cinématique - laurent.granjon.free.fr
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Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 3 24 octobre 2000
Cinématique
1. DéfinitionDéfinition : La cinématique est l’étude des systèmes matériels à chaque instant (t) de leur existence dupoint de vue de leur mouvement dans l’espace indépendamment des causes qui provoquent cesmouvements.
2. Espace, référentiel et repèreRappelons que l’espace physique est représenté par un espace réel aff ine euclidien de dimension 3
(E3). Unité de longueur le mètre (m). Pour les opérations sur les vecteurs, nous lui associerons un espacevectoriel (R3) de dimension 3, sur le corps des réels.
Choix d’un référentiel : Lorsque nous parlons des mouvements d’un point matériel, nous parlonsde mouvements par rapport à quelque chose. Pour décrire ces mouvements, il nous faut donc dire parrapport à quoi i ls ont lieu, il nous faut choisir un référentiel. Ce référentiel sera en général défini par unsolide, par un système concret, dont on peut parler. Exemple : Référentiel lié à la terre.
Choix d’un repère : un repère est un système de coordonnées. Ex : choix d’un axe fixe dans leréférentiel, il sert à décrire les mouvements. Il a un rôle mathématique. Dans la figure ci-dessous, nous pouvons choisir la roue de vélo comme référentiel. Cela ne nous
empêche pas de choisir comme repère le repère ( )O x y1 1 1, ,
ou le repère ( )O x y2 2 2, ,
ou alors le repère
( )I x y, ,
3 3 Mathématiquement, la formes des résultats sera différente, physiquement, les résultats
représenteront la même chose, ici, en particulier, tout point de la roue sera fixe dans ces repères,puisqu’ils sont liés au référentiel « roue ».
y3
x3
y1
x1O1
y2
x2
O2
I
Figure 1
Le repère ( )I x y, ,
3 3 par exemple peut être lié au référentiel « terre », auquel cas les points de la roue
seront en mouvement par rapport à ce repère lié au référentiel « terre », (ils décriront une cycloïde). Cemême repère pourrait être lié au référentiel « roue » auquel cas les points de la roue seront fixes dansce repère. Ce même repère pourrait être lié au point I, point de contact instantané entre la roue et lesol. Ce point est un « point libre » puisqu’ il n’est fixe par rapport à aucun solide. La trajectoire d’un
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point de la roue, mis en équations dans ce repère lié au point I, point de contact roue/sol, serait alorsun cercle
3. TempsLe temps est représenté par un espace aff ine réel de dimension 1, orienté du passé vers l’avenir,
muni d’une unité de durée, la seconde (s).
Le temps de la mécanique classique est indépendant de l’observateur. Deux événements quiparaissent simultanés à un observateur le paraissent aussi pour tout autre. Quelque soit le référentiel danslequel on se trouve, le temps sera le même, s’écoulera de la même façon (ce ne serait plus vrai enmécanique relativiste).
4. Systèmes de coordonnéesIl existe différents systèmes de coordonnées, que nous adapterons au problème à traiter. Nous
allons étudier les plus courant :
4.1. Coordonnées cartésiennes
k
ij
M
x
y
z
OQ
P
R
Figure 2
OM x i y j z k →
= ⋅ + ⋅ + ⋅
eq. ( 1)
(x,y,z) forment un trièdre direct
i j k
j k i
k i j
∧ =
∧ =
∧ =
eq. ( 2)
On note )eou eement (respectiv e ou )ket jement (respectiv i zyx
le vecteur unitaire dans la direction x
(respectivement y et z). e e ex y z (respectivement et ) est perpendiculaire au plan x x=constante
(respectivement y et z) et montre la direction des x (absisses) croissants (resp. y : ordonnée, z : cote)
Les composantes x,y,z ne sont autres que les abscisses sur les axes des projections P,Q et R du point M.
La correspondance des points de l’espace géométrique avec les éléments (x,y,z) de
est bijective. Les
trois axes jouent un rôle symétrique. Ceci fait qu’ il est souvent plus simple de travailler avec lescoordonnées cartésiennes, ce qui fait que nous les utiliserons de manière préférentielle si nous n’avonspas de raisons particulières de choisir un autre système de coordonnées.
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4.2. Coordonnées cylindriques
e
e M
x
yO
z
P
ez
Figure 3
Les coordonnées du point sont définies par :
OP = ≥ρ 0
( ) π⋅<θ≤θ= 20 avec OP,Ox eq. ( 3)
z
Ce système de coordonnées permet de recouvrir tout l’espace une fois et une seule, en respectant les
intervalles définis pour et . Un triplet de nombres, [ ]ρ θ, ,z correspond à un point de l’espace et un
seul ; cependant la réciproque n’est pas vraie, car pour les points de l’axe Oz ( =0) l’angle resteindéterminé.
Base locale des coordonnées cylindriques eρ est un vecteur unitaire perpendiculaire au cylindre d’axe Oz passant par M, indiquant la direction
des croissants. ez est un vecteur unitaire porté par Oz
eθ est un vecteur unitaire normal au plan défini par eρ et ez , et tel que ( ) e e ezρ θ, , forme un trièdre
direct.
( ) e e ezρ θ, , forme un trièdre direct local..
