contents...tingkatan 4 bab 1) bentuk piawai 22 bab 2) ungkapan dan persamaan kuadratik 25 bab 3) set...
Post on 16-Mar-2020
61 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ii
CONTENTS
DAY 1
TINGKATAN 1 – 3
A) Persamaan Linear 1
B) Ungkapan Algebra 3
C) Rumus Algebra 6
D) Ketaksamaan Linear 7
E) Indeks 9
F) Poligon 10
G) Penjelmaan 12
H) Statistik 16
I) Bulatan 18
J) Pepejal Geometri 20
DAY 2
TINGKATAN 4
Bab 1) Bentuk Piawai 22
Bab 2) Ungkapan dan
Persamaan Kuadratik 25
Bab 3) Set 28
Bab 4) Penaakulan Matematik 31
Bab 5) Garis Lurus 34
DAY 3
Bab 6) Statistik III 39
Bab 7) Kebarangkalian I 46
Bab 8) Bulatan III 48
Bab 9) Trigonometri II 51
Bab 10) Sudut Dongakan dan
Sudut Tunduk 56
Bab 11) Garis dan Satah dalam
Tiga Dimensi 58
DAY 4
TINGKATAN 5
Bab 1) Asas Nombor 61
Bab 2) Graf Fungsi II 64
Bab 3) Penjelmaan III 71
Bab 4) Matriks 73
Bab 5) Ubahan 79
DAY 5
Bab 6) Kecerunan dan Luas
di bawah Graf 83
Bab 7) Kebarangkalian II 88
Bab 8) Bearing 92
Bab 9) Bumi Sebagai Sfera 95
Bab 10) Pelan dan Dongakan 102
DAY 6
Format Peperiksaan SPM Terkini Starfish
Website
Jadual Analisis Peperiksaan SPM
Tahun Lepas
Starfish
Website
Kertas Model SPM 1 106
Kertas Model SPM 2 119
Kertas Model SPM 3 133
Jawapan Kertas Model SPM 1, 2, 3 Starfish
Website
DAY 7
Rumus Matematik 148
Soalan Ramalan SPM Starfish
Website
1
DAY 1
TINGKATAN 1 – 3
1. Penyelesaian suatu persamaan linear ialah mencari nilai pemboleh ubah yang memuaskan
persamaan itu.
2. Dalam penyelesaian persamaan linear,
Peraturan asas
(i.) Penambahan pada kedua-dua belah:
x – 4 = 11
x – 4 + 4 = 11 + 4
x = 15
(ii.) Penolakan pada kedua-dua belah:
x + 2 = 8
x + 2 – 2 = 8 – 2
x = 6
(iii.) Pendaraban pada kedua-dua belah:
x
–5 = 10
x
–5 × (–5) = 10 × (–5)
x = –50
(iv.) Pembahagian pada kedua-dua belah:
4x = –12
4x
4 =
–12
4
x = –3
3. Dalam penyelesaian persamaan linear serentak,
Contoh soalan:
Cari nilai x dan y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:
3x – 6y = 0
2x + y = 15
Kaedah Penggantian
Langkah 1:
Salah satu persamaan linear disusunkan
semula kepada bentuk ungkapan satu
pemboleh ubah dalam sebutan pemboleh ubah
yang satu lagi.
3x – 6y = 0 ……①
x = 6y
3
x = 2y
Langkah 2:
Ungkapan dalam langkah 1 digantikan ke
dalam persamaan yang satu lagi. Suatu
persamaan linear dalam satu pemboleh ubah
sahaja terbentuk dan diselesaikan.
2x + y = 15 ……②
Gantikan x = 2y ke dalam ②,
2(2y) + y = 15
5y = 15
y = 3
Langkah 3:
Nilai yang diperoleh dalam langkah 2
digantikan ke dalam persamaan ① dan
seterusnya persamaan itu diselesaikan.
