cntrol de procesos
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U NIVERSIDAD S IMÓN B OLÍVAR D EPARTAMENTO DE P ROCESOS Y S ISTEMAS S ECCIÓN DE S ISTEMAS DE C ONTROL
I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
P ROF . J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO P ROF . Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO
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I. I NTRODUCCIÓN
I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO 1
I. INTRODUCCIÓN
Para el estudio de los sistemas de control es necesario definir como proceso o sistema
físico a un conjunto de componentes que actúan conjuntamente, interactuando con el
medio. Los procesos o sistemas a estudiar en este curso, serán sistemas físicos, entre
los cuales se encuentran los siguientes.
Mecánicos (transacionales y rotacionales)
Fluídicos
Térmicos
Eléctricos
Dichos procesos pueden ser representados matemáticamente de diferentes formas,
entre las cuales podemos mencionar las siguientes.
Ecuaciones diferenciales
Función de Transferencia
Diagrama de bloques
Diagrama de flujo de señal
Los pasos a seguir por un ingeniero cuando conforta un problema de control de un
sistema dinámico son los siguientes:
Definir el sistema y sus componentes.
Formular el modelo matemático
a. Hacer una lista de las suposiciones necesarias.
b. Escribir las ecuaciones diferenciales.
Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.
Examinar las soluciones para validar el modelo matemático. Reanalizar el sistema, las suposiciones y diseñar.
A continuación se desarrollaran cada uno de los puntos mencionados que tengan
relación con la representación matemáticas de sistemas físicos..
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II. M ODELAJE DE S ISTEMAS F ÍSICOS
I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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II. MODELAJE DE SISTEMAS FÍSICOS
2.1 Utilidad
Realizar el análisis de la respuesta del sistema ante diferentes situaciones.
Diseño de procesos.
Análisis de sensibilidad a perturbaciones.
Diseño de sistemas de control.
2.2 Elementos básicos
Para el modelaje de sistemas de control se pueden identificar ciertos elementos básicos
que describen el comportamiento de los sistemas.
Fuentes de energía: elementos que proporcionan energía proveniente del medio
externo.
Almacenadores de energía: elementos capaces de almacenar y ceder energía. Son
los elementos dinámicos del sistema.
Disipadores de energía: elementos que provocan pérdidas energéticas al medio
exterior.
Transformadores de energía.
A continuación se mostraran los diferentes elementos para los distintos tipos de
sistemas.
2.3 Sistemas fluídicos
Este tipo de sistemas las variables que se manejan serán la presión P y el caudal Q.
2.3.1 Fuentes
Fuentes de presiónEntradas al sistema
Fuentes de caudal
2.3.2 Almacenadores de energía
Almacenador de energía potencial (capacitor): Un tanque almacena energía en
forma de energía potencial por la altura de la columna fluídica.
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Su relación constitutiva es:
0PhgP +⋅⋅ρ= (asumiendo que trabajamos con presiones manométricas)
hgP ⋅⋅ρ=
Derivando la relación constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento
( )dt
hgd
dt
dP ⋅⋅ρ= (como V = h · A)
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅= A
Vgρdtd
dtdP
Considerando ρ, g y A constantes se obtiene una relación dinámica particular para el
caso lineal, cuya variable de estado es P.
Qdt
dV
dt
dP
gρ
A==⋅
⋅( 321 uuuQ −+= )
Si se desea tener a la altura h como la variable de estado, la relación dinámica del
elemento se puede escribir como:
Qdt
dhA =⋅
Almacenador de energía cinética (Inercia): la masa de fluido encerrada en una
tubería almacena energía en forma de energía cinética
m, masa encerrada en la tubería
v, velocidad del fluido
La relación constitutiva en este caso será la cantidad de movimiento lineal:
vm p ⋅= (m = ρ · V = ρ · A · L)
vALρ p ⋅⋅⋅=
Derivando se obtendrá la relación dinámica general del elemento inercia
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( )vALρdt
d
dt
dp⋅⋅⋅=
Como dP/dt es igual a la fuerza aplicada sobre m se tiene la siguiente relación general:
F =( )vALρdt
d
⋅⋅⋅(v = Q/A y P = F/A)
( )QLρdt
dPA ⋅⋅=⋅
Si la densidad es constante la relación dinámica particular para el caso lineal queda
representada por la siguiente ecuación, cuya variable de estado es Q.
dt
dQ
A
LρP ⋅
⋅= P… Presión total ejercida sobre la masa de fluido
2.3.3 Disipadores de energía
En general la relación constitutiva de estos disipadores son de la forma ∆P = f(Q), la
cual en los siguientes casos particulares es:
Pérdidas por fricción 2Q b∆P ⋅=
Pérdidas por accesorios Q b∆P ⋅= ó P bQ ∆=
2.3.4. Transformadores de energía
11
1 pA
F= 111 QAV =⋅ ; 1
1
1 pA
F= 122 QAV =⋅
Las relaciones de entrada y salida quedan como:
1
212 A
AFF ⋅=
2
112
A
AVV ⋅=
Ejemplo
Para el siguiente sistema se desea obtener un modelo matemático que lo represente.
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Fuentes: u1, u2.
Almacenadores: tanque (variable de estado = P), tubería (variable de estado = Q)
Disipadores: fricción, válvula.
Las ecuaciones diferenciales que va a tener en el modelo serán igual al número de
elementos almacenadores de energía, donde las variables involucradas sean
independientes. Se plantean cada una de las relaciones dinámicas expresadas en
función de variables de estado y entradas.
Tanque Quudt
dP
gρ
A21 −+=⋅
⋅Tubería OVÁLVULAFRICCIÓN
P∆PPPdt
dQ
A
Lρ−−−=⋅
⋅
Q bQ bPdt
dQ
A
Lρ2
21 ⋅−⋅−=⋅
⋅
Las ecuaciones anteriores se conocen como una representación de estado.
2.4 Sistemas mecánicos
Este tipo de sistemas se pueden dividir en sistemas mecánicos traslacionales, donde
las variables que se manejan serán la fuerza F y la velocidad lineal v y sistemas
mecánicos rotacionales donde las variables que se manejan serán el torque τ y la
velocidad angular ω.
2.4.1 Fuentes
Traslacionales Rotacionales
Fuentes de fuerza
Fuentes de velocidad
Fuentes de torque
Fuentes de velocidad angular
2.4.2 Almacenadores de energía
Almacenadotes de energía potencial (Capacitadores)
Traslacional : Un resorte almacena energía en forma de energía potencial
x = desplazamiento relativo entre los extremos.
F = fuerza ejercida entre los extremos del resorte.
K = constante de elasticidad, constante o f(x).
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La relación constitutiva de este elemento es:
F = k · x
derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica tomando F como la variable de
estado
( )xk dt
d
dt
dF⋅=
Para k constante la relación dinámica particular para el caso lineal es:
vk dt
dF⋅= (v es la velocidad relativa entre los extremos)
También una barra con cierta elasticidad que sufre una compresión o expansión puede
ser representada como un capacitor.
Rotacional : Resortes helicoidales también almacenan energía en forma de energíapotencial
KT = constante de elasticidad torsional.
τ = torque.
φ = desplazamiento angular entre sus extremos.
La relación constitutiva de este elemento es:
τ = KT · φ
derivando la constitutiva, para KT constante, se obtiene la relación dinámica particular
para el caso lineal , tomando τ como variable de estado
ωK dt
dτT ⋅=
Almacenadores de energía cinética (Inercias)
Traslacional: Una masa en movimiento almacena energía en forma de energía cinética.
m = masa del elemento
v = velocidad del elementoLa relación constitutiva del elemento es:
vm p ⋅=
derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento tomando v como
variable de estado.
