composición de funciones y función inversa
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COMPOSICIÓN DE FUNCIONESDadas dos funciones g :A⊂R⟶ B⊂R y f :B⊂R⟶C⊂R, donde Rg∩D f ≠∅ ; se define la función f ∘ g: A⊂R⟶C⊂R como sigue:
( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )∀ x∈Df ∘g
O bien( f ∘ g ) (x )={(x , f (g ( x ) ) ) : x∈D f ∘g}
Donde, el dominio de f ∘ g es igual a:Df ∘g={x : x∈Dg∧g(x)∈D f }
A f ∘ g se le llama composición de f y g.Nota.
1. Se le nombra no siguiendo el orden escritura sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
2. f ∘ g es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de g y f .OBSERVACIONES:
1. Df ∘g⊆Dg
2. R f ∘g⊂R f
3. ∃ f ∘g ⇔ Rg∩D f ≠ϕ4. Si Rg⊂D f⇰ f ∘g está definida en el D g, esto es:
Rg⊆D f⇰ Df ∘g=Dg
5. Cuando Rg⊄D f⇰ Df ∘g={x : x∈Dg∧g (x)∈Df }6. La aplicación se hace de derecha a izquierda, esto es, la función de partida g es la que está
a la derecha de la notación ∘, así:a) En f ∘ g , g es la función de partida y f es la función de llegada. b) En g∘ f , f es la función de partida y g es la función de llegada.
PROPIEDADES: Para funciones f , g , h , I (función identidad) se cumplen:1. Asociativa
h∘ (g∘ f )=(h∘g )∘ f2. No es conmutativa
g∘ f ≠ f ∘ g3. C
( f +g )∘h=f ∘h+g∘h4. ∃! I tal que:
f ∘ I=I ∘ f=I ∀ f5.
(g∘ f )−1=f−1∘g−1
Ejemplo o1. Dadas las funciones: f ( x )=x2 y g ( x )=2 x+3, hallar, si fuera posible, f ∘ g Solución
El siguiente diagrama, nos ilustra como funciona la composición de estas funciones:
1º Comprobación de la existencia de f ∘ g
{Rg=RDf=R
⇰Rg∩Df ≠ϕ ;luegoexiste f ∘g
2º Determinación de la regla de correspondencia de f ∘ g
( f ∘ g ) (x )=f [ g(x )]=[g (x) ]2= (2x+3 )2
3º Determinación del dominio de f ∘ g Df ∘g={x : x∈Dg∧g(x)∈D f }
Así:x∈Dg∧g ( x )∈Df ⇔x∈R∧ g ( x )∈ R⇔ x∈ R∧(2 x+3)∈R
Al resolver estas inecuaciones se tiene que x∈ R, luego:Df ∘g=R
FUNCIONES INYECTIVAS, SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS
Dada una función real f : A⊂R⟶B⊂R, se dice que f es:1. Función inyectiva (o uno a uno) si no existen dos elementos de A con una misma imagen; es decir:
f (x1 )≠ f (x2 ) siempre que x1≠ x2 Equivalentemente:
f es inyectiva si, f (x1 )=f (x2 )⇰ x1=x2NOTA. La última definición significa que f es inyectiva si toda recta
horizontal corta a la gráfica de la función en a lo más un punto.
2. Función Suryectiva o sobreyectiva, si y solo sí ∀ y∈B, existe por lo menos un x∈ A tal que f ( x )= y
Equivalentemente: f es Suryectiva si, f ( A )=R f⊆R
“Todo elemento del conjunto de llegada es imagen del algún elemento de su dominio. 3. Función Biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
FUNCIÓN INVERSASea f una función con dominio Df y contradominio R f . Si existe una función f−1 con dominio Df −1 y contradominio R f−1 tal que:a) f ( f −1 ( x ) )=x, ∀ x∈D f−1 b) f−1 ( f ( x ) )=x, ∀ x∈D f
Si esto ocurre, decimos que las funciones f y f−1 son inversas una de la otraNota.
1. No todas las funciones tienen inversa.
2. f−1≠ 1f (x )
3. Df−1=R f y R f−1=D f
4. Si f (a )=b ⇰ a= f−1(b)5. Las gráficas de f y f−1 son simétricas respecto de la bisectriz del
primer y tercer cuadrante.
Ejercicio 01 . Hallar la inversa de la función f ( x )=x2+4 x−1 para x∈ ⟨−4 ,−3 ⟩ Solución
Ejercicio 02 . Hallar la inversa de la función:
f ( x )={x2+2x+2 , si x≥1x3+4 , Si x<1
Solución
Ejercicio 03 . Dada la función:
f ( x )={−x2−6 x−8 si x ≤−3x+3 si−3<x<0
√ x−1 si x>1a) Determinar si f es 1-1. En caso afirmativo hallar f−1.b) Si f no es 1-1, restringir adecuadamente el dominio para que la nueva
función tenga inversa. Solución
Ejercicio 04 . En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias, donde el número de personas infectadas t días después del comienzo de la epidemia está dada por:
P (t )=5000 tt+100
¿Después de cuántas semanas el número de infectados es aproximadamente 400 personas?
Solución
De acuerdo al contexto del problema, Consideramos que Df=[0 , +∞ ⟩
Ejercicio 02 . Dadas las funciones:
f ( x )={x2−1 , si x←1x+1, Si x ≥−1
g ( x )={2 x−1 , si x<0√x , Si x≥0
Hallar, si existe, f ∘ g−1
Solución
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