communications numériques cn21 4. récepteur … · 3 canal mobile et performances en diversité....
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GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F4 1
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CC oo mm mm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire.
1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur.
2 Zones et seuils de décisions.
3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté.
4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux.
2 Cas M-aire. Borne de l’Union.
3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence.
2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance.
3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage
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ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur
Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééé dddddddd ’’’’’’’’Erreur RErreur RErreur RErreur RErreur RErreur RErreur RErreur RéééééééésiduellesiduellesiduellesiduellesiduellesiduellesiduellesiduelleDu RDu RDu RDu RDu RDu RDu RDu Réééééééécepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABG
ResteResteResteResteResteResteResteReste--------tttttttt--------il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!
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Détection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’Erreur
{ }( ) { }( )min Pr max PrErr Dc=
Détection symbole par symbole
Fonctionnement : si iZ∈z ⇒⇒⇒⇒ décide symbole n° i .
{ } { }Pr PrErs Dc= 1−
{ } ( ){ } { }Pr Pr / PrM
i i ii
Dc Z H H
=1= ∈ ⋅∑ z
( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée sur is
( )//
/ exp ( ) ( )( )
Hi i b iN
b
p Hπ
−11 22
1 1 = − − ⋅ ⋅ − 2 2z z s R z s
R
Z1Z2
s1s2
ϕϕϕϕ3
ϕϕϕϕ2
ϕϕϕϕ1
zk b
{ } ( )( ) { } ( )( )/ PrPr ,
i i
M M
i i i b i
i iZ Z
D p Hc H p⌠ ⌠ ⌡ ⌡=1 =1
= ⋅ = ⋅∑ ∑z s RN
M Hypothèses : iH = {le symbole ( ) ( )k ig t s t= }
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Calcul de la Probabilité d’Erreur par SymboleCalcul de la Probabilité d’Erreur par SymboleCalcul de la Probabilité d’Erreur par SymboleCalcul de la Probabilité d’Erreur par Symbole
( )( ) ( )( )/
, ,b bb
Zd
d ddz
NQ Qσ
σ1
⌠⌠ ⌡
⌡
+∞2
21 1
0− 2
− = 0 = = − 2 2
s RN N
⇒⇒⇒⇒ { } ( ){ } { }Pr Pr / M
i i i
i
dDc Z H p p p
NQ
2
1 20=1 =1
= ∈ ⋅ = − ⋅ + 2
∑ z�����
{ } { }Binaire
Pr Prd
Ers DcN
Q2
0
= 1− = 2
Fonction de Marcum ( ) e e
uux du du
xx
Qπ π
σσ σ
σ
2⌠⌠ ⌡ ⌡
2+∞2+∞ −−1 1 222 2
= =
( )Q −∞ = 1 ( ) /Q 0 = 1 2 ( )Q +∞ = 0 ( ) ( )x xQ Q− = 1 −
Cas Binaire équiprobable (bissectrice à /d 2)
Z1Z2
s1s2
ϕϕϕϕ3
ϕϕϕϕ2
ϕϕϕϕ1
zk b
d
on intègre sur le demi espace
Bruit à Composantes indépendantes : b b Nσ 2=R I bNσ 2 0=2
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Fonction de Marcum ( ) e e
uudu
x
x du
x
Qπ πσ
σ
σσ
2⌠
⌠
⌡
⌡
2+∞−
2+∞122
21 2−
= =
( )Q −∞ = 1 ( ) /Q 0 = 1 2 ( )Q +∞ = 0 ( ) ( )x xQ Q− = 1 −
Fonction d’Erreur eErfc eu
x
u
x
dux
duσ
σσ σ ππ
2
22⌠⌡
⌠⌡
+2
2
∞ +∞
2
−−11 1
2 21
= =
2
( ) ( )Erf Erfc ex
ux x du
π2⌠
⌡
−1 2= − =2 0
( )Erfcx xQ σσ
1 = 2 2
( )Erfc1 −∞ = 12
( )Erfc1 10 =2 2
( )Erfc1 +∞ = 02
−3 −2 −1 0 1 2 3
( )Q 0.15871 =
( )Q 0.0222 = 8
( )Q 0.001353 ≈
( )Q 3.2 −54 ≈ ⋅10
( )Q .3 −127 ≈ 1 ⋅10
d dN N
Q Q2 2
0 0
2>> 2 2
Décroissance très rapide
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ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur
Erreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs Réééééééésiduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations MMMMMMMM--------airesairesairesairesairesairesairesaires
les plus les plus les plus les plus les plus les plus les plus les plus éééééééélllllllléééééééémentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.Cas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans méééééééémoire moire moire moire moire moire moire moire àààààààà BABG BABG BABG BABG BABG BABG BABG BABG
Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Courbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes d’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur
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Probabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par Symbole
Rei j i jij i j s s i j s sd E E E E
22 = − = + − 2 ⋅ = +s s s s
si même énergie s i i iiE E p E= ⋅ =∑ si équiprobables s iiM
E E1= ⋅∑
Binaire Orthogonaux ,2 1s s même énergie
{ } { }Pr Prd
Ers DcN
Q2
0
= 1− = 2
sd E212 = 2 et bd E2
12 = 2 ( s bD D= )
{ } { }Pr Pr bEErs ErbN
Q0
= =
Binaire Antipodaux 2 1= −s s même énergie
s bd E E22
12 1= 4 ⋅ = 4 ⋅ = 4 ⋅s si s bD D=
s1s2 0
d
{ } { }Pr Pr bEErs ErbN
Q0
2= =
meilleur que les orthogonaux
d
s2
s10
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Probabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par Symbole
MMMM----aire Antipodauxaire Antipodauxaire Antipodauxaire Antipodaux (PAM)(PAM)(PAM)(PAM) Equiprobables
{ }, , , ( )i A A M A∈ ± ± 3 ± −1s ⋯
/ logs bD D M2=
{ } { }Pr Pr c /M
i
i
Ers D HM
=1
1= 1− ⋅ ∑
M – 2 cas où : { } ( ) ( )Pr , /
A
A
Dc dz Q Aσ σ⌠⌡
+2
−
= 0 = 1− 2N
{ }Pr ( )A A
Ers M Q QMσ σ
1 = 1− − 2 1− 2 + 2 1− ⋅
{ }Pr ( )A M A
Ers M M Q QM Mσ σ
1 −1 = 1− + −1 2 ⋅ = 2
{ } logPr bE MMErs Q
M N M
220
6−1= 2 ⋅ ⋅ ⋅ −1
Exemple avec Aσ 2 = = 1 , M = 6 et / . dBbE N0 = 6 5
Nσ 2 0= 2 sME A22 −1= ⋅3
logs
b sb
D ME E AD M
2
2
2 −1= = ⋅3⋅
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
( )Z +1 ( )Z +5
2 cas où : { } ( ) ( )Pr , /
A
Dc dz Q Aσ σ⌠⌡
+∞2
−
= 0 = 1−N
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Probabilité d’Erreur par Symbole Probabilité d’Erreur par Symbole Probabilité d’Erreur par Symbole Probabilité d’Erreur par Symbole et aussi par Bitet aussi par Bitet aussi par Bitet aussi par Bit
MMMM----aire Antipodaux aire Antipodaux aire Antipodaux aire Antipodaux (PAM)(PAM)(PAM)(PAM) Equiprobables
Probabilité d’Erreur sur les symboles
{ } log logPr Erfcb bE EM MM MErs Q
M N M NM M
2 22 20 0
6 3−1 −1= 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −1 −1
Probabilité d’Erreur sur les bits Pr( )Pr( ) Pr( )
log
ErsErb Ers
M2≤ ≤
Avec codage de GRAY mM = 2 et logm M2=
111 110 100 101 001 011 010 000−7 −5 −3 −1 1 3 5 7
{ } logPr Erfc bE MMErb
m M N M
220
3−1≈ ⋅ ⋅ ⋅ −1
Un seul bit change entre plus proches voisins
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Suite iid => Taux d’erreur = Pr Erreur Symbole
{ } logPr bE MMErs Q
M N M
220
6−1= 2 ⋅ ⋅ ⋅ −1
P( )P( ) P( )
log
ErsErb Ers
M2≤ ≤
0 5 10 15 20 25 30 3510
−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Eb/No (en dB)
Pr(Err/bit)
Pr(Err/symbole)
MIA-2
MIA-4
MIA-8
MIA-16
MIA-32
Courbes de taux d'erreur fonction du rapport Signal à Bruit (Normalisé en Energie par Bit).
