compiti svolti analisi matematica i
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- :, * l (ll,\rluo rrr rrtlurtLLra - t \lr.rau / luLuultlll,v a\rlu-r aProva scritta
-
t.
Facolt di Ingegneria - A.A. 2010-2011
AnalisiMatematicaI- '
IStudiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.
IIVerificare se il seguente integrale esiste finito e in caso affermativocalcolarlo. 74 ^EnI Y* " s*
I, n3 -
Tr2 * l1r -
I2**III
Studiare, al variare del parametro reale r, il carattere della serie:
f(r):"1=,
oo1f (sen2x)" senin:l
schema risolutivo
funzione
La funzione definita nell'insieme ] - oo, -1[U[1, **[;/(1) : 0, f (r) ha segno positivo per u ) 1 e negativo per r,<
-1.Si ha poi:
"Ii- @) : -*, ,If- f @) : **,"I%/(") : --.di trolru subito che lim ry :1 e razion alizzando si trova poic_*oo fr :,ti+ @)-" - -1, da cui segue che"la retta di equazione A: r-7t++oo asintoto obliquo a destra per il grafico della funzione. Con calcoli
-
analoghi si trova che la stessa retta anche asintoto obliquo a sinis-tra. La posizione dell'asitonto rispetto al grafico si trova risolvendola disequazione elementare (r) > r
-1. Si trova che per r > Iil grafico della funzione sta sopra I'asintoto mentre per r ( -1 sta
sotto.
f'(r) - 12+r_ r(r+I)'\f#da cui si deduce che: f'(r) : 0 per r
--
J# ( notare che ilpunto * : of non rientra nel campo di esistenz a); f' (") > 0 perr
l -
oo, $6[n]1, +oo[; f'(r) < 0 per r ]J#, -1[.Il calcolo della derivata seconda fornisce, dopo alcune semplifi-
cazioni, I'espressione
r-2f" (r) : (r+I)2(r2
-I)il cui segno dipende solo da quello del numeratore.
integrale
Si ha che :
f -----:a=s f -:
-drJrWor:JrO_ry6zper cui dall'applicazone del criterio del confronto con la funzionecampione fr r"gne che I'integrale esiste finito. Effettuando Iasostituzione l
- 3: I'integrale viene trasformato nell' integrale:
^fr 1 r r'Jo G+rrydt:;+ i
serieOsserviamo innanzi tutto che senf (per, -* *) un infinitesimo
dello stesso ordine di f , Ouindi per tutti i numeri r: lktr,k eZ '
n-V;TT
{, -"fl= YY; ' 5i -.-"-"
-
\-.*ila*
4
la serie data ha lo stesso carattere della serie armonica, quindi di-verge.Per i numeri r :,-+kn,k e Z siha una serie a segni alterniche verifica le ipotesi del teorema di Leibnitz. In particolare, la de-cresceRza segue dal fatto che 0 < : < I < i e la funzione seno crescente in lo, i) quindi senfr < t"n|. zPer tutti gli altri valori di r si ha lsenxl < 1 e la serie data risulta as-solutamente convergente corne si pu verificare applicando il criteriodel rapporto o del confrOnto asintotico alla serie dei valori assoluti.
-
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico f}L}lllProva scritta di Analisi Matematica I
Coisi di Studio in Ing. Industriale e Ing. Elettronica15 febbraio 2011 -
1. Studiare il carattere della serie
S(*,,;.h)"t_lacos-;+ r;ltl=l \ v'-/
al variare del partametro reale r.
2. Si definisca, per ogni r e [],"],f (r) :: arctan(l
- llogrl)1) Dire, motivando la risposta, in quali punti , e]|,e[ la funzione / non derivabile.2) Thovare gli estremi assoluti di /.3) Provare che la restrizione di / all'intervallo [:, 1] invertibiie determinarne la funzioneinversa.
3. Dire se esiste finito ed eventualmente calcolare il seguente integrale generalizzato:
cos rt
-
.a@1o aq,ui. o"tur.riu.2s
- np- & tr.. drI&L nhdill- r.