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( )vmdt
d
dt
dp⋅=
Para m constante se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal
dt
dv
mF ⋅=
Rotacional: Una masa girando almacena energía en forma de energía potencial
J = momento de inercia
ω = velocidad angular
La relación constitutiva del elemento es:
w jH ⋅=
derivando se obtiene la relación dinámica general función de la variable de estado ω
( )ω jdt
d
dt
dH⋅=
Si J es constante la relación dinámica particular para el caso lineal será:
dt
dω jτ =
2.4.4 Disipadores de energía
Traslacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma F = f(v)
Roce con una superficie.
Resistencia al viento.
Un amortiguador.
Amortiguador
b = coeficiente de fricción viscosa
x = desplazamiento relativo entre sus
extremos.
F = fuerza aplicada.
v = velocidad entre sus extremos.
Este tipo de elemento proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Absorbe energía
y la disipa como calor. No almacena ni energía cinética ni potencial. Su relación
constitutiva es de la forma F = b⋅v
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Rotacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma τ = f(ω)
Roce entre elementos que giran.
Resistencia al viento.
2.4.5 Transformadores de energía
22
11
LωV
LωV
⋅=
⋅= →
2
1
2
1
L
L
V
V=
22
11
FL
FL
⋅=τ
⋅=τ →
1
2
2
1
L
L
F
F=
τFR
R ωV
=⋅
⋅=
2
1
2
1
R
R τ=
τ;
1
2
2
1
R
R
ω
ω=
Ejemplo
Considere que en la figura se muestra un esquema simplificado
de una locomotora. Donde F es la fuerza impulsora, m1 y m2 lasmasa de los vagones unidos a través de un resorte y un
amortiguador (Fa = R1 Va ) y el roce con el piso se representa
como f = R2 ⋅ Vi2 (i : Vagón)
Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:
Fuente de fuerza. (F)
Almacenadores: inercia 1 (V1), inercia 2 ( V2), capacitor (FR)
Resistencias: Amortiguador y fricción.
Se tienen 3 elementos almacenadores independientes → 3 ecuaciones de Estado (V1,
V2, FR, F)
Inercia 1 212211R
11 VR )V(VR FF
dt
dVm ⋅−−−−==
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Inercia 2 222211R
22 VR )V(VR F
dt
dVm −−−=
Capacitor )VV(k dt
dF21
R −=
2.5 Sistemas térmicos
2.5.1 Fuentes
Fuentes de temperatura.
Fuentes de flujo de calor
2.5.2 Almacenadores
En este tipo de sistemas la única forma de almacenamiento de energía es almacenandocalor, lo cual puede realizarlo cualquier elemento que posea capacidad de
almacenamiento de calor. Por ejemplo una masa como la que se muestra a
continuación.
M = masa del elemento
Cp = Calor específico del elemento
T = Temperatura del elemento
q = Flujo de calor sobre el elemento
La relación constitutiva de dicho elemento será:
qTCpm =⋅⋅
derivando la expresión anterior se obtendrá la relación dinámica general tomando T
como variable de estado.
( ).
qTCpmdt
d •
=⋅⋅
Si m y Cp son constantes, se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal.
.q
dtdTCpm
•=⋅⋅
2.5.3 Disipadores
Se utilizan para representar mecanismos de transferencia de calor, los cuales son los
siguientes:
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Conducción: transferencia de calor entre dos cuerpos sólidos:
.
T)(∆x
AK q ∆⋅
⋅=
•
Convección: transferencia de calor entre un sólido y un fluido o dos fluidos:
.
T)(Ahq ∆⋅⋅=•
Radiación: transferencia de calor entre un cuerpo y una fuente luminosa:
.
4TεK q ⋅⋅=•
Ejemplo
Considere la aleta de enfriamiento que se muestre y obtenga su modelo.
Conducción y convección.
Se divide la aleta en tres elementos y se
suponen conocidos todos los
parámetros
Variable de estado = Ti
Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:
Fuentes: T, To
Almacenadores: T1, T2, T3
Mecanismos de transferencia: Conducción y convecciónNúmero de ecuaciones: tres
)T(Tah)T(T∆x
AK )T(T
∆x
AK
dt
dTCpm O11121
.
11
1 −⋅⋅−−⋅⋅
−−⋅⋅
=⋅⋅
)T(Tah)T(T∆x
AK )T(T
∆x
AK
dt
dTCpm O22232
.
122
2 −⋅⋅−−⋅⋅
−−⋅⋅
=⋅⋅
)T(Tah)T(T∆x
AK
dt
dTCpm
O333
.
32
3
3
−⋅⋅−−⋅⋅
=⋅⋅
2.6 Sistemas eléctricos
2.6.1 Fuentes
Fuentes de voltaje.
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Fuentes de intensidad de corriente.
2.6.2 Almacenadores
Puesto que la relación constitutiva es lineal sólo se mostrarán las relaciones dinámicas.
Elemento Relación dinámica
Capacitor .
idt
dVC =
Variable de estado: V
Inductancia.
V
dt
diL =
Variable de estado: V
2.6.3 Disipadores
Este tipo de elemento solamente tiene
Relación Constitutiva
.
iR V ⋅=
2.6.4 Transformadores.
21 Vn
1V ⋅=
i1 = n . i2
n = relación de transformación
2.6.5 Leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff
Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos). “La suma algebraica de todas las
corrientes que entran y salen de un nodo es cero”, o lo que es lo mismo “ la suma de
las corrientes que entran a una nodo es igual a la suma de las que salen del mismo”.
Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas). “La suma algebraica de los voltajes
alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero”, o, “la suma de las caídas
de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de una malla”.
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2.7 Resumen de ecuaciones diferenciales para elementos ideales
2.7.1 Almacenadores inductivos
Inductancia fluídica
dt
dQIP21 =
Masa traslacionaldt
dvMF 2=
Masa rotacionaldt
dwJT 2=
Inercia eléctricadt
diLv 21 =
2.7.2 Almacenadores capacitivos
Capacitancia Fluídicadt
dPCQ 21
f =
Resorte trasnacionaldt
dF
K
1v 21 =
Capacitancia Térmicadt
dTCq 2
t=
Capacitancia eléctricadt
dvCi 21=
2.7.3 Disipadores de energía
Resistencia fluídica21
f
PR
1Q ⋅=
Amortiguador traslacional 21vf F ⋅=
Amortiguador rotacional 21wf T ⋅=
Resistencia térmica 21t
TR 1q ⋅=
Resistencia eléctrica 21vR
1i ⋅=
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Para lograr representar un proceso utilizando funciones de transferencia se debe
proceder primero a mostrar como se puede linealizar de un conjunto de ecuaciones no
lineales.
3.1. Linealización
Suponga que en la siguiente figura se muestra una función no lineal que se desea
linealizar alrededor de un punto Po. Para ello se debe tomar la derivada de dicha
función y evaluarse en el dicho punto.
y = x2
pO(x0,y0) ≡ punto de operación
( )OPo xxdx
dym −=
m es la pendiente de la aproximación
lineal
La función linealizada quedará entonces,
( )OPo0 xxdx
dyyy −+= expansión hasta la primera derivada en serie de Taylor
*0
*0
xxx
yyy
=−
=−variables de perturbación ** xmy ⋅=
En forma general, si se tiene una función f 1 no lineal que depende de x variables y u
entradas
)u,...,u,u,x,...,x,x,x,x(f f n21n432111 =
La expresión lineal f 1* en el punto de equilibrio p0
*
n pn
n*
1 p1
1*
n pn
n*
1 p1
1*
1 uu
f
...uu
f
xx
f
...xx
f
f 0000 ∂
∂++∂
∂+∂
∂++∂
∂=
3.2 Función de Transferencia
Se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la
transformada de Laplace de la entrada, para las siguientes condiciones:
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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Condiciones iniciales iguales a cero.
