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Circuits et nombres 2-adiques
Gérard Berry
Chaire Algorithmes, machines et langages
Collège de France
Cours 2, le 9 avril 2013
G. Berry, Collège de France, cours 2
Ce cours reprend la théorie et la pratique
de Jean Vuillemin (Digital Equipment X ENS)
09/04/2013 2
Source du cours
J. Vuillemin. On circuits and numbers, IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 3
Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900)
• R est une complétion de Q. Est-ce la seule? Non : nombres p-adiques pour p premier nombre infinis écrits poids faibles d’abord
Ils unifient l’arithmétique infinie calculableet la logique Booléenne
• Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32• Alain Connes / JP Changeux
• Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon• Jean Vuillemin : modèle des circuits numériques En un sens, nous allons créer leur physique
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 4
2 Z : anneau des entiers 2-adiques
x 2 x0 x1 x2 … poids faibles d’abord
opérations et de gauche à droite
x 2101010... 2 (10)
x 1 4x
x 1/3
x 2100000... 2001010...
0 200000... 2 (0)1 210000... 21(0) 2 201000... 201(0)
1 211111... 2 (1)2 201111... 2 0(1)
y 2010101... 2 (01)
y 2 x
y 2/3
ou x y 1
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 5
L’anneau des 2-adiques
1 / 2 n’existe pascar la somme de bits x0x0 ne peut pas valoir 1
p / q existe pour p, q entiers ssi q est impair(cf. Euclide)
Pas d’ordre compatible avec les opérations
1 0 1
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 6
2 Z comme algèbre Booléenne
• 2-adique x vu comme l’ensemble { i | xi 1 }
exemple: 1/3 2101010... { i | i pair }
• Opérations Booléennes point par point x y x y x (x y)n x n yn etc.
2100011...
2011100...
2111111...
x x 1
• Relation arithmético-logique fondamentale
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 7
Espace Métrique de Cantor
d(x,x) 0d(x,y) 2n n min t.q. xn yn
• Lemme : 2 Z est ultramétrique :
d(x,z) max (d(x,y), d(y,z))
Exemple : d (201111..., 201101... 1/8)
x
yz
d(x,z) min (d(x,y), d(y,z))
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 8
Espace Métrique de Cantor
• Compact – très différent des réels !
ex. ouvert de préfixe 210010
• Base d’ouverts : préfixes finis
x0 x1...xn { 2 x0 x1...xn y0 y1...yn... | y 2 Z }
110
0 0
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Fonctions continues
• Lemme : f : 2 Z 2 Z continue ssi
f(x)n ne dépend que d’un nombre fini de xm
2 x0 x1......xm... 2 y0 y1...yn...
Continuité préservation de la finitude de l’information
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Fonctions synchrones
x f(x)
x0 x1...xn... 0 x0 x1...xn...
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 11
Fonctions synchrones et contractantes
• Théorème f : 2 Z 2 Z est synchrone si et seulement si
f(x)n ne dépend que de x0x1...xn, i.e., est contractante
x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)
• Définition : f : 2 Z 2 Z synchrone ssi calculable par un
circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie)
Preuve : « seulement si » trivial, Preuve : pour « si » voir la construction SDD diapo
x f(x)
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 12
Circuits de Moore et contraction strictes
• Une fonction f : 2 Z 2 Z est strictement contractante
ssi f(x)n dépend seulement de x0x1...xn1
x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)
• Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre
Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore
Circuitde Moore
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Rebouclage des circuits de Moore
Circuitde Moore
f(x)x
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Rebouclage des circuits de Moore
x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)
Lifschitz x,y. d(f(x),f(y)) 0,6 d(x,y)
Théorème de Banach : toute fonction Lifschitziennesur un compact a un point fixe unique
Circuitde Moore
f(x) xf(x)
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 15
L’addition dans l’espace
++
a0b0
s0
++1
a
1b
1s
r1
++2a
2b2s
2r
3r
r = 00
s a bmais en temps infini !
continuité :couper à n bits
pour n bits de sortie
s2n1 a2n b2n
x2n x mod 2n
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 16
Additionneur 3 bits (Full Adder)
abc
s
r
s a oux b oux cr (a et b) ou (b et c) ou (c et a)
++
ab
s
c r
oux
ouet
et
etbits
a b c s 2 r
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 17
Opérateurs 2-adiques de base
++
ab
s
cr
x 2 x
a b c s 2 r
x 1 2 x
2 x0 x1...xn... 2 0 x0 x1...xn...
2 x0 x1...xn... 2 1 x0 x1...xn...
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 18
Addition et soustraction dans le temps
++
ab
s
r2r
tick !
a b 2 r s 2 r
s a b
même équationque dans l’espace !
a b 1 2 r s 2 r
b 1 b
s a b
12 r
++
ab
s
r
b b 1
a b s
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Addition mixte espace / temps
ri
++
ap
bp
sp
2ri
tick ! s a b
toujours lamême équation !
++
ai
bi
si
rp
a ap ai
b bp bi
s sp si
x y 2 x0 y0 x1 y1...
