, ma
può perdere o acquisire carica per ionizzazione
E’ possibile classificare le sostanze in funzione della facilità che hanno
le cariche elettriche a muoversi attraverso di esse:
– Conduttori: le cariche si muovono abbastanza liberamente, come nel rame
o nei metalli in genere
– Non conduttori o isolanti: le cariche non si muovono affatto, come la
gomma, la plastica o il vetro.
– Semiconduttori: sostanze dal comportamento intermedio, come il silicio o il
germanio utilizzati nei circuiti integrati.
– Superconduttori: sostanze perfettamente conduttrici in cui le cariche si
spostano senza ostacolo alcuno, come il niobio al di sotto della temperatura
di 9 K che viene utilizzato negli acceleratori di particelle.
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 4
La legge di Coulomb
Due particelle con cariche elettriche di modulo q1 e q2, poste ad una
distanza r, subiscono una forza elettrostatica data dalla
legge di Coulomb:
Ciascuna delle cariche esercita una forza F sull’altra, si tratta di una
coppia di azione-reazione.
La forza è sempre diretta lungo la direttrice tra le due particelle, nel verso
di allontanamento se si respingono e nel verso di avvicinamento se si
attraggono.
E’ evidente l’analogia con la forza di gravitazione universale di Newton, k
è detta costante elettrostatica.
L’unità di misura SI per la carica è il coulomb (C) e la costante k è pari a:
2
21
r
qqkF
con 1099.8 2
2
29
smkgN
C
mNk
C.A. Coulomb, 1785
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 5
Concetti e formule fondamentali
Alcune concetti fondamentali:
La quantità di carica elettrica DQ in transito nell’intervallo di tempo Dt è
detta corrente elettrica. L’unità SI della corrente è l’ampere (A).
La costante elettrostatica è determinata dall’espressione:
Diversamente da Coulomb o Franklin oggi sappiamo che la carica
elettrica è quantizzata, ovvero che essa è sempre e solo multiplo di
una carica elementare detta e. Per qualsiasi q vale che:
Ad ogni livello dell’indagine fisica, da quello atomico a quello
macroscopico, è sempre verificato il principio di conservazione della
carica elettrica formulato da B. Franklin.
t
Qi
D
D
][
][][
s
CA sAC 111
04
1
k
2
212
0 1085.8mN
C costante dielettrica del vuoto
Cenneq 1910602.1;...,2,1;
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 6
Tavola Periodica degli elementi
Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero di cariche elementari positive (protoni) che sono contenute nei rispettivi nuclei. Intorno ai nuclei “ruotano” altrettante cariche elementari negative (elettroni) in modo che l’atomo sia elettricamente neutro.
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 7
L’azione a distanza caratteristica della forza elettrostatica viene spiegata
in fisica grazie al concetto di campo elettrico:
– Il campo elettrico è vettoriale, consiste in una distribuzione di vettori nello
spazio intorno ad una particella carica.
– Supponiamo di esplorare tale spazio tramite una particella carica positiva di
prova q0. Se F è la forza a cui la particella è soggetta in un dato punto P(x,y,z),
il campo elettrico in P ha intensità:
Il campo elettrico in un certo spazio può essere visualizzato attraverso le
sue linee di forza:
– In ogni punto la tangente alla linea indica la direzione del campo elettrico
– La densità di linee per unità di superficie normale è proporzionale alla intensità
del campo elettrico: le linee si addensano dove il campo è più intenso
– Si consideri che la particella di prova è sempre positiva: le linee escono dalle
cariche positive ed entrano in quelle negative
Campo elettrico e linee di forza
0q
FE
kgm
m
Fag 1con 0
0
Analogia con il campo gravitazionale
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 8
Campo elettrico e linee di forza - 2
Le linee di forza tracciano sempre traiettorie chiuse, nel caso cariche di
un solo segno si suppongono chiuse su cariche lontane (all’infinito).
Ecco qualche esempio di linee di forza e di vettore campo elettrico
corrispondente per semplici distribuzioni di carica:
Singola carica negativa.
Coppia di cariche positive
Coppia di cariche di segno opposto: dipolo elettrico
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 9
Utilizziamo la carica di prova positiva q0 per descrivere il campo elettrico
di una singola carica puntiforme q in funzione della distanza r:
– L’intensità della forza è data dalla legge di Coulomb:
– L’intensità del vettore campo elettrico è allora data da:
– Vale il principio di sovrapposizione, dunque è possibile calcolare allo
stesso modo il campo generato da più cariche puntiformi come:
– Ciascun contributo Ei corrisponde al campo elettrico che sarebbe generato se
la carica i fosse l’unica presente!
Campo di una carica puntiforme
2
0
04
1
r
qqF
2
00 4
1
r
q
q
FE
r
r
r
qqF
q
F
q
FEEE i
2
0
00
2
0
121
4
1con ......