Correspondance avec les coordonnées cartésiennes :
ρθ
ρ θρ θ
z
x
y
z
x
y
z z
→
= ⋅= ⋅
=
:
cos( )
sin( ) eq. ( 4)
près k àqu' définiest n' attention,
zzxy
arctan
yx
:
zz
y
x22
π⋅θ
=
=θ
+=ρ
θρ
→
eq. ( 5)
Attention, cette dernière équation peut poser des problèmes, la valeur de θ est à moduler en fonction dusigne de x et de y
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4.3. Coordonnées sphériques
Figure 4
Les coordonnées du point sont définies par :
OM r= ≥ 0
( ) π⋅<ϕ≤ϕ= 20 avec OP,Ox eq. ( 6)
( ) π≤θ≤θ= 0 avec OM,Oz
Ce système de coordonnées permet de recouvrir tout l’espace une fois et une seule, en respectant les
intervalles définis pour r, et . Un triplet de nombres, [ ]r, ,θ ϕ correspond à un point de l’espace et un
seul ; cependant la réciproque n’est pas vraie, car pour les points de l’axe Oz ( =0, ou = ) l’angle reste indéterminé.
Coordonnées sphériques et plan méridien
Une façon «plus parlante» pour certains de visualiser les coordonnées sphérique consiste à tracer unesphère d’origine O, de rayon r, (donc passant par M). Le schéma est le suivant
Plan parallèle θ = cte
Plan méridien ϕ = cte
plan équatorialθ
π=
2
Figure 5
Le plan méridien est le plan défini par( )OM,Oz . Il correspond au plan =constante.
Le plan parallèle est le plan défini par ( )OM,Ox . Il correspond au plan =constante.
( )OM,Ox=ϕ est appelé longitude ou azimut
( )θ = Oz OM, est appelé colatitude
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Remarques : En géographie, les coordonnées sphériques sont utilisées pour désigner la position d’un point du
globe (à l’exception du «rayon vecteur» inutile dans ce cas précis). Toutefois, la latitude
est utiliséeen lieu et place de la colatitude, la latitude étant le complément de la colatitude.
[- /2, /2], avec > 0 pour les latitudes nord, <0 pour les latitudes sud [- , ], avec
> 0 pour les longitudes est,
<0 pour les longitudes sud
Méridien d’origine = Méridien de Greenwich (village proche de Londre) ou de Paris
Choix de la colatitude : le physicien préfère employer la colatitude car, lorsque le problème ne dépendpas de
, on retrouve les coordonnées polaires dans le plan méridien.
Base locale des coordonnées sphériqueser est un vecteur unitaire tel que rerOM
⋅=
eθ est dans le plan méridien de M, directement perpendiculaire à re
. θe
est donc un vecteur tangent au
cercle passant par M de centre O, ou méridien passant par Meϕ est un vecteur unitaire tel que le trièdre ( )
e e er , ,θ ϕ soit un trièdre direct, donc e e er ∧ =θ ϕ .
Propriété : eϕ est un vecteur tangent au parallèle passant par M.
Figure 6 Figure 7
Correspondance avec les coordonnées cartésiennes :
( ) ( )( ) ( )( )
x r
y r
z r
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅= ⋅
sin cos
sin sin
cos
θ ϕ
θ ϕθ
eq. ( 7)
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π⋅
=ϕ
++=θ
=
y)et x de signesaux (attention près k à ours touj xy
arctan
zyx
zarccos
r
222eq. ( 8)
4.4. Dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à un angle
Figure 8
( ) ( ) ( )
θ
θ−θ+θ=
θρρ
→θ
ρ
d
edelim
d
ed0d
est égale à la dérivée de ρe
par rapport à ,
( )θρ
d
ed
.
Ecrivons ρe
dans le repère (O,x,y) :
( ) ( ) jsinicose
⋅θ+⋅θ=ρ eq. ( 9)
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) jcosisinjd
sindi
dcosd
d
ed
⋅θ+⋅θ−=⋅θ
θ+⋅θ
θ=θρ eq. ( 10)
Remarquons que ( ) ( ) jcosisine
⋅θ+⋅θ−=θ eq. ( 11)
( )θ
ρ =θ
ed
ed
eq. ( 12)
De la même façon, nous remarquons ( ) ( ) ( ) ρ
θ −=⋅θ−⋅θ−=θ
ejsinicosd
ed
eq. ( 13)
Théorème : La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à un angle est le vecteur unitaire directementperpendiculaire.
4.5. Vecteur rotationdéfinition : Le vecteur rotation,
r/OMΩ ou vecteur vitesse de rotation instantanée du vecteur OM par
rapport au repère r est le vecteur défini par :
sa direction est porté par l’axe de rotation instantané de OM par rapport à r
sa norme est proportionnelle à la vitesse angulaire de OM par rapport à r
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Dans le cas du schéma précédent kr/OM
⋅θ=Ω eq. ( 14)
Si nous calculons ρ∧Ω er/OM
:
( )
( )( )
( )
( )( )
( )k,j,ik,j,ik,j,i
r/OM
0
cos
sin
0
sin
cos
0
0
e
θ⋅θθ⋅θ−
=
θθ
∧
θ=∧Ω ρ eq. ( 15)
Nous constatons alors que ρρ ∧Ω= e
dt
edr/OM
eq. ( 16)
.
Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout vecteur unitaire lié à M.
5. Trajectoires5.1. Point matérielDéfinition : Un point matériel est le modèle d’un objet (un objet idéalisé) suff isamment petit pour êtreconsidéré comme ponctuel. Il est affecté d’une masse. Sa position est parfaitement définie dans l’espaceaff ine euclien par la connaissance d’un triplet de nombres caractérisant le vecteur position dans un repèredonné.
Exemples : Si on s’ intéresse au mouvement de la lune ou d’un satell ite autour de la terre, considérer la terre et la
lune comme des points matériel est généralement suffisant. S’ intéresser au mouvement d’un ballon de football en considérant ce dernier comme un point matériel
n’est généralement pas suff isant (cette modélisation ne permet pas de prendre en compte « l’effet » duballon)
Si on s’ intéresse au mouvement de la terre autour du soleil, il peut être judicieux de considérerl’ensemble terre + lune comme un ensemble de points matériels. On s’ intéresse alors au barycentredes points matériels considérés, affectés de la masse totale.