3x – 6y = 0
3x – 6(3) = 0
3x = 18
x = 18
3
x = 6
Maka, x = 6 dan y = 3
A) PERSAMAAN LINEAR
Dalam bahagian ini, anda akan menguasai:
1. Kemahiran menyelesaikan persamaan linear dan persamaan linear serentak.
21
DAY 1
5. Kon
Luas muka keratan rentas +
Luas muka melengkung
= j2 + js
1
3 × Luas tapak bulatan × tinggi
= 1
3 j2t
6. Piramid
Luas tapak +
Luas 4 muka segi tiga
1
3 × Luas tapak × tinggi
= 1
3 plt
7. Sfera
4j2 4
3 j3
1. Rajah berikut menunjukkan gabungan
pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma
tegak dan semi silinder. Segi tiga bersudut
tegak ABC ialah keratan rentas seragam bagi
prisma tersebut. Isi padu bagi gabungan
pepejal ialah 637.71 cm3.
Gunakan = 22
7, hitung panjang AB.
2. Rajah berikut menunjukkan sebuah pepejal
piramid yang bertapak segi empat tepat dan
tingginya 12 cm. Sebuah pepejal berbentuk
hemisfera yang berjejari 4.5cm dikeluarkan
daripada tapak kon itu.
Gunakan = 22
7, hitung isi padu pepejal
yang tertinggal.
Soalan Popular SPM
Penyelesaian:
Isi padu semi silinder = 1
2 ×
22
7 × (
8
2)2 × 12
= 301.71 cm3
Katakan x ialah panjang AB, Isi padu prisma
= Luas muka keratan rentas × tinggi
= (1
2 × 8 × x) × 12
= (4x) × 12
= 48x cm3
Isi padu gabungan pepejal = 637.71 cm3
301.71 + 48x = 637.71
48x = 637.71 – 301.71
x = 336
48 = 7 cm
Penyelesaian:
Isi padu piramid
= 1
3 × Luas tapak × tinggi
= 1
3 × (18 × 16) × 12
= 1152 cm3
Isi padu hemisfera
= 1
2 ×
4
3 j3
= 1
2 ×
4
3 ×
22
7 × 4.53
= 190.93 cm3
Isi padu pepejal yag tertinggal
= 1152 – 190.93
= 961.07 cm3
25
DAY 2
2.1 Ungkapan Kuadratik
1. Ungkapan kuadratik = Ungkapan berbentuk ax2 + bx + c, dengan keadaan:
a) a, b dan c ialah pemalar.
b) a ≠ 0 (b dan c boleh bernilai 0).
c) x ialah pemboleh ubah, kuasa tertingginya ialah 2.
2. Ungkapan kuadratik terbentuk daripada proses pengembangan, iaitu pendaraban dua ungkapan
linear dalam pemboleh ubah yang sama.
1. 6 – 3(3 – x)2 =
A 6 + x2 C –21 + 18x – 3x2
B 6 – 9x – x2 D –21 + 18x + 3x2
2. 5(x – 1) – (3 + 3x) 2 =
A –14 – 13x + 9x2 C –14 – 18x + 9x2
B –14 – 13x – 9x2 D –14 – 18x – 9x2
2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik
1. Pemfaktoran = proses songsang dengan pengembangan untuk mendapatkan dua ungkapan
linear.
Bentuk Ungkapan Kuadratik Cara Pemfaktoran
ax2 + bx atau ax2 + c
jika terdapat faktor sepunya kecuali 1
bagi sebutan-sebutan ungkapan itu.
Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)
sebutan-sebutan tersebut dikeluarkan.