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 10
Utilizziamo il principio di sovrapposizione per esprimere il campo elettricogenerato da un dipolo elettrico lungo il suo asse (asse z):
Che può essere riscritta come:
Quando ci troviamo a grandi distanze dal dipolo possiamo approssimare il risultato considerandoche z >> d. L’espressione risultante è:
p = qd è il momento di dipolo elettrico, contiene due grandezze intrinseche del dipolo.
Campo di un dipolo elettrico
2
0
2
0
2
0
2
0
2
14
1
2
14
1
4
1
4
1
dz
q
dz
q
r
q
r
qEEE
dqpz
p
z
qd
z
d
z
qE
3
0
3
0
2
0
;2
1
2
12
4
22
2 0 2
12
14 z
d
z
d
z
qE
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 11
Moto di una carica in campo elettrico
Per descrivere il moto di una particella carica q in un campo elettrico
E(x,y,z) è sufficiente considerare che in ogni punto P la forza sulla
particella è data da:
– Il campo è un campo esterno: esso non è generato dalla particella, un corpo
carico non risente del proprio campo elettrico !
– F ha lo stesso verso di E se la particella ha carica positiva, ha il verso
opposto ad E se ha carica negativa.
Nel caso particolare del dipolo in campo uniforme, il moto può essere
ulteriormente semplificato:
– Assumiamo il vettore p come diretto lungo l’asse
del dipolo, dalla carica negativa a quella positiva.
Assumiamo inoltre che il dipolo abbia una struttura
interna rigida.
– il centro di massa rimane fermo ma viene esercitato
un momento torcente t
EqF
t sinsin pEFd Ep
t
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 12
Flusso del campo elettrico
Se in una data porzione di spazio è presente un campo vettoriale, ogni
superficie arbitraria dà luogo ad un flusso di campo determinato dalle
linee di campo che la superficie intercetta.
Introduciamo il vettore areale, il cui
modulo è pari all’area della superficie A
e la cui direzione è normale al piano
dell’area. In un campo elettrico costante
Il flusso è definito come:
Se consideriamo una superficie chiusa, possiamo
sommare il contributo di tutti i piccoli piani di area
DA che la compongono:
– Il campo E può essere ritenuto costante su aree
così piccole
– Facendo tendere a zero l’area dei piani DA:
AE
AdE
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 13
Legge di Gauss
La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto di campo elettrico
attraverso una superficie chiusa (detta anche superficie gaussiana) con la
carica netta qint che è racchiusa all’interno della superficie. Vale che:
– Se la carica netta è positiva il flusso è uscente,
se è negativa il flusso è entrante.
– Forma e posizione delle cariche non hanno
importanza!
– Cariche esterne alla superficie danno un flusso
netto pari a zero: tutte le linee di forza entrano
ed escono.
Ad esempio si considerino le superfici in figura:
– S1: carica netta positiva, flusso positivo
– S2: carica netta negativa, flusso negativo
– S3: niente carica, flusso netto nullo
– S4: carica netta nulla, flusso nullo
AdEq
00int
(Legge di Gauss)
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 14
Applicazione della legge di Gauss ai conduttori
Campo elettrico all’interno dei conduttori:
– In un conduttore le cariche in eccesso sono libere di muoversi e la repulsione
elettrostatica le spinge tutte a disporsi sulla superficie esterna
– Applicando la legge di Gauss ad una superficie chiusa
tutta interna al conduttore osserviamo che essa
non racchiude alcuna carica:
• il campo elettrico è nullo all’interno dei conduttori!
Campo elettrico sulla superficie dei conduttori:
– Consideriamo una piccola superficie cilindrica “a cavallo”
dello strato più esterno
– Assumiamo s come densità superficiale di carica:
– Non c’è flusso nella superficie interna poiché E = 0
– Non c’è flusso in quella laterale perché il campo è
ortogonale al vettore areale
– Il solo contributo al flusso è dato dalla faccia esterna
0
0int
ss EAEAq
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 15
Ancora sui conduttori …
Alcune considerazioni ulteriori sui conduttori:
– Su oggetti asimmetrici la carica elettrica in eccesso non si distribuisce
necessariamente in modo omogeneo, la densità superficiale tende ad essere
maggiore laddove il raggio di curvatura è minore (punte, spigoli etc.).
• Il campo sulla superficie è sensibile alla sola densità superficiale di carica, ne
segue quindi che il campo elettrico ha valori più alti in prossimità di spigoli vivi: è
l’effetto punta.
– Le cariche sui conduttori si dispongono sempre in modo da determinare
campo elettrico nullo all’interno, anche se il conduttore non presenta cariche
in eccesso.