Figure 9
On remarque, dans ces exemples, que la taille de l’objet doit être « petite » relativement aux distancesmises en jeu dans les phénomènes étudiés pour pouvoir utiliser la modélisation de type « pointmatériels ». Cette modélisation ne doit pas non plus empêcher la prise en compte de certains phénomènesparticuliers (mouvements de rotation de l’objet modélisé en particulier).
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5.2. TrajectoireDéfinition : Courbe décrite par un point matériel en fonction du temps dans un référentiel donné.
Figure 10
La trajectoire peut être décrite dans un repère donné par 3 équations paramétriques x=f(t), y=g(t) etz=h(t).
La position à l’instant t est donnée par :
eq. ( 17)
s = abscisse curviligne
s = fonction croissante du temps
s(t) est l’équation horaire du mouvement.
5.3. Trièdre de Frenet Tangente à la courbe :
Figure 11
M’ est un point voisin de M
'MM est la corde.
La position limite de la corde lorsque M’ tend vers M est la tangente en M à la courbe
T est le vecteur tangent, unitaire. Il est porté par la tangente à la courbe en M. T peut être défini de lafaçon suivante.
=
→ 'MM
'MMlimT
M'Meq. ( 18)
Note : Pour que la définition soit valable (que T « pointe dans le bon sens »), il faut que, M étant le pointdéfini à s(t), M’ soit le point défini à s(t+dt). Plan osculateur
Soit T le vecteur tangent à la courbe en M, et M’ un point proche de M défini de la même manière que ci
dessus. Le plan osculateur est le plan défini par ( )'MM,T lorsque M’ tend vers M.
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Figure 12
( )'MM,TlimosculateurPlan M'M →
=
Dans ce plan, un seule droite D est perpendiculaire à T .
Figure 13
En M’ on trace le vecteur 'T , et le plan P perpendiculaire à 'T . L’ intersection de la droite D et du plan Pforme le point O.
Figure 14
La position limite de O quand M’ tend vers M est le centre de courbure de la trajectoire au point M,appelé C. CM=R rayon de courbure de la courbe au point M
NRMC ⋅= eq. ( 19)
N est un vecteur unitaire porté par (MC) et dirigé vers C.
Figure 15
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N est le vecteur normal.
Le trièdre est complété avec B vecteur Binormal : NTB ∧= eq. (20)
( )B,N,T est un trièdre local : le trièdre de Frenet
Remarque :
Figure 16
eq. ( 21)
α⋅== dR'MMds eq. ( 22)
NdTd =α
(voir 4.4 ) eq. ( 23)
R
N
R
1N
ds
d
d
Td
ds
Td =⋅=α⋅α
= eq. ( 24)
6. Vecteur vitesseDans un référentiel donné, soit M la position du mobile à l’ instant t, et M’ sa position à l’ instant t+dt. Pardéfinition, la vitesse du mobile à l’instant t est donnée par le vecteur :
t'MM
lim)M(v0t ∆
=→∆
eq. ( 25)
Soit O un point fixe par rapport au référentiel OM'OM'MM −= . Par définition,
( )dtOMd
tOM'OM
limMv0t
=∆−=
→∆eq. ( 26)
Si le problème considéré utilise plusieurs référentiels différents, il est souhaitable de préciser par rapportà quel référentiel cette vitesse est exprimée :
( )dtOMd
Mv rr/ = eq. ( 27)
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6.1. Composantes de la vitesse en coordonnées cartésiennes position : kzjyixrOM
⋅+⋅+⋅== eq. ( 28)
vitesse : kzjyixdtrd
dtOMd
v
⋅+⋅+⋅=== eq. ( 29)
vitesse, écrite autrement : v
x
y
z
→=
eq. ( 30)
Si le problème comporte plusieurs points et plusieurs bases, nous écrirons :
position OM x i y j z kr r r
→= ⋅ + ⋅ + ⋅
eq. ( 31)
vitesse rrrr
R/ kzjyixdtOMd
)M(V
⋅+⋅+⋅== eq. ( 32)
vitesse, écrite autrement ( ) ( )rrr k,j,i
r/
r
r/
z
y
x
MVou
z
y
x
MV
=
= eq. ( 33)
Remarque : Nous verrons plus tard qu’ il est aussi possible de calculer la vitesse d’un point M par rapportà une base r en écrivant les coordonnées de OM dans une base s, mais la dérivation n’est plus aussisimple.
6.2. Composantes de la vitesse en coordonnées cylindriques
Figure 17
zezeOM
⋅+⋅ρ= ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dted
zedtzd
dt
ede
dtd
dt
ezed
dtOMd
V zz
z
⋅+⋅+⋅ρ+⋅ρ=⋅+⋅ρ
== ρρ
ρ
( )zz ezee0ez
dtd
d
edeV
⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ=+⋅+θ⋅θ
⋅ρ+⋅ρ= θρρ
ρ
( )ze,e,e
z
z
ezeeV
θρ
θ⋅ρ
ρ=⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ
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Remarque, dans le cas de problèmes plan en coordonnées polaire (z=0) θρ ⋅θ⋅ρ+⋅ρ= eeV
ρ ρ⋅
e est la composante radiale
ρ θ θ⋅ ⋅
e est la composante orthoradiale
6.3. Composantes de la vitesse en coordonnées sphériquesNous avons vu qu’en coordonnées sphériques, rerOM
⋅=
( ) ( ) ( ) ( )dted
rerdted
redtrd
dterd
dtOMd
V rr
rr
r
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅==
Projetons
er sur les vecteurs de base
u k et
Figure 18
( ) ( )
e k ur = ⋅ + ⋅cos sinθ θ
( ) ( ) ( ) ( )d e
dt
d
dtk
d
dtu
du
dtr
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅θ
θθ
θ θsin cos sin
Sachant que du
dt
du
d
d
dt
d
dte
= ⋅ = ⋅ϕ
ϕ ϕϕ et que ( ) ( )
e k uθ θ θ= − ⋅ + ⋅sin cos
( ) ( )d e
dt
d
dte
d
dter
= ⋅ + ⋅ ⋅θ
θϕ
θ ϕsin donc ( )v r e r e r er
→= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
sin θ ϕ θθ ϕ
Nous aurions pu remarquer que
( )( )
( )ϕθ
θθ⋅ϕθ⋅ϕ
=⋅θ+⋅ϕ=Ω ϕ
e,e,e
r/OM
r
sin
cos
ek
.