Independiente de la entrada
Conocido G(s) puedo estudiar C(s) para todo C(s)
G(s) existe si el sistema es lineal e invariante en el tiempo
G es una función de s (G = f(s))
G(s) no aporta información sobre el sistema físico
Siempre se puede establecer la identificación del sistema
La función de transferencia se puede escribir en forma general como)s(D
)s( N)s(G = ,
donde D(s) = 0 se conoce como la ecuación característica del sistema. Las
soluciones de N(s) = 0 son los ceros del sistema y las soluciones de D(s) = 0 son los
polos del sistema.
3.3 Función de transferencia a lazo abierto y a lazo cerrado
Función de transferencia a lazo abierto
)s(H)s(G)s(E
)s(B.A.L.T.F ⋅==
Función de transferencia a lazo directo
)s(G)s(E
)s(C.D.L.T.F ==
Función de transferencia a lazo cerrado
H(s)G(s)1
G(s)
R(s)
C(s)F.T.L.C.
⋅+==
Ecuación característica a lazo cerrado
1 + G(s)·H(s) = 0
3.4 Sistema a lazo cerrado sometido a una perturbación
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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N(s) = 0 ,)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(G
)s(R
)s(C
21
21R
⋅⋅+⋅
=
R(s) = 0 ,)s(H)s(G)s(G1
)s(G
)s( N
)s(C
21
2 N
⋅⋅+=
C(s) = CR(s) + CN(s)
Un sistema lineal debe cumplir con los siguientes principios:
Principio de superposición x1(t) + x2(2) → y1(t) + y2(2)
Principio de homogeneidad β x(t) → β y(t)
Ejemplo
En la figura 1 se muestra un esquema simplificado de transporte de carga, para el cual
es necesario controlar la velocidad de desplazamiento de la carga, manipulando el
voltaje aplicado al motor. En la figura 2 se muestra en detalle el esquema del
motor donde ee = (eref – em), Ki amplifica dicho valor, Ra la resistencia eléctrica, La la
inductancia, Jm la inercia del motor y ωm la velocidad angular del motor que es
trasmitida a la barra. Las relaciones de transformación en el motor son τm = K2ia y
ea= Kaωm donde ea es la caída de potencial en la armadura. En la figura 3 se tiene la
curva de calibración del medidor de velocidad. La resistencia eléctrica presenta una
relación lineal, en tanto que, la resistencia en la polea es de la forma τ = R1ω2.
Motor
CargaVC
Radio “r”
K T
mC
R 1
J1
K 1
R a La
τ, ωm
ee
amplificador
ia
Jmarmadura
Figura 1 Esquema del sistema Figura 2 Detalle interno del motor
Figura 3 Curva de calibración del elemento de medición
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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Se desea que usted realice lo siguiente:
Modelo del proceso (sin control y con control )
Diagrama de Bloques del proceso y Diagrama de Bloques del esquema de control,
en el cual estén especificados todas las funciones de transferencia.
Solución:
Elementos del sistema
Almacenadores. Disipadores Transformadores
Inductancia Eléctrica (La)
Inercia del motor (Jm)
Capacitor (KT)
Inercia (J1)
Inercia (mc)Estos dos últimos son
dependientes
Resistencia Eléctrica
Roce en la Polea
Elemento de Medición
(esquema de control)
Transformación de sistema
eléctrico al mecánico
Se plantean tanto las ecuaciones de cada uno de los elementos almacenadores, como
las diferentes relaciones entre las distintas variables.
Modelo del proceso
aaaea ei ReK
dt
di La −⋅−⋅= 1 ...... ea = Ka ωm (1)
bmm
mdt
d J τ τ
ω −= ...... τm = K2ia (2)
1
1ω ω
τ −= m
b
T dt
d
K (3)
211
1
1 ω τ τ ω
⋅−−= Rdt
d J cb (4)
Cc
c Fdt
dV
m = (5)
Para completar el modelo se toman en cuentan las siguientes relaciones conocidas,
τC = r FC y ω1 =VC/r Reacomodando las ecuaciones (4) y (5) queda,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−τ=
dt
dV
r
J
r
VR
r
1
dt
dVm c1
2c
1 bc
c
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−τ=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +2
2c1
bc
21
cr
VR
r
1
dt
dV
r
Jm (4’)
En el modelo de control se debe tener definir el error como:
ee = K1 (eref – em) = K1 (eref – m⋅VC)Linealizando:
*a
*aa
*e1
*a K iR eK
dt
diLa ω⋅−⋅−⋅= (6)
**2
*
ba
m
m iK dt
d J τ
ω −⋅= (7)
r
V
dt
d
K
C
m
b
T
**
*1−= ω
τ (8)
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−τ=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ + *
CCo21*
b
*c
21
c VVr
R 2
r
1
dt
dV
r
Jm (9)
NOTA: El punto de operación se calcula igualando a cero las ecuaciones (1), (2), (3) y
(4’) Aplicando Transformada de Laplace, eliminando los * y agrupando términos:
(Las + Ra)ia = K1⋅ee – Ka⋅ωm (6’)
Jm⋅s⋅ωm = K2⋅ia – τb (7’)
r
VcsK
mb
T −= ω τ
1(8’)
r V V
r
Rs
r
J m b
C Coc
τ =⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
31
21 2)( ⇒ IV
r
R 2
r
Jm Co3
121
c =⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ (9’)
Diagrama de Bloques del Esquema de control
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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Obtención de la Función de Transferencia del proceso GP(s) =)s(e
)s(V
e
C , por reducción del
diagrama de Bloques (sin control):
Modificando el último lazo de la siguiente forma queda:
La sección marcada se reduce a lo siguiente.
T22 T1
K sIr r K G +⋅
⋅=
Rearreglando...
La sección marcada se reduce a: Isr s J
GG
m ⋅+⋅= 1
2
y a partir de allí, el Diagrama de Bloques del esquema de control se puede reducir
como sigue:
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3.5 Gráficas de Flujo de Señal
Una gráfica de flujo de señal se puede ver como una versión simplificada de un
diagrama de bloques, cuyos elementos básicos son los siguientes:
Nodos: se utilizan para expresar variables.
Ramas: Son segmentos lineales que tienen ganancias y direcciones asociadas. La
señal se transmite a través de una rama solamente en la dirección de la flecha.
Nodo de entrada (fuente): Es un nodo que tiene solamente ramas de salida.
Nodo de salida (pozo): Es un nodo que tiene solamente ramas de entrada.
Trayectoria: es una sucesión continua de ramas que se dirigen en la misma
dirección.
Trayectoria directa: es una trayectoria que empieza en un nodo de entrada y
termina en un nodo de salida, a lo largo de la cual ningún nodo se atraviesa más de
una vez. Lazo: es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde
ningún otro nodo se atraviesa más de una vez.
Ganancia de la trayectoria: Es el producto de las ganancias de las ramas de una
trayectoria.
Lazos disjuntos: Son lazos que no comparten ningún nodo en común.
A partir de estas definiciones es posible plantear el uso de la Fórmula de Ganancia de
Mason para reducir Diagramas de Flujo de señal.Fórmula de Ganancia para gráficas de Flujo de señal:
∑= ∆
∆==
N
1k
K K
ent
sal M
y
yM
en donde:
yent = Variable del nodo de entrada
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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ysal = Variable del nodo de salida
M = Ganancia entre yent y ysal (Función de Transferencia)
N = Número total de trayectorias directas entre yent y ysal
Mk = Ganancia de la trayectoria directa k-ésima entre yent y ysal
∆ = 1 – (suma de las ganancias de todos los lazos)+(Σ productos de las ganancias de
todas las combinaciones de 2 lazos disjuntos)-(Σ productos de las ganancias de todas
las combinaciones de 3 lazos disjuntos)+...