Probabilité d’Erreur par Symbole MIA-M (M-PAM)
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ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur
Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Borne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de l ’’’’’’’’UnionUnionUnionUnionUnionUnionUnionUnion
Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!
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Probabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par Symbole
(cas iZ compliquées) Borne de l’Union = majoration grossière mais simple
Principe : Se ramener au cas de Détection Binaire
Z1
s2 Z2
Z2(1,2)
Z3
s3
s1
Z1(1,2)
Deux Zones ( , )i jiZ et
( , )i jjZ
⇒ { }Binaire
Prijd
ErsN
Q2
0
= 2
{ } { } { } { }Pr Pr rs/ Pr Pr /M M
i i i i i
i i
Ers E H H Z H p
=1 =1= ⋅ = ∉ ⋅∑ ∑ z
{ }j i
Pr / Pr /i i j iZ H Z H
≠
∉ = ∈
z z ∪�
( , )
j i j i
disjointes recouvrantes
i jj jZ Z
≠ ≠=
�����
∪ ∪
{ } { }( , ) ( , )
j i
Pr rs/ Pr / Pr /i j i j
i i ij jj i
E H Z H Z H
≠≠
= ∈ ≤ ∈
∑z z∪
{ } { }Pr PrM
iji
i j i
dErs H
NQ
2
0=1 ≠
≤ ⋅ 2
∑ ∑ Termes Prédominants = Voisins Immédiats
Probabilité d’Erreur sur les Bits ⇔ Distance de Hamming
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Borne de l’Union Exemple du PAM
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
( )Z +1 ( )Z +5
Pour is deux voisins immédiats à la même distance ijd d=
{ }Pr / id dErs HN N
Q Q2 2
0 0
4≤ 2 ⋅ +2 ⋅ + 2 2 termes négligeables
⋯
���������
Avec codage de GRAY : Hammingd = 1 pour les voisins
100 110 111 101 001 011 010 000−7 −5 −3 −1 1 3 5 7
{ }Pr / id dErb HN N
Q Q2 2
0 0
4≤ 2 ⋅ ⋅1 + 2 ⋅ ⋅ 2 + 2 2 termes négligeables
⋯
�����������
{ } ( )Pr d dErb MN M N M
Q Q2 2
0 0
1 1≤ − 2 ⋅ 2 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ 2 2
{ } ( )Pr
M dErbM N
Q2
0
2 −1≤ ⋅ 2
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Borne de l’Union. Exemple signaux M-aire Orthogonaux
d
d
d
s3
s2
s1
Tous à la Même Distance 2d
Tous Voisins
si E=2s
�����0
2222
=
⋅−=−= jisjiij ReEd ssss
Codage de GRAY impossible.
Distance de Hamming Moyenne : MMMd moy 2H log
12/ ⋅−=
{ } /Pr chaque bit différent MM
2= −1
{ } HPr /M
i moy
j
dErb H dN
Q−1 2
0=1
≤ ⋅ 2 ∑ { } ( ) { }H
Pr ( ) PrM
imoyi
dErb M d HN
Q2
0=1≤ −1 ⋅ ⋅2
⋅∑
Si équiprobables { }MiH 1Pr = et logs bd E E M2
2= 2 = 2 ⋅
{ } /Pr logd MMErb M MM N M
Q2
20
2−1≤ ⋅ ⋅ ⋅ 2 −1 { }Pr log logbEMErb M M
NQ2 2
0
≤ ⋅ ⋅ 2
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ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur
Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les performances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulations
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ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’Erreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal Mobile
Canal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal Mobileparamparamparamparamparamparamparamparamèèèèèèèètrestrestrestrestrestrestrestres
Canal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighModModModModModModModModèèèèèèèèle discretle discretle discretle discretle discretle discretle discretle discretPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformances
DiversitDiversitDiversitDiversitDiversitDiversitDiversitDiversitéééééééé
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Canal Canal Canal Canal Mobile = Mobile = Mobile = Mobile = DispersifDispersifDispersifDispersif, Sélectif en Fréquences, Sélectif en Fréquences, Sélectif en Fréquences, Sélectif en Fréquences ( , )H f t
Bande de Cohérence / Temps de Dispersion
cB = Largeur de bande sur laquelle on peut considérer que le canal est constant.
dT = Temps pendant lequel on reçoit les échos (trajets) d’une impulsion.