en appliquant le résultat vu précédemment :
( )rr/OMr
rr erer
dted
rerV
∧Ω⋅+⋅=⋅+⋅=
nous trouvons :
( ) ϕθ ⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅= esinrererV r
6.4. Composantes de la vitesse en coordonnées intrinsèques
Tdtds
dtds
dsOMd
dtOMd
V ⋅=⋅==
v v T= ⋅ vds
dt=
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7. Vecteur accélérationLe vecteur accélération du mobile M est, par définition la dérivée par rapport au temps du vecteur
vitesse.
2
2
dtOMd
dtVd ==γ
Le vecteur accélération peut aussi être défini comme la limite suivante :
t)t/M(V)tt/M(V
lim)t/M(0t ∆
−∆+=γ→∆
Si le problème comporte différents référentiels, il faut préciser par rapport à quel référentiell’accélération est calculée :
dt)M(vd
)M( R/rR/ =γ
7.1. Composantes de l’accélération en coordonnées cartésiennes vitesse : kzjyixV
⋅+⋅+⋅=
accélération : kzjyixdtVd
⋅+⋅+⋅==γ
=γ
z
y
x
Cas d’un problème comportant plusieurs bases
( ) rrrr/ kzjyixMv
⋅+⋅+⋅=
rrrr/r
r/ kzjyixdt
)M(vd)M(
⋅+⋅+⋅==γ ( ) ( )rrr k,j,i
r/
r
r/
z
y
x
Mou
z
y
x
M
=γ
=γ
Notons qu’ il nous sera possible d’écrire la position, la vitesse et l’accélération d’un point M relativementà un référentiel « r » en projection dans une base « s » pas forcément liée à « r ». Nous écrirons alors :
( )
( )
O M
x
y
z
x i y j z k
v M
V
V
V
V i V j V k
M i j k
r
s
s s s
r
x
y
z s
x s y s z s
r
x
y
z s
x s y s z s
→
→
→
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅
/
/γγγγ
γ γ γ
Référentiel par rapport auquella position, la vitesseet l’accélération sont calculées
Repère dans lequel est projetéle résultat du calcul
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Notons aussi, que, dans le cas général,
V
V
V
x
y
z
V
V
V
X
y
z s
X
y
z s
X
y
z s
≠
≠
s
et, de même,
γγγ
, sauf si la base « s »
est liée au référentiel « r ».
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7.2. Composantes de l’accélération en coordonnées cylindriques vitesse zezeeV
⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ
accélération : zezdtd
ded
eedtd
d
ede
dtVd
⋅+θ⋅θ
⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+θ⋅θ
⋅ρ+⋅ρ==γ θθθ
ρρ
z2 ezeeeee
⋅+⋅θ⋅ρ−⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+⋅ρ=γ ρθθθρ
( ) ( ) z2 eze2e
⋅+⋅θ⋅ρ+θ⋅ρ⋅+⋅θ⋅ρ−ρ=γ θρ
( )ze,e,e
2
z
2
θρ
θ⋅ρ+θ⋅ρ⋅
θ⋅ρ−ρ=γ
7.3. Composantes de l’accélération en coordonnées sphériqueLe calcul s’effectue en dérivant la vitesse en coordonnées sphériques par rapport au temps.
( ) ϕθ ⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅= esinrererV r
( ) ( )
( ) ( )dt
edsinrecosr
.....esinresinrdted
rererdted
rer rr
ϕϕ
ϕϕθ
θθ
⋅θ⋅ϕ⋅++⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅+
+⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅+⋅=γ
notons que
du
dt
du
d
d
dte
= ⋅ = ⋅ϕ
ϕϕ ϕ
( )dedt
e er
= ⋅ + ⋅ ⋅
sin
θ θ ϕθ ϕ
( ) ( )
e u kθ θ θ= ⋅ − ⋅cos sin donc ( ) ( ) ( )dedt
u kdudt
θ θ θ θ θ θ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
sin
cos cos
( )dedt
e er
θϕθ θ ϕ= − ⋅ + ⋅ ⋅
cos
( ) ( )de
dt
de
dddt
u e er
ϕ ϕθϕ
ϕϕ ϕ θ ϕ θ= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
cos
sin
Tout calculs faits, nous obtenons :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r
222
r2
r
esinrecossinrecosresinr....