\tt,. = (+ eo* ! * frJ_+ g -"
*) *.*'?.n, .oo"%. *, - -Ecerrr$ ** +eoNV, ?ER $ +zk"n< x< .$ +zhn ) Dit- Pos-
+-+hn
-
t=QqMrtdt-- erna-dx
dt=z$Ag
=zf t .- r H3+r r$='1'[#* -+#14= :[*t'**'r- Jffirdsl=c*)H3+|=(g+|)(.6,.g+t);fu=+"-ffiiA(tLg+t)+(g+l)Csx*C)*!; A+8 =o I B=-A 1 C'= z7:f-A+B+t=o {e=t-A { B=_ttrtA*e=.r l-ro*,=o lo=,,ru(*l=thglg+rl_+J-'ffidg=3bglx+rl-+n'qC5rg+t)+G.*\ffi+*
-
,r 5. (v+r)2 + 4.xd,orr t$;n *.- T --A gz-g +l ' r/T \n
-
I--..*+'
Prova scritta di Analisi Matematica I
I d,i,cernbre 2010Prof S. Marano
Esercizio 1Determinare I'insieme di tutti gli c e R per cui la serie
+D"^@' - l, -LD"' ! !n:7
convergente e/o assolutamente convergente.
Esercizio 2Studiare Ia funzione
'fl(log lrlJ,,determinand.one dominio, segno, limiti agli estremi del dominio, monotonia,massimi e minimi locali e/o globali e punti di flesso. Yacciarne infine un graficoqualitativo.
Esercizio 3Dire se esiste finito il seguente integrale improprio, ed in caso a,ffermativo cal-colarlo:
f+* 2xlogaJ, @rzYar'
-
71 _ .-:
Prova scritta di Analisi Matematica I
I dicembrc 2010Prof S. Marano
,:".
Esercizio ISoluzionePosto z : 2
- lr - 11, calcolia,mo il raggio di convergenza di*m
2"""'L'inverso dato dal criterio della radice
lim (e')* : lgo"* = eo : 1.Per quel che riguarda gli estremi, la serie non convergente per z : *.l, inquanto il termine generico non infinitcimo. La serie quindi a,ssolutamenteconvergente solo per lrl
-
F'r,q-''
-
lhr-rr- /'(o); quindi r - 1 un punto di minimo locale. Per studiaxe i puntidi flesso, calcoliamo la derivata seconda
.I,|@):!(ros"y-'lr1 _2nrrosr)-nrs! _z(tosr)-rts (, _ "h)Studiando il segno della derivata seconda, si ottiene che
' f" < 0
-
\ ^-{?rFf.
t';-"'
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico p010-11Prova scritta in itinere di Analisi Matematica I
Corsi di Studio in Ing. Civile e Ambientale e in Ing. Industriale- 4 febbraio 2011 -
1. Dire se esiste finito f integrale improprio
2. Dire se esiste finito ed eventualmnte calcolare il seguente integrale generalizzato:
l,** g#-a'
[''' Lor.Jo JL-2x3. Calcolare limite
rn:#Y1: Stnai** il carraltere della segue.nte $erie:
f)+e'"\.L-2nzyg'rr,: I
5. Studiare il carattere della serie+09
If t - logr)',n:L
al variare del parametro reale r ) 0. Per i valori di r per cui la serie converge, determinarnela somma. ' ;, ." . l
6. Calcolare la primitiva F(r) della funzionef @),-- sin2rcos3r, r Ft,
tale che F(0) : 1.
-
o alz x+v;
Fulrn L l
t+3fi' t + r/rJc = ,e,wi
a-D+mV+tft=4uztlT
rt+ze,og( = lwit(-+Do l+zangx/* -4
{= rlz rt= {" J + sonr {i^hrnb&.
ilztl I $J{rtb rd" ,nr,h'oq^m. cos-e. | + a*-o V l-2)r
{_ &?(>o ec
-
= J *nfru
"s:q, d,rt - J o.*u x can),r- dr = {!L -FCQ= ttnOl::
-
as,vrsz,- c r F(o) =
e =
{--3 ---E_-t- )
Xqfrt" 1" =>bg c={. *tG)=ry_ o*$r*0.