BAB 2 : UNGKAPAN DAN
PERSAMAAN KUADRATIK
Dalam bab ini, anda akan menguasai:
1. Konsep ungkapan kuadratik dan persamaan kuadratik.
2. Kemahiran pemfaktoran.
3. Cara menyelesaikan persamaan kuadratik.
(ax + b) (cx + d ) = acx2 + ad+ bcx + bd
(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2
(a – b)2 = a2 – 2ab+ b2
Penyelesaian:
6 – 3(3 – x)2 = 6 – 3(9 – 6x + x2)
= 6 – 27 + 18x – 3x2
= –21 + 18x – 3x2
Penyelesaian:
5(x – 1) – (3 + 3x) 2 = 5x – 5 – (9 + 18x + 9x2)
= 5x – 5 – 9 – 18x – 9x2
= –14 – 13x – 9x2
Soalan Popular SPM
(ax + b) (cx + d ) = acx2 + bcx + (ad+ bd )
Pemfaktoran
Pengembangan
Ungkapan linear (ax + b) dan (cx + d ) ialah
faktor bagi
Ungkapan kuadratik acx2 + bcx + (ad+ bd ).
38
DAY 2
5.5 Garis Selari
1. Kecerunan dua garis lurus adalah sama jika dan hanya jika kedua-dua garis lurus itu adalah
selari.
1. Dalam satah Cartes berikut, garis lurus AB
dan
CD adalah selari. Persamaan garis lurus AB
ialah 2x + y = 4.
Cari:
(a) Persamaan garis lurus CD
(b) Pintasan-x bagi garis lurus CD
2. Rajah berikut menunjukkan segi empat
selari pada satah Cartes yang mewakili
kedudukan pasar, sekolah, balai polis dan
balai bomba.
Diberi bahawa skala ialah 1 unit : 1 km.
(a) Cari jarak, dalam km, antara pasar dan
balai polis.
(b) Cari persamaan garis lurus yang
menghubungkan balai polis ke sekolah.
Jika PQ // RS, maka mPQ = mRS.
Jika mPQ = mRS, maka PQ // RS.
Soalan Popular SPM
Penyelesaian:
2x + y = 4
y = –2x + 4
Bandingkan dengan y = mx + c, mAB = –2
AB // CD, maka mCD = mAB = –2
y = –2x + c
Gantikan x = –3, y = 8 ke dalam persamaan,
8 = –2(–3) + c
c = 8 – 6
= 2
Maka, persamaan garis lurus CD ialah
y = –2x + 2
Penyelesaian:
Gantikan y = 0,
y = –2x + 2
0 = –2x + 2
2x = 2
x = 2 ÷ 2 = 1
Maka, pintasan-x bagi garis lurus CD = 1.
Penyelesaian:
2y = 5x + 10
Apabila y = 0, 2 (0) = 5x + 10
–5x = + 10
x = –2
Jarak antara pasar dan balai polis
= (2 + 5) unit × 1 km = 10 km
Penyelesaian:
2y = 5x + 10
y = 5
2x + 5
Kecerunan garis selari yang menghubungkan
balai polis ke sekolah, m = 5
2
Gantikan x = 5, y = 0 ke dalam persamaan
y = mx + c, 0 = 5
2 (5) + c
c = – 25
2
Maka, persamaan garis lurus yang
menghubungkan balai polis ke sekolah:
y = 5
2x –
25
2
2y = 5x – 25
41
DAY 3
Penyelesaian:
(a)
3. Untuk melukis histogram,
Langkah 1:
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
1. Jadual berikut menunjukkan skor bagi 36 orang murid dalam acara sukan.
(a) Lengkapkan jadual berikut, dengan saiz kelas 3, berdasarkan data di atas.
(b) Daripada jadual dalam (a), cari min bagi skor murid.
(c) Lukis satu histogram bagi data di atas dengan skala 2cm kepada 3 skor pada paksi mengufuk dan
2cm kepada seorang murid pada paksi mencancang.
(d) Tafsirkan suatu maklumat daripada histogram tersebut.
Soalan Popular SPM
10 2 9 14 31 19 14 8 10 12 4 7
12 6 15 17 13 12 18 20 16 15 11 14
6 9 11 3 13 9 15 7 17 5 13 10
Skor Kekerapan Titik tengah
0 – 2
Skor Kekerapan Titik tengah
0 – 2 1 1
3 – 5 3 4
6 – 8 5 7
9 – 11 8 10
12 – 14 9 13
15 – 17 6 16
18 – 20 4 19
Tentukan sempadan bawah dan sempadan atas atau titik tengah
bagi setiap selang kelas.