....esinrecosrerereresinrerer
⋅θ⋅ϕ⋅−⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅−⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅+
⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅θ⋅+⋅θ⋅−⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅=γ
θϕϕ
ϕϕθθϕθ
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Regroupons les calculs en fonction des différents vecteurs unitaires :
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ϕ
θ
⋅θ⋅ϕ⋅θ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅+
⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅−θ⋅+θ⋅⋅+
⋅θ⋅ϕ+θ⋅−=γ
ecosr2sinr2sinr
ecossinrrr2
esinrr2
r222
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )ϕθ
θ⋅ϕ⋅θ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅−θ⋅+θ⋅⋅
θ⋅ϕ+θ⋅−=γ
⋅
e,e,e
2
222
r
cosr2sinr2sinr
cossinrrr2
sinrr
7.4. Composantes de l’accélération en coordonnées intrinsèques (trièdre deFrenet)
Tdtds
V
⋅=
dsd
dTd
dtds
Tdt
sddtds
dsTd
dtds
Tdt
sddtTd
dtds
Tdt
sddtVd
2
2
2
2
2
2
2 α⋅α
⋅
+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅==γ
dT
dN
d
ds R
αα
= = et 1
Donc NRv
Tdtdv
NR1
dtds
Tdt
sd 22
2
2
⋅⋅+⋅=⋅⋅
+⋅= γγ
8. Quelques mouvements simplesRemarques concernant la nature du mouvement : un mouvement est accéléré si la norme du vecteur vitesse croît, décéléré si cette norme décroît :
mouvement accéléré : 0dtVd
V0dtVd
0dt
Vd0
dt
Vd 22
>⋅⇒>⇒>⇒>
donc 0V >γ⋅
mouvement décéléré : de la même façon, nous trouvons 0V <γ⋅
mouvement uniforme : 0V =γ⋅
Dans tous les cas, l’accélération se décompose en NRv
Tdtdv 2
⋅⋅+⋅=γ
dv
dt indique si le mouvement est accéléré, décéléré ou uniforme (note Vv = )
v
R
2
nous donne des indications sur le changement de direction de V
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8.1. Mouvements rectilignesLa trajectoire est une droite. Nous prenons un point origine O sur cette droite, et un vecteur unitaire
i lié
à cette droite. Le mouvement étant rectiligne, i)t()t(
⋅γ=γ . En intégrant l’accélération de manière àretrouver la vitesse, nous pouvons obtenir la loi horaire :
exemples : Mouvement uniformément varié : γ ( )t = =Γ0 constante (à t=0 v=v0 et x=x0)
d x
dt
2
2 0= Γ vdx
dtdt t v= = ⋅ = ⋅ +∫ Γ Γ0 0 0 ( )x t v dt t v t x= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ +∫ Γ Γ0 0 0
20 0
1
2 Oscillateur harmonique : γ ( ) ( )t k x t= − ⋅ (à t=0 v=v0 et x=x0)
d x
dtk x t
2
2 = − ⋅ ( )
On ne peut intégrer simplement ici, il faut résoudre l’équation différentielle d x
dtk x
2
2 0+ ⋅ =
La solution est de la forme ( ) ( )x A k t B k t= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cos sin .
nous en déduisons ( ) ( )vdx
dtA k k t B k k t= = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅sin cos .
A t=0 ( ) ( )x x A B A= = ⋅ + ⋅ =0 0 0cos sin A x= 0
A t=0 ( ) ( )v v A k B k= = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅0 0 0sin cos Bv
k= 0
8.2. Mouvements circulairesLe mobile M se déplace sur un cercle de rayon R, de centre C et d’axe
. Il est pratique, dans ce cas, de
choisir d’utiliser les coordonnées cylindrique, centre O=C, axe z tel que z soit un vecteur unitaire de
.
Figure 19 Figure 20
Etant donné que, pour tout point de la trajectoire z=0, le problème est plan, et les coordonnées polairessuffiront.
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 20 24 octobre 2000
( )( )
( )k,j,i0
sinR
cosR
OM
θ⋅θ⋅
= ( )ze,e,e
0
R
OM
θρ
θ= R=Constante,
=
(t)
Remarque, la connaissance de la loi =
(t) suff it à définir le mouvement de M. Le mouvement n’a qu’un
seul degré de liberté. Calcul de la vitesse
En coordonnées cylindriques (cas général) zezeeV
⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ .
Ici θ⋅θ⋅= eRV
En coordonnées intrinsèque : Tdtds
V
⋅= .
Ici s(t)=R (t) donc TRV ⋅θ⋅= Remarque : L’expression est identique en
coordonnées polaires et intrinsèque (car T e= θ ).
Remarque : la trajectoire est un cercle de centre O :
k,cteROM ⋅θ=Ω== ( ) ( ) θρ ⋅θ⋅=⋅∧⋅θ=∧Ω== eReRkOM
dtOMd
V
Calcul de l’accélération
En coordonnées polaires ( )
ρθ ⋅θ⋅−⋅θ⋅=⋅θ⋅
=γ θ eReRdt
eRd 2
En coordonnées intrinsèques ( )
γθ
θ θ θ θ →
=⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅d R T
dtR T R
dT
dtR T R N
2
Nous pouvons décomposer NRTR 2
⋅θ⋅+⋅θ⋅=γ l’accélération ainsi trouvée en
une accélération T tangentielle, qui indique si le mouvement est accéléré, uniforme ouretardé : γ θT R= ⋅ . Cette accélération est portée par le vecteur tangent T
une accélération N normale, qui permet le changement de direction du vecteur V :γ θN R= ⋅ 2 . Cette accélération est portée par le vecteur normal N
8.3. Mouvement rectiligne sinusoïdalReprenons le mouvement du point M décrit au 8.2 et intéressons nous au point P, projection du point M
sur l’axe ( )O i,
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 21 24 octobre 2000
Figure 21
θ ω ω= ⋅ t avec = constante. ( )( ) ( )j,i
tsinR
tcosROM
⋅ω⋅⋅ω⋅
=( )
( )j,i0
tcosROP
⋅ω⋅=
( )( )j,i
0
)tsin(RPv
⋅ω⋅ω⋅−= ( )
( )j,i
2
0
)tcos(RP
⋅ω⋅ω⋅−=γ
La projection de M sur l’axe ( )O i,
a un mouvement rectiligne sinusoïdal d’amplitude R. Ce type de
mouvement est appelé oscillations harmoniques.