( )n tτEchos d’une Impulsion
dT
/d cT B1∼ Temps de dispersion ∼∼∼∼ inverse de la Bande de Cohérence
Étalement Doppler / Temps de Cohérence
Sinusoïde à un seul trajet
⇒ Reçoit sinusoïde à dv
f f f fc
0 0 0 + ⋅ = +
v vitesse relative incidence (ex : 36 km/h=10m/s Hzdf = 33 pour GHzf0 = 1 )
Sinusoïde à f0 , ( )tφ uniforme ⇒ Reçoit DSP
( )( )
/r
d
csteS f
f f2
=1−
en BdB
( )r
d
S f
f fo
f
2
1= −1−
DSP
df− dff0
(modèle de Jakes 74)
/c dT f1∼ Temps de Cohérence ∼∼∼∼ inverse du Décalage Doppler
Cohérence (ou maintient) des propriétés statistiques du canal.
dB
dT
( , )sP ν τ
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distance m
Canal Sélectif en Fréquence ( , )H t f Time variant Transfert Function
/c dB T= 1/c dT B= 1
Change tout le temps⇒⇒⇒⇒ Egaliseurs Adaptatif
Canal Non Sélectif en Fréquence (Flat-Fading) ( , ) ( , )H t f H t f0=
/c dB T= 1/c dT B= 1
Fadings Évanouissements
( , ) ( , ) ( , ) e u( )TF
jH t f c t t
ω ττ α τ τ0−= ⋅ ⋅⇌
Modèle Bande Étroite (Rayleigh)
( , ) ( ) ( )TF
H t f c t δ τ0 ⋅⇌
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Canal non Dispersif, non Sélectif (Flat-Fading)
Toutes les fréquences sont affaiblies de la même façon.
cB Bande de Cohérence du canal > Largeur de bande du signal
Amplitude du signal varie au cours du temps (fading)
( )
( )( ) ( )e ( ) ( )j tr t t s t n tφα= ⋅ +�����c t
Canal de Rayleigh = multitude de trajets indépendants, pas de trajet prédominant.
( )c t gaussien complexe
( )tφ suit une loi uniforme
( )a t suit une loi de Rayleigh
( )( ) exp ux x
p x xα σ σ
2
2 2
= ⋅ − ⋅ 2
Canal de Rice = Rayleigh + 1 trajet dominant (souvent le trajet direct)
( ) ( ), ,H t f H t f0=
( , ) ( ) ( )TF
H t f c t δ τ0 = ⋅
Signal
Processus Gaussien Complexe
BABG (AWGN)
Bruit Additif
Blanc Gaussien
DSP N0/2 ( )c t
( )r t
Processus Gaussien
Complexe BABG (AWGN)
MoD
em
ncn bd End
n n n b nz c d E b= ⋅ +
nbModèle discret (temps n)
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CCaannaall ddee RRaayylleeiigghh Performance en MDP2
e njn nc
φα=
gaussien complexe (variance σ 22 )
Énergie par bit émise /b e bE P D= Énergie par bit reçue ,b n n b n bE c E Eρ2 2= ⋅ = ⋅
Bruit reçu Gaussien complexe : n pn qnb b j b= + ⋅ variance b Nσ 20= ( )N N0 0
2 2+
Rapport signal à bruit Instantané : ,b n n b bn n
b
E c E E
N Nγ α
σ
22
20 0
= = = ⋅ .