-
Facolta cli Ingegneria - Anno accademico 2010-11Prova scritta cli Analisi Matematica I
Corsi di Studio in Ing. Eleltronica e Ing. Industriale- 18 luglio 2011 -
1. Stucliare il carattere
-
-+i-.'r+-'
Facolt di Ingegneria - Anno.Accademico 20t0-ttProva scritta in itinere di Analisi Matematica I
Corso di Studio in Ingegneria Industriale- 17 dicembre 2010 -
1. Risolvere, nell'insieme dei numeri complessi, le seguenti equazioni:
22 -
(2+i,)z+3- 3:0; zz -
z2 +22:4.
2. Studiare la successione definita per ricorrenza
Iat: l,an*L: 2-an
3. Calcolare il seguente limite:
sinr -
cosrlimr-+r /4 sin4r
4. Data la funzione/(r) :- min{r, ,uL/(L-t)Y,
determinarne:a) I'insieme di definizione, classificando gli eventuali punti di discontinuit;b) gli asintoti;c) gli intervalli di crescenza e decrescenza, nonch gli eventuali punti di estremo relativo;d) gli estremi assoluti.Dire infine se la restrizione di / alf intervallo ]1, +oo[ invertibile e, in caso affermativo,trovare D-L(2/e).
-
4J sz -
(r+{) a + gt'-,3 =e J A =- {z+d )t- t" (+r' .-3}, =- q + + i++';- *:erra z = 4 E -B i- .- -
r (orl { co:9= ts/t+t can9= _t/rr; --
[ -, t5-.31 = /15]- 8' (eer$ + r'4(Mr] ) = r+(eor,9 a rJ cun$-)
wo --Vltiq+-+ r- twr f \ = Vi7 f-tr$. + it ' L
'/t \v\= frf-,... +r/ \{iT
II
F.I
:1
u=, z+t o.-------L_
3 l!_< 8/z 1 n
:-- 2it-h-+t'48--z-\--
tj *Itd+a,a-t- Pavuc,.ur.o 3=G+iro + (cr+r.b)tq-ib)-Cc,.+Cb)2+ z(u*b)=l* )'rl::
"* -F'+- zq.ht rzo. +zbcsh 'i Cta+ rbt) +t-zqb+zb) r =i. i (q + o*) + (*ob+b) t= r
I o+h'=2 i q+ br =a 1 o=2I ^,-.* 1 '7 [b=o L" @[-oh-Fb=c ltrql-c.1=o + eog'; /--7th{+'l'1:{*'o \ I,o={ e
t) L; --P.,'.i".1" ",'
-
F.
Facolt di Ingegneria - Anno accademico 2010-11Prova scritta di Analisi Matematica I
Corsi di Studio in Ingegneria Civile ed Elettronica- 2? aprile 2011 (appello per Studenti f.c. o rip.) -
1. Studiare il carattere della serie
al variare del parametro reale r.
E ('*' '.*)2. Studiare la funzione
f (n) :: 12 - llogslfre tracciarne il grafico.
3. Calcolare la primitiva F(r) della funzionef@)::r*logiH#
tale che F(0) :112.
r
Y.r'*{1c. ,
I
: -..
:
(b)L'estremo superiore' *m mnf,re quello inferiore
min{/(0-),/(1)} : min{l - #r,r6ir + ilr* r - a
La funzione gron ha guindi nei minimo ne.massimo assoluti, inquanto Ron a"ssume mai il valore 1
- ft nel suo dominio didefinizione.(.)
La derivata seconda
"(r)::
('tr4& + $)(1+ u2) - zr,(*{Tfi - "/2)'| -. |, ' ,{(1 + rr)?
x2 +2r,fZx\flT7 +L+2\n' (I+r2)s/2,,, t:
l
chiaro che f"(n) 2 0 per'r > 0. Si potrebbe, con un calcolomolto lungo, determinare il segno di /" per x < 0. Ttrttaviqpossiamo osserva,re che il numeratore una frrnziohe razionaldi,della r, continua e soddisfacente
n'+2'f2r\TF + 1+ 2fr1*:o: 1* 2{l > o,,IT- 12 + 2t/1r\trT7+ 1 + 2rt : -o..