Gunakan skala yang diberi atau pilih skala yang sesuai bagi :-
- Paksi mengufuk untuk mewakili sempadan kelas atau titik tengah.
- Paksi mencancang untuk mewakili kekerapan.
Tandakan kekerapan melawan sempadan kelas atau titik tengah
selang kelas masing-masing.
Lukis palang segi empat tepat yang berlebar sama dan
tingginya mewakili kekerapan selang kelas masing-masing.
42
DAY 3
(b) Min skor murid = (1×1)+(4×3)+(7×5)+(10×8)+(13×9)+(16×6)+(19×4)
36
= 417
36
= 11.58
(c) (d) Kebanyakan murid memperolehi
antara 12 – 14 skor.
6.4 Poligon Kekerapan
1. Poligon kekerapan = Perwakilan taburan kekerapan secara graf yang boleh dilukis berdasarkan:
a) Histogram.
Langkah 1:
Langkah 2:
Langkah 3:
b) Jadual kekerapan.
Langkah 1:
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
Langkah 5:
Tambahkan 2 selang kelas dengan kekerapan 0 dalam histogram.
( 1 sebelum selang kelas pertama, 1 selepas selang kelas terakhir. )
Tandakan titik tengah pada bahagian atas setiap palang segi empat
tepat dan dua kelas tambahan tadi.
Sambungkan titik tengah pada bahagian atas setiap segi empat
tepat dalam histogram dengan garis lurus.
Tambahkan 2 selang kelas dengan kekerapan 0 dalam histogram.
( 1 sebelum selang kelas pertama, 1 selepas selang kelas terakhir. )
Gunakan skala yang diberi atau pilih skala yang sesuai bagi :-
- Paksi mengufuk untuk mewakili titik tengah selang kelas.
- Paksi mencancang untuk mewakili kekerapan.
Plotkan kekerapan melawan titik tengah bagi setiap selang kelas.
Sambungkan setiap titik plot dengan garis lurus.
Tentukan titik tengah bagi setiap selang kelas.
79
DAY 4
5.1 Ubahan Langsung
1. Jika suatu kuantiti y berubah secara langsung dengan suatu kuantiti x, maka y bertambah
apabila x bertambah dan sebaliknya.
2. Ubahan langsung ini ditulis sebagai y x atau diungkapkan dalam bentuk persamaan y = kx ,
di mana y
x ialah suatu pemalar untuk semua pasangan tertib x dan y.
3. Graf bagi y melawan x merupakan suatu garis lurus yang melalui titik asalan.
4. Jika y xn di mana n = 1
2 , 1, 2, 3, maka y = kxn dengan keadaan k ialah pemalar ubahan.
5. Apabila y xn , nilai bagi suatu pemboleh ubah yang tidak diketahui dapat ditentukan dengan:
a) Mencari nilai pemalar ubahan, k terlebih dahulu dan seterusnya menggantikan nilai pemboleh
ubah yang diberi dalam persamaan ubahan langsung itu.
b) Kaedah alternatif:
Menggunakan rumus untuk menghitung nilai pemboleh ubah yang tidak
diketahui.
1. Jadual berikut menunjukkan nilai bagi
pemboleh ubah P dan Q.
Diberi P berubah secara langsung dengan
punca kuasa dua Q. Cari nilai y.
A 17 C 48
B 24 D 58
2. Luas bagi suatu bulatan, L m2, adalah
berubah secara langsung dengan kuasa dua
jejarinya, r. Dengan menggunakan k sebagai
pemalar ubahan, ungkapkan k dalam
sebutan L dan r.
A Lr2 C L2
r
B L2
r2 D
L
r2
BAB 5: Ubahan
Dalam bab ini, anda akan menguasai:
1. Pengungkapan persamaan yang tepat bagi ubahan langsung, ubahan songsang dan
ubahan tercantum.