• Le linee di forza si arrestano alla superficie e sono ad essa perpendicolari
– Si consideri il caso di un conduttore con una
cavità che racchiuda una carica -q:
• Sulle superfici interna ed esterna del conduttore
esterno si formano delle cariche –q e +q tali che
il campo all’interno sia nullo e il conduttore rimanga
neutro.
• Tali cariche sono dette cariche immagine.
• La configurazione interna della carica è insondabile
dall’esterno, così come la carica interna non risente
in alcun modo di quelle esterne.
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 16
Energia potenziale elettrica
La forza elettrostatica è conservativa, possiamo allora definire per essa
un’energia potenziale elettrica DU tale che:
Dove L è il lavoro compiuto dal campo elettrico nel passare da i a f, mentre
Lapp= -L è il lavoro compiuto da una forza esterna per passare dalla
configurazione iniziale a quella finale
La configurazione di riferimento per un sistema di particelle cariche èquella in cui esse siano infinitamente distanti, a tale configurazioneassegniamo una energia potenziale nulla.
Se indichiamo con L∞ il lavoro compiuto dal campo elettrico portando una carica
dall’infinito alla configurazione finale, l’energia Uf = U sarà pari a:
In perfetta analogia con la gravitazione, il lavoro compiuto non dipendedal percorso effettuato ma solo dalla scelta delle configurazioni iniziale efinale.
LLUUU appif D
LU
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 17
Il potenziale elettrico
L’energia potenziale di una carica dipende dal valore della carica stessa,
invece l’energia potenziale per unità di carica ne è indipendente. Essa
viene chiamata potenziale elettrico ed è dunque data da:
e
– Il potenziale V(x,y,z) è un campo scalare, la sua unità di
misura SI è il [J]/[C] che è più spesso indicato come volt (V):
– Il campo elettrico E può dunque essere anche
misurato in V/m:
Il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato
superficie equipotenziale:– Le linee di forza sono sempre ortogonali
alle superfici equipotenziali
– Un percorso i cui punti iniziale e finale
giacciano su una superficie equipotenziale
compie lavoro nullo.
q
UV
q
L
q
U
q
U
q
UVVV if
if D
D
C
JV
1
11
m
V
C
mJ
C
NE
/
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 18
Calcolo del potenziale elettrico
Ricaviamo un espressione per il calcolo del potenziale elettrico
– dalla definizione stessa di lavoro
e di campo elettrico:
– integrando lungo la traiettoria scelta:
– e dalla definizione di potenziale:
Il risultato è l’integrale di linea della grandezza E∙ds lungo la traiettoria
Se come punto iniziale assumiamo la configurazione di riferimento, allora
Vi = 0 e si ha:
sdEqsdFdL
0
f
i
sdEqL
0
D
f
i
if sdEVVV
f
i
sdEV
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 19
Potenziale di carica puntiforme
Utilizziamo l’espressione appena ricavata per calcolare il potenziale elettrico nello
spazio intorno ad una carica puntiforme, rispetto al potenziale nullo.
Dato che la traiettoria scelta non influenza il risultato, scegliamo quella più semplice,
lungo la direzione radiale.
Per la traiettoria scelta vale che:
dunque ds diventa dr e i limiti di integrazione sono ri = R
ed rf = ∞. Dunque:
Quindi, in forma più generale:
E, per un insieme di n cariche puntiformi:
dsEdsEsdE )0(cos
R
qdr
r
q
drr
qEdrVVV
R
RR
if
0
2
0
2
0
4
11
4
4
10
r
qrV
04
1)(
n
i i
in
i
ir
qVrV
101 4
1)(
Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 20
Calcolo del campo elettrico dato il potenziale
Percorrere il cammino inverso, ovvero determinare il campo elettrico E noto il
potenziale V(x,y,z) nello spazio, richiede una derivazione.
Vale sempre che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale
passante per P(x0,y0,z0).
Dalle definizioni stesse di lavoro e potenziale:
Es è proprio la componente di E lungo la direzione di ds.
Dunque, in generale la componente di E in qualsiasi direzione è la derivata
del potenziale elettrico, cambiata di segno, lungo quella direzione.
Rispetto agli assi x, y e z:
ds
dVEE
dsEqdVqdUL
s
cos
cos00
VEz
zyxVE
y
zyxVE
x
zyxVE zyx
),,( ;
),,( ;
),,(
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Appendice: analogia con la forza gravitazionale
Elettrostatica Gravitazione
Grandezza Espressione Unità Grandezza Espressione Unità
Forza Forza
Costante Costante
… … … … … …
2
21
r
qqkF 2
21
r
mmGF
91099.8 k111067.6 G
2
2
C
mN 2
2
kg
mN
amF
EqF
2
s
mkgN
2
s
mkgN
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