∆k = igual a ∆ pero eliminando todos los lazos que toquen a la k-ésima trayectoria
directa.
Ejemplo
G4
1 1 G1 G2 G3 1
-H1 -H2
-1
R YE
Número de trayectorias directas = 2M1 = G1 G2 G3) M2 = G1 G4
Ganancias de los Lazos
L1 = G1 G2 (-H1) L2 = G2 G3 (-H2)L3 = G4 (-H2) L4 = G1 G2 G3 (-1)L5 = G1 G4 (-1)
Determinantes∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 + L5)
∆1 = 1; ∆2 = 1
Función de TransferenciaM = (M1⋅∆1 + M2⋅∆1) / ∆
Ejemplo
La siguiente figura muestra un esquema de un intercambiador de calor en el cual se
desea controlar la temperatura de salida TS, manipulando el caudal de la camisa U
El elemento medidor o termopar y el controlador tienen las curvas de calibración que se
U, T2
U, TC
Q, TSQ, T 1
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muestran a continuación.
La capacitancias térmicas del líquido encerrado en la camisa y en el interior del
intercambiador son respectivamente MC⋅CpC = CC y Mi⋅Cpi = Ci. El flujo de calor entre la
camisa y el interior del intercambiador es )T(R q 1 ∆=& , en tanto que no existe
transferencia de calor con el medio ambiente. Debe considerarse que la temperatura de
entrada T1 y su flujo Q son perturbaciones y que los valores de T1O, T2O, QO, UO, TO
(ambiente) son conocidos. Suponga además, que conoce la función de transferencia de
la válvula necesaria para implementar el esquema de control,1S
k G V
Válvula +τ= . Se
desea que usted como ingeniero de planta realice lo siguiente: modelo del proceso,
diagrama de flujo de señal (proceso y esquema de control), función de transferencia del
proceso y función de transferencia del esquema de control.
Solución
Variables de estado: TS, TC
Entradas: T1, T2, Q, U
Camisa: ( ) ( )CS1C2CCC
C TTR TTCpUdt
dTC −+−⋅⋅ρ= (1)
Intercambiador: ( ) ( )CS1S1iiS
i TTR TTCpQdt
dTC −+−⋅⋅ρ= (2)
Puesto que T1 y Q son perturbaciones las ecuaciones son no lineales y se deben
linealizar quedando como sigue:
( )*C
*S1
*CCC
*CCC
*2CC
*C
C TTR UoTCpUoTCpUoTCpdt
dTC −+⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ=
( ) ( ) ( )*C
*S1S1
*ii
*S
*1ii
*S
S TTR oToTQCpTTQoCpdt
dTC −−−⋅⋅ρ+−⋅⋅ρ=
El esquema de control a implantar es el que se muestra a continuación.
m.. pendiente
Temp
Volts
k C .. pendiente
Error ( Volts)
Acc. Control(Volts )
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III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA
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Para realizar el diagrama de flujo de señal se agrupan los siguientes términos:
K1 = ρc Cpc T20 K2 = ρc Cpc Tc0 K3 = ρc Cpc U0
K4 = ρi Cpi Q0 K5 = ρi Cpi (T10 – Ts0)
A partir de dicho diagrama, se obtiene la función del proceso eliminando todas las otras
entradas diferentes a la variable a manipular (U)
Número de caminos = 1 P1 = (K1 – K2)(1/Ccs)(R1)(1/Cis)
Número de lazos = 3 L1 = -(K3 + R1)/(Ccs) L2 = -(K4 + R1)/(Cis) L3 = R12/CcCis
2
∆ = 1 – (L1 + L2 + L3) + (L1L2)
De allí que, la función de transferencia del proceso será:
Ts(s)/U(s) = ∆1 P1 / ∆
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
Sea y(t) la respuesta en el tiempo de un sistema en tiempo continuo; entonces:
)t(y)t(y)t(y sst +=
donde yt(t) es la respuesta transitoria (solución homogénea) y yss(t) la respuesta enestado estacionario (solución particular). En la siguiente figura se puede apreciar el
comportamiento dinámico de un sistema, compuesto por la respuesta transitoria y la
permanente
El estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para el
posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. A
continuación se estudiara, tanto la respuesta transitoria, como la respuesta permanente
de un sistema.
4.1 Respuesta ante diferentes entradas
4.1.1 Entradas Tipo
A continuación se mostraran las entradas típicas utilizadas para el análisis de la
respuesta de un sistema.
4.1.1.1 Función impulso
0 A
0
r(t) = tot
tot
tot
>=
<
reales NúmerosA ∈ ( ) )t(Atr δ⋅=
donde δ(t) es la función impulso ≡ Delta de Dirac y su
transformada de Laplace es: L AR(s)(r(t)) ==
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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4.1.1.2 Función escalón
0
A r(t) =
0t
0t
<
>
→ ( ) ( )tuAtr ⋅=
donde u(t) es escalón unitario y su transformada de
Laplace es: L A/sR(s)(r(t)) ==
4.1.1.3 Función rampa
( ) ( )tut btr ⋅⋅= reales Números b ∈ Indica cómo
responde el sistema a señales que cambian
linealmente con el tiempo. Su transformada de
Laplace es: L 2 b/sR(s)(r(t)) ==
4.1.1.4 Función parábola
( ) ( )tu2
tK tr
2
⋅⋅
= R K ∈
El análisis de la respuesta temporal de un sistema se realizará detalladamente para
sistemas de primero y segundo orden, en tanto que, sistemas de orden superior se
analizarán aproximándolos a ordenes inferiores.
4.2 Tipo de un sistema
Además de clasificar a los sistemas según su orden, es importante realizar una
clasificación adicional de los mismos según su tipo, la cual se realiza al escribir en
forma general cualquier función de transferencia como sigue.
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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( ))1)...(1()1(
)1)...(1()1(
21 +⋅+⋅⋅+⋅⋅
+⋅+⋅⋅+⋅⋅=
ssss
sssK sG
p
N
mba
τ τ τ
τ τ τ
en donde las soluciones del numerador se conocerán como los ceros del sistema y las
del denominador como los polos. A partir de allí, SN representa un polo de multiplicidad
N en el origen, el cual define el tipo del sistema que no necesariamente es igual al
orden del sistema.
N=0 → sistema tipo 0
N=1 → sistema tipo 1
N=n → sistema tipo n
4.3 Sistemas de Primer Orden
La respuesta de sistemas de primer orden se estudiaran tanto a lazo abierto como a
lazo cerrado para sistemas de tipo “cero” y de tipo “uno”.
4.3.1 Sistemas tipo cero.
Para un proceso a lazo abierto como el que se muestra a continuación, donde R(s) es
un escalón de magnitud A, se tiene:
K ........ ganancia del proceso.
τ .......... constante de tiempo del proceso
La respuesta de dicho sistema ante esa entrada se puede obtener realizando la
antitransformada de C(s), tal como se muestra a continuación.
s
A)s(R =
→
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅τ
⋅=1s
K
s
A)s(C
Aplicando fracciones( )
1s
tK A
s
K AsC
+⋅τ⋅⋅
−⋅
=
Antitransformando
( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅= τ
−t
e1K Atc
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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Para t = 0; ( ) ( ) 01 0 =−⋅= eK At c
Para t = τ; ( ) ( ) AK 632,0e1K Atc 1 ⋅⋅=−⋅= −
Para t = ∞, ( ) ( ) K AeK At c ⋅=−⋅= ∞1
En la siguiente figura se aprecia dicha respuesta, en la cual se puede observar que a
mayor τ se tiene menor rapidez de la respuesta y a mayor K mayor valor de
establecimiento (c(∞)).