Récepteur optimal BABG projette sur le Signal Reçu sans bruit soit nc
Le récepteur Estime e njn nc
φα=
Puis Projette (filtre Adapté) ⇒ n n n n n b nr z c c d E b
2∗= ⋅ = ⋅ ⋅ +
nc∗
nzcanaldétection
ˆnd
estimation
Puis Détecte l’amplitude de la MDP2 (Idem MAQ, MIA-M)
Si les gains e njn nc
φα= restent identiques n∀ ⇒ { } ( )Pr / n
n
M dErs c
M NQ
2
0
2 −1 ≤ ⋅ 2
Processus Gaussien
Complexe BABG (AWGN)
M
oD
em
ncn bd End
n n n b nz c d E b= ⋅ +
nb
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Canal de Rayleigh Calcul de la Probabilité d’Erreur
( ) ( )k sks t d g t kT= −∑ MIA-2 MDP-2 { }kd ∈ ±1 n n n n n n s nr c s b c d E b= ⋅ + = ⋅ +
{ } ( )Pr / n bn n n
d EErs c Q Q Q
N Nα γ
22
0 0
= = 2 = 2 2
e njn nc
φα= gaussien complexe (variance σ 2 )
nφ loi uniforme nα loi de Rayleigh ( )( ) exp ux x
p x xα σ σ
2
2 2
= ⋅ − ⋅ 2
S/B Instantané : ,b n n bn
b
E E
N
αγσ
2
20
= = loi exponentielle ( )( ) exp un
xp x xγ γ γ
1= ⋅ − ⋅
S/B Moyen : { } bn
EE
Nγ σ γ2
0= 2 ⋅ ≜
Canal à variations lentes /s c dT T B1≪ ∼ ⇒ Gains e njn nc
φα= varient lentement pr sT
Moyenne sur les variations { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxαα= =∫
{ } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫
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14/11/07
e njn nc
φα= gaussien complexe (variance σ 2)
nφ loi uniforme
nα loi de Rayleigh
( )( ) exp ux x
p x xα σ σ
2
2 2
= ⋅ − ⋅ 2
S/B Instantané : ,b n n bn
b
E E
N
αγσ
2
20
= =
loi exponentielle
( )( ) exp un
xp x xγ γ γ
1= ⋅ − ⋅
S/B Moyen : { } bn
EE
Nγ σ γ2
0= 2 ⋅ ≜
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σ 2 =1
σ 2 = 2
σ 2 = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
γ =1
γ = 2
γ = 3
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F4 23
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Canal de Rayleigh Calcul de la Probabilité d’Erreur
Moyenne sur les variations { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫
{ } ( )Pr expx
Ers Q x dxγ γ
+∞
0
1= 2 ⋅ ⋅ − ⋅
⌠⌡
bE
Nγ σ 2
02 ⋅≜
{ }Pr Ersγγ
γ γ→∞ 1 1= 1− → 2 1+ 4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Pr(Err)
−1010
−810
−610
−410
−210
1
/ (dB)bE N0
Idéal BABG
Rayleigh
Particularités
Estimation impérative des gains cn
Performances très mauvaisespar rapport au canal Constant
Mobiles ⇒⇒⇒⇒ Signaux peu puissantsEb/N0 faible
⇒⇒⇒⇒ Diversité
{ }Pr maxiErs −2≈ 10
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F4 24
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Canal de Rayleigh Probabilité d’Erreur
2-PSK cohérente { }Pr Ersγγ
γ γ→∞ 1 1= 1− → 2 1+ 4
2-FSK cohérente{ }Pr Ers
γγγ γ
→∞ 1 1= 1− → 2 2 + 2 2-DPSK
{ } ( )Pr Ers
γγ γ
→∞1 1= →2 1+ 2
2-FSK non cohérente
{ }Pr Ersγ
γ γ→∞1 1= →
2 +
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Pr(Err)
−810
−610
−410
−210
1
/ (dB)bE N0
Idéal BABG 2PSK
Rayleigh
2FSK2DPSK
2PSK
2FSK Dét non Cohérente
La détection différentielleou non cohérente
évite l’estimation des phases
Modulations
Binaires
Simples
{ }Pr Ers −2≈ 10 ⇒⇒⇒⇒ Diversité
Modulations à nombre d’étatsplus élevés sont possiblesmais moins performantes
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Canal à trajets multiples Diversité
Principe : Transmettre plusieurs fois la même informationsur des canaux différents (indépendants).