2. Penentuan nilai suatu pemboleh ubah dalam ubahan berdasarkan maklumat soalan.
Penyelesaian:
P √Q , maka P = k √Q
Apabila P = 10, Q = 25,
10 = k √25
10 = 5k
k = 2
Maka, P = 2 √Q
Apabila P = y, Q = 25,
y = 2 √144 = 24
Soalan Popular SPM
P 10 y
Q 25 144
Penyelesaian:
L r2, maka L = k r2
k = L
r2
y1n
x1n =
y2n
x2n
Kaedah alternatif:
10
√25 =
y
√144
y = 10 × √144
√25
= 24
y1n
x1n =
y2n
x2n
95
DAY 5
9.1 Longitud
1. Bulatan agung = suatu bulatan pada permukaan bumi dengan pusat bumi sebagai pusat
bulatan tersebut.
2. Meridian = Separuh bulatan agung yang melalui Kutub Utara dan Kutub Selatan.
3. Meridian Greenwich = Meridian yang melalui bandar Greenwich di England dan digunakan
sebagai rujukan bagi meridian. Maka, longitud Meridian Greenwich
ialah 0.
4. Longitud suatu meridian = Sudut di antara satah meridian tersebut dengan satah Meridian
Greenwich. Sudut ini juga ditentukan oleh kedudukan meridian itu
diukur ke arah Timur (T) atau Barat (B) Meridian Greenwich.
5. Meridian = Separuh bulatan agung yang melalui Kutub Utara dan Kutub Selatan.
6. Semua titik yang terletak pada meridian yang sama mempunyai longitud yang sama.
7. Longitud 180T merupakan meridian yang sama dengan longitud 180B.
8. Suatu bulatan agung terbentuk oleh meridian dengan longitud x T dan meridian dengan
longitud y B di mana x + y = 180.
BAB 9: BUMI SEBAGAI SFERA
Dalam bab ini, anda akan menguasai:
1. Penentuan longitud, latitud dan kedudukan suatu titik pada permukaan bumi.
2. Penghitungan jarak di antara dua titik pada permukaan bumi.
3. Kemahiran penyelesaian masalah mengenai purata laju yang melibatkan unit knot.
Daripada rajah yang mewakili sfera bumi di sebelah kiri,
i) O = Pusat bumi
U = Kutub Utara
S = Kutub Selatan.
ii) Bulatan ABCD = bulatan agung mengufuk pada
permukaan bumi yang berpusat O.
iii) Bulatan AUCS = dua bulatan agung mencancang yang
dan BUDS melalui U dan S pada permukaan bumi
dan berpusat O.
iv) UCS, UAS, UBS dan UDS = meridian.
Daripada rajah yang mewakili sfera bumi di sebelah kiri,
1. Meridian UPS terletak pada 45 ke arah Barat Meridian
Greenwich. Longitudnya ialah 45B.
2. Meridian URS terletak pada 80 ke arah Timur Meridian
Greenwich. Longitudnya ialah 80T.
133
DAY 6
Kertas 1 1 jam 15 minit
Kertas peperiksaan ini mengandungi 40 soalan. Jawab semua soalan.
1. 501.3 × 1011 ditulis sebagai 5.013 × 10m
dalam bentuk piawai. Nyatakan nilai m.
A 9 C 13
B 10 D 14
2. Cari hasil darab bagi 0.2241 dan 0.4.
Bundarkan jawapan betul kepada dua angka
bererti.
A 0.089 C 0.08
B 0.090 D 0.09
3. Diberi ketumpatan merkuri ialah 13593.4 kg
m–3. Ungkapkan ketumpatan merkuri dalam
bentuk piawai.
A 0.135934 × 106 kg m–3
B 0.135934 × 10–6 kg m–3
C 1.35934 × 105 kg m–3
D 1.35934 × 10–5 kg m–3
4. Rajah 1 menunjukkan bentangan sebuah
kubus yang jumlah luas permukaannya ialah
294 cm3.