Además, se puede definir τ como el tiempo que tarda el proceso en alcanzar el 63,2 %
de su valor final y caracterizar también la respuesta transitoria por el tiempo que tarda
en establecerse (ts) tal como sigue:
ts = 3·τ → c(3·τ) = 0,95·c(∞) (Criterio del 5%)
ts = 4·τ → c(4·τ) = 0,98·c(∞) (Criterio del 2%)
Para el mismo sistema anterior también se puede hacer el análisis de su respuesta
transitoria a partir de la función de transferencia a lazo cerrado tal como sigue.
( )( ) )K 1(s
K
1s
K 1
1s
K
sR sC
LALA
LA
LA
LA
LA
LA
++⋅τ=
+⋅τ+
+⋅τ=
a partir de allí se pueden obtener tanto la ganancia del sistema a lazo cerrado como su
constante de tiempo.
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LA
LALC K 1
K K
+=
y LA
LALC 1 τ+
τ=τ
→
( )( ) 1s
K
sR
sC
LC
LC
+⋅τ=
KLC = ganancia del sistema; τLC = constante de tiempo
Siendo dicha función de transferencia semejante a la de lazo abierto, la forma de la
respuesta a lazo cerrado también lo será, pero se deben considerar como ganancia a
KLC y τLC como la constante de tiempo. Además, a lazo cerrado se puede calcular el
error en estado estacionario, tal como sigue:
( ) ( )LALA
LAee K 1
A
K 1
AK AcAee
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
⋅−=∞−=∞=
4.3.2 Sistemas tipo 1
Para este tipo de sistema se estudiará solamente el lazo cerrado, pues la respuesta el
lazo abierto no alcanza ningún valor de establecimiento.
Al igual que en el caso anterior se obtienen la ganancia y la constante de tiempo a lazo
cerrado a partir de las de lazo abierto, así como, la respuesta ante una entrada escalón
de magnitud A.
( )( ) LALA
LA
1LA
LA
LA
LA
K s
K
s
K 1
s
K
sR
sC
+⋅τ=
⋅τ+
⋅τ=
( )( ) 1s
1sR sC
+⋅τ=
, LA
LA
K τ=τ
; K=1
Para( )
s
AsR =
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aplicando fracciones parciales...
( )( ) τ+
−=τ+⋅
=1s
A
s
A1ss
AsC
Antitransformando…
( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ −⋅= τ
−t
e1Atc
,
t = 0 → ( ) ( ) 011 =−⋅= At c
t = τ → ( ) ( ) A632,0e1Atc 1 ⋅=−⋅= −
t = ∞ → ( ) ( ) A At c =−⋅= 01
( ) ( ) 0=−=∞−=∞= A Ac Aeess
En este caso se puede también analizar la respuesta de este tipo de sistema ante una
entrada rampa tal como sigue.
( )2s
AsR =
→
( )( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
τ+
τ+
τ−⋅=
+⋅τ⋅=
1sss
1A
1ss
AsC
22
→
( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅τ−τ−⋅= τ
−t
etAtc
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La rapidez de la respuesta viene dada por τ y el estado estacionario será tal y como se
observa en la figura.
( ) ( ) τ ⋅=∞−⋅=∞= Act Aeess
Ejemplo
En la siguiente figura se muestra un esquema de control de presión para un tanque
presurizado, cuya función de transferencia es desconocida (G1(s)). Con la intención de
averiguar dicha función de transferencia se realiza la siguiente experiencia sobre el
proceso. Estando la presión estable en 12 psi, se le da un escalón de 3 psi a la
referencia y se obtiene la respuesta que se muestra a continuación. Se desea que
usted realice lo siguiente, a partir de dicha información.
1) Identifique la función de transferencia del proceso (G1(s))
2) Grafique la respuesta a lazo abierto si la entrada es 5
2Pr =
.
3) Considere que hubo un error en la medición de la referencia y en realidad, el
escalón en la entrada era de 2,5 psi. Con esta nueva información realice
nuevamente el problema.
Solución
1) Al conocer la entrada y la salida a lazo cerrado, y observando el gráfico de la
respuesta se puede aproximar G1(s) a un sistema de primer orden de tipo cero pues la
respuesta presenta un error al escalón.
11 +⋅=
s
K G
LA
LA
τ Como c(∞)= 14,5 – 12 y el valor de la amplitud es A = 3 se tiene
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K LC · 3 = 2,5 → 8333,03
5,2== LC K
La constante de tiempo a lazo cerrado se obtiene a partir de la gráfica, calculando el
63,2 % del valor final y leyendo el tiempo que tarda la repuesta en alcanzar dicho valor.
CSS – Co = C(τ) → (14,5 – 12) · 0,632 = 1,58 →C(τ) = 1,58 + 12 = 13,58
De allí, y por inspección sobre la gráfica, se tiene que la constante de tiempo a lazo
cerrado es 18. Teniendo ahora, tanto la ganancia como la constante de tiempo a lazo
cerrado, se puede conocer las de lazo abierto.
K LA ≈ 518
1=
+=
LA
LA LC
K
τ τ
→
833,01
=+
= LA
LA LC
K
K K
τ LA ≈ 108 → 1108
5 G1 +⋅=
s
2) Conocida la función de transferencia a lazo
abierto se puede graficar la respuesta ante una
entrada igual a 2/5 en la referencia. Como la
amplitud del escalón A es 2/5 y la ganancia a lazo
abierto, KLA, es 5, entonces la respuesta que
tiende a KLA * A, tenderá a 2. Además, la
respuesta alcanza 1,264 (63,2% del valor final)
cuando a transcurrido un tiempo igual a τ.
3) Si la entrada fuese un escalón de magnitud 2,5 y no de 3, el cálculo de la constante
de tiempo a lazo cerrado se realizaría de la siguiente forma:
A.KLC = (14,5 – 12) como A = 2,5 → KLC = 1 y τLC = 18 (de la gráfica)
Además, al observar la gráfica se aprecia que el valor final a lazo cerrado coincide con
la referencia, de donde se deduce que el error en estado permanente es cero. De allí
que, la forma de la función de transferencia a lazo abierto será de primer orden pero no
de tipo 0, sino de tipo 1. Por lo tanto G1 se puede obtener como sigue:
118
1
1 1
1
+⋅=
+ sG
G
→ ( )11 1
18
1G
sG +⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
= → s
G⋅
=18
11
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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4.4 Sistemas de segundo orden
Este tipo de sistemas requiere dos variables que definan su estado de energía, por lo
tanto su modelo podrá estar formado por dos ecuaciones diferenciales de primer grado.
Para el estudio de este tipo de sistemas partiremos del siguiente ejemplo. Un tanque de
área A, líquido de densidad ρ, tubería de longitud L y área a.
u
Modelo del proceso
Qudt
dP
ρg
A−=
RQPdt
dQ
a
ρL
−=
Se desea conocer la función de transferencia entre u y Q, para lo cual se toma la
transformada de Laplace de dichas ecuaciones y queda:
s P(s) = (u(s) - Q(s)) / C C = A/ρg
s Q(s) = (P(s) - RQ(s)) / I I = ρL/a
A partir de allí se obtiene la función de transferencia
1)sCR sI(C
1
u(s)
Q(s)2
+⋅⋅+⋅⋅
=
→ 1/CI)sR/I(s
CI1
u(s)
Q(s)2
+⋅+
=
Para realizar el análisis de la respuesta de sistemas de segundo orden su función de
transferencia se escribe en función de ciertos parámetros característicos tal como
sigue:
)ωsω2(s
ωG(s)
2nn
2
2n
++=
ξ
ωn = Frecuencia natural no amortiguada.