Code source constant pour tous les échanges espace / temps
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 20
Addition stéréo
++
ab
s
r
additionneurstéréo
Alterne deux additions dans le tempsstéréo canal gauche canal droit
sp si (ap ai) (bp bi)
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 21
Addition et soustraction dans le temps
++
ab
s
tick !
++
ab
s
a
bs
a
bs
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 22
Multiplication et division par une constante
x 3 x
_x y x / 3 preuve : y x 2 y
division seulementpar des entiers impairs!
preuve : x 2 x 3 x
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 23
Quasi-inverse
y 1 2 x y 1 / (12 x)x
y 2 x y 1y 1 2 x y
y 1 / (12 x)
?
contractante synchronemais mémoire infinie(cf. construction SDD diapo ??)
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 24
Quasi-racine carrée
y 1 4 z
z x 2 z 2
y 2 1 8 z 16 z
2
y 1 8 x
xz y
y 2 1 8 x 16 z
2 16 z
2
ça ne nous dit rien sur les bits qui passent !
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 25
Décomposition spatio-temporelle de f synchrone
f 0 0-prédicteur : f
0w = f (w0) pour tout mot w
f 0 premier bit sorti par f pour l’entrée 0...f 1 ... 1...
f 1 1-prédicteur : f
1w = f (w1)
f w dernier bit sorti par f pour le mot fini w
f u u-prédicteur : f
uw = f (wu) pour tout mots w, u
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 26
Automate de x 3 x
+x 3 x
00 10
01 11
0 / 0 1 / 1
0 / 1
1 / 1
0 / 10 / 0
1 / 0
1 / 0
G. Berry, Collège de France, cours 2
0 /
1 / 10 / 00 /
09/04/2013 27
Prédicteur 0 de x 3 x
+x 3 x
00 10
01 11
0 / 0 1 / 1
0 / 1
1 / 1
0 / 10 / 0
1 / 0
1 / 0
00 10
01 11
1 /
0 /
1 /
0 /
1 /
1 /
0 /0
1 / 00 / 1
1 / 0
1 / 0
0 / 0
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 28
Etape de décomposition
f(x) = mux(x, f 1 2 f 1(x), f 0 2 f
0(x))
x
1
0
f 1
f 0f (x)
f 1
f 0
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 29
Forme normale SDD de f : 2z2z
Table de vérité dans l’espace et le tempsultra-rapide : chemin critique un mux
La moitié des bits disparaît à chaque cycle
1
0
f11
f10
x
1
0
f01
f00
x
f 01
f 00
f 11
f 10
f 1
f 0
x
1
0
f1
f0f (x)
...
...
...
...
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 30
SDD partagé de f : 2z2z à mémoire finie
1
0
f11
f10
x
1
0
f01
f00
x
f 01
f 00
f 11
f 10
f 1
f 0
x
1
0
f1
f0f (x)
...
...
...
...
f à mémoire finie nb fini de prédicteurs f u distincts
f à n registres SDD(f ) peut avoir 22 registresn
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 31
Trace d’une fonction synchrone
Tr(f) 2 f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f001 ...
f0 2 f1 4 (Tr(f 0) ʘ Tr(f1 ))
Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f)n zn
Théorème :
f : 2 Z 2 Z est de mémoire finie
ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z
L’application d’une trace Tr(f) à un argument x est continue calcul ?
G. Berry, Collège de France, cours 2
Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel
0, f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f001 ...
est soit rationnel soit transcendant
09/04/2013 32
Des traces synchrones aux trancendants
Automatic Sequences: Theory, Applications, GeneralizationsJean-Paul Allouche et Jeffrey ShallitCambridge University Press (21 juillet 2003)
Cf. aussi cours 5 2010, systèmes finis,http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry/index.htm#|m=course|q=/site/gerard-berry/course-2009-2010.htm|p=../gerard-berry/course-2009-12-16-10h00.htm|
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 33
Des fonctions continues aux circuits
f continue mais pas synchrone dilater le temps
nombre 2-adique : < valeur, validité >
0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ...0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ... 0 1 1 0 1
Théorème : toute fonction continue peut être réalisée par un circuit synchrone avec validité
G. Berry, Collège de France, cours 2
• Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?)
• La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales
• La structure de l’espace des prédicteurs reste à comprendre
• La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier (calcul?)
09/04/2013 34
Conclusion
Merci à Jean Vuillemin
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 35
Commutation opérateurs / délais
++
++
0)0(
ff que telle fonction toute pour Vrai
Utilisation: couper les chemins critiques
s’ 2 r’ 2 (abc)
abc
abc
s s’r r’
s’r’
s’ 2 r’ 2 a 2 b 2 c
G. Berry, Collège de France, cours 2
1. Commutation opérateurs / registres
2. Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps
09/04/2013 36
Annexe – optimisation par retiming
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 37
Le retiming, un accélérateur majeur
++
++
++
Calcule 2s
0
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 38
Le retiming, un accélérateur majeur
++
++
++
Calcule 2s
Calcule 4s
0
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 39
Le retiming, un accélérateur majeur
++
++
++
n bits: latence n-1, temps 1
Calcule 4s
0
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