Utilisée pour palier les évanouissements (canal à fading lent GSM)
Ex : 100kbit/S = 10µs
1m ~ affaiblissement profond, à 10m/s (36 km/h) ⇒ 10 000 bits erronés. (10% du temps)
Entrelaceur répartit les erreurs ⇒⇒⇒⇒ Mauvaises performances globales
Techniques :
� Diversité de Temps (coefficients cn indépendants espacés de plusieurs Tc )
/c dB T= 1/c dT B= 1
� Diversité de Fréquence (canaux indépendants si espacés de plusieurs Bc )� Diversité d’Espace (plusieurs antennes écartées de plusieurs λλλλ0 )
� Diversité de direction (plusieurs faisceaux d’antenne)� Diversité de polarisation
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nc
n cd E
n n n c nz c d E b= ⋅ +
nb
Un seul canal
nc∗
nzcanaldétection
ˆnd
estimation
Récepteur optimal cohérent (max S/B) ⇔⇔⇔⇔ Maximal Ratio Combiner (MRC Brennan 59)
Som
mateur et décision
ˆnd
,nc∗
1,nz 1Canal 1
estimation
,n lc∗,n lz
Canal l
estimation
,n Lc∗,n Lz
Canal L
estimation
n cd E
n cd E
n cd E
Signal reçu
, , ,Tn n n l n Lz z z1 = z ⋯ ⋯
n n c n nd E= ⋅ +z c b
, , ,Tn n n l n Lc c c1 = c ⋯ ⋯
Récepteur optimal min Erreursˆ tel que minn i n i c n
id Eα α
2= −z c
soit ( ){ }max Re Hi n c n n
iEα 2 − 2 ⋅c c z
soit estimation des gains puisprojection, partie réelle et comparateur à seuils
ou détection du signe en binaire { }nd ∈ ±1
Plusieurs fois la même information sur des canaux indépendants
Canal à trajets multiples Diversité
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Canal de Rayleigh Diversité d'ordre LEx MDP2 { }nd ∈ ±1 n n c n nd E= ⋅ +z c b
Som
mateur et décision
ˆnd
,nc∗
1,nz 1Canal 1
estimation
,n lc∗,n lz
Canal l
estimation
,n Lc∗,n Lz
Canal L
estimation
n cd E
n cd E
n cd E
Distance entre les signaux reçus sans bruit c nd E22 = 4 c
Probabilité d’erreur canaux fixés :
{ } ( )Pr / cn n n
EdErs Q Q QN N
γ2 2
0 0
= = 2 = 2 2
c c
Proba d’erreur moyenne : { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫
Rapport S/B , ,
L Lc c
n n n l n l
l l
E Ec
N Nγ γ
22
0 0=1 =1= = =∑ ∑c
Comparaison au cas sans diversité à même puissance émise : , ,b
n n l n lc
EL
Eγ γ γ= ⋅ = ⋅ .
Loi du S/B : ,
L
n n ll
γ γ=1
= =∑ somme de variables indépendantes de même lois exponentielles,
de moyenne cE
Nγ σ 2
0= 2 ⋅ .
( )( )
, , ,( ) exp u
!n n n n L
L
L
x xp x p p p x
Lγ γ γ γ γγ1 2
−1 = ∗ ∗ ∗ = ⋅ − ⋅
−1 ⋯
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Canal de Rayleigh Probabilité d’erreur en Diversité d'orde L
Probabilité d’erreur moyenne : { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫
( )( )( ) exp u
!n
L
L
x xp x x
Lγ γγ
−1 = ⋅ − ⋅
−1 { } ( ) ( )MDP2
P x!
r e pL
LErs Q x d
x x
Lx
γγ
−+∞
1
0
= 2 ⋅ ⋅ −
−1
⌠⌡
{ }MDP2
Pr
lL LL l
ll
Ersµ µ−1 −1+
=0
1− 1+ = ⋅ ⋅ 2 2 ∑ ∁
avec γµ
γ=
1+
Limite
{ }dB
MDP2
Pr
LL
LErsγ γ
2 −1>10
1→ ⋅ 4 ∁
−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
3
4
5
6
7 8 9 10
Pr(Err)
−810
−610
−410
−210
1
SNR/bit (dB)γ
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CC oo mm mm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire.
1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur.
2 Zones et seuils de décisions.
3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté.
4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux.
2 Cas M-aire. Borne de l’Union.
3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence.
2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance.
3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage
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