Quindi per il teorema del valor medio ci sar almeno un puntodi flessa : !
-
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 2010-ttProva scritta di Analisi Matematica I
Corso di Studio in Ingegneria Civile e Ambientale- 15 febbraio 2011 -
1. Studiare il carattere delle serie
al variare del parametro reale r.
2. Studiare la funzione
e tracciarne il grafico.
{I 1*i"1",r2..)nk@rTarcsin vG
- r'z
3. Dire se esiste finito ed eventualmente calcolare I'integrale improprion*ooLB.L-a2 4*.
Interpretare geometricamente rr rr""lt"*" ottenuto.
-
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 900$10Prova scritta di Analisi Matematica I
Corso di Studio in Ingegneria Civile (Pi'Z)- 10 settembre 2010 -
1. Studiare il carattere della serie*oo ^2Ft'rt
' l-' Znz* r:n:1.
al va,riare del parametro reale r.
2. Tlovare gli eventuali estremi assoluti della funzione
i 3. Studiare ia funzionev
e tracciarne il grafico.
f (n):- f,'.' ,ftior, r e [-1,1].loslt-lr'- r
-
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f-- -I-
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lirLt j i {ne'l*
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4f6,e ,r* 1,
4g
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 2009-2010Prova scritta di Analisi Matematica I
Corso di Studio in Ingegneria Civile (tvI-Z)- 29 febbraio 2010 -
(1) Studiare al variare del parametro reale r il carattere della serie$ (arctanr)2,+r) , ---:-:-;::- .k
" +1"s"
(2) (a) Calcolare f integrale indefinitof r+Jffi ,
J \/I*r- 1(b) Dire se esiste finito, ed in caso affermativo calcolarlo, I'in-
tegrale/t t+ \n+r ,
Jo fr-+*-to'(3) (a) Studiare la funzionef@):1
"2ntoslal..senza sfruttare la derivata seconda e tracciarne un gra,ficoapprossimativo.
(b) Dire se la funzione ha massimo e/o minimo assoluti nel suodominio di definizione ed eventualmente ealcolarli.
(c) Dire quanti punti di flesso ha la funzione.
-
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico 2009-2010Prova scritta di Analisi Matematica I
Corso di Studio in Ingegneria Civile (M-Z)- 29 febbraio 2010 -
(1) Studiare al variare del parametro reale r il carattere della serie{l (arctan r)2n+t2- n +Iogn
Soluzione: Raccogliamo un fattore arctan r e riscriviamo laserte come
{3 (arctan r)zn+rz--t n *los.nn:2
: arctanu $ ((arctanr)2)"4 n *Iognn:2*oo
^,n: -/ I "+Irg"n:2
dove si posto 1 : (arctanr)2. Essendo la serie a terminipositivi, possiamo applicare il criterio del rapporto:
,. 'fn*r nllogn ,. /- 1\ 11lscllim' , " :^.,liml1r_l__________13_-^..u-*oo'y' n-tI-tlog(n*1) "?*;\ n) t+qH!
I
che fornisce convergenza per 0 < 7 < 1 e divergenza dellaserieper 1 > | (siricordichel > 0). Perl:1 laserieasintoticamente equivalente alla serie armonica:
1
limn++oo r n++oon+Iogn z++oo1++i1
"a a quioi divergente. ora0
-
Calcoliamo qlest,ultimo integrale, ponendo ,fr + r : t, r :t' -
I, d,r :2td,t:
lP*:21fi,.,:zl;*f1a,:2tiIr
-
1 lr-11--' J t-r t+Ldt:2t]-tosifr
ed in definitivaf 1
-t- ^Ft-J ffiar : 2log lzl + r + 4,,nT;* 2log lffi|;l, "b) Dire se esiste finito, ed in caso affermativo calcolarro, l,inte.grale
[,r!rn*,0,Jo t/7+r-1**'soluzione: L'integranda sempre positiva, tuttavia l,in-tegrale non finito, in quanto |integrandu a *irrtoticamente
equivalente, (p", r -
0), ar+ /T4r t+r/Taa 2ffi-:---;-=;
e quindi l,integrale +m.(3) ") Studiare la funzione
f (") - 1- "2,,toslal.