8.4. Mouvement hélicoïdal( )( )
( )k,j,ih
sinR
cosR
OM
θ⋅θ⋅θ⋅
=
( )ze,e,eh
R
OM
θρ
θ⋅θ= R et h sont des constant
Exemples : - escalier en colimaçon
- vis
- systèmes de transformation de mouvement de rotation en mouvement de translation.........
Figure 22
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 22 24 octobre 2000
Pas de l’hélice : MM’=2 h Vitesse : zezeeV
⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ ici =R=constante et z=h zeheRV
⋅θ⋅+⋅θ⋅= θ
Accélération z2 eheReR
⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅−=γ θρ
Calcul de l’angle alpha. Plaçons nous dans le cas du parcours de l’hélicoïde dans le sens des croissants.
θ est donc supérieur à 0.
définition : alpha est l’angle entre l’horizontale et la tangente à la courbe.
( ) ( )α⋅=
α−π⋅⋅=⋅⋅=⋅ sinv
2cos1ve,VcoseVeV zzz
.
Mais c’est aussi, par définition, la projection de V sur l’axe z, donc la coordonnée suivant z.nous en déduisons que : ( )v h⋅ =sin α θ
( ) ( )v R h R h= ⋅ + ⋅ = ⋅ + θ θ θ2 2 2 2 et ( )v h⋅ =sin α θ
Donc ( )
sin
θ α θ⋅ + ⋅ =R h h2 2 ( )R h h2 2+ ⋅ =sin α ( )sin α =+
h
R h2 2
l’angle ne dépend que de h et de R. Le vecteur vitesse fait donc un angle constant avecl’horizontale.
La tangente à la courbe fait un angle =constante avec l’horizontale. Soit P la projection de M sur le plan (O,x,y) et Q la projection de M sur l’axe (O,z).
P décrit un mouvement circulaire Q décrit un mouvement uniforme
Cas particulier : si θ ω= = constante alors P décrit un mouvement circulaire uniforme Q décrit un mouvement rectiligne uniforme
8.5. Mouvements à accélération centrale définition : On appelle mouvement à accélération centrale un mouvement tel qu’à chaque instant
l’accélération du point M passe par un point fixe O. Ceci peut se traduire, sous forme d’équations, de
la manière suivante : 0OM =γ∧
Figure 23
Ce type de mouvement est courant, en effet, il a lieu dès qu’un point sera en mouvement sous l’effetd’une force passant par un point fixe (force centrale). (cf chapitre 11)
Ce mouvement possède des propriétés remarquables que nous allons examiner.
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 23 24 octobre 2000
Introduisons le vecteur « vitesse aréolaire » VOMC ∧=
Calculons sa dérivée temporelle : 0OMVVdtVd
OMVdtOMd
dtCd =γ∧+∧=∧+∧=
Nous remarquons que la dérivée temporelle de C est nulle (dans le cas d’un mouvement à forces
centrales), donc que C est une constante du mouvement.
Conséquences :
C étant un vecteur constant, il « pointe » toujours la même direction de l’espace. Puisque
VOMC ∧= , Vet MO appartiennent à un plan perpendiculaire à C . Le mouvement est donc unmouvement plan.
Figure 24 Plaçons nous en coordonnées polaires dans le plan P :
eθ
eρV
γ
O
x
M
Figure 25 Vecteurs position, vitesse et accélération
ρ⋅ρ= eOM θρ ⋅θ⋅ρ+⋅ρ= eeV
( ) ρ⋅θ⋅ρ−ρ=γ e2
La forme du vecteur accélération est liée à la définition du mouvement à accélération centrale : il estporté par eρ
( ) ( ) ( )zzz e,e,e
2
e,e,ee,e,e
0
0
00
0VOMC
θρθρθρ
θ⋅ρ=
θ⋅ρ
ρ∧
ρ=∧= ρ θ2 ⋅ = =
C Constante
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 24 24 octobre 2000
Loi des aires
Figure 26
Soit dS l’aire balayée par OM pendant le temps dt.
ρ ρ ρθ θ θ
→ +→ +
d
d
OM
MM
=
= ⋅
ρ
ρ θ' dS
dt
C= ⋅ ⋅ = =
1
2 22ρ θ
constante
Le rayon vecteur OM →
balaie des aires égales pendant des temps égaux. Cette loi des aires s’écrit
2⋅ =dS
dtC
Formules de Binet : Ces formules s’appuient sur la relation Cd
dt= ⋅ρ
θ2 pour éliminer le temps des
expressions de v2 et de .
θρθρ
θ⋅ρ+θ⋅θρ=⇒θ⋅ρ+ρ= e
dtd
edtd
dd
Vedtd
edtd
V sachant que d
dt
Cθρ
= 2
θρ ρ⋅ρ+
ρ⋅
θρ= e
Ce
Cdd
V22
On en déduit la première formule de Binet : v Cd
d2 2
2 21 1
=
+
ρ θ ρ
ρ⋅
θ⋅ρ−ρ=γ e
dtd
dtd
2
2
2
d
dt
d
d
d
d
d
dt
d
dt
d
d
d
d
C C C d
d
d
d
C d
d
d
d
2
2 2 2
2
2 2
2
2
11
ρθ
ρθ
θ θθ
ρθ ρ ρ ρ θ ρ
ρθ ρ θ
ρθ
= ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ −
d
dt
C d
d
2
2
2
2
2
2
1ρ
ρρ
θ= − ⋅
− ⋅ = − ⋅
= −ρ
θρ
ρ ρd
dt
C C2
2
2 2
3
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 25 24 octobre 2000
On en déduit la seconde formule de Binet : ρ⋅
ρ+
θ
ρ⋅ρ
−=γ e1
d
1d
C2
2
2
2
Remarque importante : Moment d’un vecteur par rapport à un point :
Soit M un point et O un autre point. On appelle moment du vecteur V passant par M par rapport au point
O le vecteur ( )( ) ( )MVOMMVM O/ ∧= . Par définition, le moment ( )( )MVM O/ est un vecteur
perpendiculaire aux vecteurs OM et )M(V .