ξ = Coeficiente de amortiguación
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se describe en términos
de ξ y ωn, los cuales estarán en función de los parámetros físicos del sistema. Para 0 <
ξ < 1 se tiene un sistema Subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Para
ξ > 1 el sistema está sobre amortiguado y si ξ = 1 es sistema es críticamente
subamortiguado; en los dos últimos casos la respuesta no es oscilatoria. Si ξ = 0 no
existe amortiguación y la oscilación es permanente.
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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Para el ejemplo anterior se pueden expresar ξ y ωn como sigue:
1/CIω2n = CI
1ωn =
R/I2ξ n =ω IC2R 2ICIR ξ ==
Ahora se ha de estudiar la respuesta ante una entrada escalón unitario, para los casos
mencionados anteriormente.
4.4.1 Sistemas subamortiguado (0 < ξ < 1)
( )2nn
2
2n
ωs2ξs
ω
u(s)
Q(s)G(s)
++==
ω
Para una entrada escalón:( )2
nn2
2n
s2ss
1)s(Q
ω+ξω+
ω=
antitransformando se obtiene:⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ω
ξ−
ξ+ω−= ξω− )t(Sen
1)t(Cose1)t(Q d2d
tn
donde ωd = ωn
21 ξ−se conoce como frecuencia natural amortiguada. Se puede
observar que la respuesta transitoria tiene una frecuencia de oscilación igual a ωd quevaría con ξ. Además, nótese que si el sistema no es amortiguado, la respuesta oscila
con ωn. Para sistemas amortiguados la frecuencia que se observa experimentalmente
es ωd. la cual siempre es menor que ωn.
4.4.2 Sistemas críticamente amortiguados (ξ = 1)
( )
2
n
2n
s)s(u
)s(Q
ω+
ω=
Para una entrada escalón: ( )
2
n
2n
ss
)s(Q
ω+
ω=
Antitransformando resulta: Q(t) = 1 – e-ωnt (1+ωnt)
Se puede apreciar que esta respuesta no es oscilatoria y que se parece a la del
sistema de primer orden.
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
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4.4.3 Sistemas sobreamortiguados (ξ > 1)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−ξ
ω+=
−−
2
ts
1
ts
2n
s
e
s
e
12
1)t(c21
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −ξ−ξω=
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −ξ+ξω=
1s
1s
2n2
2n1
donde s1 y s2 son las soluciones de la ecuación característica, o denominador de la
función de transferencia.
Esta respuesta incluye dos términos de caída exponencial. Cuando ξ >> 1 uno de los
dos términos se hace despreciable frente al otro. Para una solución aproximada se
desprecia |s1| >> |s2|
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −ξ−ξω−
−=1t 2
ne1)t(c
4.4.4 Características de la respuesta de un sistema subamortiguado
Al igual que para sistemas de primer orden es necesario caracterizar la respuesta para
sistemas de segundo orden. Para una entrada escalón se especifican los siguientes
parámetros:
a) Tiempo de crecimiento (tr ): Tiempo en que la respuesta crece de un 10% a un 90%
de su valor final.
b) Máximo pico (Mp): valor de máximo pico medido desde el valor final.
c) Tiempo de pico (tp): Tiempo en alcanzar el máximo pico.
d) Tiempo de establecimiento (ts): Es el tiempo necesario para que la respuesta sólo
oscile entre un 2 o 5 % del valor final.
4.4.5 Especificaciones sobre la respuesta transitoria
Para un sistema que presenta la siguiente función de transferencia los valores
característicos de la respuesta pueden expresarse en función de los parámetros de lafunción.
( )22
2
2)(
nn
n
sssG
ω ξω
ω
++=
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IV. R ESPUESTA T RANSITORIA
I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO 34
Tiempo de crecimiento:⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ξωω−
ω=
n
d
darctg
1tr
Tiempo pico: d
tpωπ
=
Máximo pico: Mp = (C(tp) – C(∞))/C(∞)
( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ξ−ξπ−πωξω− ==
2
dn1
eeMp
Tiempo de establecimiento: Criterio del 2% n
44ts
ξω=τ=
Criterio del 5% n
33ts
ξω=τ=
En la siguiente figura se puede observar la relación entre la solución de la ecuación
característica o polos del sistema y su respuesta transitoria.
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V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS I NTRODUCCIÓN ALC ONTROL DE P ROCESOS
J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO 35
V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS
SISTEMAS La función de transferencia G(s) puede ser representada como (s)f (s)f G(s) 21= , a
partir de la cual se puede decir que la respuesta del sistema dependerá de f 1(s) y
f 2(s). Las raíces de f 1(s) se conocen como los ceros del sistema y las de f 2(s) como
los polos. Además, f 2 se conoce como la ecuación característica del sistema y define
el comportamiento dinámico del mismo. Más específicamente, las soluciones de
dicha ecuación definen el comportamiento dinámico del proceso, por lo tanto, si se
desea modificar la respuesta de un sistema, se lograría modificando la ecuación
característica del mismo. Para un sistema de control a lazo cerrado, donde G(s) y
H(s) representan las funciones de transferencia del proceso, al añadir un controlador
en la línea se podría modificar la ecuación característica de lazo cerrado (ECLC) yasí obtener la respuesta deseada.
+
-
G(s)
)s(H
Gc(s)
)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G
c
c
⋅⋅+
⋅=
)s(H)s(G)s(G1ECLC c ⋅⋅+=
La ubicación de dichos polos en el plano complejo define el comportamiento del
sistema, tal como se mostrará a continuación.
5.1 Sistemas de primer orden
(Ecuación característica)
1s
k )s(G
+⋅τ=
01s)s(f 2 =+⋅τ= s = -1/τ (polo del sistema)
El polo del sistema se representa en el plano como se muestra a continuación,
donde se representan los polos de tres sistemas distintos de primer orden.
τ1> τ2> τ3
Se puede apreciar que a medida que τ es mayor el
valor numérico del polo decrece y se acerca más al
eje real.
τ↓ Sistema responde más rápidamente y tarda
menos en establecerse.
τ↑ Sistema responde más lentamente y tarda más
en establecerse.
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V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS I NTRODUCCIÓN ALC ONTROL DE P ROCESOS
J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO 36
Se concluye que a medida que el polo del sistema se acerca al eje imaginario, el
sistema tarda más en establecerse, por lo que a dichos polos se les conoce como
polos dominantes del sistemas.
1. 2 Sistemas de segundo orden
2nn
2
2n
s2s)s(G
ω+ξω+
ω=
2
nn 1 js ξ−ω±ξω−=(polos del sistema)
Si ξ<1, los polos son imaginarios y se pueden representar de la siguiente forma en el
plano S.
θ
ξωn
n
21 ωξ
−
ξ
ξ−=
ω/⋅ξ
ω/ξ−=θ
2
n
n2 11
tg
ξω
ξωCosθ
n
n ==
En la siguiente figura se detalla las características de la respuesta transitoria de un
sistema de segundo orden subamortiguado, según la ubicación de sus polos.
σ
ω
Igualωn
IgualωdIgualξ
Igualξωn
x
x
xx
x
x
x
x
Los sistemas cuyos polos se encuentran sobre las líneas punteadas comparten la
característica temporal señalada.
Ejemplo
Dado el siguiente sistema cuya función de transferencia es 1s2s4
1G
2 ++=
, se desea
que usted calcule lo siguiente:
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V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS I NTRODUCCIÓN ALC ONTROL DE P ROCESOS
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a) Valor de ξ, ωn , Mp, ts 2%
Se debe reescribir la función de transferencia como
41s5.0s
41G
2 ++=
2ξωn =0.5 ωn2 = ¼
ωn = ½ → ξ = 0.5
A partir de los valores de ξ y ωn se calculan las características solicitadas.
164
%2 ==n
tsξω
16.0eM2ξ1
ξπ
p == −
−
b) ¿Cuáles serán las raíces del sistema para los casos en que ωd se duplique y se
cuatriplique sin variar el valor del amortiguamiento? ¿Cuál tendrá mayor rapidez?