senza sfruttare la derivata second.a e tracciarne un grafico ap-prossimativo.Soluzione: Il dominio della funzione , 10. Il segno
1-"2"tosl'l >0 0,lel 1
e quindi (") >0 se e solo se 0 < r( 1 o r ( _1. I iimiti ailafronitera sonolim L-e2'loe''|
- -oor lim r-.e2atoelrl -
1, lim. r_ezrtoglrl _ 0+,+*OO rr+_& C+0*e quindi a
-oo c' un asintoto orizzontare e in 0 una disconti-nuit eliminabile. La derivata
f,(r) : _"2rtod,t12loS t"t + 2]lil cui segno
f'(r)>0
-
3Quindi la funzione crescente i" [-],0) U (0, ]] e decrescentealtrimenti, presentando un minimo lcare i" -1 ed un massi-
mo locale in ]. Un grafico approssimativo della funzione ilseguente:
b) Dire se la funzione ha massimo e/o minimo assoruti nelsuo dominio di definizione ed eventualmente carcolarli.
soluzione: La funzione non ha minimo assoluto essendo nonlimitata inferiormente. Essendo prorungabile con continuit atutto lR, il massimo assoluto, se presente, d.eve essere assunto oil " : 0 (unico punto di non diffrenziabilit di y;, o in z-: l.Il punto r : 0 escluso in quanto la funzione "(;";;
" O i,
z : 0) ha un cambio di segno- Si hattll:t-e-?
-
i' '-c
Effqttuiamo un .confronto grafico fta g(u) =,
2log lrl e h(r) :-Z - *. La prima funzione decrmcente nel semias." ,r"gutirro,mentre la seconda crescente. Entrambe sono crescenti nelsemiasse positivo. Si ottiene ia figura seguente:
C' quindi un unico cambio di segno nel semiasse negativo perIa derivata seconda. Per quel che riguarda il sernia;ss positivooccorre stabilire se vale g(e) < (o) sempre.,Si ha, per r > 0,
g'(r)-h'(r):?-1 -o :r rz- -2e quindig-h ha un unico minimo globale (nel serniasse positivo)per u: j, dove si ha
s) - nt*l :.** * 4 > o
-
*_ff
-z *f
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico g00g_10
Prova scritta di Analisi Matematca ICorso di Studio in Ingegneria Civile (M-Z)
- 28 maggio 2010 _
1. Studiare il carattere delle serie
:*('**)""al variare del parametro reale r
lR+ \ {"}.. 2. Studiare la funzione
ar.tun - l"llr_lr_1lle tracciarne il grafico.
3. Calcolare il seguente integrale
frI1 --:d.r.J -t/z 1/L + nlrl
\
-
/Facolt di Inlgegneria - Anno Accade,n-ico,200$10Prova scritta di Analisi Matematica I
" ' 'Corsordi Studio in Ingegneria Civile (Pi-Z)' 'r ' ,. , :
- 30 settembre 2010 -
L
I
,ll
1-
l
.-. '"?l\
-
Facolt di Ingegneria - Anno Accademico ?009-10Prova scritta di Analisi Matematica f
Corso di Studio in Ingegneria Civile (pi-Z)- 25 giugno 2010 -
1.. Studiare iI carattere delle serie*oo ,S n-
-r,7=, (n + 1)r/n5 + 1
al variare del parametro reale non ngativo r.
2. Studiare la funzioneu@a1,y'-3r
e tracciarne il grafico.
3. Dire se esiste finito ed eventualmente calcolare il seguente integrale improprio:
r+- 1 .LI - qnnlo,il,l*r -i arctari -
dr .Jt fr" fr
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