Le vecteur VOMC ∧= est le moment de la vitesse du point M relativement au point O.
Définition : Le vecteur quantité de mouvement du point M affecté de la masse m est le produit de cettemasse m par le vecteur vitesse instantanée de M
vmp ⋅=
Définition : Le moment cinétiqueσ du point M affecté de la masse m, par rapport au point O est le
produit vectoriel du vecteur OM et de p , vecteur quantité de mouvement de M
vOMmpOM ∧⋅=∧=σ
9. Changement de référentielIl est souvent utile de pouvoir déterminer la vitesse et l’accélération d’un point par rapport à un
référentiel donné, alors que vitesse et accélération sont déjà connues dans un autre référentiel. L’objet dece paragraphe sera donc d’apprendre à transférer vitesse et accélération d’un référentiel vers un autre.
Prenons un exemple : Soit la voiture représentée ci-dessous, en mouvement de translation par rapport ausol. Intéressons nous au mouvement d’un point de la roue par rapport
à la roue (référentiel « 2 » et repère « 2 » lié au référentiel « 2 »
à la voiture (référentiel et repère « 1 »
au sol (référentiel et repère « 0 »
Figure 27
Nous remarquons immédiatement que le point M est fixe par rapport à la roue (il est « lié » à la roue),qu’ il décrit un cercle par rapport au véhicule (il a un mouvement de rotation, dont l’axe de rotation est
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 26 24 octobre 2000
celui de la roue), et que son mouvement par rapport au sol est beaucoup plus compliqué. (nous verronsqu’il s’agit d’une cycloïde).
9.1. Point Coïncidant
Figure 28
Soit M le point dont on étudie la trajectoire Soit "0" le repère lié au référentiel fixe
Soit "1" le repère lié au référentiel mobile
On appelle point coïncidant le point P du référentiel mobile qui, à l’ instant t, coïncide (est confondu)avec le point M
Remarques :
P appartient au référentiel mobile, il est fixe par rapport à ce référentiel
M n’appartient pas au référentiel mobile il n’est pas fixe par rapport à ce référentiel
M et P n’ont pas la même trajectoire et ne sont donc pas confondus à l’instant t+ t.
9.2. Vecteur vitesseOn se base sur les notations du schéma ci dessus.
Position 0000000 kzjyixMO
⋅+⋅+⋅= 1111111 kzjyixMO
⋅+⋅+⋅=
Connaissant MO1 , cherchons MO0 : 111111101100 kzjyixOOMOOOMO
⋅+⋅+⋅+=+= Vitesse : Dérivons la relations précédente par rapport au temps. Par définition, cela nous donne la
vitesse de M par rapport à "0"
rV
kdtdz
jdtdy
idtdx
eV
dtkd
zdtjd
ydtid
xdt
OOd
aVdt
MOd1
11
11
111
11
11
100 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
Intéressons nous maintenant au point coïncidant P :
111111101100 kzjyixOOPOOOPO
⋅+⋅+⋅+=+= Ici, le point P est fixe par rapport à "1", donc
x1,y1,z1 sont des constantes.
e1
11
11
1100 V
dtkd
zdtjd
ydtid
xdt
OOddt
POd =⋅+⋅+⋅+=
Nous remarquons que la vitesse du point
coïncidant P est égal à la vitessed’entraînement Ve.
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 27 24 octobre 2000
Théorème : La vitesse instantanée à l’ instant t du point M par rapport a un référentiel R0 est égale à lavitesse du point M par rapport à un référentiel R1 ajoutée de la vitesse par rapport au référentiel R0 dupoint P, appartenant au référentiel R1 et coïncidant avec M à l’instant t.
( ) ( ) ( )t/MVt/MPVt/MV100 R/R/R/ +==
( )t/MV0R/ est appelée, par abus de langage, vitesse absolue :
aV
( )t/MPV0R/ = est appelée vitesse d’entraînement :
eV
( )t/MV1R/ est appelée vitesse relative :
rV
rV
eV
aV +=
Cas particulier :
R0 et R1 sont en translation relative : dt
OOdV 10
e = e
V est la même partout
Figure 29 R0 et R1 sont en rotation relative :
Figure 30
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 28 24 octobre 2000
Nous avions défini le vecteur rotation d’un vecteur OM par rapport à un repère, nous pouvons étendrecette définition au vecteur rotation d’un repère R1 par rapport à un repère R0 :
Le vecteur rotation, 0R/1RΩ ou vecteur vitesse de rotation instantanée du repère R1 par rapport au repère
R0 est le vecteur défini par : sa direction est porté par l’axe de rotation instantané de R1 par rapport à R0 ; sa norme est égale à la vitesse instantanée de rotation de R1 par rapport à R0.
Nous avons vu au 4.5 que ρρ ∧Ω= e
dt
edr/OM
. Si on remplace OM par R1, et r par R0 nous obtenons
1R/R1 i
dtid
01
∧Ω= , 1R/R1 j
dtjd
01
∧Ω= , 1R/R1 k
dtkd
01
∧Ω=
Nous avons un mouvement relatif de rotation de R1 par rapport à R0 donc dtkd
zdtjd
ydtid
xV 11
11
11e
⋅+⋅+⋅= .