Rajah 1
Hitung isi padu, dalam m3, bagi kubus itu.
A 3.43 × 10–8 C 4.9 × 10–7
B 3.43 × 10–4 D 4.9 × 10–5
5. Cari hasil tambah 100112 dan 1012.
A 100102 C 101102
B 101002 D 110002
6. Nyatakan nilai bagi digit 6, dalam asas
sepuluh, bagi nombor 36058.
A 48 C 192
B 96 D 384
7. Dalam Rajah 2, P, Q, R, S dan T ialah bucu-
bucu sebuah poligon sekata. URS ialah garis
lurus.
Rajah 2
Cari bilangan sisi poligon sekata tersebut.
A 12° C 14°
B 13° D 16°
8. Dalam Rajah 3, KLMNP ialah poligon tidak
sekata. PON, LMO dan KMN ialah garis
lurus.
Rajah 3
Diberi PKN adalah sama dengan LKN,
cari nilai x.
A 43° C 73°
B 62° D 94°
9. Dalam Rajah 4, SRT ialah tangen kepada
bulatan PQR yang berpusat O pada titik R.
Rajah 4
Cari nilai x.
A 35° C 53°
B 42° D 65°
10. Dalam Rajah 5, ∆K’L’M ialah imej bagi
∆KLM di bawah suatu pembesaran. Diberi
L’M = 18 cm, LM = 9 cm dan luas ∆K’L’M
ialah 92 cm2.
Rajah 5
Cari luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
A 46 C 69
B 54 D 72
KERTAS MODEL SPM 3
138
DAY 6
Kertas 2 2 jam 30 minit
Bahagian A [52 markah]
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.
1. Pada rajah di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –2x + 6,
y > x – 1 dan y < 4.
[3 markah]
Jawapan:
2. Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
11x + 3
4 = x2
[4 markah]
Jawapan:
3. Penyelesaian menggunakan kaedah matriks tidak dibenarkan untuk soalan ini.
Rajah 1 menunjukkan sebuah segi empat tepat dan sebuah segi tiga sama kaki.
Rajah 1
Diberi bahawa perimeter segi tiga tersebut ialah 36 cm manakala panjang sisi segi empat tepat itu
adalah 2 kali lebarnya. Hitung nilai x dan nilai y.
[5 markah]
Jawapan:
148
DAY 7
Rumus dalam senarai rumus yang diberikan
dalam peperiksaan SPM
Rumus penting yang tidak diberikan
1. a) am × an = am + n
b) am ÷ an = am – n
c) (am)n = amn
2. A-1 = 1
ad – bc ( d –b
–c a )
3. a) Jarak = √ (x2– x1)
2+ (y
2– y
1)2
b) Titik tengah = ( x1+ x2
2, y
1+ y
2
2)
4. Purata laju = Jarak yang dilalui
Jumlah masa yang diambil
5. a) Min = Jumlah nilai data
Bilangan data
b) Min =
Jumlah (nilai titik tengah kelas
× kekerapan)
Jumlah kekerapan
6. Teorem Pythagoras
c2 = a2 + b2
7. a) P(A) = n(A)
n(S)
b) P(A’ ) = 1 – P(A)
8. a) m = y
2 – y
1
x2 – x1
b) m = – Pintasan-y
Pintasan-x
9. Luas trapezium
= 1
2 × Hasil tambah sisi selari × Tinggi
10. a) Lilitan bulatan = d = 2j
b) Luas bulatan = j2
11. a) Luas permukaan melengkung silinder
= 2jt
b) Luas permukaan sfera = 4j2
1. d) a0 = 1
e) a–n = 1
an
f) a = √amn
5. c) Titik tengah kelas
= Had bawah + Had atas
2
d) Julat antara kuartil = Q3 – Q1
7. c) P(A ∪ B) = n(A ∪ B)
n(S)
d) P(A ∩ B) = n(A ∩ B)
n(S)
11. c) Luas permukaan melengkung kon
= js
RUMUS MATEMATIK
m
n
top related