¿Cómo variará Mp ?
Como ξ se conserva, a partir de allí se puede calcular ωn para los dos casosωd o = 0,433 ωd 1 = 0,866 ωd 2 = 1,732
1 2nd ξ−ω=ω
ωn 1 = 1 ωn 2 = 2
La rapidez de respuesta se relaciona con la cercanía al origen que tengan los polos
del sistema. A medida que se acercan al eje imaginario el sistema es más lento y
viceversa, de allí que se verifica el valor de ξωn.
ξωn1 = 0,5 ξωn2 = 1
El sistema dos tendrá mayor rapidez de respuesta, en cuánto al pico se tiene que
Mp1 = Mp2 debido a que Mp = f(ξ) y como ξ se conserva, entonces el pico no cambia.
Ejemplo
Se tienen dos sistemas de segundo orden cuyas raíces se muestran en el plano “s” a
partir de allí se desea hacer una comparación entre ambos.
a) Se necesita un sistema que
alcance, lo más rápido posible, la
condición de equilibrio y cuyo
Mp sea menor del 5%. ¿Cuál
escogería A o B?-4
-2
0
2
4
-4 -3 -2 -1 0
AB
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V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS I NTRODUCCIÓN ALC ONTROL DE P ROCESOS
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b) Si se desea aumentar ξ al doble para el sistema de mayor rapidez, manteniendo la
misma ¿Cuáles deberían ser las raíces?
Solución
a) PA = 3 PB = 2
τA = 1/3 τB = ½
El sistema A es más rápido pues está más lejos del eje imaginario, el máximo pico
de ambos sistemas es igual por tener el mismo ξ .
ξ = Cos θ = Cos 45º = 0,707%32,410004325,0eM
21 p =⋅== ξ−
ξπ−
⇒ Se escoge el sistema A
b) ξ = 0,707 y se desea ξ = 0,407. Como además se debe mantener la rapidez, la
parte real de la raíz se debe mantener igual, la cual es igual a ξωn. De allí se
obtiene el nuevo ωn.
ωn = 2ωno = )32(2 ⋅ = 34
2nn2,1 1s ξ−ω±ξω−=
→ js 328.632,1 ±−=
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VI. A NÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE
Al igual que las características de respuesta transitoria es importante analizar el error
que pueda tener un sistema ante una perturbación dada. Para un sistema a lazo
cerrado como el siguiente.
En forma general se puede escribir la función de transferencia del lazo directo como
( ))1)...(1()1(
)1)...(1()1()(
21 +⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅
==ssss
sssK s H sGFTLA
p
N
mba
τ τ τ
τ τ τ
Donde SN representa un polo de multiplicidad N en el origen. Como se mencionó
anteriormente, dependiendo del valor de N se define el tipo del sistema. A medida
que N aumenta el sistema se hace más exacto (menos error) pero su respuesta
transitoria desmejora considerablemente. Para calcular el error se debe conocer su
función de transferencia respecto de la entrada, la cual se obtiene a partir del
diagrama de bloque, como sigue:
Y(s)X(s)E(s) −= → E(s)G(s)X(s)E(s) −= → )X(s)G(s)1
1(E(s)
+=
Utilizando el teorema del valor final, se puede encontrar el valor del error en estado
estacionario.
( ) ( )( )( )sG
s Rslíms E slímt elímesst
ss +⋅
=⋅==→→∞→ 100
Como el error forma parte de la respuesta de un sistema depende de la entrada a la
cual sea sometido el mismo. A continuación se calcularán los errores en estado
estacionario o estado estable para diferentes tipos de entrada.
6.1 Entrada tipo escalón
Para r(t) = R . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGlím1
1
s
1
sG1
slíme
0s0s
ss
→→ +
=⋅+
=
Kp se define como la constante de error de posición estática, cuyo valor dependerá
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VI. A NÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de posición.
( ) ( ) p
ss p0s K 1
1e 0GK sGlím
+===
→
Para un sistema tipo 0,
K )...1s(s)...1s(K límK
10
a
0s p =
+⋅τ⋅+⋅τ⋅=
→
Para un sistema tipo 1 o mayor
Kp = ∞, N ≥ 1
6.2 Entrada tipo rampa
Para r(t) = R . t . u(t), con R = 1( ) ( )sGs
1
s
1
sG1
slíme
20sss ⋅
=⋅+
=→
Kv se define como la constante de error estático de velocidad cuyo valor dependerá
del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de velocidad.
( )v
ss0s
v K
1e sGslímK =⋅=
→
Sistema tipo 0,
0)...1s(
)...1s(K límK
1
a
0sv =
+⋅τ+⋅τ⋅
=→
Sistema tipo 1,
K )...1s(s
)...1s(K slímK
1
a
0sv =
+⋅τ⋅+⋅τ⋅⋅
=→
Sistema tipo 2 o mayor,
1)...s(τs
1)...s(τK slímK
1 N
a
0sv ∞=
+⋅⋅
+⋅⋅⋅=
→
6.3 Entrada tipo Parábola
Para r(t) = R . t2 . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGslím1
s1
sG1slíme
2
0s
30sss ⋅
=⋅+
=→
→
Ka se define como la constante de error estático de aceleración, cuyo valor
dependerá del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de
aceleración.
( )a
ss2
0sa K
1e sGslímK =⋅=
→
Para un sistema tipo 0,
0)...1s(
)...1s(K slímK
1
a2
0sa =
+⋅τ+⋅τ⋅⋅
=→
Para un sistema tipo 1,
0)...1s(s
)...1s(K slímK
1
a2
0sa =
+⋅τ⋅+⋅τ⋅⋅
=→
Para un sistema tipo 2, Para un sistema tipo 3 o mayor,
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VI. A NÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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K )...1s(s
)...1s(K slímK
12
a2
0sa =
+⋅τ⋅+⋅τ⋅⋅
=→
1)...s(τs
1)...s(τK slímK
1 N
a2
0sa ∞=
+⋅⋅
+⋅⋅⋅=
→
Resumiendo
Constante de error Error con retroalimentación unitariaTipo de
sistema Kp Kv Ka Escalón Rampa Parábola
0 K 0 0 ( )K R
+1 ∞ ∞
1 ∞ K 0 0K
R
∞
2 ∞ ∞ K 0 0K
R
3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0
6.4 Error a la perturbaciónBasándose en la siguiente figura, se considerará una perturbación P(s) al proceso y
se estudiará su efecto sobre el error.
La respuesta C(s) ante variaciones tanto en R(s) como en P(s) será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsCsPsGsR sGsC 2121 +=⋅+⋅=
Donde C1(s) es el componenete de la salida dado R(s) y C2(s) es el componente de
la salida dado P(s). El error del sistema para Gm = 1, será:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tetete GtctcGtr te
Gtctctr te Gtctr te
pr m21m
m21m
+=→−−=
+−=→−=
donde er (t) es el error a la referencia y ep(t) el error a la perturbación. Para el caso en
el que no exista perturbación ep(t) = 0.
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VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE C ONTROL L INEALES I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
A continuación se enumeran ciertos aspectos resaltantes que identifican la
importancia del estudio de la estabilidad de un sistema.
Aspecto dinámico más importante de cualquier sistema.
Se clasifica en estabilidad absoluta y estabilidad relativa.
Un sistema de control está en equilibrio, si la salida permanece en el mismo
estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada.
Un sistema de control, es estable (absolutamente) si la salida regresa
eventualmente a su estado de equilibrio cuando el sistema se somete a una
perturbación, y es inestable si la salida o bien oscila indefinidamente, o diverge sin
límite de su estado de equilibrio, cuando el sistema sufre una perturbación.