En remplaçant les dérivées des vecteurs unitaires par leurs valeurs, nous obtenons : MOe
V 10R/1R ∧Ω=
9.3. Vecteur accélération
( )
c
dtkd
dtdz
dtjd
dtdy
dtid
dtdx
2
r
kdt
zdj
dtyd
idt
xd
e
dtkd
zdt
jdy
dtid
xdt
OOd
a
dtMOd
M
11111112
12
121
2
121
2
21
2
121
2
121
2
1210
2
20
2
0
γ
⋅+⋅+⋅⋅+
γ
⋅+⋅+⋅+
γ
⋅+⋅+⋅+=
γ
=γ
Nous remarquons que l’accélération de M par rapport au référentiel R0 est égale à l’accélération de M parrapport au référentiel R1 dite accélération relative, à laquelle s’ajoute l’accélération du point coïncidant Pappartenant au référentiel R1 relativement au référentiel R 0, dite accélération d’entraînement et un termesupplémentaire qui est l’accélération dite de coriolis.
Si nous appelons :
aγ l’accélération de M par rapport au référentiel R0 (par abus de langage « accélération absolue ») ;
rγ l’accélération de M par rapport au référentiel R1 dite « accélération relative » ;
eγ l’accélération du point coïncidant P appartenant au référentiel R1 par rapport à R0, dite
« accélération d’entraînement » ;
cγ l’accélération complémentaire ou « accélération de corioli s » (qui correspond aux termes croisés
de la dérivation) ;
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 29 24 octobre 2000
Nous obtenons : cera γ+γ+γ=γ
avec :
12
12
121
2
121
2
kdt
zdj
dtyd
idt
xdr
⋅+⋅+⋅=γ
21
2
121
2
121
2
1210
2
dtkd
zdt
jdy
dtid
xdt
OOde
⋅+⋅+⋅+=γ
⋅+⋅+⋅⋅=γ
dtkd
dtdz
dtjd
dtdy
dtid
dtdx
2c
111111
9.4. Expressions de l’accélération d’entraînement et de l’accélération deCoriolis
Etudions d’abord deux cas particuliers premier cas : R0 et R1 sont en translation relative
Figure 31
210
2
21
2
121
2
121
2
1210
2
dtOOd
edtkd
zdt
jdy
dtid
xdt
OOd =γ⋅+⋅+⋅+=
→=γ
⋅+⋅+⋅⋅=γ 0
cdtkd
dtdz
dtjd
dtdy
dtid
dtdx
2c
111111
second cas : R0 et R1 sont en rotation relative :
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 30 24 octobre 2000
Figure 32
21
2
121
2
121
2
1210
2
dtkd
zdt
jdy
dtid
xdt
OOde
⋅+⋅+⋅+=γ
0dt
OOd2
102
= L’accélération d’entraînement se ramène donc à l’expression suivante :
⋅+
⋅+
⋅=⋅+⋅+⋅=γ
dtkd
dtd
zdtjd
dtd
ydtid
dtd
xdt
kdz
dtjd
ydt
idxe
11
11
112
12
121
2
121
2
1
Sachant que 1R/R1 i
dtid
01
∧Ω= , 1R/R1 j
dt
jd01
∧Ω= , 1R/R1 k
dtkd
01
∧Ω=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1R/RR/R11R/RR/R11R/RR/R1
1R/R
11R/R
11R/R
1
1R/R1
1R/R1
1R/R1
1R/R
11R/R
11R/R
1
1R/R11R/R11R/R1
kzjyix
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dtkd
zdtjd
ydtid
x
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
kdtd
zjdtd
yidtd
xe
010101010101
010101
010101
010101
010101
∧Ω∧Ω⋅+∧Ω∧Ω⋅+∧Ω∧Ω⋅+
∧Ω
⋅+∧Ω
⋅+∧Ω
⋅=
∧Ω⋅+∧Ω⋅+∧Ω⋅+
∧Ω
⋅+∧Ω
⋅+∧Ω
⋅=
=∧Ω⋅+∧Ω⋅+∧Ω⋅=γ
Ici nous avons donc ( )MOMOdt
de 1R/RR/R1
R/R
0101
01 ∧Ω∧Ω+∧Ω
=γ
⋅+⋅+⋅⋅=γ
dtkd
dtdz
dtjd
dtdy
dtid
dtdx
2c
111111
∧Ω⋅+∧Ω⋅+∧Ω⋅⋅=γ 1R/R
11R/R
11R/R
1 kdtdz
jdtdy
idtdx
2c 010101
( )rV2
c 01 R/R ∧Ω⋅=γ
Cinématique CH-2 PH-112
L.G. 31 24 octobre 2000
9.5. Expressions générales de la vitesse et de l’accélération d’entraînement etde Coriolis.
Nous avons calculé la vitesse et l’accélération de Coriolis dans deux cas particuliers :
Cas d’un mouvement de translation de R1 par rapport à R0
Cas d’un mouvement de rotation de R1 par rapport à R0
Remarquons que tous les mouvements d’un repère par rapport à un autre peuvent se ramener à la sommed’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation. Nous aurons donc, dans le cas général : Vitesse :
rV
eV
aV +=
avec :
MOdt
OOde
V 10R/1R10 ∧Ω+=
dtMOd
rV 1=
accélération
cera γ+γ+γ=γ
avec
21
2
dtMOd
r=γ
( )MOMOdt
d
dtOOd
e 1R/RR/R1R/R
210
2
0101
01 ∧Ω∧Ω+∧Ω
+=γ
( )rV2
c 01 R/R ∧Ω⋅=γ
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