El grado de estabilidad es una medida de la estabilidad relativa . En un sistema a lazo cerrado la estabilidad es equivalente a la ubicación de los
polos en el plano s. Polos en el semiplano derecho implican una respuesta
oscilatoria creciente y por tanto se dice que el sistema es inestable. Polos a lazo
cerrado en el semiplano izquierdo indican que la respuesta alcanzará el equilibrio
característico de un sistema estable.
La ubicación de los ceros no tiene efecto en la estabilidad del sistema, afecta sólo
la respuesta dinámica.
La estabilidad es una propiedad del sistema en sí y no depende de la entrada o
función excitadora del sistema.
Este criterio se puede aplicar a sistemas a lazo abierto (L.A.) y a lazo cerrado
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VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE C ONTROL L INEALES I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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(L.C.). Recordar que los polos de lazo abierto son diferentes a los de lazo cerrado ya
que ambas funciones de transferencia son distintas.
Un sistema a lazo abierto inestable puede o no generar un sistema a lazo cerrado
estable.
Para estudiar la estabilidad de sistemas lineales se puede utilizar un criterio
conocido como el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, gracias al cual es posible
determinar la estabilidad de un sistema a partir de su función de transferencia, el
mismo será descrito a continuación.
7.1 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Para un sistema o proceso que tenga la siguiente función de transferencia en donde
a y b son constantes y m ≤ n.( )( )
( )( )sA
sB
asa...sasa
bs b...s bs b
sR
sC
n1n1n
1n
0
m1m1m
1m
0 =+⋅++⋅+⋅
+⋅++⋅+⋅=
−−
−−
Para obtener los polos se debe factorizar A(s), y luego verificar en que parte del
plano s se encuentran. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar
la cantidad de polos que se encuentran en el semiplano derecho plano s sin
factorizar A(s), cabe destacar que sólo aplica a los polinomios con cantidad finita de
términos.
7.1.1 Procedimiento
1. Escriba el polinomio en s de la siguiente forma:
0... 11
1 =+⋅++⋅+⋅ −−
nn
nn
o asasasa
en donde ai ∈ R. Suponemos que an ≠ 0, se elimina cualquier raíz cero.
2. Si alguno de los coeficientes es menor que cero, ante la presencia de al menos un
coeficiente mayor que cero, hay una raíz o raíces imaginarias o que tiene partes
reales mayor que cero. En tal caso, el sistema no es estable, si lo que se está
analizando es la estabilidad absoluta el procedimiento debe terminar aquí.
(Condición necesaria pero no suficiente)
3. Si todos los ai > 0, ordene los ai en filas y columnas de acuerdo al siguiente
patrón:
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sn a0 a2 a4 …
sn-1 a1 a3 a5 …
sn-2 b1 b2 b3 …
sn-3 c1 c2 c3 …
. . . .
. . . .
. . . .
s1 h1 h2
s0 g1
donde
1
30211 a
.aa-.aa b =
1
50411
a
.aa-.aa b =
hasta que las restantes sean cero.
Se sigue el mismo patrón para las c, d,.., etc.
Finalmente, el arreglo completo es triangular
y se conoce como tabla de Routh-Hurwitz
En base a lo anterior el criterio de estabilidad dice lo siguiente:
1. El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual
al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del
arreglo.
2. Condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación
característica se encuentren el semiplano izquierdo del plano s es que todos los
coeficientes de la ecuación característica y todos los términos de la primera columna
del arreglo sean mayores que cero.
Ejemplos1) Verifique la estabilidad de un proceso cuya ecuación característica sea la
siguiente:
a) 06s4ss 23 =++−
Tiene un ai < 0 → no todas las raíces están el en semiplano izquierdo, con
lo que es suficiente para concluir que el proceso es inestable, pero se planteará la
tabla solamente para ejercitarse.
6s
05,2s1
64s
11s
0
2
3
−
65,2
0).4(6.5,2
5,24
6.11.4
1
1
=−−
=
=−
−−=
c
b
Dos cambios de signo implican dos polos en el semiplano derecho.
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b) 06s11s6s 23 =+++
como todos los ai son mayores que cero, se cumple la con condición necesaria pero
no suficiente, por lo que se realiza la tabla para concluir respecto a la estabilidad.
6s
010s1
66s
111s
0
2
3
6
10
0.66.10
106
611.6
1
1
=−
=
=−=
c
b
No hay cambio de signo, lo que implica que no hay raíces en el semiplano derecho,
por lo tanto el sistema es estable.
7.1.2 Casos especiales
1) Si alguno de los término de la primera columna de cualquier renglón es cero,pero no los demás o no hay términos restantes, el término cero se sustituye por un
número positivo muy pequeño (un ε que tiende a cero) y se evalúa el resto del
arreglo. Si el signo del coeficiente por encima del cero (ε) es igual al signo que esta
por debajo del mismo, se deduce que existen un par de raíces imaginarias.
2) Si todos los coeficientes de cualquier fila son iguales a cero, existen raíces de
igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano, es decir, dos
raíces con magnitudes iguales y signo opuesto y/o dos raíces imaginarias
conjugadas. En este caso se forma un polinomio auxiliar (P(s)) con coeficientes del
renglón que está justo arriba del renglón de ceros. Dicho polinomio auxiliar, que
siempre es par (potencias pares de s), se deriva P(s) y se colocan sus coeficientes
en la fila de ceros.
Ejemplo
a) 03s2s2ss 234 =++++
0
1
2
3
4
s
s
0s
021s
321s
∞
∞=
=−
=
=−
=
1
2
1
31
0.13.1
01
2.12.1
c
b
b
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se debe modificar el arreglo…
3s
03
s
3s
021s
321s
0
1
2
3
4
ε
ε
−
3
30,
3.2
1
11
=
−=⇒→
−=
d
cc ε ε ε
ε
Hay dos cambios de signo, o sea, dos raíces en el semiplano derecho, lo que indica
que el sistema es inestable.
b) 04s7s8s84ss 2345 =+++++
0
1
2
3
4
5
s
000s
044s
066s484s
781s
6
4
4.17.4
64
8.18.4
2
1
=−
=
=−
=
b
b
4
6
0.44.6
46
6.48.6
2
1
=−
=
=−
=
b
c
0
04
4.66.4
2
1
=
=−
=
d
d
Se debe sustituir la fila de ceros por la derivada del polinomio 44)( 2 += ssP ;
sds
sdP8
)(=
4s
008s
044s
066s
484s
781s
0
1
2
3
4
5
No hay cambios de signo, o sea, no hay raíces en el semiplano derecho del plano s.
Resolviendo:( ) js 1s 4s4sP 22 ±=⇒−=⇒+⋅=
tiene dos raíces en el eje jω y es marginalmente estable.
El criterio de Routh-Hurwitz es muy útil cuando la ecuación característica que se
desea analizar tiene algún parámetro involucrado, de forma tal que se podrán
conocer los rangos del parámetro para el cual el sistema es estable.
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VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE C ONTROL L INEALES I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS
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Ejemplo
04s)2(s3s 23 =++++ k K
La primera condición que se debe cumplir es que todos los coeficientes sean mayor
que cero, lo cual sucederá si y solo si K es mayor que cero. A partir de allí se debe
plantear el arreglo y verificar los posibles valores de K para que no ocurra ningún
cambio de signo en la primera columna de la tabla.
04s
0s
043s
21s
01
1
2
3
b
K
K +
03
4)2(31 ≥
−+=
K
K K b
Para obtener el valor límite de K se debe cumplir que b1 sea mayor o igual a cero en
el límite.
K ≤ -2,528 ó K ≥ 0,528
Debido a que la primera restricción es que K sea mayor que cero, entonces para que
el sistema sea estable se debe cumplir que K ≥ 0,528.
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